Деформирование блоков пород с трещиной Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 539.3:622.831

ДЕФОРМИРОВАНИЕ БЛОКОВ ПОРОД С ТРЕЩИНОЙ

Валерий Егорович Миренков

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор технических наук, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Андрей Анатольевич Красновский

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: visanta@ngs.ru

Получена система сингулярных интегральных уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений в блоке пород, нагруженном расклинивающими нормальными усилиями. Приведено уравнение, определяющее нормальные напряжения на продолжении разреза в зависимости от компонент смещений контура блока. Представлена численная реализация этих уравнений. Проведен анализ деформированного и напряженного состояния блоков.

Ключевые слова: уравнение, трещина, напряжения, разрез, породный блок, упругость, решение.

DEFORMATION OF ROCK BLOCKS WITH CRACK Valery E. Mirenkov

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Eng, Prof, Principal Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)217-06-93, E-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Andrey A. Krasnovsky

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Ph. D. Phys-Math, Senior Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)217-06-93, e-mail: visanta@ngs.ru

The authors have derived a set of integral equations connecting boundary values of stresses and strains in a rock block exposed to normal wedging effort. The equation defining normal stresses on the extension of the cut depending on the components of displacement of the rock block perimeter is presented. The equations are implemented numerically. The stress-strain state of rock blocks is analyzed.

Key words: equation, crack, stress, cut, rock block, elasticity, solution.

Массив горных пород представляет набор блоков, отличающихся размерами и геометрией. При наличии трещин в блоках пород, нагруженных произвольными усилиями, как в натурных условиях, так и в лабораторных экспериментах, необходимо определить смещения контура и исследовать напряженное

состояние. Известно [1], что изучение развития трещины в пластинах конечных размеров представляет огромный практический интерес, но для таких случаев не существует замкнутых форм решений. В случае деформационного критерия необходимо вычислить раскрытие трещин, так как экспериментально их определяют только в доступных точках. Очень сложны такие расчеты в случае нагружения, имеющего место в массиве за счет поступательного и вращательного движения геоблоков [2], учета механизма перехода объема пород из состояния уплотнения в состояние разуплотнения по разным направлениям [3]. В связи

с этим крайне важно развитие направления технологического использования нагружения тел с искусственными трещинами. Проведенные в работе исследования предполагают в дальнейшем использование метода суперпозиции для произвольного нагружения блоков, т. е. учета их взаимодействия с другими, в рамках контактной задачи Герца [4 - 5].

В [1, 6] утверждается, что коэффициент интенсивности напряжений получается из асимптотического разложения упругого решения при стремлении к вершине разреза, в то же время в [6] читаем "... модель линейной механики разрушения при г ^ 0 "не работает". Поэтому определяющим всегда является уравнение для вычисления нормальных напряжений на продолжении разреза не связанное с асимптотическим анализом.

Рассмотрим деформирование блока пород с трещиной, схема нагружения которого представлена на рис. 1. Учитывая геометрическую и силовую симметрию, будем рассматривать половину блока с контуром Г = Ц + Г2 + Г3 + Г4, для которого сформулируем граничные условия в виде

на

< = 0,

Г1 + Г2 +Г3:

Ги = 0.

на Г.

<п = <0( У), < = 0, и = 0,

на на на

Г4 для И1 < у < к, Г4 для к2 < у < к1, Г4 для 0 < у < к2,

(1)

где <гп, тп — нормальные и касательные напряжения; <0 (у) — заданные, расклинивающие трещину усилия; и — горизонтальная компонента смещений.

Система уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений, приведена в [1].

Рис. 1. Расчетная схема расклинивания блока пород с трещиной

Учитывая, что

на Г: t = ^, t0 = х, на Г2: t = а + is, t0 = а + 1у, на Г3: t = s + Ш, 10 = х + Ш, на Г4: t = -а + is, 10 = -а + iy

из (2) получаем ее численную реализацию аналогично [2]. Все линейные размеры отнесены к а, а величины, имеющие размерность напряжений, к а0. Расчеты проводились при а = 1, к = 4, \ = 35, к = 2.077, / = 3.846 • 104 для случаев 1) к2 = 3; 2) к2 = 2; 3) к2 = 1; 4) к2 = 0.5. (4)

На рис. 2 представлены результаты расчета компонент смещений и значений ^ отвечающих соответственно вариантам (8), для границы Г, развернутой в прямую линию так, что Г соответствуют точки от 1 до 11, Г2 — от 11 до 51, Г -от 51 до 61 и Г4 — от 61 до 141. При соотношении к / а = 4 смещения и для Г2 и Г4 близки к линейным, а для Г — к жесткому сцеплению; компонента же V для Г1 и Г3 практически линейна, а для Г2 и Г4 (на разрезе) близки к константе, на продолжении разреза (часть Г4) наблюдается монотонное убывание до нуля.

Компонента /(у), характеризующая главный вектор внешних усилий, приложенных к Г, в любой точке у определяет, согласно (3), нормальное напряжение

^ (У) = ^х (У) = . (5)

Численное дифференцирование определяет для случаев (4) значения

У0 = 1.8; 1.15; 0.55; 0.3, (6)

в которых ах (у) обращается в нуль, разделяя область растягивающих напряжений в окрестности вершины разреза от области сжимающих при у > у0.

Сравнение четырех значений /(у) на рис. 2 показывает, что увеличение длины разреза при прочих равных условиях приводит к тому, что равнодействующая растягивающих напряжений во много раз больше по модулю главного вектора внешних усилий, т. е.

у0 к1

(у) >а!&0Ф , (7)

к2 к

где а — любое число большее 1 и зависящее от геометрии. Неравенство (7) сохраняется при любой геометрии образца с разрезом.

На рис. 3 приведены результаты расчета компонент смещений и значений / на Г для случаев, рассмотренных в (4), с уменьшенным в четыре раза значением а, т. е. приближение случая изгиба балки усилиями а0 (у). Наблюдается качественное и количественное изменение напряженно-деформированного состояния. Действительно, если смещения и во всех точках грани Г остаются посто-

янными, существенно увеличиваясь по сравнению с данными рис. 2, то смещения граней Г2 и Г4 становятся нелинейными. Это же относится и к компоненте смещений V.

130

2¡и и 80

30 -20

/ /4 / *Ч ' ч

/ / / 3 ч *ч * ч 'ч

/ г в* 2 — ^ - ^ * ч

1--^ * 1

N

1 21 41 61 81 101 121 141

10

-30 -50

■70

1 —У - - : - - - —

• \ 7

1 ч \ 3 /

\ 1 ! 1

1 ^. — 4 1

1 21 41 61 81 101 121 141

1

N

1т (У)

1

ч

1 V , Г

1 3 /1 ' ;

V' 4

N

1 21 41 61 81 101 121 141 Рис. 2. Значения смещений и усилий на Г

590

2.¡и и 390

190

- 10

40 2/лу

10

! 4 / / \ \ ч

/ / /У / / ч ч ч ч ч \ ч ч Ч

ш , — . / / // г / / . - *'' 1 ч ч ч ч ' ч ч Ч ^ * N

/V

1 21 41 61 81 101 121 141

-60

■ ~. __

¿3 ч ч ч _ ^ ч.

"■ч N 4 ,

N N >ч • . ^ ч-Ь 4 'ч. 1

N

(1 21 41 61 81 101 121 141

1т (/) - I

и ;

2 / V ?

V 4

N

1 21 41 61 81 101 121 141

Рис. 3. Граничные значения смещений и усилий при h / a = 16

Наибольшие изменения наблюдаются для значений f представленных на рис. 2, 3. Область растягивающих напряжений становится меньше и смещается к вершине разреза. Это же относится и к области сжимающих напряжений при увеличивающихся значениях соответствующих главных векторов.

Аналогично (6) имеем

y0 = 2.8; 1.85; 0.85; 0.3. (8)

Отвечающие координатам (6) соответствующие значения f = - 0.22; - 0.65; - 1.91; - 3.91, а координатам (8) — f = - 0.7; - 1.62; - 2.52; - 4.06.

Этот факт очень важен, так как позволяет при любом виде контроля (акустическая, электромагнитная эмиссии и т. п.) за состоянием образца или массива пород констатировать, что увеличение напряжений и смещение равнодействующей их к обнажению является определяющим при подготовке динамического события. Другими словами, при неразрушающем контроле за напряженно-деформированным состоянием в натурных условиях необходимо фиксировать и координаты максимальных напряжений, а не только их рост. Полученные данные позволяют утверждать, что для этого вида нагружения и материала образцов величина разреза hh2 > 3.5 является предельной, не зависящей от ширины пластины, когда трещина, начав движение, разделит блок на две части без дополнительного увеличения подводимой энергии.

Таким образом, получена система сингулярных интегральных уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений в блоке пород, нагруженном расклинивающими нормальными усилиями. Приведено уравнение, определяющее нормальные напряжения на продолжении разреза в зависимости от компонент смещений контура блока. Представлена численная реализация этих уравнений. Проведен анализ деформированного и напряженного состояния блоков.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980. - 358 с..

2. Опарин В.Н., Акинин А.А., Востриков В.И., Юшкин В.Ф. Нелинейные деформационно-волновые процессы в окрестности выработок. // ФТПРПИ. - 2003 - № 4. - С. 3-18.

3. Курленя М.В., Опарин В.Н. Скваженные геофизические методы диагностики и контроля напряженно-деформированного состояния массивов горных пород. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999 - С. 3-21.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966 - 707 с.

5. Шутов А.В., Красновский А.А., Миренков В.Е. моделирование контактных условий при деформировании образцов пород. // ФТПРПИ. - 2004. - № 2. - С. 25-32.

6. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989 - 126 с.

7. Миренков В.Е., Шутов В.А., Полуэктов В.А. Математическое моделирование пластин при сжатии. / Изв. вузов. Строительство. - 2004. - № 8. - С. 17-25.

© В. Е. Миренков, А. А. Красновский, 2015