Метод решения задач для клиновидных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622:539.3

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Валерий Егорович Миренков

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)205-30-30, доп. 187, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Валерий Алексеевич Шутов

Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусства, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 38, доктор технических наук, профессор, тел. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru

Все известные решения для областей с угловыми точками некорректны, поскольку допускают большие деформации, т. е. не имеют ни математического, ни физического смысла. Предложен метод, исключающий некорректность.

Ключевые слова: угловые точки, решение, уравнения, граничные условия, некорректность, бесконечность.

METHOD TO SOLVE THE WEDGE-SHAPED DOMAIN PROBLEMS

Valery E. Mirenkov

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, D. Sc., Professor, Principal Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)205-30-30, extension 187, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Valery A. Shutov

Novosibirsk State University of Architecture, Design, and Arts, 630091, Russia, Novosibirsk, 38 Krasny prospect, D. Sc., Professor, tel. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru

All the known solutions for domains with corner points are not correct for considerable deformation tolerances, viz., these solutions have neither mathematical nor physical significance. The method eliminating the above incorrectness is proposed.

Key words: corner points, solution, equations, boundary conditions, incorrectness, infinity.

Классические формулировки задач теории упругости для областей, содержащих угловые точки, приводят к бесконечным напряжениям, что нарушает условие малости деформации в окрестности сингулярных точек. Все такие задачи некорректны, а следовательно не имеют ни математического, ни физического смысла [1-3]. Будем стремиться «освободить» угловую точку, не ограничивать ее перемещения и уже после этого применять аппарат линейной теории. Классическая модель не предоставляет такой возможности, а поэтому плохо моделирует явление в наиболее интересном месте - окрестности угловой точки [1,2]. Проникновение материала в материал, допускаемое классическими решениями в силу неопределенности, указывает на необходимость дополнительной формулировки, описывающей некий аналог контактной задачи типа Герца, но с более сложной постановкой, не встречаемой в практике теории упругости. Осуществить математическое моделирование такого эффекта можно по-

разному, с той или иной степенью точности, естественно за счет существенного усложнения аппарата реализации идеи. Освобождение от связей, позволяющее угловой точке свободно смещаться под действием внешних усилий в рамках теории упругости, можно осуществить задавая на малом участке в окрестности вершины нормальные и касательные усилия, моделирующие эффект контактной задачи, т.е. эквивалентные усилиям и моменту действующих на угловую точку в классическом решении. Другими словами, модель не должна чувствовать угловые точки за счет формулировки дополнительных условий, которые в рамках малых деформаций обеспечивают свободу смещений угловой точки.

Для моделирования областей с угловыми точками воспользуемся методом решения задачи о плоскости, ослабленной полигональным отверстием. В данном случае достаточно продолжить стороны клиновидной области и рассматривать выделенные таким образом две полуплоскости I и II (рис. 1). Граничные условия обеспечивают равенство нулю главного вектора и главного момента, и только такие формулировки предполагаются ниже, так как все другие не имеют смысла в рамках теории упругости.

Обозначим через р1, и р2, q2 соответственно нормальные и касательные усилия на продолжениях граней клиновидной области (рис.1).

Если считать р1, ql известными, то решение для полуплоскости I выписывается

X

Рис. 1. Расчетная схема клиновидной области

о о гот

через Р1 , д^ и р1 всюду в полуплоскости вплоть до точек границы в виде [3]:

о „о

а х1 = 2 Яе () - Яе[ ^ Ф| (^) + ^ (^)],

а у1 = 2Яе Ф1( 21) + Яе[ Ф'х (+ ,

(1)

Т1 = Тш[г1 Ф1 (21) + 21)],

Z1) =

Z1) =

1 а 0,-0 а Р1 + г41

2га г — z0 — да 0

1 Га 0 , • 0 Г Р1 + г41

2га ^ г — zn — да 0

жг +1

а

Жг +1

Р1(г) + гд^) г — Zl

Р1(г) + 1д1(г)

Жг

Жг

а

г — z1

— Ф1( 11) — ZlФi (Zl) .

Для точек части границы второй полуплоскости, лежащих в первой, с помощью (1) определяем нормальные и касательные напряжения

ап1 = ап1(ах1' ау1' 11) ,

Тп1 = Тп1(ах1' ау1' Т1) . (3)

В то же время

Р2 = а„1 (ахЬ ауЬ 11), д2 = т„ (аХ1, ау1, Т1). (4) Совершенно аналогично, рассматривая вторую полуплоскость, получим

Р1 =а„2(ах2' ау2' Т2) ,

41 =^„2(ах2' ау2' ^2) . (5)

С учетом формулы перехода от системы координат xl, У1 к x2, уз [1]:

Z2 = (Zl — Zo) • ехр(—г -а),

(6)

где 2о - положение начала координат второй системы относительно первой, а -угол поворота системы 22 относительно 21, можно переписать (3), (4) в системе координат 21. Если в полученных выражениях опустить индекс единица, то придем к системе четырех уравнений относительно неизвестных функций р1(х), Ц1(х), р2(х), д2(х).

Р1 = аХ2(Р2' 42; Р2 ' д?)^2 а + ау2(Р2' Р2 ' 42)с0§2 а +

О

+ ^2(Р2' 42; Р2' 42)§1п2а,

>у 2<

41 = 1[аХ2(Р2' 42; Р0' 40) — ау2(Р2' 42; Р2 ' 40)]81п2а +

+ ^2 (Р2,42; Р0,4°)сов2а, Р2 = а х1(Р1' 41; Р0' 40)81п2 а + ау1(Р1' 41; Р10' 410)С082 а — — Та( Р1' 41; Р0' 4°)8т2а,

(7)

1

42 =1 [а у 1(Р1' 41; Р10' 40) — а х1(Р1' 41; Р10' 40 )]81п 2а +

о „0^

+ Р1, Чъ Р°, Ч°)со82а.

(8)

Подставляя выражения (1), с учетом (2), в правые части (7), (8), получим систему четырех интегральных уравнений для определения искомых функций

Р1, Я1, Р2, Ц2.

Рассмотрим частную задачу сформулированного выше класса, т.е. представим систему (7), (8) в развернутом виде для случая клиновидной области с углом раствора 3л /2 (рис.2).

Рис. 2. Расчетная схема

Перепишем вначале систему (7), (8) в виде

(9)

Р (Х1,0) = ах2 (-а2 > а1 - Х1)> Ч1 (X,°) = -^2 (-а2, а1 - ), Р2(а1 - а2 - Х1,0) = аХ1(а1. а1 - Х1) : Ч2(а1 - а2 - хь°) = т1(а1, а1 - х1)

Для полуплоскости I, учитывая (1)-(8), получим

Р2(а1 - а2 - х1) = ах1(а1. а1 - х) =

а1

(а1 - Х1)

| (I - а1)К11Р1(г+ | (I - а1)К11 р°(?

а1

<

-от

а1

— |(г - а1)2 К11д1(г')& - |(г - а1)2 Кпд°(г')&

а1

—

- а2 - х15°) = т1(а1,а1 - х^ =

2( х1 - а1)

л

(X - а1)

а1

I К11Р1(г+ | (г - а1)К11 р°(г)Л

а1 -от

+

а1

+ I (г - а1)К11д1(г)Л + I (г - а1)К11д<° (г)Л

а1

Для полуплоскости II

2 л

(а1 - х1)

Р1(Х1,0) = ОХ2 (-а2> а1 - Х1) =

а2 от

I (г + а2)К22Р2 (г)Л + I(г + а2)К22Р° (г)Л

-от а2

а2

I (г + а2)2 К22Ч2(0^ - I(г + а2)2 К22

а 2

Ч1 (X,°) = ^2 (-а2, а1 - Х1) =

2( х1 - а1)

л

(Х1 - а1)

а 2 от

I К22р2(г)Л + IК22р°( г)Л

-от а2

+

+

-'2 ~ I (г + а2)К22Ч2(г)Ж + I( г + а^)К22ч2( г)^г

а2

Здесь и в (10)

Кц =

К 22 =

г - а1

[(г - а1)2 + (X - а1)2]2

г + а

2

9 9 9

[(г + а2)2 + (Х1 - а1)2]2

Перепишем (10), (11) в виде

от от

Р2(х1) - - I^2Ч2(г)Л = /1(х1) ,

а1

а1

(10)

(11)

от

:

-от

от

<

от

>

-от

от

от

-от

где

q-( xl) — J L3Pl(t )dt — J L4 q(t )dt = f2( xl),

al al

Pl( xl) — J L5 p-(t )dt — J L6 q—(t )dt = f3( xl), (12)

a2 a2

дада

#1(xl) — J L7P-(t)dt — JL8q-(t)dt = f4(xl),

a- a-

al

/(xl) = -(xl — al) JKl^^0(t)dt +

+ - J(t — al)2Knq°(t)dt,

n

a1

f2(xl) = -(xl — al) JK1 lP°(t)dt +

—да

2a1

+ - J(t — al)2 K1 l q0(t)dt,

n — да

a

— Г О

f3(xl) = -(xl — al) J (t — a2)K1 1 P1 (t)dt + n J„

a

+ - J(t — a—)2Kl l q°(t)dt, n2

2 Г

f4(xl) = -(X l — a i) i K--p2(t)dt + n

a2

n(x — a ) J(t + a—)к——q—0(t)dt,

2

L(t,xl) = 2/n- (xl — al) - (t — al) - K1 ь L2(t,xl) = 2/n- (t — al) - K^ L3(t,xl) = —2/n- (xl — al) - K1 ъ L4(t,xl) = —2/n- (xl — al) - (t — al) - K11; Ls(t,xi) = 2/n- (xi — al) - (t + a-) -K--, L6(t,x) = 2/n-(t + a-) - K--, L7 l(t,xi) = 2/n- (xi — al) - K-2, L8(t,xi) = 2/n- (xi — al)(t + a-) - K--.

да

да

a

—да

да

В случае граничных условий, обеспечивающих симметрию деформирования клиновидной области, уравнения (10), (11) тождественны, и можно воспользоваться любой из этих систем для нахождения двух неизвестных функций, полагая Р1=Р2=Р, д1=д2=д. Для частного случая клиновидной области с углом раствора 3л/2, если положить х1=х и а1=а2=а, указанная система имеет вид

/-»от 2 2.

2(х - а) J 2 J

p(х) - 2-) JK1(t,х)p(t)dt - - JK2(t,x) • q(t)dt = f1(t), (13)

* а * а

q(x) - ——— • JK3 (t, x)p(t)dt - ——— JK4 (t, x) • q(t)dt = f2 (t),

где

^ . . (t + a)2 (t - a)2

Ki( x, t) =-^---^ +-\---^,

[(t + a)2 + (x - a)2 ]2 [(t - a)2 + (x - a)2 ]2

^ / л (t + a)3 (t - a)3

K 2( x, t) =-^---— +-^---—,

[(t + a)2 + (x - a)2 ]2 [(t - a)2 + (x - a)2 ]2

^ . . t + a t - a

K з( x, t) =--2-— +-2-—,

[(t + a)2 + (x - a)2 ]2 [(t - a)2 + (x - a)2 ]2

^ / л (t + a)2 (t - a)2

K 4( x, t) =-^---— +-^---—,

[(t + a)2 + (x - a)2 ]2 [(t - a)2 + (x - a)2 ]2

2 a /-) a

, r , s „ n , s „ 2

v2

" 11

* *

f1(x) = 2 • (x - a) J (t - a)K11 p0(t)dt + 2 J(t - a)2 K11 • q0(t)dt,

- a - a

2 a 2 a

f2(x) = 2 • (x - a) J K11 p 0(t)dt + 2(x - a) J (t - a)K11 • q 0(t)dt.

* -a * -a

Форма представления (13) предполагает возможность выделения клиновидной области из плоскости с квадратным отверстием, оговоренную выше.

Таким образом, предложен метод решения систем интегральных уравнений, позволяющий получить непрерывные и ограниченные всюду значения напряжений, переводя проблему угловых точек в разряд корректных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боджи Д.Б. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора // Прикладная механика. Американское общество инженеров механиков. - 1971.- Серия Е. - т.38. - № 2. - С. 87-96.

2. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках // Изв. АН СССР, ОТН. - 1955. - № 11. - С. 73-86.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

© В. Е. Миренков, В. А. Шутов, 2017

a