Численная реализация деформирования областей с угловыми точками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622:539.3

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБЛАСТЕЙ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ

Валерий Егорович Миренков

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)205-30-30, доп. 187, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Валерий Алексеевич Шутов

Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусства, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 38, доктор технических наук, профессор, тел. (913)896-74-66, e-mail:va_shutov@mail.ru

Проанализирован характер деформирования в окрестности угловых точек. Предложен метод численной реализации полученных интегральных уравнений. Рассмотрен пример.

Ключевые слова: решение, граничные условия, угловые точки, бесконечность, напряжения, смещения.

NUMERICAL REALIZATION OF DEFORMATION OF AREAS CONTAINING ANGULAR POINTS

Valery E. Mirenkov

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, D. Sc., Professor, Principal Researcher, Rock Mechanics Laboratory, tel. (383)205-30-30, extension 187, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Valery A. Shutov

Novosibirsk State University of Architecture, Design, and Arts, 630091, Russia, Novosibirsk, 38 Krasny prospect, D. Sc., Professor, tel. (913)896-74-66, e-mail:va_shutov@mail.ru

The character of deformation in periphery of angular points is analyzed. Method for numerical realization of derived integral equations is proposed. The case study is discussed.

Key words: solution, boundary conditions, angular points, infinity, stresses, shear, displacement.

Метод решения задачи теории упругости для клиновидных областей как и другие классические методы позволяет получать сингулярное решение, однако, в отличие от всех прочих, он допускает возможность реализации корректной постановки. Действительно, при реальном деформировании в местах области проникновения материала в материал должна образоваться некоторая зона (в которой имеет место некий аналог контактной задачи Герца), подлежащая определению в процессе решения.

Таким образом, сказанное позволяет получить ответ о характере деформирования клиновидных областей. В частности, бесконечность напряжений, с определяемой особенностью, является следствием фактически существующего, жесткого кинематического ограничения, которое классические постановки задач о клине замалчивают [1]. Аналогичная ситуация наблюдается и в решениях для трещин [2], т. е. они соот-

ветствуют «жесткому» закреплению ее вершины и, конечно же, не адекватны существу проблемы.

По-видимому, следствием отмеченного факта является (если отнести нормальные граничные условия к деформируемому контуру, например, нижней грани отверстия) появление значительной по величине горизонтальной составляющей внешних усилий, никак не оговариваемой в исходных данных. Некорректность классической формулировки задачи легко, в частности, увидеть и при рассмотрении следующего к ней подхода. В силу симметрии деформирования области, представленной на рис. 1, на продолжении диагоналей отверстия отсутствуют касательные напряжения и нормальные перемещения, что позволяет представить исходную пластину состоящей из четырех отдельных частей, приведенных в соприкосновение без трения, или же, что проще, рассматривать втягивание без трения одной из этих четвертей в абсолютно жесткую матрицу (рис. 2)..

Рис. 1. Качественный характер деформирования полости с квадратным отверстием

а)

Рис. 2. Схема деформирования четверти с квадратным отверстием

Таким образом, представленные на рис. 1, а и рис. 2 схемы постановок, фактически одной задачи, существенно различны, при этом последняя, как представляется, ближе к правильному отражению исходной ситуации. И лишь теперь можно переходить к численному моделированию вне зависимости от вероятной сложности его реализации.

В результате деформирования угловая точка квадратного отверстия сместится, оставаясь угловой точкой контура. Для несжимаемого материала нетрудно получить верхнюю оценку величины этого смещения, которое оказывается много больше упругих смещений в рамках малых деформаций. Эти перемещения представляют собой, в известном смысле, одну из искомых величин некоего аналога задачи Герца, а поэтому и определять их следует в процессе решения.

Не уменьшая общности, остановимся для конкретизации на случае описываемом системой (13). Расчетная схема имеет в этом случае вид, представленный на рис. 3.

Рис. 3. Расчетная схема

С целью соблюдения условий теории упругости при формулировке граничных условий необходимо учесть непрерывность напряжений. В связи с малостью области а-Ь, обусловленной соответствующей гипотезой теории, искомые компоненты а у, будем аппроксимировать линейными функциями

а - .х + Р, Ь < х < а,

а у =

-а - х + Р, - а < х < -Ь, т - х + п, Ь < х < а, ху ' т - х - п, - а < х < -Ь,

(1)

где

а =

р(а) - а а - Ь

Р =

а-а

о

Ь - р(а)

а-Ь Ь - д(а)

а - Ь

р(а), д(а) - значения искомых напряжений в точке х=а.

т ■

д(а)

а-Ь

п = -

о

С учетом (1) система из [1] примет вид

2(х - а) ж 2 ж

р(х) - 2-1■ [к1(г,х)р(г)Ж - - Гк2(г,х) ■ д(г=

л л *.

2

= — ■ (х - а) л

2

+ -■< л

а(ш+р). кх(1,х)&+1 ^ а)2 ■р°(г}22

ж

_ь [(г - а)2 + (х - а)2]

| (шг + п) ■ к 2(г, х)& + |

(г- а)3 ■ д) -ь [(г - а)2 + (х - а)2]2

&

2{х сС2 ж 2

д( х) - ——— ■ Г к3(г, х) р(г )Ж - 2( х - а) Г К х) ■ д(г )Ж = л • л •

= — ■ (х - а)2 л

2

Ь оч ^ / чл Ь (г - а) ■ р°(г) Г(ш + р)■ к3(г,х)&г + Г—4 2

22

А

ь

-Ь [(г - а)2 + (х - а)2]

+

+ — (х - а) л

Ь ^ Ь (г - а)2 ■ д"(г) ,

\ (шг + п) ■ к2(г, х)& + Г &

ь -Ь [(г - а)2 + (х - а)2]2

В качестве примера рассмотрим задачу со следующими исходными данными:

а о,

(2)

р° (г) = о° = еотг, д(г) = 0, для Ы > Ь.

(3)

Систему уравнений (2) запишем для этого случая так:

р( х) + Г э1(г, х) р(г )Жг +1 о2(г, х) ■ д(г )Л = х),

а а

ж ж

д( х) + Г эъ(г, х) р(г )Ж + Г х) ■ д(г )Ж = Г2( х),

(4)

а а

где ¥\(х), р2(х) - соответствующие правые части уравнений (2) при выполнении (3):

2 2

А (г, х) = — (х - а)к (г, х), в2 (г, х) = — к2 (г, х), л л

2 2 2

в3(г,х) = — (х - а) к3(г,х), в4(г,х) = — (х - а)к4(г,х). л л

Решение системы уравнений (3) было проведено методом конечных сумм, т.е.

задача сведена к решению системы 2К линейных алгебраических уравнений

N

Р +1(А,■ Р +А,) = , \ = ,

У=1 N

Qn + Е (А, пш ■ Рш пш 'Ош ) = А, п , п = '

ш =г

(5)

где Рк = р(хк )' Рк = ц(хк )' р1к = (хк )' ¥2к = ¥2 (хк ); Хк - значения X в центрах интервалов разбиения (длины 2 ■ Дк) отрезка оси интегрирования;

Ь

>

• <

>

ж

ж

х+А)

м = | (х, ^.

X ~А}

Исходная система интегральных уравнений (13) позволяет получить, вообще говоря, сингулярное решение и только в случае, когда значения (а-Ь), р(а), д(а) заданы точно, - решение всюду ограниченное. Это положение существенно при численной реализации (4). Фиксируя, например, величину а-Ь, перебираем ряд значений р(а) и д(а). Если а-Ь указано точно, то р(а), д(а) должны удовлетворять исходной системе уравнений. В случае же, когда выбранное значение а-Ь отличается от неизвестного точного, то существует и р(а), д(а), определяемых перебором и удовлетворяющих системе уравнений. Поэтому задается новое значение а-Ь и осуществляется новая попытка подбора р(а), д(а). Такая последовательность действий продолжается до тех пор, пока не будет получено единственное и всюду ограниченное решение. Указанная процедура поиска решения представляется лишь на первый взгляд достаточно утомительной, однако с приобретением некоторого навыка приводит относительно быстро к искомому результату. При этом, как показывает опыт, важное значение имеет знание характера поведения решения для случая а=Ь на достаточном удалении от точки х=а. Но даже эти нестрогие вехи пути получения точного (в «машинном» приближении) решения оправдываются относительно быстрым нахождением единственного ограниченного решения.

На рис. 4 приведены результаты расчета (а-Ь), р(х), д(х) для случая граничных условий, сформулированных в виде (3). Число N в (5) было принято равным ста, шаг разбиений 2 • Ак переменный (увеличивающийся) с удалением от х=а), отрезок интегрирования при а=1 больше 100.

На рис. 5 аналогичные результаты представлены для случая граничных условий:

q0 (х) = 0, а р0 (х) - равнобедренный треугольник с высотой равной единице при х=0.

IX)_10_10

ч X

•-Р

Р, ч

Рис. 4. Распределение р(х), д(х) на х > а

1.0 3.0 5.0

X

V 1

Рис. 5. Распределение р(х), q(x) на х > а

Сравнение результатов расчетов показывает, что как область а-Ь, так и значения р(а), д(а) во втором примере меньше соответствующих им в первом. Из сравнения

рис. 4 и рис. 5 видно, что хотя равнодействующие р0(х) в этих примерах различаются в два раза, результат зависит от характера распределения р0(х).

Таким образом, предложен метод решения системы интегральных уравнений, позволяющий реализовать непрерывные и ограниченные всюду значения напряжений, и, тем самым, свести проблему угловых точек в разряд корректных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боджи Д.Б. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора // Прикладная механика. Американское общество инженеров механиков. - 1971.- Серия Е. - т.38. - № 2. - С. 87-96.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

© В. Е. Миренков, В. А. Шутов, 2017