Восстановление условий на контакте при нагружении образцов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 622.831:539.3

ВОССТАНОВЛЕНИЕ УСЛОВИЙ НА КОНТАКТЕ ПРИ НАГРУЖЕНИИ ОБРАЗЦОВ

Валерий Егорович Миренков

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор технических наук, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: [email protected]

Андрей Анатольевич Красновский

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: [email protected]

Получены уравнения, с помощью которых вычисляются компоненты напряжений и смещений для трех основных задач теории упругости, моделирующих деформирование отдельного блока или образца пород при лабораторных испытаниях. Приводятся примеры их численной реализации.

Ключевые слова: уравнения, напряжения, смещения, упругость, система, решение, задача.

RECOVERY OF CONTACT CONDITIONS IN SPECIMEN UNDER LOADING

Valery E. Mirenkov

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Eng, Prof, Principal Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)217-06-93, e-mail: [email protected]

Andrey A. Krasnovsky

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Ph. D. Phys-Math, Senior Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)217-06-93, e-mail: [email protected]

The authors have derived equations for calculating stresses and displacements in three basic problems of elasticity theory modeling deformation of a rock block or a rock specimen in laboratory testing. Numerical implementation of the equations is presented.

Key words: equations, stresses, displacements, elasticity, system, solution, problem.

Для изучения механизма разрушения горных пород, как правило, необходим комплекс аналитических и экспериментальных исследований. Параметры разрушения обычно зависят от условий нагружения и состояния контактных поверхностей. Контактные задачи сложны и существенно нелинейны вследствие подвижности границ и наличия трения между контактирующими поверхностями. Тонкие физические эффекты связаны с тем, что в области контакта взаимодействующих тел в процессе нагружения могут появляться проскальзывания. В зонах проскальзывания теряется запасенная энергия, поэтому функции

нагружения и разгрузки, вообще говоря, не будут линейно упругими, что может вызвать изменение, например, сжимающего усилия.

Чтобы решать такие задачи, в идеале, необходима полная информация о трещинах и включениях, влиянии внешних воздействий на свойства пород, экспериментальные данные на всех доступных для измерения частях образца в процессе нагружения. Процедура определения констант и функций, характеризующих деформирование материала, основана на использовании данных, получаемых при механических испытаниях и при физических и породографиче-ских исследованиях. Эти проблемы для блочных сред рассматриваются в [1 - 3].

В статье представлено математическое моделирование напряженно-деформированного состояния прямоугольной области о (рис. 1). Выписана система интегральных уравнений, учитывающая в двумерном случае все компоненты граничных значений неизвестных функций для трех основных задач теории упругости на контуре Г = Ц + Г2 + Г3 + Г4. Как правило, две из четырех компонент напряжений и смещений формулируются при постановке краевых задач, а остальные вычисляются из предлагаемой системы.

Рис. 1. Расчетная схема для определения напряженно-деформированного

состояния образца пород

Во многих практически наиболее интересных случаях (испытания образцов пород, расчет деформирования целиков и т. п.) внешние усилия к О передаются через контакт с другими телами, так что известен, как правило, только главный вектор внешних усилий, прикладываемый Г или Г3. В области контакта при этом невозможно строго сформулировать условия взаимодействия. Обычно предполагают простейшие варианты граничных условий, плохо моделирующих процесс нагружения, который сводится либо к идеальному проскальзыванию, либо к полному сцеплению в предположении абсолютной жесткости внешних по отношению к О тел [4].

В свете сказанного возникает задача получения необходимых натурных данных для уточнения контактных условий в рамках экспериментально-аналитического метода [5]. Это же относится и к проблеме обратных задач, например подбора граничных условий, обеспечивающих максимум несущей способности моделируемого объекта.

Для области О, представленной на рис. 1, сформулируем граничные условия в виде трех задач:

на Г т = т0 (х), V = (х),

(1)

на Г3 т = т0(х), V = -v0(х);

на Г и = и0 (х), V = v0 (х),

(2)

на Г3 и = и0( х), V = — v0( х);

на Г т = т 0 (х), с>у = (Ту 0(х),

(3)

на Г3 т = т (х), су = —су0 (х), для каждой из которых граничные условия на Г и Г4 одни и те же: т = с х = 0. Здесь т, сх, су — касательные и нормальные напряжения; и, V — компоненты смещения.

Система уравнений, связывающая граничные значения всех трех основных задач теории упругости, приведена в [6].

Учитывая симметрию геометрии и деформирования области О, система (4) дает решение любой из задач (1) - (3). Их численная реализация осуществлялась последовательными приближениями. За первое принимались величины, получаемые в левых частях от значений, сформулированных при постановке задачи, остальные неизвестные считались равными нулю. Вычисление приближений останавливалось, когда разность двух последних составляла 1 %. Величины, имеющие размерность длины, отнесены к а, размерность напряжения - к су0.

В качестве тестового примера рассматривался вариант граничных условий (3), когда т0( х) = 0, су0 = 1. Результаты не приведены ввиду идеального совпадения с точным решением.

Для граничных условий в виде (1) принималось

т0 = — Ах, = 10.

На рис. 2 представлены результаты расчета деформирования области О при а = 1, к = 6, ¡л = 3.846 -104, А = 1. Нормальные напряжения под штампом практически постоянны.

Для задачи (2) при и0( х) = 0, 2щ)0 = 10 и той же геометрии, что и в (1), результаты расчета показаны на рис. 3. Граница области Г развернута в прямую линию так, что Г соответствуют точки от 1 до 21, Г — от 21 до 41, Г — от 41

до 61 и Г — от 61 до 81. Результаты, аналогичные изображенным на рис. 2, не приводятся, так как отличие для данного случая заключается в нулевых горизонтальных смещениях точек х = +а. На рис. 2 смещения и(а) > 0.

Рис. 2. Контур Г — исходный, — после деформирования

Рис. 3. Компоненты смещения контура о для задачи (2)

Таким образом, во всех случаях, кроме одного, когда отсутствуют касательные напряжения на контакте, наблюдается бочкообразное деформирование образца. Чем больше касательные напряжения, тем больше деформируется область О.

Для более точного моделирования условий на контакте (граничные условия на Г и Г3) необходимо использовать экспериментальные данные [1]. Как правило, при сжатии образца на любой момент времени нагружения фиксируется уменьшение его длины и сжимающее усилие /(а). Этих данных достаточно,

чтобы определить модуль Юнга образца.

На рис. 4 приведено решение задачи (3) при тех же параметрах, что и в задаче (2), но для А = 10, оу 0 = 1.

Рис. 4. Компоненты смещений контура о для задачи (3)

Кроме того, на разных этапах нагружения, задавая для задач (1) или (2) и используя экспериментальное значение Е, формулируя наиболее правдоподобные предположения на поведение т0(х) или и0(х), вычисляем /(а). Варьируя значениями т0(х) и и0(х), в задачах (1) и (2) стремимся достичь наилучшего совпадения с фиксируемой величиной /(а).

Рассматриваемый математический эксперимент по нагружению области Q дает возможность найти смещения на Г2 и Г4. Пусть это будут значения и(а, к) и и(а, к /2). Первое из них существенно зависит от условий на контакте и может использоваться для их уточнения, а второе позволит оценить коэффициент Пуассона. Наибольшие деформации Г2 и Г4 достигаются в окрестности х = ±а

и могут стать местом начала разрушения. В общем случае, на разрушение влияет как геометрия образца, контактные условия, так и структура материала; каждый из этих параметров может стать определяющим [7].

Получены уравнения, с помощью которых вычисляются компоненты напряжений и смещений для трех основных задач теории упругости, моделирующих деформирование отдельного блока или образца пород при лабораторных испытаниях. Приводятся примеры их численной реализации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курленя М.В., Опарин В.Н. Проблемы нелинейной геомеханики. // ФТПРПИ. -Ч. I. - 1999. - № 3; Ч. II. - 2000. - № 4.- С. 3-19.

2. Опарин В.Н., Балмашева Е.Г., Востриков В.И. О динамическом поведении напряженных блочных сред. Ч. 2. // ФТПРПИ. - 2001. - № 5. - С. 3-22.

3. Опарин В. Н., Юшкин В. Ф., Акинин А. А., Балмашнова Е. Г. О новой шкале структурно-иерархических представлений как паспортной характеристике объектов геосреды. // ФТПРПИ. - 1998. - № 5. - С. 3-24.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966 - 707 с.

5. Грицко Г. И., Власенко Б. В. Прогнозирование и расчет проявлений горного давления. - Новосибирск: Наука. 1980 - 214 с.

6. Миренков В. Е., Шутов В. А. Аналитические вопросы механики разрушения. - Новосибирск: Изд-во НАРХИ. 1996 - 217 с.

7. Юшкин В. Ф., Опарин В. Н., Жигалкин В. М. и др. Особенности разрушения одномерной модели блочных сред при длительном одноосном нагружении. // ФТПРПИ. - 2002. -№ 4. - С. 3-24.

© В. Е. Миренков, А. А. Красновский, 2015