Идентификация границы раздела и механических свойств частей блока пород Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА И МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЧАСТЕЙ БЛОКА ПОРОД

Валерий Егорович Миренков

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н. А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук, 630091, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383) 217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Предложен метод решения обратных задач для кусочно-однородных блоков пород с использованием натурных замеров смещений на доступной части его периметра. Это стало возможным благодаря полученной системе сингулярных интегральных уравнений, связывающих значения нормальных и касательных напряжений и смещений на границе области. Проблема сводится к итерационной процедуре.

Ключевые слова: подход Колосова-Мусхелишвили, граничные условия,

регуляризация, интегральные уравнения, обратная задача.

IDENTIFICATION OF INTERFACE AND MECHANICAL PROPERTIES OF ROCKBLOCK SECTIONS

Valery E. Mirenkov

N. A. Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 54 Krasny Prospekt, Novosibirsk, 630091, Russia, Principal Research Scientist, Rock Mechanics Laboratory, Dr. Tech. Sci., Prof., Phone (383) 217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

The scientist sets forth the process to solve the reverse problems on piecewise-homogeneous rock blocks by using in-situ displacement measurements, made at readily accessible perimeter sections. The system of singular integral equations, derived to relate normal and shear stresses and displacements at the boundary, made it feasible to solve the study problem. The problem is reduced to the iteration procedure.

Key words: Kolosov-Muskhelishvili approach, boundary conditions, regularizing, integral equations, reverse problem.

Рассматривается обратная задача по определению геометрии контакта частей, составляющих кусочно-однородный блок пород и механические характеристик их. Решение таких задач, относящихся к некорректным, предполагает экспериментально-аналитический подход, т. е. переопределенные граничные условия. Для классических обратных задач переопределенные граничные условия необходимо иметь по всей границе рассматриваемой области. В данной работе переопределенные условия достаточно иметь только на части границы. Это особенно важно, если кусочно-однородный блок моделирует, например, целик, доступ к контакту которого с вмещающими породами затруднен.

Таким образом, использование экспериментальных данных, определенных с погрешностью, дискретизация сплошной среды при любом численном счете

вносит погрешность в обратный оператор; априорные предположения на характер деформирования конструкции (абсолютно твердое тело, идеальное проскальзывание, скачок смещений, нарушение конформности в конечном числе точек и т.п.) вносят погрешность в граничные условия при формулировке задачи и расширяют класс обратных задач. Все такие обратные задачи некорректны, т.е. их решения могут не существовать, быть неединственными или неустойчивыми (малым изменениям наблюдаемых данных могут соответствовать большие изменения искомых), но для всех их общее требование - необходимость преодоления некорректности через регуляризацию [1, 2] или же через получение точных уравнений, связывающих граничные значения компонент напряжений и смещений, описывающих процесс деформирования в рамках выбранной модели, исключающих регуляризацию. Мы понимаем регуляризацию как попытку исправить “сознательно” допущенные неточности в виду всевозможных априорных предположений о поведении конструкций, несовместные с условиями, допускаемыми моделью среды.

Рис. 1. Расчетная схема составного блока пород

Рассматривается составной блок пород, расчетная схема которого приведена на рис. 1. Величины, имеющие размерность длины, отнесены к ширине блока пород, а размерность напряжений - к характерной величине напряжений на Г 13( Г21). На боковых гранях Г12 + Г22 и Г14 + Г24, доступных

для наблюдения, граничные условия сформулируем в виде значений нормальных и касательных напряжений

&х(у) = 0 , т(у) = 0 на 0 < у < к . (1)

Дополнительно к (1) будем предполагать известными из эксперимента на Г12 + Г22 и Г14 + Г24 нормальные и касательные компоненты смещений

и = и 0( у ^ V = и0( у) (2)

т.е. переопределенные граничные условия (1), (2) на боковых гранях блока пород и неизвестные на Г 21 и Г13.

Граничные условия первой и второй основных задач теории упругости имеют, соответственно, вид [3]

р(і) + ід) (і) + у(і) = /(і), (3)

кр(і) - ір(і) - у (і) = 2щ(и + іи)

где р(і), у (і) - граничные значения комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили;

і

/ (і ) = Мі ) + і/2( і ) = і \ (Хп + і¥п ) ^ , (4)

0

X п, Уп ; и , и - компоненты напряжений и смещений в направлении осей х и у ; к = 3 - 4 V , л = Е [2(1 + V)]-1, V - коэффициент Пуассона, Е -модуль Юнга; і - мнимая единица; черточка над функцией обозначает комплексно сопряженное значение; і - точка границы рассматриваемой области.

Сложив уравнения (3), получим

(к + 1)р(і) = / (і) + 2щ(и + іи). (5)

Подставляя (5) в любое из уравнений (3), получим граничные значения функции у (і). Не будем выписывать эти граничные значения, так как они

получены впервые в [4], и где приводятся системы сингулярных интегральных уравнений, связывающих граничные значения компонент напряжений и смещений. В силу некоторой громоздкости, опустим эти сингулярные уравнения, а ссылаться в дальнейшем будем на первооснову их (3).

Учитывая условия (1), (2), систему (3), разрешенную относительно функций напряжений (4), выпишем для торцов блока пород в виде

2к,/ш(х) = -2т,(к, - 1)и„(х) + ІЩ)(к| +1К й£ +¿1,

Р 0 £ - х

2к„/ш(х) = -2т1(к| - 1)и„(х)-Щ(к| +1)и" + ¿2, (6)

Р 0 £ - х

2кг/т (х) = -2щ (к2 -1 )и21 (х) + Щ(к + 1)и й£ +¿3,

Р 0 £ - х

2к2 /212 (х) = -2Щ (к2 - их) - Щ (к2 +1)и21 * + ¿4 .

Р 0 £ - х

Здесь в /ау индекс а обозначает отношение к части составного блока, индекс Ь определяет участок границы рассматриваемой части блока, у

соответствует представлению (4). Ради сокращения записи в (5) приведены только главные части уравнений, и в ^ , Г2, ^3 и ^4 не входят функции, стоящие в левых частях, т. е. (6) можно рассматривать как решения.

Таким образом, приведенная точная система уравнений позволяет выписать решение для компонент смещений в квадратурах и аналогично для компонент напряжений, что дает возможность исключить процесс регуляризации и предложить метод сведения проблемы к процедуре последовательных приближений, сходящийся к точному решению для геометрии границы раздела свойств и упругих констант.

На прямолинейной границе раздела свойств, составляющих блок пород частей, предполагаются условия сцепления, которые легко заменить на другие, если это следует из поведения смещений (2). Для всех контактных участков блока пород выписаны уравнения, определяющие нормальные и касательные компоненты смещений и действительные и мнимые части (4), что позволяет получить решения прямых задач, задав первое приближение, которое сравнивается с дополнительной информацией (2). Для каждой из частных обратных задач последовательно переопределенные условия в смещениях позволяют определить второе приближение на всех контактах. Действительно, значения дополнительных смещений на боковых гранях составного блока сразу дают следующую информацию: в какой части модуль Юнга больше, как примерно проходит линия раздела упругих свойств этих частей; представляется возможным сформулировать в первом приближении граничные условия на торцах. Вариация значений модулей Юнга (считаем, что коэффициент Пуассона У1 = п2 = 0.2) из прямых задач позволяет получить первое приближение, которое используется для определения границы раздела свойств и вычисления (6). Последние позволяют рассматривать прямые задачи для блока пород и определить второе приближение и 02 (х) и и02 (х) на торцах. На этом заканчивается первый цикл приближения. Число циклов определяется наперед заданной точностью вычисления. В процессе реализации определяются упругие характеристики кусочно-однородного блока пород и положение границы раздела составляющих его частей. Если сводить граничные задачи теории упругости к системе сингулярных интегральных уравнений, то полученные в результате упрощений обратные проблемы сводятся к уравнениям типа Фредгольма первого рода. Классическим примером задачи, поставленной некорректно, является пример Адамара [5]. В механике сплошных сред таким примеров строить нет необходимости, вся теория разрушения опирается на такой некорректный фундамент, т.е. скачок смещений - корневая особенность (бесконечность) в напряжениях.

Таким образом, полученная система сингулярных интегральных уравнений позволяет не только единообразно и одновременно рассматривать прямые, но и обратные задачи; ослабить требования на переопределенность; определить степень некорректности при их формулировке, когда “используются” предположения типа “пусть будет”, “положим” и т.п., требующие в ряде случаев

регуляризации. Решение задачи некорректно поставленной в теории упругости не имеет практической ценности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. - М.: Наука, 1987. -

303 с.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 386 с.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1967. - 708 с.

4. Курленя М.В., Миренков В.Е., Шутов В.А. Основы математического моделирования разрушения // Изд-во СО РАН, 1998. - 168 с.

5. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966. - 443 с.

© В.Е. Миренков, 2012