Пересечение некоторых подгрупп конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)

УДК 519.4

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПОДГРУПП КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННОЙ ГРУППЫ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

О. В. Инченко (г. Тула)

Аннотация

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассмотрен вопрос пересечении централизаторов элементов конечного порядка в данном классе групп. Второй параграф статьи посвящен доказательству разрешимости проблемы пересечения циклических подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой.

Пусть G конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, заданная копредставлением

G = (ai,...an;(ai)2, (aiaj)mij ,i,j е 1,n,i = j)

где mtj - число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при i = j, mij = m.ji, mij ^ 2.

G

граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить

ai aj

соответствует соотношение вида (aiaj)mij = 1.

G

Г

ai aj

ответствует соотношение вида (aiaj)mij = 1,i = j, mij ^ 2.

В графе Г * всегда можно выделить максимальный дерево-граф Г, который соответствует группе, имеющей древесную структуру, для которой группа Кокс-Г*

Рассмотрим группу Gab = (a, b; a2, b2, Rab), оде Rab - все циклически несократимые слова равные единице в Gab.

И рассмотрим группу G = (a-|, ...an; (ai)2, i = 1,n, R), оде R = URab. Пусть w

- произвольное слово не равное единице в свободном произведении

_ n

F = ]^[ *(ai |a2 = 1) и равное единице в G. Тогда на основании теоремы ван i=1

Кампена, слово w является граничной меткой связной односвязной диаграммы над R с граничными метками областей вида rab и r-b, a2, i = 1,n.

Введем следующие преобразования диаграммы:

• Диск с мет кой а? вырезаем, а границу склеиваем по ребру .

•

группе Gab, то удаляем это ребро, при этом, если граничное слово равно единице в группе F, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то вырезаем внутреннюю часть диска и проводим сокращения, склеивая взаимно обратные ребра, после чего заклеиваем дырку диском.

Рис. 1. Преобразование диаграммы

• Если две области с метками из Саь, имеют общую вершину (Рис. 1), они объединяются, при этом, если граничное слово равно единице в группе ?, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то вырезаем внутреннюю часть диска и проводим сокращения, склеивая взаимно обратные ребра, после чего заклеиваем дырку диском.

Диаграмму, полученную в результате данных преобразований, назовем приведенной. Областями диаграммы являются 2к-угольники с граничными метками из Яаь-

Определение 1.[3] Точку, разделяющую ребра области с разными метками и имеющую в диаграмм,е степень не менее трех назовем особой.

Определение 2.[3] Область Э назовем деновской, если г(Э) < 2а(Э), где г(Э) - число внутренних ребер, &(0) - число ребер в граничном цикле для Э.

Пусть - деновская область и слово ^ является граничной меткой приведенной диаграммы . Тогда деновское сокращение состоит в замене подслова слова w, соответствующего пути АЕС подсловом, соответствующим пути АВС. (Рис. 2) Деновским областям с граничными метками из Я соответствуют Я -сокращения.

Рис. 2. Деновское сокращение

Определение 3.[3] Слово w назовем R - несократимым (или R-приведен-ным), если w свободно приведено и не содержит подслова s такого, ч,то |s| > 2 |г\, причем r = st, r 6 R и |s| > |t|.

Определение 4.[3] Слово и называется циклически R - несократимым, если любая, его циклическая перестановка и* не содержит R - сокращения.

Определение 5.[3] Область с граничным контуром eye-1 Ь, склеенная по ребру e и с меткой из R назовем S — i областью.

Теорема 1. [3] Пусть связная, односвязная, приведенная диаграмма M над R S—i

точкой диаграммы M.

СЛЕДСТВИЕ 1. [3](Из теоремы 1) Связная, кольцевая приведенная, диаграмм,а M, не содержащая S — i областей, над группой G является, однослойной.

Лемма 1. [3] Пусть слова, v и w сопряжены в группе Кокстера G. Тогда, если |w| = 1 и v циклически и R несократимо в G, то |v| = 1.

G

vw

G

состоящая, из ребер дерева-графа Г, которая, соединяет вершины, соответствующие данным, образующим, группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным, числом, Кокстера.

Теорема 3. [3] В конеч,но порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.

Определение б. [4] Поддиаграмм,а, = U П=1 Di R

денной диаграмма с граничным циклом 9M = y (J Ь, AB = 9 П y A1B1 = 9 П Ь (Рис. 3), если

1. Vi, i = 1, n — 1 dD| P| 9Di+1 = e /где e - ребро;

2. Vi, i = 1,n dD|P| у = где Yi - связным путь, причем, Y| ^ 1; 5. |9Di П Y| = |9Di\(9Di Пr)U |9D^П y| = |3Dn\(9DnПY)|;

I Vj,j = 2,n — 1 |D^ Y| = |DjD Ь|-

А, В, *

Рис. 3. И - сокращение

В слове м есть Я-сокращение, если в приведенной диаграмме , граничной меткой которой является слово м, выделяется полоса. При этом подслово слова w, соответствующее пути АВ заменяется словом, соответствующим пути АА-|В-|В в приведенной диаграмме .

Определение 7. [4] Слово и называется циклически Л и Я- несократимым, если любая, его циклическая перестановка и* не содержит Я и Я- сокращения.

Теорема 4. [4] Пусть М связная, односвязная, диаграмма, над Я и ЭМ = у и 6. И пусть ср(у), ср(6) - не являются Я-сократимыми словам,и. Тогда существует алгоритм, позволяющий определить, является, ли одно из этих слов И - сократимым,.

Рассмотрим связную кольцевую приведенную Я - диаграмму М сопряженности слов V и м. Пусть ср(у) = адф, (6) = V, где у - внешняя граница диаграммы М, а 6 - внутренняя.

М

ной области второго (или третьего) типа, |М| = п. Для того, чтобы фрагмент

М

мо, чтобы области второго (или третьего) типа соответствовало нечетное число Кокстера. Но тогда |м| < М (или М > М), аточнее |м|+2 = Н (или М = +2).

В этом случае переход с помощью сопряжения от слова большей длины к слову меньшей длины назовем Колычевым сокращением. Заметим, что кольцевое сокращение возможно также в диаграмме, содержащей областей второго (третьего) типа на одну больше, чем областей третьего (второго).

Определение 8. [7] Циклически Я и Я— несократимое слово м в группе Кокстера С назовем тупиковым, если к нем,у не применимо кольцевое сокращение.

Лемма 2. [7] Пусть V, м - тупиковые слова из & и пусть V им сопряжены в С. Тогда, М = |м| и никакое слово и € С такое, ч,то |и| < |м| не сопряжено с

V.

Лемма 3. [7] Пусть С - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, с множеством образующих А, А| < сю. П пусть м € С, м

- циклически Я и Я - несократимое слово не равное единице в С. Слово м сопряжено некоторому слову V € С,г то есть существует слово ъ € С такое, что ъ-1мъ = V, где М ^ 2, С, - параболическая подгруппа с множеством образующих А}, А, С А. Тогда, м, ъ - слова, на образующих А,, Сс(М = Сс, (м),

где CG(w) - централизатор элемента w в группе G, Cg, (w) - централизатор элемента w в параболической подгруппе Gj.

§1. Централизатор конечного множества элементов конечного

порядка

G

ной структурой; w - циклически R - несократимое слово e^w Е Gab, |w| > 1, где подгруппа Gab имеет копредставление Gab = (а, b; а2,b2, (ab)mab). Тогда

w

рожденная элементом длины два.

G

ной структурой. И пусть (w-|, w2,wk) - конечное множество циклически R несократимых слов конечного порядка такое, что k ^ 2, |w-t| > 1 , Vi = 1,k. Тогда централизатор C(wi, w2,wk) - есть, либо циклическая группа конечного порядка, либо единичная группа.

Доказательство. Пусть слова w-|, w2,wk - представляют элементы конечного порядка, k ^ 2, |wi| > 1 , Vi = 1,k.

Сначала рассмотрим случай, когда все слова w-|, w2,wk сопряжены с элементами из одной подгруппы вида Gab. Слова w-|, w2,wk имеют четную длину, так как в противном случае при помощи сопряжения можно перейти к слову единичной длины. По теореме 5 централизатор любого слова конечно-

Gab

конечного порядка, порожденная словом длины два. Таким образом, если все слова wi, w2,wk сопряжены с элементами из одной подгруппы вида Gab, то C(wi, w2, ..,wk) = C(wi)nC(w2)n..nC(wk) есть циклическая группа конечного .

Пусть теперь слова wi, w2, ..,wk сопряжены с элементами из разных подгрупп вида Gab и имеют четную длину. В этом случае C(wi, w2, ..,wk) есть пересечение циклических подгрупп конечного порядка, порожденных разными элементами длины два. Таким образом, учитывая лемму 3 C(wi, w2,.., wk) = E.

Определение 9. [8] Ребро ei дерева - графа Г назовем, замыкающим, ребром, некоторого пути, если ем,у соответствует четное число Кокстера.

G

ной структурой; слово w Е G такое, ч,то |w| = 1, то есть w = ai, i = 1, n.

w

C(w) = (zi,z2 ,..,Zs,w; = 1,w2 = 1,r = 1,s),

где Zy - циклически сократимое слово вида, ¿г = z1 z2..ZtZoZ-i..z-iz-^^<9е Zi Е Gab подсло во z0 соответствует замыкающем у ребру и |zt| = mab — 1,i = 0,t.

Пусть слово w Е G, |w| = 1 и C(w) = (z1, z2, .., Zs, w; z^ = 1, w2 = 1, r = 1, s)

- централизатор слова w. Обозначим через Cw(w) подгруппу полученную из C(w) вычеркиванием го множества порождающих слов элемента w. Полученная подгруппа будет иметь следующее копредставление:

С™(М = (ъьъ2 ъ2 = 1,т = 1,б).

С

структурой; слово м € С такое, ч,то |м| = 1, С(м) - централизатор элемента м. Тогда группа СДм) является свободным, произведением циклических групп порядка два и С(м) = (м|м2) х СДм).

Лемма 5. [8] Для, любых двух слов V и м конечно порожденной группы, Кокстера с древесной структурой таких, что М = |м| = 1 справедливо С^) П С™(м) = Е.

С

весной структурой. Группе С соответствует конечный дерево-граф Г. По условию слова V и м являются образующими. Пусть V = а, м = Ъ. Каждому образу-СГ аи Ъ вершины дерева - графа, соответствующие образующим а и Ъ, а через р - путь, состоящий из ребер дерева-графа Г, который соединяет вершины а и Ъ. По теореме 2 слова V и м, длина каждого из которых равна единице в группе С

Г

данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера. Исходя из этого, рассмотрим два случая:

1. Слова V и м те сопряжены в С. В этом случае, учитывая теорему 2, путь р содержит хотя бы одно ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Пусть |р| = 1, то есть путь р состоит из одного ребра е, причем ребру е соответствует четное число Кокстера таЬ. Сначала рассмотрим случай, когда таЬ = 2, то есть ребру е соответствует соотношение аЪаЪ = 1. Тогда а € С(Ъ), Ъ € С(а), при этом а € Сь(Ъ), Ъ € СЬ(Ъ) и Ъ € Са(а), а € Са(а). Таким образ ом, Са(а) П СЬ(Ъ) = Е.

Пусть теперь таЬ = 4. Тогда ребру е соответствует соотношение аЪаЪаЪаЪ = 1. В этом случае аЪа € Сь(Ъ), ЪаЪ € Са(а), Таким образом, снова Са(а) П Сь(Ъ) = Е.

В случаях, когда таЬ = 2к, к > 2 рассуждения аналогичны.

Пусть теперь |р| > 1, то есть р = е-|е2..еп, где ег, Уг = 1,п - ребро. Обозначим через раЬ - путь, для которого а(раЬ) = а ш(раЬ) = Ъ. Тогда рЬа

- путь, для которого а(рЬа) = Ъ, ш(рЬа) = а, при этом раЬ = р-^. Будем рассматривать путь раЬ. Предположим, что каждому ребру ег, Уг =

1, п — 1 соответствует нечетное число Кокстера, а ребру еп - четное. В этом случае, централизатору С(а) принадлежит слово ъ = Ъ1Ъ2-.ъпъ-11 ..ъ-1, где каждое ъг, Уг = 1, п, соответствует ребру ег и является куском определяющего соотношения длины тг, — 1. А централизатору С(Ъ) принадлежит слово ъ^ такое, что ъП соответствует ребру еп, принадлежит той же подгруппе вида СЬх = (Ъ, х; Ъ2, х2, (Ъх)тЬх) что и ъп, и также является

куском определяющего соотношения длины тЬх - 1, но г1п = Таким образом, С(а) П С(Ь) = Е и соответственно Са(а) П Сь(Ь) = Е.

Случай, когда четное число Кокстера соответствует некоторому ребру Є|, і = 2, п — 1, аналогичен, рассмотренному выше.

Рис. 4. Фрагмент дерева - графа

Если, путь p содержит несколько ребер, которым соответствует четное число Кокстера, то не трудно показать, что в этом случае заключение леммы также справедливо.

2. Слова v и w сопряжены в группе Кокстера G некоторым словом z, то есть zbz-1 = а, слово z Е G и соответствует пути pab (Рис. 4), каждому ребру которого, по теореме 2, соответствует нечетное число Кокстера. При этом, z

С(а) и C(b), но z Е С(а) И Z Е C(b). В силу древесной структуры группы G имеем С(а) П C(b) = E и соответственно Са(а) П Cb(b) = E.

Таким образом, лемма 5 доказана.

Рис. 5. Звездный граф

Следствие 2. [8] Пусть подгруппа Gab = (a, b; a2,b2, (ab)mab) конечно порожденной группы, Кокстера с древесной структурой такая, что mab = 2. Тогда C(a) П C(b) = Gab.

Следствие 3. [8] Пусть подгруппа Gab = (a, b; a2,b2, (ab)mab) конечно порожденной группы, Кокстера с древесной структурой такая, что mab >

m nb

2,mab - четно. Тогда, C(a) П C(b) = ((ab);(ab)mab = 1)

Следствие 4. [8] Пусть подгруппа Gab = (a, b; a2, b2, (ab)mab) конечно

mab

нечетно. Тогда C(a) П C(b) = E.

Определение 10. [8] Граф, все ребра которого имеют общую вершину, назовем, звездным, (Рис. 5).

G

ответствует конечный дерево - граф Г. Выделим в дереве - графе Г звездный подграф Г, такой, что количество вершин, принадлежащих графу Г больше или равно трем. Вершину, принадлежащую каждому ребру звездного графа, назовем центральной вершиной, а образующий, соответствующий центральной вершине - центральным образующим. Обозначим через S параболическую подгруппу, порожденную множеством S образующих, соответствующих вершинам данного графа.

Лемма 6. [8] Пусть каждом,у ребру звездного графа, соответствует число Кокстера равное двум. Тогда централизатор любого подмножества множе-

SS

ным, образующим,.

Доказательство. Пусть некоторое подмножество S' множества порожда-S

трем. Пусть S' = {a, b, с}, и пусть a - центральный образующий. Централизатор C(a,b,c) = C(a) П C(b) П C(c). По следствию 2 C(a) П C(b) = Gab и C(a) П C(c) = Gac. Тогда C(a) П C(b) П C(c) = Gab П Gac = <a, a2 = 1 > .

В случае, когда подмножество S' имеет мощность большую трех доказательство аналогично.

Пусть теперь множество S' не содержит центральный образующий. Ясно, что ценрализатор любого элемента множества S' порожден самим элементом и центральным образующим. Следовательно, пересечение централизаторов всех элементов множества S' есть циклическая подгруппа второго порядка, порожденная центральным образующим.

Таким образом, лемма 6 доказана.

Лемма 7. [8] Пусть каждом,у ребру звёздного графа, соответствует четное число Кокстера, и хотя, бы, одному ребру - чётное число Кокстера большее

SS

Доказательство. Пусть I" - звездный граф, S - множество образующих,

a

делим в графе I" максимальный звездный подграф Т, каждому ребру которого соответствует число Кокстера равное двум. Обозначим через Q множество образующих, соответствующих вершинам графа Т По лемме 6, C(Q) = a. Теперь рассмотрим любое замыкающее ребро звездного графа I" с вершинами a и х, которому соответствует четное число Кокстера большее двух. По следствию 3,

C(a,x) = ((ax);(ax)max = 1). Следовательно, C(Q) П C(a, x) = E.

Лемма 8. [8] Пусть G - конечно порождённая группа Кокстера с древесной структурой, с множеством образующих A, |A| < сю. Обозначим через B некоторое подмножество множества A. И пусть граф, соответствующий GB

B

Ь

Рис. 6. Связный граф

Доказательство. Будем рассматривать случай, когда подгруппе группы G с множеством образующих B соответствует связный граф Г не являющийся звездным. Для простоты положим |B| = 4, B = {a, b, c, d} (Рис. 6). В этом случае можно считать, что вершины a, b, с принадлежат звездному графу, причем b

- центральная вершина. Если каждому ребру звездного графа соответствует число Кокстера равное двум, тогда по лемме 6 C(a, b, с) = C(a) П C(b) П C(c) = (b, b2 = 1). И C(a,b, с, d) = (b, b2 = 1) П C(d) = E. Если хотя бы одному из ребер звездного графа соответствует четное число Кокстера большее двух, то по лемме 7 C(a, b,c) = E, и, следовательно, C(a, b,c, d) = E.

Если же хотя бы одному ребру графа Г соответствует нечетное число Кокс-

C(a, b, c, d) = E |B | > 4 аналогичен.

G

ной структурой. И пусть (wi, w2,wk) - конечное множество R - несократимых слов конечного порядка, k ^ 2, |w-¡.| ^ 1 , Vi = 1,k. Тогда централизатор C(wi, w2, ..,wk) есть, либо циклическая группа конечного порядка, либо единица.

Доказательство. Разобьем множество слов (wi, W2, ..,wk) на подмножества, удовлетворяющие условиям теоремы 6 лемм 6, 7 и следствий 2-4. Тогда централизатор C(wi, W2, ..,wk) есть пересечение централизаторов полученных подмножеств.

§2. Проблема пересечения циклических подгрупп

Проблема пересечения циклических подгрупп состоит в отыскании алгоритма, позволяющего определить для любых двух слов v и w из группы G, существует ли такое слово и из G, что u Е (v) и u Е (w).

Теорема 9. [5] Существует алгоритм,, строящий по любому циклически несократимому слову м бесконечного порядка сопряженное с ним, или с его квадратом, в группе Кокстера С слово мо, любая, степень которого И и И -несократим,а.

Теорема 10. [6] В конечно порождённой группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности слов.

Рассмотрим связную кольцевую диаграмму М сопряженности ело в. Обозначим через у внешний контур диаграммы М, а через 6 - внутренний, ЭМ = у у 6.

Определение 11. [7] Область Э назовем, областью первого типа, если

|дЭ П у| = |9Э П 61 где а(Э) = |дЭ П у| + |дЭ П 6| + 2.

Определение 12. [7] Область Э назовем, областью второго типа, если

|дЭ П у| + 2 = |9Э П 61 где а(Э) = |9Э П у| + |9Э П 6| + 2.

Определение 13. [7] Область Э назовем, областью третьего типа, если

|9Э П у| = |9Э П 6| + 2, где а(Э) = |9Э П у| + |9Э П 6| + 2.

Теорема 11. 5 конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема пересечения двух циклических подгрупп.

Доказательство. Пусть слова V и м принадлежат конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой. Будем рассматривать пересечение циклических подгрупп (м) П (V).

Случай 1. Пусть слова, V им имеют конечный порядок.

Если |м| = Н = 1, но V = м, тогда, очевидно, (м) П (V) = 1.

Пусть теперь |м| = 1а М > 1, и будем полагать, что слово V циклически И

- несократимо, то есть имеет четную длину. Тогда циклические подгруппы (м) и (V) снова пересекаются по единице.

Рассмотрим случай, когда Н > 1 и |м| > 1, также будем полагать, что слова V и м циклически И - несократимы. Тогда если слова V и м принадлежат одной подгруппе вида С аь, то пересечением циклических подгрупп (м) И (V) будет циклическая подгруппа конечного порядка, порожденная элементом четной длины на образующих подгруппы СаЬ Если елова V и м принадлежат разным подгруппам вида Саь, то (м) П (V) = 1.

СЛУЧАЙ 2. Пусть теперь слова V и м имеют бесконечный порядок.

Пусть в группе Кокстера с древесной структурой существует нетривиальное слово и = vn = мт для некоторых минимальных по абсолютной величине чисел т и п. Покажем, что тп можно ограничить. Используя теорему 9, перейдем от слов V и м к сопряженным с ними или с их квадратами словам vо и мо, любая степень которых И и И - несократима. Теперь уровняем длины слов vо, мо. Для этого возведем слово vо в степень к-|, а слово мо в степень к2. Обозначим V0 через V, м°2 через м. Будем рассматривать равенство V0 = г-1 мкг.

Возможны два случая:

1. |г| = 0. Рассмотрим связную приведенную кольцевую диаграмму М сопряженности слов V, м вида Рис. 7 а). По следствию 1 диаграмма М

М

Рис. 7. Структура кольцевых диаграмм

только первого типа, либо содержать области второго и третьего типа, разделенные в общем случае областями первого типа, причем между двумя любыми областями второго типа содержится область третьего типа, так как в противном случае в диаграмме М выделится полоса. Заметим также, что диаграмма М не может содержать одну область второго или

третьего типа, так как в этом случае получим Й - сократимость слова V2 ~ 2

ИЛИ ТУ .

Пусть связная приведенная кольцевая диаграмма М1 сопряженности слов

•ук и тук состоит только из областей первого типа, ЗМ1 = у и 6, ср(у) = тук, ср(6) = гк. В этом случае, ср(у) = ф(6), и в силу равенства длин |л)| = |тУ|, заключаем, что V = ту*, где ту* циклическая перестановка слова тУ и к = 1. Таким образом, V = £-1тУ£ и, возвращаясь к исходному равенству, имеем vk1 = г-лг-лУк2 гг.

Рис. 8. Фрагмент диаграммы сопряженности слов

Пусть связная приведенная кольцевая диаграмма Мт сопряженности слов ■ук и тук состоит из областей первого, второго и третьего типа, 9М = у и 6, ср(у) = тук, ф(6) = Vе (Рис. 8). Проведем следующее преобразование диаграммы Мт: приклеим к ней тождественную диаграмму с циклическим

сдвигом влево на слово ту, совместив точки и . При этом заметим, что вершины , и должны иметь в диаграмме степень большую или равную трём, иначе в результате данного преобразования получим особые внутренние точки. По той же причине ср(АВ) = ср(ВС). Таким образом, учитывая равенство длин |г| = |тУ |, снова заключаем, что V = ту *, оде ту * циклическая перестановка слова тУ и к = 1.

Далее рассмотрим случай, когда связная, приведенная кольцевая И диаграмма М-| имеет вид рис. 7 Ь). Выделим в диаграмме Мт поддиаграмму

Рис. 9. Структура покартьт

М'

Мт

таких поддиаграмм, а именно их количество ограниченно сверху числом |тУ||г|. Действительно если осуществить разрез в точке А, то слово ту будет разбито на две части, то есть ту = уу (Рис. 10). При этом, может быть только |тУвозможностей разбить слово ту на две части. Аналогично для слова V. Таким образом, если диаграмма имеет больше чем |тУ||\>| под-карт вида рис. 9, то выделится повторяющаяся часть диаграммы, которая содержит не больше |тУ||\)| поддиаграмм вида рис. 9.

Рис. 10. Разбиение слова

Обозначим верхний путь (Рис. 9) через у-|, нижний путь через 6т. В

результате имеем связную односвязную приведенную диаграмму M' равенства слов (р(у-|) и cp(6i). Предположим, что |yiI - достаточно большое число. Пусть |yi| > 4\w\. Выделим на пути yi некоторую циклическую перестановку w* слова w такую, что слово w* начинается в вершине, имеющей в диаграмме M' степень 3. Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично случаю, когда кольцевая связная приведенная R диаграмма Mi сопряженности слов vk и wk имеет вид рис. 7 а), то есть k = 1, а числа m и п ограничены сверху ч пел ом \w ||v|.

Если |yi | < 4\wo\, то п < n\wо\ < 4\wo\ • |voIIWo\ + \wo\ • I'VoII'V'Vo\, где последнее слагаемое получается следующим образом: диаграмма имеет вид рис. 7 Ь) и имеет не более чем \wo\Vo\ подкарт вида рис. 9, следовательно, количество нитей ограничено сверху тем же числом \woiVol, а длина каждой нити не превосходит \wo~ Таким образом, п < 5||vo\\wo\2

2. \z\ = 0. в этом случае будем рассматривать связную односвязную приведенную диаграмму M с граничной меткой 9M = у U 6, где ф(у) = wk и ф(6) = ^.Предположим, что k > 1, тогда преобразуем диаграмму, подклеив к ней по границе у тождественную ей диаграмму с циклическим сдвигом на слово V Проводя дальнейшие рассуждения аналогично

k

тельно, k = 1, и числа m и п ограничены сверху числом \w||v|.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.

[2] Безверхний В. H., Добрынина И. В.. О пересечении циклических подгрупп в группах Кокстера экстраболыного типа // Материалы международной научно-практической конференции “Л. Эйлер и российское образование, наука и культура”, 2007. С. 16- 26.

[3] Безверхний В. H., Пнченко О. В. Проблемы равенства и сопряженности в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005 г. Том 6. Вып. 2. С. 81-90.

[4] Безверхний В. H., Пнченко О. В. О кручении в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005 г. Том 6. Вып. 1. С. 5-12.

[5] Безверхний В. H., Пнченко О. В. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005 г. Том 6. Вып 2. С. 75-80.

[6] Безверхний В. H., Пнченко О. В. Проблема степенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 11, 2005. С. 63-76.

[7] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Разрешимость проблемы вхождения в параболические подгруппы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. 2006. С. 47-58.

[8] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Централизатор элементов группы Кокстера с древесной структурой // Материалы международной научнопрактической конференции “Л.Эйлер и российское образование, наука и культура”, Тула, 2007. С. 26-32.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.

Получено 13.09.2008.