CC BY
15
УДК 622:539.3
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОКОЛО ОСЛАБЛЕНИЙ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
Валерий Егорович Миренков
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru
Валерий Алексеевич Шутов
Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусства, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 38, доктор технических наук, профессор, тел. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru
Рассматривается расчет напряженного состояния в окрестности выработок полигонального сечения. Задачи решаются в дополнительных напряжениях для новых систем интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода. Исследуются три вида контуров выработок (треугольного, квадратного и шестиугольного). Приведенные результаты расчетов компонент напряжений обсуждаются.
Ключевые слова: плоскость, выработка, полигональный контур, граничные условия, расчет, напряжения.
STRESS STATE OF ROCKS AROUND WEAKNESS ZONES WITH ANGULAR POINTS
Valery E. Mirenkov
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Principal Researcher, Rock Mechanics Research Laboratory, tel. (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru
Valery A. Shutov
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Engineering Sciences, Professor, tel. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru
The scope of the calculation encompasses stresses in rocks around multiangular cross-section excavations. The authors solve the problems in terms of additional stresses for new systems of the Fredholm-type integral equations of the second kind. The study includes three variants of cross sections (triangular, square and hexagonal). The stress calculation results are discussed.
Key words: plane, excavation, multiangular perimeter, boundary conditions, calculation, stresses.
В практике горного дела встречаются выработки квадратного, прямоугольного и треугольного поперечного сечения. Вмещающие такие выработки породы могут отличаться разнообразием, учет которого существенно усложняет получение решения. Во все случаях моделирования пород результаты обычно сравниваются с простейшим случаем изотропных для оценки влияния анизотропии на напряженное состояние в окрестности выработки. Важное значение
при рассмотрении таких задач связано с описанием процесса разрушения, представляемом в более чистом виде без учета влияния анизотропии. Симметрия задачи облегчает получение аналитического решения, но практическое разрушение происходит с уменьшением ее на первом же шаге.
Расчет напряженно-деформированного состояния около полостей в массиве пород в работе сводится к решению дополнительной задачи используя систему интегральных уравнений тип Фредгольма второго рода из [1]. Сжимающие напряжения на бесконечности считаются заданными и пересчитываются в граничные условия на контуре полигональной выработки. В отличие от известных работ по расчету деформирования в окрестности выработки методом конечных элементов [2-4], в статье точность вычислений определяется точностью вычисления интегралов, для которых разработаны методы решения [5].
На рис. 1, 2 представлены изолинии величин ау и т^ при формулировке
граничных условий на нижней стороне контура квадратной полости соответственно в виде:
1) ап = 10, т„ = 0
Го.
2) ап =
тп = о;
(1)
-1 < х < 0.5 . 0.5 < х < 1. у = -1. 20. - 0.5 < х < 0.5 . у = -1
(2)
3) ап
0. - 0.5 < х < 0.5 . у = -1 20. -1 < х <-0.5 . 0.5 < х < 1. у = -1.
Тп = 0.
(3)
Рис. 1. Изолинии напряжений в окрестности квадратного ослабления
Рис. 2. Поля
Т5
и
Я \s\yj\ - — у ■? 2 ^л^ гп
напряжений
На остальных сторонах заданы аналогичные (1)-(4) граничные условия. Компоненты ахх получаются поворотом ау на 900. Видно, что при равномерной
нагрузке (рис. 1) на контуре квадратной полости концентрация ау наблюдается
в окрестности нижней и верхней сторон.
Из рис. 3 видно, что при формулировке граничных условий в виде (3) а у
концентрируется также, как и в первом случае, около середин нижней и верхней сторон и в углах квадратной полости.
Рис. 3. Напряжения в окрестности квадратной полости
В то же время наблюдается рост значений а у в окрестности середин боковых сторон. Тем не менее, качественно ау в первом и во втором случаях подобны. Изолинии же т ^ качественно отличаются друг от друга при задании граничных условий в виде (1) и (2). Концентрация т ^ в последнем случае наблюдается на некотором расстоянии от углов в симметричных точках.
На рис. 3 приведены изолинии значений ау и т^ для случая формулировки граничных условий в виде (3). Расположение областей растяжения и сжатия для компоненты а у качественно подобно предыдущим случаям, однако имеются существенные количественные отличия, связанные с числом экстремальных точек ау и их положением относительно контура ослабления.
Сказанное имеет место и для компоненты т ^.
В рассмотренных трех случаях формулировки граничных условий для ослабления квадратного сечения, кроме иллюстрации возможности численной реализации полученных систем уравнений, исследовался вопрос влияния места положения внешних усилий на стороне контура отверстия при неизменном главном векторе. Очевидно, что уменьшив вдвое значения напряжений на рис. 2, 3 и сложив их, получим результат, приведенный на рис. 1. Можно утверждать, при прочих равных условиях, что наиболее устойчивая ситуация наблюдается при равномерном распределении по всей стороне квадратного отверстия и наименее благоприятная - при размещении того же главного вектора, но на участках, примыкающих к вершинам. Отсюда следует вывод о более рациональном месте расположения подкрепления, что соответствует равномерно распределенному отпору по всему контуру, конечно, с позиций рассмотрения ау, т^.
Распределение напряжений а у и т ^ для прямоугольной полости с соотношением сторон 1:10 и граничными условиями ап = 10. тп = 0, представлено на рис. 4. Можно отметить существенное увеличение а в окрестности короткой стороны по сравнению со случаем квадратной полости и уменьшение т ^ соответственно.
Приведем для сравнения результаты расчетов для случаев равносторонних треугольного, прямоугольного и шестиугольного отверстий.
В предположении, что задачи являются дополнительными в качестве нагрузки принято распределенное по контуру отверстия нормальное давление постоянной интенсивности, то есть граничные условия имеют вид для каждой
а п = 10. т п = 0. |х| < а. а = 1 (4)
из сторон многоугольной полости. Наиболее информативными являются эпюры напряжений на линии, являющейся продолжением любой из сторон полигональ ного отверстия. С одной стороны, зная все компоненты напряжений на границе полуплоскости, ограниченной этой линией, легко продолжить их в полуплос-
кость. С другой стороны, во многих прикладных задачах важно знать напряжения на контуре отверстия, чтобы, например, судить о возможности разрушения.
Рис. 4. Распределение напряжений около прямоугольной полости
0 а -а о а
Рис. 5.Ослабление плоскости отверстиями
Проведенные расчеты по линии границы одной из образующих отверстие полуплоскостей в виде эпюр нормальных р(х), касательных д(х) и ах напряжений соответственно для треугольной, квадратной и шестиугольной полостей. На рис. 6, 7 приведены результаты расчетов только для треугольного и и шестиугольного контуров выработки.
Рис.6. Распределение р, д, а х (треугольное отверстие)
Как видим, концентрация напряжений р(х) с ростом числа сторон многоугольника падает. В то же время касательные напряжения по модулю наоборот возрастает, а ах в середине стороны отверстия из положительного переходит в отрицательное.
Рассмотрены поля изолиний напряжений в прилегающей к отверстию полуплоскости с границей, совпадающей с любой из линий контура многоугольника соответственно для треугольной, квадратной и шестиугольной полостей. На рис. 8 приведены поля изолиний напряжений для случая шестиугольного контура выработки. Качественно картины изолиний для всех трех видов отверстий совпадают. Наибольшие концентрации напряжений имеют место для треугольного отверстия, а наименьшие - для шестиугольного. Характерным, и это естественно, является быстрое затухание напряжений при удалении от контура отверстия. Поле напряжений...
Хорошо известно, что проблема получения регулярных уравнений для решения задач теории упругости всегда интересовала исследователей. Выше получены регулярные всюду, за исключением угловых точек контура полости, системы уравнений, которые позволяют сразу, на первом шаге численной реализации, получать компоненты напряжений, в частности, опорное давление впереди выработки.
Авторы понимают, что угловые точки представляют, образно говоря, «ложку дегтя в бочке меда». Действительно, в наиболее интересных точках, а именно: точках, отвечающих углам полости, как и в классике, получаем разрывность и неопределенность решения (в общем случае кусочно-однородных областей, составляющих углы полости, решение может быть не только неопределенно (бесконечно), но и не существовать предела при стремлении к угловой точке, как, например, в случае вдавливания со сцеплением жесткого штампа в полуплоскость). Этот вопрос не тривиальный, но, к сожалению, с таким обстоятельством согласны, кажется, все.
Мы считаем необходимым остановиться на этом вопросе хотя бы декларативно в силу того, что с точки зрения, господствующей в механике деформируемого твердого тела, стандартное представление о бесконечных (неопределенных) напряжениях выгладит универсальным и безупречным, так что специалисты в этих областях не испытывают никаких внутренних побуждений к
пересмотру этой кардинальной для них концепции. В то же время конечность напряжений не является какой-то тонкостью, значение которой ощутимо лишь в каких-либо экстремальных условиях; наоборот, это - грубый факт, игнорирование которого приводит к качественно неверным, нелепым заключениям уже в простейших ситуациях.
Рис. 8. Изолинии напряжений (шестиугольное отверстие)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Миренков В.А., Шутов В.А. Вывод интегральных уравнений типа Фредгольма для расчета напряжений около полигональных сечений выработок (См. данный сборник).
2. Zhenchang Guan, Tao Deng, Hongwei Huang, Yujing Jiang. Back analysis technique for mountain tunneling based on the complex variable solution. Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. 2013; 59: 15-21.
3. Серяков В.М. Математическое моделирование массива горных пород при применении технологий с закладкой выработанного пространства/ ФТПРПИ.-№5.-С.51-60.
4. Bahareh Vazhbakht, Attila M Zsaki, A finite element mesh optimization method incorporating geologic features for stress analijsis of underground excavations. Int J Rock Mech Min Sci 2013; 59: 111-119.
5. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей. - Новосибирск: Наука, 1967. - 402 с.
© В. Е. Миренков, В. А. Шутов, 2016
