CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 42-59 = Математика
УДК 519.4
Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой
О.Ю. Карпова, В.Н. Безверхний
Аннотация. Доказывается, что в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов.
Ключевые слова-, группа Артина с древесной структурой, диаграмма, область.
Пусть (7 — конечно порожденная группа Артина с копредставлением (7 = (а%, а2, • • • , ап] {(ца^ч = (а^аг)171^) , где (сча^™^ = (ца^сц ... — слово ДЛИНЫ ГПъу, состоящее ИЗ ГПгу ЧврвДуЮЩИХСЯ букв а г И а^-, г Ф ГГЦ2 — число, соответствующее симметрической матрице Кокетера, ^ 2 при
* Ф 3 ■
Каждой конечно порожденной группе Артина (?р* соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если а* и являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (а*а^-)т<* = группы (?р*.
В графе Г* можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г С Г*. Будем говорить, что группа Артина (?р имеет древесную структуру, если
Г
но установить соответствие такое, что если а* и являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида {сца^)171гз = {а^аг)тзг. То
Г
структуру.
р
(?р*, т. е. ф: (?р —> (?р*.
Г
Группа, порожденная образующими а* и а^, имеет копредставление = {ai,aj] {сца^171^ = {ajai)mji). Обозначим через множество
всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе С. Тогда копредставление группы Сзапишем через Пусть группа (7 порождена более чем двумя
образующими.
Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением G = (ai, ö2, , ап; R), R = URij. Рассмотрим свободную группу
F = ПГ=1*(аг)> ПУСТЬ w & F, обозначим через |ш| длину, а через ||ш|| — слоговую длину слова w в группе F.
Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена слово w является меткой связной односвязной диаграммы над R.
Введем следующие преобразования диаграммы (*).
1. Пусть области Di, £>2 пересекаются по ребру ср(0 Dy П ОD2), имеющей слоговую длину \\<p(dDi П ¿Шг)]] > 1 (и если \\<p(dDi П ¿Шг)]] = 1 и <p(dD 1) 6 Gabi 4>{dD2) 6 Gabi тогда, стирая это ребро, объединяем Di и £>2 в одну область D. Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу.
2. Если две области Di, D2, где ip(dD 1) 6 Ga&, <p(dD2) S Ga&, имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область D и, если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.
Определение 1. Назовем внутреннюю точку v диаграммы специально особой точкой, если d(v) ^ 3 и все ребра, исходящие из нее, имеют одинаковые метки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется особой.
Определение 3. Область D назовем деновекой, если i(D) < ^d(D), где i(D) — число внутренних ребер, d(D) — число ребер в граничном цикле для D.
Определение 4. Область с граничным контуром eje~1S, склеенную по ребру е и с меткой из R, назовем S — i областью.
Рассмотрим произвольное слово w G G, G — группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена слово w является меткой связной односвязной диаграммы М над R. Рассмотрим граничную область D карты М. Обозначим через 7 внешнюю границу диаграммы М. Если D является деновекой областью, то ||dD П 7Ц > ||dD \ (dD П 7)||-Удаление деновекой области D диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы М или /¿-сокращением. Будем говорить, что М является /¿-приведенной, если она не содержит деповских областей.
Определение 5. Слово w 6 G, G — группа Артина с древесной структурой, называется /¿-приведенным, если w свободно приведено в F и не содержит подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения г,
г = з ■ Ь, где ||в|| > |||г||. Назовем го циклически /¿-приведенным, если все его циклические перестановки являются /¿-приведенными словами.
Теорема 1 [3]. Пусть связная односвязная П-диаграмма М с граничной меткой и), где т не равно единице в свободной группе F и равно единице в Є, не содержит Б — і областей, тогда она и не содержит внутренней особой точки.
Теорема 2 [3]. Пусть связная односвязная П-диаграмма М с граничной меткой и) Є Є, не равной единице в свободной группе F и равной единице в (?, не содержит Б — і областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда на внешнюю границу выходят как минимум три деповские области.
Теорема 3 [3]. Связная односвязная П-диаграмма М над группой Є не содержит Б — і области.
Следствие 1 [3]. Пусть связная односвязная диаграмма М с граничной меткой и), где слово т — циклически приведенное слово, не равное единице в свободной группе F и равное единице в С, не содержит специально особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.
Из теорем 1, 2 и следствия 1 следует, что диаграмма М является однослойной.
Теорема 4 [3]. Если связная кольцевая диаграмма М над группой Є с граничными циклами 5 и 7, где (р(7), ц>(5) — циклически Я-несократимые слова, тогда, если М содержит хотя бы одну Б — і область, то все области данной диаграммы будут являться Б — і областями.
Теорема 5 [3]. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства слов.
Теорема 6 [3]. Пусть слова ги, V сопряжены в группе (?. Тогда, если ||гу|| = 1 и V циклически П-несократимо в Є, то ||г?|| = 1.
Теорема 7 [3]. В конечно порожденной группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1 [2]. Группа Артина Спри т,і^ = 2А: + 1 изоморфна группе {х,у;х2к+1 = у2), а при пц^ = 2к — группе = хк).
Лемма 2 [2]. Пусть = {(ц,ау,{(ца^)тг:‘ = (а^аі)™3*) — группа Артина и слово т Є С і у циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2, и равно единице в С. Тогда при ті^ = 2А: + 1 она имеет вид
а) а^а^аі... сца^та^1 а^1, или
' і ^ 3*3
б) а^а^аі... а^а^а^1... а^т, или им обратные; а при гпіу = 2к, к > 1
a') a™dj ... aidjdi та-1... а -1, или
б') aidj ... aia^aj1... ajm, или им обратные, т Е {Z \ {0}}.
Лемма 3 [2]. Пусть М — связная приведенная Я, R-приведенная кольцевая диаграмма над группой Gij, 7, <5 — граничные циклы М и <р(у) = хр. Тогда <р(5) = ур, где х,у Е {af1, а^1}.
Определение 6. Поддиаграмма П = IJiLi образует полосу в Я-приведенной диаграмме М с граничным циклом дМ = 7 U 5, где 7 есть путь
ПП
(1) Vi, i = 1,... , п — 1 : dDi П dDi+i = е*, где е* — ребро;
(2) Vi, i = 1,... , п : dDi П7 = 7¿, где 7* — связный путь, причем |7*| ^ 1;
(3) 18D! П 7| = |dD! \ (9Dг П 7)| и \8Dn П 7| = \8Dn \ (8Dn П 7)|;
(4) Vj, j = 2,... ,11 — 1 : \8Dj П 7| + 2 = \ (dDj П 7)|.
А 1 б 3 ^
Рис. 1. Я-сокращение
В слове ад есть Я-сокращение, если в приведенной диаграмме А/, граничной меткой которой является слово ад, содержится полоса. При этом подслово (р(АВ) слова ад, соответствующее пути 7, заменяется словом (р(АА\В\В) в приведенной диаграмме М.
Определение 7. Слово и называется циклически Я-несократимым, если любая его циклическая перестановка и* не содержит Я-сокращения.
Теорема 8 [5]. Существует алгоритм, строящий по любому несократимому слову ад сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово то, любая степень которого Я, Я-несократима.
Теорема 9 [5]. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу.
Определение 8. Пусть ад,и ё (? и ад ^ (у), тогда проблема слабой степенной сопряженности состоит в следующем: существует ли целое число такое п, что слова ад и Vй сопряжены в группе С.
Определение 9. Область Б назовем областью первого типа, если ЦсШ П 7|| = ЦсШ П <5||, где (1(0) = ЦсШ П 7Ц + ЦсШ П <5|| + 2.
Определение 10. Область Б назовем областью второго типа, если \\дй П 7|| + 2 = \\дй П 5||, где (1(0) = \\дй П 7|| + \\дй П 5\\ + 2.
Определение 11. Область D назовем областью третьего типа, если ||3D П 7|| = ||3D П ¿К + 2, где d{D) = \\3D П 7|| + ||9D П S|| + 2.
Рассмотрим связную кольцевую приведенную Я-диаграмму A4 сопряженности слов V и w. Пусть <р(у) = w,<p(S) = V, где у — внешняя граница диаграммы A4, а 6 — внутренняя.
Предположим, что диаграмма состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа. Но тогда ||и|| = ||ад>|| + 2, или наоборот IIHI = IMI +2- В этом случае переход с помощью сопряжения от слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым сокращением.
Определение 12. Циклически Я и Я-несократимое слово w в группе Артина G назовем тупиковым, если к нему нельзя применить кольцевое сокращение.
Лемма 4. Пусть w,v — тупиковые слова из G и пустьги, v сопряжены в G. Тогда ||ад>|| = ||и|| и никакое слово и G G такое, что ||и|| < ||и|| не сопряжено с w.w,v.
Доказательство. Пусть w,v — тупиковые слова сопряженные в G. Если длина хотя бы одного из слов равна единице, то заключение леммы следует из теоремы 6 [3].
Пусть я),и £ Gab■ При rriij = 2k, G = (t, ж; 1 = xk), rriij = 2k + 1 группа G изоморфна группе (x,y, x2k+1 = у2). Заключение леммы следует непосредственно из [1].
Пусть w, V G G, w, V — циклически, R, Я-несократимы, и w, v не сопряжены элементами из Gab- И пусть ||u>|| > 1, ||и|| > 1. Тогда существует связная приведенная кольцевая диаграмма М сопряженности слов w,v. Будем рассматривать диаграммы сопряженности вида как на рис 2.
Пусть A4 — связная, приведенная кольцевая Я-диаграмма сопряженности слов w, V вида как на рис. 2. Диаграмма является однослойной.
Рис. 2. Я-кольцевые диаграммы
Пусть (р(у) = т,(р(5) = V, где у начинается и заканчивается в точке О, а путь 6 — в точке 0\. Разрежем диаграмму А4 по ребру, которому соответствует путь 00\. Получили связную односвязную приведенную Я-диаграмму А4\.
а) Пусть диаграмма состоит только из областей первого типа. В силу того, что метка каждого ребра есть буква или степень образующего, и области
пересекаются по ребру, то для любой области Э выполняется ||<р(дО П 'у)|| = ||<р(дО П <5||. Таким образом, ||ад|| = ||г;||.
б) Пусть диаграмма М\ содержит одну область второго или третьего типа. Это невозможно, так как в этом случае нарушается условие: ад и» являются тупиковыми словами.
в) Пусть диаграмма М\ содержит области второго и третьего типа, разделенные в общем случае областями первого типа. Так как диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, иначе в диаграмме выделится полоса, то ||ад|| = ||г;||.
В случае, когда диаграмма М сопряженности слов ад и» имеет вид как на рис. 2. доказательство проводится аналогично.
Следствие 2 (из леммы 4). Пусть (7 — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой; ад, V — тупиковые слова, сопряженные в группе (?; М — кольцевая связная приведенная П-диаграмма сопряженности слов го, V. Тогда диаграмма М не может содержать одну область второго или третьего типа.
Непосредственно следует из доказательства леммы 4.
Используя теорему 9 [5], перейдем, где это необходимо, от слов ад и V к сопряженным с ними или с их квадратами словам адо и г?о, любая степень которых /{. /¿-несократима.
Пусть (7 — конечно порожденная группа Артина с копредставлением
(7 = (ах, 02, г € 1\,з € /г, \11\ < оо, |/г| < оо).
Группе С соответствует конечный дерево-граф Г. Выделим в этом дереве-графе связный подграф Г^, где у — количество вершин, принадлежащих дереву-графу Г 5 Г С Г Г 7^ Г.
Определение 12. Подгруппу группы (?, порожденную образующими, соответствующими вершинами дерева-графа Г, назовем параболической подгруппой группы (?.
Обозначим через С3 подгруппу группы (?, соответствующую дереву-Г
с древесной структурой.
Лемма 5. Пусть (7 — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой с множеством образующих А, \А\ < оо. И пусть ад 6 (7гад — Я и Я-несократимое слово не равное единице в (7. Слово ад равно некоторому слову V 6 где — параболическая подгруппа группы (7 с множеством образующих А.). А.) С А. Тогда ад — слово на образующих А.).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что слово ад, в записи которого содержатся буквы из множества А^ = А \ А у. равно некоторому элементу V 6 О,. ад = ■/>. Пусть ад = «^адоадг, где гих,ги2 € С 3, а слово адо начинается и заканчивается на буквы из А-). Слово адо является Я и Я — приведенным в группе (7 и Я
и Я-приведенным в Gj, wо = Vq1, где Vq1 = Wi1viU21 jVq1 Я и Я-приведено. Слово wqvq является циклически приведенным И WQVQ = 1 в группе G. Тогда существует связная односвязная Я- диаграмма A4 с граничной меткой адо^о. Доказательство будем вести индукцией по числу областей в A4.
Допустим, что A4 состоит из одной области D. Тогда слова wq,vq G Gab и wo должно иметь единичную слоговую длину. Но wo начинается и заканчивается на буквы из Aj. Учитывая, что d(D) = 2к,2 ^ к < оо и лемму 2, получаем, что слово vq содержит в своей записи буквы из Aj.
Пусть диаграмма A4 состоит из п областей. Так как диаграмма не содержит внутренних точек, следовательно, A4 содержит деновские области. Пусть 7,6 — граничные циклы диаграммы А4,(р(7) = wq, (р(5) = vo- Так как w является Я-нееократимым словом, то среди областей, граничащих с 7, нет деновских областей. Следовательно, деновские области могут быть на границе слов wq, vq или среди областей, граничащих с 6. Выполним все деновские сокращения на пути 5. Тогда получим связную односвязную диаграмму А4\ видов, представленных на рис. 3.
Рис. 3. R-диаграммы равенства слов
1. Рассмотрим случай, когда диаграмма М\ имеет вид как на рис. 3, причем пути 7 соответствует путь АВ, пути 6 — В ОСА. Полученная диаграмма А4\ содержит две деновские области £>1, Оп.
Пусть £) 1 — область первого типа. Так как и>о начинается и заканчивается на буквы из А у, следовательно, граничная метка области В\ содержит элементы из А у, а значит и слово ид содержит элементы из А^, что противоречит условию леммы.
Пусть £>1 — область второго типа, 4(0) = 2к, к > 2. При к = 2 0\ является деновской областью на пути 5. Далее аналогично предыдущему случаю граничная метка 0\ содержит элементы из А3, следовательно, и ид содержит элементы из Ау.
Пусть П\ — область третьего типа, для определенности пусть d(Dl) = 4,9з(9£>1 П 7) = хтар где х 6 Атогда (р(дО\ П ¿Ш2) = хт. Для того чтобы гио было Я-несократимо, области третьего типа должны быть разделены областями второго типа и первого (в общем случае). Если все области Иг, г = 2, п — 1, d(Di) = 4 являются областями первого типа, то (р(ВО) содержит «ж™», т.е. ид содержит элементы из А у. Если хотя бы одна область О* среди областей первого типа D^, г = 2, п — 1 имеет ^(£^) > 4, то (р(дБ* П 5) содержит «ж» в некоторой степени. Если хотя бы одна область £>| является областью второго типа среди областей ^¿,г = 2,?г — 1, то 1р(дБ* П 5)
содержит «ж» в некоторой степени. Если (1(0\) ^ 2к, к > 2ш первый элемент в записи (р(дИ 1 П 7) является «хт», то (р(дО\П 5) содержит «ж» в некоторой степени. (Заметим, что показатель степени образующего «ж» зависит от того (1(Ог) = 2Шу или (1(Ог) ф 2гПц, I = 1, п).
2. Пусть диаграмма А4\ имеет вид как на рис. 3. Верхний путь А В обозначим 7, а нижний путь АВ — через 6, <р(7) = гио, (р(5) = ро- Пути 7, 6 можно представить в виде 7 = 7172 • • • ут и 5 = ¿1^2 • • • 5т, причем Уг = 1, т — 1. Если ¥>(7*) = ^(¿г), ТО 99(71+1) Ф ^(5*+1),(^(7*) = -Шг, (^(5*) = VI, где ш*, V* — подслова адо, ^0 соответственно. Ясно, что подслова и;,;, ?!,; содержат в своей записи одни и те же образующие. Рассмотрим участки диаграммы, где соответствующие участки пути и 6^ не совпадают.
Выделим поддиаграммы М8,з = 1,т — 1 диаграммы М вида как на рис. 4. Диаграммы М8 являются связными односвязными диаграммами равенства слов т я и Здесь верхний путь СИ есть а нижний пусть СИ — 53, ¥>(7я) = 1^3,(р(53) = у8, где и и8 - подслова и>о,ио соответственно. Слово и;,5 Я, Я-несократимо и принадлежит (?, т. е. по предположению содержит в своей записи элементы из Ау. Слово ги3 равно слову и8. Дальнейшие рассуждения проводим аналогично первому случаю.
Лемма 6. Пусть G — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой с множеством образующих А, \А\ < ос. И пусть w G G, w — циклически Я и R-несократимое тупиковое слово не равное единице в G. Слово w сопряжено некоторому слову v G Gj, т. е. существует слово z G G такое, что z~xwz = u,|u| ^ 2, Gj — параболическая подгруппа группы G с множеством образующих Aj, Aj С А. Тогда w, z — слова на образующих Aj.
Доказательство. Будем полагать, что слова w,v являются тупиковыми. Предположим, что слово w содержит в своей записи элементы множества Aj = А \ Aj. Пусть A4 — кольцевая связная односвязная приведенная Я-диаграмма сопряженности слов w, v вида как на рис. 2, ||w|| ^ 2. Диаграмма A4 не содержит S — г области и является однослойной. Пусть 7,6 — граничные циклы диаграммы A4, <р(7) = w,<p(5) = v, 7 начинается и заканчивается в точке О, а путь 6 — в точке 0\. Разрежем диаграмму A4 по ребру, которому соответствует путь 00\. Получим связную односвязную приведенную Я-диаграмму А4\.
Пусть диаграмма А4\ состоит только из областей первого типа, число областей \М\\ = п. Рассмотрим некоторую область Dj, d(Di) = 2k, к ^ 2,dDi D
'у = 'у*, г = 1, п. Пусть <р(7*) содержит элемент хт, а:£Л;',т^1. Тогда слово
V содержит в своей записи ж из А у (Вновь отметим, что показатель степени образующего ж зависит от того г/(О,;) = 2т^ или г/(О,;) ф 2т^,г = 1, п ).
Слова ад, V тупиковые по лемме 4, ||ад|| = ||г?|| и по следствию 2 диаграмма М не может содержать одну область второго или третьего типа.
Пусть теперь диаграмма М\ содержит области первого, второго и третьего типа. Причем диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа. Области второго типа должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме выделится полоса.
Пусть области О,; и 03, где г < л — области второго и третьего типа соответственно, разделенные в общем случае областями первого типа, и пусть й(/}*) = (1(0 8) = 4, <р(дОг П 7) = хтак, где ж 6 Ау. Тогда <р(дО* П =
хт. Если я = г + 1 или все £>&, к = ( + 1, з — 1 такие, что (1(0*.) = 4, то <р(дОв П 6) содержит элемент хт. Если же среди /}&, & = г + 1, з — 1 найдется хотя бы одна область 0*к,(1(0*к) = 2&, & ^ 3, то (р(дОк П 5) содержит ж в некоторой степени.
Случай, когда хотя бы одна из областей О* или О3 имеет степень больше 4 тривиальны. Следовательно, если диаграмма М\ содержит области первого, второго и третьего типа, то слово V также содержит в своей записи элемент ж в некоторой степени.
Для кольцевых связных приведенных /¿-диаграмм М сопряженности слов
V и ад вида как на рис. 2 доказательство проводится аналогично.
Покажем, что слово г также принадлежит подгруппе С 3. Предположим противное. Так как кольцевая связная приведенная /¿-диаграмма М\ однослойная, то достаточно рассмотреть случай, когда ||г|| = 1. Пусть - = х"1. ж € А],(р(00!) = (р(вОп П дО\) = хт.
Пусть диаграмма М\ состоит из областей только первого типа. Если среди /}&, к = 2, п найдется хотя бы одна область Ок, (1(0*к) = 2к, к ^ 3, то <р(дОк- 1 П дОк), а, следовательно, и (р(дОк П 7), (р(дОк П 6) содержат ж в некоторой степени, т. е. <р(7) = ад, <р(5) = V содержат в своей записи ж, что невозможно.
Пусть все области диаграммы М\ состоят из областей только первого типа и выполнено (1(0к) = 4. Пусть (р(00\) = <р(дОп П дО\) = жт,(р(дОп) 6 Сшап, ф(дО\) 6 Схах■ Тогда фрагмент дерева-графа, соответствующий поддиаграмме Оп и Л>1, содержит элемент ж, не принадлежащий подгруппе С3, и соответственно вершина данного образующего не принадлежит графу Г^. Остальные вершины рассматриваемого фрагмента принадлежат дереву-гра-ГГ
Г
для этих двух вершин существует по крайней мере две ломанные, соединяющие эти вершины, что противоречит строению группы (?.
Пусть диаграмма М\ состоит из областей первого, второго и третьего типа. Вновь, если хотя бы одна область диаграммы М\ имеет степень больше 4, то рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Пусть теперь все области имеют степень 4 и Di — область второго (или третьего типа) такая, что (p(dDi-1 П dDi) = хт, d(Di) = 4. Тогда <p(dDi П 5)(или <p(dDi П 7)) содержат элемент хт, т. е. <р(7) = w и <р(5) = v содержат в своей записи ж.
Таким образом, z G Gj.
Для диаграмм вида как на рис. 2 доказательство проводится аналогично.
Теорема 9. В группе Артина с древесной структурой разрешима алгоритмическая проблема слабой степенной сопряженности.
Доказательство. Если w = ak, v = br, то необходимо определить, существует ли такое слово г, что z_1wz = v11. Слова w и v, слоговая длина которых равна единице, в группе Артина сопряжены в G тогда и только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа Г, которая соединяет вершины соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Костера [3].
Пусть w,v G Gab■ Так как М является диаграммой вида С(4)&Т(4), то проблема слабой степенной сопряженности в данном классе групп разрешима [6].
Рассмотрим случай, когда tr. v G G и tr. v не сопряжены в G элементами
ИЗ Gab•
Итак, пусть слова w и vn сопряжены в группе G. Нам нужно ограничить сверху п, зависящим от длины слов w, v и от длин определяющих соотноше-
и _1 •»}
НИИ Z WZ = V .
Используя теорему 8, перейдем, если это необходимо, от слов w, v к сопряженным с ними или с их квадратами словам wq ,vq, любая степень которых II и /¿-несократима.
Пусть V2 ~ V0, И w2 ~ WQ, где любая степень Wo, Wo является i¿ и R-несократимой, и допустим, что wo = z\Vq z^1. Выясним, существуют ли такие т G Z\ {0} и Z2, что w = Z2VmZ21. Проведем преобразованиям2 = откуда wo = z!2Vqlz2~1. Таким образом, получаем Vq = zv'q'z-1 , где - = 1
Утверждение 1. Если Vq = zv^z-1, то т = п, где любая степень vq циклически, R и R-несократима.
1) Если vq = as в группе Артина с древесной структурой, то заключение утверждения следует из леммы 3, так как Vq, v™ сопряжены. Таким образом, т = п.
2) Пусть vq G Gab, Группа Gab при таъ = 2Ä: + 1. согласно лемме 1, изоморфна группе (ж, у; ж2^+1 = у2). Профакторизуем Gab по центру Z, тогда получим Gab/Z = (ж|ж2^+1) * (у\у2). Если ||vo|| > 1, ТО, имея Vq = z(üo)iTl^_1 в фактор-группе, получим z = Vq. Тогда n||vo|| = m||vo||, откуда т = п.
Если Иvo|| = 1 и vq = ха ,zxaг~г = х&, где 1 < а < 2к + 1,1 < ß < 2к + 1, то z £ (ж), следовательно, а = ß. Аналогично, если v = у(или v = у-1 ),zyz_1 = у~г, то г £ (у), откуда у = у-1. Тогда в Gab имеем h\xa = hiха или h 1 у = Л-2У, где h\, hi — элементы из центра, откуда h\ = hi.
Группа Gab ПРИ таЬ = 2& изоморфна группе {¿,ж;£ж^-1 = хк). Если таъ = 2, то для группы Gab выполняется соотношение атЬп = Ьпат. Доказательство очевидно.
Рассмотрим таь > 2. Профакторизуем Gab по центру Z, получим Gab/Z = (t) * (ж|ж*). Если IIvoll > 1, то проводим аналогичные рассуждения, что и для предыдущего случая. Если ||vo|| = 1 и vq = жа, гхаг~г = ж^, где 1 < а < к, 1 < ß < к, то вновь z G (ж), следовательно, а = ß. Аналогично, если v = t,ztz_1 = I. то • G (t). Получаем, что в Gab hixa = hiха или hit = hit, где hi, hi — элементы из центра, откуда h\ = hi.
3) Пусть vq ф Gab-, 1Ы1 > 1- Представим группу G как древесное произведение групп вида Gab с объединением.
Группе G соответствует конечный дерево-граф Гп, вершинами которого являются двупорожденные группы Артина.
Группы Артина Gsp = (ар, as; Rsp) и Gsk = (а&, a's; Rsk) объединены по циклическим подгруппам Usp = (as),Usp < Gsp, и Usk = (a's),Usk < Gsk, если вершины, которым соответствуют данные подгруппы, соединены ребром в древесном графе.
Доказательство проведем с помощью индукции по числу групп в свободном произведении с объединением.
Г ГГ
ведением остальных двупорожденных групп Артина, обозначим Grn_i- Тогда
Г
(а)
Предположим, что утверждение справедливо для к < п.
Рассмотрим случай к = п. Пусть G = Gгп_! -J^Gаь, vq G G и vq R — R
(a)
циклически-несократимое слово, представленное в нормальной форме vq = glg2 ■ ■ ■ gkj где gt G Gf„„! или gt G Gab, t = l,k. Тогда из [1] следует, что Vq = zq^q^Zq1, где (vq)u — циклическая перестановка vff, z о G (a). Таким образом, Vq1 является циклической перестановкой Vq . Поэтому n||vo|| = т II vq II, откуда т = п. Доказательство утверждения 1 завершено.
Будем рассматривать некоторые циклические перестановки Wq , Vq слов w0, -Wo-
Пусть Wo {v0)■ Необходимо выяснить, существует ли такое • G G. что z^wlz G (vl).
Рассмотрим кольцевую связную приведенную /¿-диаграмму М сопряженности слов Vq71 и Wq. На основании теорем 1,2 диаграмма М однослойная, следовательно, будем рассматривать виды диаграмм как на рис. 2.
Рассмотрим кольцевую связную приведенную /¿-диаграмму М (вида как на рис. 2) сопряженности слов Vq71 и Wq. Обозначим соответственно внешний и внутренний граничные циклы диаграммы М через </5(7) = Wq, <р(5) = (vg)n.
Так как М является однослойной, то число областей, выходящих на 7 и 6, одинаково.
Пусть р — число областей, выходящих на 7 и 6. Следовательно, количество ребер Nr, принадлежащих пути S, не превосходит |wo|- Тогда количество вершин Nv ограничено числом |wo| + 1 и число областей, выходящих на 5, р ^ Nr + Nv = 2|wo| + 1, и имеем ||г|| < ||wo|| + ||vo|| + 2. Получаем n||v0|| < р ■ |М| = (2|w0| + l)(|ko|| + \Ы\ + 2) < (2|w0| + l)(No| + bol + 2),
то есть п < г(2М+1)(Ы+Ы+2)]
1 II voll J
Рассмотрим случай, когда мы переходим от слова v2 к слову wo- Пусть Vq = ziwqz^1. Допустим, что для некоторого s G Z \ {0} справедливо vs = Z2WZ21- Преобразуем соотношение V2s = Z2W2Z21 в Vq = Z3WQZ31. В итоге получаем Vq ~ Vq. Откуда согласно утверждению 1 п = s.
Таким образом, имеем п < [ (21ц?о|+1)(ко|+Ьо|+2) ^
Пусть теперь диаграмма имеет вид как на рис. 2. В этом случае будем решать проблему вхождения слова Wq в циклическую подгруппу (vq).
Таким образом, в группе Артина с древесной структурой разрешима проблема слабой степенной сопряженности.
Проблема степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой. Будем говорить, что в G разрешима проблема степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов ir. V G G установить существуют ли натуральные числа тип, и элементы z такие, что z~1wmz = v11.
Теорема 10. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности.
Если ir = a.k. V = lf. Слова w и v, слоговая длина которых равна единице в группе Артина, сопряжены в G тогда и только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа Г, которая соединяет вершины соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Костера [4].
Пусть W,V G Gab и V ^ (W}. Согласно лемме 1 Gab при таЬ = 2Ä: + 1 изоморфна группе (ж, у; х2к+1 = у2). С. Липшуцом была доказана разрешимость проблемы степенной сопряженности для данного класса групп. А при ТПаЪ = 2& Gab = (i, ж; 1хк1~г = хк).
Утверждение 2. Пусть w,v G Gab, где таь = 2к. И пусть wm = xsit£lxs2t£2 ... t£p и vn = xlltaixl2ta2 ... tak (Si, (jj = ±1 ) — сопряженные элементы в HNN расширении. Тогда |ш| = |v| и w можно получить из v, беря подходящую циклическую перестановку v* элемента v, оканчивающуюся на tep.
Доказательство очевидно.
Пусть w,v£Gmw,vne сопряжены с элементами некоторой группы Gab-Перейдем, если это необходимо, от слов w, v к сопряженным с ними или с их квадратами словам wq,vq, любая степень которых R и Л-несократима.
Будем считать, что ||и>о|| = ||г>о||. Если данное условие нарушается, то возведем каждое из них в соответствующую степень, чтобы условие выполнялось. Мы будем рассматривать некоторые циклические перестановки Wq , Vq СЛОВ Wо, Vß.
Диаграмма сопряженности слов w™ и Vq является однослойной и имеет вид как на рис. 2.
Рассмотрим кольцевую связную приведенную Л-диаграмму A4 (вида как на рис. 2) сопряженности слов w™ и Vq. И пусть <р(у) = (Wq)т, <p(S) = (Vq)п, причем путь у начинается в точке О, а путь 6 — в точке 0\. Разрежем диаграмму A4 по ребру 00\. Получим связную односвязную, однослойную, приведенную R-диаграмму A4*.
1 случай. Пусть диаграмма A4* состоит из областей первого типа. Тогда приклеим к ней тождественную диаграмму A4* , тождественную диаграмме A4*, с циклическим сдвигом на слово Wq.
Заметим, что <р(у) = (wq)771, <p(yi) = Wq, причем a(dDi П 7) = 0,ш{у\) = О'. Таким образом, y>(yi) = ф(00') = Wq.
Внутренняя точка О' не имеет степень 3 в диаграмме A4* , так как это противоречит теореме 1. Таким образом, О' = a(dDi П у) имеет степень 4 (рис. 5).
) м>* О, V / - \
О D, О 0,
е, D D, D,, А е,
°, V,*
Рис. 5. Я-подклеивание тождественной диаграммы
Пусть все области диаграммы являются областями первого типа. Метки областей Dj и £>' , = 1 ,п содержат одинаковые образующие. Действитель-
но, при \\(р(дОу П дО'-)|| > 1 это очевидно. Рассмотрим случай \\(р(дОу П дИ'-)|| = 1. Предположим, что метки областей £)" содержат различные образующие. Тогда рассмотрим поддиаграмму, содержащую области И г-1, £>*, &{, где й{0'п) = ¿(£>¿-1) = = (Ц&О = 4. Пусть ^р{дО'п П
дО'{) = ак,у{дО'( П дйг) = Ь1,<р(дП^! П = сг,<р{д0^х П дО'п) = сГ,
к, I, г Е Z\ {0}. Тогда данному фрагменту диаграммы соответствует петля в дереве-графе, что невозможно.
Таким образом, получаем, что <р(дО¿), </?(сШ'-) £ С0ь, = 1 ,п.
Пусть (p{dDi), (p{dD[) G Gab,mab ^ 2, ip{dDi D 7) = s, <p{dD1 П5) = r, cp(dDn П dÛ!) = bP, <p(dD'n П dD') = 6«, <p{dDx П dD2) = ал, ¥>(0£>i П 0D£) = a*.
Для области Di имеем sbprah = 1, для имеем гЬя8аг = 1. Учитывая, что ahsbpr = 1, то г = a~hs~1b~p. Получаем s~1bq~ps = a/l_i. Согласно лемме 3 имеем q — р = h — t = т.
а) Если b = а, то s~1bms = bm. Если для области Di выполняется условие ||</?(<9Di)|| = 2таь, то, применяя лемму 2, получим р = h, т. e.ip(dDi П ¿Ш2) = Ьр. Рассмотрим случай ||</?(<9Di)|| > 2т аь-
Пусть таь = 2к. Рассмотрим определяющее соотношение для данного таь: ab ... ab = Ьа ... Ьа, Отсюда ab ... abp а~1Ь~1... а~г = Ьр.
4---V------------' 4 V ^ V—’' 4 V ^
2к 2к so
Построим диаграмму сопряженности для Ьт и Ьт, состоящую из к вложенных 5 — г областей с граничными циклами т*, г = 1, & + 1. Каждую S — г область обозначим через D*;, ||</?(сШр|| = 2таь, а через е^- — ребро, соответствующее данной области, j = 1, А:. Имеем <р{т\) = bp, </?(т&+1) = 6Л, все D*; имеют четное таь, а (p(ej) = sq, где so — подслово определяющего соотношения. Получаем, что Vi<p(ri) = bp. Таким образом, р = h и <p(dDi П dD%) = bp. В общем случае имеем s = sobJ1 sobj2 ... b3k-1 so- Учитывая sobp = bpSQ в Gab, получаем s = _ Пусть s имеет наименьшую длину, тогда
co(ej) = a(ej+i),Vj = 1, к и s = s§.
Таким образом, мы разбили область Di на подкарты D1 = UD|, j = 1, к, где ||</?(сШ|)|| = 2ma(, и все D*- являются областями первого типа (рис. 6).
Ьр
D* D* D*
Рис. 6. Д-разбиение области
Пусть таь = 2к + 1. Рассмотрим определяющее соотношение для данного mai,\ab ... aba = ba ... bab, отсюда ba ... ba bp 6_1a_1... b~1a~1 = ap и
4 V y 4 V y 4 V * 4 V ^
2fe+l 2&+1
1
ab...abap a_16_1... a-16-1 = bp.
>---v---' >----------v--------'
z2 --1
2
Так как таь — нечетное, то чтобы Ьт перевести в Ьт потребуются два (или четное число) сопряжения словами zi, Z2- Вновь построим диаграмму сопряженности для Ьт и Ьт, состоящую из к вложенных S — i областей с граничными циклами т*,г = 1,к + 1. Каждую S — г область обозначим через Dj, \\ip(dD*j)\\ = 2таь- Имеем <р{т\) = bp, </5(т^+1 = ah), и все имеют
нечетное таь. В этом случае получаем, что если <p(jj) = bp, <p(rj+1) = ар, то <p(ej) = Z2 и <p(ej+1) = z\. Тогда р = h, <p(dDi П dD^) = ap.
б) Если b ф а, то s~1bms = ат. Если для области Di выполняется условие ||v?(ÖDi)|| = 2таь, то, применяя лемму 2, получим р = h, т. е. <p(dDi П dD%) = ар. Если же ||y)(ÖDi)|| > 2таь, то строим диаграмму сопряженности для Ьт и ат аналогичным образом, как и в предыдущем случае. Мы разбили область Di на подкарты Di = UD*-,j = 1, к, где ||</?(сШр|| = 2т0(, и все D*; являются областями первого типа, ip(dDj П dDj+i) = ар или ip(dDj П dDj+i) = bp. Получим s = Z2Z1Z2 ■ ■ ■ Z2 и ip(dD 1 П dD%) = ар.
Пусть ip(dDn П dD{) = bp. Учитывая, что область Di состоит из ряда областей D*j,j = 1 ,к, где ||y)(ÖD|)|| = 2т0ь, получим по лемме 2, что метки общих ребер областей есть степени Ьр или ар. Так как все области Di,i = 1,п являются областями первого типа, то, рассуждая аналогично, получим ip(dDi-i) П dDi) = bp. И, если ребро с меткой ip(dDn П dDi) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро (p{dDi-i П dDi), i = 1, п. Выделим поддиаграмму (J Dk и склеим ее по ребрам ei = dDn П dDi и ег = ODi-i П dDi, где ip(e 1) = ip(e2) = Ьр. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную Л-диаграмму сопряженности слов Wq,Vq, а, значит, степени этих слов также сопряжены.
2 случай. Пусть диаграмма М* содержит одну область второго или третьего типа. Данный случай невозможен, так как в ср(71 U 72) = {wq)2 будут Л-сокращения.
3 случай. Пусть диаграмма М* содержит области первого, второго и третьего типа. Диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме М* выделится полоса. Вновь приклеим к ней тождественную диаграмму М* , тождественную диаграмме М*, с циклическим сдвигом на слово Wq. Обозначим <р(у) = (wq)771, tp(yi) = wq, причем,a(dDi П 7) = О, ш(уг) = О’, <р(уг) =
<р{00>) = w*q.
Степень внутренней точки О' ^ 4, так как в противном случае она является особой внутренней точкой диаграммы. Пусть d(O') = 4.
3.1. Пусть Di, Di и соответственно D[ — области третьего типа. При этом \\dDi П 7|| = \\dDi П 71|, где d(D 1) = d(D'1) (рис. 7). Следовательно, (р(дО[), <p(dDi) G Gab■ Обозначим ip(dDn) П <p(dDi) = bp.
А А А
W* Л и> *
Рис. 7. Д-случай 3.1
Пусть (p(dD1),(p(dD,1) G Gab,mab ^ 2, ip{dDi П 7) = s, (p{dDi П 5) = r, <p(dDn П 9Di) = bp,cp(dD!n П 0DJ) = 6«, ^(dL>! П dD2) = ал, D
dD'2) = а*, Il г II < Il s II. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, что и в первом случае, получим s~1bms = ат, где q — р = h — t = т. Строим как и в первом случае диаграмму сопряженности для Ьт и ат .
а) Если для области Di выполняется условие ||</?(<9Di)|| = 2таь, то и \\ip(dD[)\\ = 2таь, <p(dDi П dD[) содержит либо Ьр (если таь = 2к,к ^ 1), либо ар (если таь = 2к + 1). Учитывая,что d(D\) = d(D'1) и лемму 2, получаем <p{dD'n П dD[) = bp и (p{dDi_! П dDi) = bp.
б) Пусть для области D\ выполняется условие ||</?(<9£>i)|| > 2ma(,.
Если таь = 2к, к > 1, то строя диаграмму сопряженности как и для первого случая, получаем разбиение области Di на подкарты Di = UD*-,j = 1, к, где ||(р(дD*j)|| = 2таъ. Но, учитывая ||r|| < ||s||, имеем, что среди областей первого типа Dj есть хотя бы одна область D*k третьего типа (рис. 8). В итоге s = s q. Для областей D*- имеем d(D*j) = 2||so|| + 2, j = 1, к — 1. Но d(D*k) = IlsoИ + 2. Данный случай невозможен, так как получим, что подслова sq = <p{dD* П 7), j = 1, к — 1 и sq = <p(dD*k П 7) различны.
г
Рис. 8. Я-разбиение области
При таь = 2к + 1 получаем аналогичный случай. Таким образом, получаем р = q,<p{dD'n П 9D[) = Ьр.
Если ip(dDn П dD\) = bp, то ip(dD'n П dD[) = bp и ту же степень образующего содержит ip(dDi-i П dDi), т. е. ip(dDi-i П dDi) = bp. Выделим поддиаграмму UDk и склеим ее по ребрам е\ = dDn П dD\ и = ODi-i П dDi, где (р(е 1) = (р(е2) = Ьр. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную R-диаграмму сопряженности слов Wq,Vq, поэтому степени этих слов также сопряжены.
3.2. Пусть Di и Di — области различных типов (например, области Di — третьего, Di — первого или второго типов). Данная ситуация также невозможна. Действительно, если к диаграмме М* приклеим тождественную диаграмму М* к границе 6, то получим, что как минимум метки двух областей содержат одинаковые образующие ip(dDi), ip(dD2) G Gab■ А это противоречит инвариантности диаграммы М* относительно преобразований (*).
Рассмотрим случай, когда связная приведенная кольцевая Я-диаграмма A4 имеет вид как на рис. 2. И пусть (р(у) = (Wq)т и </?(5) = (uq)"'. Выделим в диаграмме A4 поддиаграмму вида как на рис. 4. Заметим, что диаграмма A4 содержит небольшое количество таких поддиаграмм, а именно, их количество
ограничено числом |адд| • |г?д| + 1. Действительно, если осуществить разрез в точке А, то слово и>д будет разбито на две части год = 10011002- При этом может быть только |и>д| возможностей разбить слово на две части. Аналогичное верно и для слова Уд. Таким образом, если диаграмма имеет больше чем |и>д| • |г>о| + 1 подкарт вида как на рис. 4, то выделится повторяющаяся часть диаграммы.
Обозначим внешний путь А В через 71, внутренний путь А В через (рис. 9). Заметим, что слоговые длины путей 71 и ¿1 должны совпадать, иначе диаграмма М будет содержать полосу, что невозможно ввиду ее Л-приведенности.
Рис. 9. Я-структура поддиаграммы
Предположим, что диаграмма М содержит поддиаграмму М* вида как на рис. 9 такую, что |7і| — достаточно большое число. Пусть |7і| > 411шо11• Выделим на пути 71, начиная от вершины А, некоторую циклическую перестановку гид слова то такую, что слово и;(* начинается в вершине О, имеющей в диаграмме М* степень 3 (рис. 9). Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично как и для диаграмм вида как на рис. 2.
Так как число подкарт вида как на рис. 4 не превышает |и>д| • |ид| + 1, то длина пути в каждой подкарте |7і| < 4||'Шо||, длина каждого простого пути не ПреВЫШаеТ |и>д|. ТоГДа ГП ■ | Шд I < 4|и>д|(|и>д| • |ид| + 1) • |и>д| = 41 Шд |2 • (| Шд I ' КІ + 1)> откуда т, п < 41I(ІI ' N1 + !)•
Таким образом, в группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов.
Список литературы
1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 447 с.
2. Безверхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5, №1. С. 1-38.
3. Безверх ний В.Н., Карпова О.Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12. Вып.1. С. 67-82.
4. Безверх ний В.Н., Карпова О.Ю. О кручении в группах Артина с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып.2. С. 6-17.
5. Безверх ний В.Н., Карпова О.Ю. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2008. Т.9. Вып. 1(25). С. 30-50.
6. Безверхний В.Н., Парашкова О.Ю. Проблема степенной сопряженности слов в группах с условиями (7(4)&Т(4) // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2005. Т.6. Вып.2(14). С. 91-93.
Поступило 06.06.2009
Карпова Оксана Юрьевна ([email protected]), ассистент, кафедра высшей математики, Новомосковский филиал НИРХТУ им. Д.И. Менделеева.
Безверхний Владимир Николаевич, д.ф.-м.н., профессор, кафедра алгебры, геометрии и математического анализа, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Decision of the degree conjugacy problem in Artin groups with arboreal structure
O.Yu. Karpova, V.N. Bezverhny
Abstract. We have proved that an Artin group with arboreal structure has solvable degree conjugacy problem.
Keywords: Artin group with arboreal structure, diagram area.
Karpova Oksana ([email protected]), assistant, department of higher mathematics, Novomoskovskiy branch of Mendeleev Russian Khimiko and Technological University.
Besverhny Vladimir, doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of algebra, geometry and mathematical analysis, Tolstoy Tula State Pedagogical University.
