Решение проблемы вхождения в параболическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.4

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ВХОЖДЕНИЯ В ПАРАБОЛИЧЕСКУЮ ПОДГРУППУ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

О. Ю. Платонова, В. Н. Безверхний

Доказывается, что в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в параболическую подгруппу.

Ключевые слова: группа Артина с древесной структурой, диаграмма, область.

Пусть О - конечно порожденная группа Артина с копредставлени-

ем

О = (аг,а2,..., ап= (ааУ^, где (а1а^Пч = ага}а, ••• " слово длины

Шу, состоящее из т^ чередующихся букв а и а}, ; ф 1, т - число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, т > 2 при ¡ф 1.

Каждой конечно порожденной группе Артина О . соответствует конечный граф Г *, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если а и а являются вершина-

ми ребра е, то ребру соответствует соотношение вида =

группы О

Г * •

В графе Г * можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г е Г *. Будем говорить, что группа Артина О имеет древесную структуру, если между вершинами конечного дерева - графа Г и образующими группы можно установить соответствие такое, что если а и а являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение ви-дЦ=(.То есть максимальное дерево-граф Г соответствует

группе, имеющей древесную структуру.

Тогда группа ОГ отображается с помощью гомоморфизма у на группу О г,, т. е. ОГ —^ О г..

Пусть а и а вершины некоторого ребра е дерева - графа Г. Группа, порожденная образующими а и а , имеет копредставление

О а1, а} ^аа^)т" = (Обозначим через Щ множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе О . Тогда копредставление группы О запишем через

О = (а,,а;Щ). Пусть группа О порождена более чем двумя образующими.

Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением О = (ах,а2ап;Щ,Я = . Рассмотрим свободную группу

р = ^ а), пусть w е Р, обозначим через длину, а через р|| - слоговую

¿=1

длину слова w в свободном произведении рр .

I=1

Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной групп

пер = р а,.) и равно единице в О. Тогда на основании теоремы ван Кам-

пена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы над R.

Введем следующие преобразования диаграммы (*):

1) пусть области Д, Д пересекаются по ребру ((ЭД пдД), имеющей слоговую длину ||((ЭД п dD2)\ > 1, ((ЭД) е Gab, ((дД2) е Gab, тогда, стирая это ребро, объединяем Д и Д в одну область D. Если метка полученной области Д равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу.

2) если две области Д, Д, где ((ЭД) е GЛ, ((дД) е G^, имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область Д и, если метка полученной области Д равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.

Определение 1. Назовем внутреннюю точку v диаграммы специально особой точкой, если d(v) > 3 и все ребра, исходящие из нее, имеют одинаковые метки.

Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется особой.

Определение 3. Область D назовем деновской, если i(Д) < 1 d(Д),

где i(D) - число внутренних ребер, d(D) - число ребер в граничном цикле для D.

Определение 4. Область с граничным контуром eye~15, склеенная по ребру е и с меткой из R назовем S-i областью.

Рассмотрим произвольное слово w е G, G - группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свобод-

n

ной группе F = П *(аг.) и равно единице в G. Тогда на основании теоремы

7=1

ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы M над R. Рассмотрим граничную область Д карты M. Обозначим через y внешнюю границу диаграммы M . Если Д является деновской областью, то ||дД п y|| > ||ЭД \ (дД п y)||. Удаление деновской области Д диаграммы M ,

то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы M или R - сокращением. Будем говорить, что M является R -приведенной, если она не содержит деновских областей.

i=1

Определение 5. Слово ие О, О - группа Артина с древесной структурой, называется я - приведенным, если и свободно приведено в ^ и не содержит подслово я, являющееся подсловом некоторого соотношения

г, г = я • /, где ||я|| > 1||г||. Назовем и циклически я - приведенным, если все

его циклические перестановки являются я - приведенными словами.

Предложение 1 [2]. Пусть связная односвязная я -диаграмма М с граничной меткой w, где w не равно единице в свободной группе F и равно единице в О, не содержит 8-1 областей, тогда она и не содержит внутренней особой точки.

Предложение 2 [2]. Пусть связная односвязная я -диаграмма м с граничной меткой и е О, не равной единице в свободной группе F и равной единице в О, не содержит 8-1 областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда на внешнюю границу выходят как минимум три деновские области;

Предложение 3 [2]. Связная односвязная диаграмма М над я не содержит 8-1 области;

Следствие 1 [2]. Пусть связная односвязная диаграмма М с граничной меткой w, где и - циклически я - приведенное слово, не равное единице в свободной группе ^ и равное единице в О, не содержит специально особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.

Из предложений 1,2 и следствия 1 следует, что диаграмма М является однослойной.

Предложение 4. [2]. Если связная кольцевая диаграмма М над группой О с граничными циклами 8 и у, где ф(у),ф(5) - циклически я - несократимые слова, тогда, если М содержит хотя бы одну 8-1 область, то все области данной диаграммы будут являться 8-1 областями.

Теорема 1. [2]. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства слов;

Предложение 5. [2]. Пусть слова w, V сопряжены в группе О. Тогда, если = 1 и V циклически я - несократимо в О, то = 1.

Теорема 2 [2]. В конечно порожденной группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.

Лемма 1 ([1]). Группа Артина О при ту = 2к + 1 изоморфна группе

(х, у; х2к+1 = у^, а при т = - группе (г, х; гхкг = хк}.

Лемма 2 ([1]). Пусть О = \а,,а'>(а,а})т = - группа Артина и

слово и е О циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2ту и равно единице в Оу. Тогда при т = 2к + 1 w имеет вид

а)ат а л.. .ал-т а-1.. .а-1, либо

* ] * * ] * ]

б)ага]аг ...а,т а-1 а-1...а- т, либо им обратные;

а при т =2k

ij

а')цтa ...a.a.a. тa-1...a-1, либо

'■J ' J ' J J

.. aam a1.. .a-т, либо им обратные, т е {z \ {о}}.; Лемма 3 [1]. Пусть M - связная приведенная R,R - приведенная кольцевая диаграмма над группой G , у, 5 - граничные циклы M и

р(у) = xp. Тогда р(5) = yp, где x, y е {af, aj1}.

Данная лемма сформулирована и доказана для групп Артина большого типа. Легко видеть, что она справедлива и для групп Артина с древесной структурой

Определение 6. Поддиаграмма П = \\ Ц образует полосу в R-приведенной диаграмме М с граничным циклом 8M = у\5, где у есть путь

AB', 5-А'ABB , AB = 8П пу, АВ =8П п5 (Рис.1), если

1 Vi, i = 1, n -1 8Ц Q 8Di+l = e , где е{- ребро;

> 1

2 V/, / = 1, п дД П/ = /, где / - связный путь, причем

3 |дд ПН = |ЗДх \(дд П/ и |дд ПН = К \(зДп П/)|;

4. V], ] = 2,п -1 |дД ПН + 2 = \Д \(дД Пн) .

В слове w есть К -сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово w, содержится полоса. При этом подслово (р(АВ) слова w, соответствующее пути / заменяется словом р( ААВВ) в приведенной диаграмме М.

A

A

i—V

B

B'

D

A

A

B>

B\

Рис. 1. К - сокращение

Определение 7. Слово и называется циклически К - несократимым, если любая его циклическая перестановка и * не содержит К - сокращения.

Теорема 2. [3]. Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.

Теорема 3. [4]. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу.

Определение 8. Пусть w, v е G и w v). Будем говорить, что в группе G разрешима проблема слабой степенной сопряженности, если существует целое число n такое, что слова w и vn сопряжены в группе G.

Рассмотрим связную кольцевую приведенную R - диаграмму M, где у - внешняя, а ß - внутренняя границы диаграммы, DM = yuß.

Определение 9. Область D назовем областью первого типа, если \\dD п у\\ = ||DD п ß, где d(D) = ||DD п у\\ + \\dD п\ + 2.

Определение 10. Область D назовем областью второго типа, если

||DD пу\\ + 2 = ||DD п ß, где d(D) = ||DD п у\\ + \\dD п ß\ + 2.

Определение 11. Область D назовем областью третьего типа, если

||DD п у = ||DD п\ + 2, где d(D) = ||DD n у\\ + ||DD п\ + 2.

Рассмотрим связную кольцевую приведенную R - диаграмму M сопряженности слов v и w. Пусть рруу) = w, (piß) = v, где у - внешняя граница диаграммы M , а ß - внутренняя.

Предположим, что диаграмма M состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа. Но тогда ||v|| = |\w\\ + 2, или

наоборот ||w|| = | |v|| + 2. В этом случае переход с помощью сопряжения от

слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым сокращением.

Определение 12. Циклически R и R - несократимое слово w в группе Артина G назовем тупиковым, если к нему нельзя применить кольцевое сокращение.

Лемма 4. Пусть w,v - тупиковые слова из G, и пусть w,v сопряжены в G. Тогда ||w|| = 1|v||, и никакое слово u eG такое, что ||u|| < ||v|| не сопряжено с w.

Доказательство. Пусть w, v - тупиковые слова, сопряженные в G. Если слоговая длина хотя бы одного из слов равна единице, то заключение леммы следует из предложения 5.

Пусть w, v е Gflfe . При m = 2k имеет место G = (t, x; txkt 1 = xk}, при

my = 2k +1 группа G изоморфна группе (x, y; x2k+l = y^, заключение леммы

непосредственно следует из [5].

Пусть w, v е G, слова w, v - циклически R, R несократимы, и не сопряжены ни с какими элементами из групп вида Gab. И пусть ||w|| > 1, |\v\\ > 1.

Тогда существует связная приведенная кольцевая диаграмма M сопряженности слов w, v. Будем рассматривать диаграммы сопряженности вида рис. 2.

Пусть M - связная, приведенная кольцевая R - диаграмма сопряженности слов w, v вида рис. 2.а. Диаграмма является однослойной. Пусть

р(у) = w, р(8) = V, где у начинается и заканчивается в точке О, а путь 8 - в точке О\. Разрежем диаграмму м по ребру, которому соответствует путь 00. Получили связную односвязную приведенную я - диаграмму М ■

а б

Рис. 2. Кольцевая диаграмма

1. Пусть диаграмма состоит только из областей первого типа. В силу того, что метка каждого ребра есть буква или степень образующего, и области пересекаются по ребру, то для любой области Б выполняется

\pidD п у)|| = ||р(ЗБ п 8)||. Таким образом, = ■

2. Пусть диаграмма М содержит одну область второго или третьего типа. Это невозможно, так как в этом случае нарушается условие: w и V являются тупиковыми словами.

3. Пусть диаграмма М1 содержит области второго и третьего типа, разделенные в общем случае областями первого типа. Так как диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, иначе в диаграмме выделится полоса, то = Щ.

В случае, когда диаграмма м сопряженности слов w, V имеет вид рис. 2.б доказательство проводится аналогично.

Следствие 2 (из леммы 4). Пусть О - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; w, V - тупиковые слова, сопряженные в группе О; м - кольцевая связная приведенная я - диаграмма сопряженности слов w, V. Тогда диаграмма м не может содержать одну область второго или третьего типа.

Непосредственно следует из доказательства леммы 4.

Пусть О - конечно порожденная группа Артина с копредставлени-

ем

О = (аиап;{а1а^)т = (а]а^т', 1 е у е /г,< ю. Группе О

соответствует конечный дерево - граф Г. Выделим в этом дерево - графе связный подграф Г., где у - количество вершин, принадлежащих дерево -

графу Г , Г с Г, Г * Г.

Определение 13. Подгруппу группы G, порожденную образующими, соответствующие вершинам дерево - графа Г., назовем параболической подгруппой группы G.

Обозначим через G. подгруппу группы G, соответствующую дерево - графу Г.. Полученная таким образом подгруппа G ■ является группой Артина с древесной структурой.

Лемма 5. Пусть G - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой с множеством образующих А,|А| . И пусть w е G,

w - R и R - несократимое слово не равное единице в G. Слово w равно некоторому слову V е Gj, где G} - параболическая подгруппа группы G с

множеством образующих A, A ^ A. Тогда w - слово на образующих Лг

Доказательство. Допустим, что слово w, в записи которого содержатся буквы из множества A = A \ A, равно некоторому элементу v е G], w = v. Пусть w = wlw0w2, где w, w2 е Gj, а слово w0 начинается и заканчивается на буквы из A. Слово w0 является R и R - приведенным в группе G, w0 = V-1, где V-1 = w-1vw-1, V,-1 является R и R - приведенным. Слово w0v0 является циклически приведенным и w0v0 = 1 в группе G. Тогда существует связная односвязная R - диаграмма M с граничной меткой w0v0.

Допустим, что M состоит из одной области D. В этом случае очевидна справедливость утверждения.

Пусть диаграмма M состоит из n областей. Так как диаграмма не содержит внутренних точек, следовательно, M содержит деновские области. Пусть у, 8 - граничные циклы диаграммы M , р(у) = w0, р(8) = v0. Так как w является R - несократимым словом, то среди областей, граничащих с у, нет деновских областей. Следовательно, деновские области могут быть на границе слов w0, v0 или среди областей, граничащих с 8. Выполним все деновские сокращения на пути 8. Таким образом, получим связную односвязную диаграмму Mx видов, представленных на рис. 3.

А wo В

D.

D

а б

Рис. 3. Диаграммы равенства слов

1. Рассмотрим случай, когда диаграмма Мх имеет вид рис. 3, а, причем пути у соответствует путь АВ, пути 5 - ВДСА. Полученная диаграмма М содержит две деновские области Д, д.

В

А

D,

С

Пусть Д - область первого типа. Так как щ начинается и заканчивается на буквы из А., следовательно, граничная метка области Д содержит элементы из А., а значит и слово у0 содержит элементы из А., что

противоречит условию леммы.

Пусть Д - область второго типа, ё(Д) = 2к, к > 2, так как при к = 2 Д является деновской областью на пути 8. Далее аналогично предыдущему случаю, граничная метка Д содержит элементы из А., следовательно, и у0 содержит элементы из А..

Пусть Д - область третьего типа и пусть ё(Д) = 4, (р(дД т у) = хтак, где х е А. , тогда ((дД тдД) = хт. Для того чтобы щ было К - несократимо, области третьего типа должны быть разделены областями второго типа и первого (в общем случае). Если все области Д, / = 2, п -1, ё(Д ) = 4 и, учитывая, что, согласно условию, слово щ заканчивается на буквы из А., то обязательно найдется хотя бы одна область второго типа Д* среди областей

Д,/ = 2,п -1 и ((дД п8) содержит «х » в некоторой степени, т.е. уо содержит элементы из А.. Если хотя бы одна область Д* среди областей первого типа Д, / = 2, п -1 имеет ёД* )> 4, то ((дД* т8) содержит « х » в некоторой степени. Если 1 (Д) = 2к,к > 2 и в записи ((дД ту) содержится «хт», то хотя бы одна из меток ((дД т 8) или (АС) содержит « х » в некоторой степени. (Заметим, что показатель степени образующего «х» зависит от того ё(д ) = 2т или ё(д) ф 2т , / = 1, п ).

2. Пусть диаграмма М имеет вид рис. 3, б. Верхний путь АВ обозначим у, а нижний путь АВ - через 8, ((у) = , ((8) = у0. Пути у, 8 можно представит в виде у = уу...ут и 8 = 88-8т, причем V/ = 1,т -1 если (о(Уг) = ((8г), то (р(ум) ф((8+1), (р(уг) = w1 ((8/) = V/, где w1, V/ - подслова Wo,Уо соответственно. Ясно, что подслова щ, у содержат в своей записи одни и те же образующие. Рассмотрим участки диаграммы, где соответствующие участки пути у и 8 не совпадают.

Выделим поддиаграммы Мх, 5 = 1, т -1 диаграммы м вида Рис. 4. Диаграммы мх являются связными односвязными диаграммами равенства слов щ и у. Здесь верхний путь СД есть у, а нижний путь СД -8, р(у) = щ,((8) = V, где щ и у, - подслова щ, V соответственно. Слово щ является К, К - несократимым и принадлежит О, т. е. по предположению содержит в своей записи элементы из Ау. Слово равно слову у5. Дальнейшие рассуждения проводим аналогично первому случаю.

-t-

Рис. 4. Структура поддиаграммы

Лемма 6. Пусть G - конечно порожденная группа Артина с древесной структурой, с множеством образующих А,|А| . И пусть w е G,

w - циклически R и R - несократимое, тупиковое слово, не равное единице в G. Слово w сопряжено некоторому слову v е G}, то есть существует

слово z е G такое, что z= v,||v|| > 2, G} - параболическая подгруппа группы G с множеством образующих A, A е A. Тогда w, z - слова на образующих A}.

Доказательство. Будем полагать, что слова w, v являются тупиковыми. Предположим, что слово w содержит в своей записи элементы множества A = A \ A. Пусть M - кольцевая связная односвязная приведенная R - диаграмма сопряженности слов w, v вида рис. 2, а, ||v|| > 2. Диаграмма M не содержит S-i области, является однослойной. Пусть у,5 - граничные циклы диаграммы M , (у) = w, р(5) = v, у начинается и заканчивается в точке О, а путь 5 - в точке О\. Разрежем диаграмму M по ребру, которому соответствует путь OO. Получили связную односвязную приведенную R -диаграмму Mx.

Пусть диаграмма Mx состоит только из областей первого типа, число областей Mil = п ■ Рассмотрим некоторую область ц, d(ц) = 2к,к > 2, дц пу = уi, i = 1, п, пусть р{уг) содержит элемент xm, x е Aj, m > 1. Тогда слово v содержит в своей записи x из A .(Вновь отметим, что показатель степени образующего «x» зависит от того d(ц) = 2my. или d(Di2mv,i = 1,п).

Слова w, v тупиковые, по лемме 4, \\w\\ = ||v||, и по следствию 2 диаграмма M не может содержать одну область второго или третьего типа.

Пусть теперь диаграмма M содержит области первого, второго и третьего типа. Причем диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго типа должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме выделится полоса.

Пусть области ц и ц, где i < s - области второго и третьего типа

соответственно, разделенные в общем случае областями первого типа, и пусть d(D) = d(ц )= 4, (р(дЦ, пу) = xma), где x е A , тогда р(дц пдцм) = xm .

Если s = i +1 или все ц, j = i +1, s -1 такие, что d(ц )= 4, то р(дц п5) со-

держит элемент « хт ». Если же среди р, У = * +1, 5 -1 найдется хотя бы одна область Р*, ёр* )= 2к, к > 3, то ((дБ* п8) содержит « х » в некоторой степени.

Случай, когда хотя бы одна из областей р или р имеет степень больше 4, тривиален. Следовательно, если диаграмма М содержит области первого, второго и третьего типа, то слово V также содержит в своей записи элемент « х » в некоторой степени.

Для кольцевых связных приведенных я - диаграмм М сопряженности слов V и w вида рис. 2, б доказательство проводится аналогично.

Покажем, что слово г также принадлежит подгруппе О.. Предположим противное. Так как кольцевая связная приведенная я - диаграмма М однослойная, то достаточно рассмотреть случай, когда ||г|| = 1. Пусть

г = хт, х е А , ((ООх) = (р(др п др) = хт.

Пусть диаграмма М состоит из областей только первого типа. Если среди р, у = 2, п найдется хотя бы одна область Р*, ё{б* ) = 2к, к > 3, то ((дБ}-1 пдБ*), а, следовательно, и ((дБ* пу),((дБ* п8) содержат « х » в некоторой степени, т. е. (у) = w и (8) = V содержат в своей записи « х », что невозможно.

Если все области диаграммы М состоят из областей только первого типа и выполнено ё{р}) = 4. Пусть ((ООх) = ((др пдр) = хт, ((др) е ОШп, ((др) е . Тогда фрагмент дерево-графа имеет вид: из вершины, которой соответствует элемент « х », выходят ребра е,е2,..., ек такие, что а(е ) = а(е2) = ... = а(ек) = х , с(е) = а ,с(е2) = а2,..., ю(ек) =ак, х е А. , а, а,. ., а е А- То есть элемент « х », не принадлежащий подгруппе О ., и соответственно вершина данного образующего не принадлежит графу Г.. Остальные вершины рассматриваемого фрагмента принадлежат дерево -графу Г}. Таким образом, нарушается условие связности графа Г}, что невозможно.

Пусть диаграмма М состоит из областей первого, второго и третьего типа. Вновь, если хотя бы одна область диаграммы М имеет степень больше 4, то рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Пусть теперь все области имеют степень 4, и р - область второго (или третьего типа) такая, что (дБ^ пдр) = хт,ё{р) = 4, тогда ({др п8) (или ({др пу)) содержат элемент « хт », т. е. и (у) = w и ((8) = V содержат в своей записи « х ».

Таким образом, 2 е О].

Для диаграмм вида рис. 2, б доказательство проводится аналогично.

Список литературы

1. Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа [Текст] / В.Н. Безверхний // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Том 5. №1. С. 1-38.

2. Безверхний В.Н. Проблема равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.Ю. Карпова // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Том 12. Вып. 1. С. 67-82.

3. Безверхний В.Н. О кручении в группах Артина с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.Ю. Карпова // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 6-17.

4. Безверхний В.Н. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой [Текст] / В.Н. Безверхний, О.Ю. Карпова // Чебышевский сборник. 2008. ^м 9. Вып. 1(25). С. 30-50.

5. Линдон Р. Комбинаторная теория групп [Текст]: монография / Линдон Р. Шупп П. М.: Мир,1980. 448 с.

Платонова Оксана Юрьевна, [email protected], старший преподаватель кафедры высшей математики, Россия, Новомосковск, НИ (ф) РХТУ им. Д.И. Менделеева,

Безверхний Владимир Николаевич, [email protected], доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Академия гражданской защиты МЧС России»

THE PROBLEM OF OCCURRENCE IN THE PARABOLIC SUBGROUP IN ARTIN GROUPS WITH ARBOREAL STRUCTURE

O.U. Platonova. , V.N. Bezverhny

In this paper we have proved that an Artin groups with arboreal structure have solvable problem of occurrence in the parabolic subgroup.

Kew words: Artin group with arboreal structure, diagram area.

Platonova Oksana, [email protected], senior lecturer, department of higher mathematics, Russia, Novomoskovsk, The Novomoskovsk's Institute (subdivision) of the Mendeleyev Russian Chemical-Technological University,

Besverhny Vladimir, [email protected], professor, department of higher athemat-ics, Academy of civil defense ofEMERCOM of Russia