CC BY
19
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 17 Выпуск 4
УДК 519.4
Б01 10.22405/2226-8383-2016-17-4-23-50
ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ В ГРУППАХ
Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном, являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.
Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова, доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп. В связи с этим основные алгоритмические проблемы и их различные обобщения изучаются в определенных классах групп.
Группы Кокстера введены X. С. М. Кокстером: всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. X. Кокстер перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера, а всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку.
В алгебраическом аспекте группы Кокстера изучаются с работ Ж. Титса, которым решена проблема равенства слов в произвольных группах Кокстера.
В данной статье рассматриваются известные результаты, полученные в решении алгоритмических проблем в группах Кокстера, основной же целью работы является анализ результатов по решению алгоритмических проблем в группах Кокстера, полученных членами Тульской алгебраической школы "Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп" под руководством В. Н. Безверхнего. Дан обзор утверждений и теорем, доказанных авторами статьи для различных классов групп Кокстера: групп Кокстера большого и экстрабольшого типов, групп Кокстера с древесной структурой, групп Кокстера с п-угольной структурой.
Приводятся основные подходы и методы доказательства, среди которых метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним, в части, введения Д-сокращений, специальных Д-сокращенпй, специальных кольцевых сокращений, а также метод графов, метод типов, введенный В. Н. Безверхним, метод специального множества слов, разработанный В. Н. Безверхним на основе обобщения метода Нильсена на свободные конструкции групп.
Рассмотренные в статье классы групп включают все группы Кокстера, которые либо принадлежат данным классам групп, либо могут быть представлены как обобщенные древесные структуры групп Кокстера, образованные из групп Кокстера с древесной структурой заменой некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Кокстера большого или экстрабольшого типов, а также группами Кокстера с п-угольпой структурой.
Ключевые слова: группа Кокстера, алгоритмические проблемы, диаграммы.
Библиография: 30 названий.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15-
41-03222 р^центр^а).
ON ALGORITHMIC PROBLEMS IN COXETER GROUPS
V, N, Bezverkhnii (Moscow), N, B, Bezverkhnvava (Moscow), I, V, Dobrvnina (Tula),
О, V, Inehenko (Tula), A, E, Ustvan (Tula)
Abstract
The main algorithmic problems of group theory posed by M. Dehn are the problem of words, the problem of the conjugation of words for finitely presented groups, and the group's isomorphism problem.
Among the works related to the study of the M. Dehn's problems, the most outstanding ones are the work of P. S. Novikov who proved the undecidability of the problem of words and the conjugacy problem for finitely presented groups as well as the undecidability of the problem of isomorphism of groups. In this regard, the main algorithmic problems and their various generalizations are studied in certain classes of groups.
Coxeter groups were introduced by H. S. M. Coxeter: every reflection group is a Coxeter group if its generating elements are reflections with respect to hyperplanes limiting its fundamental polyhedron. H. S. M. Coxeter listed all the reflection groups in three-dimensional Euclidean space and proved that they are all Coxeter groups and every finite Coxeter group is isomorphic to some reflection group in the three-dimensional Euclidean space which elements have a common fixed point.
In an algebraic aspect Coxeter groups are studied starting with works by J. Tits who solved the problem of words in certain Coxeter groups.
The article describes the known results obtained in solving algorithmic problems in Coxeter groups; the main purpose of the paper is to analyze of the results of solving algorithmic problems in Coxeter groups that were obtained by members of the Tula algebraic school 'Algorithmic problems of theory of the groups and semigroups ' under the supervision of V. N. Bezverkhnii.
It reviews assertions and theorems proved by the authors of the article for the various classes of Coxeter groups: Coxeter groups of large and extra-large types, Coxeter groups with a tree-structure, and Coxeter groups with n-angled structure.
The basic approaches and methods of evidence among which the method of diagrams worked out by van Kampen, reopened by R. Lindon and refined by V. N. Bezverkhnii concerning the introduction of R-cancellations, special R-cancellations, special ring cancellations as well as method of graphs, method of types worked out by V. N. Bezverkhnii, method of special set of words designed by V. N. Bezverkhnii on the basis of the generalization of Nielsen method for free construction of groups.
Classes of group considered in the article include all Coxeter groups which may be represented as generalized tree structures of Coxeter groups formed from Coxeter groups with tree structure with replacing some vertices of the corresponding tree-graph by Coxeter groups of large or extra-large types as well as Coxeter groups with n-angled structure.
Keywords: Coxeter group, algorithmic problems, diagrams.
Bibliography: 30 titles.
1. Введение 1
Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном, являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.
Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из активно развивающихся направлений современной математики — комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг и статей, посвященных данной теме, достаточно назвать монографии В. Магнуса, А. Карраса и Д. Солитера, а также Р. Линдона и П. Шуппа.
Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова, доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп.
С. И. Адяном определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством Из этого результата следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Сюда относятся, в частности, такие проблемы, как распознавание нильпотентности, конечности, простоты, свободы или единичности группы, включая и основные проблемы комбинаторной теории групп.
Обобщением проблемы сопряженности слов являются проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов.
Впервые проблема сопряженности подгрупп рассматривалась В. И. Ремесленниковым, доказавшим ее положительное решение в классе конечно порожденных нильпотентных групп.
Будем говорить, что в группе С разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов {м^^у^, {"^гиз О установить, существует ли такое г € С, что =
Существование такого алгоритма для некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма р € Аи№ определить, является ли он внутренним. С описанием множества решений данной системы связана проблема построения централизатора конечно порожденной подгруппы. Проблемы сопряженности подгрупп и обобщенной сопряженности слов для различных групп рассматривались в работах М. Д. Гриндлингера, В. И. Безверхнего и других.
К центральной теме комбинаторной теории групп относится также изучение различных свойств подгрупп данных групп.
Группа С, задним системой образующих щ, г € и системой определяющих соотношений (а^а^)= 1, 1,2 € т^- - элемент симметрической матрицы Кокстера (т^-), г,] € соответствующей данной группе, то есть матрицы, в которой тц = 1, т^ = mji ^ 2 для г = ^ называется группой Кокстера. Из этого определения получаем а2 = 1 для всех г € 3. В дальнейшем будем полагать .] = {1,п}.
Группы Кокстера введены X. С. М. Кокстером [1]: всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. X. Кокстер перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера, а всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку.
В алгебраическом аспекте группы Кокстера изучаются с работ Ж. Титса [2], которым решена проблема равенства слов в произвольных группах Кокстера.
П. Шуппом [3] показана неразрешимость проблемы вхождения в группах Кокстера.
К. Аппелем и П. Шуппом [4] определены классы групп Кокстера и Артина большого и экстрабольшого типов и в группах экстрабольшого типа решены проблемы равенства и сопряженности слов.
В группах Артина большого типа независимо К. Аппелем и В. И. Безверхним [5] доказана разрешимость проблем равенства и сопряженности слов.
Так как группы Кокстера экстрабольшого типа являются гиперболическими, то из результатов И. Г. Лысенка следует разрешимость в них проблем вхождения в циклическую
подгруппу и извлечения корня.
Для групп Кокстера экстрабольшого типа с т^ > 3к + 1 И. Каповичем и П. Шуппом [6] доказано, что всякая fc-порожденная подгруппа без кручения является свободной.
В данной статье рассматриваются результаты по решению алгоритмических проблем в группах Кокстера, полученные членами Тульской алгебраической школы "Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп" под руководством В. Н. Безверхнего.
2. Группы Кокстера большого типа
Пусть G — группа Кокстера с копредставлением G =< ai,..., ап; (aiaj)mij = 1, г, j = 1,п >, где mij — элементы симметрической матрицы Кокстера: Vi,j G 1,птц = 1, mij > 2, i = j.
Если mij > 3 i = j, то G называется группой Кокстера большого типа.
Если mij > 3 i = j, то G называется группой Кокстера экстрабольшого типа.
Как замечено выше, группы Кокстера экстрабольшого типа являются гиперболическими.
Покажем, что в общем случае группы Кокстера большого типа не являются гиперболическими группами. Рассмотрим группу G =< a,b,c; aba = bab, аса = cac, bcb = cbc, a2 = 1, b2 = 1, c2 = 1 >. Данная группа содержит свободную абелеву подгруппу < (abc)2, (bac)2; (abc)2(bac)2 = (bac)2(abc)2 >, a потому не может быть гиперболической.
Будем рассматривать проблему сопряженности слов, следуя работе [7].
Для решения данной проблемы описываются диаграммы над группой Кокстера большого типа G, заданной системой образующих ai,...,an и системой определяющих соотношений а2 = 1 для всех г G 1,п, (aiüj)mij = 1, i,j G 1,n, mij - элемент матрицы Кокстера (mij), i,j G 1, n, соответствующей данной группе, причем mij ^ 3 для i = j.
п
Пусть F = Л *(Fi =< ai; а2 >) — свободное произведение циклических групп порядка 2,
i=i
R = U Rij — симметризованное подмножество свободного произведения F, R¿j — множе-i,jeJ
ство всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободном произвдении Fij = Fi * Fj и равных 1 в двупорожденной группе Кокстера большого типа Gij.
Пусть w — нетривиальное циклически приведенное в F слово, равное единице в группе Кокстера большого типа G, то есть w G< R >F, где < R >F — нормальное замыкание симметризованного множества R в свободном произведении F. Тогда из теоремы Ван-Кампена следует, что существует связная односвязная диаграмма M группы Кокстера с граничной меткой w, областями которой являются fíi./-диаграммы.
Подвергнем Л-диаграмму M следующему преобразованию. Если две области Di, D2 являются одновременно диаграммами, пересекаются по ребру, то, стирая это ребро, объединим Di, D2 в одну область D. При этом возможно, что метка границы полученой области равна единице в свободном произведении F. Тогда, удалив эту область, склеиваем её границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную в F связную односвязную Д-диаграмму М, инвариантную относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной w, причем если две области D" из M пересекаются по ребру, то длина метки этого ребра равна единице, и получаем, что каждая приведенная связная односвязная Д-диаграмма M группы Кокстера большого типа удовлетворяет условию С(6).
Обозначим через дМ граничный цикл М.
Область D С M назовем граничной, если dMf^\dD = 0. Символ ом i(D) будем обозначать число внутренних ребер в граничном цикле ^символом d(D) — число всех ребер в граничном цикле D.
Будем говорить, что dD Р| дМ есть последовательная часть M, если dD Р| дМ — объединение последовательности li,¡2,... ,ln замкнутых ребер, где li,...,ln встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для D и в некотором граничном цикле для M.
Граничную область D R-диаграммы M назовем простой, если dD Р| dM есть последовательная часть M.
D М
i(D) < 3.
Далее используем понятия и преобразования диаграмм, введенные В. И. Безверхним.
Определение 2. Пусть M ^ приведенная связная, односвязная, R-диаграмма группы Кокстера большого типа. Тогда, последовательность областей D1, D2,..., Dn, п ^ 2, образует полосу в M, если:
1) У г, 1 ^ г ^ п, dDiÇ] дМ ^ последовательная часть M ;
2) Уг, 1 ^ г < п, границы, областей Di и Di+1 пересекаются по ребру;
3) i(D\) = i(Dn) = 3 и У j,1 <j< п, i(Dj) = 4.
M
не содержащая деновской области, то она содержит по крайней мере три непересекающиеся полосы.
Определение 3. Область D с граничным циклом, dD = е'уе-1ô, расположенная по обе стороны относительно ребра е, в которой склеенные ребра eue-1 пересекают, граничный цикл D, называется (s — г)-областью.
M M
типа, содержащая (s — г)-области, тогда ) и ip(ô) содержат, одну букву.
M
M R
Определение 5. Пусть П — полоса диаграммы M, dM = 7U(dnf|dM), а
71 =дП \ (дП f]dM).
Замену диаграммы, M на, диаграмму Mполученную из M удалением полосы П; в результате чего граничный цикл M преобразуется в граничный, цикл dM1 = 771, назовем специальным, R-сокщщением или R-сокщщением. Если M не содержит полос, то назовем M специально R - приведенной, или R-приведенной.
Определение 6. Слово w g G, G - группа Кокет,ера, большого типа, назовем R-приводимым, если w приведено в F и содержит, подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения г g R, г = sb, где \b\ ^ 2.
w R
R
R w G
циально R-приводимым или R-приводимым, если в нем можно выделить подслово s1s2 ■ ■ ■ sn, где каждое st содержится в некоторой группе Gij и является подсловом соотношения s-1d-1 btdt+1 g R, причем при t = 1 и t = п \d1\ = \ b1\ = \d2\ = \dn \ = \ bn \ = = \dn+i\ = 1 и для, t, 1 <t< п, \dt\ = \dt+1\ = 1 \ bt\ = 2.
Лемма 3. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически, приведенного w w R
Лемма 4. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически R-приведенного слова w из группы Кокстера большого типа выяснить, является ли w специально R-приведенным.
Аналогично рассматриваются кольцевые диаграммы над группами Кокстера большого типа.
Рассмотрим кольцевые диаграммы над группами Кокстера большого типа, не содержащие (s — г)-областей и, следовательно, удовлетворяющие условию С(6).
Определение 8. Кольцевую связную приведенную однослойную R-диаграмму М с граничными циклам,и а, т группы Кокстера большого типа, метки которой <р(а), <р(т) приведены в F, <р(а) — R-приведено и специально R-приведено, назовем особо специальной R-диаграммой, если в М существует о дна облает ь D такая, ч то \(p(dD \ (9^Р|а))| = 3, а для остальных областей D' \ip(dD' \ (dD' Р| а))\ = 4 Слово ф(т) является циклически R-приведенным и циклически специально R-приведенным. Замену слова (р(а) словом ф(т) назовем, специальным, кольцевым, R-сокращением.
Лемма 5. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически R-приведенного, циклически специально R-приведенного слова w из группы Кокстера большого типа установить, применимо ли к нему специальное кольцевое R-сокращение.
Определение 9. Будем говорить, что циклически несократимое слово w группы Кокстера большого типа обладает, свойством s, если w циклически R-несократимо, циклически специально R-несокщтимо и к нему неприменимо специальное кольцевое R-сокращение.
Кольцевую связную приведенную Д-диаграмму М с граничными циклами а, т назовем простой, если \М\ ^ 1и = 0; М назовем вырожденной, если \М\ = О, где \М\ — число
областей диаграммы М.
Определение 10. Кольцевая связная приведенная, R-dua,zpa,M,M,a, М с граничным,и циклами а, т называется п-слойной, п ^ 1, если после последовательного удаления граничных слоев получим, вырожденную кольцевую R-диаграмму и называется С — п-слойной, если в результате удаления указанных выше граничных слоев получим, простую кольцевую R-диаграмму.
Далее рассматриваются кольцевые связные приведенные Д-диаграммы М сопряженности слов групп Кокстера большого типа с граничными циклами а, т, v которых не каждая граничная область является простой. При этом кольцевая Д-диаграмма М может быть одного из следующих видов:
= 0 каждая область D £ М граничная, dD{~\dM — несвязное множество,
i(D) = 2.
2°. а П г = 0
= 0 существует обл асть D, i(D) > 2, dDf^dM — несвязное множество.
Следующие преобразования укорачивают длину циклического слова w: ) циклическое сокращение w в свободном произведении F-,
ж2) циклическое Д-сокращение в G;
жз) циклическое специальное Д-сокращение в G; ) кольцевое специальное Д-сокращение в G;
Ж5) переход от w к сопряженному слову и, \и\ < \w\, с помощью кольцевой диаграммы вида
1°
же) то же, что ^5), но с помощью кольцевой диаграммы вида 2°;
ж7) то же, что ^5), но с помощью кольцевой диаграммы вида 3°.
Слово w, полученное из v применением к нему преобразований ж\) — nj) в G, назовем тупиковым для v, если оно инвариантно относительно этих преобразований.
Лемма 6. Для любого слова v Е G можно эффективно построить соответствующее ему тупиковое слово w.
Лемма 7. Пусть v Е G, G — группа Кокстера большого типа, v обладает, свойством s и w — тупиковое для, v слово. Тогда никакое слово и Е G, |w| < | wl, не сопряжено с v.
Лемма 8. Пусть М ^ связная приведенная минимальная R - диаграмм,а, группы Кокс-тера большого типа с граничными циклам,и о, т; ((о), (р(т) удовлетворяют условию s. Тогда, если ((о) = х, то ((т) = у, где х,у Е {а\,..., ап], {a,i}i=Tii ~ множество образующих группы G. '
Кольцевую связную приведенную R-диаграмму М сопряженности слов ((о), ((т) Е G, где о, т соответственно внешний и внутренний граничный циклы М, назовем минимальной, если не существует кольцевой R-диаграммы Мо с теми же граничными метками ((о), ф(т), имеющей меньшее число областей.
М R
пы G Кокет,ера, большого типа с граничным,и циклам,и о, т. Пусть (р(о), (р(т) являются тупиковыми. Если М — п-слойная, л,ибо С — п-слойная диаграмма с п > 1, то для любой области D С М выполняется d(D) = 6.
G
зующих А, определяемая матрицей Кокет,ера, Ма- Тогда подгруппа Gj, порожденная множеством Aj С А, есть группа Кокстера большого типа, определяемая матрицей Кокстера М^, полученной из Ма удалением, cm,рок и столбцов, именованных образующими из А \ Aj. Данная, подгруппа Gj является параболической.
М R
С(6^ ^ циклам,и о,т группы Кокстера большого типа G. Пусть ф(о), <^>(т) обла-
дают свойством s, (р(о) — слово из параболической подгруппы, Gj на, образующих Aj, Aj С А, А — множество образующих G, (р(о) не является образующим из Aj. Тогда (р(т) Е Gj и слова (р(о) и (р(т) сопряжены, в Gj.
и Е G G А
образующих G, и, v обладают, свойством s и существует z Е G такое, что z-luz = v. Тогда, если слово и есть слово из параболической подгруппы, Gj на, образующих Aj, Aj С А, и не является образующим из Aj, то v Е Gj и существу em z' Е Gj, z' = z в G, такое, что
-1
'- и ' =
Следствие 2. Пусть G — группа Кокет,ера, большого типа на образующих A Gj — параболическая подгруппа G на, множестве образующих Aj С А, слово и обладает, свойством s, и Е Gj и не является образующим из Aj, тогда Ng(u) = Ncj(и).
М R
G о ( ( о) ( ( )
М ( — ) М ( — )
Лемма 12. Пусть G — группа Кокстера большого типа с множеством образующих А. оЕ G о=1 G о R R
из параболической, подгруппы, Gj с образующими Aj, Aj С А, то v0 — слово на, образующих
Aj-
Теорема 1. В группе Кокстера большого типа разрешима проблема вхождения в параболическую подгруппу.
Определение 12. Будем говорить, что в группе С разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов из С устано-
вить, существует ли такой элемент, Ъ € О, что =
Теорема 2. В группе Кокет,ера, большого типа разрешима проблема, сопряженности слов.
Далее рассмотрим проблему обобщенной сопряженности слов, решение которой описано в работе [8].
Определение 13. В группе С разрешима проблема, обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов {Уг}из С установить, существует ли такое г € О, что &гП=1(г-1адгг = уг).
Теорема 3. Централизатор конечно порожденной подгруппы, Н группы Кокстера большого типа С есть конечно порожденная подгруппа и существует алгоритм, выписывающий, образующие централизатора.
Централизатор элемента в группах Кокстера большого типа, в общем случае, не является циклической подгруппой.
Теорема 4. В группе Кокет,ера, большого типа разрешима, проблема, обобщенной сопряженности слов.
Теорема 5. Пусть С — группа Кокстера большого типа и {уг}— слова
из С. Если Р — какое-то решение системы &гП=1(г-1адгг = уг), то множество слов С с(Н) ■ Р, где С с{Н) — централизатор подгруппы, Н, порожденной ело вам,и является мно-
жеством всех решений системы.
Теорема 6. Существует алгоритм, позволяющий для любого конечного множества слов из группы Кокстера большого типа С выписать образующие их нормализатора.
В следующей теореме описываются элементы конечного порядка в группах Кокстера большого типа.
Теорема 7. [9] Слово ад группы, Кокет,ера, большого типа С имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда оно сопряжено с некоторым словом
ад' € СаЬ =< а, Ь; (аЬ)таЬ ,а2, Ь2 > .
Рассмотрим алгоритмическую разрешимость проблем вхождения в циклическую подгруппу и извлечения корня в группах Кокстера большого типа, следуя [10].
Теорема 8. Пусть слово ад € С имеет бесконечный порядок. Тогда, любая степень слова, сопряженного ад или ад2 в группе С, циклически Я и специально Я-несократима.
Пусть в группе Кокстера большого типа О адп = V. Тогда (ад2)п = V2. Заменим ад2 на сопряженное с ним циклически Д-несократимое и специально Д-несократимое слово адо- Получим ад' = г-1у2г. Заменим г-1у2г равным ту в группе О Д-несократимым и специально Д-несократимым словом ьо • Тогда существует приведенная связная односвязная Д-диаграмма М такая, что <р(дМ) = <р(^)<р(5) = ад'у-1, где 6 гомеоморфны отрезку.
Связная односвязная диаграмма М называется диском, если ее граничный цикл дМ — простая замкнутая кривая.
Будем считать, что М — диск, дМ = 7 и = ад' и = у0> 7 ^ ^ = {А В} — две
вершины.
Теорема 9. Пусть М приведенная диагщмма, являющаяся диском, дМ = j U 5, где <p(j) и ip(§) — R-несократимые и специально R-несократимые слова, j Пй = {А, В}. Тогда, число областей, граничащих с j и 5, одинаково.
Пусть М — связная односвязная приведенная диаграмма, дМ = j U ó, пусть ^(j) = Wq, <p(ó) = г>о и го — самое длинное слово из R. Тогда п < 41 v01|Го|.
Определение 14. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема корня, если существует алгоритм, позволяющий для любого слова w € G установить, существуют ли п € N и х € G такие, что хп = w.
G
Кроме того, в [11] изучается проблема слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа.
G
ной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых слов w,v € G т,а,ких, что w €< v >, уст,а,повит,ь, существует, ли целое число п такое, что слова wn,v G
G
сопряженности слов.
3. Группы Кокстера экстрабольшого типа
В этом разделе проанализируем работы [12]- [13].
Перейдем к рассмотрению диаграмм над группами Кокстера экстрабольшого типа, которые строятся так же, как и диаграммы над группами Кокстера большого типа. Каждая
R М
удовлетворяет условию С (8).
Определение 16. Простая область D диаграммы М называется деновской, если i(D) < d(D)/2.
Определение 17. Пусть М1 ^ приведенная связная, односвязная поддиаграмма, R -диаграммы М группы Кокет,ера, экстрабольшого типа с границей дМ\ = eije2ó, где ei — ребро AB,j - путь ВС, е2 — ребро CD, 5 — путь DA. Тогда, последовательность областей Di, D2,..., Dn из М1 (еi € Di, е2 € Dn),n ^ 2, образует, полосу в М, если:
1) У г, 1 ^ г ^ п, dD¿ Р| j, dD^f^S - последовательная часть М1;
2) Уг, 1 ^ г < п, границы, областей Di и D+ пересекаются по ребру;
3) IdDi П j | = |dDi Пб\ + 2, ldDn nj| = ldDn П5| +2 и IdDj nj| = IdDj П5|, 2 <п.
Определение 18. Слово w € G, G - группа Кокет,ера, .экстрабольшого типа, назовем R-приводимым, если w приведено в F и содержит, подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения г € R, г = sb, где Щ < |s|.
Определение 19. R-приведенное слово w группы Кокстера экстрабольшого типа G назовем специально R-приводимым или R-приводимым, если в нем, можно выделить подслово sis2 • • ■
sn, где каждое St содержится в некоторой группе Gij и является подсловом соотношения s-id-i btdt+i € R, причем при t = 1 ut = п ^^ = |d¿+i| = 1, | s¿| = | b^ + 2 и для, t, 1 <t <п, ш = |dí+i| = 1, |b^ = |Stl
Лемма 13. Пусть М приведенная связная односвязная R - диаграмма, над группой Кокстера экстра большого типа; а — граничный, цикл М, слово (р(а) цикличес ки R и R-несократимо. Тогда, М является однослойной.
Лемма 14. Пусть М — приведенная, связная кольцевая диаграмма, сопряженности слов (р(а), <р(т) £ G над группой Кокстера экст,ра,большого типа, не содержащая (s — г)-областей; а^ Т _ соответственно внешний и внутренний граничный, циклы, М, слова, <р(а), <р(т) циклически R и R-несокщтимы. Тогда, М является однослойной.
Определение 20. Будем говорить, что в группе G разрешима, проблема, степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых слов w,v £ G установить, существуют ли ненулевые целые числа, п,т такие, что слова wn,vm сопряжены в группе G.
Теорема 11. Б группе Кокстера .экстрабольшого типа разрешима, проблема, степенной сопряженности слов.
Определение 21. Будем говорить, что в группе G разрешима, проблема, пересечения циклических подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых слов w,v £ G установить, пусто или нет, пересечение циклических подгрупп, порожденных в G данным,и словам,и.
Теорема 12. В группе Кокстера .экстрабольшого типа разрешима, проблема, пересечения циклических подгрупп. Существует алгоритм, выписывающий, образующие данного пересечения.
Теорема 13. Если Е и С — элементы бесконечного порядка, группы Кокстера экстрабольшого типа G, не являющиеся степенями одного и того же слова, то существует натуральное число j такое, для, Е1 и С не выполняется нетривиальное тождество.
4. Группы Кокстера с древесной структурой
Конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением
G = (а\, ...On", (гм)2, ((Hdj)mij,i,j = 1,п)
имеет древесную структуру, если граф Г группы G - дерево. В графе Т конечно порожденной группы Кокстера всегда можно выделить максимальный дерево-граф Т, который соответствует группе, имеющей древесную структуру, для которой группа Кокстера с графом Т является гомоморфным образом. Поэтому естественно рассматривать решение основных алгоритмических проблем для групп этого класса.
Построение и преобразования диаграмм над группами Кокстера с древесной структурой, происходит также как и для групп Кокстера большого типа.
Диаграмму, полученную в результате преобразований, назовем приведенной. Областями диаграммы являются угольники с граничными метками из Ri j.
Определение 22. Точку, разделяющую ребра области с разным,и, метками и имеющую в диаграмме степень не менее 3 назовем особой.
Определение 23. Область D назовем деновской, если i(D) < 2d(D), где i(D) — число внутренних ребер, d(D) — число ребер в граничном цикле для D.
Понятие (в — г)-области определяется также как и для групп Кокстера большого типа.
Лемма 15. Пусть связная односвязная приведенная диаграмма, М над Я не содержит, (в — г)-областей, тогда особая точка не может быть внутренней точкой диаграммы, М.
Следствие 4. Связная, односвязная диаграмма, М является однослойной.
Далее рассмотрим кольцевые диаграммы сопряженности слов. Из леммы 15 получаем следствие.
Следствие 5. Связная, кольцевая приведенная, диаграмма, М, не содержащая (в—г) -областей, над группой С является однослойной.
Лемма 16. Если связная кольцевая диаграмма, М над группой С с граничным,и циклам,и а и где ф(а) и ф(@) циклически и Я несократимые слова, тогда если М содержит хотя бы одну (в — г)-область, то все области данной диаграммы будут являться (в — г)-областями.
Лемма 17. Пусть С — группа Кокет,ера, с древесной структурой и пусть ад — циклически Я приведенное слово в О, |ад| > 1, сопряженное в С с некоторым элементом V € Тогда, ад € и сопряжено с V в подгруппе С^.
Лемма 18. Пусть слова V и ад сопряжены в группе О. Тогда, если |ад| = 1 и V циклически и Я несократим,о в О, то = 1.
Теорема 14. Пусть С — группа Кокстера с древесной структурой. Слова V и ад, длина, каждого из которых равна единице в группе Кокстера О, сопряжены тогда и только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева,-графа, Г; которая соединяет, вершины соответствующие данным, образующим группы, и, каждом,у из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокет,ера,.
Из структуры кольцевых диаграмм следует
Теорема 15. В группе Кокет,ера, с древесной структурой разрешима, проблема, сопряженности слов.
Определение 24. Поддиаграмма П = и '=1 Ог образует поло су в Я-приведенной, диаграмме М с граничным циклом, дМ = где 7 есть путь АВ, 5 — АА1В1В, если
1. Уг, г = 1,п — 1 дОг[] дБг+1 = е , где е - ребро ;
2. У г, г = 1,п 7 = , где — связный путь, причем 1^1 ^ 1
3. |9АП 71 = 1дВ1\(сЮ1 П7)| « 71 = 1дОп\(дОпГ\ 1)1;
4. У], 3 =2^=1 № п71 + 2 = \(сЮ3 Пт)|-
Пусть связная односвязная диаграмма М над Я содержит полосу П. Удаление из диаграммы М пути дПР| 7 назовем Д-сокращением.
Определение 25. Слово и называется Д и Д - несократимым, если любая его циклическая, перестановка и* не содержит, К и К -сокращения.
Лемма 19. Пусть М связная односвязная диаграмма, над К и дМ = И пусть
), (р(5) — не являются Я-сократимыми словам,и. Тогда, существует алгоритм, позволяющий определить, является ли одно из этих слов Я-сократимым.
Лемма 20. Пусть ад — циклически Я и Я -несократимое слово в группе Кокет,ера, С;
Q
адп = 1 тогда и только тогда, когда ад € .
Таким образом, все элементы конечного порядка группы С принадлежат подгруппам вида С^ = (аг, а^; а2, а?, К^ , где Кц — все циклически несократимые слова равные единице в С^.
Переход с помощью сопряжения от слова большей длины к слову меньшей длины назовем кольцевым сокращением.
Определение 26. Циклически К и К - несократимое слово — назовем тупиковым,, если к нему не применимо кольцевое сокращение.
Лемма 21. Пусть — и V тупиковые слова из группы С и пусть ад и V сопряжены в С. Тогда, |ад| = 1у1 и никакое слово и € С такое, ч,то 1и1 < 1—1 не сопряжено с V.
Проблема вхождения в параболическую подгруппу является частным случаем проблемы вхождения, то есть существования алгоритма, позволяющего для данной конечно определенной группы С и данной в ней конечной системы элементов А решить, принадлежит ли произвольно выбранный элемент группы С к подгруппе, порожденной множеством А. Используя метод диаграмм, получена
С
разующих А |А| < И пусть ад € С, ад — К и К- несократимое слово не равное единице в С. Слово ад равно некоторому слову V € Сгде С^ — параболическая подгруппа группы С с множеством образующих А^ А^ С А. Тогда, ад — слово на, образующих А^
С
ющих А |А| < И пусть ад € С, ад — циклически несократимое тупиковое слово не равное единице в С. Слово ад сопряжено некоторому слову V € Су Тогда, г — слова на, образующих
А3
В работе [14] дано описание структуры централизатора элементов конечного порядка группы Кокстера с древесной структурой:
Лемма 24. Пусть С — группа Кокет,ера, с древесной структурой, ад циклически К-несократимое слово в С, ад € С|ад| > 1, где С^ = {аг,а^;а2,а2, (аа^)т^), т^ = 2. Тогда, централизатор элемента, ад есть группа С^ .
Лемма 25. Пусть С — группа Кокет,ера, с древесной структурой, ад циклически И-несократимое слово в С, ад € С|ад| > 1; где С^ = {аг,а^;а2,а2, (а^а^)т^), т^ > 2. Тогда, централизатор элемент,а, ад есть циклическая, группа конечного порядка, порожденная элементом длины, два.
Определение 27. Ребро е^ дерева,-графа, Г назовем замыкающим ребром, пути, если ему соответствует четное число Кокстера.
Теорема 16. Пусть С — группа Кокет,ера, с древесной структурой, слово ад такое, что |ад| = 1. Тогда централизатор элемент,а, ад есть подгруппа вида,
С(-) = {г1, ¿2,.., 3; хг2,-2,г = 1, з),
где гг ^ циклически сократимое слово вида хг = г1г2..г-1 г-1, подслова XI принадлежат подгруппам, вида С^. Подсло во г0 соответствует замыкающем у ребру и | = т^ — 1,
1 = 0, г — 1.
Обозначим через Ст (-) подгруппу, полученную из С(-) вычеркиванием из множества порождающих слов элемента ад.
Лемма 26. Пусть С — группа Кокстера с древесной структурой, слово ад такое, что |ад| = 1. С (ад) — централизатор элемент,а, ад. Тогда группа Сш (ад) является свободным произведением циклических групп порядка, два, и С (ад) = {ад,ад2} х Сш (ад).
Теорема 17. Цент,ра,лизат,ор конечно порожденной подгруппы, Н группы Кокстера с древесной, структурой С есть конечно порожденная подгруппа и существует алгоритм выписывающий, образующие централизатора.
Далее рассмотрим проблему обобщенной сопряженности слов, решенную в [15].
Теорема 18. В конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.
Теорема 19. Пусть С — группа Кокет,ера, с древесной структурой и {адг} г=щ, {уг}г=ш — множества слов из О. Если Р — какое-то решение системы &11=1(г-1адгг = уг)> то множество слов Сс(Н) ■ Р, где Сс(Н) — централизатор подгруппы, Н, порожденной словами {адг}г=Тп является множеством всех решений системы.
Представим группу Кокстера с древесной структурой С в виде древесного произведения двупорожденных групп Кокстера, объединеных по конечным циклическим подгруппам. Для этого от графа Т группы С перейдем к графу Т следующим образом: вершинам некоторого ребра ё графа Т поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Сц = {аг,аз; а2,а2, (ага^ } и = {а^ ,аи; а2,а1, (а^ аи )т1к}, а ребр у е — циклическую подгруппу {а^; а2}.
Группа С удовлетворяет условию максимальности, если всякая возрастающая последовательность ее подгрупп Н1 < Н2 < .. стабилизируется, то есть существует натуральное число п такое, что для любого Ж, N > п, Н^ = = ..■
Будем говорить, что в группе С разрешима проблема пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп, если для любых двух конечно порожденных подгрупп Н1 и Н2 группы С и любых слов ад1,ад2 € С существует алгоритм, позволяющий установить пусто или нет пересечение ад1Н1 Р|ад2Н2.
В. И. Безверхним в [16] был получен следующий результат
Теорема 20. Пусть С древесное произведение групп
С = ^Ц *С3; геЮ1, ..,геЮ8; <£¿1 (и^) =
объединенных по изоморфным подгруппам, и^ < О и и^ < С с помощью фиксированного набора конструктивных изоморфизмов (р^: кр^(и^) = и^. Тогда, если подгруппы, и^ и и^ обладают условием максимальности и в сомножителях разрешимы, проблемы:
1. проблема вхождения;
2. проблема, пересечения классов смежности любой конечно порожденной подгруппы, Н < с подгруппой и^ < Сг;
3. существует алгоритм, выписывающий, образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы, Н < с подгруппой и^ < Ог,
то в группе С разрешима, проблема, вхождения.
Группа Кокстера с древесной структурой, представленная в виде древесного произведения двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам удовлетворяет условиям данной теоремы. Таким образом, в данном классе групп разрешима проблема вхождения.
С
ее конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа.
Рассмотрим группу С* = {С, ге1С, = р(и{)} являющуюся ^ЖЖ-расширением
группы С с помощью конечных изоморфных подгрупп и1 и и-1 и фиксированного изоморфизма р: р{и{) = и-1, Ь — не принадлежащая С правильная проходная буква. В. Н. Безверхним [17] был получен следующий результат:
С* С С*
дает, свойством Хаусона.
Баумслагом была доказана:
Теорема 22. Если в свободном произведении С = С1 * С2 групп Сг, г = 1,2 каждый,
С
Теорема 23. (Миллер-Шупп). Группа С = {С1 *С2, и1 = р(и{)), являющаяся свободным произведением групп С1 и С2 с объединением, по изоморфным подгруппам, и1 и и-1 с помущью фиксированного изоморфизма р: р(и{) = и-1; изоморфно вложим,а, в группу С* = УС1 * С2, г; ге1С1, ге1С2, Г1и^ = р(и{)).
Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Кокстера
Сгу = (аг, аз; а2, а2, (ага^)т1:>) и Сгк = {аг, ак; а2, ак, (агак)т*к), объединенных по циклической подгруппе (а^ а2у.
С = Сг3 * СИг-{аца2)
По теореме 22 группа С = {С^ * Сц-; р(а%) = а[) изоморфно вложима в группу
С* = (С^ * Сгк, ^ ге1Сц, ге1Сгк, Г1а^ = р(а^).
Из теорем 20 и 21 следует, что группа С* обладает свойством Хаусона и, значит, группа С также обладает свойством Хаусона.
С помощью метода математической индукции получено обобщение этого результата:
Теорема 24. Группа Кокстера с древесной структурой обладает, свойством Хаусона.
Вопрос о нахождении пересечения подалгебр данной алгебры был впервые сформулирован
A. И. Мальцевым в 1958 году.
Далее проанализируем результаты работ [18]- [20], используя метод типов, введенный
B. Н. Безверхним, и метод специального множества слов, разработанный В. И. Безверхним [17], [21] на основе обобщения метода Нильсена на свободные конструкции групп.
Слово из группы С можно представить единственным образом в виде:
9 = 11д 12д.. 1пдКдГпд.. Пд, (1)
уде Ъд и Кд ' представители правых классов смежности группы Су по (а%; а2} и Сц^ по (а(а[причем Ъ+1д (аналогично 1зд, 18+1д) принадлежат разным сомножителям группы С. Кд - ядро слова д.
Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги 1пд и гпд принадлежат одному сомножителю группы С, а Кд - другому. В этом случае слоговая длина слова (1) равна Ь(д) =2п + 1.
Определение 28. Если в (1) 11д 12д..1пд = (гпд..г1д)-1, то слово
9 = Г1д1.. Г^КдГпд.. Г1д (2)
называется трансформой.
Если Кд принадлежит объединяемой подгруппе, то в (1) слоги 1пд и гпд принадлежат разным сомножителям группы С. В этом случае слоговая длина слова
9 = .. 1пд Ьд Гпд.. Пд, (3)
где Ьд = Кд, равна Ь(д) = 2п.
Слово вида (1) будем называть нетрансформой нечетной длины, слово вида (3) - нетранс-формой четной длины.
Определение 29. Подслово 11д12д.. 1пд(гпд..г1д) называется левой (правой) половиной слов (1), (3). Подслово 11д 12д.. 1пдКд(Кдгпд..г1д) — закрытым, начальным, (конечным) отрезком,.
Определение 30. Левая, (правая) половина слова = 12-мг.. 1т-ш1К,Ш1 гтШ1..г1ш1 называется изолированной, в множестве {wj}, ] € 1, если ни у одного из слов £ = ±1
множества ({wj} ^^ и 11 ^ нельзя выделить 11т 12%»*.. (гтщ..г ) в качестве начального (конечного) подслова, то есть wjj = 12тг.. 1ттгlm+1wjwjjп
г 1-т )■
Определение 31. Конечное множество слов Ш = группы С назовем специ-
альным, если, оно удовлетворяет следующим условиям:
1. Левая, половина нетрансформы множества Ш изолирована, в нем,. Если нетрансформа четной длины, то изолированы и левая и правая половины;
2. Длину нетрансформы Wic нельзя, уменьшить, умножая слева и справа на, слова из подгруппы, порожденной множеством ^^). Длину произвольного элемента множества нельзя уменьшить, умножая на слово ^ ^^^^ меньше Ь^^) принадлежащее
подгруппе ^х^ ;
3. Пусть w¡0 = 11%012%0..1п%оКтГпто..rj+lwo..гыо, £ = ±1 3 < п нетрансформа из множества и = .. Гп%щ.. rjwo ..г 1%о} £i = ±1
подмножество нетрансформ из множества (^^^м) и \w--q1), правые по-
ловины которых оканчиваются подсловом rjWо..г 1%ио, тогда, если подгруппа
({Щ}^-щ) П г—о..r-WX0Drjwо..= В,
где
D = [ Ск-1, если rj+lw0 € Ск-1; ^ Сху, если Tj+lwQ € Сху.
не единична, то Ь^^и) ^ Ь^ю), Ь^^имЦ.) ^ Ь^ю), где и € В; 4■ Пусть wi - .. lsWi ^в+^г .. lпWi fпWi .. ^в + ^г .. и
wj — .. ^в'Ш; ls+1wj.. lmwjКWj n^'mwi.. íl''s+1wj ..
слова из {ш.}^у^ не обязательно различны т ^ п, в ^ т, тогда существуют слова д — 1 длины меньше 2з из подгруппы ({шг}^Тм/ такие, что если I
то
9Шг — 11т,'....Гп-Ш1....Тlwi ■, Л,ибо если ..Г^ — Тзт^ ..Г то
— Il'Wi.... ^пш^Ш.^Ч"ПШ1"rs+lwi,
л,ибо если г-Щ,...г^ — ^ ..Iswj, то
— I..Ьт^ " {Г'пт^ {^'Х) ^nWi -иц ?
либо если 1-т... 1-т. — т swj ..Птр то
Шг У — ..ГП'Ш{ {К'Ш^ {^'пт^ " {К+1 ГЗ'ШЭ ■
Лемма 27. Всякое конечное множество слов {ш.}группы С — С^ * С .к можно
' Ыа1)
через конечное число шагов преобразовать в специальное.
Пусть Ш — специальное множество слов. Разобьем его на подмножества следующим образом: подмножеству Мо принадлежат все нетрансформы, а подмножествам М.. трансформы с одинаковыми крыльями, принадлежащие одной подгруппе, сопряженной группе С^ или С .к• Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (М..), г — 0, к, имеющую вид: (М.) — г-..г—1С.гп...Гц. Здесь С. — подгруппы из С^ или С.к, порожденные ядрами транс-
( М. )
М) < (М2) < ... < (Мк) . (4)
Лемма 28. Ряд (4) можно преобразовать в ряд
(М[) < (М2) < ... < (Мк) , (4')
обладающий следующим,и свойствами:
1. др ((Мо), (М\),.., (Мк)) — др ((МО) , (М') ,..., (Мк));
2. Если подгруппе ^М^ — г-..г—С'^гпх..г\х, 1 ^ ] ^ к' принадлежит трансформа
и — г-Х..т-ХЪгпх..г\х, где Ъ принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда, (4) имеется подгруппа (М[) — г-Х..г-Х 1 ХС[гп- 1х..г\х содержащая, и;
3. Если для некоторой трансформы и — г-..гп-хкхг,пх..г\х,принадлежащей подгруппе (М) — г-х ..г-хС^пх..г 1х, и нетрансформы у — I-.. 1п-1уКу1п1У..11 у из Мо, щ ^ п, (левая половина, у изолирована) выполняется соотношение Ь(у~1иу) ^ Ь(у), то существует подгруппа, (М'3) ряда, (4'), содержащая, трансформу у~1 (г-..">"--х^хгпх..г 1х)У> а если Ь(уиу-1) < Ь(у), то существует подгруппа (М'3) ряда (4'), содержащая трансформу у (г-..т^хкх^пх..т 1х) У-1;
I Если (м'^ = г1х\.гп\хС^гП1Х..г 1х, (М'3) = г1х\.г^г^+^у..г^С^гП2У..пх - подгруппы ряда, (4'), п2 > п1, и подгруппа {м'^ содержит трансформу и = г—1..г~1ХНгП1Х..г 1х, либо и' = г—1.
. гп1хК ГП1Х.. Г1х, где К = гп1+1уНгп1+1,у, то существует подгруппа ряда
(4') (М'к)
Г1 х ..ГП1хГП]_ + 1 ,уС'кГП1+1,У..Г 1х, содержащая в первом случае трансформу и,
во втором и
5. Если (M's) = rlx ..rnIxC'srnix..r\x подгруппа, из ряда, (4') и
у£ = I — .. 1-1уКгП2У..rni+\,yrnix..rix; е = ±1 — элемент специального множества, причем подслово г —x..r-^r-^y не является изолированной левой половиной некоторой т,ра,н,сформ,ы, w£, £ = ±1 и если подгруппа (M's) содержит трансформу ..r-1xhrnix..r\x либо трансформу г —х ..г-^Кrnix..r\x, где К = hrni+\,у, то существует подгруп-
„-1 „-1
па, ряда, (4Г) \М'э) = г 1 "гп-1хгп 1+1уС]гп-1+1,У■■г 1х> содержащая эту трансформу.
Лемма 29. Подгруппа, (М0), порожденная нетрансформами специального множества, свободна и не содержит трансформ.
Подгруппу порожденную специальным множеством {и^^у^ обозначим через др(Мо,Б). Она представляет собой НИИ — группу с основой являющуюся древесным произведением, правильной системой проходных букв которой служат элементы из Мо. Подгруппы (Мо) и М'Л, _?' = 1, к ряда (4') будем называть порождающими подгруппами (и1,.., ип) = др (Мо, в).
Определение 32. Произведение и1..Пк назовем словом подгруппы, (и1, ..,ип) = др (М0, в) группы С = С^ * Сесли
(аца2)
1. щ = 1;
2. щ € {М0 и М-1} либо щ принадлежат некоторой подгруппе из ряда (4Г);
3. щ = ;
4- щи щ+1 не содержатся, в одной, подгр уппе ряда, (4Г);
5. в и1..ик нет произведения щщ+1щ+2 Ия = 1,к — 2), где щ = и~+;2, щ € {М0 и М-1}, щ+1 € (М'^ и ЩЩ+1Щ+2 € (М'3); (М'^, (М'3) - ш ряда, (4').
Лемма 30. Всякое произведение и^и^ ■ ■ .и£", = ±1, где и^ — образующие подгруппы, ({иг}> через конечное число шагов можно привести к слову иц .. .щ^, к ^ п подгруппы
др (Мо, в) = ({иг}ге1^у
Определение 33. Слово и1.. .ик называется простым, если
Ь(и1..ик) = тах {Ь(и1),..., Ь(ик)}• Лемма 31. Если и1... ик — слово подгруп пы др (М0, в), то Ь(и1... ик) ^ Б^), г = 1,к. Простое слово и1 ... подгруппы др (М0, в) может быть одного из следующих видов:
a) слово щ... ик содержит нетрансформу максимальной длины, то есть Ь(щ) > Ь(щ),
1 ^ 3 ^ ъ — 1, I + 1 нетрансформа;
b) слово и1... ик содержит нетрансформу и^ и трансформу максимальной длины, то
есть Ь(щ) = Ь(щ+1) = Ь(щщ+1), Ь(щ) > Ь(и^), 1 ^ ] ^ г — 1, г + 2 ^ ] ^ к;
с) слово щ ... ик содержит нетрансформы щ и и трансформу со свойствами:
Ь(щ) = Ь(щ+2), Ь(щ) = Ь(щщ+\) = Ь(щщ+\щ+2), Ь(щ) > Ь(и^), 1 ^ ,] ^ г — 1, г + 3 ^ ^ к, причем дайна слова оказаться меньше длины щ, 0 ^ Ь(и+) ^ Ь(щ)-,
с1) слово щ ... ик содержит трансформу щ максимальной длины.
Пусть Ш некоторое множество элементов группы С. Обозначим через г = 1,п, множество всех трансформ из Ш гада уКу-1, где ядро К принадлежит одному из сомножителей С^ или Сц-• Пару (у, г) назовем типом трансформы из
Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы С порождена специальным множеством, то есть Н = др (Мо,Б). Каждый элемент д = 1 из Н имеет несократимую запись в ■ш-символах: д = ы^т6:?, = ±1- Перемножая рядом стоящие трансформы одного типа, получим запись слова д в и - символах: д = и\..щ, где щ = 1, щ = и-+1, г = 1, к — 1.
Проведем в слове д = щ ... щ все сокращения в группе С, получим слоговую запись этого элемента: д = д\д2 ... д^ к ^ 1.
Лемма 32. Каждый слог д^ слова д = д\д2 ... дк имеет, вид:
9г = aíXíУíZía'i, (5)
г = 1, к, где Хг — центральный или правый, слог и^-1 , уг — центральный слог и^ € ] = 1,п, — левый или центральны,й, слог а^ и — элементы из объединяемой под-
группы.
С
Рассмотрим к0н6чн06 множ6ство кон6чно д0дррудд Н1, Н2, . . ., Нп ррудд^
Обозначим специальные множества образующих ПОдГруПП Н1, Н..,Нп через
Ш(3) = {Шг}геХЩ Э = 1П.
Если пересечение Н1 П Н2 П ... П Нп не тривиально, то найдутся такие € Ну ] = 1,п, что к,1 = к? = ... = кп = V. Перепишем слова к в и - символах соответствующей подгруппы:
у = и(1) (1)и(1)(2) ...и(1)( п) = = и(2)(1)и(2) (2)... и(2) (г2) =
= и(п)(1)и(п) (2). ..и(п)( Гп) = (6)
= д(1) д(2)... д(г).
Последняя строчка равенства (6) дает несократимую запись слова V в группе С. Будем называть (у(-^^ 1 типом трансформ порождающей подгруппы
-1 О)
(м^) = (- А
подгруппы Н^ € С и обозначать его (у, г). Символом Ь((у(^, I)) = 2Ь(у(^)) + 1 будем обозначать длину типа (у %), а символ ом Тмножество всех типов трансформ подгруппы Ну Пополним Тсимволом € С множество . Обозначим через множество
и иТ(:*\ ] = 1, п, соответствующее подгруппе НПрисоединим к множеству
П(з) символ 7(з) € С, получим . Соотношения (6) определяют следующее отображение:
<рь (1,2,..., г) = (г+ х (р(1) х г+) х т(1) х (р(1) х г+) х г+) х
X (г+ х (р(2) х г+) х т(2) х (р(2) х г+) х г+) х .. (7)
.. х (г + х (р(п) х г+) х т(п) х (р(п) х г+) х г+),
где г + = {0,1, 2,...}.
По лемме 31 каждый слог из последней строчки равенства (6) образован элементами трех последних символов, то есть
П\ (1) (1) (1) / (2) (2) (2) , (п) (п) (п) ,
к) = аХ ) Уук ) 4 )= аХ % ) гк )= ... = аХ ) Уук ) гук Тогда отображение (7) определяет функцию:
^(к) = (р0\к), (г11)(к),р[1)(к^) , т(2)(к), (г22)(к),р22)(к)) ,р0(1)(к)) , 'р02) (к), (42)(к), р{2)(к)), т(2) (к), (г22)(к), р(2)(к)), ро(2)(к)
р0п)(к), (4п)( к),р1п)(к)), т(п)(к), (4п\к),р{п (к)) ,р0(п)(к)),
где номер к соответствует слогу д(к) = а^Х^у^г^а^ слова V, р^\к) — номер элемента аг в ассоциированной подгруппе (а%, а2), то есть принимает значения 0 или 1; аналогично р'о(^(к) принимает значения 0 или 1;
если х^ = 1, то есть х^ не принимает участия в образовании слога д(к), г(\к) = ^^ , р[Л(к) = 0;
г1\к) = ш1\к) € Ё(Я\ }, если х^) = 1 и х^ есть р1\к) - ый слог ш1\к) т(\к) = р, если у^ = 1;
т(\ к) = (,г ), если у^р — слог трансформы типа (у(^), г ); г2\к) = 7^ если г^ = 1;
г2\к) = (к) € \ {7(,?)}, есл и г^ = 1 и г^ ест ь р2?\к) - ый слог слова ш2!\к). Определение 34. (к) назовем типом слога д(к) в слове V. Мощность множества всех типов не превосходит числа
2
А = 4п П [2 Е Р(ш(^) + Л
.7=1 \ 'Ш^&М (з) /
Т(Л
где
Тр(з)
мощность множества Т(\ ^ = 1,п. Множитель 4 есть порядок ассоциированной подгруппы в квадрате.
Обозначим через Р пересечение Н1 ПН2 П ... П Нп.
Лемма 33. Если Р(у) > А, где V — слов о из (6) и V € Р, V = 1, то существует слово V1 € Р, Р(у') < Р(у), удовлетворяющее равенствам (6).
Лемма 34. Пусть О — совокупность всех слов ш € Р, слоговая длина, которых не превосходит А. Тогда существует конечное подмножество слов О' С О, О' = {ш1,..,ш1} и 7 конечных семейств трансформ г^ = {5 и,.., }, 1 ¡г ¡7, т,аких, что подгруппа, порожденная множеством О, совпадает с подгруппой порожденной множеством |о' и ^ У г^
Лемма 35. Пусть О — совокупность всех слов и € Р, слоговая длина которых не превосходит, А. Тогда существует конечное подмножество слов О' С О, О' = {и1, ..,и1} и 7 конечных семейств трансформ Zi = {5ц,.., 1
(О) = |о' и ^Ц Zij | =Н1 ПН2 п.. п Нп.
Теорема 25. В группе С = С^ * Сц- пересечение конечного числа, конечно порожден,-
(сч;а2)
пых подгрупп конечно порождено и, существует алгоритм, выписывающий, образующие этого пересечения.
Теорема 26. В группе С = С^ * Сц~ разрешима, проблема пересечения классов смеж-
((Ч;а2)
ноет,и, конечно порожденных подгрупп.
Для обобщения этого результата представим конечно порожденную группу Кокстера с дре-С
конечной циклической подгруппе следующим образом: Рассмотрим древесное произведение к — 1 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Тк-1, Тк-1 С Т. Группу, соответствующую графу Тк—1 обозначим через Ск-1 • Пусть к-ый сомножитель — подгруппа Сху соответствует вершине дерева-графа Т, кото рая связана с граф ом Тк- 1 ребром ец- При этом ребру соответсвует циклическая подгруппа (ах; ах) • Так группа С представлена как свободное произяедение двух подгрупп — Ск-1 и Сху, объединенных по циклической подгруппе порядка два (ах; а^), то есть С = Ск-1 * Сху.
(ах;а2)
Таким образом, для доказательства разрешимости проблемы пересечения классов смеж-
С
аналогичные рассуждениям, использованным при получении разрешимости данной проблемы С
С
сечения классов смежности конечного числа, конечно порожденных подгрупп порожденных подгрупп.
С
Н1 Н2 С
ли такое слово г € С, что г-1Н1г = Н2.
Используя метод специального множества и метод типов, в [20] получен следующий результат:
Теорема 28. В группе Кокет,ера, с древесной структурой разрешима, проблема, сопряженности подгрупп.
Теорема 29. [22] Всякая конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера с древесной структурой свободна.
Н
Кокстера с древесной структурой С — Су *<а -; а2> Сjk, где Су —< а%, а^; а2, а2, (а^а^)тг^ > и С1к =< аj, ; а2, а\, (аjаk)тjk >, конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий, его образующие.
Теорема 31. [24] Нормализатор произвольной конечно порожденной подгруппы, группы Кокстера с древесной структурой конечно порожден. Существует алгоритм, выписывающий образующие данного нормализатора.
Теорема 32. [25] Существует алгоритм, позволяющий установить для любых двух множеств конечно порожденных подгрупп {Щ} и {Н-} группы С, имеется ли такое г € С, что &п=1 z-1НiZ = Н[.
Далее для групп Кокстера с древесной структурой изучается вопрос построения изолятора конечно порожденной подгруппы.
Понятие изолятора в группах, которое мы будем использовать, определено П. Г. Конторо-вичем.
А С С
бого элемента д из С из того, что дк принадлежит А 9к = 1, следует, что д принадлежит А
С
А А С
Теорема 33. [26] В группах Кокстера с древесной структурой изолятор всякой конечно порожденной подгруппы, конечно порожден. Существует алгоритм, выписывающий, образующие данного изолятора.
5. //-угольные группы Кокстера
В данном разделе анализируются результаты работ [27]- [28].
Как сказано выше, группам Кокстера с образующими а1,а2,...,ап можно поставить в соответствие конечный граф Г, вершинам которого соответствуют образующие а1, а каждому ребру, соединяющему а^ и аj — соотношение (аiаjУ™^ = 1, г = ], г,] € 1,п, других ребер нет.
Рассмотрим группы Кокстера, соответствующий граф которых состоит из п-угольников, и > 3. Назовем такие группы группами Кокстера с и-угольной структурой. Элементы матрицы Кокстера таких групп удовлетворяют условиям: т^ > 2, г =
Остановимся на группах Кокстера с п-угольной структурой для и > 3.
Каждую группу Кокстера С^ можно задать копредставлением
Сij — (аг, аj; Кгj),
где К^ — множество всех нетривиальных циклически несократимых в свободной группе (аi,аj) слов равных единице в группе Скопредставление группы С на образующих А = {а1, а2,..., ап} можно записать
С = (А; К),
где К = и п< < Яу.
Обозначим через 1и| длину слова в свободной группе Р = (а1,..., ап).
Лемма 36. Если и € С^, и ^ нетривиальное слово в свободной группе и и равно единице в группе Су, то |и| > 2т
Пусть и циклически приведенное слово не равное единице в группе Р = (а1,...,ап) и и € (К)р. Тогда из теоремы Ван-Кампена следует, что существует К-диаграмма М с граничным циклом 7 = дМ, меткой которого является слово и, а метками областей — слова из К^, 1 < < < п
М
(а) если области И 1, И2 € М, р(Б1) и р(Б2) принадлежат одной подгруппе С^ и \\р(дБ1 [~}д02)\\ > 1, то области Б1, И2 объединяем в одну область Б, произведя свободные сокращения в слове на границе области И, которая и будет новой меткой этой области;
(б) если метка области D равна единице в F = {а1,..., ап), то область D вырезаем, а ее границу склеиваем.
Через конечное число шагов получим диаграмму, инвариантную относительно указанных преобразований, причем в полученной диаграмме, если две области D1,D2 пересекаются, то дD1 {~\dD2)l = 1. Такая R-диаграмма называется приведенной.
Лемма 37. Односвязная приведенная, R-диаграмма М группы Кокстера с п-угольной структурой при п > 3 удовлетворяет условиям С(4) & Т(4).
D R М д М д D
д М
Определение 37. Простая область D с М называется деповской, если i(D) < 2, (i(D)
D
з М
д М д D D
М R
М п
п > 3, удовлетворяют неравенству ^ *(3 — i(D)) > 4, где суммирование ведется по граничным областям.
М R п
структурой, п> 3, тогда последовательность граничных областей Di, D2,..., Dn,n > 2 образуют полосу П ^ иП=1 Di, если:
1) Vi, 1 < г < п, dDi Р| дМ — правильная часть М^
2)Уг, 1 < г < п — 1 границы областей Di, Di+1 пересекаются по ребру, а Dnf}Di — пустое множество;
3) i(Di) = i(Dn) = 2, Vj, 2 <j< п, i(Dj) = 3.
Удаление границы полосы дМ Р| д П является специальным R-сокращением или R-сокращением.
М R п
М
непересекающиеся полосы.
Пусть Gab = {а, Ц(аЪ)таЪ,а2, Ъ2) — группа Кокстера; тогда, очевидно, в Gab разрешимы следующие проблемы:
1) проблема равенства и сопряженности слов;
2) проблема вхождения;
3) проблема степенной сопряженности слов.
п п > 3
равенства слов.
Действительно, выполняя R и R-сокращения, то есть, выделяя в граничном цикле р(дМ) деповские области и полосы при R и R-сокращепиях, слоговая длина р(дМ) уменьшается и через некоторое конечное число шагов выясняем равно ли w единице.
п
жённости слов.
При доказательстве используются кольцевые диаграммы.
Пусть М - диаграмма сопряжённости слов и,ы € С, 7 ж 5 ее граничные циклы, где р( 7) = и, р( ) =
Устанавим структуру кольцевой диаграммы. Предполагаем, что р(7),р(5)Ки К несократимы, М - приведённая диаграмма. Если М — к-слойная, то есть любые два соседних слоя имеют общий граничный цикл, то все внутренние области состоят из областей И с с1(И) = 4. Внутренние граничные циклы имеют равную слоговую длину, и каждый из циклов является некоторой перестановкой фиксированного набора из N слогов.
Лемма 39. Если каждая граничная область Б кольцевой диаграммы, М имеет г(Б) = 3, то М имеет число слоев < 2.
п п > 3
равенства и сопряженности слов.
С
ществует алгоритм, позволяющий для любых двух наборов слов {и{}, {ы^, г = 1,п, установить существует ли 2 € С, такой, что &1=1(г-1и1г = ы).
п п > 3
обобщенной сопряженности слов.
п
структурой, и > 3, для, любых слов и и ы установить существуют ли п,т € N и г € С т,акие, что г-1ипг = ыт.
п = 3
Теорема 39. В группах Кокет,ера,
С = (аъааМ(а102Г12, (а1а3)т13, (а2а3)т23),
где т^ > 2 разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов.
Теорема 40. В конечно порожденной группе Кокстера С с треугольной, структурой разрешима, проблема равенства слов.
Теорема 41. В конечно порожденной группе Кокстера С с треугольной, структурой разрешима проблема, сопряженности слов.
6. Заключение
В современной комбинаторной теории групп наиболее трудным является доказательство алгоритмической разрешимости проблем равенства, сопряженности слов и их обобщений. Поэтому решение этих проблем является важным, сложным и актуальным направлением.
Результаты, изложенные в статье, направлены на решение алгоритмических проблем в конечно порожденных группах Кокстера.
Рассмотренные в статье классы групп включают все группы Кокстера, которые либо принадлежат данным классам групп, либо могут быть представлены как обобщенные древесные структуры групп Кокстера, образованные из групп Кокстера с древесной структурой заменой некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Кокстера большого или экстра-
п
Исследования проводились под руководством д. ф.-м. п., профессора В. И. Безверхнего, руководителя Тульской научной школы "Алгоритмические проблемы теории групп и полу-гр уп п ' '
Для решения алгоритмических проблем в группах Кокстера применялись современные комбинаторные и геометрические методы исследования: метод диаграмм, введенный ван Кам-пеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. И. Безверхним в части введения Д-сокращений, специальных Д-сокращений, специальных кольцевых сокращений, а также метод графов, метод специального множества слов, разработанный В. И. Безверхним на основе обобщения метода Нильсена на свободные конструкции групп.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. Vol. 35. P. 588621.
2. Tits J. Groupes simples et geometries associees // Proc. Int. Congress Math. Stocholm. 1962. P. 197-221.
3. Schupp P. Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability // arXiv math. GR/0203020. 2002. Vol. 1. P. 1-21.
4. Appel К., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // Ivent. Math. 1983. Vol. 72. P. 201-220.
5. Безверхний В. H. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Коксетера большого типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986. — С. 26-61.
6. Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion // London Math. Soc. 2004. Vol. 88. P. 89-113.
7. Безверхний В. H., Добрынина И. В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, №1(5). С. 10-33.
8. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Дискретная математика. 2005. Т. 17, №3. С. 123-145.
9. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, №1. С. 13-22.
10. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, №1. С. 23-37.
11. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, №1. С. 38-46.
12. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа // Дискретная математика. 2008. Т. 20, №3. С. 101110.
13. Добрынина И. В. О подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, № 1 (25). С. 9-15.
14. Безверхний В.Н., Инченко О. В. Централизатор элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, №1(25). С. 17-28.
15. Инченко О. В. Проблема обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Выпуск 2. С. 40-48.
16. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп полугрупп и их приложение. Тула. ТГПИ. 1986. С. 3-22.
17. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в НКК-группах // Фундамент, и прикл. ма-тем.,1998. 4:1, С. 199-222.
18. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Выпуск 2. С. 16-31.
19. Инченко О. В. О проблеме пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп в группе Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, №2(58). С. 146-162.
20. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, №3. С. 32-56.
21. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в классе НИК-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1981. С. 20-62.
22. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. О проблеме свободы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. №1-1. С. 5-13.
23. Добрынина И. В. О нормализаторах в некоторых группах Кокстера // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. № 2 (58). С. 113-127.
24. Добрынина И. В. О построении нормализатора конечно порожденной подгруппы в группе Кокстера с древесной структурой // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2016. №8. С. 26-28.
25. Добрынина И. В., Инченко О. В. О некоторой проблеме в группах Кокстера с древесной структурой // Алгоритмические проблемы в алгебре и теории вычислимости. Международная научная конференция, посвященная 75-летию Д.И. Молдаванского. Сборник трудов. Иваново: ИвГУ, 2015. С. 35-40.
26. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. О построении изолятора подгруппы в некотором классе групп Кокстера // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казанский университет, 2016. С. 108-109.
27. Безверхний В.Н., Безверхняя Н.Б. Решение проблемы равенства и сопряженности слов в некотором классе групп Артина и Кокстера // Алгоритмические проблемы в алгебре и теории вычислимости. Международная научная конференция, посвященная 75-летию Д. И. Молдаванского. Сборник трудов. Иваново: ИвГУ, 2015. С. 11-16.
28. Безверхний В. И., Безверхняя И. Б. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина, Кокстера с п-угольной структурой // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2016. № 8. С. 9-10.
29. Безверхний В. И., Устян А. Е. Проблема степенной сопряженности слов в моноидах Артина большого типа //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 2001. С. 139-164.
30. Безверхний В. И., Устян А. Е. Обобщения теорем В. Магнуса и М.Д. Гриндлингера // Чебышевский сб. 2013. Т.14, №3. С. 20-33.
REFERENCES
1. Coxeter, H.S.M., 1934, "Discrete groups generated by reflections", Ann. Math., vol. 35, pp. 588-621.
2. Tits, J., 1962, "Groupes simples et geometries associees", Proc. Int. Congress Math. Stocholm, pp. 197-221.
3. Schupp, P., 2002, "Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability", arXiv math. GR/0203020, vol. 1, pp. 1-21.
4. Appel, К. к Schupp, P., 1983, " Artins groups and infinite Coxter groups", Ivent. Math., , vol. 72, pp. 201-220.
5. Bezverkhnii, V.N. 1986," Solution of the conjugacv problem for words in Artin groups and Coxeter groups of large type," Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, Tula: TSPU, pp. 26-61.
6. Kapovich, I. к Schup, P., 2004, "Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion", London Math. Soc., vol. 88, pp. 89-113.
7. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I.V., 2003,"Solution of the conjugacv problem for words in Coxeter groups of large type", Chebyshevskii Sb., , vol. 4, no. 1, pp. 10-33.
8. Bezverkhnii, V. N. к Dobrvnina, I. V., 2005, "Solution of the generalized conjugacv problem for words in Coxeter groups of large type", Diskr. Mat., vol. 17, no. 3, pp. 123-145.
9. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2003, "On elements of finite order in Coxeter groups of large type", Izvestia of Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Inform,atics, vol. 9, no. 1, pp. 13-22.
10. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2004, "Solution the problem of occurrence in a cyclic subgroup in the Coxeter groups of large type", Izvestia of the Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Inform,atics, vol. 10, no. 1, pp. 23-37.
11. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I.V., 2004, "Solution of the power conjugacv search problem in a cyclic subgroup in in Coxeter groups of large type", Izvestia of the Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Inform,atics, vol. 10, no. 1, pp. 38-46.
12. Bezverkhnii, V.N. k Dobrvnina, I.V., 2008," A solution of the power conjugacv problem for words in the Coxeter groups of extra large type", Diskr. Mat., vol. 20, no. 3, pp. 101-110.
13. Dobrvnina, I. V., 2008, "On subgroups in Coxeter groups of extra large type", Chebyshevskii Sb., vol. 9, no. 1, pp. 9-15.
14. Bezverkhnii, V. N. k Inchenko O. V., 2008, " Centralizer of elements of finite order of a finitely generated Coxeter group with a tree-structure" , Chebyshevskii Sb., vol. 9, no. 1, pp. 17-28.
15. Inchenko O.V. 2008, " Problem of generalized conjugacv of words in Coxeter's groups with tree-structure" , Izvestia of Tula state University. Natural science, no. 2, pp. 40-48.
16. Bezverkhnii, V. N., 1986, " Solution of the problem of inclusion in some class of groups with one relation " , Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, Tula: TSPU, pp. 3-22.
17. Bezverkhnii, V. N., 1998, " On the intersection subgroups HNN-groups " , Fundam. Prikl. Mat., vol. 4, no. 1, pp. 199-222.
18. Bezverkhnii, V. N. k Inchenko O. V., 2009," Problem of intersection of finite defined subgroups in Coxeter groups with tree-structure" , Izvestiya of Tula State University. Natural sciences, no. 2, pp.16-31.
19. Inchenko O. V., 2016, " On problem of intersection of the adjacency classes of finitely generated subgroups of Coxeter group with tree-structure ", Chebyshevskii Sb., pp. 146-162.
20. Bezverkhnii, V.N. k Inchenko O.V., 2010, " Conjugacv problem of subgroups in finitely generated Coxeter groups with tree-structure " , Chebyshevskii Sb., vol. 11, no. 3, pp. 32-56.
H N N
groups " Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, Tula: TSPU, pp. 20-62.
22. Bezverkhnii, V.N. k Dobrvnina, I.V., 2014, "On freedom problem in Coxeter groups with tree-structure", Izvestiya of Tula state University. Natural science, no. 1-1, pp. 5-13.
23. Dobrvnina, I. V., 2016, "On normalizers in some Coxeter groups", Chebyshevskii Sb., vol. 17, no. 2, pp. 113-127.
24. Dobrvnina, I. V., 2016, "On construction of Normalizer of finitely generated subgroups in the Coxeter group with tree-structure", Research in algebra, number theory, functional analysis and related issues, no. 8, pp. 26-28.
25. Dobrvnina, I.V. k Inchenko, O.V., 2015, "On some problem in Coxeter groups with a tree structure", Algorithmic problems in algebra and the theory of computation. International scientific conference dedicated to 75-th anniversary of D. I. Moldavanskii, Ivanovo: IVGU, pp. 35-40.
26. Bezverkhnii, V.N. k Dobrvnina, I. V., 2016, "On construction of isolator of subgroup in some class of Coxeter groups", Proceedings of the international conference on algebra, analysis and geometry, Kazan: Kazan University, pp. 108-109.
27. Bezverkhnii, V. N.& Bezverkhnvava, N.B., 2015, "Problem of equality and conjugacv of words in a certain class of Artin groups and Coxeter", Algorithmic problems in algebra and the theory of computation. International scientific conference dedicated to 75-th anniversary of D. I. Moldavanskii, Ivanovo: IVGU, pp. 11-16.
28. Bezverkhnii, V. N. к Bezverkhnvava, N. В., 2016, "Problem of equality and conjugacv of words
п
analysis and related issues, no 8, pp. 9-10.
29. Bezverkhnii, V.N. к Ustvan, A.E., 2001, "Problem of power conjugation of the words in the Artin monoids of large type", Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, Tula:TSPU, pp. 139-164.
30. Bezverkhnii, V.N. к Ustvan, A. E., 2013, "Generalizations of theorems of Magnus and Greendlinger", Chebyshevskii Sb., vol. 14, no. 3, pp. 20-33.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Тульский государственный университет
Получено 14.09.2016 г. Принято в печать 12.12.2016 г.
