CC BY
8
УДК 622:539.3
ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ТИПА ФРЕДГОЛЬМА ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕНИЙ
ОКОЛО ПОЛИГОНАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ ВЫРАБОТОК
Валерий Егорович Миренков
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru
Валерий Алексеевич Шутов
Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусства, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 38, доктор технических наук, профессор, тел. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru
Предлагается метод решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности выработки с сечением в виде выпуклого многоугольника, по контуру которого заданы напряжения и (или) смещения. Метод основан на решении трех основных задач теории упругости для полуплоскости, единообразен для любой полигональной формы контура выработки и сводит проблему к решению системы интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода.
Ключевые слова: метод, полуплоскость, уравнения, выработка, граничные условия, напряжения, смещения.
DERIVATION OF THE FREDHOLM-TYPE INTEGRAL EQUATIONS TO CALCULATE STRESSES IN ROCKS AROUND POLYGONAL CROSS-SECTION EXCAVATIONS
Valery E. Mirenkov
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Principal Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru
Valery A. Shutov
Novosibirsk State Academy of Architecture and Art, 630091, Russia, Novosibirsk, 38 Krasny prospect, Doctor of Engineering Sciences, Professor, tel. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru
The authors propose a method to solve problems on stress-strain state of rocks around a convex polygonal cross-section excavation with stresses and (or) displacements assigned at its perimeter. The method is based on solution of three principal elasticity problems for half-plane, is uniform for any polygonal perimeter of an excavation and reduces the problem solution to a system of the Fredholm-type integral equations of the second kind.
Key words: method, half-plane, equations, excavation, boundary conditions, stresses, displacements.
Одним из наиболее перспективных методов решения проблемы расчета напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки является
процесс сведения ее к интегральным уравнениям [1 -4]. Это связано с тем, что численной реализацией интегральных уравнений занимаются многие научные школы и представляется возможность использования последних достижений в этой области для реализации полученных уравнений. Наиболее сложная проблема возникает при выводе интегральных уравнений для областей с угловыми точками, т.е. выработок с полигональным поперечным сечением. Существующие численные методы решения таких задач не обеспечивают необходимую точность и требуют доказательства существования, единственности и непрерывной зависимости от входных данных [5]. Этими же недостатками обладают и интегральные уравнения, полученные при априорных предположениях на процесс деформирования и сводящиеся в результате к уравнениям типа Фредгольма первого рода [1,2]. В таком случае необходима регуляризация уравнений, т.е. сведения их к уравнениям типа Фредгольма второго рода.
Рассмотрим однородную изотропную плоскость с отверстием в виде произвольного выпуклого п-угольника, по контуру которого заданы произвольные нормальные и касательные напряжения и (или) смещения (рис. 1). Продолжая каждую из сторон п-угольника до бесконечности, выделим п полуплоскостей. На участке к-ой (к=1,2,.. ,,п) полуплоскости, совпадающей с к-ой стороной многоугольника, действуют заданные напряжения (для определенности) р0, ц0, а на остальных участках границы этой полу-плоскости - возникшие в результате деформи-рования рассматриваемой плоскости искомые напряжения рк, цк («±» относят соответственно к положительным и отрицательным значениям абсциссы хк локальной системы координат хк, ук, связанной с серединой данной стороны длиной 2ак (рис.1)).
Рис. 1. Расчетная схема плоскости с полигональной выработкой
Допустим, что функции р+, ч+ известны. Тогда напряженное состояние в полуплоскости (к) определяется выражениями
ахк = 2 Яв Фк (2к ) — Яв[ Ф'к (2к ) + Чк (2к )],
СТ ук = 2 Яв Фк(2к) + Яв[2к Ф'к(2к) + ^к(2к)] , (1)
Здесь [1]
Xхук =- 1т[2кФк(2) + ^к(2к)] ,
Ф к(2к) = -
1
2т
+ \ „+
/Р— -' •Ч— (,) с,+
—а
, — 2 г
+ , р+(,)—' • д+(,) л+а р0 О)—' • дк л
, — 2
к
, — 2 г
(2)
Ч(2к) =
2т'
а р—+' • л, +а р++' • д+ л+ар+' •л
—а
, — 2
к
—а
, — 2Ъ
—а
, —
— Ф к — 2к Ф к
Формулы перехода от одной системы координат, связанной с полуплоскостью (к), к другой, связанной с полуплоскостью (к+1), имеют вид [1]
2к+1 = (2к — 2кк) • вхР(' 'а к—1Л
(3)
где 70к - положение начала координат системы 7^ относительно системы 7к; а к+1 - угол поворота системы 7^ относительно системы 7к.
Переходя последовательно от полуплоскости (к) к полуплоскости (к+1) (к=1,2,...п), будем получать цепочку соотношений:
р+ = ахк+1 • (Р++1 'Ч++1 'Рк 'Чк ) • *'п1 ак+1 + а ук+1 •(Рк+1' Ч++1 'Рк 'Як ) • о2 а к+1 +
+ Ххук+1 • (Рк+1' Як+1'Р0 'Чк ) • 2ак+1 ,
+ „+ „о „о
Як = [а хк+1 •(Рк+1' Чк+1' Рк+1' Чк+1) — а ук+1 • (Рк+1' Чк+1' Рк+1' 4+1)] • я'п 2а к+1 +
о „о
ук+1
+ Х хук+1 • (Рк+1' Чк+1' Рк+1' Чк+1) • С™ 2а к+1,
(4)
Рк+1 =а хк • (Рк >Чк 'Рк 'Чк ) • з™1 а к+1 + а ук • (Рк >Чк 'Рк'Чк ) • С032 а к+1 —
— Х хук +1 • (Рк 'Чк 'Рк 'Чк ) • 2а к+15
Ч—+1 = [ а ук • (Рк 'Чк 'Рк'Чк ) —а хк • (Р+ 'Ч+'Рк' Чк ) • ак+1 +
+ _+ „о 0 1 „.„2
'ук
+ Х хук • (Рк 'Чк'Рк 'Чк ) • МП 2а к+15
—а
—а
1
причем
Рп+1 = р1 - Чп+1 = Я1 •
Таким образом, выписывая решение (2) для каждой полуплоскости последовательно и вычисляя при этом напряженное состояние (1.1), после подстановки в (4) получим систему 4п интегральных уравнений, связывающую искомые Р+(к=1,2...п) и заданные граничные функции р0. Знание Р+ (к=1,2...п) полностью решает задачу определения напряженно-деформированного состояния в плоскости с отверстием.
Рассмотренный выше подход дает хорошие результаты в случае некоторой симметрии отверстия и нагрузок. Наибольшую простоту имеем в случае правильных п-угольника и нагрузок, вызывающих симметричное или антисимметричное поле напряжений.
Рассмотрим частную задачу сформулированного выше класса, т.е. представим систему (4) в развернутом виде для случая плоскости с прямоугольным отверстием, на параллельных сторонах которого приложены произвольные, но попарно одинаковые усилия (рис. 2).
Рис. 2. Расчетная схема ослабления прямоугольного сечения
Согласно симметрии и в соответствии с обозначениями, указанными на рис. 1, 2, имеем
Р- = Р+ = Р2 (х2 - 0) = Р2 (а1 - а2 - х1 - 0) =
= стх1(а1 -У1) = °х1(а1 ,х2 + а2) = °х1(а1 ,а1 - Х1)>
- Ч-= ч2>=-Я2 (Х2, 0) = -Я2 (а1 - а2 - Х1, 0) = = Т1(а1 ,у1) = Т1(а1 ,х2 + а2 ) = 1\(а\ ,а1 - х1) ,
Р- = Р1+ = Р1(х1- 0) = х2 (-а2-У2 ) = х2 (-а2 ,а1 - х1) , - Я- = Я+ = Я1(х0- 0) = 12 (-а2-У2 ) = 12 (-а2 ,а1 - х1) •
205
Тогда система (4) для определения четырех неизвестных функций запишется в виде
Рх(х1, °) = а х 2 (-а2 ,а1- х1 X Я\(х\,0) = -12 (-а2 ,а\- х1Л (5)
Р2(а\ -а2 -х1, 0) = аХ\(ах,а1 - х1), - д2(а1 - а2- х1,0) = 1х(ах,ах - хх). Для полуплоскости (1), учитывая (2), (5), (1) и (3), получим
2
Р2(а1 -а2- х1,0) = ах1(а1 ,а1 - х1) =--
%
(а1 -х1)
| (И-а1)■ К-1 ■ pх(t)dt +
И >а
+ |(t-a1) ■ К11 ■ Р0 (t)dt
-а
- |(t-a1 / ■ К11 ■ д^И^И-
И > а
- | (И - а1)2 ■ К11 ■ д0 (И
(6)
- д2(а1 -а2 - х1,0) = 11(а1 ,а1 - х1) =
2( х1 -а1)
%
(х1 -а1 )■
| Ки ■ Р^^ +
И >а
+ | К11 ■ р0 dt
- | (И-а1) ■ К11 ■ д^И^И + | (И-а1) ■ К-1 ■ д0 (И^И
И > а
-а
Для полуплоскости (2)
2
Р1(х1,0) = ах2 (-а2 ,а1 -х1) =--
%
+ | (И + а2 ) ■ К22 ■ Р0 dt
(а1- х1)
!(И + а2 ) ■ К22 ■ Р2 (И^И +
И > а
|(И + а2 / ■ К22 ■ Я2 ^
И > а
](И + а2/ ■ К-2 ■ д2dt\
(7)
Я1(х1,0) = 12 (-а2 а -х1) =
2( х1 -а1)
%
(х1 -а1 )■
| К-2 ■ Р2 (И^И +
И >а
+ ] К -2 ■ Р0 dt
-а
+ !(И + а2 / ■ К22 ■ Я2dt + | (И + а2 / ■ К-2 ■ д^И
И > а
-а
а
-а
а
>
а
• <
а
а
-а
а
>
В (6), (7) использованы обозначения
к± =-11а— , X=12.
[(X ± ах)2 + (хх - ах)2]2 Перепишем (1.6) и (1.7) в виде
ж ж
Р2 (Х1) - |К1 ■ Р\(- |К2 ■ Я1(= /1(Х1) ,
а а
ж ж
Я2 (Х1) - IКз ■ Р1(Х)Ш - | к4 ■ д1(г)Л = /2 (Х1(8)
з ■ |к 4
а а
ж ж
— \ V. . Г). // —
Р1(х1IК5 ■ Р2 (Х)Ж- IК6 ■ Я2 = /з (х1) ,
а а
ж ж
Я1(х1)- IК7 ■ Р2 (1)Ж- IК8 ■ Я2 (*)Ж = /4 (х1) ,
а а
где
К1(г,х1) = (х1 -а1) ■ [(X + а1) ■ КХ1 + (X - а1) ■ К1 1 ] , К2(Х,х1) = [(X + а1 / ■ КЙ + (X- а1 )2 ■ Кп], К3(X,х1) = (хх-ах)2 ■ [КЙ1 -К-1 ], К4 (X,x1) = (х1 - а1) ■ [(X + а1) ■ К^1 -(X - а1) ■ К{1 ], К5 ) = (х1 -а1) ■ [(X + а2 ) ■ К^ + (X-a2 ) ■ К2г ] , Кб Ох ) = [(X + а2 )2 ■ КЙ2 + 0-а2 )2 ■ К-2 ], К7 ) = (хх -ах)2 ■ [К - К], К8 ) = (х1 -а1) ■ [(X + а2 ) ■ К22 - (X - а2 ) ■ К-2 ],
2 а 2 а
/х(хх) = - ■ (хх-ах) ■ 10-ах) ■ К-1 ■ р? (X)dX + - ■ I (X-al / ■ Ки ■ я? ^^
л -а л ^
2 а 2 а
/2 (х1) = - 2 ■ (х1 -а1 / ■ I К\1 ■ Р?(X)dX- 2 ■ (х1 -а1) ■ I (t-aх) ■ К-1 ■ ,
л -а л -а
2 а 2 а
/3(х1) = 2 ■ (х1 -ах) ■ I(X + а2) ■ К-2 ■ Р?^^ + 2 ■ I (X + а2)2 ■ Кп ■ q0(X)dX,
Л -а л -а
2 а 2 а
/4(х1) = 2 ■ (х1 -ах/ ■ IК22 ■ р2+-(х1 -а1)■ I (X + а2)■ Кп ■ Я?.
л -а л -а
Для случая квадратного отверстия и нагрузок, вызывающих симметричное деформирование, из (8) следует, что первое и второе уравнения тождественны соответственно третьему и четвертому и для нахождения р(х) = рх (х) = р2 (х), д(х) = ^ (х) = (х) имеем, таким образом, два уравнения. Переходя к безразмерным координатам (величины, имеющие размерность длины, отнесены к половине стороны квадрата) и производя замену переменных
1 1 йх
х = —, ^ = -, М =—-
У х х2
окончательно получим
1 1
р(у)~|К1 ■ р(х)йх -1к2 ■ д(х)йх = /1(У), 0 0
1 1
д(у) -1Кз ■ д(х)йх -$ К4 ■ р(х)йх = /2 (у), (9)
0 0
где
К1 = у3 ■ (1-у) +1/ ■ [у2 ■ (х +1)1 + х 2 ■ (1-у)1 ] - + + (1-х)2 ■ [у2 ■ (1-х)2 + (1-у)2 ■х2]~2 }, К2 = у4 1 + х)3 ■ [у2 ■ (1 + х)2 +х2 ■ (1-у)2]~2 + + (1-х)3 ■ [у2 ■ (1-х)2 + х2(1-у)2 ■х2]-2}, к3 = у3 ■ (1-у) ^ 1-х)2 ■ [у2 ■ (1-х)2 +х2 ■ (1-у)2 ]~2--(1 + х)2 ■ [у2 ■ (1 + х)2 + х2(1-у)2]- }, К 4 = у2 ■ (1-у;2 ■х1-х)3 ■ [у2 ■ (1-х)2 +х 2 ■ (1-у)2 ]■ -(1 + х) ■ [у2 ■ (1 + х)2 + х2(1-у;2]-2},
/1(у), /2 (у) получаются из (8) после вычисления соответствующих интегралов с заменой х на у-1.
Если же по контуру квадратного отверстия действуют постоянные нормальные усилия (касательные х = 0), то это, по-существу, эквивалентно задаче для плоскости с квадратным отверстием сжимаемой (растягиваемой) на бесконечности постоянными, вообще говоря, различными усилиями ау = к и
ах = к2. Эта задача разбивается на две ау = кх и стх = к2, ау = 0, каждая из которых получается как сумма (разность), при соответствующем выборе к1 и к2, следующих двух задач.
Задача 1. По контуру отверстия приложены постоянные нормальные усилия интенсивностью p0 (x) = 1,q0 (x) = 0. Тогда в системе (9) нужно положить
f = -У ■ ( 1- У) ■ [4У2 + (1- У)2 ]- + arctg{2y ■ (1- y)-},
fi = -y2 ■ [4y2 + ( 1- y)2 ]-.
Задача 2. По контуру отверстия действуют в двух взаимно перпендикулярных направлениях сжимающие и растягивающие усилия. Тогда в силу антисимметричности напряженного состояния относительно продолжений диагоналей квадрата система для определения q(x) и p(x) будет
p(x) = -g x(1,1- x), q(x) = - т( 1,1- x). (10)
В развернутом виде система (1.10) совпадает с (1.9), если перед p(y) и q(y) поставить знак минус.
Таким образом, соотношения (4) и частные случаи (3), (9) представляют систему уравнений типа Фредгольма и могут быть решены одним из известных приближенных методов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.
2. Боджи Д.Б. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора // Прикладная механика. Американское общество инженеров механиков. - 1971.- Серия Е. - т.38. - № 2. - С. 87-96.
3. Шутов А.В., Красновский А.А., Миренков В.Е. Моделирование контактных условий при деформировании образцов пород // ФТПРПИ. - 2004. - № 2. - С. 25-32.
4. Tien Y.M., Kuo M.C. Analisis of singular stress around a corner tip incenseon. International journal of rock mechanics.- 2001.- т. 38. - P. 399-412.
5. Bahareh Vazhbakht, Attila M Zsaki, A finite element mesh optimization method incorporating geologic features for stress analijsis of underground excavations. Int J Rock Mech Min Sci 2013; 59: 111-119.
© В. Е. Миренков, В. А. Шутов, 2016
