CC BY
27
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КУСОЧНООДНОРОДНОГО ЦЕЛИКА
Андрей Анатольевич Красновский
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н. А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук, 630091, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, старший научный сотрудник лаборатории механики горных пород, кандидат физико-математических наук, тел. (383) 217-06-93, e-mail: [email protected]
Рассмотрен метод восстановления контактных условий и механических характеристик при нагружении составного целика, исключающий процесс регуляризации. Построен алгоритм последовательных приближений. Показано, что с ростом числа приближений различие между приближенным решением и точным уменьшается и решение колеблется около точного, т. е. процесс является сходящимся.
Ключевые слова: обратная задача, граничные условия, напряжения, регуляризация, интегральные уравнения.
DETERMINATION OF BOUNDARY CONDITIONS AND PHYSICAL PROPERTIES OF A PIECEWISE-HOMOGENEOUS PILLAR
Andrey A. Krasnovsky
Federal State-Funded Institution of Science N.A. Chinakal Institute of Mining Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 54 Krasny prospect, Novosibirsk 630091, Russia, Senior Researcher Laboratory for Rock Mechanics, PhD in Physics and Mathematics, Phone: (383) 217-06-93, е-mail: [email protected]
The article considers a method to reconstitute contact conditions and mechanical characteristics of loading a compound pillar without regard to regularization. The stepwise approximation algorithm has been constructed, and it is shown in the article that the discrepancy of an approximate solution and an exact solution decreases with the growing iteration number, and the solution oscillates about the exact solution; thus, the iterative process is convergent.
Key words: reverse problem, boundary conditions, stresses, regularizing, integral equations.
Как известно, решения обратных задач, относящихся к некорректным, могут не существовать, быть неединственными или неустойчивыми (малым изменениям наблюдаемых данных могут соответствовать большие изменения искомых), но для всех их общее требование - необходимость преодоления некорректности через регуляризацию [1] или же через получение точных уравнений, связывающих граничные значения компонент напряжений и смещений, описывающих процесс деформирования в рамках выбранной модели, исключающих регуляризацию.
В данной работе остановимся на методе восстановления контактных условий и механических характеристик у составного целика. Вне участков контакта граница доступна для экспериментального определения компонент смещений (переопределенные граничные условия). На рис. 1 приведена
расчетная схема кусочно-однородного целика. Границу верхнего слоя обозначим Г1 = Г„ + Г12 + Г13 + Г14 , а нижнего - Г 2 = Г 21 + Г 22 + Г 23 + Г 24 , так что первый индекс означает отношение к слою, а второй - к части его границы.
Рис. 1. Расчетная схема составного целика
Система сингулярных интегральных уравнений, связывающая граничные значения компонент напряжений и смещений для однородной пластины имеет вид [2]
/ (t) + 2 т (t) ^
Ш г t — 10
к/(й—2^8(0 = -1к/(t\—2т)<*—Ш/(/(t)+2т(t), (1)
Ш г t — 10 Ш г t — 10
где к = 3 — 4 V , л = Е [2(1 + V)]— 1, V - коэффициент Пуассона, Е -модуль Юнга; 8 = и + г и ; и , и - касательные и нормальные компоненты смещений в точках на Г ;
/(') = г | (Хп + Ип = Яе(/) + Пт (/) = /; + 1/2, (2)
0
І ( і с) + 2 ( і с) = — I
X п, Уп - усилия на Г в направлении осей х и у соответственно; t е Г
, 10 - аффикс точки границы; черточка над функцией обозначает сопряженное
значение; г - мнимая единица.
Кусочно-однородный целик, представленный на рис.1, сжимается по граням Г13 и Г 21 , а на боковых гранях граничные условия будут
7П = 0 , ?п = 0 на Г 22 + Г12 и Г14 + Г 24 . (3)
Здесь <7 п, тп - нормальные и касательные напряжения. Дополнительно к (3) будем предполагать известными из эксперимента
и = и 0( У ), и ( У ) на Г 22 + Г12 и Г14 + Г 24 , (4)
т. е. переопределенные граничные условия (3), (4) на боковых гранях и неизвестные на Г 21 и Г13 . Переходя к безразмерным величинам, отнесем имеющие размерность длины к ширине целика, а размерность напряжений к средним напряжениям на Г 21 и Г13 , получаемым при делении прижимающей
силы на площадь контакта с целиком.
Учитывая условия (3), (4) систему (1), разрешенную относительно функций напряжения (2), выпишем для нижней части целика только на Г 21 в виде (t = 5, 10 = х )
2к 2 /2,,(х) = —2^2 (к 2 — 1)и 2, (х) + ^ )(к- +1)и21 * +
Ш 0 5 — х
+ 1 [ ¡К1 — х)(2к2/221 + 2т (к2 — 1)и22 ) + 2М2 (к2 + ^ +
Ш[0 52 + (1 — х)2
+ 0 2^2 (к2 + № — х) и23 — К (2к2/231 + 2т (к2 — ^23 ) ^ +
] (5 — х)2 + К12
*2 У 2 -УУ^ ^23 '*^ 2^231 АУ У 2
1 (5 — х)2 + К12
+ | 2т (к2 + 1)5и24 — х(2к2Л41 + 2^2 (к2 — 1)и24 ) ¿Д +
К 5 + х J
+ I [ 0 45(1 — х)2 (/222 + 2^2 и22 ) — 2(1 — х)[(1 — х)2 — 52 ](/221 + 2ти22 ) ^ +
Ш[ 0 2 + (1 — х)2 ]2
+ °2К1 [(5 — х)2 — К12 ^231 + 2^2и23) + 4К12(5 — х)(/232 + 2^2и23) ^ +
1 [(5 — х)2 + К12 ]2
+ 0 2х(х 2 — 5 2)(/2,1 + 2ти 24 ) — 4х 2 5(/242 + 2^2и24) Л,
+ I [5 2+х 2 ]2
(5)
2К. X) = -1)и„( х) - ^Р2 +1)"21 ¿5 -
Р о 5 - X
- 1 Ь 2М; (к2 + 1)Ы;; - (1 - х)((к2 + 1)-/2;; + 2^; (к; - 1) Ц; ) ¿^ +
р[о 52 + (1 - X)2
+ 0 2т (к2 + 1)(5 - х)и23 + К ((к2 + 1)/232 + ^2 (к2 - 1) Ц ) ¿5 +
' (5 - х)2 + К12
+ 0 2А (к2 + 1)5и24 + х((к2 + 1)./242 + ^2 (к2 - 1) ^24) ¿51 +
К 5 + X I
К - 45(1 - х) 2 (/2 21 + ^ 22) + 2(1 - х)[(1 - х)2 - 5 2 ](/222 + 2№2и2т) ^ +
0 [*! + (1 - х)2 ]2
+ 04Л,2( 5 - х)(/231 + 2Мги 23 ) - 2М( 5 - х)2 - V ](/232 + 2^2и23) ,
+ ^ [(5 - Х)2+ Й12 ]2 ^ +
-2 4
+ 0 - 4Х 5(/241 + ^24 ) - 2Х(Х - 5 Х/242 + ^2 ^24) ^
к [52 + х2 ]2
Здесь /ау индекс а обозначает отношение к части составного целика, индекс Ь определяет участок границы, рассматриваемой части, у -соответствует представлению (2); и в силу симметрии задачи и 22 =- и 24,
и 22 = и 24 , /241 = /242 = 0 , = 0 '
Аналогично (5) систему (1), разрешенную относительно функций напряжений (2), выпишем для верхней части целика только на Г13
2кь/1п(х) = -2т(к - 1)ип(х) + Щ{к1 + 1)и ¿5 +^,
Р 0 5 - х
2/(х) = -2ц,( - 1)и„(х)-Щ{(к1 +1)и11 ¿5 + F2 . (6)
Р 0 5 - х
Для сокращения записи в (6) приведена только главная часть уравнения, а представления о ^ и ^2 дают соотношения (5).
Таким образом, левые части (5), (6) можно рассматривать как решение, если известны компоненты смещений на всем периметре и компоненты напряжений вне участков Г21 и Г13 . Чтобы вычислить (5), (6) не достает условий по смещениям на этих участках, а если их задать, то приходим к классической ситуации для обратных задач, когда на периметре известны все четыре функции смещений и напряжений.
Как показано в [2], система (1) позволяет выписать решения для компонент смещений и напряжений на всех участках Г1 и Г 2 в квадратурах, аналогично
(5), (6) и получить решение любой из трех основных задач теории упругости (т.е. прямых задач).
В качестве тестового примера рассматриваемой проблемы выберем переопределенные условия в виде (3) и
и = 0, и = -1 на Г13 и и = 0 , и = 0 Г 21,
принимая Е1 = 2Е2, Е2 = 104, п1 = п2 = 0.2, Н1 = 2, ^ = 6. Как показали расчеты, смещение боковых граней целика дают следующую информацию: верхняя часть более жесткая и в первом приближении положим Е1 = ЗЕ2 (не уменьшая общности примем коэффициенты Пуассона п1 = п2 = 0.2), для определенности примем уравнение линии раздела свойств целика в виде у = 2 .
Алгоритм последовательных приближений построим следующим образом. Смещения боковых граней целика позволяют сформулировать на Г13 , Г21 в первом приближении граничные условия в виде (7). Положим Е1 = (3 + А1) Е2 и начнем с шагом А1 = 0.2 изменять связь между Е1 и Е 2. Подставляя в прямую граничную задачу (7), (3) принятые первые приближения и убеждаемся , что полученные результаты приближения для Е1 = 1.8Е2 начинают ухудшать
приближение к (4) вернемся на шаг назад и с меньшим шагом А1 = 0.1 повторим процедуру приближения. В результате за первое приближение примем Е1 = 2 Е2.
Из решения переопределенной задачи для граней Г21 и Г13 с учетом полученных приближений по формулам (5), (6) вычисляем первое приближение для / (х) , которые рассматриваем как граничные условия прямой задачи на
Г13 и Г21 . Решение этой последней задачи определяет второе приближение для компонент смещений на Г13 , Г21 , т. е. и 2(х), и2(х). На этом первый цикл приближений заканчивается. Число циклов определяется наперед заданной точностью вычислений. С ростом числа приближений различие между приближенным решением и точным уменьшается, и решение колеблется около точного, т.е. процесс является сходящимся.
Таким образом, в предлагаемом методе решения обратной задачи по идентификации граничных условий и механических характеристик последовательно решаются две задачи. Используя условия (3), (4) на боковых гранях и первое приближение (учитывающее переопределенность) типа (7) на Г13 , Г21 по формулам (5), (6) вычисляем первое приближение / (у), это
первая задача. Вторая задача, предполагая / (у) на Г13 , Г21 и (3) на боковых гранях (прямая задача для целика), определяет второе приближение для смещений и 2, и2 и т. д.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 386 с.
2. Миренков В.Е., Шутов В.А. Математическое моделирование деформирования горных пород около ослаблений // Новосибирск: Наука, 2009. - 176 с.
© А.А. Красновский, 2012
