CC BY
7
УДК 539.3
ДЕФОРМИРОВАНИЕ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ОБРАЗЦОВ ПОРОД С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ВСТАВКОЙ
Андрей Анатольевич Красновский
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат физико-математических наук, e-mail: visanta@ngs.ru
Получена система сингулярных интегральных уравнений, связывающая значения компонент напряжений и смещений на контуре образца пород с прямоугольной вставкой из другого материала и на границе раздела свойств пород. Представлена численная реализация этих уравнений. Проведен анализ полученных результатов.
Ключевые слова: упругость, решение, система уравнений, напряжения, смещения, образец пород.
DEFORMATION OF PIECEWISE-HOMOGENEOUS ROCK SPECIMENS WITH A RECTANGULAR INSERTION
Andrey A. Krasnovsky
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Ph. D., е-mail: visanta@ngs.ru
The singular integral equation set relates values of stress and shear components on the contour of a rock specimen with a rectangular insertion made of other material and at interface of rock properties. The numerical realization of these equations is presented with the analysis of obtained experimental results.
Key words: elasticity, solution, equation set, stress, shear, rock specimen.
Рассмотрение неоднородных тел имеет большое значение для современной механики горных пород. Знание напряженно-деформированного состояния необходимо при расчетах на прочность, для обеспечения которых необходимо иметь все компоненты напряжений и смещений на границе, что обеспечивает контроль за возможностью начала разрушения. Расчету упругих составных конструкций посвящено много публикаций [1-3]. Во всех таких исследованиях прослеживается основной метод решения. Это метод введения правдоподобных гипотез о возможности пренебречь теми или иными компонентами перемещений и напряжений или априори задать их вид. Главное отличие слоистых конструкций от однородных заключается в более сложной структуре напряженно-деформированного состояния. Заранее нельзя предсказать какими компонентами напряжений и смещений можно пренебречь, а какими - нет, что, в конечном счете определяется геометрией и расположением слоев, их механическими постоянными. Аналитические решения для таких конструкций до настоящего времени практически отсутствовали и на первое место вышли численные методы. Целью работы является применительно к упругим кусочно-однородным средам, рассмотреть одновременно и единообразно все три основные задачи и предложить методы их реализации. Полученные решения являются удобной основой для решения задач о деформировании слоистых образцов при произвольном нагружении.
Рассмотрим деформирование кусочно-однородного образца пород, схема которого представлена на рис. 1. Граничные условия, в качестве примера, сформулируем в
следующем виде:
<п = <0 = —1, и = 0 на гранях —Ъ < х < Ъ, у = —к и у = к, <п = 0, хп = 0 на гранях —к < у < к, х = —Ъ и х = Ъ.
(1)
Рис. 1. Схема кусочно-однородного образца пород
Учитывая геометрическую и силовую симметрию, будем рассматривать четверть образца пород (рис. 2) с контуром Г = Г + Г2
( Г = Гц + Г 12 + Г 13 + Г 14 + Г 15 + Г16, Г2 = Г21 + Г22 + Г23 + Г24 ), где Г11: а < х < Ъ, у = 0; Г12 : 0 < у < к, х = Ъ; Г13 : 0 < х < Ъ, у = к; Г14 : к1 < у < к, х = 0; Г15 : 0 < х < а, у = к1; Г16: 0 < у < к1, х = а; Г21: 0 < х < а, у = 0; Г22 : 0 < у < к1, х = а; Г23 : 0 < х < а, у = к1; Г24: 0 < у < к1, х = 0, для которого сформулируем граничные условия в виде:
У = 0, Хп = 0 на Г21 + Г11'
на Г24 + Г14' (2)
на Г12'
и = 0, хп = 0
<п = 0 > Хп = 0
<п = —1, и = 0
на Г
13
где <п, хп - нормальные и касательные напряжения; и , и - горизонтальная и вертикальная компоненты смещений.
Рис. 2. Расчетная схема четверти кусочно-однородного образца пород
В данной постановке образец пород состоит из двух частей, каждая из которых представляет собой односвязную область.
Система сингулярных интегральных уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений для произвольной односвязной области имеет вид [4]
г(Д0 + 2^Со) = -1 / *<'> + 2^> Ш, (3)
ш г
кШ—2цЖ) = - Jkf (t)12Mg(t)dt —1 J(f (t) + 2vg(tfd'-^f-
Ш p t tQ 7Л p t tQ
где k = 3 — 4v, ^ = 1 + v)] , v - коэффициент Пуассона, E - модуль Юн-
g = u + iu n n
га; ö ; u , u - касательные и нормальные компоненты смещении в точках
на Г;
t
f (t) = i J( Xn + iYn ) ds, (4)
Q
Xn , Yn - усилия на Г в направлении осеИ x и y ; t е Г, tQ - аффикс точки границы; черточка над функцией обозначает сопряженное значение; i - мнимая единица.
Предполагается, что на границе раздела свойств частей кусочно-однородного образца пород имеет место сцепление
^ -«.2 1 __2 i 2 i 2
an =an , Tn =Tn, U = u , U = U , (5)
т. е. непрерывность нормальных и касательных компонент напряжений и смещений, где верхний индекс соответствует номеру части образца пород.
На основании (3) - (5) получена система уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений на контуре четверти кусочно-однородного образца пород и границе раздела свойств, имеющая вид, аналогичный
[4]. Например, уравнение для и1 (х) на Г21:
-2 '12
4,2«? (хМ*2 -1)/I (х) +11^^
11 Я0 Б - х
+1 к1(а - х)[4,2«22 - (^2 -/ ]+ (^2 +1)'
(а - х )2 + б 2
йБ +
+ -
10 (к2 + 1)(б - х)/з2 + (М)[(^2 - 1)/з2 - 4,2
(б - х )2 + (к1)
йБ +
+— п
1 п
1 0 (*2 + 1>У/422 - х|4,2«42 - (к2 - 1)/2
" Б2 + х2
Н1
|2(а - х)[б2 - (а - х)2\/2 + 2,«\)- 4л(а - х)2(/222 + 2,2ь>*)^ +
б 2 + (а - х )2 Ц2
4(к1)2 (б - х /2 + 2,2 )+ 2(к1) (б - х)2 - (к1)2 / + 2,2«з2)
(б - х )2 + (к1)2 ^
+
+ 0 -4х 2 (/41 +
йБ +
к1
+ 2//«)+ 2х(х - б2 )(/422 + 2,2ь>4 (б 2 + х 212
Отнеся, все линейные размеры к а, а величины, имеющие размерность напряжений, к ад, получаем ее численную реализацию, результаты которой распространены по симметрии для всего образца пород (рис. 1) для наглядности. Расчеты проводились при к = 6, Ь = 3, V = 0.25, Е2 = ЗЕ1 = 3 • 104 для случаев:
1) к1 = 2; а = 1; 2) к1 = 1; а = 1; 3) к1 = 1; а = 2. (6)
На рис. 3 представлено деформирование периметра и границы раздела свойств образца пород для случаев (6) соответственно.
На рис. 4 приведены результаты расчета горизонтальной компоненты смещений и(у) боковой грани образца пород (-к < у < к, х = Ь (рис. 1)). Кривым 1, 2, 3 соответствуют случаи к1/ а = 2; к1/ а = 1; к1/ а = 0.5 соответственно.
2
о
2
и
з
а
0
0
а
>
Рис. 3. Деформирование периметра кусочно-однородного образца пород
при Е2 = ЗЕ1
и
и 104 0J
3 3 1
/3 3 зЧ
Рис. 4. Граничные значения горизонтальных смещений боковой грани — h < y < h, x = b
Таким образом, получена система сингулярных интегральных уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений на контуре образца пород с прямоугольной вставкой из другого материала и границе раздела свойств пород, в предположении симметрии, описанной выше. Представление решения в интегральной форме позволяет осуществить как изучение самого решения, так и организацию варьирования входящими параметрами задачи для достижения желаемых свойств решения. Приведена численная реализация этих уравнений. Полученные результаты являются важной основой для дальнейших исследований, связанных с постановкой, решением и анализом результатов более сложных задач о расчете напряженно-деформированного состояния кусочно-однородных образцов пород.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости - М.: Наука, 1966. - 706 с.
2. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках // Изв. АН СССР, ОТН - 1955. - №11. - С. 73-86.
3. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом. Изв. АН СССР. ОТН. - 1942- № 7. - С. 13-28.
4. Красновский А.А., Миренков В.Е. Восстановление граничных условий при сжатии пород // ФТПРПИ. - 2009. - № 4. - С. 14-22.
© А. А. Красновский, 2017
