CC BY
27
---------------------------------- © А.А. Красновский, В.Е. Миренков,
2010
УДК 622.831+539.3
А.А. Красновский, В.Е. Миренков
ДЕФОРМИРОВАНИЕ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ БЛОКОВ ПОРОД С ТРЕЩИНАМИ ПРИ РАСКЛИНИВАНИИ
Проведено математическое моделирование составных блоков пород с разрезами, моделирующими трещины по границе раздела сред, получены системы сингулярных интегральных уравнений, связывающие все нормальные и касательные напряжения и смещения на границах. Составлена программа численной реализации полученных уравнений
Ключевые слова: кусочно-однородные блоки, расклинивание, касательные и нормальные напряжения, математическое моделирование
Яесмотря на значительные успехи, достигнутые в применении численных методов к решению задач механики разрушения, по прежнему сохраняется актуальность в разработке эффективных методик, сочетающих строгость аналитических методов и мощь современных ЭВМ. Свои нюансы, связанные с точностью решения, имеются в методе конечных элементов, граничных интегральных уравнений, вариационных методах, да и, вообще, всегда при численной реализации задач механи-ки. Одна из причин катастроф -низкое качество проектных расчетов, основанных на данных компьютер-ного моделирования. Любое деформирование предполагает конкретный контакт рассматриваемой области с другими телами, передающими внешнюю нагрузку. Во всех случаях силового, энергетического или деформационного критерия разрушения необходимо знать напряженное и деформированное состояние тел с трещинами. При математическом моделировании составных блоков пород с разрезами, моделирующими трещины по границе раздела сред получены системы сингулярных интегральных
Неделя горняка
уравнений, связывающие все нормальные и касательные напряжения и смещения на границах. Возможность менять формулировки граничных условий на разрезах позволяет, используя метод суперпозиции, перейти к случаям растяжения таких блоков, когда на разрезах отсутствуют напряжения или заданы по любому закону. Составлена программа численной реализации полученных уравнений.
Рассмотрим блок пород, составленный из двух различных материалов, так что на части границы раздела сред имеет место разрез, расклиниваемый нормальными напряжениями их = а0 (у). В данном случае не только существенна анизотропия блоков пород, но и несим-метрия геометрии, которые, даже каждая по отдельности, требуют нахождения и касательных и нормальных напряжений на продолжении разреза, т.е. самый общий случай из возможных (рис. 1).
Разрез занимает отрезок hз h, а расклинивающие усилия приложены на участке h2 h^, не исключая случаев h^ = h, h2 = h3, т.е. самый общий случай формулировки граничных условий.
Рис. 1. Расчетная блока пород
схема расклиниваемого
Обозначим Г1 = = Гц + Г \2 + Г13 + Г14 и Г2 = Г21 + + Г22 + Г23 + Г24 границы однородных первой и второй частей, соответственно, рассматриваемого составного блока пород. Все величины, относящиеся к частям 1 и 2, имеют соответствующий индекс.
Граничные условия на разрезе hз h сформулируем в виде
а'„ = т„ = 0 ; /7з <у<1ъ , h1 <у <
СТ = сг0(У , тп = 0 ; h2 <у <hl , (1)
На внешнем контуре однородных частей 1 и 2 отсутствуют нормальные и касательные напряжения, т.е.
стп ^п 0 , на Г11 + Г12 + Г13 стп ^п 0 ,
на Г21 + Г22 + Г23 (2)
Все величины имеющие размерность длины отнесены к ширине однородной части 1, а имеющие размерность напряжений - к максимальному значению расклинивающих напряжений. На продолжении разреза (0 < у < h5) предполагается сцепление, т.е. непрерывность нормальных и касательных напряжений и смещений
и14 = и24 , ^14 = ^4 ; стх14 = стх24 , ^14 = Г24 (3)
Для каждой из рассмотренных частей блока пород (рис. 1) имеют место соот-
Рис. 2. Деформированное состояние границы части 2 блока
Хп, Уп - усилия на Г] , (/ = 1, 2) в на-
правлении осей х и у; t є Г\ и Г2 ; t0 -аффикс точки границы; черточка над функцией обозначает комплексно сопряженное значение; і - мнимая единица; под Г/ , (/ = 1, 2) понимаются контура частей составляющих блок пород.
Численное решение системы (4), определяющих все компоненты смещений и функции ^о) на Г и Г2 ,
Рис. 3. Деформированное состояние границы части 1 блока
осуществлялось аналогично [2]. Расчеты проводились при
о0 = 1, h = 6, 5; h1 = 6, ^ = 5, hз = 4, м = 1,154 ' 105, /Л2 = 3,846 ' 104, к! = к2 = 2,08 для вариантов:
а) в = 1; в = 0,6; в = 0,33; в = 0,16; (6)
б) в = 1,66; в = 3; в = 7 (7)
На рис. 2 представлены
результаты расчета компонент смещений и значений Д(у), отвечающих вариантам (6), для границы Г2 развернутой в прямую линию так, что Г11 отвечают точки от 1 до 11, Г12 - от 11 до 41, Г13 -от 41 до 51 и Г14 - от 51 до 130. На рис. 3 приводятся результаты, аналогичные рис. 2, для вариантов (7), отвечающих границе Г\. Численное дифференцирование зна-ченийД(у) для случаев (6), (7) показало, что область растягивающих нормальных напряжений пород вершиной трещины уменьшается, сдвигаясь к вершине, это же относится и к сжимающим напряжениям на продолжении разреза. Наблюдается несколько перемен знаков для т(у) на продолжении разреза.
Согласно общей теории сингулярных интегральных уравнений [3] нормальные стх(у) и касательные т(у) напряжения могут иметь либо корневую особенность, либо обращаться в ноль в вершине разреза. Другие варианты не реализуются. Наличие в уравнениях механики разрушения слагаемых с бесконечными
членами, своего рода предупреждение о том, что не все в порядке в такой теории, т.е. низводит теорию до абсурда. Однако сингулярность решения в вершине разреза считается допустимой и даже больше - такие решения считаются почему-то упругими [4]. В общем случае, корневая особенность возникла за счет нарушения конформности отображения эллипса на разрез в двух точках или, все равно что, предположение о скачке смещений в вершинах разрезов, что недопустимо при выводе уравнений теории упругости.
Получение численным дифференцированием Д(Хо) напряжений стх(у) и т(у) сопряжено с потерей точности. Поэтому, продифференцировав уравнения (4) по у после достаточно громоздких выкладок получим
1 г т
а1ах (У) - а2 - I ---^ = N (У),
к \ 5 - у
1 *3 (8)
а2т(у) + а2— I—х—йз = П2(у)
к 0 5 - У
Здесь N1(У)), Ы2(у) известные функции от компонент смещений границ частей 1 и 2 (рис. 1), которые приведены на рис. 2, 3. Ограниченное решение (7), согласно [3], имеет вид
т(у) = УУ(И ~ У) Г N + а1ах)Ж
а2п о
(У) = - ШЕА ( « + « А
а2Ж О V - *)(* - У) при условии, что
И, л т И , т
= О, Г «2 + « ф = О
УІУ(И3 - У)
К проверке выполнения последних условий и сводится процесс нахождения т(у; и с^.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ № 07-05-00004.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Курленя М.В., Миренков В.Е., Шутов В.А. Основы математического моделирования разрушения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1998. - 168 с.
2. Шутов В.А., Красновский А.А., Миренков В.Е. К вопросу о разрушении блоков пород. -ФТПРПИ. № 2. 2006. - С. 10-17.
3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука. 1966. - 606 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. - 708 с.
ЕИЭ
г Коротко об авторах
Красновский А.А. - кандидат физико-математических наук;
Миренков В.Е. - доктор технических наук, профессор, лаборатория механики горных пород ИГД СО РАН, [email protected]
Среднегодо-
вая
А
