CC BY
13
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)
УДК 519.4
ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА КОНЕЧНО ПОРОЖДЕНННОЙ ГРУППЫ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
В. Н. Безверхний , О. В. Инченко (г. Тула)
Аннотация
Известно, что группы Кокстера являются группами, порожденными отражениями Евклидова пространства. Кроме того, группы Артина, а в частности группы кос, непосредственно используются в криптографии. В работе дано описание централизатора элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой.
Пусть С конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением С = (а-|, ...ап; (ах)2, (аау)™13 , 1, ] = 1,п) имеет древесную структуру, т.е. между вершинами конечного дерева-графа и образующими группы С можно установить соответствие такое, что если ах и 03 являются вершинами ребра , то ребру соответствует соотношение вида (ахау)™13 = 1, 1 = ], 2 ^ т-у < оо.
Рассмотрим группу Саь = (а, Ь; а2, Ь2, Каь), где Иаь - все циклически несократимые слова равные единице в СаЬ.
И рассмотрим группу С=(а1, ...ап; (ах)21=Т , п,И) где К=иКаЬ. Пусть ж - произ-
_ п
вольное слово не равное единице в свободном произведении Р=П *(аг |а2 = 1)
1=1
и равное единице в С. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово ^ является граничной меткой связной односвязной диаграммы над И с граничными метками областей вида гаЬ и г-,, а2,1 = 1,п.
Введем следующие преобразования диаграммы:
• Диск с мет кой а2 вырезаем, а границу склеиваем по ребру .
•
группе Саь, то удаляем это ребро и, если граничное слово равно единице в группе ?, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то вырезаем внутреннюю часть диска и проводим сокращения, склеивая взаимно обратные ребра, после чего заклеиваем дырку диском.
• Если две области с метками из СаЬ, имеют общую вершину, они объединяются и, если граничное слово равно единице в группе її, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то проводим сокращения указанным выше способом.
Диаграмму, полученную в результате данных преобразований, назовем приведенной. Областями диаграммы являются 2к-угольники с граничными метками из Яаь-
Определение 1. [2] Точку, разделяющую ребра области с разными метками и имеющую в диаграмм,е степень не менее 3 назовем, особой.
Определение 2.[2] Область Э назовем деновской, если г(Э) < 1 а(Э), где г(Э) - число внутренних ребер, &(0) - число ребер в граничном цикле для Э.
Рис. 1. Деновское сокращение
Пусть Dj - деновская область (Рис. 1) и слово w является граничной мет-
M
w
R
сокращения.
Определение 3. [2] Область с граничным контуром eye-15, склеенная по eR
M
R S—i
M
Теорема 2. [2] Связная, односвязная, диаграмма, M не содержит S — i областей.
M
S — i G
G
весной структурой и пусть w - циклически R приведенное слово в G, |w| > 1 G v Є Gab w Є Gab
но с v в подгруппе Gab.
MG
ничными циклами а и ft, где ф(а) м ф(в) циклически и R несократимые слова,
тогда если М содержит хотя бы, одну Б — 1 область, то все области данной диаграммы, будут являться, Б — 1 областям,и.
Теорема 4. [2] Пусть слова, V и м сопряжены в группе С. Тогда, если М = 1 и V циклически и И несократимо в С, то Н = 1.
Рассмотрим связную кольцевую приведенную И - диаграмму М сопряженности слов V и м. Пусть ср(у) = м ф, (6) = V, где у - внешняя граница диаграммы М, а 6 - внутренняя.
М
ной области второго (или третьего) типа, |М| = п. Для того, чтобы фрагмент
М
мо, чтобы области второго (или третьего) типа соответствовало нечетное число Кокстера. Но тогда |м| < М (или |м| > М), аточнее |м|+2 = Н (или |м| = +2).
В этом случае переход с помощью сопряжения от слова большей длины к слову меньшей длины назовем кольцевым сокращением. Заметим, что кольцевое сокращение возможно также в диаграмме, содержащей областей второго (третьего) типа на одну больше, чем областей третьего (второго).
Теорема 5. ЩПусть м - циклически И и Я- несократимое слово в группе
£
Кокстера С и пусть к слову м не применимо кольцевое сокращение; = 1 тогда и только тогда, когда, м € Саь-
С
весной структурой. Слова, V им, длина каждого из которых равна единице в С
манная, состоящая, из ребер дерева-графа , которая, соединяет вершины, соответствующие данным, образующим, группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным, числом, Кокстера.
Доказательство. Пусть слова V, м € С такие, что М = |м| = 1 сопряже-С
М сопряженности слов V и м, состоящая из I Б — 1 областей. Пусть область
О к диаграммы М на образующих а- и ау тогда области Ок соответствует некоторое ребро е дерева - графа : а(е) = ах, ш(е) = ау а ребру е соответствует соотношение вида (а^ау)™ч = 1.
Рис. 2. Б-і область
Если число т-у - четно, то образующий ах сопряжен с самим собой куском
определяющего соотношения длины т-у — 1. В этом случае область Ок такова, что ф(6к) = ах и р(ук) = ах (Рис. 2), где 6 = 61, 62, ..,61 - внутренние границы областей О1,.., Ох соответственно, а у1,..,ух = у - внешние контуры этих областей, то есть р(61) = р(6) = V и ф(у0 = р(у) = м Тогда проведем следующее преобразование: область Ок вырезаем, а области Ок-1 и Ок+ склеиваем по ребру а-, соответствующему путям ук-1 и 6к+. Применив данное преобразование
М
М1
сти слов V и м, состоящую из Б — 1 областей, каждой из которых соответствует ребро дерева - графа с нечетным числом Кокстера.
Таким образом, последовательности Б — 1 областей связной приведенной М1
графа , которая соединяет вершины соответствующие данным словам V и м, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера.
Предположим теперь, что существует ломанная р, состоящая из ребер дерева-графа , которая соединяет вершины соответствующие некоторым образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера. Пусть а(р) = ах = V, ш(р) = ау = м Покажем, что слова V и М сопряжены в группе С. Путь р можно представить в виде р = е1е2...еп где а(е1) = ах, ш(еп) = ау и каждому ребру ек, к = 1,п соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера. Поставим в соответствие каждому ребру ек € р, к = 1, п Б — 1 область Ок на образующих <х(ек), ш(ек) так, что р(6к) = а(ек) и ф(ук) = ^(ек), где 6к и ук - внутренний и внешний контуры области Ок соответственно. Склей в пути ук и 6к+1 Б — 1 областей Ок и Ок+1, где к = 1, п — 1, получим связную приведенную кольцевую диаграмму сопряженности образующих ах и ау
Теорема доказана.
Теорема 7. [2] В группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.
Определение 6. [4] Поддиаграмма = и П=1 Ох образует полосу е Я- приведенной диаграмме с граничным циклом ЭМ = у у 6, АВ = 9 П у, А-|В-| = 9 П 6 (Рис. 3), если
1. VI, 1 = 1, п — 1 дОх П 9Ох+1 = е /где е - ребро;
2. VI, 1 = 1,п дОхР| у = Ух, где Ух - связный путь, причем, |ух| ^ 1;
5. |дО1 Пу1 = |дОД(дО1 Пу)и |дО^Пг1 = |дОп\(дОппг)1;
I V),) = 2ТП—ГОПт1 = |О)п6|.
В слове м есть Я-сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово м, выделяется полоса. При этом подслово
Рис. 3. R - сокращение
слова w, соответствующее пути АВ заменяется словом, соответствующим пути AA-|B-|B в приведенной диаграмме M.
Теорема 8. [3] Пусть M связная односвязная диаграмма, над R и 9M = у U 6. И пусть ср(у), ф(6) - не являются R-сократимыми словам,и. Тогда существует алгоритм, позволяющий определить, является, ли одно из этих слов R- сократимым.
ТЕОРЕМА 9 . [4] Существует алгоритм, строящий по любому циклически несократимому слову w бесконечного порядка сопряженное с ним или с его квадратом в группе Кокстера G слово wо, любая, степень которого R и R -несократима.
ТЕОРЕМА 10. [5] В группе Кокстера, с древесной структурой разрешима проблема, степенной сопряженности слов.
G
структурой, с множеством образующих A, IA| < сю. И пусть w Е G, w - R и R- несократимое слово не равное единице в G. Слово w равно некоторому слову v Е G^ гд е Gj - параболическая подгрупп а группы, G с множеством образующих Aj, Aj С A. Тогда, w - слово на образующих Aj.
G
структурой, с множеством образующих A, IA| < оо. И пусть w Е G, w - циклически R и R- несократимое, тупиковое слово не равное единице в G. Слово w сопряжено некоторому слову v Е Gj, то есть существует слово z Е G такое, что z-1wz = v, где |v| ^ 2, Gj - параболическая подгруппа с множеством образующих Aj, Aj С A. Тогда, w, z - слова, на образующих Aj, CG(w) = CGj (w), где C(w) - централизатор элемента, w.
G
ной структурой; w - циклически R - несократ имое слово e^w Е Gab, |w| > 1, где подгруппа Gab имеет копредставление Gab = (a,b; a2,b2, (ab)mab). Тогда
w
рожденная, элементом, длины, два.
w R G
w Е Gab, следователь но, w имеет четную длину, причем |w| ^ 2mab.
Пусть z Е C(w), то есть справедливо равенство zwz-1 = w. По следствию z Е G ab z R R
несократимому слову z0. Таким образ ом, |z0| ^ 2mab.
zw
получим циклическую перестановку М*. Следовательно, слово ъ должно иметь четную длину.
Таким образом, если слово м € Саь циклически Я-несократимо в С, то С(м) есть циклическая группа конечного порядка, порожденная элементом длины
ДВс1 •
Теорема 11 доказана.
С
ном дереве - графе . Зафиксируем вершину, соответствующую некоторому об-ах С
связные пути с началом в вершине ах. Обозначим через т(1, )) связный путь, соединяющий в графе вершину ах с вершиной ау Тогда т(1, )) = е^.^, где е5 - ребро в дереве - графе , б = 1,Ь,Ь < оо.
Рассмотрим два пути т(1,)) и т(), к), и определим для них операцию умножения следующим образом: пусть т(1, )) = е^.^ и т(),к) = et+1 et+2..eт, причем ш(ех) = ау = а(е^+1 ^ тогда т(1,)) * т(),к) = т(1,к), где т(1,к) - связный путь соединяющий вершины ах и ак такой, что т(1, к) = е^.^е-+1 ех+2..ет.
Определим для пути т(1,)) = е1 е2.^обратный путь: т—1 (1, )) = т(), 1) =
Каждому ребру е5 в дереве - графе соответствует число тху симметрической матрицы Кокстера для данной группы. Если число тху нечетно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е5 сопряжены в группе Кокстера С. Если же число т^ четно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е5 не соС
собой частью определяющего соотношения, соответствующего данному ребру. А именно, пусть <х(е5) = ах, ш(е5) = ау ребру е5 соответствует соотношение вида (а^)™^ = 1. Тогда, если число Кокстера тху - нечетно, то образующий ах переходит в образующий ау при помощи сопряжения словом и € Сху четной длины, |и| = тху — 1, причем слово и начинается та образующий ах, и заканчивается на ау то ест ь и имеет вид и = ах..ахау Если же число Ко кстера тху - четно, то образующий ах переходит в себя при помощи сопряжения словом и € Сху нечетной длины, |и| = тху — 1, причем слово и начинается и заканчивается на образующий ау то есть и имеет вид и = а^а^.а^.
Далее рассмотрим множество Р связных путей вида т(1, )) с началом в вершине ах таких, что если т(1, )) = е1 е2..е^ Ь ^ 2, то ребрам е5, б = 1,1 — 1 соот-
е-
пути т(1, )) равна единице, то есть т(1, )) = е-|, то путь т(1, )) будет принадле-Р е1
Р
т(1, Лех
некоторого пути, если ем,у соответствует четное число Кокстера.
Разобьем каждый путь т(1, )) = е^.^ го множества Р, длина которого больше единицы на два подпути следующим образом: т(1, х) - иодпуть, соеди-
няющий вершины ах и ах и состоящий из ребер т(1, х) = е^.^-ь каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера; т(х, ]) - подпуть, состоящий из
е-
Рис. 4. Граф Т
Множеству Р принадлежат все связные минимальные пути т(1, ]), исходящие из одной вершины, при этом последнее ребро каждого пути является заР
дерево - граф Т. Подвергнем граф Т следующему преобразованию: пусть е5 замыкающее ребро некоторого пути дерева - графа "Г такое, что <х(е8) = ах, ш(е8) = ау Положим ш(е8) = ах, ребро е5 переобозначим через е-у, а путь,
соответствующий ребру е8 через т(1, ], 1). Применим данное преобразование ко всем замкнутым ребрам дерева - графа Т В результате получили новый связный граф Т, в котором каждая “ветка” заканчивается “петлей” (Рис. 4).
Каждому пути т(1, ]) из множества Р такому, что |т(1,])| > 1 поставим в соответствие путь тху = т(1, х) * т(х, ], х) * т(х, 1). Если |т(1,})| = 1, ТО Ту = т(1, ], 1). Ясно, что каждый путь тху также связен, при этом а(ту) = ^(ту) = ах. Множество всех таких путей тху обозначим через Рт.
Рассмотрим отображение ф : Е —> 7 где Е - множество ребер графа ^ а 7 - множество слов из подгрупп вида С аь длины таЬ — 1 ■
Определим умножение на множестве Е ребер, следующим образом: пусть е5 и е8+1 ребра, принадлежащие графу Т такие, что ^(е5) = <х(е8+1), тогда можно рассматривать произведение ребер е8 и е5+1 как связный путь т(а(е8), ш(е8+1)). Поднимем отображение ф до произведения: пусть т(1, ]) = е^.^ связный путь, тогда ф(т(1,])) = ф(е1е2..е-) = ф(е1 )ф(е2)..ф(е-) = ъь.ъ^ъ-, где ф(е5) = Ъ8, б = 1,1 При этом ф(е-1) = ъ-1 и ф(е5е-1) = ф(1 е) = ф(е8)ф(е—1) = ъ$ъ—1 = Ъ0, где Ъ0 - пустое слово и ф(т(],1)) = ъ-1..ъ/; ф(ту) = ф(т(1,х)т(х,],х)т(х,1)) = ф(е1е2..е--1еХ)3е-:11..е-1е-1) = Ъ1Ъ2..Ъх-1Ъх3Ъ-:11..Ъ-1Ъ-^^ЛИ |т(1,])|>1; и ф(тху) = ф(т(1,], 1)) = ф(еху) = Ъу если |т(1,])| = 1. Таким образом, каждому пути Ту из множества Рт в группе Кокстера С будет соответствовать циклически сократимое слово вида Тт = ъЪ2..Ъt-1ЪxjЪt-11 ..ъ^ъ-1, где каждое поделово ъх
принадлежит подгруппе вида СаЬ ъху Е Сху и |ъх| = таЬ — 1, |ъху| = тху — 1,
1 = 1,Ь — 11 ^ х,] ^ п. Множество слов вида Тг обозначим через 7Т, г < оо.
Определение 6. Слоговой длиной слова Тт Е 7Т назовем, количество ребер соответствующего пути Ту, и обозначим, через ||Гт|.
В соответствии с этим определением, если путь Ту состоит из Ь ребер, то слоговая длина |Тг| = 1 С другой стороны каждому ребру пути Ту соответствует подслово из подгруппы вида С аЬ. Таким образом, слоговая длина слова Тт равна количеству его подслов из подгрупп вида Саь, длина каждого из которых равна таЬ — 1 ■ Например, если Тг = ^ъ^.ъ^ъ^ъ-11 ..ъ-1ъ-1, то ||Тт|| = 2 (Ь — 1) + 1. Лемма 3. Пусть Т1,Т2, ...,Тп Е 7Т, ||ГиГ2...Гп|| > ||Тх|| ,1 = 1,п, п ^ 2. Доказательство. Пусть п = 2.
Случай 1. ||Т || = 1 и ||Т2|| = 1 • Тогда слову Т соответствует путь Ту, а слову Т2 - путь Тхк, причем каждый из путей Ту и Тхк состоит из одного замыкающего ребра, <х(Ту) = а(тхк) = ах. Тогда слово Т имеет вид Т = а^а^.а^а^. Аналогично, слово Т2 = аках...акахак.
Рассмотрим произведение Z1Z2=ajaх...ajaхajakaх...akaхak. Слова Т1 и Т2И -несократимы, так как длина каждого из них не превосходит половины определяющего соотношения. Предположим, что сокращение возможно на стыке слов. Тогда, в представлении группы должно быть соотношение, содержащее образующие ау и ак, что не возможно, так как в этом случае в дереве - графе выделится петля. По этой же причине к слову Т1Т2 не применимо И- сокращение.
Случай 2. ЦТ1Ц > 1 и ЦТ2Ц > 1. Слову Т соответствует путь Ту, а слов у Т2 -путь Тхк. Если пути Ту и Тхк не имеют общих точек кроме вершины ах, то рассуждения аналогичны случаю 1, то есть произведение Т1Т2 И, И- несократимо. При ЭТОМ 11Т1Т2Ц = ЦТ11 + 11Т211 ■
Предположим теперь, ЧТО пути Ту И Тхк имеют общий подпуть т(1, Ь) = е1 ..ех, |т(1, Ь)| < 2 ш1п{|Тху|, |Тхк|}. Пусть Ту = е1 е2..ехех+1 ..ех-1 ех^е-^1 ..е-^1 е-1 .е-1 е-1 и Тхк = е1е2.ехёх+1..ё5-1ёукё--1..ё1+1е-1.е-1е-1. Тогда произведение ТуТхк после сокращения будет иметь вид:
ТхуТхк — е1е2.е1е1+1..е X—1 е хуе 1..ег+-1 ё1+1..ёэ—1 ёу к ё5 1 "ёХ+1еХ .е2 е1 '
Полученный путь является связным и несократимым.
ъТ1 ъТ2
Т1 ъ1 ъ2..ъ1ъ1+1 ..ъх— 1 ъхуъх^1..ъх^1 ъХ ..ъ2 ъ1
Т2 ъ1ъ2..ъ1ё,1+1 ..ё8— 1 ёхуё5^1..ё1^1ъ1 ..ъ2 ъ~|
Т1Т2 ъ1 ъ2..ъ1ъ1+1 ..ъх— 1 ъх }ъх—1 ”ъХ+1 ё1+1 "ё8—1 ё,хкё'5^1 "^Х+1 ъ1
Слова Т1 и Т2 И, И - несократимы, так как состоят из подслов, принадлежащих подгруппам вида Саь, длины которых меньше половины определяющих соотношений. После проведения свободных сокращений в слове Т1Т2 И и И-
сокращения могут быть только на стыке слов, но вследствие рассуждений аналогичных случаю 1 можно заключить, что полученное слово И, Я- несократимо. Таким образом, |Т1Т2| > ЦТ.Ц , 1 = 1,2.
Далее по индукции можно показать, что ||Т1Т2---ТП| > ||Тх||, 1 = 1,п, п ^ 2.
С
весной структурой; слово м Е С такое, ч,то |м| = 1, то есть м = ах, 1 = 1, п. Тогда централизатор элемента, м есть подгруппа вида
С(м) = (Т1,Т2,..,Т5,м ; Т2 = 1,м2 = 1,г = 1,б),
где Тт - циклически сократимое слово вида, Тт = ^ъ^.ъ^^ъ—^.ъ^ъ-1, г<9е ъх Е Саь? подсло во ъ0 соответствует замыкающем у ребру и |ъх |=таЬ — 1, 1=0, Ь — 1.
Доказательство. Множество Рт состоит из путей тху = т(1,х) * т(х,], х) * т(х, 1) а(тху) = ^(т-у) = ах. Так так путь т(1, х) состоит из ребер, каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера, то по теореме 6 образующий ах сопряжен с образу ющим ах. Пут и т(х, ], х) соответствует замыкающее ребро, значит образующий ах переходит в себя. Путь т(х, 1) = т-1(1, х), следовательно, ах ах
ющее пути Тху переводит образующий ах в себя. Следовательно, слова вида Тт, г = 1, б принадлежат централизатору элемента ах.
Покажем теперь, что произвольное слово, принадлежащее централизатору
ът
Пусть м = ах, ъ Е С(м), то есть выполнено равенство ъахъ-1 = ах. Тогда существует связная приведенная кольцевая диаграмма М сопряженности слов, состоящая из Б — 1 областей такая, что |М| = б, ср(6) = ср(у) = ах, оде 6 и уМ
Рис. 5. Б — 1 область
Введем обозначения: 6 = 61, 62,.., 65 - внутренние границы областей Эт,.., соответственно, а у1 ,..,у5 = У - внешние контуры этих областей. Каждой об-МС Рассмотрим некоторую область Эт (Рис. 5) диаграммы М. Пусть ср(6т) = ах и
ф(ут) = ау Тогда метка пути АВ есть слово ъ-, г = 1,б (г - верхний индекс) из подгруппы Сахау длины тху — 1. Таким образом, слово ъ есть произведение б т
слов вида ъ-.
Заметим, что диаграмма М должна содержать хотя бы одну область такую, что ф(6к) = ф(ук), то есть область, которой соответствует ребро ек с четным числом Кокстера, так как в противном случае в дереве - графе выделится П6ТЛЯ.
Отображение ф : 7 —> Е ставит в соответствие слову ъ путь р = е^..^, где е1, е2, ..., е5 - ребра дерева - графа соответствующие словам вида ъ-, г = 1,б. При этом а(р) = а(е1) = ш(р) = ш(е8) = а!.. Из вышесказанного, следует, что среди ребер е1, е2, ...,е8 есть хотя бы одно ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Если длина пути |р| = 1, то, очевидно, что слово ъ имеет требуемый вид. Пусть |р| = б и пусть ех - ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Тогда преобразуем путь р следующим образом: р = е1е2..ех(е—11 ..е—1 е1 е2..ех—1 )ех+1 ...е5, где е—^.е—1 - кратчайший путь до вершины, соответствующей образующему ах, не содержащий взаимно обратных ребер.
р0
вид: ро = (е1е2..ехе—11 е—12..е—1 )(е1 е2..ех—1 ех+1 ..е^е——1 ..е—1 )е1 ..е^—1 ..е8. При этом, ф(е1е2..ехе—11 е—^.е—1) = Ть ъТ1
р1 = (е1е2..ех-1ех+1..ене-—1..е-1 )е1 ..ен—1 ..е^. Ясно, что |р1| < |р|. Следовательно,
ъ
ът
Таким образом, теорема 12 доказана.
Пусть слово м Е С, |м|=1 и С(м)=( Т1,Т2, ..,Т5,м ;Т:=1,М2=1,г=1, б) - централизатор слова м Обозначим через СДм) подгруппу полученную из С(м) вычеркиванием из множества порождающих слов элемента м. Полученная подгруппа будет иметь следующее копредставление: С—(м) = (ъ1, ъ2,.., ъ5; ъ^ = 1,г= 1,б).
С
структурой; слово м Е С такое, ч,то |м| = 1, С(м) - централизатор элемента т. Тогда группа Cw(м) является свободным, произведением циклических групп порядка два и С(м) = (м|м2) х СДм).
Доказательство. Рассмотрим некоторое слово м Е С такое, что |м| = 1. С(м) - централизатор эле мента м. По теореме 12 централизатор слова единичной длины имеет представление С(м) = (Т , Г2,.., Те, м;£: = 1,м2 = 1,г = 1, б), где Тт - циклически сократимое слово вида Т = ъ1ъ2..ъt-1ъ0ъ_11 ..ъ—1ъ—1, ъх Е СаЬ, подслово ъ0 соответствует замыкающему ребру и |ъх| = таЬ — 11 = 0, Ь — 1.
И рассмотрим группу СДм). Из доказательства леммы 3 следует, что все слова, принадлежащие данной группе И и И - несократимы.
Группа СДм) имеет копредставление СДм) = (Г1, Г2, --, Тв; Т2 = 1,г = 1,б). Так как все порождающие группы СДм) не связаны друг с другом определяющими соотношениями, то группу СДм) можно представить как свободное про-
изведение циклических групп порядка два, а именно С—(м)=П * (Гт; £: = 1 ).
т=1
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.
[2] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблемы равенства и сопряженности в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005 г. Том 6. Вып. 2. С. 81-90.
[3] Безверхний В. Н., Инченко О. В. О кручении в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005 г. Том 6. Вып. 1. С. 5-12.
[4] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005 г. Том 6. Вып 2. С. 75-80.
[5] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема степенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 11. 2005 г. С. 63-76.
[6] Безверхний В. Н., Инченко О. В. Разрешимость проблемы вхождения в параболические подгруппы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. 2006. С. 47-58.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.
Получено 5.09.2008.
