CC BY
31
© М.В. Курленя, В.Е. Миренков, 2011
УДК 622.831 + 539.3
М.В. Курленя, В.Е. Миренков
ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПЕРИМЕТРА БЛОКА ПОРОД С ОСЛАБЛЕНИЯМИ
Рассматривается блок пород с ослаблением (трещиной), выходящим на границу. Используя систему сингулярных интегральных уравнений, связывающую компоненты напряжений и смещений на границе, получено уравнение по определению напряжений на продолжении трещины. Обсуждаются примеры деформирования контура блока пород.
Ключевые слова: блок пород, разрез, уравнение, напряжение, смещение, сингулярность, решение.
~П проблеме добычи блочного камня, разрушения негабаритов, образцов, целиков, т.е. когда необходимо отделить часть от массива или разделить блок на плитки и, вообще в механике разрушения, инте-ресно проследить процесс деформирования при разделении целого на части. Математическое моделирование таких ситуаций представляется наиболее оптимальным. Численный эксперимент при рассмотрении сложных задач приобрёл в настоящее время практически равные права с традиционным физическим. Среди достаточно общих численных методов лидирующее положение занимает метод конечных элементов. Значительные успехи, достигнутые в применении численных методов к решению задач для конечных областей, не снимают проблему разработки эффективных
анайашмютрим мшгоновюрод с трещиной, моделируемой прямолинейным разрезом, половина которого в силу симметрии представлена на рис. 1. Границу исследуемой области обозначим Г=Г]+Г2+Г3+Г4. Значения компонент напряжений и смещений,
относящиеся к частям Гк (к=1, 2, 3, 4) имеют соответствующий индекс.
Все величины имеющие размерность длины отнесены к половине ширины блока, а имеющие размерность напряжений — к максимальному значению внешних усилий ст0(у).
Граничные условия на разрезе сформулируем в виде
(У) = *„ (У) = 0, h < y < h, x = 0 . (1)
На продолжении разреза в силу симметрии
U(У) = 0, Х„(У) = 0, 0 < У< h,, x = 0. (2)
Для остальной части контура блока пород
°п(х) =\(x) = 0 Д
°x(У)=%М \ = 0'М ёёу0<y<h °x (У)=\(У)=0 ''&Д aeyh < y < h oy(X)=0, хП(У) = Ax, A = const^aГ3
Уравнения, связывающие граничные значения компонент напряжений и смещений, для рассматриваемой области Q имеют вид [1]
1 --) + 2цд(-)
f (t0)+2цд(-о) = -1
т/ * -
— -п
С-,
- (-о)- 2ц д(-о) = -1
тг/ -1
1 ГК-(-)-2ц д(-)
%! Г - - -о
1 * - — -
: .[ - (-) + 2цд(- )]С—^,
^ - - п
т/
--
Е
(4)
-, Е — модуль
где к = 3-4 V, ц = - ,
2(1 + V)
Юнга, V — коэффициент Пуассона; g=u+iv— смещение точек границы;
1 П.8ЦУ2 ау1 —4 цу(5 — у2)и1 ^+
(з2 + у2)2
С- — л 4ц (в— у)2 — 1
.
и2 —
(з — у) +1 —4 (в — у)(-22 +
°4 ц(Л — у) [ г2 — (Л — у )2 ] и
.
Л 2
- = /. (Хп + Юп)Св = Re - + / 1т -, (5) +4 з(Л — у) (-з2 + 2цvз)
Сз!>
где Хп, Уп — усилия на Г в направлении осей х и у; te Г, t0 — аффикс точки границы; чёрточка над функцией обозначает сопряжённое значение; i — мнимая единица.
Из (4), разделяя действительные и мнимые части, после простых но достаточно громоздких алгебраических операций (в силу того, что уравнение контура Г области О содержит четыре различные формы записи) получаются уравнения определяющие явно компоненты смещений и напряжений для частей Гк (к=1, 2, 3, 4). Приведём эти уравнения только для части границы Г4 , так как они имеют самостоятельный интерес, т.е.
л / \ 1 Г (к + 1 )-42 4 ци4 (у) = -1-------42 Св+
т Л в — у
+ ^ Г|,4цуц_ с5+
41 5 + у2
. 4 цуи2 + (К + 1)(в — у)-22 С5 +
. Л , .Л2
0
1 + (5 — у)2
0(К + 1)5-32 — 4 ц(Л — у )и
*
5 + (Л — у)2
Св^ —
4 ^4 (у) = (к — 1)-42(у) — —1Г |4цу^ С5+
4 0 5 + у2
+ Л (К — 1)-22 — 4 ^2 С5 —
0о (в — у)2 + 1
°(Л — у) [(к — 1) -32 — 4цу
.
5 + (Л — у )2
Св^ —
1 [|8цу2 ви1 + 2 у(5 — y2)2цv1 Сз+
а . .
(5 + у2)2
8ц(в — уи — 2 [(в — у)2 — 1
— 1 IX
[(5 — у )2 + 1]
х(-22 + 2^2 )
Св+
?8МЛ - уI2из — 2ф- у)х
1 [ в2 + (Л — у)2 ]
х[ 5 — (Л — у )2 ] (-32 + 2^зС|
(6)
Система (4) с граничными условиями (1) — (3) решалась методом колокаций.
2
+
+
2
з
В результате получены компоненты смещений и функции от нормальных и касательных напряжений на Г + Г 2+Г 3 .
На рис. 2 представлены результаты расчёта для случая ст0(у)=1, коэффициент Пуассона v=0,3, модуль Юнга Е=105, А=0, h=6, h0=4 и вариантов:
*1=1; 2. *1=2; 3. Ах=3; 4. *1=4, (7)
соответствующим кривым 1, 2, 3, 4. Значения Imf впереди разреза приведены по точкам счёта, поэтому масштабы разные, т.е. расстояния между точками возрастают пропорционально (7). С уменьшением длины разреза убывают компоненты смещений, а минимальные значения 1т f=f42 будут -5,01; -0,306; 0; 0 в точках
у=0,567; 1,4; 0; 0. (8)
соответственно для кривых 1, 2, 3, 4. В то же время (8) обозначает, что для случаев 1 и 2 напряжения стх(у) равны нулю, т.е. в этих точках происходит смена знака от сжатия к растяжению, а для вариантов 3 и 4 имеют место только растягивающие значения стх(у). Необходимо отметить, что с уменьшением длины разреза, при прочих равных условиях, область сжимающих напряжений в окрестности вершины уменьшается и исчезает при переходе от варианта 2 к — 3. Другими словами, наблюдается не только количественное, но и качественное изменение напряжённого состояния на х=0, 0<у<^ .
Граница области Г развёрнута в прямую линию так, что Г1 соответствуют точки от 1 до 11, Г2 — от 11 до 51, Г3 — от 51 до 61 и Г4 — от 61 до 111.
На рис. 3 приведены результаты расчёта тех же вариантов (7), что и на рис. 2 в предположении А = 0,8. Введение касательных напряжений, моделирующих, например, подкрепление со-
противляющееся растяжению и не сопротивляется изгибу, качественно и количественно изменяет процесс деформирования области О. В данном случае фактически допускаются отрицательные смещения для компонент и (у), если смотреть на область О как просто на блок, приведённый на рис. 1 с граничными условиями (1) — (3). Для исходной задачи с разрезом данные граничные условия приводят к результату с проникновением берегов разрезов друг в друга. При строгом решении необходимо учесть возможность контакта берегов и определить величину этой области и распределение напряжений сжатия в ней, что при необходимости легко учесть подбором нормальных напряжений на разрезе, исключающих эффект проникания материала в материал. Однако основная задача — показать, как сильно влияют касательные напряжения на процесс деформирования рассматриваемой области О. При переходе от варианта 1 к вариантам 2, 3 и 4 происходит количественное и качественное изменение напряжений на продолжении разреза (или любого ослабления горной породы с известным законом, выражаемым граничными условиями). Другими словами, область растягивающих напряжений в окрестности вершины переходит в область сжимающих
(рис. 3).
Наибольший научный и практический интерес представляет компонента стх(у) для 0<у<^, т.е. на продолжении разреза. Численное определение стх(у), особенно в окрест-ности вершины, связано с потерей точности и поэтому желательно иметь явное аналитическое выражение для него. Если в уравнениях любой теории обнаруживаются
К—
и =т =0
а
и сту= т = 0
Рис. 1. Расчётная схема блока пород
Рис. 2. Деформирование блока пород с разрезом при А=0
2|--
60 80 100
2ц.у
20 40
Рис. 3. Деформирование блока пород с разрезом при А=0,8
60 80 100
слагаемые, дающие бесконечные значения каких-то параметров, то это сигнализирует о том, что не всё в порядке в теории и необходимо исключить бесконечности из формул. Особенность напряжений в вершине трещины считают, обычно, необходимым условием [2, 3]. Поэтому были предложены различные варианты реализации таких задач с явным выделением особенности ввода её априори в виде разыскиваемого аналитического решения или же, например, специальные конечные элементы для численного моделирования бесконечных напряжений. Общая теория сингулярных интегральных уравнений [4] говорит, что это недопустимо и определяет, например, для отрезка — 1<х<1 следующие возможности: либо особенности на обоих концах (х=±1), либо особенность на одном из концов и нулевые значения на другом, либо на обоих концах нулевые значения напряжений. Для выбора того или иного решения необходимо рассмотреть сначала регламентирующие его дополнительные условия
[4].
Полученная система уравнений (6) впервые позволяет ответить на этот вопрос. Продифференцировав первое уравнение (6) по у и выделив явно интеграл содержащий ах(у) для 0<у<Ь после деления уравнения на (к+1), получим
- 0 ^ds= Р(у). (9)
- { s - У
Результаты вычислений, типа приведённых на рис. 2, 3, полностью определяют правую часть (9).
Как следует из рис. 2, 3 нормальные напряжения стх(у) в зависимости от граничных условий на продолжении разреза 0<у<Ь имеют перемену знака (за исключением вариантов 3, 4 на рис. 2 и -2 на рис. 3). Обратить уравнение (9), от-
носительно стх(у) следуя [4], невозможно. Учитывая, что наибольший интерес представляет поведение напряжений в окрестности вершины разреза, то метод определения их сводится к следующему. Разбиваем интеграл в левой части (9) на два — от нуля и до значения у0 — координаты экстремального значения 1т Г и от у0 до Ь .Оставляя этот последний интеграл слева, перенесём первый в правую часть (9) так что к F(y) добавится известная величина Д(у). Окончательно получим
(10)
- У„ 3 - у
Теперь можно, следуя [4], обратить (10) относительно стх(у), так как представляется возможным получить или обращающееся в ноль решение на концах отрезка у0Ь или обращающееся в ноль решение при у=у0 и неограниченное при у=Ь в зависимости от выполнения некоторого условия. В результате получим
7(^1 - У)(У - У0)
—---------------------X
-
л/(Л1 - 3(з - Уо) (3 - У)
х (У) =
при условии
"1
!
-Д(3 л/с^-зсз-уо)
(11)
(12)
Если условие (12) не выполняется, то решение для стх(у), следуя [4], имеет корневую особенность при у=Ь .
Результатом выполненных исследований является следующее.
В большинстве случаев разрушение начинается с границы тела. Поэтому вывод уравнений, связывающих компоненты напряжений и смещений на границе, позволяет с контролируемой точностью рас-
п
X
смотреть процесс деформирования их. Рассмотрены примеры расчёта напряжённо-деформированного состояния контура блока пород. Получено сингулярное инте-
1. Курленя М.В. Определение напряжений и смещений пород, вмещающих пласт полезного ископаемого / М.В. Курленя, А.А. Краснов-ский, В.Е. Миренков // ФТПРПИ, № 4, — 2008. — С. 3—12.
2. Слепян Л.И. Механика трещин / Л.И. Сле-пян. — Л.: Судостроение. — 1981. — 296 с.
гральное уравнение, определяющее нормальные напряжения на продолжении разреза. Предложен метод его обращения, т.е. получение решения в квадратурах.
------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Наука — 1966. — 707 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили — М.: Наука. — 1966. — 706 с. ВТШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ---------------------------------------------------------------------------
Курленя М.В. — академик РАН, Учреждение Российской академии наук Институт горного дела Сибирского отделения РАН, e-mail: Kurlenya@misd.nsc.ru;
Миренков В.Е. — доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией «Механика горных пород», Учреждение Российской академии наук Институт горного дела Сибирского отделения РАН, e-mail: Mirenkov@misd.nsc.ru.
------------------------------------------- ОТДЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ
ГОРНОГО ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО БЮЛЛЕТЕНЯ
(ПРЕПРИНТ)
ВОЗДУШНАЯ ЗАВЕСА И ОБЩЕРУДНИЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННАЯ ТЯГА
Алыменко Н.И., д-р техн. наук, профессор, гл. научный сотрудник, ГИ УрО РАН,
Каменских А.А., мл. научный сотрудник, ГИ УрО РАН,
Николаев А.В., ассистент, ГИ УрО РАН,
Отдельные статьи Горного информационно-аналитического бюллетеня (научно-технического журнала). — 2011. — № 5. — 28 с.— М.: Издательство «Г орная книга»
Описаны моделирование и численный эксперимент двухсторонней встречной воздушной завесы, позволяющие уменьшить величину поверхностных утечек воздуха в устье вентиляционного ствола и методика расчета прогнозируемой общерудничной естественной тяги.
Alimenko N.I., Kamenskih A.A., Nikolaev A.V. AN AIR SHEET AND ALL-MINE NATURAL DRAUGHT
This publication describes the simulation and numerical experiment of bilateral counter-air curtain to reduce the amount of surface air leaks at the mouth of the ventilation shaft and description of method of calculation the projected total on mine natural draft.
