Разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах артинабольшого типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 29-39

= МАТЕМАТИКА =

УДК 519.4

А.И. Кузнецова

Тульский государственный университет???

РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ СЛАБОЙ СТЕПЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В ГРУППАХ

АРТИНА БОЛЬШОГО ТИПА

Аннотация. Рассматриваются основные преобразования диаграмм над группами Артина большого типа, доказывается разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Артина большого типа.

Уравнение Янга-Бакстера играет важную роль в статистической и квантовой физике, например, в теории двумерных решеточных моделей или для описания метаморфоз волновых фронтов. В частности, решения динамического уравнения Янга-Бакстера определяют специальные «нелокальные» представления группы кос Артина.

Пусть С? — группа Артина, заданная системой образующих 0{. / £ /. |/| < ОС. И системой определяющих соотношений (11(1 ¡(11... = (I ¡(1{(1 ¡... /. _/ £ /, где

слова, стоящие слева и справа, состоят из чередующихся букв а{.а ^: ,иц{,иа ^ -) элемент симметрической матрицы Кокстера (ш*; );../£/• соответствующей группе (?. Группа Артина называется группой Артина большого типа, если т{} ^ 3 для всех / ф ] Е I. С каждой группой Артина С? связана группа Кокстера О, которая получается из группы С? добавлением соотношений = 1 для каждого •/ € /.

1. Группы Артина с двумя образующими

Пусть С? — конечно порождённая группа Артина большого типа, заданная множеством образующих А = («г)ге/ и матрицей Кокстера •

Пусть (г - произвольный элемент из (?, обозначим через \чг\ его длину в свободной группе /-’. заданной на образующих А = (г/^)¿е / - а через ||уг|| — его слоговую длину в /-’. рассматривая У в виде свободного произведения

бесконечных циклических групп /-’г = ((1{ ). ТО есть /-’ = П Н ^ г •

г€/

Группу Артина с двумя образующими обозначим 6\; = а¡. Яг.//- где

симметризованное множество, полученное из определяющего соотно-

_1 _1 _1

шения Гц = (¡{О!аI...а ■ а ■ и всех его циклических перестановок, если

2 < Шу < ОС 11 — пустое МНОЖвСТВО, вСЛН ГПц = ОС.

Лемма 1 [5]. Е'о/ш ги £ и) — нетривиальное свободно приведенное слово, равное единице в (7^-, то ||ш|| ^ 2тг

Лемма 2 [5]. Пусть ъи £ Сц], чг = уг) = 1 в Сц]. Тогда

1) есл^ЦгУхЦ ^ тц, то |г^11 ^ |гс?21;

2) если [|г^111 < гпц, то |гс?11 < |г^21 •

Лемма 3 [1]. Группа Артина при = 2к + 1 изоморфна группе (х ,у;х2к+1 = у2), а при т^ =2 к - группе {£ . х: 1хкЬ = хк).

Лемма 4 [1]. Пусть = (а*, а^; {а1а^)т%:) = (а^аг)т%3) — группа Артина, слово гп £ Оц циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2и равно единице в Тогда слово гп имеет вид

при = 2к + 1

а) arjnajai...ajaiaJma~1 ...а-1, л-гхбо

aiaj...ajarjnaJ1a~1 ..^т, либо им обратные т £ к > 0;

а 7г£ш =2 к

Ь) а”га1?-...ага1?-а“та“1...а“1, л-гхбо

, либо им обратные т £ {^\{0}}, /г > 1.

2. Группы Артина с числом образующих больше двух

Рассмотрим группу Артина большого типа, заданную на множестве образующих А = («г) г е / - И < 00 с симметризованным множеством определяющих соотношений Я, К = У , где /?г/ — симметризованное множество

г,з€1

определяющих соотношений ар'ГИ ПОВОЙ группы Сч} .

Обозначим через 11^. / ф ] множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных В свободной группе И равных единице В С{}. Элемент

г £ /?*/ будем называть соотношением типа (/../). Пусть К = У /?*, — объ-

г^е1

единение /?г/ для всех /.,/ е /, / ф ]. Тогда группа Артина С? может быть задана представлением С? = (А; К), где К — симметризованное подмножество свободной группы /"’ = П Ф (аг)-

*е/

Пусть w — нетривиальное циклически приведенное слово, равное единице в группе Артина большого типа G. Тогда существует связная односвязная Н диаграмма М с граничной меткой w, областями которой являются liij диаграммы с метками типа (/../). Подвергнем Н диаграмму М следующему преобразованию. Пусть области !)\. ¡)2. являющиеся одновременно ^-диаграммами, пересекаются по ребру с меткой ç(l)\ П D2), имеющей слоговую длину \\ip(Di П 11 > 1 (и если \\ip(Di П 11 = 1 и метки областей !)\ и D2 содержатся в одной подгруппе Gij ). тогда, стирая это ребро, объединяем ¡)\ и ¡)2 в одну область I). Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то, удалив эту область, склеиваем ее границу. Через конечное число шагов получим связную односвязную R-диаграмму М. инвариантную относительно рассмотренных преобразований с граничной меткой w, причем, если две области ¡У. ¡У' из М пересекаются по ребру, то слоговая длина метки этого ребра 11ip(0D' П 01У')\ | = 1. Такая связная односвязная Н диаграмма называется приведенной.

Лемма 5 [5]. Если М — приведенная связная односвязная R-диаграмма группы Артина, для элементов матрицы Кокстера которой имеем Vi,j, i Ф 3> hJ £ If mij ^ mf 7710 M удовлетворяет условию С(2m).

Следствие 1 [5]. Каждая приведенная связная односвязная R-диаграмма М группы Артина большого типа удовлетворяет условию С(б).

Область D с граничным циклом 01) = ( ус^1 д. расположенная по обе стороны относительно ребра е, в которой склеенные ребра ене"1 пересекают граничный цикл 1). называется (s — /) областью.

Лемма б [1]. Каждая приведенная связная односвязная R-диаграмма М группы Артина большого типа не содержит (s — i)-областей.

Особенностью Н диаграмм М группы Артина большого типа является то, что метка внутреннего ребра любой области 1). не являющейся (s — /) областью, имеет слоговую длину, равную единице, то есть является степенью некоторого образующего a G А.

Обозначим через ОМ граничный цикл М. Область D С М назовем граничной, если ОМ Г) 0D ф 0. Символом d(D) будем обозначать число ребер в граничном цикле I). а символом i(D) — число внутренних ребер в граничном цикле I).

Будем говорить, что ОМ П 01) есть правильная часть М, если ОМ П

01) есть объединение последовательности замкнутых ребер 1\..... /„. которые встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для I) и в некотором граничном цикле для М. Граничную область D R-диаграммы М назовем простой, если ОМ П 01) есть правильная часть.

Определение [1]. Пусть М — приведенная связная односвязная Н диаграмма группы Арти па большого типа. Тогда последовательность гра-

П

ничных областей ¡)\. ¡)2..... 1)„ ■ п ^ 2 образует полосу П = У 1){ в М .

г=1

если:

1) Уг, 1 ^ г ^ п ОМ П 01){ — правильная часть М:

2) Уг, 1 г п границы областей 1){ и 1){+\ пересекаются по ребру;

3) ¿(£>1) = г(1)п) = 3 и У/. 1 < ./' < п г(1^) = 4.

Пусть П — полоса диаграммы М, ОМ = 7 и (ОН П ОМ), а 71 =

сЛ 1\(сЛ I П ОМ). Замену диаграммы М на диаграмму М\. полученную из М удалением полосы П, в результате чего граничный цикл М преобразуется в граничный цикл 0М\ = 771, назовем специальным И сокращением, или /? сокращением. Если М не содержит полос, то назовем М специально Н приведенной или Н приведенной.

Лемма 7 [1]. Пусть М — приведенная связная односвязная 11-диаграмма группы Артина большого типа, не содержащая деновских областей. Тогда М содержит минимум три непересекающиеся полосы.

Определение [1]. Свободно приведенное слово ш группы Артина большого типа назовем Л-приводимым, если ш содержит подслово 5, являющееся подсловом некоторого соотношения г € Н. Г = .н1). где ||Ь|| ^ 2. В противном случае слово ии назовем Н неприводимым или Н приведённым. Назовем слово ш циклически Н приведённым, если все его циклические перестановки являются Н приведёнными словами.

Если 1г' получено из (г Н приведением, то на основании леммы 2 [5] имеем |к/| ^ |ш|.

Определение [1]. Циклически Н приведенное слово ии группы Артина большого типа назовем специально Н приводимым, если в его некоторой циклической перестановке Ш* МОЖНО выделить ПОДСЛОВО *1 .

где каждое содержится В некоторой группе Сч} и является подсловом

-1

соотношения .4,(1^ + \ £ Я, причем, при I = 1 т I = п имеет место

\\dlW = НМ = 1И2Ц = |И»|| = | \ Ъп 11 = !Ип+1|| = 1 и ДЛЯ 1, 1 <¿<71,

||г//. || = \\dt-\-i || = 1. ||6/. || = 2. В противном случае слово ш назовем специально И неприводимым или И приведённым.

Лемма 8 [1]. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведённого слова гп группы Артина большого типа выяснить, является ли ъи Я-приведённым.

Лемма 9 [1]. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведённого слова гп группы Артина большого типа выяснить, является ли ъи специально Я-приведённым.

Следствие 2 [1]. В группах Артина большого типа разрешима проблема равенства слов.

3. Разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности слов

Проблема слабой степенной сопряженности слов заключается в следующем: найти алгоритм, при помощи которого по любым словам г и уг группы С? (причем V ^ {уг)) можно определить, существуют ли целые числа т, п и существует ли такое слово € СИ. что слова г. у г” сопряжены в группе

Теорема 1 [2]. Группа Артина большого типа не содержит элементы конечного порядка.

Теорема 2 [3]. Пусть слово гг группы О Артина большого типа циклически Л, Я-несократимо. Существует алгоритм, строящий по слову гг сопряженное с ним или с его квадратом в группе С слово гго, любая степень которого Л, Я-несократима.

Обозначим через о. (У) — начальную точку пути 7', ш(7') — конечную точку пути У.

Лемма 10 [3]. Пусть М — приведенная диаграмма, являющаяся диском (граничный цикл (дМ) — простая замкнутая кривая), дМ = 7 и 8; 7),

(р(5) — Л, Я-несократимые слова; в М больше двух областей и нет неправильных областей. Тогда существуют области В а и Вв £ М такие, что

1) О а П дМ и В в П дМ — связные множества, а( 7) = а(^) = А, а; (7) = а>(6) = В.

2) ЗБа Г) 7 ф 0? дБ а П 8 ф 0? сШв П 7 ф 0? сШв П 8 ф 0 и все четыре множества содержат ребра.

Следствие 3 [3]. Если в диаграмме М, удовлетворяющей условиям леммы 10 более двух областей и нет неправильных областей, то диаграмма М имеет следующую структуру: ¿(-Ол) = г{Г)в) = 2; все граничные области в М имеют от трех до пяти внутренних ребер. Если ,..., — области, граничащие с 7, = В а, В8 = В в; В\,..., ^ — области,

граничащие с 8, В\ = В а, Въ = В в и они пронумерованы по ходу следования при движении от А к В вдоль 7 и 8, то области с пятью и тремя внутренними ребрами чередуются вдоль 7 и 8, причем, если не учитывать области с четырьмя внутренними ребрами, то области с тремя внутренними ребрами расположены в самой левой и самой правой позициях вдоль 7 и 8.

Теорема 3 [3]. Пусть М — приведенная диаграмма, являющаяся диском (граничный цикл (дМ) - простая замкнутая кривая), дМ = 7 и 8;

<¿>(7), <р($) — Я, Я-несократимые слова. Тогда число областей, граничащих с 7 и 8 одинаково.

Теорема 4 [3]. В группе Артина большого типа разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу.

Лемма 11 [1]. Пусть М — связная Я, Я-приведенная кольцевая диаграмма над группой дМ = 7 и 8, <р(7) = хр. Тогда <р(8) = ур, где Ж, У є {а*1, а*1}.

Теорема 5 [4] (Теорема о сопряженности для Н X Х-ра с і и и реї і и й). Пусть Є* = (6\ і: і~1 Лі = В. у") НММ-расширение группы Є . Пусть и =

доіЄі..ЛЄп, п ^ 1, и V — сопряженные циклически приведенные элементы из О*. Тогда |п| = \ю\ и и можно получить из V, беря подходящую циклическую перестановку V* элемента V, оканчивающуюся на і~", и сопрягая затем элементом г, где г Є А, если еп = — 1, и г £ В, если еп = 1.

Теорема 6. В группе О — группе Артина большого типа алгоритмически разрешима проблема слабой степенной сопряженности, то есть по любым словам ги, V Є О таким, что V ^ (ъи) можно выяснить, существует ли целое число п такое, что слова тп, V сопряжены в группе О.

Доказательство. I. Пусть 6\; = (^аі . г//. /?*; ^ — группа Артина большого типа с двумя образующими и іг.г Є С і, .

Случай 1. Пусть = 2к + 1, тогда группа 6\; изоморфна свободному произведению с объединением, то есть группе В\ = (.7-. у: х2к+1 = у2), и изоморфизм задается следующим образом: /(а*) = :гк+1 у~1. /(%•) = ух~к.

В [6] Липшуц С. доказал разрешимость проблемы степенной сопряженности слов для свободного произведения с объединением.

Случай 2.Пусть =2к, тогда 6\; изоморфна НХХ расширению, то есть группе В‘2 = (і. :г: і^1 :гк і = хк), и этот изоморфизм задается отображением /(аі) = і. /((і]) = хі~1.

Так как элемент из ассоциированной подгруппы лежит в центре, то по теореме 5 [4] следует разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности слов для Н X X расі 11 и ре 11 и й. а, следовательно, и для групп Артина большого типа в случае = 2к.

Следовательно, для групп Артина большого типа с двумя образующими проблема слабой степенной сопряженности разрешима.

II. Пусть группа Є порождена более чем двумя образующими. Рассмотрим циклически Я и Н песокра'ги.мые слова іг. г. не равные единице в группе СИ. И пусть любая циклическая перестановка г. іг ^ С„ь-

Итак, пусть слова и,п. V сопряжены в группе (?, нам нужно ограничить и сверху числом, зависящим от длины слов іг. г и от длин определяющих соотношений.

Используя теорему 2 [3], заменим, если это необходимо, слова чс и с сопряженными им словами УГ(). г() в группе (?, причем слово г о /?. -Й-несократимо и любая степень слова чг{) Н. /? несократима и в группе С? чг'Ц ~ г().

В [4] доказано, что для сопряженных в С? слов чсЦ. г{) существует кольцевая приведенная диаграмма М: дМ = 7 и 6, пусть (/7(7) = чсЦ. (р(8) = г().

Из леммы 11 [1] следует, что если ||уг|| = 1, ||г|| = 1. ЧГ.Ч' £ СИ. то можно эффективно выяснить разрешимость проблемы слабой степенной сопряженности для данных слов.

Общая идея доказательства состоит в использовании теоремы б для диаграммы сопряженности М. Поэтому докажем вначале, что диаграмма М не содержит ни островов, ни полуостровов.

Определение. Пусть М{) — кольцевая диаграмма, дМд = 7 и 6, Мд = М\ и М2 и р. где М\ — кольцевая диаграмма, М2 — односвязная диаграмма, дМ\ = 71 и 6, 71 С 7, 0М2 = 72, 7\(71 и 72) — Р - простой путь, возможно, нулевой длины, с концами А £ 71, В £ 72. Тогда диаграмма М2 называется островом в Л/().

Определение. В кольцевой диаграмме Мо, состоящей из кольцевой диаграммы М\. односвязной диаграммы М2 и области В, не содержащейся в этих диаграммах назовем диаграмму М2 полуостровом, если дВ = а 1 \

граница области В, «1 С 0М\. аз С 0М2. все пути щ (/ = 1,2, 3,4) простые.

Определение. Пусть М — кольцевая диаграмма с внешним контуром 7 и внутренним ОМ = 7и6. Пусть 7П5 = 0. Предположим, что в диаграмме нет ни островов, ни полуостровов. Внешний (внутренний) граничный слой кольцевой диаграммы М называется внешним (внутренним).?Г7 (К§) — слоем диаграммы М.

Лемма 12. Пусть М — приведенная кольцевая диаграмма сопряженности циклически Л, Я-несократимых слов. Пусть в М нет неправильных областей, дМ = 7 и#. Тогда слой К у (К$) не содержат областей В таких, что г(В) > 5 и в К у (К$) число областей с внутренней степенью 3 равно числу областей с внутренней степенью 5, причем любые две области с внутренней степенью 3 разделены областью с внутренней степенью 5, а между ними могут быть области с четырьмя внутренними ребрами.

Доказательство следует непосредственно из следствия 3 [3].

Лемма 13. Пусть М — приведенная кольцевая диаграмма сопряженности слов Шд и Уо. Тогда в М нет островов.

Доказательство. Предположим, что в М есть остров М2. Пусть ОМ = 7 и 6, М = М\ и М2 и р. где Л /1 — кольцевая диаграмма, 0М\ = 71 и#, 71 С 7,

0М2 = 72? т\(71 и 72) = р — простой путь, возможно, нулевой длины, с концами А £ 7х, В £ 72.

Тогда <р(дМ2) — подслово в чсЦ или Уо. Так как слова чгЦ и Уо И,Ё-несократимы, то слово <р(дМ2) И,Ё-несократимо.

П

1) Пусть диаграмма М2 состоит из неправильных областей: М2 = и 1)„ ■

г=1

Предположим, что в диаграмме М2 область !)\ такая, что /(О\) = 1, из свойств диаграммы над словами чсЦ и Уо следует, что В £ 01)\. Тогда область 1)п является деновской, что противоречит выбору слов ЧсЦ и Уо. Предположение о том, что в диаграмме М2 существует область !)\ такая, что /(О\) = {2,3,4}, приводит к противоречию с приведенностью диаграммы М.

2) Пусть диаграмма М2 имеет вид: М2 = Оц и М{) и -Ос-, где М{) состоит из правильных областей и пусть дМ2 = 7' и 8'. Тогда по теореме 3 [3] число областей, выходящих на 7' и д'. одинаково. Тогда область Б с является деновской — противоречие.

Если в диаграмме М2 нет деповских областей, то по лемме 7 [1] в М2 есть минимум три непересекающиеся полосы, что в свою очередь противоречит выбору СЛОВ ЧУ о Ж Уо.

Итак, в М2 нет ни полос, ни деновских областей, следовательно, | Л/21 = 1 и в (/7(7) есть Н-сокращение - противоречие.

Следовательно, приведенная кольцевая диаграмма М не содержит островов. Лемма 13 доказана.

Лемма 14. Пусть М — приведенная кольцевая диаграмма сопряженности слов и)о и Уо- Тогда в М нет полуостровов.

Доказательство. Предположим, что в М есть полуостров М2. Пусть ОМ = 7 и 6, М = Л/1 и М2 и р\ и р2- где Л/1 — кольцевая диаграмма, дМ\ = 71 и 6, 71 С 7, О М2 = 72, 7\(71 и 72) = Р\ и р2 — простые пути с концами Л1. Л 2 £ 71, В1. В2 £ 72-

Тогда ^{дМ2) - подслово в к'Ц или г(). Так как слова и'Ц и г() Н. /? несократимы, то слово у-(с)А/2) /?. /? песокрач имо.

П

1) Пусть диаграмма М2 состоит из неправильных областей: М2 = и 1)„ ■

г=1

Предположим, что в диаграмме М2 область !)\ такая, что /(О\) = 1, из свойств диаграммы над словами и'Ц и г() следует, что В £ д!)\. Тогда область 1)п является деновской, что противоречит выбору слов К'Ц и Уо-Предположение о том, что в диаграмме М2 существует область !)\ такая, что /(О\) = 2 приводит к противоречию с приведенностью диаграммы М.

2) Пусть диаграмма М2 имеет вид: М2 = О в и М{) и -Ос-, где М{) состоит из правильных областей и пусть дМ2 = 7' и 8'. Тогда по теореме 3 [3] число

областей, выходящих на 7' и д'. одинаково. Тогда область 1)(; является деновской - противоречие.

Если в диаграмме М2 нет деновских областей, то по лемме 7 [1] в М2 есть минимум три непересекающиеся полосы, что в свою очередь противоречит выбору слов чсЦ ж Уо. Следовательно, М2 содержит одну область, что противоречит Д-несократимости подслова <р(дМ2).

Итак, диаграмма М не содержит полуостровов. Лемма 14 доказана.

Пусть М — кольцевая приведенная связная диаграмма, ОМ = 7и£. Обозначим через М' диаграмму, полученную из М удалением внешнего граничного слоя К7, а через М » диаграмму, полученную из М удалением внутреннего граничного слоя К§.

Определение. Пусть М — кольцевая связная Н диаграмма, являющаяся диаграммой сопряженности слов из группы Артина большого типа. Тогда внешний (внутренний) слой из М назовем специальным слоем, если образующие его области Х>1,.... 1)п. удовлетворяют условиям:

1) Уj, 1 ^ j < п — 1 Dj П -0?+1 есть ребро;

2) В г П -Оп есть ребро;

3) ¿(£>1) = 3, ¿(Д,) = г(Я3) = - = г(Вп) = 4.

Лемма 15. Пусть М — приведенная кольцевая диаграмма сопряженности слов и)о и Уо, дМ = 7 и 6, (/7(7) = Юо, <р(§) = Уо; слово Уо Я, Я-несократимо и не является циклически специально Я-сократимым; любая степень слова то Я-, Я-несократима. Тогда ни один из граничных слоев диаграммы М не является специальным.

Доказательство. Предположим, что слой /\7 (К§) является специальным. Рассмотрим кольцевую диаграмму Л/1. построенную из областей слоя /\7 (К§). Разрежем /\7 (К§) по общему для областей ¡)\. ¡)п ребру; из двух экземпляров полученной односвязной диаграммы склеим кольцевую диаграмму М2, одна из граничных меток которой равна Из строения областей в К7 (К§) следует, что диаграмме М2 можно выделить полосу, то есть в слове 1Гцп есть /? сокращение, что противоречит условию леммы. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 15.

Определение. Кольцевая приведенная диаграмма М с граничными циклами 7 и 6 называется простой, если ^ П 8 ф 0 ж \М\ > 0: М называется вырожденной, если | М | =0.

Пусть М = Л /о — кольцевая приведенная диаграмма, ОМ = 7 и#, 7 = 70, 5 = 5о- Обозначим через М[, (М >>&),& > 0 поддиаграмму в М. полученную из диаграммы М^_1 (М >>^_х) с граничными циклами 7^-1, (70? ^-1)

удалением граничного слоя K~fk_1 (К$к_1) вместе с 7fc_i Тогда дМ'к =

7к U So (дМ »к= 7о U Sk)-

Определение. Кольцевая приведенная Н диаграмма М = Mq (ôMq = 7о UÆo) называется к слой пой. к > 1, если после удаления граничных слоев К1о,... ,KrYk_1 получится вырожденная диаграмма и М называется С — к-слойной, если после удаления этих слоев получится простая диаграмма.

Лемма 16. Пусть М — приведенная кольцевая диаграмма сопряженности слов Wq, vq ив М' (М >>) нет неправильных областей. Тогда граничные слои диаграммы М' (М >>) имеют строение, указанное в лемме 12.

Лемма 17. Пусть М = Mo - кольцевая приведенная диаграмма сопря-

12

женности слов Wq и vq. Тогда п < 4\vo \ ■ \го\ , где го - самое длинное слово из R.

Доказательство. 1. Пусть от слова w переходим к слову ir{): w ~ vr(). Так как рассмотрению подлежат к-слойные и С к слойпые диаграммы, а последние можно представить как объединение простой и к слой пой диаграмм с общим граничным циклом, то и рассуждения проведем для простых и к слой пых диаграмм.

1) Пусть М — сама простая диаграмма. К ней применима теорема 3 [3]. Пусть р - число областей, выходящих па и д. р < 2 \v{)\.

Тогда п < \\wq || < р |т*о| < 2 |î;o| • |^о|? то есть п < 2 |г?о| • |т*о|*

2) Пусть после удаления из диаграммы М граничного слоя Л\, получается простая диаграмма М' с граничными циклами 71 и 5. К этой диаграмме можно применить теорему 3 [3], так как (/7(71), <p(S) — R,R-несократимы. Действительно, 7 и 7i являются граничными циклами к (‘лойпой поддиаграммы диаграммы М и так как (/7(7) R,R-несократимо, то и (/7(71) является R, /? несократимым словом.

Следовательно, к М' применима теорема 3 [3].

I I I 12

Тогда п < \\wq у < \Кгу \ * |у*оI < 2 |г?о| * ро| • ро| = 2 |г?о| • |т*о| •

Пусть теперь М — к слой па я диаграмма, к ^ 2. Так как выше было доказано, что в данных диаграммах не бывает островов и полуостровов, то из теоремы 3 [3] следует, что на 7 и 5 выходит одинаковое число областей. При к > 2 применим индукцию по числу слоев в М и лемму 16. Получаем п < \\wq\\ < |ií7| • |т*о| < 2 |г?о| • |т*о| • |т*о| = 2 pol • |т*о| •

2. Пусть теперь от слова w2 переходим к слову ir{). Предположим, что

— 1 П — 1 2г7 2 — 1 77

имеет место равенство: z w z = г\ но, тогда z w z = v или z WqZ =

12

vo. В этом случае n < 4 |г>о| • |т*о| •

Лемма 17, а вместе с ней и теорема б доказаны.

Библиографический список

1. Безверхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа / В.Н. Безверхний // Фундаментальная и прикладная математика. - 1999. -Т. 5. -№ 1.

2. Безверхний В.Н. О кручении групп Артина большого типа / В.Н. Безверхний, А.Н. Кузнецова // Чебышевский сборник. -2005. -Т. б. -Вып. 1. -С.13-21.

3. Безверхний В.Н. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа / В.Н. Безверхний, А.Н. Кузнецова // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2005 -Т.2. -Выпуск 1. Математика. -С.76-93.

4. Линдон Р. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. - М.: Наука, 1980.

5. Appel К. Artin groups and infinite Coxeter groups / K. Appel, P. Schupp // Invenf.Math. -1983. -V.72. -P.201-220.

6. Lipschutz S. On powers in generalized free products of groups / S. Lipschutz // Arch. Math. -1968. -P. 575-576.

Поступило 20.04.2008