CC BY
20
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 6-17
= МАТЕМАТИКА =
УДК 519.4
В.И. Безверхний, О.Ю. Карпова
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
О КРУЧЕНИИ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ
СТРУКТУРОЙ
Аннотация. Доказывается, что группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.
Пусть С? - конечно порожденная группа Артина с копредставлением С? = (ах, <22,<2П; , где {ща])т%:) = — слово длины
ГПц, состоящее ИЗ ГПц чередующихся букв Щ И (1). / ф j, 11111 ^ число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, ^ 2 при I ф ].
Каждой конечно порожденной группе Артина С\ * соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если г/* и ^являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (а{а/}"1" = (а; а группы Сг* ■
В графе Г*можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г С Г*.
Будем говорить, что группа Артина имеет древесную структуру, если между вершинами конечного дерева — графа Г и образующими группы можно установить соответствие такое, что если г/* и а^ являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (а{а/}"1" = (а; а .То есть максимальное дерево-граф Г соответствует группе, имеющей древесную структуру.
Тогда группа С г отображается с помощью гомоморфизма ф на группу
С г ■, т. е. С г —С г *.
Пусть г/* и aj вершины некоторого ребра е дерева-графа Г. Группа, порожденная образующими г/* и г/,. имеет копредставление 6\; = (с/;, с//: (а{О= (а)аОбозначим через множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе Сч}. Тогда копредставление группы 6\; запишем через
Gij = (о{, иj; Rij) ■ Пусть группа G порождена более чем двумя образующими.
Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением G = {а\. (i‘2- •••• '■ R) ■ R = URij. Рассмотрим свободную группу
П
F = Д * (щ), пусть w £ F, обозначим через \w\ длину, а через ||уг|| — сло-
г=1
п
говую длину слова w в свободном произведении Д * (r/j).
i=1
Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F =
п
Л * (аг) и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена,
г=1
слово w является меткой связной односвязной диаграммы над R.
Введем следующие преобразования диаграммы (*):
1) Пусть области I)i. 1)2 пересекаются по ребру ip(dDi П сШг)? имеющей слоговую длину \\ip(dDi DdD2)\\ > 1 (и если \\(p(dDi C\dD2)\\ = 1 ш ip(dDi) £ Gab? y{0I)‘2) £ Gab), тогда, стирая это ребро, объединяем 1)\ и 1)2 в одну область I). Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F. то удалив эту область, склеиваем ее границу.
2) Если две области I)i. /J2• где <p(dDi) £ Gab? y{0I)‘2) £ Gab? имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область D и, если метка полученной области D равна единице в свободной группе F. то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.
Определение 1. Назовем внутреннюю точку v диаграммы специально особой точкой, если d(v) ) 3 и все ребра, исходящие из нее, имеют одинаковые метки.
Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется особой.
Определение 3. Область D назовем деповской, если i(D) < !2d(D). где i(D) — число внутренних ребер, (1(D) — число ребер в граничном цикле для D.
Определение 4. Область с граничным контуром егуе~15, склеенная по ребру е и с меткой из R назовем, S — i областью.
Рассмотрим произвольное слово ir £ G. G группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свобод-
П
ной группeF = П * Ы и равно единице в G. Тогда на основании теоремы
г=1
ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы М над R. Рассмотрим граничную область D карты М. Обозначим через 7 внешнюю границу диаграммы М. Если D является деновской областью,
то \\01) П || > \\01)\(01) П 0)11• Удаление деновской области Б диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути, называется деповским сокращением диаграммы М или Я-сокращением. Будем говорить, что М является Н /приведенной, если она не содержит деновских областей.
Определение 5. Слово чг є С. С группа Арти па с древесной структурой, называется И-приведенным, если чг свободно приведено в Р и не содержит подслово 5, являющееся подсловом некоторого соотношения Г. Г = .4-І. где ||51| > |||г||. Назовем чг циклически Н приведенным, если все его циклические перестановки являются Н приведенными словами.
Теорема 1 [3]. Пусть связная односвязная 11-диаграмма М с граничной меткой и), где чи не равно единице в свободной группе Р и равно единице в О, не содержит 5-і областей, тогда она и не содержит внутренней особой точки.
Теорема 2 [3]. Пусть связная односвязная 11-диаграмма М с граничной меткой чи Є О, не равной единице в свободной группе Р и равной единице в (?, не содержит 5-і областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда на внешнюю границу выходят как минимум три деповские области.
Теорема 3 [3]. Связная односвязная 11-диаграмма Мнад не содержит 5-і области.
Следствие 1 [3]. Пусть связная односвязная диаграмма М с граничной меткой и), где чи — циклически И-приведенное слово, не равное единице в свободной группе Р и равное единице в О, не содержит специально особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.
Из теорем 1,2 и следствия 1 следует, что диаграмма М является однослойной.
Теорема 4 [3]. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства слов.
Теорема 5 [3]. В конечно порожденной группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1 [1]. Если слово чи Є и) — нетривиальное свободно приведенное слово, равное единице в Єц, то ||и;|| ^ 2гпі^.
Лемма 2 [2]. Группа Артина Gijnpu = 2к + 1 изоморфна группе (х,у; х2к+1 = у2), а при т^ = 2к группе = хк).
Лемма 3 [2]. В Артиновой группе = (щ, г^) циклические под-
группы {щ), (а^ пересекаются по единичной подгруппе.
Лемма 4 [2]. В Артиновой группе = (щ, г^) для любого чи Є
алгоритмически разрешимо уравнение чпа? = а1-, х. у Є Z, х. у определяются единственным образом.
Лемма 5 [2]. В Аршиновой группе = {сц,а^;г^) для любого 'ш £ С?*./, если уравнение 'та™ = а” а? имеет решение, то оно единственно.
Лемма б [2]. Пусть = (а*,а^; (ага^т%3 = — группа Ар-
тина и слово гш £ С?*./ циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2т,^ и равно единице в Тогда при т,^ = 2/г + 1 ии имеет вид
а) a^гajai...aJma^1 ...aJ1 либо
б) ага7-аг...а”га“1а“1...а“т, либо им обратные;
а при тг] =2к, к > 1:
а’) а”га_7-аг...ага_7-а“та“1...а“1, либо
б^ ага^аг...ага”га“1а“1...а“т, либо им обратные, га £ {^\{0}}.
Определение 6. Поддиаграмма П = иГ=1 образует полосу в Я-приведенной диаграмме М с граничным циклом = 7 и 6, где 7 есть путь А'В', , АВ = $П П 7, А1.В1 = $П П 6 (рис,.1), если
1. Уг, г = 1, п — 1 сШ* Р) сШг+1 = е, где е — ребро;
2. Уг, г = 1, п сШ* п 7 = 7г, где 7г — СВЯЗНЫЙ путь, причем |7г| ^ 1;
3. \diDi Пт1 = тЛ^Ог Пт)1 и \ооп Пт| = тп\(доп Пт)1;
4. м, ;• = 2,п -1 |гш3 ГЫ +2 = П7)|.
А 1 1 А,
Л ^ 5 в, Т,
Рис. 1. ^-сокращение
В слове ш есть ^-сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово ш, содержится полоса. При этом подсло-во (р(АВ) слова ш, соответствующее пути 7, заменяется словом ^(ААгВгВ) в приведенной диаграмме М.
Определение 7. Слово и называется циклически Я-несократимым, если любая его циклическая перестановка и* не содержит ^-сокращения.
Пусть ш — циклически Я. Я несократимое слово и является самым коротким из всех ему сопряженных слов.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 6. Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.
Пусть wn = 1. Тогда по теореме ван Кампена слово w является меткой связной односвязной диаграммы М над R.
Пусть w £ Gab■ Группа Артина Gab ПРИ mab = + 1 изоморфна группе
(.x,y;x2k+1 = у2), а при = 2к - группе (t^x'^txt-1 = хк). Данный класс групп свободен от кручения [1]. Следовательно, группа Gij свободна от кручения.
Пусть w £ G тп ^ Gab, тогда w содержит минимум 3 образующих. Так как по условию w — циклически .R-несократимое слово в группе Артина G, следовательно, на границе слов wcw в слове wn деновских и Л-сокращений
Пусть в слове wn имеют место .R-сокращения. Рассмотрим окружность, по границе которой запишем слово wn (обозначим эту границу дМ). Разобьем окружность на пути = 1, п, причем ^(7г) = w. Можно всегда считать, что п = 2к. Пусть П = D\ U U ... U Dn — полоса. Обозначим через ОН П $7 = 7', си (7') — начальную точку пути 7', и (7') — конечную точку пути 7'.
Будем полагать, сделав, если это необходимо, циклический сдвиг на w так, что а;(7') = а;(71). Считаем, что ^(71) = w - циклически несократимое слово.
Подклеиваем С внутренней стороны К 7l, 73, •••, 72&-1 И с внешней стороны окружности к 72,74, ...,72к полосы, причем конечная точка пути 7' в каждом случае совпадает с начальной точкой пути 721+15 ^ — 05 •••} к — 1.
Для простоты рассмотрим всевозможные случаи для полос, у которых d(Di) = {4, 6} и d(Dn) = {4, 6} (рис.2). Если же d(D{) > 6 и (или) d(Dn) > 6, доказательство проводится аналогично и при этом значительно упрощается.
Рис. 2. Виды полос при d(Di) = {4, 6}, d(Dn) = {4,6}
Обозначим через а внутренний, а через 7 — внешний граничные циклы К. Покажем, что в ip (а) нет деновских сокращений.
Деновские сокращения могут возникнуть только на стыке двух полос r)2k—i и 12k-, к = 1,п, приклеенных с внешней и внутренней стороны окружности.
Пусть Dq — деновская область, которую мы будем подклеивать к границам стыкующихся ПОЛОС г)2к — 1 и l2ki к = \ . 11.
1 случай (Полоса 1).
Пусть \\dDi П 'у|| = 2, \\dDi П 711| = 1, \\dD\ П 721| = 1, \\dDi П dD'n\\ = 1 и пусть (p(dDi П71) = am, ip(dDi П72) = Ъ\ ip(dDi ndD'n) = am m,l £ Z\{0}.
Будем всегда считать, что т > 0 (случай т < 0 рассматривается аналогично).
1) Пусть <p(dD'n П71) = c~sam, т.е. <p(dDi) £ Gab,<f(dDn) £ Gac-
а) Если деновская область Dq имеет общие ребра с l)\, D'n и захватывает хотя бы одно ребро D2 (где D2 — произвольный 2к угольник), то получаем, что в дереве-графе Г группы G выделяется петля, что невозможно (рис.За).
Аналогичным является случай, если Dq имеет общие ребра с l)\. D'n и захватывает ребра нескольких областей l)2. D%,..., Dz.
б) Если область Dq имеет общие ребра с D'n_1 {D'n_1 — произвольный 2к угольник). 1)'п. 1)\. тогда в записи слова ip(dDo) будет содержаться три образующих, либо в дереве-графе Г выделится петля, чего не может быть (рис.36).
Аналогичным является случай, если Dq захватывает ребра 1Уп. 1)\ и ряда областей D'n_1,D'n_2,...,D'n_z.
в) Если область Dq имеет общую вершину с 1)'п. захватывает области D1, D2• В3(гдеВ2, !):>, — произвольные 2к угольники). То вновь ip(dDo) будет содержать три образующие, либо в дереве-графе Г выделится петля (рис.Зв). Проводим аналогичные рассуждения для случая, Dq захватывает D\i D2, -D3,..., Dz.
г) Если мы подклеим полосу П* любого из четырех видов, то вновь выделится петля в дереве-графе группы G (рис.Зг).
2) Пусть ip(dDi),ip(dD'n) £ Gab, m, s £ Z\{0}.
а) Пусть ip(dDi П72) = bl, <p{dD'n П71) = b~sam, ip(dDi Г\дВ'п) = am, т.е. s и I имеют противоположные знаки (рис.4). Тогда на границе слов (/7(71) и (/7(72) получаем подслово «b~samb1». Пусть |s| > |/|. Таким образом, на границе слов (/7(71) и (/7(72) происходит R - сокращение, так как подслово «Ь~1атЬ1» можно заменить на «ат», а это невозможно ввиду циклической R - несократимости слова w.
б) Если (f(dD'n П 7i) = bsam, (p(dDi П 72) = Ъ1, (p(dDi П dD'n) = ат, т.е. s и I имеют одинаковые знаки, m,s £ Z\{0} (рис.5). В этом случае мы,
Рис. За. Подклеивание деновской Рис. 36. Подклеивание деновской области области
Рис. Зв. Подклеивание деновской Рис. Зг. Подклеивание полосы 1 области
приклеивая ребро с меткой Ь1 к ребру с меткой Ь 8 на границе слов у?(7і) и (/7(72), получаем деновскую область В\ внутри слова ш, что невозможно.
Рис. 4. Случай 1.1.2.а Рис. 5. Случай 1.1.2.6
3) Пусть П 71) = ат\ <^(дВ'п П 71) = Ь1ат, ^{дВ'п П дБг) = ат\
где т.\ + т-2 = т.,т.,1,т.1,т.2 £ ^\{0} (рис. 6). Пусть <р(дВ\ П 72) = с. Если с = V, то получаем случаи 2.а. и 2.6. Если же с = аг, то ш будет циклически сократимым. А в случае с ф Ь, с ф а мы получаем случай 1.1.1., и мы проводим аналогичные рассуждения с подклеиванием области В0.
1.2. Пусть \\dDi Г) 71Ц = 2, (^(ШЛ П 71) = ат6г, ^(ШЛ П 0В'п) = атЪ1 и
||$-01 ПдВ'п || = 2, га.,/ £ ^\{0} (рис,- 7). Так как области!?!, 1)^ являются взаимообратными и ^(сШх П 0В2) = ^(ег) = ^(е2)? то ш = <^(72) сопряжено слову с более короткой длиной, что противоречит предположениям.
1.3. Пусть Ц5ПП71Ц = 3, причем \\dBi П71Ц = 2, \\dD2 П71Ц = 1 и (1(В2) = 4 (для (1(В2) = 6 аналогично) (рис.8).
Имеем (р(дВх П 71) = атЪ1 и пусть (р(дВ2 Г) 71) = ср и (р(дВ'п П 71) = Ь1ср, га., 1,р £ ^\{0}. Таким образом, вершина А является внутренней точкой диаграммы М', что невозможно.
Рис. 6. Случай 1.1.3 Рис. 7. Случай 1.2
1.4. Пусть сШх П дВ'п = 0, \\dDi Г) 711| = 2, \\dD2 П 711| = 1,..., дВк П 71 = 0, тогда возможны следующие случаи:
а) (1(Вк) = 6, \\dDk П 711| = 2, ЦсШ* П сШу = 2 и ^{дВкПдВ'п) = атЪ1 (рис.9). Рассмотрим слово (р(АСВВ) = (р(АВ), но (р(АСВВ) = ц>(АС) ■ <р{СВ)-<р(ВВ) = а8-<р(СВ)-а-т ~ ^(СТ>)-а*-т, получаем У {С Б) ■ а8-™ || < ||у?(АВ)||, что невозможно по предположению.
Рис. 8. Случай 1.3 Рис. 9. Случай 1.4.а
б) d(Dk) = 8,\\двкп^\\ = 3, \\дВкПдВ'п\\ = 2 H<p(dDkndD'n) = атЪ1
(рис.10). Тогда получаем, что, либо В'п_1,В'п £ Gab, либо область Вк на трех образующих, что невозможно.
в) d(Dk) = 8, \\8Вк П 711| = 2, WdDkHdD'J = 2 и <p(dDkndD'n) = ambl (рис.11). Тогда рассмотрим слово ^(72) = w = arw\ambl, и учитывая ambl = blam, то w ~ ar+mwibl, т. e. сопряжено слову с более короткой слоговой длиной, что противоречит нашим предположениям.
Рис. 10. Случай 1.4.6
Рис. 11. Случай 1.4.в
Если ip (ODk П dD'n) = ambll, ip (ODk П 72) = b/2, этот случай невозможен, так как w- циклически несократимо.
г) d(Dk) = 10,||dDfc П71Ц = 3, \\dDk ndD'J = 2 и ip (dDk П dD'n) = ambl (рис.12). Данный случай невозможен, так как, либо D'n_1,D,n £ Gab, либо область Dk на трех образующих, что невозможно.
2 случай. (Полоса 2).
2.1. Пусть \\0Di П 711| = 1 и \\dDi П72Ц = 1, \\дВ'п П71Ц = 3.
1) Пусть <р(дВ'п П 71) = аЬат, П 71) = ат и 1р(дО\ Г) 72) = с*,
га,£ е ^\{0}.
а) Если имеет общую вершину с D^, общие ребра с областями 1^1,1)2? -Оз (-^2, -Оз — произвольные 2к - угольники, рис.13а), тогда либо выделится петля в дереве-графе, либо Dl и Б2 (или Б2 и Dз) принадлежат одной подгруппе что невозможно. Аналогичные рассуждения имеют место, когда Г>0 имеет общую вершину с D^, захватывает области Dl,D2,...
б) Если имеет общие ребра с областями В'п, Dl, D2 (Б2- произвольный 2к - угольник). Вновь выделится петля в дереве-графе группы (7 (рис. 136). Аналогично рассуждаем, если Do захватывает ряд областей D,n,Dl,D2,...
> a & d” k , y2 t с * II
. X D, П I \ DH
рис. 13а. Подклеивание деновской рис. 136. Подклеивание деновской области области
в) Если Dq имеет два общих ребра с областью D'n и одно с Di. Тогда в записи слова ip(dDo) будут содержаться три образующих (рис. 14).
Если мы подклеим полосу П* любого из четырех видов, то вновь выделится петля в дереве-графе группы G.
2) Пусть <p(dDi), <p(dD'n) е Gab, 4>{dD'n П 71) = abam, sliJD, П 71) = am и <p{dDi П72) = 6‘, m,te Z\{0}, |Mt>£>i)|| = 4, MdD'n)\\ = 6.
Так как диаграмма приведена, и области с граничными метками из одной и той же подгруппы Gab, поэтому от слова w можно перейти с помощью сопряжения к более короткому слову (как в случаях 1.4.а, 1.4.в).
3) Пусть <p(dD'n Г) 7i) = аЪат, ip(dDi Г) 71) = а™1 и ip(dD\ П 0D'n) = ami, где тої + т2 = w,w, wi, W2 Є Z\{0}. Пусть ip(dDi П 72) = с. Если с = 6Г, то получаем предыдущий случай. Если же с = аг, то w будет циклически сократимым. А в случае с ф Ъ,с ф а мы получаем случай 2.1.1., и мы проводим аналогичные рассуждения с подклеиванием области Dq.
Рис. 14. Подклеивание деновской Рис. 15. Случай 2.1.2 области
2.2. Пусть \\0Di Г) 7i || = 2, (f(dD'n П 71) = аЪат и <p(dDi П 71) = Ъат,7п £ Z\{0} (рис.16). Этот случай невозможен, так как tp(dDi),tp(dD'n) £ Gab? и поэтому, так как ip(ACDB) = ip(AB) и ip(ACDB) = ip(AC)-ip(CD)-ip(DB) = bs-ip (CD)-b* ~ ip (CD)-bs+t, получаем || ip(CD) ■ 6s+t|| < ||iu||, что невозможно по предположению.
2.3. UycTb\\dD'n П 711| = 3,\\dDi П 711| = 2, \\dD2 П ~fi\\ = 2,||с?Х?2 П 721| = 0 (рис.17). Получаем противоречие: либо ip(dDi), ip(dD2) £ Gab? либо D'n содержит минимум 3 образующих.
П’ D’. а J> Iа"і ч Л У2 , \\Д, ч П’ D’. У а . Ьг 4 У 2 1 ч
П і % D, У^ А Я, П Пм D,
Рис. 16. Случай 2.2 Рис. 17. Случай 2.3
2.4. Случаи, когда 8D\ П dD'n = 0 невозможны, и их рассмотрения сводятся к аналогичным случаям, когда полоса имеет вид (1).
3 случай. (Полоса 3).
3.1. Пусть \\dDi П 711| = 1 и \\dDi Г) 721| = 2, \\dDi nOD'n\\ = 1.
1) И пусть ip(dDiH^fi) = am, ip(dDiH^f2) = 6a, причем (p(dDir\dD'n) = am и v(dD'n П 71) = acan\ m £ Z\{0}.
Заметим, если с = b, то слово <^(72) = baw\abam, но так как abam = ЬаЬт, то w ~ bm+1awiba, т. е. мы можем уменьшить слоговую длину w.
а) Если £>0 захватывает вершину В'п1 область , ребро области Б2 (где И2 — произвольный 2к-угольник), тогда, либо выделится петля в дереве -графе, либо и Б2 принадлежат одной подгруппе Єаь, что невозможно (рис.18а). Аналогичный случай, если Бо захватывает вершину!)^, области Бі, Б2і. ..
б) Если £>0 захватывает ребро/)^, область Бі (или ряд областей Бі,Б2,. .., Дг), то вновь выделится петля в дереве-графе (рис.186).
в) Проводим аналогичные рассуждения, если Бо захватывает ребра областей (или ряд областей Б і, Б'п, Б'п_1,..., Б'п_г рис,.18в).
Рис. 18а. Подклеивание деновской Рис. 186. Подклеивание деновской области области
і г
D’,
D,
П
-н-
D.
Рис. 18в. Подклеивание деновской области
Если мы подклеим полосу П* любого из четырех видов, то вновь выделится петля в дереве-графе группы G.
2) Пусть ip(dDi),ip(dD'n) £ Gab■ Получаем случай, рассмотренный в 3.1.1.
3) Пусть ip(dDi П 7i) = ami,ip(dD'n П 71) = а6ат, tp{dD'n П dD{) = ami, if{dD\ П 72) = са, где т.\ + т2 = га,га, га 1,7712 £ Z\{0}. Пусть денов-ская область Dо указана на рис. 19. Тогда ip(dDo), ip(dDi) £ Gac, и т. к.
|(у£?(сШо)|| = 4, то ас = са. Поэтому слово у? (72) = w = caw\abam можно
преобразовать к слову w = acwiabam, которое является циклически сократимым. Остальные случаи деновских сокращений невозможны.
3.2. Пусть ||<9Z)i П 7i|| = 2 и ЦСШ1П72Ц = 1, тогда ip(dDi),ip(dDn), tp(dD'n) £ Gab (рис.20). Случай аналогичен 3.1.1.
3.3. Пусть || c?X?i П 7i || = 3, \dD2n~fi\ = 0. Тогда ip(dD'n),ip(dDi) £ Gab (рис.21). В данном случае от слова w можно циклическим сокращением перейти к слову с более короткой длиной.
Рис. 19. Случай 3.1.3 Рис. 20. Случай 3.2
П’ D’. > 4 У2 1
I \ D, П 1 1 D.
Рис. 21. Случай 3.3
3.4. Пусть \\0Di П 7i || = 3, \\dD2 Г) 711| = 1 и d(D2) = 4. Получим противоречие: область D'n содержит минимум 3 образующих (для случая d(D2) = 6 аналогично).
4 случай. (Полоса 4)-
Данный случай симметричен случаю, когда полоса имеет вид 2.
Таким образом, в слове wn нет более сокращений, следовательно, диаграмма М есть область на трех образующих, что невозможно. Следовательно, w £ Gab■ Таким образом, группа Артина с древесной структурой свободна от кручения. Теорема доказана.
Библиографический список
1. Appel К. Artin groups and infinite Coxeter groups / K. Appel, P. Schupp // Invenf.Math. -1983 -V.72. -P.201-220.
2. Безверхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа / В.Н. Безверхний // Фундаментальная и прикладная математика. -1999. -Т.5. Вып. 4.
3. Безверхний В.Н. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой / Безверхний В.Н., Карпова О.Ю. // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2006. -Т.12. -Вып. 1. Математика. -С.67-82.
Поступило 20.04.2008
