CC BY
22
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 2 (2010)
УДК 519.4
Проблема пересечения циклических подгрупп в группах Артина с древесной структурой.
О. Ю. Платонова (г. Новомосковск)
Аннотация
Доказывается, что в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема пересечения циклических подгрупп.
Ключевые слова: группа Артина с древесной структурой, диаграмма, область.
Пусть С - конечно порожденная группа Артина с копредставлением С = («1, а2,ап; (а*а,)т%3 = (а,а*)т,г), где (а*а,)тгз = а*а,а*... - слово длины т,, состоящее из т, чередующихся букв а* и а,, г = ^ т, - число, соответствующее симметрической матрице Кокетера, т, > 2 при г =
С
граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если а* и а.,- являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида, (а*а, )mгJ = (а,а*)^1 группы С.
В графе Г* можно выделить максимальное дерево-граф ГГ С Г*.
Будем говорить, что группа Артина Сг имеет древесную структуру, если
Г
установить соответствие такое, что если а* и а, являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида, (а*а,)т%] = (а,а^^.То есть макси-
Г
Тогда группа Сг отображается с помощью гомоморфизма ф на группу Сг*, т. е. ф : Сг —> С.
Пусть а* и а, вершины некоторого ребра е дерева - графа Г. Группа, порожденная образующими а* и а,, имеет копредставление С*, = (а*, а,; (а*а,)т%] = (а,а*')т,г), Обозначим через Д, множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе С,. Тогда копредставление группы С, запишем через С*, = (а*, а,; Д,), Пусть группа С порождена более чем двумя образующими.
Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением С = (а1; а2,ап; Я) , Я = иД, . Рассмотрим свободную группу Г = Пп=1 * (а*), пусть т Е Г, обозначим через | т | длину, а через ||т||- слоговую длину слова т в группе Г.
Пусть произвольное слово т те равно единице в свободной группе Г и равно единице в С. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово т является граничной меткой связной односвязной диаграммы над Я,
Введем следующие преобразования диаграммы (*):
1) Пусть области В1; В2 пересекаются по ребру <^(дВ1 П дВ2), имеющей слоговую длину || <^(дВ1 П дВ2) ||> 1 и если || <^(дВ1 П дВ2) || = 1 и ^(дВ^ Е СаЬ, ^(дВ2) Е СаЬ, тогда, стирая это ребро, объединяем В1 и В2 в одну область
В, Если метка полученной области В равна единице в свободной группе Г, то удалив эту область, склеиваем ее границу,
2) Если две области ВЬВ2, где ^(дД1) Е СаЬ, ^(дВ2) Е СаЬ, имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область В и, если метка полученной области В равна единице в свободной группе Г, то удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения.
Определение 1. Назовем внутреннюю точку V диаграммы специально особой точкой, если ¿(V) > 3 и все ребра, исходящие из нее, и,м,еют одинаковые метки.
Определение 2. Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специально особой и имеющая степень не менее 3, называется, "особой
Определение 3. Область В назовем, деповской, если г(В) < |б?(В), где 1(0)- число внутренних ребер, ¿(В) - число ребер в граничном цикле для В.
Определение 4. Область с граничным контуром е7е-1£, склеенная, по ребру е и с меткой из Я назовем Б — г областью.
Рассмотрим произвольное слово т Е С, С - группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово т не равно единице в свободной группе Г и равно единице в С, Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово т является меткой связной односвязной диаграммы М над Я, Рассмотрим граничную область В карты М. Обозначим через 7 внешнюю границу диаграммы М. Если В является деновской областью, то || дВ П 7 ||>|| дВ\(дВ П 7) ||, Удаление деновекой области В диаграммы М, то есть удаление ее граничного пути,
МЯ
МЯ
областей.
Определение 5. Слово т Е С, С - группа Артина с древесной структурой, называется, Я - приведенным, если, т свободно приведено в В и не содержит подслово в, являющееся, подсловом, некоторого соотношения, г, г = 5где ||в|| > |||г||. Назовем, ги циклически Я - приведенным, если все его циклические
Я
ЯМ
меткой т, где т не равно единице в свободной группе Г и равно единице в С, не содержит Б — г областей, тогда, она, и не содержит внутренней особой точки.
ЯМ
меткой т Е С, не равной единице в свободной группе Г и равной единице в С, не содержит Б — г областей, но содержит конечное число специально особых точек, тогда, на, внешнюю границу выходят как минимум 'три деновские области;
Теорема 3. [4] Связная, односвязная Я - диаграмма М не содержит Б — г области;
М
меткой т, где слово т - циклически приведенное слово, не равное единице в свободной группе Б, и равное единице в С, не содержит специально особых точек, то она не содержит и особых внутренних точек.
М
ной.
Теорема 4. [4] В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема равенства, слов.
Теорема 5. [4] В конечно порожденной группе Артина с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1. [3] Группа Артина С, при т, = 2к + 1 изоморфна группе (х,у; ж2к+1 = у2), а при т, = 2к — группе (¿,я; ¿я£-1 = ).
Лемма 2. [3] Пусть С, = (а*, а,; (а*а,)тгз = (а,а*)^1) - группа Артина и слово т Е С, циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2т, и равно единице в С,. Тогда, при т, = 2к + 1 имеет вид
а) аmаjа^.а*a-ma-1...a-1, либо
б) а*а,а*...ama-1a-1...a-m, либо им обратные; а при т, = 2к, к > 1
а') amaj...а*а,a-ma-1...a-1, либо
б”’) а*а,...aiama-1...a-^, либо гш обратные, т Е \{0}}.
Определение 6. Поддиаграмма П = уП=1 В* образует "полосу" в Я-приве-денной диаграмме М с граничным циклом дМ = 7и£, где 7 есть путь А'В', £ — А/А1В1В', АВ = дП П 7 , А1В1 = дП П £ (Рис.1), если
1. Уг, г =1,..., п — 1 : дВ* П дВ*+1 = е* где е* - ребро;
2. Уг, г =1,..., п : дВ* П 7 = 7* где 7* - связный путь, причем, | 7* |> 1;
3. | дВ1 П 7 | = | дВД(дВ1 П 7) | и | дВ„ П 7 | = | дВ„\(дВ„ П 7) |;
^ = 2,...,п — 1 :| дВ, П 7 | +2 =| дВ,\(дВ, П 7)|.
В слово и» ость Д-сокращепие, если в приводошюй диаграмме М, граничной меткой которой является слово т, содержится полоса, При этом под слово <^(АВ) слова т, соответствующее пути 7 заменяется словом ^(АА1В1В)в приведенной М
A’
A У
А
■Н"
D.
В B’
А\ Аг 8 вj
Рис.1 R - сокращение
В\
Определение 7. Слово и называется, циклически R - несократимым, если любая его циклическая перестановка и* не содержит R - сокращения.
Лемма 3. /3/ Пусть М - связная односвязная, R, R приведенная, кольцевая, диаграмма над группой Gj 7, 8 -граничные циклы Ми ^(7) = жр. Тогда, <^(8) = ур, где ж, y Є {af1,«11}
Теорема 6. ¡4/ Группа Артина с древесной структурой свободна от кручения.
Теорема 7. ¡4/ Существует алгоритм,, строящий по любому несократимому слову w сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с древесной структурой слово w0 , любая, степень которого R, R - несократима.
Теорема 8. /5/ В группе Артина с древесной структурой разрешим,а проблема вхождения, в циклическую подгруппу.
Определение 8. Область D назовем областью первого тuna, если ||dDП 71| = ||dD П 8|| , где d(D) = ||dD П 71| + ||dD П 8|| + 2 .
Определение 9. Область D назовем областью второго тuna, если ||dDП 71| + 2 = ||dD П 8|| , где d(D) = ||dD П 7|| + ||dD П 8|| + 2 .
Определение 10. Область В назовем, областью третьего типа, если ||дВ П 7|| = ||дВ П £|| + 2 , где ¿(В) = ||дВ П 71| + ||дВ П £|| + 2 .
а) б)
Рис.2 Я Кольцевые диаграммы
Рассмотрим связную кольцевую приведенную Я - диаграмму М сопряженности слов V и т. Пусть ^(7) = т, <^(6) = V, оде 7- внешняя граница диаграммы М , а 6 - внутренняя.
Предположим, что диаграмма состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа. Тогда ||у|| = ||т|| + 2 , или наоборот II= ||у|| + 2. В этом случае переход с помощью сопряжения от слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым сокращением.
Определение 11. Циклически Я и Я - несократимое слово и> в группе Артина С назовем, тупиковым, если, к нему нельзя применить кольцевое сокращение.
Лемма 4. [7] Пусть т, V - тупиковые слова, из С и, пустьт, V сопряжены в
С. Тогда ||т|| = ||у|| и никакое слово и € С такое, что ||и|| < ||у|| не сопряжено с т.
Теорема 9. /7/ В группе Артина с древесной структурой разрешилиг проблема степенной сопряженности, т. е. существует алгоритм,, позволяющий для, любых двух слов т, V € С установить существуют ли натуральные числа т и п, и элемент г такие, что г-1ттг = уп.
Теорема 10. В группах Артина с древесной структурой разрешилиг проблема пересечения, двух циклических подгрупп, то есть по любым, двум словам € С можно выяснить, существуют ли целые числа тип та,кие, что слова, тп и ут равны, в группе С .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим пересечение двух циклических подгрупп (т) и (у) ,
Пусть в группе Артина с древесной структурой существует нетривиальное и = тп = ут для некоторых минимальных по абсолютной величине чисел т и п . Используя теорему 7, перейдем ОТ СЛОВ V и т к сопряженным с ними или с их квадратами словам г>о и то , любая степень которых Я и Я - несократима. Теперь уровняем длины слов уо и то . Для этого возведем уо в степень к1 , а слово т0 в степе нь к2, Обознач им у' = у^1 , т' = и^2, , Получ им (т')к = г-1(у')к г.
Так как (т')к, (у')к циклически несократимы, то между словами г-1 и (у')к, а также между (у')к и г сокращений нет. Возможны два случая |г| = 0 и |г| = 0.
Если |z| = 0,
Пусть w'jV G Gab, оде Gab = (a,b; Rab)- группа Артина с двумя образующими, В группе Gab разрешима проблема пересечения циклических подгрупп
Пусть W, v/ G G , и ■W, v/ не сопряжены с элементами некоторой группы Gab, Рассмотрим связную приведенную кольцевую диаграмму M сопряженности слов вида рис, 2а, По следствию теорем 1,2 диаграмма M однослойная.
Диаграмма M может состоять только из областей первого типа, либо содержать области второго и третьего типов, разделенные в общем случае областями первого типа. Причем между двумя областями второго типа должна содержаться область третьего типа, так как в противном случае выделится полоса в диаграмме, Отметим также, что диаграмма не может содержать одну область второго или третьего типов, так как в этом случае получим R - сократимость слова w/2 или v/2 , Разрежем диаграмму M по ребру, которому соответствует путь OO1 , Получим связную приведенную R- диаграмму М/,
I, Пусть связная приведенная R - диаграмма М/ состоит только из областей первого типа. Приклеим к М/ диаграмму , тождественную диаграмме М/ с циклическим сдвигом вправо на слово w/.
А 0 1 - > w V
D\ O Di. 1 9 О
D 6 n Di 62 Dr Dr+i
Oi v
Рис.З Подклеивапие тождественной диаграммы
Внутренняя точка О' не имеет степень 3 в диаграмме Ы" , так как это противоречит теореме 1,
Таким образом, О' = а(5Вг+1 П 7) имеет степень 4 (Рис.З), При этом граничные метки смежных областей ^ и В1 принадлежат одной и той же подгруппе вида Су. Действительно, при ||^(5Д1 П $в1)|| > 1 это очевидно. Рассмотрим случай |^(5В1 П5^1 )|| = 1. Предположим, что метки областей В1,В1 содержат различные образующие. Тогда рассмотрим поддиаграмму, содержащую области в1,в„,в1,в1 , где ^(^1) = ^(Вга) = ^(В1) = ^(^1) = 4 . Пусть ^(5Л' П д^1) = ак,^(5^1 П 5В1) = Ьт ,^(5Вга П 5В1) = с* ,^(5Вга П 5Вг') = ,
к,т, ¿,г € ^\{0}. Тогда данному фрагменту диаграммы соответствует петля в дереве-графе, что невозможно.
1. Если для всех областей Dj,j = 1 ,п выполняется условие \\<p(dDj) || =
2mab , и, учитывая, что ^(öDr+i) G Gab, то метка пути ^(OO^ = ^(ei)
совпадает с меткой <^(e2) (лемма 2). Выделяем диаграмму сопряженности слов w' и V, которую вырезаем, и замыкаем в кольцо оставшуюся часть. Этот процесс продолжится до тех пор, пока не получим к < 3.
2. Рассмотрим случай \\ip(dDj) || > 2mab,j = 1, /г .
Пусть ^(öDi),^(öD1) G Gab,> 2 ,^(öDi П7) = s ,<p(dDiП5) = r ,^(ÖD„П ÖD1) = b3 ,^(ÖDZ' П dDi) = bq,^(öDi П ÖD2) = ah,^(öDi П dD2) = a* .
Для области Di имеем sb^ra^ = 1, для Di имеем sbqra* = 1. Учитывая
ahsfrPr = 1, то r = b-ps-ia-h, Получаем sbq-ps-i = ah-t, r-ibq-pr = ah-t.
Если q = p, h = t, то, учитывая равенство sbq-ps-i = ah-t, получим ah-t = 1-противоречие теореме 6. Аналогично невозможен случай, когда h = t, q = p.
Если q = p, h = t, то можно выделить поддиаграмму сопряженности слов W и V, которую вырезаем, а оставшуюся часть замыкаем в кольцо; через конечное
к<3
Рассмотрим кольцевую диаграмму сопряженности, соответствующую равенству sbq-ps-i = ah-t, где h — t = m.
а) Если Ь = а , тогда 8&тз-1 = Ьт .
Пусть таЬ = 2к . Рассмотрим определяющее соотношение для данного таЬ : аЬ.^аЬ = Ьа.^Ьа , отсюда аЪ.^.аУ сГ1Ь~\..а~\ = №.
2к 2к зо 1
Построим диаграмму сопряженности для Ьт и Ьт , состоящую из f вложенных областей с граничными циклами п,г = 1,/ + 1 (рис.4). Каждую область обозначим через В* , ||^(5В*)|| = 2таЬ , а через в, - ребро, соответствующее данной области, ) = 1,/ . Имеем <^(71) = , </?(т/+1) = Ън , все И*
имеют четное таЬ , а ^(е,) = во , гд е в0 - под слово определяющего соотношения, Получаем V* ^(т*) = 63 , Таким образом, р = к и ^(д^ П дВ2) = 63 , В общем случае имеем ^(д^ П 7) = в = 506^1 з0Ь2...6^-1 в0 , учитывая ^06р = 6рв0 в СаЬ, получаем в = в0&-7'1+-7'2+'"+-7/-1, Пусть в имеет наименьшую длину, тогда ш(е^ = а(вз+г), Vу = 1, / и 5 = 4-
Таким образом, мы представили область В1; являющуюся кар той в СаЬ, как объединение областей !)\ = и_0*,^' = 1,/, где ||(/?(5В*)|| = 2таь и все И* являются областями первого типа (Рис, 5),
о,
К
о
ьр
о,* о2* ... о*
Рис, 5 Представление области ^
Рассмотрим поддиаграмму В1Д2...Д^, Пусть область ^ состоит из ряда областей О*, ] = 1, А:, где ||(/?(5В*)|| = 2таь , получим, согласно лемме 2, что метки общих ребер областей совпадают ^(дВ*_1 П дВ*) = ^(дВ* П дВ*+1) = 6^. Все области Иг, г = 1, п являются областями первого типа, и, если ребро с меткой ^(дВгаПдВ1) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ^(сШ^ПсШ*), г = 1 ,п. Таким образом, ^(дВпОдИг) = <£(дВ/ П дВ1) = ^(дД. П дВг+1),
Таким образом, = г _1^/г/, выделяем поддиаграмму сопряженности слов и V, которую вырезаем, а оставшуюся часть замыкаем в кольцо, через конечное число шагов вновь получаем к < 3,
Пусть таЬ = 2к +1 , Рассмотрим определяющее соотношение для данного таь: дЬ...аЪау = ]?а..ЪаЬ>, отсюда ра.^Ьа^Ь11 \ = ар
2Й+1 2&+1 ¿1 ¿-1
и д,Ь.^аЬуар д,~1Ь~1 .^.а~1Ь~\ = №.
22 ъ1
Так как таЬ - нечетное, то чтобы 6т перевести в 6т , потребуется два (или четное число) сопряжений словами г1; г2. Вновь построим диаграмму сопряженности для 6т и 6т , состоящую из f вложенных областей с граничными циклами т»,г = 1, / + 1. Каждую область обозначим через И* , \\р(дО*) || = '2таЬ. Имеем ^(т1) = 6р,^(т/+1) = , и в се В* имеют нечетное таЬ, В этом случае
получаем, если ^(т,) = 6Р то ^(т,+1) = аР, ^(е,) = г2 и ^(е,+1) = г1. Тогда р = к,в = г2г1...гь ^(дВ1 П дВ2) = аР,
Рассмотрим поддиаграмму В1Д2...Д^, Пусть область В1 состоит из ряда областей О*, ] = 1, А:, где ||(/?(5В*)|| = 2таь , получим, согласно лемме 2, что метки общих ребер областей ^(дВ*_1 П дВ*) и ^(дВ* П дВ*+1) есть степе ни 63 или ар. Все области .О*, г = 1, /г являются областями первого типа, и, если ребро с
меткой ^(dDn HdDi) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро tp{dDi_iC\dDi),i = 1, п. Таким образом, tp{dDnC\dDi) = £(dD' П dDl) = ^(dDr П dDr+1).
Таким образом, w' = z -1v'z', выделяем поддиаграмму сопряженности слов w' и v', которую вырезаем, а оставшуюся часть замыкаем в кольцо, в результате через конечное число шагов получаем к < 3.
б) Если b = a , тогда s-1bms = am, Строим диаграмму сопряженности для bm и am аналогичным образом, как и в предыдущем случае. Мы представили область D1 в виде D\ = UD*,j = 1 ,к, где \\ip(dDj) || = 2mab и все D* являются областями первого типа, ^(dD* ПdD*+1) = а^и ^(dD* ПdD*+1) = bp. Получим s = Z2Z1Z2...Z2, и ^(dD1 П dD2) = ap.
Таким образом, ^(dDn П dD1) = b^, и, учитывая, что область D1 состоит из ряда областей = 1 ,к, где \\tp(dD*) || = 2mab , получим, согласно лемме 2,
что метки общих ребер областей есть степени b^ или ap . Так как все области Di, г = 1 ,п являются областями первого типа, и, если ребро с меткой Lp(dDn П dD1) содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ip(dDi_i П dDi),i = 1 ,п. В итоге, '~p(dDn П dDi) = tp{dD[ П дD[) = ^(dDr П dDr+1)
Вырезаем поддиаграмму сопряженности слов w' и V, оставшуюся часть за-
к<3
II. Пусть диаграмма M' содержит области первого, второго и третьего типа, dM' = yU£, ^(7) = (w')fc,<^(£) = (v')fc. Диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диа-M M
M w
Обозначим <£(7) = (w')k, ^(7*) = w', причем a(dD1 П 71) = 0,w(y1) = O', ^(71) = £(OO') = w'.
Степень внутренней точки O' > 4, так как в противном случае она является особой внутренней точкой диаграммы. Пусть d(O') = 4.
1. Пусть D1, Dr+1 и соответетвенно D1 - области третьего типа, при этом ||^(dD1 П y)| = ||^(dDr+1 П y)| = ||^(dD1 П y)||, d(A) = d(D1) . Тогда ||^1 П dD1)|| > 2 откуда £(dD1),^(dD1) G Gab-
Пусть £(dD1),^(dD1) G Ga,, m„b > 2 £(dD1 П 7) = s, <^(dD1 П ¿) = r, ^(dDn П dD1) = bp <^(dD' П dD1) = b9, <^(dD1 П dD2) = ah, <^(dD1 П dD2) = a*, ||r | < ||s||. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, что и в 1 случае, получим sbms-1 = am , где q — p = h — t = m. Строим, как и в 1 случае, диаграмму сопряженности для bm и am .
а) Если для области D1 выполняется уел овне ||^(dD1)| = 2mab, тогда и ||^(dD1)| = 2mab, <^(dD1 П dD1) содержит л ибо bp (есл и mab = 2k, k > 1), либо содержит ap (если mab = 2k + 1). Учитывая, d(D1) = d(D1) и лемму 2, получаем £(dD' П dD1) = bp следовательно, и ^(dDr П dDr+1) = bp. Таким образом, метка пути ^(OO1) = ^(dDn П dD1) совпадает с меткой ^(dDr П dDr+^. При mab = 2
получаем аналогичный случай. Выделяем поддиаграмму сопряженности слов и V, которую вырезаем, а оставшуюся часть замыкаем в кольцо, процесс продолжаем до тех пор, пока не получим к < 3.
б) Пусть для области ^выполняется уел овие ||<£(дД1)|| > 2таЬ .
Если таЬ = 2к, к > 1, то строя диаграмму сопряженности как и для 1 случая, получаем представление области 1)\ в виде 1)\ = и_0*,] = 1,/ , где \\<^(дО*) || = 2таЬ . Но, учитывая 11г | < 11в| , в результате имеем, что среди областей первого типа В* есть хотя бы одна область В* третьего типа (Рис. 7). В итоге ] =
1,/ — 1 имеет место ||(/?(<91}*)|| = 21|50II + 2, и ||(/?(<91^)|| = ||501| + 2,8 = 5д,Г = з0-1. Такой случай возможен только если область В* имеет таЬ = 2. Но тогда в0 = Ьу, и, учитывая, что во является подсловом определяющего соотнощения каждой области D*j,j = 1,/ — 1, приходим к заключению, что данный случай невозможен.
г
Рис.7 Представление области При таЬ = 2к + 1 получаем аналогичный случай.
2. Пусть ^ и ^ - области различных типов (например, области В1 - третьего, ^ - первого или второго типа). Данная ситуация также невозможна. Так как получили внутреннюю особую точку О = а(5В1 П 7),
Рассмотрим теперь, когда связная, приведенная кольцевая Я - диаграмма М сопряженности слов (и>;)к, (V)к имеет вид (Рис, 26). И пусть ^(7) = (и>;)т и
= (V)га, Выделим в диаграмме М поддиаграмму М' вида (Рис.8). Число таких поддиаграмм ограничено |ад'| • IV|. Действительно, если осуществить разрез в точке А , то слово ад' будет разбито на две части ад' = ад^ад^. При этом, может быть только |ад'| возможности разбить слово ад' на две части. Аналогично для слова V, Таким образом, если диаграмма имеет больше чем |ад'| • IV| подкарт вида (Рис.8), то выделится повторяющаяся часть диаграммы, которую можно вырезать, а оставшуюся часть снова замкнуть в кольцо, при этом получившаяся диаграмма будет содержать не больше |ад' | • IV | поддиаграмм вида рис 8.
Рис.8 Структура поддиаграммы
0 /
о, /у:
Рис.9 Структура поддиаграммы
Обозначим внешний путь АВ через 71 , внутренний путь АВ через ^(Рис.9), Заметим, что слоговые длины путей 7^ ¿1 должны совпадать, иначе диаграмма М будет содержать полосу, что невозможно в виду ее Я- приведенности.
Предположим, что |71| - достаточно большое число. Пусть |71| > 4||ад'||, Выделим на пути 71; начиная от вер шины А , некоторую циклическую перестановку (ад' )* слов а ад' такую, ч то слово (ад' )* начинается в вер шине О, имеющей в диаграмме М' степень 3. Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично как и для диаграмм вида рис.2а. Таким образом, можно показать, что к < 3.
Если |71| < 41|ад'||. число поддиаграмм вида, рис. 8 не превышает |ад'| • IV|, длина каждого простого пути (простой путь - это путь в диаграмме вида рис. 26, соединяющий 2 поддиграммы (диски)) не превышает |ад'|, количество простых путей не превышает |ад'| • IV| . Тогда т • |ад'| < 4|ад'|(|ад'| • IV|) + |ад'|(|ад'| • IV|) = 5|ад'|(|ад'| • IV|), откуда т, п < 5(|ад'| • IV|).
Если |г| = 0. В этом случае будем рассматривать связную односвязную приведенную диаграмму М с граничным циклом дМ = 7 и ^(7) = (ад')к ,
^(¿) = (V)к, Предположим, что к > 1, тогда преобразуем диаграмму, подклеив к ней по границе 7 тождественную ей диаграмму с циклическим сдвигом на слово ад'. Проводя дальнейшие рассуждения аналогично случаю 1, получим,
что к можно уменьшить, следовательно, к < 3 , и числа m, n ограничены сверху 5(|W| ■ |V|),
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Appel К,, Sehupp P. A и in groups and infinite Coxeter groups // Invenf. Math, V. 72. 1983. P. 201-220.
[2] Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Москва: Мир,1980. 447 с.
[3] Без верхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 5, №1 -Москва: МГУ,1999.С.1-38.
[4] Безверхний В.Н., Карпова О.Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГУ, Сер. Математика. Механика. Информатика -Тула: ТулГУ, 2006. - Том 12,-Вып.1.-С.67-82.
[5] Безверхний В.Н., Карпова О.Ю. О кручении в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГУ. Естественные науки. -Тула: ТулГУ, 2008. - Том 1.-Вып.2.-С.6-17.
[6] Безверхний В.Н., Карпова О.Ю. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина с древесной структурой. // Чебышевекий сборник.-Тула: Изд-во Туп, гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2008. - Том 9.-Вып.1(25).-С. 30-50.
[7] Безверхний В.Н,, Карпова О.Ю. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой / / Известия Ту. if у. Естественные науки. - Тула: Ту.il'у. 2008. Вып.З,- С.42-59.
Новомосковский филиал НИРХТУ им, Л И. Менделеева,
Problem of crossing of cyclic subgroups in Artin groups with arboreal
structure.
O.U. Platonova,
In this paper we have proved that an Artin group with arboreal structure has solvable the problem of crossing of cyclic subgroups,
Kewwords:.Artin group with arboreal structure, diagram area,
Platonova Oksana (roksana2003@rambler,ru), senior teacher, department of higher mathematics, A Novomoskovskiy branch of Russian Khimiko and technological university by Mendeleev D.I.
