CC BY
22
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)
УДК 519.4
ПРОБЛЕМА ВХОЖДЕНИЯ В ЦИКЛИЧЕСКУЮ ПОДГРУППУ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
В. Н. Безверхний, О. Ю. Карпова (г. Тула)
Пусть С - конечно порожденная группа Артина с копредставлением
С = (а-|, а2,ап; (агаз)114’ = (0.304)), где (агаj)TГЧ:l = 010301... - слово длины т.}) состоящее ИЗ т^ Чередующихся букв аг И 0^,1 = ], т^ - ЧИСЛО, СООТВеТствующее симметрической матрице Кокстера, т.’ > 2прп 1 = ].
Каждой конечно порожденной группе Артина Сг* соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если а. и а’ являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (ага})14’ = (а}а|)тт'1 группы Сг*.
В графе Г* можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г С Г*.
Будем говорить, что группа Артина Сг имеет древесную структуру, если
Г
установить соответствие такое, что если а. и а’ являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (ага’)114’ = (а’а^^.То есть макси-
Г
Тогда группа С г отображается с помощью гомоморфизма "ф на группу С г*, т. е. "ф : С г —у С г*•
Пусть аг и а’ вершины некоторого ребра е дерева - графа Г. Группа, порожденная образующими а. и а’, имеет копредставление
С.’ = (а., а’; (ага’)114’ = (а^аг)^).
Обозначим через К.’ множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе С.’. Тогда копредставление группы С.’ запишем через С.’ = (а., а’; Яу). Пусть группа С порождена более чем двумя образующими.
Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением С = (01, 02,..., ап; И), И = иЯу . Рассмотрим свободную группу
Р = П * (а.),
г=1
пусть ы Е р обозначим ч ерез | ы | длину, а че рез || w ||- слоговую длину слова ы в группе Р.
Пусть произвольное слово w те равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы над R.
Введем следующие преобразования диаграммы (*):
1) Пусть области Di, D2 пересекаются по ребру ф(301 П 3Ö2), имеющей слоговую длину II (p(3Di П 9D2) ||> 1 (и если I cp(3Di П 9D2) I— 1 и cp(3Di) Е Gab ф(ЗD2) Е Gab, тогда, стирая это ребро, объединяем Di и D2 в одну область D Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу.
2) Если две области Di,D^, где cp(3Di) Е Gab, ф(дD2) Е Gab, имеют общую
D
и, если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.
Определение 1. Назовем внутреннюю точку v диаграммы, специально особой точкой, если d(v) > 3 и все ребра, исходящие из нее, имеют одинаковые метки.
Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется .
D i(D) < 1 d(D), где
i(D) - число внутренних ребер, d(D) - число ребер в граничном цикле для D.
Определение 4. Область с граничным контуром eye-15, склеенная по ребру e и с меткой из R назовем, S — i областью.
w Е G G w
ne F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы М над R. Рассмотрим граничную область D карты М. Обозначим через у внешнюю границу диаграммы М Если D является деновской областью, то || 9D П у ||>|| 9D\(9D П у) ||. Удаление деновской области D диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы М или R- сокращением. Будем говорить, что М является R- приведенной, если она не содержит денов-ских областей.
w Е G G
рой, называется, R - приведенным, если w свободно приведено в F и не содержит подслово s, являющееся, подсловом, некоторого соотношения r, r — s • t, где || s || > ^ || r ||. Назовем, w циклически R - приведенным, если все его
R
R
w w F G
S—i
Теорема 2. [3] Пусть связная, односвязная, R-диаграмм,а, М с граничной w Е G F
G, не содержит, S — i областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда на, внешнюю границу вы,ходят как минимум три деновские области.
Теорема 3. [3] Связная, односвязная, R - диаграмма Мнад не содержит S—i области.
Следствие 1. [3] Пусть связная, односвязная, диа,гра,м,м,а, M с граничной меткой w, где слово w - циклически приведенное слово, не равное единице в свободной группе Т, и равное единице в G, не содержит специально особы,х точек, то она, не содержит и особы,х внутренних точек.
Из теорем 1, 2 и следствия 1 следует, что диаграмма M является однослойной.
Теорема 4. [3] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства, слов.
Теорема 5. [3] В конечно порожденной группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1. [1] Если слово w е Gj w—нетривиальное свободно приведенное слово, равное единице в Gj то || w \\> 2mij.
Лемма 2. [2] Группа Артина Gjipu m^ = 2k + 1изом,орфна, группе (x,y; x2k+1 = y2) a npи mij = 2k - групne (t,x; txt-1 = xk).
Лемма 3. [2] В Артиновой группе Gij = (ai, aj;rij) циклические подгруппы пересекаются no единичной подгруппе.
Лемма 4. [2] В Артиновой группе Gij = (a-t, aj rij) для любо го w е Gij
алгоритмически разрешимо уравнение wax = аУ, x,y е Z, x,y определяются единственным образом,.
Лемма 5. [2] В Артиновой группе Gij = (a-t, aj; rij) для любо го w е Gj если уравнение waf = a^a? имеет реш,ение, то оно единственно.
Лемма 6. [2] Пусть Gij = (ai? aj; (aiaj)mij = (ajai)mjl) - группа Артина и w е G ij
длину, равную 2mij и равно единице в Gj Тогда при mij = 2k + 1 имеет вид
a)amnajai...aia-ma-1 a-1, либо
b)aiajai...amna-1a-1...a-m, либо им обратные;
а, при mij = 2k k > 1
a')afaj...aiaja-ma-1 ...a-1, либо
b')aiaj...aiajaa-1 ...a-m, либо им обратные, m е {Z\{0}}.
Определение 6. Поддиаграмма = U п=1 Di образует в R-приведенной диаграмме M с граничным циклом 9M = у U Ъ, где у есть путь A'B', Ъ — A1B1 ? AB = 9 П у , A-|B-| = 9 П Ъ (Рис.1), если
1. Vi, i = 1,..., n — 1 : 9Di П 9Di+1 = e где e - ребро;
2. Vi, i = 1,..., n : 9Di П у = yi где yi - связным путь, причем, | yi | > 1 ;
3. | 9Di П у |=| 9Di\(9Di П у) \ и | 9D^ П у |=| 9D^\(9Dn П y) |;
4- уу = 2, ...,п - 1 :| ЗЭз П у | +2 =| Э0Д(Э03 П у |.
В слове есть И-сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово содержится полоса. При этом подслово ф(АВ) слова соответствующее пути у заменяется словом ф(АА-|В-|В) в приМ
Рис. 1. R - сокращение
Определение 7. Слово и называется циклически R- несократимым, если любая, его циклическая перестановка и* не содержum R - сокращения.
ТЕОРЕМА б. Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения. Проблема вхождения в циклическую подгруппу заключается в нахождении алгоритма, позволяющего определить, является ли слово w группы G степенью некоторого слова v в G, то есть w = vn, n > 1.
Лемма 7. Пусть произвольное слово w Є Gab, где
GQb = (a,b; (ab)mab = (ba)mab) -
группа Артина, имеет минимальную слоговую длину. Тогда льожно эффективно выяснить, существуют л,и целые числа, m, її, l2,ln, si, s2,sn что
G Qb
w = al1 bsi al2bs2 ...alnbSn (1)
где I w ||>|| al1 bsi al2bS2...alubSn ||, слово al1 bsi al2bS2...alubSn имеет минимальную слоговую длину, слова, w и al1 bsi al2bS2 ...alubSn начинаются на разные
буквы, m, її, Sj Є Z, Vi, j = 1,n.
Доказательство.
1 случай. Пусть mab = 2k + 1, тогда группа Gab изоморфна группе Bi = (x,y;x2k+i = y2), и изоморфизм задается следующим образом f(a) = xk+iy-i; f(b) = yx-k
n=2
Перепишем (1):
w = ali bSi al2bS2 ...alnbSn a-m (2)
Допустим, существует два набора
li > l2> ...> ln> si > s2> ...> SnJ И (^Q. > li > l2> ...> ln Si,S2 >."> SnJ>
удовлетворяющих равенству (1). Перепишем правую часть соотношения (1) для обоих наборов через образующие группы Вт — х,у. Получим:
(хк+1у-1)11 (ух-к)51 (хк+1у-1 )12 (ух-к)52 ...(хк+1у-1)и (ух-к)5и =
= (хк+1у-1)М (ух-к)31 (хк+1у-1)12 (ух-к)"2 ...(хк+1у-1)1- (ух-к)"п, (3)
где 1|, б,, Ц, в- € 7, VI,з = 1, п
Обозначим левую и правую часть равенства (3) через ^'(х,^) и w/;(х,у). Возможны следующие случаи:
1.1. Пусть слово а11 ЪЯ1 а12ЪЯ2 ...а1иЪ5и а-т содержит подслово, состоящее из чередующихся букв аЬаЬ...а длины 2к + 1, то есть 1т = St = ... = 1т+к = St+k = 1т+к+1 = 1 ■ Этот случай невозможен, так как уменьшается слоговая длина а11 ЪЯ1 а12ЪЯ2...а1иЪ5и.
Рассмотрим другие случаи, ведущие к уменьшению слоговой длины 'Ы.
1.2. Пусть слово а11 ЪЯ1 а12Ъ52...а1иЪ5и а-т содержит подслово ЪТ1 аЪа...аЪаТ2, где аЪаЪ...аЪ имеет длину 2к.
а) Если Т1,Т2 > ^и Т1,Т2 < 0 и Г1 > Т2, тогда проведем следующие преобразования: ЪТ1 ,аЪаЪ...аЪ,аТ2 —> ЪТ1 ,аЪаЪ...аЪа. аТ2-1 —> ЪТ1 ЪаЪ...ЪаЪ,аТ2-1 —>
^ ‘V/1 Ь ^ ‘V/1 Ь ^ 1 Ь
2к 2к+1 2к+1
ЪТ1 +1 аЬаЬ...аЬ аТ2-1, через т2 - шагов получпм ЪТ1 +Т2 аЬаЬ...аЬ. то есть умень-2к 2к шается слоговая длина а11 ЪЯ1 а12ЪЯ2...а1"Ъ5и. Но на этом шаге сокращения не останавливаются, и вновь уменьшается слоговая длина.
Заметим, что преобразования можно провести иначе, в результате чего сократим не слог аТ2, а ело г ЪТ1, то ес ть ЪТ1 ,аЪаЪ...а1ь аТ2 —> ,аЪаЪ...аЪ, аТ1 +Т2 -
‘"V1 ^ 'V/ '
2к 2к
вновь уменьшается слоговая длина а11 ЪЯ1 а12ЪЯ2...а1"Ъ5и.
Если т 1 > 0,Т2 <0 (или наоборот), то проводим аналогичные преобразования, но при этом "перебрасываем" слог с положительным показателем. Пусть |т1 | > |т2|, тогда ЪТ1 ,аЪаЬ...аЬу а-Т2 —> ЪТ1 -Т2 дЪаЬ...аЪа.,а-Т2 +Т2у и получаем
2к 2к а0
уменьшение слоговой длины. Но и на этом шаге сокращения не останавливаются, проводим их аналогичным способом.
б) Пусть слово а11 ЪЯ1 а12ЪЯ2 ...а1"Ъ5и а-т содержит поделово аЪаТ/^а^ аТ2, где
2к
Т2 = 0 (аналогичный случай, если содержит ЪТ1 ,аЪаЬ...аЬу, где Т1 = 0.
2к
Т2 < 0
а ЬаЬ...аЬ а-Т2 ^ Ъ -1 ЬаЪ...аЬ а-Т2 ^ Ъ -1 (сЪ^ а-Т2 +1,
2к 2к+1 2к
через Т2 - шагов, полу чпм Ъ -Т2 а Ь ...а Ь а-Т2 +Т2. И, если данное подслово содер-
2к
жптся в начале пли середине а11Ъ Я1 а12Ъ Я2...а1иЪ а-т, то сокращения пойдут
Ъ-Т2 аЪ...а ЫС^, а, если в конце, то сокращения пойдут влево:
Ътз +1
аЪ...аЪ. И в том и в другом случае, у нас уменьшается слоговая длина.
Ът3 - т2
(Для Г2 >0 проводим аналогичные рассуждения).
Заметим, что вместо подслова аЬ...аЬ. лнбю Ьа...Ьс1 мы можем рассматри-
2к 2к
вать любое подслово длины 2к, являющееся циклической перестановкой определяющего соотношения аЪ...ЪаЪ-1 а-1 ...Ъ-1.
Таким образом, случай 1.2. невозможен.
2)Пусть 1| = = 5|, VI, ] = 1, (п — 1), но 1|+1 = 1^+1 (аналогично, если
1г+1 = 1{+1,5з+1 = 5 •+-,). Получим:
(хк+1у-1)11 +1 (ух-к)^+1 (хк+1у-1 )и+2 (ух-к)^+2 ...(хк+1у-1)1и (ух-к)5и =
= (хк+1у-1)1^+1 (ух-к )5Н1 (хк+1у-1)11+2 (ух-к)5н2 ...(хк+1 у-1)1П (ух-к )5П (4)
2.1. Пусть |1т| > 1, Ы > 1, |1^1 > 1, |5(| > 1, оде т,1 = (г + 1 ),п.
а) Пусть 1|+1 > 0> 5]+1 > °> к+2 > 0> 53+2 > 0 и 1г+1 2> 5^+1 2> 1г+2 2> 53+2
2,1{+1 = 1, 5|+1 = 2Дг+2 = 2 (доказательства для случая 1г+1, 5^+1, 1г+2,5^+2 > 2 проводится аналогично, и при этом значительно упрощается).
х
к+1у-1 хк+1у-1ух-к у х-'^хк+1 у-1 хк+1у-1ух-к ух-к...(ух-к)5п =
™ '(х,у)
хк+1 у-1ух-к у х-'^хк+^ у-|хк+1у-1...(ух-к)8п
™" (х,у)
Проводим внутри слов (х,у) и ""(х^ )сокращенпя. Через конечное число
шагов мы получим приведенные слова в левой и правой части, так как слоги выделились и их показатели вполне определились. Так как 1г = 1{+1, то сокращения в слове ""^(х^)"-(х,у) остановятся на первом слоге.
Таким образом, равенство (3), а, следовательно, и (1), не имеет смысла, кроме случая 1г = 1{, 53 = 5|, где 1г, 53,1{, 5| Е 7, VI, ] = 1, п,
б) Случай 1г+1 < 0,53+1 < 0,1г+2 < 0,53+2 < 0 симметричен случаю 2.1а.
в) Пусть и+1 < 0,53+1 > 0,1|+2 > 0,53+2 > 0, и пусть 1|+1 = —2,53+1 = 2,1|+2 = 2,53+2 = 2,1{+1 = 1, 5|+1 = 2,1{+2 = 2 тогда (3) примет вид:
ух-(к+1)ух-(к+1)у х-,стск+1 у-1 хк+1у-1ух-к ух-к...(ух-к)5и =
= хк+1у-1 ух-к у х-'^хк+1 у-1хк+1у-1...(хк+1у-1)1П (ух-к)"п
Таким образом, сокращений между ^а1/+1) и ^Ъ^+1) не будет. Остальные сокращения пройдут аналогично случаю 2.1а. Так как 1+ = 1/+1, то сокращения в слове '^,//-1(х,у)'^,/(х,у) вновь остановятся на первом слоге.
Случаи и+1 > 0, 83+1 < 0,1/+2 > 0,83+2 > 0, 1+1 > 0, в5+1 > 0,1/+2 < 0,83+2 >
0 ^г+1 > °> 83+1 > 0> 1г+2 > 0> 83+2 < °^г+1 < 0> 83+1 < 0> и+2 < 0> 83+2 > °)
1|+1 < 0, 83+1 < 0,1г+2 > 0> 83+2 < 0 ^г+1 < 0> 83+1 > 0> 1г+2 < 0> 83+2 < 0 ^г+1 >
0,83+1 < 0,1г+2 < 0,83+2 < 0 аналогичны 2.1.в.
Таким образом, равенство (3), а, следовательно, и (1), не имеет смысла, кроме случая 1г = 1/, 83 = 8|, где 1г, 83,1/, 8| Е 7, VI, ] = 1, п,
г) Пусть 1г+1 > 0, 83+1 > 0, и+2 < 0,83+2 < 0 и пусть 1г+1 = 2,83+1 = 2,1г+2 = 2,83+2 2, 1г+1 1 83+1 2, 1г+2 2) тогда.
хк+1у-1 хк+1у-1ух-к ухкух-(к+1]у у-(1с^1]хк ух-к...(ух-к)^ =
X х
= хк+1 у 1 ух к у х-^^ У-1хк+1у-1 ...(ух-к)^
X х
Сокращения возможны только между ^а1"+1) и ^Ъ^+1), ^а1"+2) и ^Ъ^+2) то есть сокращения идут только между слогами, имеющими степени с одинаковыми знаками. Остальные сокращения пройдут аналогично п.2.1.а и 2.1.в. Таким образом, мы выделили слоги, и их показатели вполне определились. Но, так как 1г+1 = 11+1, то сокращения в слове '^,//-1(х,у)'^,/(х,у) вновь остановятся на первом слоге.
Случаи и+1 > 0,83+1 < 0, и+2 > 0,83+2 < 0, и+1 > 0,83+1 < 0, и+2 < 0,83+2 >
0 и+1 < 0 83+1 > 0 и+2 < 0 83+2 > 0 и+1 < 0 83+1 > 0 и+2 > 0 83+2 < 011+1 <
0,83+1 < 0, и+2 > 0,83+2 > 0 аналогичны 2.1.г.
Таким образом, равенство (3), а, следовательно, и (1), не имеет смысла, кроме случая 1г = 1/, 83 = 8|, где 1г, 83,1/, 8| Е 7, VI, ] = 1, п.
2.2. Пусть среди и, 83 оде 1г, 83,11,8| Е 7, VI, ] = 1, п, есть такие, что 1г = 83 = и+1 = 83+1 = ... = и+т = 83+г = 1, где г,] = 1, п, (г + г) < к, 0 + г) < к. И пусть 1/ = 2,83 = 2,11+1 = 2. То есть:
хк+1у-1ух-кхк+1у-1ух-к...ух-к у -1 хку ххк+1 у —1 ...ух-к ух-к...(ух-к)^ =
4 ч/ к 4 ч/ к
х*1 х*2
= хк+1 у-1 хк+1у-1ух-к у х-ч/кИ у-1хк+1у-1 ...(ух-к )^,
X х
ГД6 < к.
Таким образом, в ходе сокращений у нас выделяются подслова, состоящие чередующихся СЛОГОВ "х^" ,"Ьн < к разделенные либо у-1, либ о у.
Но, так как 1г+1 = 1/+1, то сокращения в слове '^’//-1(х,у)'^’/(х,у) вновь остановятся на первом слоге.
Таким образом, единственная возможность выполнения (1) - это выполнение условия 1г, 83,1/,83 Е 7, VI,] = 1,п.
2 случай. Пусть т-ц = 2к, тогда группа изоморфна группе В2. Изоморфизм задается следующим образом f : аг —> Ь; f : а^ —> хЬ-1.
Вновь допустим, что существует два набора (т, 11, 12,..., 1П, 81, 82,..., 8П) и (т/, 11,12, ...,1П, 8^,82, ...,8^), удовлетворяющих равенству (1). Перепишем правую часть соотношения (1) для обоих наборов через образующие группы В 2 — х, Ь. Получим:
г11 (хЬ-1) ^ Ь12 (хЬ-1)S2 ...Ьи (хЬ-1)^ = Ь11 (хЬ-1) ^ Ь12 (хЬ-1) 82 ...Ь^ (хЬ-1) ^,
где 1г, 83,1/, 8- Е 7, VI, 3 = 1, п.
Проведем все сокращения в обеих частях равенства:
Ь11-11 х^ ь-^ +12 xS2 Ь-^ +13 Ь-^ -1 +1п х^ Ь-^ —х^' Ь-^ +12 х^ ь-^ +13 Ь-^ -1+1П х^ Ь-^
где U, Sj, l{, sj е Z, Vi, j = 1, n.
Аналогично, рассуждая, как и в 1 случае, получим, что равенство (1), кроме случая l| = l{, Sj = sj, где l|, Sj, lj, sj е Z, Vi, j = 1, n не имеет смысла.
Лемма 8. Пусть произвольное слово w е GQb, где
GQbj = (a,b; (a,b)mab = (ba)mab) -
группа Артина, имеет минимальную слоговую длину. Тогда можно эффективно установить существуют ли целые числа m, l-|, l2,..., ln, si, s2,..., sn такие, что в Gab выполняется равенство wam = alibsi a12bs2...alubsu, г<9е ||w|| > ||ali bsi al2bs2...a1"bSna-m|| м m, U, sj е Z, Vi, j = 1,n.
Доказательство. Доказательство леммы 8 следует непосредственно из того, что показатели степени m, U, sj в каждом слоге слова alibsial2bs2 ...alubsua-m не превосходят по абсолютной величине |w| + 1, т.е. l|, sj,m < |w| + 1.
Лемма 9. Существует алгоритм,, позволяющий для, любого циклически приведенного слова w группы, Артина с древесной структурой выяснить, является, ли w R - приведенным.
Доказательство. Разбиваем слово w на подслова w1, w2,..., wn, т.е. w = WiW2...wn, где каждое ws е GQsbs,s = 1,n.
1. Для каждого подслова ws определяем, равны ли они единице в группе GQsbs, которой они принадлежат.
2. Рассмотрим подслова ws е GQsbs, выясняем, принадлежат ли ws подгруппе
(as) (bs)
3. Рассмотрим подслова ws е GQsbs. Выясним, имеет ли решение одно из уравнений wsam = aki bsi ak2bs2 ...aknbsn, wsbm = bsi aki bs2 ak2...bsnakn, k|,sj,m < |ws| + 1. Лемма доказана.
Лемма 10. Существует алгоритм,, позволяющий для, любого циклически w
ляется, ли w R - приведенным.
Доказательство. Запишем " на окружности, разбиваем его на подслова ™Ь™2,...,™П, Т.е. w = '^1'^2...'^п, Где каждое ws Е Gasbs ,8 = 1,п. Строить полосу начинаем с "1. Пусть "1 Е Са1Ь1, решаем в Са1Ь1 уравнения "-1ак1 Ъ^1 ...а^ = 1,^-1Ъ^1 ак1 ...Ъ1П = 1. При этом должно выполняться, во-первых, условие циклической неприводимости слов '^’-1ак1 Ъ^1 ...а^, "-1Ъ1 ак1 ...Ъ^^ в свободной группе; во-вторых, дли на подслова "1 должна удовлетворять условию ||^11| = Ца^ Ъ^1 ...а^ || или ||"11| = ЦЪ^1 ак1 ...Ъ^и ¡.Допустим, что уравнение "-1ак1 Ъ^1 ...а^ = 1 разрешимо в группе Са1ь1 и все условия вы-
$
полняются. Заменив "2 на "2 = а^"2, решаем уравнение "2 1Ъ^1 аР1 ...аР1 = 1
(или "2- ар Ъ? ...Ъ? = 1) в группе Са1Ь2,"2 Е Са1Ь2. Тогда:
а) Если уравнение щ^Ъ-?1 ар ...ар = 1 разрешимо, и длина "2 удовлетворяет ||"2|| = ЦЪ^1 ар ...аР|| + 1, и слово ш^Ъ-?1 ар ...аР циклически несократимо, тогда полоса построена.
б) Допустим уравнение "2-1Ъ^1 ар ...ар = 1 разрешимо, и длина "2 удовлетворяет ||"21| = ||Ъ2 ар ...ар11| — 1 и слово щ^Ъ-?1 ар ...ар циклически несократимо. И пусть ситуация б) выполняется для Н слов ^, 8 = 2, Н, Н = 2, п. Тогда, обозначив "Н = а^т "н, решаем уравн ение "Н-1Ъ^1 а^1 ...аНт = 1 где выполняется ||"н|| = ||ЪН а^1 ...а^т || + 1- Если данное уравнение разрешимо, и слово "н^Ън а^1 ...ант циклически несократимо, то полоса построена. В противном случае решаем уравнение "н-1аН1 ЪН1 ...ЪНт = 1- И так далее. Лемма доказана.
Теорема 8. [2] Пусть С* = (С,Ь;Ь-1Н1Ь = И2) есть НИИ - расширение группы, С с помощью ассоциированных подгрупп Н1, Н2г удовлетворяющие условию максимальности и пусть:
1. в С разрешима проблема вхождения;
2. существует алгоритм, такой, что для, каждой конечно порожденной подгруппе И С С позволяет установить образующий И П Нг, г = 1,2;
3. существует алгоритм,, позволяющий для, Va Е С, для, любой конечно порожденной подгруппы И С С установить пусто или не пусто множество аН П Нг, г = 1, 2
Тогда в С* разрешима проблема вхождения.
По лемме 1, группа Артина при т13=2к+1 изоморфна группе (х,у; х2к+1 = у2), а пр и тг3 = 2к - групп е (Ь,х; ЬхкЬ-1 = хк).
тг3 = 2к
Если тг3 = 2к + 1. Тогда пусть Сг3 = (аг, а3; аП = ат), С*3(аг,Ь;Ь-1арЬ = ат), тогда Сг3 вложима в С*3, в которой, по теореме 9, разрешима проблема вхождения, следовательно, и в Сг3 разрешима проблема вхождения.
Пусть " - циклически И и И- несократимое.
Теорема 9. Существует алгоритм,, строящий по любому несократимому слову " сопряженное с ним, или с его квадратом, в группе Артина, с древесной структурой слово "о, любая степень которого И и И - несократим,а.
Для доказательства нам понадобятся следующие результаты.
Лемма 11. Существует алгоритм,, строящий по любому циклически несократим,ом,у в свободной группе и не равному 1 в группе С слову " циклически
И и И - несократимое слово 'о, сопряженное с № в группе С.
.ЛЕММА 12. Существует алгоритм, строящий по любому циклически несократимому в свободной группе и не равному 1 в группе С слову ' циклически И и И - несократимое слово '0, равное с ' в группе С.
Пусть группа С порождена более чем двумя образующими. Рассмотрим циклически И и И - несократимое слово не равное 1 в группе С. И пусть любая циклическая перестановка '* слов а 'такая, что '* </ С-у. Покажем, что слово
является И- несократимым.
Пусть слово содержит деновскую область Э. Данная область не может содержаться внутри так как 'И - несократимо. Следовательно, она может
№ № № циклически И несократимо. Следовательно, слово не содержит деновских областей.
Пусть в слове имеет место И- сокращения. Рассмотрим окружность, по границе которой запишем слово (обозначим эту границу ЭМ. Разобьем окружность на пути у*, 1 = 1,п, причем ср(уг) = Можно всегда считать, что п = 2к. Пусть = Эт и Э2 и ... и - полоса. Обозначим через 9 П у = у', а(у')
- начальную точку пути у', ^(у')- конечную точку пути у'.
№
что ^(у') = ш(у-|). Считаем, что ср(у-|) = ' - циклически несократимое слово.
Подклеиваем С внутренней стороны К У1,Уз> ...,У2к-1 И С внешней стороны окружности к у2, у4,..., У2~к полосы, причем конечная точка пути у' в каждом случае совпадает с начальной точкой пути у 21+1,1 = 0, к — 1. Полученную кольцевую диаграмму обозначим через К.
Для простоты рассмотрим всевозможные случаи для полос, у которых сЦО-|) = {4,6} и сЦОп) = {4,6} (Рис.З). Если же сЦО-|) > 6 и (или) сЦОп) > 6, доказательство проводится аналогично и при этом значительно упрощается.
Обозначим через а внутренний, а через у - внешний граничные циклы К. Покажем, что в ф(а) нет деновских сокращений.
Деновские сокращения могут возникнуть ТОЛЬКО на стыке двух ПОЛОС У2к-1 и У2к, к = 1, п, приклеенных с внешней и внутренней стороны окружности.
Пусть Эо - деновская область, которую мы будем подклеивать к границам стыкующихся ПОЛОС У2к-1 и У2к, к = 1, п.
+
41
1.
4-
гЦ 1 1 1 1 1
»1
Ч ■ 11.
2. ■
1 1 У
3. 4.
Рис. 2. Виды полос при сЦО-|) = {4,6} и сЦОп) = {4,6}
1 случай (Полоса 1).
1.1. Пусть || ЗЭт Пу ||= 2, || ЗЭт Пут ||= 1, || ЗЭт Пу2 ||= 1, || ЗЭт и ||= 1 и пусть ф(ЗЭт П У1) = ат, ф(дЭт П у2) = Ъ*, ф(ЗОт П ) = ат, т,I € 7\{0}.
Будем всегда считать, что т > 0 (случай т < 0 рассматривается аналогич-
1) Пусть ф(ЭЭППу 1) = е-5ат, т.е. ф(9Э1) € Саъ,ф(дЭп) € Сае-
а) Если деновская область Эо имеет общие ребра с ЭП и захватывает ХОТЯ бы ОДНО ребро Э2 (где Э2 - произвольный 2к- угольник), то получаем, что
С
£Й1
у2 Т
Рис. 3. Подклеивание деновской области (для а),б),с)) и подклеивание полосы
1 (для д))
Аналогичным является случай, если Эо имеет общие ребра с Эт, ЭП и захватывает ребра нескольких областей Э2, Э3,..., Эг.
б) Если область Эо имеет общие ребра с ЭП— (Э^- произвольный 2к -угольник), ЭП, Эт, тогда в записи слова ф(дЭо) будет содержаться три образующих, либо в дереве - графе Г выделится петля, чего не может быть (Рис.36).
Аналогичным является случай, если Эо захватывает ребра Э^,Эт и ряда областей ЭП—, ЭП_2,...,
в) Если область Эо имеет общую вершину с Э^, захватывает области Э2, Э3, (где Э2, Э3 - произвольные 2к - угольники). То вновь ф(дЭо) будет содер-
Г
водим аналогичные рассуждения для случая, Эо захватывает Э3,..., Эг.
г) Если мы подклеим полосу * любого из четырех видов, то вновь выделится
С
2. Пусть ф(ЗОт), ф(ЗЭП) € Саъ-
а) Пусть ф(дЭт П у2) = Ъ1, ф(дЭП П у0 = Ъ-5ат, ф(дЭт П дЭП) = ат,
т, б € 7\{0} т. е. б и I имеют противоположные знаки (Рис.4). Тогда на границе слов ф(у1), ф(у2) получаем подслово "Ъ-5атЪ1". Пусть | б |>| I |. Таким образом, на границе слов ф(у-|), ф(у2) происходит И - сокращение, так как подслово "Ъ-1атЪ1"можно заменить на "ат", а это невозможно в виду циклической И -
№
2.6) Если ф(дЭт Пу2) = Ъ1, ф(дЭППут) = Ъат ф(дЭт П дЭ^) = ат, т. е.ей
I имеют одинаковые знаки, т, б € 7\{0} (Рис.5). В этом случае мы, приклеивая ребро с меткой Ъ-1 к ребру с мет кой Ъ на границе с лов ф(ут), ф(у2), получаем Эт №
Рис. 4. Случаи 1.1.2.а
Рис. 5. Случаи 1.1.2.б.
3) Пусть ф(ЭО-| П у-|) = а™1, ф(90^ П у-|) = Ъ1ат, ф(Э0-| П 90^) = а™1 где
т-| + т2 = т,т, 1, т1, т2 £ 7
Ъаск81азН{0} (Рис. 6). Пусть ф(901 Пу2) = с. Если с = Ът, то получаем случаи
2.а. и 2.6. Если же с = ат, то м будет циклически сократимым. А в случае с = Ъ, с = а
с подклеиванием области О0.
т2 . Т
О; п
Рис. 6. Случаи 1.1.3.
1.2. Пусть || ЭОт П У1 ||= 2, II 90, П 90^ ||= 2, ф(30т П уЦ = атЪ1,
ф(30т П 90^) = атЪ1, т, I € 7\{0} (Рис. 7). Так как об ласти 0т,0П являются взаимообратными и ф(90-| П Э02) = ф(еЦ = ф(е2), то м = ф(у2) сопряжено
слову с более короткой длиной, что противоречит предположениям.
1.3. Пусть || 9 П у1 ||= 3, причем || 901 П у 1 ||= 2 и II 902 П у 1 ||= 1, (1(02) = 4(для (1(02) = 6 аналогично) (Рис.8).
Имеем ф(901 П у1) = атЪ1 и пусть ф(902 П у1) = ср и ф(90^ П у1) = Ъ1ср,т, 1, р € 7{0}. Таким образом, вершина является внутренней точкой диаграммы М/, что невозможно.
1.4. Пусть 901 П 90^ = 0, || 901 Пу1 ||= 2, || 902Пу1 ||= 1,...,90кПу1 = 0,
ч у2 • У
е1 О; П ><Г
Рис. 7. Случаи 1.2.
'о*. > А 4 у2 у
П
Рис. 8. Случаи 1.3.
У а"ш 4 У ^ ^ .4
О 1 а п
Рис. 9. Случаи 1.4.а
тогда возможны следующие случаи:
а) а(Эк) = 6 I ЗЭк П п ||= 2 II ЗЭк П зэ; ||= 2 и ф(ЗОк п ээ;) = атЪ (рис.9). Рассмотрим слово ф(АСэв) = ф(АБ), но ф(АСэВ) = ф(АС) • ф(Сэ) • ф(эв) = а5-ф(СО)-а-т- ф(Сэ>а5_т, получаем || ф(Сэ)а5_т ||=<|| ф(АБ) ||,
что невозможно по предположению.
б) а(Эк) = 8 II зэк п п ц= з ц зэк п ээ; ц= 2 и ф(зЭк п ээ;) = атъ1
(рис.10). Тогда получаем, что, либо 0;_|,0; Е Саь, либо область эк на трех образующих, что невозможно.
а"ш А У2 . \
О 1——1 П
Рис. 10. Случаи 1.4.6.
а"ш ч. 1 а У2 . Т
О 1 —1 П
Рис. 11. Случаи 1.4.в.
в) арк) = 8 II зэк п У1 ц= 2 II зэк п ээ; ц= 2 и ф(эОк п ээ;) = атъ1
(рис.11). Тогда рассмотрим слово ф(у2) = ы = аТЫ1 атЪ1, и учитывая атЪ1 = Ъ1ат, то w - аТ+т'1Ъ1, т. е. сопряжено слову с более короткой слоговой длиной, что противоречит нашим предположениям.
Если ф(ЗОк П Зэ;) = атЪ1% ф(ЗОк П у2) = Ъ12, этот случай невозможен, так как циклически несократимо.
г) а(Ок) = 10 II ЭОк П у1 ||= 3 || ЗОк П зэ; || = 2 т ф(ЭОк П ээ;) = атЪ1 (рис.12). Данный случай невозможен, так как, либо ф(3э;_1), ф(9э;) Е СаЬ,
эк
2 случай. (Полоса 2).
2.1. Пусть || 9э1 Пу1 ||= 1, || 9э1 Пу2 ||= 1, || Зэ;Пу1 ||= 3.
1) Пусть ф(9э; П у1) = аЪат и ф(3э1 П у1) = ат, ф(3э1 П у2) = ct, т, I Е ^\{0}.
а) Если эо имеет общую вершину с э;, общие ребра с областями О1,О2, э3 Р2, эз - произвольные 2к - угольники, Рис. 13а), тогда либо выделится петля в дереве - графе, либо э-1 и э2 (или и э3) принадлежат одной подгруппе
У2 . Т
1 1 1— п
Рис. 12. Случаи 1.4.г.
Су, что невозможно. Аналогичные рассуждения имеют место, когда О0 имеет общую вершину с ЭП захватывает области Оі ,02,..-,О2.
б) Если Оо имеет общие ребра с областями ОП,Оі,02 (О2- произвольный 2к - угольник). Вновь выделится петля в дереве - графе группы С (Рис. 136). Аналогично рассуждаем, если О0 захватывает ряд областей О^, Оі, О2,..., О2.
Рис. 13а. Подклеивание деновской области.
Рис. 136. Подклеивание деновской области.
в) Если О о имеет два общих ребра с о бластью ОП и одно с Э]. Тогда в записи слова ф(дОо) будет содержаться три образующих (Рис. 14в).
Если мы подклеим полосу * любого из четырех видов, то вновь выделится петля в дереве-графе группы С.
2) Пусть ф(9О1), ф(9ОП) € Саь- Тогда пусть ф(9О^П71) = аЪат и ф(дО1 П 71) = ат , ср(зО1 П72) = Ъ , тД € ¿\{0} || ср(ЗО1) ||= 4, || ф(ЭОП) ||= 6.
Так как диаграмма приведена, и области с граничными метками из одной и той же подгруппы Саь, поэтому от слова ^ можно перейти с помощью сопряжения к более короткому слову (как в случаях 1.4.а, 1.4.в).
3) Пусть ф(9ОПП71) = аЪат, ф(9О1 П71) = ат] и ф(ЭО^П 9О1) = ат], где т1 + т.2 = т. Пусть ф(9О1 П 72) = с. Если с = Ът, то получаем предыдущий
Т
в2 Э, П А
Рис. 15. Случай 2.1.2.
случай. Если же с = ат, то ' будет циклически сократимым. А в случае с =
Ъ, с = а
Оо
2.2. Пусть || 9О1 П у1 ||= 2, ф(9О^ П у1) = аЪат и ф(9О1 Пу1) = Ъат,т € 7\{0) (Рис. 16). Этот случай невозможен, так как ф(9О1), ф(ЗО^) € С
аЬ") И ПОэтому, так как || ф(ДБ) || = || ф(АСОВ) || и ф(АСОВ) = ф(ДС)-ф(СО)-ф(ОБ) = Ъ • ф(СО) • Ъ ~ ф(СО) • Ъ5+^, получаем || ф(СО) • Ъя+* ||< || w ||, что невозможно по предположению.
В’п1
а
В’
п
ь
в
Т
с
Рис. 16. Случай 2.2.
В
П
В
2.3. Пусть || 9ОППу1 ||= 3,|| 9О1 Пу1 ||= 2, || 9О2Пу1 ||= 1,|| 9О2Пу2 ||= 0 (Рис.17). Получаем противоречие: либо ф(9О1), ф(9О2) € СаЬ, либо область ОП содержит минимум 3 образующих.
2.4. Случаи, когда 9О1 П 9О^ = 0 невозможны, и их рассмотрения сводятся к аналогичным случаям, когда полоса имеет вид (1).
3 случай. (Полоса 3).
3.1. Пусть || 9О1 П у1 ||= 1,1| 9О1 П у2 ||= 2, || 9О1 П 9О^ ||= 1 ■
1) И пусть ф(9О1 Пу1) = ат ф(9О1 Пу2) = Ъа, причем ф(9О^П 9О1) = ат и ф(9ОП П у1) = асат, т € 7\{0).
т
а
Рис. 17. Случай 2.3.
babm, то w
Заметим, если с = Ъ, то слово ф(у2) = w = bawiabam, но так как abam = bm+1 awiba, т. е. мы можем уменьшить слоговую длину w.
а) Если Do захватывает вершину D^, область Di, ребро области D2 (где D2
- произвольный 2k- угольник), тогда, либо выделится петля в дереве - графе, либо Di и D2 принадлежат одной подгруппе Gab, что невозможно (Рис.18а).
Рис. 18а. Подклеивание деновской области.
Рис. 186. Подклеивание деновской области.
Аналогичный случай, если Do захватывает вершину ОП облас ти Оі, 02, ■■■,
02.
б) Если О0 захватывает ребро О^, область 01 (или ряд областей Оі, 02, ...,
02, то вновь выделится петля в дереве - графе (Рис.186).
в) Проводим аналогичные рассуждения, если О0 захватывает ребра областей ОП Оі( или ряд областей 01, ОП, О^_і, • ••, ОП—ъ Рис.18в).
Если мы подклеим полосу * любого из четырех видов, то вновь выделится петля в дереве-графе группы С.
2) Пусть ср(ЗОі), ф(9ОП) Є Саь- Получаем случай, рассмотренный в 3.1.1.
3) Пусть ф(9О1 Пу-|)=аті, ф(9О^Пу-|)=аЪат, ф(9О1 П дОП)=аті ,ф(9О1 П У2) = са, где ті + т2 = т,т, ті,т2 Є ¿\{0} Пусть деновская область О0,
D’n-i D’ n > I ч т У 1 ч
'С, I1 Di d2 п Dn
Рис. 18в. Подклеивание деновской области.
указана на рисунке 19. Тогда ср(ЗОо), ф(30-|) € Сас, и т. к. || ф(ЗО0) ||= 4, то ас = са. Поэтому слово ф(у2) = ' = са'ачаЬа™ можно преобразовать к слову ^ = ас'^аЬа™, которое является циклически сократимым. Остальные случаи деновских сокращений невозможны.
3.2. Пусть || 301 Пу1 ||= 2,|| 301 Пу2 ||= 1, тогда ф(30-|), ф(30п), ф(ЗОП) € Саь(Рис.20). Случай аналогичен 3.1.1.
D’nl D'
" 4 m2™1 <
i a а l
-k-L
D„
%
D,
П
Рис. 19. Случай 3.1.3.
D’n, D’ п \ 4 т . .1 ч
т D, d2 П Dn
Рис. 20. Случай 3.2.
3.3. Пусть | 3Di П yi |= 31 302 П yi ||= 0. Тогда ф(301), ф(ЗОП) Е Gab
(Рис.21). В данном случае от слова w можно циклическим сокращением перейти к слову с более короткой длиной.
3.4. Пусть || 3D1 П yi ||= 3II 9D2 П yi ||= 1 и d(D2) = 4. Получим противоречие: область Di содержит минимум 3 образующих (для случая d(D2) аналогично).
4 случай. (Полоса 4J- Данный случай симметричен случаю, когда полоса имеет вид 2.
Так как в ф(у) = wo более нет R, R- сокращений, следовательно, мы получили слово w — 0, любая степень которого R и R - несократима.
Я’я1 Б’ п > 1 1 ‘_т. .1 ч
т 1 1 А А П Б
Рис. 21. Случай 3.3.
Теорема доказана.
Теорема 10. Пусть м циклически И и И - несократимое слово в группе С, тогда существует алгоритм,, позволяющий определить, является, ли слово м степенью некоторого слова, V, то есть м = vn, п > 1.
Доказательство. Из теоремы 8 следует, если слово м, удовлетворяющее условию теоремы, принадлежит группе Су, то проблема вхождения в циклическую подгруппу разрешима.
Пусть слово м Е Сим'/ Су И пусть существует такое слово V, что для некоторого п выполнено равенство м = Vй, п > 1.
Пусть слово Vo сопряжено с V2, причем любая степень Vo И и И - несократима. Тогда будем рассматривать равенство м2 = v2a. Предположим, что равенство верно. Пусть существует кроме п такое п;, что м = vn , тогда м2 = v2n , следовательно v2n = v2n , откуда v2('n = 1. Если п = п;, то слово V имеет конечный порядок в группе С, что невозможно. Следовательно, п = п; (единственность для случая, когда v0 сопряжен о с V, доказывается аналогично).
Слово v0 сопряжен о с V, причем любая степень v0 И и И - несократима: V = г^г-1. Следовательно, слово м заменим сопряженным ему словом м0 : м = г2™0г-1. Тогда г2м0г-- = г1 ^г-1, откуда г-1г2м0г-1г1 = т.е. г-1'^ = Обозначим м1 = г-1'0г.
Тогда будем рассматривать равенство ^ Для доказательства справед-
п
сверху.
Рассмотрим связную односвязную приведенную И - диаграмму М, содержащую с областей ЭМ = у и 6, ср(у) = ^1,ф(6) = Так как М является однослойной, то количество областей, граничащих с у и 6 одинаково. Следовательно, количество ребер N^5 принадлежащих пути 6, не превосходит |'1|, тогда количество вершин N ограничено числом ^ | + 1. Тогда число областей, выходящих на 6 Р < N + N = |^11 + |'11 + 1 = 2|^11 + 1.
Получаем п • |^0|| < р • (|™1 • |г|) < (2|™1 + 1) • (|™1 • (2|™1 + 2)) = 2|™1 • (2|^112 + 3|'1| + 1), то есть п < [2^ |’(2|М|'|Л|0+3^11+1 ^]■
В случае при переходе от V2 к v0 проводим аналогичные рассуждения и
„ ^ 1 г 21 л^1 |-(2|'^>1 |2 +3|"^>1 |+1) и
также приводим к неравенству п < 2 • [-— II — — ] •
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Appel K., Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups // Invenf.Math. 1983. V. 72. P. 201-220.
[2] Без верхний В. H. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Ар-тина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. Вып. 4. С. 7-21.
[3] Безверхний В. H., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГу. 2006 г. С. 28-39.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. Получено 13.10.2008.
