CC BY
14
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17 Выпуск 2
УДК 519.4
О НОРМАЛИЗАТОРАХ В НЕКОТОРЫХ ГРУППАХ
КОКСТЕРА1
И, В, Добрынина (Тула)
Аннотация
Пусть О — конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением
О = < Я1,. .., ап; (а^а. = 1, г, ] = 1, п >,
где ш.—элементы симметрической матрицы Кокстера: Уг,^ € 1,п, = 1, ш. > 2, г =
Если ш. > 3 (ш. > 3), г = то О называется группой Кокстера большого (экстрабольшого) типа. Эти группы определены К. Аппелем и П. Шуппом.
Если группе О соответствует конечный дерево-граф Г такой, что вершинам графа Г соответствуют образующие а,, г = 1, п, а всякому ребру в, соединяющему вершины с образующими и а.,, соответствует соотношение (а^а.= 1, то мы имеем группу Кокстера с древесной структурой.
Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В.Н. Безверхним и О. В. Инченко. О
ГО
перейдем к графу Г следующим образом: вершинам графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих
О. =< а.; а2 = а2 = 1, (а^а.)т®3 =1 >
и
О.к =< а., ак; а2 = а| = 1, (а.ай= 1 >,
а всякому ребру в, соединяющему вершины, соответствующие О. и О.к — циклическую подгруппу < а.; а2 = 1 >.
В настоящей работе доказывается, что нормализатор всякой конечно порожденной подгруппы Н группы Кокстера с древесной структурой О = О. *<а.; а2> О.к, где
О. =< а^, а.; а2 = а2 = 1, (а^а.= 1 >
и
О.к =< а., ак; а2 = а2к = 1, (а.ак= 1 >,
конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие.
Ключевые слова: группы Кокстера, древесная структура, нормализатор, свободное произведение с объединением.
Библиография: 18 названий.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15-
41-03222 р^центр^а).
ON NORMALIZERS IN SOME COXETER GROUPS
I, V, Dobrynina (Tula) Abstract
Let G be a finitely generated Coxeter group with presentation
G =< ai, .. ., an; (a^j)mij = 1, i, j = 1, n >,
where mij — are the elements of the symmetric Coxeter matrix: Vi,j G 1,n, mii = 1, mij > > 2, i = j.
If mij > 3 (mij > 3), i = j, then G is a Coxeter group of large (extra-large) type. These groups introduced by K. Appel and P. Schupp.
If the group G corresponds to a finite tree-graph r such that if the vertices of some edge e of the graph r correspond to generators ai, a,j, then the edge e corresponds to the ratio of the species (aiaj)mij = 1, then G is a Coxeter group with a tree-structure.
Coxeter groups with a tree-structure introduced by V. N. Bezverkhnii, algorithmic problems in them was considered by V. N. Bezverkhnii and O. V. Inchenko. G
by cyclic subgroups. Thus from the graph r of G will move to the graph r in the following way: the vertices of the graph r we will put in line Coxeter group on two generators
Gij =< ai, aj; a2 = a2 = 1, (aiaj)m%3 =1 >
and
Gjk =< aj, ak; a2 = a2k = 1, (ajak)mjk = 1 >, to every edge e joining the vertices corresponding to Gj^d Gjk is a cyclic subgroup
< a j; a2 = 1 > .
In this paper we prove the following theorem: normalizer of finitely generated subgroup of Coxeter group with tree-structure
G = Gij *<a?.; a2> Gjk,
Gij =< ai, aj; a2 = a2 = 1, (aiaj)mij =1 >, Gjk =< aj, ak; a2 = a2k = 1, (ajak)mjk = 1 > finitely generated and exist algorithm for generating.
Keywords: Coxeter group, tree-structure, normalizer, amalgamated product. Bibliography: 18 titles.
1. Введение
Пусть С — конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением
С =< аь ..., а„; (а^-)т^ = 1, г,; = 1~п >,
где — элементы симметрической матрицы Кокстера: Уг,; € 1,п, шц = 1, > 2, г = ; [!]•
Группы Кокстера введены X. С.М. Кокстером [2] в 1934 году. Понятие группы Кокстера возникло в теории дискретных групп, порождаемых отражениями относительно гиперплоскостей.
В 1983 году К. Аппелем и П. Шуппом определены классы групп Кокстера большого (ш^ > 3,г = и экстрабольшого (ш^- > 3,г = ;) типов [3]. Ими рассмотрены проблемы
равенства и сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа. Другие алгоритмические проблемы в группах Кокстера экстрабольшого типа рассматривались в работах [4], [5]. Ряд работ посвящен изучению алгоритмических проблем в группах Кокстера большого типа, например [6], [7].
Если группе О соответствует конечный дерево-граф Г такой, что вершинам графа Г соответствуют образующие а», г = 1, п, а всякому ребру в, соединяющему вершины с образующими а» и а./, соответствует соотношение (а^а.)т3 = 1, то мы имеем группу Кокстера с древесной структурой [8].
Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним в 2003 году, алгоритмические проблемы в них рассматривались В.Н. Безверхним и О. В. Инченко, например
И-
О
ГО
графу Г следующим образом: вершинам графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих
О. =< а», а.; а| = а? = 1, (а^а.)тз = 1 >
и
О=< а., ак; а^ = а\ = 1, (а.ак= 1 >,
а всякому ребру в, соединяющему вершины, соответствующие О. и О.к — циклическую подгруппу < а.; а^ = 1 >.
В группах кос нормализаторы подгрупп изучались автором в работе [9]. В настоящей работе доказывается, что нормализатор всякой конечно порожденной подгруппы Н в свободном произведении О = О». *<а.. а2> О .к двупорожденных групп Кокстера
3 ' 3
О. и О .к с древесной структурой, объединенных по циклич еской подгруппе < а.; а2 = 1 >, конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие.
2. Базовые понятия и утверждения
О
представлением
О =< аь ...,ап; ^¿а.)тз = 1,г, з = 1,п >,
где Шг. — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем шц = 1, ш. > 2,
г = ^ группе О соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если вершинам некоторого ребра в граф а Г соответствуют образ ующие аг и а. то реб ру в соответствует соотношение вида (а^а.)тз = 1.
Теорема 1. [10] Пусть группа О = (ПП=1 *О«; гв1Оь..., гв1Оп, ) = Ц») есть фе-
весное произведение групп, объединенных по изоморфным подгруппам, < Ог и и. < О. с помощью фиксированного набора изоморфизмов } : ^¿(иу) = Цг. Тогда, если подгруппы, и. и Ц.г обладают, условием максимальности и в сомножителях разрешимы 1) проблема, вхождения; 2) проблема пересечения классов смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < О» с подгруппой < Ог; существует алгоритм, выписывающий, образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы, Н < Ог с подгруппой, < Ог, то в О
О
Г
С перейдем к графу Г так, что вершинам графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих
С? =< «г, «?; а2 = «2 = 1, («г«?= 1 >
и
=< о?, Ок; о2 = «| = 1, (о?«к= 1 >,
а всякому ребру ё, соединяющему вершины, соответствующие С? и С?*; — циклическую подгруппу < о? ; «2 = 1 >.
Следствие 1. В группе Кокет,ера, с древесной структурой разрешима проблема вхождения.
Будем рассматривать свободное произведение С двупорожденных групп Кокстера
С? =< «г, О?; О2, «2, («г«?>
=< «?, «к; о2, «к, (о?«к> с древесной структурой, объединенных по циклической подгруппе < «?; «2 >:
С =< «г, «?,, «к; о2, «2, «к, о?2, («¿о?, (о?«к,о? = > .
Слово из группы С можно представить единственным образом в виде:
д = ... Ггад . . . г1д , (1)
где и I-1 — представители правых классов смежности группы Сг? по < о? ; о2 > и С^ по < о?; о2 >, причем , (анлогично , ¿«+1д) принадлежат разным сомножителям
группы С. — ядро слова д. Если не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги и гпд принадлежат одному сомножителю группы С, & — другому. В этом случае слоговая длина слова (1) равна £(д) = 2п + 1.
Определение 1. Если в (!) 11д ..= (гпд ... г1д) 1, то слово
д = г1д ...Гпд Г- . . . Г-1 (2)
называется трансформой.
Если принадлежит объединяемой подгруппе, то в (1) слоги принадлежат разным сомножителям группы С. В этом случае слоговая длина слова
д — ¿1д . . . ¿гад^-дггад . . . г1д, (3)
где = равна Ь(д) = 2п. Слово вида (1) будем называть нетрансформой нечетной длины, слово вида (3) нетрансформой четной длины.
Определение 2. Подслово д = ¿1д ... ¿пд(гпд ... г1д) называется левой (правой) половиной слов (1), (3). Подслово ¿1д ... ¿пдгпд ... г1ду) — большим начальным, (конечным) отрезком,.
Определение 3. Левая (правая) половина слова
— ¿1ш,- . . . ¿тш,- Кш,- гтш,- . . . г1ш,-
называется изолированной в множестве {щ}если ни у одного из слов е — ±1,
множества
({щ}\ и ({щ-1}\ Щг-1)
нельзя, выделить /1шг ... /тшг (гтшг ... г1шг) в качестве начального (конечного) подслова, то есть Щ — /
1шг . . . 1тшг 1т+1ш^ щ
Далее будем рассматривать специальное множество слов как в [11], [12].
Определение 4. Конечное множество слов Ш — {щг}г=г^ гРУппы С назовем специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. Левая, половина нетрансформы из множества Ш изолирована, в нем,. Если нетрансфор-ма четной длины, то изолирована, и левая, и правая половины.
2. Длину нетрансформы щ нельзя, уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы,, порожденной множеством {-щ} \ щ-. Длину произвольного элемента щ нельзя уменьшить, умножая на слово щ длины, меньше ), принадлежащее подгруппе
< {^}г=1М > .
3. Если — /1ш, ... /пш,Кш,гпш, ... г«+1ш, г«ш, ... г1ш,, е — ±1, в < п, — нетрансформа из
г г г г г 'II г
множества Ш и {щ 6 — /1ш,, ... /гаш»Кш«ггаш» ... г«+1ш,,г«ш, ... г1ш,, е — ±1} — подмножество
г г г г г 1 г г г
нетрансформ из Ш \ {щ^} и Ш \ {щ^-1}, правые половины которых оканчиваются подсловом г«ш'. ... г1ш,; тогда если подгр уппа <щг,г — 1, п > П г Г1, ... г"1, Ог«ш, ... г'1ш. — В, где О — С/
г г г г г г
если г5+1 ш, € Слибо О — Сесли г«+1ш, € С/к,то для и € В выполняются неравенства
¿(щ» > ь (щг), ь^и^) > г
пусть — ¿1 шг . . . ¿«шг ¿«+1шг . . . ¿пшгКшгГпшг . . . г«+1шгГ«шг . . . г1 шг; — ¿1 ш^-
... /««>, ¿«+1ш^ ... /тш.,- Кш^ гтш^ ... г«+1ш^ г.^- ... Г1 ш.,- — слова из Ш, не обязательно различные, в < т < п тогда, не существует слова д — 1 длины, меньше 2в ш подгруппы,, порожденной Ш, такого, что если ¿1 шг ... ¿«шг — ¿1 ш.,- ... то
дщг — ¿1 ш^- . . . ¿«-к^- ¿«+1 шг . . . ¿гашг Кшг Гпшг . . . г1шг,
либо если г«шг... Г1 шг — г.^- ... Г1 ш^, то
щгд — ¿1 шг . . . ¿гашг К-юг Ггашг . . . г«+1 шг г«+1ш^ . . . г1 ш^-,
либо если гЦ ... Г-1 — ¿1ш^ ... ¿«ш^ то
ш«"1 — и / Г/_1 Г/_1 /Г^Г1 Г1
дщг — ¿1 ш^' . . . ¿«ш ^ '«+1ш г . . . ' пшг К шг ¿«.ш г ...¿1ш г
либо еслм /"ш^ ... ¿1^ — Г«ш^ ... Пшя то
д — Г1шг . . . Гга 1 Кг— ¿пшг . . . ¿«+1 шг Г«ш^ . . . Г1
V)
Теорема 2. [8] Всякое конечное множество слов Ш — {щг}г=1^, группы, С — *<а.. а2>
С/к можно через конечное число шагов преобразовать в специальное.
Пусть H — конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера
G = Gij *< . „2 >
J J
с древесной структурой.
Приведем множество образующих W = {wi}i=YN подгруппы H к специальному. Разобьем его на подмножества следующим образом: подмножеству Mo принадлежат все нетранс-формы, а подмножеству Mi,i = 1,k, принадлежат трансформы с одинаковыми крыльями, сопряженные G— ми Gjk- С каждым из множеств Mi,i = 1,k, связана подгруппа (Mi) = r-V-/... r- Cirrai... r2irii, где Ci — подгруппы из G— ми Gjk, порожденные ядрами трансформ, входящих в Mi. Упорядочим (Mi) по длинам крыльев трансформ. Получим ряд
(Mi) < (M2)... < (Mfc ). (4)
Л emma 1. [12] Ряд (4) можно преобразовать в ряд
(Mi) < (M2)... < M), (4')
обладающий следующими свойствами:
1. gp((Mo), (Mi), (M2),..., (Mk)) = gp((Mo), (Mi), (M2),..., (M',)).
1?. -Белы подгруппе (Mj) = г-^г-1 ... r—Cjrnj ... r2jr— принадлежит трансформа
u = г-/г-/ ... r-/h«r«j ... r2jrij,
где hu принадлежит объединяемой подгруппе, m,о m,о среди подгрупп ряда, (4') имеется подгруппа
(M,D = rr?ir-ji ... r--ijClrn-ij ... r2jrij,
u
3. Если (Mj) = r-ji . . . r-jiCjrnj . . . rij, (MS) = r-ji . . . r-jir--|is . . . rmSCSrms . . . rra+isrraj . . . rij подгруппы, ряда, (4-' ) и подгруп па (Mj ) содержит трансф орму u = г-—1 ... r-jihurraj ... rij либо u' = г-—1 ... r-?iKurraj . ..rij, где Ku = r-jishurn+is; то существует подгруппа, ряда, (4') (Mk ) = r-j... rj-j^Ck rra+isrraj ... ri— содержащая в первом случае трансформу u, во втором — u'.
4- Если (Mj) = r— ... rnj Cjrnj ... rij — подгруппа, ряда, (Л) и y£ = l- ... l
-i -i my
Ку гту . ..гга+1у гп/ ... г/, е = ±1, — элемент специального множества, причем подсло-во г-1... 11у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы ■ш£ = ±1, и, еслм подгруппа, (М/) содержит трансформу г-1... г-^Лгп/ ... гу шш трансформу г-1 . ..г-^Кг^/ ...г/, где К = г—+ 1уЛ,гга+1у; то существует подгруппа, ряда, (4') (М|) = г-/1 ... г—^г—11уС|гга+1угп/ ... г/ содержащая эту трансформу.
5. Если для, некоторой трансформы и = г-1 г-/1 ...г-1 К« гп/ ... г2/ г/ принадлежащей (М/) = г-/1 г-/1 ...г—у1 С/ гп/ ... г2/ г/ и нетрансформы у (левая половина у изолирована) из М0 выполняется соотношение £(у-1иу) < Ь(у); то существует подгруппа (М'а) ряда (4'), содержащая трансформу у-1г-и1г-и1 ... г-« К«
гпи ... г2иг1иу; а если Ь(уиу-1) < Ь(у); то существует подгруппа (М'^ ряда (4'), содержащая трансформу у^г-1 ... г-«1к«г га« . . . г2мг1«у
Подгруппу, порожденную специальным множеством ^ = , обозначим через
др(Мо,£), где 5 — подгруппа, порожденная подгруппами ряда (4').
Определение 5. [11] Произведение m u2. ..um; где u, = 1,i = 1,m, u, G W U W
j;a2
-i
i = 1, m, из подгруппы gp(M0, S) назовем словом группы G = Gj *<aj;a2> Gjk, если
иг — 1
1?. иг е {Мо и М—1} лмбо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда (4').
3. иг — и-1, г — 1, т — 1.
иг, иг+1, г — 1, т — 1, не содержатся, в одной подгруппе ряда, (4')-
5. В и1 и2 ... ит нет, произведения игиг+1иг+2, г — 1, т — 2; где
иг — и1+12,иг е {Мо и М—1}^! € (М/^¿^+1^+2 € (М«), где (М/), (М«) из ряда (4').
Лемма 2. /1,2/ Всякое произведение щ^щ?!. — ±1, _ образующие под-
группы < Ш >, через конечное число шагов можно привести к слову иг1иг2 ...игт,т < п, подгруппы, др(М0, 5) —< Ш >.
Определение 6. Будем говорить, что между словами г1 м г2 имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина, произведения г^2 соответственно больше, равна, или меньше максимальной из длин Ь(г1),Ь(г2).
Определение 7. [11] Слово и1и2 ... ит будем называть простым, если Ь(и1и2 ... ит) — тах{Ь(и), Ь(и2),..., Ь(ит)}.
Лемма 3. /1,2/ Пусть и1и2 ... ит — слово из подгруппы, др(М0; 5). Тогда,
L(u1u2 ... um) > L(mj), i = 1, m.
Следствие 2. /1,2/ Еслм в слове u1u2 .. .um выполнить сокращение в группе G, то оно не затронет,, по крайней мере, левую половину слова u1.
Следствие 3. [12] Всякое слово подгруппы, gp(M0; S) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода.
Подгруппа gp(Mo,S), порожденная специальным множеством слов W = пРеД~
ставляет собой HNN - группу с основой S, являющуюся древесным произведением, правильной системой проходных букв которой служат элементы из Mo. Подгруппы (Mo) и (Mj),j = 1,k', ряда (4') будем называть порождающими подгруппами < W >= gp(Mo,S).
Лемма 4. [13] Пусть W — специальное множество слов группы G и H =< W > — подгруппа G и пусть wf = 11... rm ... r1 — элемент специального множества, v = = ¿1... t < m, — начальное подслово левой половины wf, причем v не является изолированной левой половиной wf. Тогда, если Av = H П 11 ... 1tAj l-1... l-1 = E, где Aj = Gj еслм G Gik либо Aj = Gik, есл,и G Gj то ряд (4') содержит подгруппу (M^) = Av.
(Mo)
ства, свободна.
Лемма 6. [12] (M0) П (S)gp(Mo;S) = E, где E - единичная, подгруппа.
Л emma 7. [13] В группе Кокет,ера, с древесной структурой образующие сопряжены тогда и только тогда, когда существует ломаная, состоящая из ребер дерево-графа, которая соединяет, вершины, соответствующие данным, образующим группы, и каждом,у из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокет,ера,.
Лемма 8. [8] Пусть Н1 = др(Мо; 51) и Н2 = др(М0; 51) — две конечно порожденные подгруппы, группы О. Основа Б подгруппы Н1 порождена, подгруппами ряда,
(М1) < (М2)... < (МЛ1), (6)
основа, Б' подгруппы, Н2 порождена, подгруппами ряда,
(М1) < (М2)... < (мк2). (6')
Тогда, если Н1 и Н2 сопряжены, в О, то есть существует г € О такое, что = Н2;
то существуют ад € др(М0; 51), г € € 1,&2, такие, что (М^ = ад-1г-1(М/где
(М^ — подгруппа ряда, (6), а, (М/) — подгруппа ряда (б1).
Пусть группе Кокстера с древесной структурой О соответствует конечный дерево-граф Г: вершинам графа Г соответствуют образующие а^г = 1, п, а всякому ребру е, соединяющему вершины с образующими а^ а/ соответствует соотношение ^ а/ = 1.
Ребро е' дерева-графа Г назовем замыкающим ребром некоторого пути, если ему соответствует четное число Кокстера.
О
рой; слово ад € О такое, ч,то |ад| = 1, то ееть ад = а^ г € 1, п. Тогда централизатор элемента, ад есть подгруппа вида,
С (ад) =< ¿1, ¿2,..., ¿а, ЭД; ¿Т2 = 1, ад2 = 1, г = 1,8 >,
где ¿Т — циклически сократимое слово вида ¿Т = г1г2 ... ¿¿_1г0г—11 ... г-^г-1, где ¿i € Оij; подслово ¿о соответствует замыкающем у ребру и = mij — 1, г = 0, £ — 1.
3. Основная теорема
Теорема 3. Нормализатор произвольной конечно порожденной подгруппы, группы Кокстера О с древесной структурой конечно порожден. Существует алгоритм, выписывающий, образующие данного нормализатора.
Доказательство. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы Кокстера
О = О/ ; а2 >
с древесной структурой. Приведем множество образующих Ш = подгруппы Н к
специальному: Н = др(Мо; 5), где основа 5 порждена подгруппами ряда
(М1) < (М2)... < (Мк), (5)
причем (М0) — свободная часть, (Mi) = г>-1С^, Ci € О^^и С € О/к, г = 1, &.
Найдем все элементы 2 € (Н), порождающие ). Наша задача — показать, что
Н
Возможны следующие случаи.
Случай, 1. Пусть Н = др(Мо; 5), причем осиова 5 есть единица, то есть Н = (Мо) и является свободной подгруппой в О. Пусть Н =< Х1, Х2,..., >. Рассмотрим слово 2 € О такое, что справедливо равенство 2-1Н2 = Н. Если и1, и2 € Н, 2 € ^^(Н), то 2о = и12и2 € € ). Поэтому 2 будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности Н2Н.
Образующие {Х^=1"п являются специальными и удовлетворяют условиям:
1. Левая половина каждого X € {Х^=1-п, имеющего нечетную длину, изолирована в
{{X/} \ и {{X/ 1} \ Левая и правая половины каждого X € ^.¿^у
имеющего четную длину, изолированы в {{X/} \ Xi}j=^ и {{X/"1} \ X—1
2. Большой начальный и большой конечный отрезки каждого Xi € {Xi}i=I-n изолированы в множестве {{X/ } \ X}/.=щ и {{X—1} \ X—1}'
3. Для каждого Xi € {Xi}i=I-n справедливо соотношение ¿(-ш^1 Xi■w22) > где
-а € {{X/} \ Xi}j=I^n, £а = ±1,8 = М.
Выберем среди образующих {Xi}i=I-^ из Н циклически несократимый X (если все образующие Н циклически сократимы, то берем Xi = cXc_1, где X — циклически несократимо. От подгруппы Н перейдем к подгруппе Н' = cHc_1, имеющей циклически несократимый элемент; если подгруппы сопряжены, то сопряжены и их нормализаторы).
Пусть ¿о = шах^^!), ¿^2),..., L(Xn)}. Будем рассматривать произведение
2= X211 ... X2fcfc, £а = ±1,8 = 1Л
) > ¿(2),Ь(2) > ¿(2), в противном случае 2 не удовлетвлряет условию минимальности.Так как X циклически несократимо, то в слове 2_1XZ одновременно не может происходить сокращение в 2X и X2. Пусть между X и 2 сокращение не происходит. Допустим, оно происходит между 2и X, причем не может сократиться более половины X, 2
Предположим, Ь(2) > £о/2. Представим слово X2l1 .. .Xi2k в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода, то есть
2= X211 ... X2fcfc = -1-2 ... -р,
причем £(-р) < ^о. Рассмотрим произведение -р_1-р. Здесь сокращение не затрагивает ядер -р_1, -р.Так как более пол овины -р укладывает ся в 2, т0 длину 2 можно сократить, умножая справа на Противоречие. Таким образом, р > 1 быть не может.
Пусть р = 1 и 2_1XZ = -1. Тогда ^(2) > ^/2 и ^2_1X) > ^о/2, что невозможно. Таким образом, Д2) < ^/2.
2
или правой половины некоторого образующего Xi из Н.
Случаи 2. Пусть Н = др(Мо; причем осиова 5 не единична и порождена подгруппами ряда (5). Имеем
2 —1др(Мо; 5)2 = др(Мо; 5).
Приведем образующие подгруппы 2—1др(Мо; 5)2 к специальным образующим. По лемме 8 существуют ш € др(Мо; 5), 1, Ь такие, что
ш_12 _1(Мг )2ш = (М4), (7)
где (Мг) = -_1Сг-, Сг € О/или Сг € О/к, (М4) = и4, С € О/или С € О/к. Перепишем соотношение (7) в следующем виде
-1 -1 -1 -1
или
ш—12 _1-г_1Сг - 2ш = и—1С4
2 _1-г_1Сг-г2ш-_1 = С4. (8)
Из (7) далее получим
(- ш—12 _1-г_1)-гдр(Мо; 5 )-г_1(-г2ш-_1) = -адр(Мо; 5)-_1. (9)
Приведем образующие подгрупп Угдр(М0; 5)у-1, у^р(М0; 5из (9) к специальным образующим. Полученные подгруппы обозначим др(М0; 5') = Н1,др(М0'; 5'') = Н2 соответственно. Основа Б' порождена подгруппами
(м1) < (м2)... < (мк).
Основа Б'' порождена подгруппами
(мl') < (М')... < ).
Пусть у^-ту-1 = го.
Тогда (9) имеет вид
«Т^ХМО; Б ')- = др(М0'; Б'')
или
го 1Н1гй = Н2.
Слово г будем выбирать наименьшим в двойном смежном классе Н1гоН2.
Случаи 2.1. Каждая подгруппа (М^), г = 1, к, ряда (5) сопряжена с объединяемой подгруппой.
В данном случае (8) будет иметь вид:
VtW~lZ ~1vf1aj у ^дауТ1 = aj
или
1
го аj го
Таким образом, го принадлежит централизатору элемента aj. По лемме 9 централизатор элемента а^^ ^ ^^ппе С имеет вид:
в случае, когда числа т^ и т^ — четные, имеем С^) =< aj• ,21,22; а2,2ГТ,г = 1,2 >,
¿1 е Су, ^2 е Сjk, 1 = т„ - 1,1221 = mjfc - 1;
если числа т^,mjk — разной четности, например, т^ — четное, а mjk — нечетное, то
С^) =< aj, 21; а2, ¿2 >, 21 е Су, 1211 = т„ - 1;
и, наконец, если числа т^ и т^ — нечетные, то С(aj) =< aj; а2 > . Рассмотрим каждый из этих случаев. Случай, когда С(aj) =< aj; а2 >, очевиден. Пусть С(aj) =< aj, 21,22; а2,22, г = 1,2 > .
Поскольку слово го является наименьшим в двойном смежном классе Н1гоН2, то оно может иметь один из видов: го = (2122)к; го = (2122)к21; го = 21.
Мы будем пренебрегать образующим aj, поскольку он лежит в объединяемой подгруппе. Покажем, что в каждом из приведенных случаев можно ограничить показатель к. Пусть го = (2122)^. Рассмотрим двойной класс смежности ^(2122)кН2. Если 2122 е Н1, то к = 0.
Если (2122^ е Н1, где £ — наименьший возможный показатель степени, к < то можно найти показатель степени при котором (2122^ е Н1 и показатель степени при котором (2122^ е Н2, тогда ограничить показатель к можно, выбрав к < шах{£,£'}.
В случае, если (2122)^1 е Н1, где £ — наименьший возможный показатель степени, к < поступаем аналогично.
В других случаях рассмотрим стыки Н1 с (2122)^ и (2122)^ с Н2. Проведем рассуждения для первого стыка, рассуждения для второго — симметричны.
Допустим, что (2122е Н1; где 21 = 2121', тогда будем искать пересечение классов смежности 2122 < 2122 > ПН2.
а
з
Если (2^)^22 ^ Н, где 22 = ¿2, т0 будем искать пересечение классов смежности 4' < 2122 > ПЯг.
Для ограничения длины слова гй, перепишем общую часть гй с подгруппой Н1 в и-символах подгруппы Ну а общую часть слова гй с подгрупп ой Нг — в и-символж подгруппы Нг. Итак, нам надо для некоторого 2, описанного выше, найти пересечение смежных классов 2 < 2122 > ПН2 и, аналогия но, < 2122 > 2 П Н1 (или й-1 < 2122 > ПН1). Для ограничения длины слова гй будем использовать метод типов [14]. Обозначим подгруппу <2122 > через Но.
Изложим суть данного метода. Пусть произвольная конечно порожденная подгруппа Н' группы С порождена специальным множеством слов. Каждый элемент д = 1 из Н' имеет запись в ш-символах: Ь = —Ц1—!!... , = ±1, где — образующие < ^ > подгруппы Н'. По лемме 2 приведем его к слову в и-символах: Ь = и! ... ит. Выполнив в полученном слове все возможные сокращения, получим слоговую запись Ь = Ь^2 ... Ь^.
Лемма 10. [15] Каждый слог Ьг, г = 1, к слова, Ь = Ь!Ь2 ... имеет, вид:
Ьг = а^У^Х', (10)
где — центральный или правый слог и5-1; — центральный слог трансформы и5; 2г — левый или центральный, слог и5+1; а^ м а^ — элементы из объединяемой подгруппы, < а/; а2 > .
Заметим, что каждое из а^ и а" в лемме 10 либо есть единица, либо а/.
Найдем пересечение 2Н0 П Н2.
Пусть 2Н0 П Н2 не пусто и v € 2Н0 П Н2, v = 1. Тогда существуют такие Л,0 € Н0, Л,2 € Н2, что 2^0 = Л-2- Перепишем Л-0,Л,2 в и-символж подгрупп Н0,Н2 соответственно. Получим:
ш = 2и!0)и20)... иГ° = и!2)и22)... и^ = ш0Ь!Ь2 ... Ь^. (11)
Последняя запись в равенстве (11) дает несократимую запись слова ш в группе С —0 —
г
Будем называть v(s)-!aгs)v(s) типом трансформ порождающей подгруппы
ММ = v(s)-!C,v(s)
подгруппы Н5, § € {0, 2}, группы С и обозначать его г). Символом г)) = 2Ь^(5)) +
+1 будем обозначать длину типа ^(5),г), а символом Т (*) множество всех типов трансформ подгруппы Н (*).
Пополним множество Т (*) символом в(а) € С, получим множество тм. Обозначим Я« множество соответствующее подгруппе Н5, § € {0, 2}. Присоединим к
множеству символ 7(а) € С, получим множество Я(я). Соотношения (11) определяют следующее отображение:
: {1, 2,..., к} ^ {((^+ х (Е(0) х Z+) х Т(0) х
(Я(0) х Z+)х Z+)х
х (Я(2) х Z+) х Т(2) х (Я(2) х Z+) х Z+))}, (12)
где Z+ — множество натуральных чисел с нулем, которое согласно лемме 10 определяется следующим образом:
^(г) = ((р0(0)(г), (г(0)(г),Р(10)(г)),т1(0)(г), (г20)(г),р20)(г)),р0'(0)(г)),
(р0(2)(г), (г(2)(г),р12)(г)),Т1(2)(г), (г22)(г),р22)(г)),р0'(2)(г))), (12')
, '(а) (а) (а) (а) ''(а) '(зЪ л '(«)
здесь номер г соответствует слогу Ьг = аг ж у 2^ аг из ш, р0 (г) _ номер элемента аг в подгруппе < а/; а2 >, то есть принимает значения 0 или 1; г(в)(г) = 7(б;), если = 1, то есть
x(s) не принимает участия в образовании слога r(s)(i) = w(s)(i) G RR(s) \ {y(s)}, если x(s) = 1 и является p1s)(i)-M слогом в w(s)(i); T;s)(i) = e(s\ если y(s) = 1; r];s)(i) = (v(s),j^ли y(s)
— слог трансформы типа (v(s),j); r2s)(i) = Y(s), если z(s) = 1; r2s)(i) = w2s)(i) G RR(s) \ {y(s)},
(s) /1 М/л М/Л ''(s) /Л ''(s)
если = 1 и является (í)-m слогом в w2 (i) pq (i) — номер элемента a¿ в подгруппе
< aj; a2 > .
'(Q) ''(0)
Учитывая, что Но есть < > в формуле (12 ): pq( )(i) = 1,pq( )(i) = 1 и, в силу того, что y(0) = 1, meeм т10)(г) = в(0)-
Назовем (i) типом слora b слова w.
Мощность множества всех типов, согласно (12), (12') ограничена числом:
A2 = 4(2 ^ L(w(2)) + 1)2|TT(2)|(L(ziZ2) + 1)2.
w(2)eiR(2)\{7(2)}
Лемма 11. [16] Если L(w) > Л2; где w — слово из (11) и w G Н2, w = 1, то существует слово w' G H2,L(w') < L(w); удовлетворяющее (11).
Из [16] следует, что для слова u12) u22) ... иГ2) из (11)
L(u12)42) ...иГ2)) < Л2 + L(wo).
Аналогично рассуждаем, рассматривая пересечение i-1 < z1z2 > ПН1. Итак, мощность множества всех типов для подгрупп Н1, Н2 соответственно ограничена числами:
Aj = 4(2 ^ L(w(j)) + 1)2|Tf(j)|(L(z1Z2) + 1)2,j = 1,2.
w(j)eiR(j)\{7(j)}
Следовательно, длину слова w можно ограничить следующим образом: w < 2Л, где Л = тах{Л1, Л2 }.
Пусть w = (^1^2)^Zb Рассмотрим двойной класс смежности Н1 (z^)^^. Рассуждения аналогичны случаю, когда w = (z^)^.
Если w = z1; тогда, так и выше, |z1| = m¿j — 1, z1 G Gj. В этом случае w G Gj. Аналогично предыдущему случаю, рассматривается случай C(aj) =< aj,z1; a2,z2 >,z1 G G¿j, |z11 = m¿j — 1.
Таким образом, слово w будем брать го централизатора C(aj) с учетом ограничения на длину.
Случаи 2.2. Пусть подгруппы C¿, Ct содержатся в подгруппе Gj или подгруппе Gj^. Рассмотрим возможные случаи.
Допустим, что C¿, Ct порождаются элементом единичной длины, не принадлежащим объединяемой подгруппе.
Пусть C¿ = Ct =< ai; a2 > . Тогда (8) имеет вид
1
w aiW = a¿.
Если числа mij, mj — четные или mj — четное, а mj — нечетное, то C(ai) =< ai, z1; a2, zj2 >, где z1 G Gij, |z1| = mij — 1. Этот случай рассмотрен выше.
Если числа mij — нечетное, а mjk — четное, то C(ai) =< ai,z1z2z-1; a2, (z1z2z-1)2 >, z1 G Gij, |z1| = mij — 1, z2 G Gjfc, |z2| = mjfc — 1. В этом случае длина слова w ограничена. Если числа mij, mj — нечетные, то C(ai) =< ai; a2 > . Этот случай очевиден.
Пусть С =< аг; а? > и С =< ак; а| > . По лемме 7 если тг/, т/к — нечетные, то го = го'го", где го' € С/к, го'' € Сг/, причем |го'| = т/к — 1, |го''| = — 1. Тогда |го| < (тг/ — 1)(т/к — 1). Пусть т = тах{тг/, т/к}. Тогда |го| < т2 + 1.
Пусть Сг, С порождаются элементом длины больше единицы и содержатся в одной подгруппе Су или С/к- Предположим, Су. В этом случае го также принадлежит подгруппе Сг/ и |го| < 2тг/.
Пусть С^ С порождаются элементом длины больше единицы и содержатся в разных подгруппах Сг/, С/к. Этот случай невозможен, так как слова конечного порядка длины больше единицы, принадлежащие разным подгруппам не могут быть сопряжены в С.
В случае 2 мы показали, что длину го всегда можно ограничить.
Имеем 2 = v— ^^ш-1. Элементов конечное число, элемент г-1 принадлежит
Н, поэтому элементов 2 конечное число. Далее нужно построить все такие 2 и проверить равенство 2-1Н2 = Н. Теорема доказана.
4. Заключение
В данной работе рассмотрен вопрос о конечной порожденности и построении нормализатора конечно порожденной подгруппы Н в свободном произведении С = Сг/ *<а.. а?> С/к двупорожденных групп Кокстера Сг/ и С/к с древесной структурой, объединенных по циклической подгруппе < а/; а2 = 1 >.
Основными методами доказательства являются: метод специального множества слов [11], разработанный В. И. Безверхним как обобщение метода Нильсена [17] на свободные произведения групп с объединением и НЖЖ-расширения; метод типов [14]. Кроме того, используются: результат В.Н. Безверхнего и О. В. Инченко [13] об описании централизатора образующего в группах Кокстера с древесной структурой, результат О. В. Инченко [16] о нахождении пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой, а также решение проблемы вхождения в группах Кокстера с древесной структурой, полученное из теоремы В.Н. Безверхнего [10].
Доказанная в данной статье теорема является базой в исследовании вопроса о конечной порожденности нормализатора конечно порожденной подгруппы в группах Кокстера с древесной структурой.
Полученный автором результат можно рассматривать как некоторое обобщение результата И. С. Безверхней [18] о конечной порожденности нормализатора в свободном произведении групп, где сомножители обладают свойством: нормализатор всякой конечно порожденной подгруппы конечно порожден.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. О проблеме свободы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. №1-1. С. 5-13.
2. Coxeter H.S.M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. Vol. 35. P. 588621.
3. Appel K., Schupp P. Artins groups and infnite Coxter groups // Ivent. Math. 1983. Vol. 72. P. 201-220.
4. Лысенок И. Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1989. Т.53, №4. С. 814-832.
5. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа // Дискрет, матем. 2008. Т.20, №3. С. 101-110.
6. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сб. 2003. Т.4, №1. С. 10-33.
7. Безверхний В. И., Добрынина И. В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Дискрет, матем. 2005. Т.17, №3. С. 123-145.
8. Безверхний В. И., Инченко О. В. Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сб. 2010. Т.11, №3. С. 32-56.
9. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. О нормализаторах некоторых классов подгрупп в группах кос // Матем. заметки. 2003. Т.74, №1. С. 19-31.
10. Безверхний В. И. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1986. С. 3-21.
11. Безверхний В. И. Решение проблемы вхождения для одного класса групп // Вопросы теории групп и полугрупп. 1972. С. 3-86.
12. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т.4, №1. С. 199-222.
13. Безверхний В. И., Инченко О. В. Централизатор элементов конечного порядка конечно порожденнной группы Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сб. 2008. Т. 9, №1. С. 17-27.
14. Безверхний В.Н., Роллов Е.В. О подгруппах свободного произведения групп // Современная алгебра. 1974. Т.1. С. 16-31.
15. Безверхняя И. С. О корневом замыкании подгрупп свободного произведения групп с объединением //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1983. С. 81-112.
16. Инченко О. В. О проблеме пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп в группе Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сб. 2016. Т.17, №2. С. 146-161.
17. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 440 с.
18. Безверхняя И. С. О сопряженности конечных множеств подгрупп в свободном произведении групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1981. С. 102-116.
REFERENCES
1. Bezverhnii, V.N. к, Dobrvnina, I.V. 2014, "On freedom problem in Coxeter groups with tree-structure", Izvestija TulGU. Estestven nauki, vol. 1, no. 1, pp. 5-14.
2. Coxeter, H. S. M., 1934, "Discrete groups generated by reflections", Ann. Math., vol. 35, pp. 588621.
3. Appel, К., Schupp, P., 1983, "Artins groups and infnite Coxter groups", Ivent. Math., vol. 72. pp. 201-220.
4. Lvsenok, I. G., 1990, "On some algorithmic properties of hyperbolic groups", Math. USSR-Izv., vol. 35, no. 1, pp. 145-163.
5. Bezverhnii, V.N. к Dobrvnina, I.V., 2008, "A solution of the power conjugacv problem for words in the Coxeter groups of extra large type", Diskr. Mat., vol. 20, no. 3, pp. 101-110.
6. Bezverhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2003, "Solution of the conjugacv problem for words in Coxeter groups of large type", Chebyshevskii Sb., vol. 4, no. 1, pp. 10-33.
7. Bezverhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2005, "Solution of the generalized conjugacv problem for words in Coxeter groups of large type", Diskr. Mat., vol. 17, no. 3, pp. 123-145.
8. Bezverkhnii, V.N. к Inchenko O.V., 2010, "Conjugacv problem of subgroups in finitely generated Coxeter groups with tree structure", Chebyshevskii Sb., vol. 11, no. 3, pp. 32-56.
9. Bezverhnii, V. N. к Dobrvnina, I. V., 2003, "Normalizers of Some Classes of Subgroups in Braid Groups", Mat. Zametki, vol. 74, no. 1, pp. 19-31.
10. Bezverkhnii, V. N., 1986, "Solution of the occurrence problem in some classes of groups with one defining relation", Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, pp. 3-21.
11. Bezverkhnii, V. N., 1972, "The occurrence problem for a class of groups", Questions of theory of groups and semigroups, pp. 3-86.
12. Bezverkhnii, V. N., 1998, "On the intersection subgroups HNN-groups", Fundam. Prikl. Mat., vol. 4, no. 1, pp. 199-222.
13. Bezverkhnii, V.N. к Inchenko, O.V., 2010, "The centralizer of elements of finite order of a finitely generated Coxeter group with a tree structure", Chebyshevskii Sb., vol. 9, no. 1, pp. 1727.
14. Bezverkhnii, V.N. к Rollov E.V., 1974, "On subgroups of free products of groups", Modern algebra, vol. 1, pp. 16-31.
15. Bezverkhnvava, I. S., 1983, "On root closure of subgroups of amalgamated product of groups", Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, pp. 81-112.
16. Inchenko, O.V., 2016, "About the problem of intersection of the adjacency classes of finitely generated subgroups of Coxeter's group with tree structure", Chebyshevskii Sb., vol. 17, no. 2, pp. 146-161.
17. Lindon, P. к Shupp, P., 1980, "Combinatory theory of groups", World, Moscow.
18. Bezverkhnvava, I. S., 1981, "On conjugacv of finite sets of subgroups in free product of groups", Algorithmic problems of theory of groups and semigroups, pp. 102-116.
Получено 16.04.2016 г.
Принято в печать 10.06.2016 г.
