О структуре централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 3 (2013)

УДК 519.4

О СТРУКТУРЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА ЭЛЕМЕНТОВ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

О. Ю. Платонова (г. Новомосковск), В. Н. Безверхний (г. Тула)

Аннотация

Описывается структура централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой.

Ключевые слова: группа Артина с древесной структурой, диаграмма, область.

O. Yu. Platonova (Novomoskovsk), V. N. Bezverkhniy (Tula)

Abstract

We described structure of an centralizer of elements in Artin groups with arboreal structure.

Keywords: Artin group with arboreal structure, diagram, area.

Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением

G = (al,a2,... ,an; (ai aj )mij = (aj ai)mjl‘) , где (aiaj )mij = ai aj ai ... — слово длины mij, состоящее из mij чередующихся букв ai и aj ,i = j, mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, m j > 2при i = j.

Каждой конечно порожденной группе Артина G соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если ai и aj являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (aiaj)mij = (ajai)mji группы.

В графе Г*можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г С Г*.

Будем говорить, что группа Артина Gr имеет древесную структуру, если между вершинами конечного дерева-графа Г и образующими группы можно установить соответствие такое, что если ai и aj являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (aiaj)mij = (ajai)mji.То есть максимальное дерево-граф Г соответствует группе, имеющей древесную структуру.

Тогда группа Gr отображается с помощью гомоморфизма ф на группу G, т. е. ф : Gr G.

Пусть ai и aj вершины некоторого ребра e дерева-графа Г. Группа, порожденная образующими ai и aj, имеет копредставление Gij = {ai,aj; {aiaj)mij = = {ajai)mji). Обозначим через Rj множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе Gj. Тогда копредставление группы G j запишем через G j = {ai, aj; Rij). Пусть группа G порождена более чем двумя образующими.

Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением G = {al,a2,... ,an; R) ,R = URj . Рассмотрим свободную группу

n

F = * {ai) , пусть w Є F, обозначим через I w I длину, а через I w I —

i=l

слоговую длину слова w в группе F.

Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является граничной меткой связной односвязной диаграммы над R.

Введем следующие преобразования диаграммы (*):

1) Пусть области Dl, D2 пересекаются по ребру tp(dDl П dD2), имеющей слоговую длину I tp(dDl П dD2) ||> 1 и если || ip(dDl П dD2) ||= 1 и tp(dDl) Є Gab, Lp(dD2) Є Gab, тогда, стирая это ребро, объединяем Dl и D2 в одну область D. Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу.

2) Если две области Dl,D2, где ф(dDl) Є Gab, p(dD2) Є Gab, имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область D и, если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.

Определение 1. Назовем внутреннюю точку v диаграммы специально особой точкой, если d(v) > 3 и все ребра, исходящие из нее, являются степенями одного образующего.

Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется особой.

Определение 3. Область D назовем деновской, если i(D) < ld(D), где

i(D) — число внутренних ребер, d(D) — число ребер в граничном цикле для D.

Определение 4. Область с граничным контуром e^e-l5, склеенная по ребру e и с меткой из R назовем S — i областью.

Рассмотрим произвольное слово w Є G, G — группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы M над R. Рассмотрим граничную область D карты M. Обозначим через y внешнюю границу диаграммы M. Если D является деновской областью, то I dD П y ||>|| dD\(dD П y) I.

Удаление деновской области D диаграммы M, то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы M или R-сокращением. Будем говорить, что M является R-приведенной, если она не содержит денов-ских областей.

Определение 5. Слово w Є G, G — группа Артина с древесной структурой, называется R-приведенным, если w свободно приведено в F и не содержит подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения r,r = s-t, где ||s| > lIIrII. Назовем w циклически R-приведенным, если все его циклические перестановки являются R-приведенными словами.

Предложение 1. [4] Пусть связная односвязная R-диаграмма M с граничной меткой w, где w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G, не содержит S — i областей, тогда она и не содержит внутренней особой точки.

Предложение 2. [4] Пусть связная односвязная R-диаграмма M с граничной меткой w Є G, не равной единице в свободной группе F и равной единице в G, не содержит S — i областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда на внешнюю границу выходят как минимум три денов-ские области.

Предложение 3. [4] Связная односвязная R-диаграмма M не содержит S — i области.

Следствие 1. [4] Пусть связная односвязная диаграмма M с граничной меткой w, где слово w — циклически приведенное слово, не равное единице в свободной группе F, и равное единице в G, не содержит специально особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.

Из предложений 1,2 и следствия 1 следует, что диаграмма M является однослойной.

Теорема 1. [4] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства слов.

Предложение 4. [4] Пусть G — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой. Слова v и w, слоговая длина каждого из которых равна единице в группе Артина G, сопряжены тогда и только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа, которая соединяет, вершины, соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетмым числом Коксте-ра.

Теорема 2. [4] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.

Лемма 1. [3] Группа Артина 0^ при т^ = 2к + 1 изоморфна группе (х,у; х2к+1 = у2), а при т^ = 2к — группе (Ь,х; ЬхЬ-1 = хк).

Лемма 2. [3] Пусть О^ = (а^,а^; (ага^)тгз = (а^аг)т]г) — группа Артина и слово т Е О^ циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2т^ и равно единице в О^. Тогда при т^ = 2к + 1 имеет вид

а) атта^аг... ага-та-1... а-1, .либо

б) aiajаг... а’та~1а-1... а-т, либо им обратные;

а при т^ = 2к, к > 1

а,)a'maj ... aiajа-та-1... а-1, либо

б’) aiaj ... агата-1... а-т, либо им обратные, т Е {X\{0}}.

Определение 6. Поддиаграмма П = \ЛП=1 Ог образует полосу в Я-приве-денной диаграмме М с граничным циклом дМ = 7и5, где 7 есть путь Л'Б', 5 — Л'Л'1Б11Б', ЛБ = дП П 7 , Л1Б1 = дП П 5 (Рис.1), если

1. У г,г = 1,... ,п — 1 : дБг П дБг+1 = ег где ег — ребро;

2. Уг,г = 1,... ,п : дБг П 7 = где — связный путь, причем | |> 1;

3. I дБ1 П 7 1=1 дБ1 \(дБ1 П ^) I и | дБп П 7 1=1 дБп\(дБп П ^) I;

4. ''3,3 = 2,... ,п — 1 :1 дDj П 7 | +2 =1 дDj\idDj П 7 )1.

В слове т есть Я-сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово т, содержится полоса. При этом подслово ф(ЛБ) слова т, соответствующее пути 7 заменяется словом ф(ЛЛ1Б1Б)в приведенной диаграмме М.

А’

А У 1—I-

1-Н

в в’

А

А’г

А

вг в’г

Рис.1 Я-сокращение

Определение 7. Слово и называется циклически Я-несократимым, если любая его циклическая перестановка и* не содержит Я-сокращения.

Лемма 3. [3] Пусть М — связная односвязная Я, Я приведенная кольцевая диаграмма над группой О^, 7,5 — граничные циклы М и ф(^) = хр. Тогда ф(5) = ур, где х,у Е {а±1, а±1}

Теорема 3. [5] Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.

Лемма 4. [6] Существует алгоритм, строящий по любому циклически несократимому в свободной группе и не равному 1 в группе С слову т циклически Я, Я-несократимое слово т0, сопряженное с т в группе С. [6] Существует, алгоритм, строящий по любому несократимому слову т сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово , любая степень которого Я, Я-несократима.

Рис.2 Я Кольцевые диаграммы

Определение 8. Область D назовем областью первого типа, если \\дD П 71| = \\дD П 5\\ , где йф) = \^ П 7|| + \\дD П 5\\ +2 .

Определение 9. Область D назовем областью второго типа, \\дD П 71| +

2 = \\дD П 5\\ , где й^) = ^ П 71| + \\дD П 5\\ + 2.

Определение 10. Область D назовем областью третьего типа, \\дD П 71| = \\дD П 5\\ +2 , где й^) = ^ П 71| + \\дD П 5\\ +2 .

Рассмотрим связную кольцевую приведенную Я-диаграмму М сопряженности слов V и т. Пусть ) = т,ф(5) = V, где 7 — внешняя граница диаграммы

М , а 5 — внутренняя.

Предположим, что диаграмма состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа. Тогда |^|| = ||т\| + 2 , или наоборот Н^Н = |М| + 2. В этом случае переход с помощью сопряжения от слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым сокращением.

Определение 11. Циклически Я и Я-несократимое слово т в группе Ар-тина О назовем тупиковым, если к нему нельзя применить кольцевое сокращение.

Лемма 5. [7] Пусть — тупиковые слова из О и пусть сопряжены в О. Тогда ||т|| = ||V\ и никакое слово и Е О такое, что ||и|| < 11V \ не сопряжено с V.

Лемма 6. [7] Пусть С — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой, с множеством образующих А, |А| < то. И пусть т Є С, т — Я и Я-несократимое слово не равное единице в С. Слово т равно некоторому слову V Є Су, где Су — параболическая подгруппа группы С с множеством образующих Ау, Ау | > 1,Ау С А . Тогда т — слово на образующих Ау.

Лемма 7. [7] Пусть С — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой, с множеством образующих А, |А| < то .И пусть т Є С, ||и>|| > 1, т — циклически Я и Я-несократ,имое, тупиковое слово не равное единице в С . Слово т сопряжено некоторому слову V Є Су , то есть существует слово г Є С такое, что г-1тг = V, Су — параболическая подгруппа группы С с множеством образующих Ау, Ау| > 1,Ау С А. Тогда т,г — слова на образующих А у, Сс(т) = Сс (т) где Сс(т) — централизатор элемента т в группе С, Сс (т) — централизатор элемента т в параболической подгруппе С3.

Теорема 4. [7] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности, т. е. существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов Є С установить существуют ли натуральные числа т и п, и элемент г такие, что г-1ттг = Vй.

Каждому образующему группы Артина С соответствует вершина в связном дерево-графе. Зафиксируем вершину, соответствующую некоторому образующему аі группы Артина С. Выделим в дерево-графе все возможные связные пути с началом в вершине аі. Обозначим через т(і, і) связный путь, соединяющий в графе вершину аі с вершиной ау. Тогда т(і, і) = е1е2 ...ег, где е3 — ребро в дерево-графе, 5 = 1,Ь,Ь < то.

Рассмотрим два пути т(і,і) и т(і, к), и определим для них операцию умножения следующим образом: пусть т (і, і) = е1е2 ...е* и т (і, к) = е*+1е*+2 ...ег, причем ш(е*) = ау = а(ег+\), тогда т(і,і) * т(і, к) = т(і, к), где т(і, к) — связный путь, соединяющий вершины аі, аи, такой, что т (і, к) = е1е2 ... егег+1.. .ег.

Определим для пути т (і, і) = е1е2 .. .ег обратный путь: т-1(і,і) = т (і, і) = еі еі-1... е2 еі .

Каждому ребру е3 в дерево-графе соответствет число ту симметрической матрицы Кокстера для данной группы. Если число ту нечетно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е3, сопряжены в группе Артина Су. Если ту четно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е3 не сопряжены в Су. При этом каждый образующий сопряжен с самим собой частью определяющего соотношения, соответсвующего данному ребру. Действительно, пусть а(е3) = аі,ш(е3) = ау, ребру е3 соответствует соотношение (аіау)тіі = (ауаі)тіі. Тогда, если число тіу нечетно, то образующий аі переходит в образующий ау при помощи сопряжения словом г Є Су четной слоговой длины ||г|| = ту — 1, причем г имеет вид г = а у аі.. .аі. Если же ту четно, то образующий аі переходит в аі при помощи сопряжения словом г Є Су нечетной слоговой длины

I г || = ту — 1, причем г имеет вид г = а у аі... ау. Каждому ребру е3 в дерево-графе, имеющему нечетное число ту, поставим в соответствие ф(е3) = г = а у аі.. .аі, г Є Су, Цг || = ту — 1, а ребру с четным ту поставим в соответствие ф(е3) = г1 = (ауаі... ау)Ч, г Є Су, ||г|| = ту — 1,д Є Z.

Обозначим Е — множество ребер графа Т, Z* — множество слов из подгрупп вида Су, слоговая длина которых равна ту — 1.

Рассмотрим множество Р связных подпутей вида т(і, і) с началом в вершине аі таких, что если т (і, і) = е1е2 ...ег,Ь > 2, то ребрам е3,8 = 1,Ь — 1 соответствуют нечетные числы матрицы Кокстера ту, а ребру е* — четное. Если длина пути т(і,і) равна единице, то есть т(і,і) = е1, то путь т(і,і) будет принадлежать множеству Р лишь в том случае, если ребру е1 соответствует четное число Кокстера ту. Таким образом, множеству Р принадлежат минимальные пути т(і, і).

Определение 12. Ребро еі дерево-графа назовем замыкающим ребром некоторого пути, если ему соответствует четное число Кокстера.

Разобьем каждый путь т(і,і) = е1е2 .. .е* из множества Р, длина которого больше единицы на два подпути следующим образом: т(і,х) — подпуть, соединяющий вершины аі и ах, состоящий из ребер т(і,х) = е1е2 ...ег-1, каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера; т(х,і) — подпуть, состоящий из одного замыкающего ребра ег, которому соответствует четное число Кокстера.

Множеству Р принадлежат все связные минимальные пути т(і, і), исходящие из одной вершины, при этом последнее ребро каждого пути является замыкающим. Таким образом, все пути, принадлежащие множеству Р, образуют дерево-граф Т. Подвергнем граф Т следующему преобразованию: пусть е3 — замыкающее ребро некоторого пути дерева-графа Т такое, что а(е3) = аі,ш(е3) = ау. Положим ш(е3) = аі, ребро е3 переобозначим еіу, а путь, соответствующий ребру е3, через т(і,і, і). Применим данное преобразование ко всем замыкающим ребрам дерева-графа ТТ. В результате получим новый связный граф Т, в котором каждая «ветка» заканчивается «петлей».

Каждому пути т(і,і) из множества Р такому, что ^(і,і)| > 1 поставим в соответствие путь ту = т(і,х) * т(х,і,х) * т(х,і). Если ^(і,і)| = 1, то ту = т(і,і, і). Ясно, что каждый подпуть ту также связен, при этом а(ту) = ш(ту) = аі. Множество всех таких путей ту обозначим через Рт.

Определим умножение на множестве Е ребер, следующим образом: пусть е3 и е3+1 ребра, принадлежащие графу Т такие, что ш(е3) = а(е3+1), тогда можно рассматривать произведение ребер е3 и е3+1 как связный путь. Пусть т (і, і) = е1е2 .. .е* — связный путь, где ребрам е1е2 ... е-1 соответствуют нечетные числа ту, а ребру е* — четное ту, тогда ф(т (і, і)) = ф(е1е2 ...е*) = ф(е1)ф(е2) ...ф(еі) = гг ...гі, где ф(е^) = г3,в = 1,Ь — 1,ф(е*) = гЧ ,д Є Z. При этом ф(т(і, і)) = г-4 ... г-1.

Рассмотрим

Ф(тіу) = Ф(т (і,х)т (х,і,х)т (х,і)) =

= ф(ее ... е-ехуе-\ ... е-1е-1) = гг ... г*-1гХхуг- ... г-1 г-1,

если ^(і, і)| > 1; и ф(тіу) = ф(т(і,і, і)) = ф(еіу) = гЧу, если ^(і, і)| = 1. Таким образом, каждому пути тіу из множества Рт в группе Артина С будет соответ-

~ Ч -1-1 -1

ствовать циклически сократимое слово вида гг = г1г2 ... г*-1гХу гі-1... г2 г1 , где каждые гі принадлежат подгруппе вида Су, гху Є Сху, ||г^| = ту — 1,|гху || = тху — 1, д Є Z, і = 1,Ь — 1. Множество слов вида Т обозначим Zr,г < то.

Определение 13. Слоговой длиной слова Тг Є Zr назовем количество ребер соответствующего пути ту, и обозначим через ЦТГ||.

В соответствии с этим определением, если путь ту состоит из Ь ребер, то слоговая длина ||Т|| = Ь. С другой стороны каждому пути тіу соответствуют подслова из подгрупп вида Сіу. Таким образом, слоговая длина слова Тг равна количеству его подслов из подгрупп Су. Например, если

~ і -1-1 -1 гг = г1г2 ... г- гху г- ... г^ г1 ,

то ||Т|| = 2(Ь — 1) + 1 = 2Ь — 1.

Лемма 8. Пусть £ г2,..., £п Е Хг, \\г1г2... гп\\ > ||гг\\, г = 1,п,п > 2 Доказательство. Пусть п = 2.

Случай 1. ||£111 = 1, ||г2\ = 1. Тогда слову £1 соответствует путь Ту, а слову £ — путь тгк, причем каждый из путей состоит из одного замыкающего ребра, а(Ту ) = а(тгк) = аг. Тогда слово £1 имеет вид £1 = (ауаг... aj)д1, а слово £2 =

(ак аг. ..ак )Я2 ,ЯъЯ2 Е X.

Рассмотрим произведение

£1 £2 (ауаг... ау) ауаг... ауакаг... ак (акаг... ак) .

Слова £1 и £2 являются Я-несократимыми. Предположим, что сокращение возможно на стыке слов. Тогда в представлении группы должно быть соотношение, содержащее образующие ау и ак, что невозможно, так как в этом случае в дерево-графе выделится петля. По этой же причине к слову £1 ££ не применимо Я-сокращение.

Случай 2. ||£1\ > 1, ||£2\ > 1. Тогда слову £1 соответствует путь ту, а слову £2 — путь Тгк. Если пути Ту, Тгк не имеют общих точек кроме вершины аг,

то проводим рассуждения, аналогичные случаю 1, то есть произведение £1 £2 является Я, Я-несократимым. При этом ||£1 £21| = ||£1\ + ||£2 \.

Предположим теперь, что пути Ту и Тгк имеют общий подпуть Т(г,Ь) = в1 ...ег, ^(г,Ь) < 1 тгп^ТуI Тк|}. Пусть

Ту = е1е2 ... егег+1... ег-1ехуе--1... е1+1е1 ... е2 е- ,

Тгк — е1е2 ... егег+1... ев-1еуке-—1... е1+1е1 ... е2 е\ .

Тогда произведение Ту Тгк после сокращения будет иметь вид:

ТгуТгк е 1е2 ... егег+1... е1- 1ехуе1—1... е-+1 ег+1... ев- 1еуке-—1... е-+1е- ... е- е-

Полученный путь является связным и несократимым.

Теперь рассмотрим произведение слов ££:

£ = £1£2 ... £г£г+1... £г-1гХ)£- ... г+г-1... г-1 г-1,

£2 = ££ . . . £г£г+1 . . . £... £-^^11£-1... z—1z-1,

££ = ££ . . . £г£г+1 . . . Zt—lZqx)£- . . . £+£1+1 . . . zs—lzqylz-—l ... z—+1z—1... z—1z-1

Слова £1, £ являются Я, Я-несократимыми, так как состоят из подслов, при-

надлежащих подгруппам вида О у, длины которых меньше половины определяющих соотношений. После проведения свободных сокращений в слове ££2 Я, Я-сокращения могут быть только на стыке слов, но вследствие рассуждений, аналогичных случаю 1, можно заключить, что полученное слово Я, Я-несократимо.

Таким образом, > ||£г||, г = 1, 2.

Далеее по индукции можно показать, что \£1£2 ... £П\ > ||£||, г = 1,п,п > 2.

Теорема 5. Пусть О — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; слово т Е О такое, что ||т\| = 1, то есть т = а?, г = 1,п. Тогда централизатор элемента т есть подгруппа вида С(т) = (£, £2,... ,£г ,аг), где £ слова вида:

£ = ££ . . . £1-1 £0Г £-1 . . . £-1£-1 (1)

где £к Е О у, подслово £(^г соответствует замыкающему ребру и \\£к || = ту — 1, \\zor|| = т?г — 1, д Е X, к = 1,Ь — 1.

Доказательство. Множество РТ состоит из путей Ту = т(г,х) * т(х,],х) * т(х,г),а(ту) = ш(ту) = аг. Так как путь т(г,х) состоит из ребер, каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера, то образующий аг сопряжен с образующим ах. Пути т(х,],х) соответствует замыкающее ребро, значит образующий ах переходит в себя. Путь т(х,г) = т-1 (г,х), следовательно, образующий ах переходит в образующий аг. Таким образом, слово, соответствующее пути Ту, переводит образующий аг в себя. Рассмотрим диаграмму М сопряженности а? и а?, состоящую из Б — г областей, М| = 2Ь — 1, ф(5) = (р(*у) = а?, где 5,^ — внутренняя и внешняя границы соответственно. Обозначим 5 = 51,52,... , 521-1 — внутренние границы областей П1, 02,... , В21--1 соответственно, а 7 = ^1,12,... , 12г-1 — внешние контуры этих областей. Каждой Б — г области диаграммы М соответствует ребро дерево-графа группы О.

1. Рассмотрим путь т(г,х) = т(г,г1) * т(г1 ,г2) * ... * т(г-2,х), где каждому т(гк,гк+1 ),к = 1,Ь — 2 соответствует ребро дерево-графа с нечетным числом Кокстера.

Рис.3 Диаграмма сопряженности а? и а?.

Путь т(г,г1) содержит ребро е1 с нечетным тгг1, которому соответствует Б — г область Б1 диаграммы М (рис.3), ф(51) = а?, ф(^1) = а? (лемма 3). Рассмотрим определяющее соотношение для тцх: а?аг1 аг.. .аг1 аг = аг1 аг... ага\ , £1 = аг1 аг ...аг, тогда £-1а?£1 = а?1, £-1а?£1 = а™1 а?1 а~т1, а~т1 z^-lasizlarml = а? . Таким образом, образующий аг переходит в образующий аг1 при помощи сопряжения словом £1 = £1ат11. Слово £1а"т1 соответствует пути А11А12 и А12А21 в диаграмме М, где т1 Е X.

Проводим аналогичные рассуждения для путей т(г1, г2),... , т(г1:-2, х), получаем аг1 ~ аг2 ,аг2 ~ агз,..., агг_2 ~ ах, при этом любые два образующие агк-1 и агк сопряжены словом £'к = £катк, являющимся меткой пути и

А(к-1)2Ак1.

Таким образом, пути т(г,х), переводящим образующий аг в ах, соответствует подслово вида £1ат11 £2ат2 ... £^1атх, где тг Е X, тх Е Х,г =1,1 — 2.

2. Путь т(х,],х) содержит ребро с четным числом Кокстера тгх, которому соответствует Б — г область 01 диаграммы М, ^(81) = ф(^ь) = а8х. Рассмотрим определяющее соотношение для тггх: аггах .. .а^ ах = ах аггах .. .а^, тогда

го го

£0 = ах£?£0ах, где д = 1. Значит образующий ах переходит в себя при помощи сопряжения словом £0, которому соответствует путь АЬ1 Аь2 в диаграмме М.

3. Путь т(х, г) = т-1(г,х), следовательно, проводя аналогичные рассуждения как и на 1 шаге, образующий ах сопряжен с аг словом

—т’ — 1 -т1 2 -т2 _1 -т1 _1 / ^ . ■=—;--т-

ах х ^-1^-2 . . . а%2 аг1 £1 , тг Е X,г =1^ — 1

Таким образом, слова ав и ав сопряжены словом

г' = ^ІЇ™2... ^-10%*4а-тХ - ■ ■ ■ а-т2г-1 а--Пі(2)

являющимся меткой пути ф(г') = ф(А11А12 и А12А21 и ... и А(і-1)2Аі1 и ... и А(2г-1)1А(21_1)2), где ші Є %,шх Є %,Ші Є %,ш'х Є %,і = 1,Ь — 1 в диаграмме М.

Проведем следующие преобразования, сделаем вставки члена г-}1гі-1 в (2), получим:

/ т>1 т>2 т,х —1 Я —1 —т!* —1 ’т2 —1 т1 —1 \т

г= £20і22 ...г—ат*г-^-гг-г-ах хг- ...аІ2 2^2 а^ 1 ^ . Учит* —1 тх -тХ —1 -тХ

тывая, что г*-1атхг*-1 = а-2 и г*-1ах хг*-1 = а*-2х, получим

= ~ аті г ат2 г пті-2+тх г а -1 п-т'ь-2-т'х -1 п-т2 ~-1п-т1 г-1

г = г1аі1 г2аі2 . . . гі-2аі-2 гЬ-1 г0гі-1аі-2 гі-2 . . . аі2 г2 аі1 г1 .

Вставляя последовательно члены вида г-1 .і, і = Ь — 2,1, получим в итоге г' = ат1+т2+~+т*~2+тхгг ... г-1 гЯ... г-1.. Тогда, учитывая а\г = г'аЗ, имеем

З+У] ті Я -1 -1 -1 -Е ті

Оі гг ...г-г гг-1... г2 г1 аі і =

У, ті а -1 -1 -1 -У, ті+в

= а^ гг ...г-г гг-1... г2 г1 а^ і .

Так как централизатору принадлежит аі, то принадлежит и

~ Я -1-1 -1

г.г = гг ... гг-1г0г г- ... г2 г1

Заметим, что диаграмма М сопряженности слов а\ и а\ примет вид такой, что, если еі и еі+1 — два последовательных ребра, соответствующие 5' — і областям Бі и Оі+1, то ш(еі) = а(еі+1), і = 1,Ь — 1.

Покажем теперь, что произвольное слово, принадлежащее централизатору слова единичной слоговой длины представимо в виде (1).

Пусть т = аЗ, г Є С (т), то есть выполнено равенство гав г-1 = а|.

Поставим в соответствие слову г путьр = е1е2 ... е*, где е1,е2,... ,е* — ребра дерево-графа. Заметим, каждому ребру ек, у которого а(ек) = аь,ш(ек) = а^, имеющему нечетное число шь/, соответствует слово вида гк = а^ аь... а^. При этом а(р) = а(е1) = ш(р) = ш^) = аі. Среди ребер е1,е2,... ,е* есть хотя бы

одно ребро ек с четным числом Кокстера (так как в противном случае выделится петля в дерево-графе), которому соответствует слово вида ,д Є %.

Если длина пути р = 1 , то, очевидно, что слово г имеет требуемый вид. Пусть \р\ = Ь и пусть еі — ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Тогда преобразуем путь р следующим образом:

Р = е1е2 . . . еі(еі-11 . . . е- ^е1е2 . . . еі-1)еі+1 . . . еі,

где е-\ .. .е-1 — кратчайший путь до вершины, соответствующей образующему аі, не содержащий взаимно обратных ребер. В результате данных преобразований получим путь р0, который будет иметь вид:

Ро = (е1е2 . . . еіеі-1 . . . е1 1)е1 . . . еі-1еі+1 . . .е*.

При этом ф(е1е2 ... еге~\ ... е-1) = £1, где £1 имеет требуемый вид. Рассмотрим путь р1 = е1е2 ... ег-1е г+1.. .е1, при этом \р1\ < \р\. Таким образом, из индуктивного предположения о том, что ф(р1) имеет требуемый вид, следует, что слово ф(р) = £ представимо в виде (1).

Обозначим через Ст (ш) централизатор элемента ш, полученный из С(ш) вычеркиванием порождающих слова ш.

Лемма 9. Пусть С — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; слово ш Е С такое, что ||ш|| = 1,ш = а?, С(ш) — централизатор элемента ш. Тогда группа Ст (ш) является свободным произведением цикличе-

I

ских групп и С(ш) = (а) х Ст(ш), где Ст(ш) = П *(£), где

Г=1

£ = ££ ... £1-1 £0Г £- . . . Z—1Z-1, £к Е Су, 11 £к || = ту — 1,д Е X, к =1,г.

Доказательство леммы следует непосредственно из теоремы 5.

Заметим, что д Е X, так как группы Артина с древесной структурой свободны от кручения, поэтому подслово £ог , соответствующее замыкающему ребру может иметь любую степень д Е X.

Теорема 6. [2] (Теорема о сопряженности для свободных произведений с объединенной подгруппой.) Пусть Р = (С * Н; А = В,ф) — свободное произведение с объединенной подгруппой. Предположим, что и = с1..сп — циклически приведенный элемент из Р, где п > 2. Тогда каждое циклически приведенное сопряженное элемента может быть получено циклической перестановкой элемента с1..сп и последующим сопряжением элементом из объединяемой части А .

Группу С можно представить как древесное произведение групп вида Су с циклическим объединением.

Группе С соответствует конечный дерево-граф Гп , вершинами которого являются двупорожденные группы Артина. Группы Артина С?р = (ар,аЯ?р) и С?к = (ак,а?; К?к) объединены по циклическим подгруппам и?р = (а?),и?р < С?р, и и?к = (а?),и?к < С?к, если вершины, которым соответствуют данные подгруппы, соединены ребром в древесном графе.

Тогда представление группы С как древесное произведение групп вида Сгу с циклическим объединением имеет вид: С = (П п= -1 Су\иу иу?) , где (ау),Ц~у? = (ау). Поэтому каждый элемент ш Е С может быть представлен в виде произведения слогов, где каждый слог принадлежит некоторой подгруппе Су.

Теорема 7. Пусть С — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; слово ш — циклически несократимое в свободной группе и не равное 1 в С,||ш|| > 1 . Тогда централизатор элемента ш есть либо бесконечная циклическая подгруппа, либо свободная абелевая группа ранга 2.

Доказательство. Пусть слово w — циклически несократимое в свободной группе и не равное 1 в G , ||w|| > 1 и пусть w не является степенью никакого элемента из G .

Рассмотрим случай, когда G = Gab, где Gab = (a,b; (ab)mab = (ba)mba), mab = mba . Согласно лемме 1, при mab = 2k + 1 группа Gab изоморфна группе (x,y; x2k+1 = y2) . Представим w в нормальной форме w = c1c2 ■■■cn, где Ci E (x; x2k+1) или Ci E (y; y2), тогда из теоремы 6 следует w = h-1w*h, где h — элемент из объединяемой подгруппы, w* — циклическая перестановка c1c2 ■ ■ ■ сп.Тогда единственно возможно w = uk, так как достаточно рассмотреть этот случай в фактор-группе Gab/C(Gab) . Что противоречит нашим предположениям.

При mab = 2k группа Gab изоморфна группе (t,x; txkt-1 = xk), доказательство проводим аналогично.

В этом случае централизатор элемента w имеет вид C(w) = (w, h), т. е. будет свободной абелевой группой ранга 2.

Пусть слово w является циклически несократимым и имеет в G слоговую длину ||w|| > 1 . Предположим, что слово w является R и R-несократимым. Из теоремы 6 следует, что либо w сопряжено с w некоторым элементом h из объединяемой подгруппы, где h есть степень образующего; либо слово w = w^n сопряжено с некоторой циклической перестановкой w* = wnwл элементом из объединяемой подгруппы.

Рассмотрим второй случай. Слова w^n и wnwл циклически несократимы, и по условию R и R-несократимы. Рассмотрим кольцевую связную приведенную R-диаграмму M сопряженности слов w^n и wnwл с граничными циклами Y, 8 вида рис.2а. И пусть ф(^) = w^n, ф(8) = wnwл, причем путь 7 начинается в точке O, а путь 8 — в точке O1 . Пусть начальная вершина O совпадает с a(w^n). В диаграмме M вершина O имеет степень d(O) > 2, более того d(O) < 4 . Пусть D1, D2, ■ ■ ■, Dn — области, образующие данную диаграмму, и пусть Db Dn содержат вершину O, dD1 П dDn = e.

Разрежем диаграмму M по ребру e = OO1 . Получим связную односвязную, однослойную, приведенную R-диаграмму M* (рис.4), где ф(^) = y(OO') = w = WлWn, ф(8) = ф(O1O1) = w* = wп№л, ф(OE1) = ф(A3O[) = wл, '^EO) = ^(O1A3) = wn, e = OO1 = O'O[.

Вершина E1 имеет степень d(E1) > 2 . Допустим противное, тогда, подклеивая к диаграмме M* диаграмму M * , тождественную данной, с циклическим сдвигом на wn влево, будет иметь место следующая поддиаграмма M” (рис. 5).

В этом случае поддиаграмма M” содержит внутреннюю точку степени больше или равной 3, что невозможно.

1 случай. Пусть диаграмма M* содержит только области первого типа. Будем читать слова, записанные на границе диаграммы M* слева направо. Тогда для всех областей диаграммы M* = D1 U D2 U ■ ■ ■ U Dn имеем \p(dDn П dD1) \ = \p(dD1 П dD2)\ = ■ ■ ■ = \^(dDn-1 ПdDn)\ , и Уг,г = 1, n,p(dDi П7) = ф(dDi П8)-1 откуда следует ф(O1A1) = wл и p(E1A1) = ф(OO1)-1 = h-1. Допустим, что

Рис.5 Поддиаграмма М”

Ъг ог+1

Як Як+1

А 1

Рис.6 Поддиаграмма М"'

это не так. Рассмотрим Е1А1 = дБк П дОк+1. Предположим, что ф(Е1А1) и ф(0'0[) принадлежат различным циклическим подгруппам. Тогда, вновь подклеивая к диаграмме М* диаграмму М* , тождественную данной, с циклическим сдвигом на шп влево, мы получим поддиаграмму М'' ' , и данной поддиаграмме М''' будет соответствовать петля в дерево-графе группы С (рис. 6), что невозможно. Таким образом, из сравнения областей Б к и Бг следует, что ФЕ1А1) = ф(0'01)-1 = к.

Тогда кшлк

1

шл

и

либо ш = (шл)к, т. е. шп = (шл)к , либо шп = (шл)тТ,

где ЦТ|| < ||шл||. Случай ш = (шл)к противоречит нашим предположениям.

Пусть шп = (шл)тТ, где ЦТ|| < ||шл||, рассмотрим фрагмент диаграммы М* (рис.7). Имеем ф(ВК) = ф(А301) = шл, ф(К0') = ф(СА3) = Т, ф(ВС) = к, ф(0'0[) = к. Так как данная диаграмма содержит области только первого типа, то ф(ВЕ3) = Т. Таким образом, проводя аналогичные рассуждения, мы получим, что либо шл = Тк , либо шл = Тт ■ Т1 ,где ||Т11| < ЦТ||.

Е

О’

Рис.7 Фрагмент диаграммы М*

Если шл = Тк, то это противоречит нашим предположениям, так как мы получаем ш = Т?. А в случае шл = Тт ■ Т1 , где ||Т11| < ЦТ|| , мы проводим аналогичные рассуждения как и на предыдущем шаге. И вновь получим, что либо Т = Тк , откуда шл = Тк и ш = Т?, либо Т = Т]П1 ■ Т2, ЦТ2Ц < |Т1|. Рассуждая аналогичным образом, через конечное число шагов мы придем к ш = Т1Х, где Тх есть подслово слова ш , либо образующий. В любом случае это противоречит нашим предположениям.

Таким образом, централизатор элемента ш будет порождаться ш и элементом из объединения к , т. е. является свободной абелевой группой ранга 2.

Отметим, что, так как элемент из объединения к является степенью образующего, и, учитывая, что диаграмма М* состоит только из областей первого типа, и метки ребер всех смежных областей ф(дО^ П дПг+1),г = 1,п содержат эту же степень, то показатель степени может принимать различные целые значения.

2 случай. Пусть диаграмма М* содержит области первого, второго и третьего типа. Диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме М* выделится полоса.

Рассмотрим случай, если диаграмма М* содержит область Б1 С М* вто-

рого или третьего типа, и d(Di) = 4. Данная ситуация невозможна, так как в противном случае не выполняется равенство h-lwnwuh = wuwn. Действительно, пусть Dl С M* — область третьего типа с d(Dl) = 4tf(dDlП7) = wl,wn = wlw2, p(dDl П dDn) = h, p(dD2 П £) = w[,wn = wlw'2. Тогда, так как слова ^(dDl) и Lp(dD2) принадлежат разным подгруппам вида Gab, то данное равенство невозможно.

Единственно возможна ситуация, когда диаграмма M* содержит поддиаграмму вида (рис. 8). В этом случае мы однозначно определяем метки ребер p(dDl П dDn) и p(dD3 П dD4) , и продолжаем наши рассуждения.

В а

w" в! wё \ в2 и 2 i

D" S w’n E w E3 ... E, wn"

\ * Dk Dr 1 •

w’ > n ~ AiW > Ai w’n> A3 > A w«' '

O"

о\

Рис.9 Диаграмма M*

Рассмотрим диаграмму М* = П1 и 02 и ... и Оп. Вновь будем читать слова, записанные на границе диаграммы М* слева направо. Имеем ф(^) = ф(00') = т = тлтп, ф(8) = ф(0\01) = т* = тптл, ф(0Е1) = ф(Л30[) = тл, ф(Е10/) = ф(01Л3) = тп, е = 001 = 0'0'1,ф(001) = к = ат, ф(0'0'1) = к-1 = а-т . Покажем, что ф(Е1Л1) = к.

Отметим, что показатель т образующего к в отличие от первого случая определяется единственным образом, так как диаграмма содержит области второго и третьего типов.

Подклеим к диаграмме М* диаграмму М*' , тождественную данной, с циклическим сдвигом на влево, в итоге мы получим диаграмму М**(рис.9).

Так как ф(0Е1) = ф^Л^!) = тл тогда метки ф(Е1Л1) и ф(001)-1 принадлежат одной циклической подгруппе.

Заметим, что в диаграмме М** каждой области ^ соответствует обратная ей область П[. Допустим, что это условие не выполняется, тогда возможны следующие случаи.

а) Пусть диаграмма М** содержит область третьего типа . Метки ф(Е\А\) и ф^БхЕх) содержатся в одной подгруппе.

Пусть В!г является областью первого типа.

Тогда имеет место поддиаграмма М1 (рис.10), где область В!г ограничена контуром Г1С1Б1Е1, а область Бк — Г1Е1Л1К1. Получаем, что ф(0'к П = П 7), а также ф(К1Л1) = ф(И1Ь1). Таким образом, области 0'к и Б'к являются взаимообратными, и ф(С1 Г1) = 1, а это невозможно. Также отметим, что, если выполняется ||ф(ГіС1Б1Е1)\\ = 2шу , то область Бк не существует.

Случай, когда Б к имеет первый, а соответственно второй тип, является аналогичным.

б) Пусть диаграмма М ** содержит область второго типа Б к , а есть область первого типа (рис.11), и пусть \ф(Г1С1Б1Е1) \ = 2шу .

Область ограничена контуром Е\С1В1Е1, а Вк — ЕхЕхАКх. Тогда получаем, что ф(К\С\) = фКхЕх),ф(А\В\) = ф(А\Е1) , и ф^СхВх) = ф^хЕх) . Скле-

им ребра К1¥1 и К1С1, тогда вершина Г1 совпадет с С1, откуда ф(С1Р1) = 1, что невозможно. Если \\ф(К1Г1Е1А1)\\ = 2ту , тогда область П'г не существует.

Случай, когда Б к имеет первый, а соответственно третий тип, также является аналогичным.

в) Если области Б к и являются одновременно областями второго или третьего типов, то данная ситуация вновь невозможна, так как это приводит к тому, что-либо диаграмма содержит внутреннюю точку, либо на границе возможны Д-сокращения.

2.1. Пусть диаграмма М** содержит область третьего типа (рис.9), то-

гда области Ог, П'г, являются областями второго типа. Отметим, что граничные метки областей Ок ,0'г , принадлежат одной подгруппе вида СаЬ . Так как = ф(Б1Е1) = к-1 = а-т, тогда ф(дВ'г П ^) содержит ут, где

у € [а,Ь},ф(дВ'г) € СаЬ. Следовательно, и ф(дБк П 7) содержит ут, откуда ф(Е1А1) = ат = к.

2.2. Пусть диаграмма М** содержит область второго типа Ок (рис.12). Тогда области Ог, , являются областями третьего типа. Имеем ф(О1А1) =

ф(Е1Е2) = /ш'п, ф(дБк П £) = ф(дБГ П 7), поэтому метка области Бп является взаимнообратной метке области , а метки областей Бк и П'к совпадают. Тогда ф(Б2Е2) = ф(Е2А2)-1 и ф(дВ'к-1 П дВ'к) = ф(дБп-1 П дБп)-1 . Отсюда следует ф(Е1А1) = ф(Б1Е1)-1 = к, ф(Е2А2) = к-1.

^ ' .д! ^ ” 1 д | \

о’ щ 4 П о,’ Е2 Ез ... Е, ”„’ . .

А ■ • оя А

” ’ > П А- ” > ^2™ ' „] А3 > А, ”.

О'

Рис.12 Диаграмма М*

Из 2.1. и 2.2. вытекает, что ф(А1А2) = и>л. Проводя аналогичные рассуждения, мы получим ф(Е1Е2) = ф(А2А3) = ... = /ш'и,ф(А1А2) = ф(Е2Е3) = ... = wл (рис.12).

Возможны следующие случаи:

I. Если ф(ОО') = w = wлw/пwлw/п ... wл. Тогда w = (wл)k, что противоречит нашим предположениям.

II. Если ф(ОО') = w = wлw/пwлw/п .. .1^л ■ Т, тогда имеет место фрагмент диаграммы М* (рис.13). Имеем ф(БК) = ф(А3О'1) = wл, ф(КО') = ф(СА3) = Т,ф(БС) = к, ф{О/О/1) = к-1.

Данной поддиаграмме соответствует соотношение кwлTк-1 = Twл. Т. е.,

п.

К т

О’

Сг Т’

о\

Рис.13 Случай II

3

3

мы свели решение исходной задачи h-1wлwпh = wпwл к решению подобной hwлТН-1 = Twл, где Ц.лЦ < тт{\\1ил\\, Ц||}, ||Т|| < тт{\\1ил\\, Ц^}. Решая новую задачу, через конечное число шагов мы получим, либо w = (Тх)3, где Тх — подслово w или степень образующего, либо сведем к задаче НТхТуН-1 = ТуТх, где Тх,Ту — степени образующих. А это противоречит нашим предположениям.

III. Если ф(00') = w = wлw/пwлw/п ... wП. Тогда w = (wлwlп)k , что невозмож-

но.

IV. Если ф(00') = w = wлw/пwлw/п ... wП • Т. Рассмотрим фрагмент диаграммы М*(рис.14). Имеем ф(ВС) = ф(Е3А3) = Н, ф(КС1) = ф(0'0[) = Н-1,ф{БЕ3) = Т ,ф(К0') = ф(САз) = Т.

Е.

3

w

К т

с,

Рис.14 Фрагмент диаграммы М*

О

О’,

П

Так как ф(А301) = wл, то ф(Е30') = 'ш’п . Получаем графическое равенство Т ^п = КТ, откуда следует ||Т'|| = \\Т|| и wП = ^пТ, где 1^11 < \\Т||. С другой стороны, 'ш’п = Т' • ф(Е3К) = Т' • 'И^Т13-1. Тогда имеет место графическое равенство Т' • ^плТр-1 = 'ш'плТр, откуда Т'^пл = ^плТ. Так как \ТЧпл\ = \^плТ|, тогда Т' = w'плТ[, Т = Т'2'ш'пл и получаем w'ПлT'1w'Пл = wlПлT2wlПл, следовательно, Т1 = Т2 = Т. В итоге имеем Т' = w'плТ, Т = Т'ш'пл- Рассмотрим фрагмент диаграммы М*(рис.15). Имеем ф(ВГ) = ф(НА3) = wlПл,ф{FЕ3) = ф(СН) = Т, ф(ВС) = ф(Е3А3) = Н, ф(ЕН) = Н-1.

Таким образом, мы приходим к задаче Н^плТН-1 = Т^пл, а дальше пользуемся выводами случая 2б.

в

с

E

H w

пл

Рис.15 Фрагмент диаграммы M*

3

Следовательно, случай 2г возможен, только если диаграмма М* состоит из двух частей (рис.16). Имеем ф(ОЕх) = фАхО^) = тл, ф(ОхАх) = ф(ЕхО') = тп.

O w E1\ I* w,. O’

Dk ■ t h 1 1

1 w 5 >

O’i

Рис.16Диаграмма M*

Таким образом, имеют место следующие равенства:

hw^nh 1 = wпwл, hw^

1

wn, hwnh

1

Wл(*).

Откуда следуют следующие соотношения: h2wnh-1 = hwn, hwnh-2 = w„h-1, и h2wnwnh-2 = w„wn. Т. е. следующие элементы принадлежат централизатору C(w):w = wnwU)wnh-1, hwn, h2.

Рассмотрим группу (h2 ,wnwn,wnh-1 ,hwn\h2wnh-1 = hwn,hwnh-2 = wnh-1). Выполним преобразования Титце и получим (h2,wnh-1\h2wnh-1 ■ h-2 = wnh-1).

Таким образом, централизатор элемента w является свободной абелевой группой ранга 2 C(w) = (w„h-1, h2).

Пусть слово w — циклически несократимое в свободной группе и не равное 1 в G, ||w|| > 1 , и пусть w является степенью некоторого элемента из G: w = vk ,k > 1, где v в свою очередь не является степенью никакого элемента из G, тогда, так как v £ C(w), то централизаторы слов v и w совпадают.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Appel K., Schupp P. Artin groups and infinite Coxeter groups // Invenf. Math. 1983. Vol. 72. P. 201—220.

2. Линдон Р., ШуппП. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

h

h

3. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. С. 67—82.

4. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. О кручении в группах Артина с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 6—17.

5. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 42—59.

6. Платонова О. Ю. О структуре централизатора элементов единичной слоговой длины в группах Артина с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 2(34). С. 73—84.

7. Платонова О. Ю. Проблема пересечения циклических подгрупп в группах Артина с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 2(34). С. 85—96.

Новомосковский институт (филиал) <Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева> (НИ РХТУ),

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Поступило 27.09.2013