CC BY
20
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 1 (2014)
УДК 519.4
О СВОБОДНЫХ ПОДГРУППАХ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина (г. Тула)
Аннотация
Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением G =< а\, ...,ап; (aiaj)mii = (ajai)m^,i, j = 1 ,n,i Ф j >, где (aiaj)mii — слово длины mij , состоящее из mj чередующихся букв ai и aj,i = j, mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, где mij ^ 2, i = j. Если группе G соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что вершинам некоторого ребра e графа Г соответствуют образующие ai и aj, то ребру e соответствует соотношение вида (aiaj-)mij =
(ajai)mji, i = j. В этом случае мы имеем группу Артина с древесной структурой.
Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О.
Ю. Платоновой (Карповой).
Группу G можно представить как древесное произведение двупорож-денных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы G перейдем к графу Г следующим образом: вершинам графа Г поставим в соответствие группы Артина на двух образующих Gij =< ai,aj-; (aiaj)mij = (ajai)mji, i = j >, а ребру ё, соединяющему вершины, соответствующие Gij и Gjk-, — циклическую подгруппу < aj >.
В настоящей работе доказывается теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой: пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Артина G с древесной структурой, причем для любого g € G и любой подгруппы Gij, i = j, выполнено равенство gHg-1 nGj = E, то H является свободной.
В доказательстве основной теоремы использованы идеи В. Н. Безверх-него о приведении множества образующих подгруппы к специальному.
Ключевые слова: группа Артина с древесной структурой, подгруппа, свободное произведение с объединением.
ON FREE SUBGROUP IN ARTIN GROUP WITH TREE-STRUCTURE
V. N. Bezverkhnii, I. V. Dobrynina (Tula)
Abstract
Let G be finitely generated Artin group with tree-structure defined by the presentation G =< a\, ...,an; < didj >mii=< ajdi = 1 ,n >,
where mij is number that corresponds to symmetrical matrix of Coxeter, and mij ^ 2, i = j a group G matches the end coherent tree-graph Г such that if the tops of some edge e of the graph Г match the form ai and aj, then the edge e corresponds to the ratio of the species < aiaj- >mij=< ajai >mji.
Artin groups with a tree-structure was introduced by V. N. Bezverkhnii, theirs algorithmic problems were considered by V. N. Bezverkhnii and O. Y. Platonova (Karpova).
The group G can be represented as the tree product 2-generated of the groups, united by a cyclic subgroups. We proceed from the graph Г of the group G to the graph Г the following follows: the tops of some edge e of the graph Г put in correspondence Artin groups the two forming G^ =< ai, aj; < aiaj >mij=< ajai >mji> and Gjk =< aj,ak; < ajak >mjk =< akaj >mfcj>, and edge e will match cyclic subgroup < aj >.
This paper considers the theorem on the freedom of the Artin groups with a tree-structure: let H be finitely generated subgroup of an Artin group G with a tree-structure, while for any g € G and every subgroup Gij, i = j, executed equality gHg-1 П Gij = E then H is free.
In the proof of use of the ideas V. N. Bezverkhnii on bringing many forming of the subgroup to a special set.
Keywords: Artin group with tree-structure, the subgroup, amalgamated product.
1. Введение
Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением G =< ai,..., ап; (aiaj)mij = (ajai)mji, i,j = 1, п, i ф j >, где (aiaj)mij — слово длины rriij, состоящее из mij чередующихся букв ai и aj,i = j, mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера: Шц = l,mij ^ 2,i = j. Если группе G соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если вершинам некоторого ребра e графа Г соответствуют образующие ai и aj, то ребру e соответствует соотношение вида (aiaj-)mij = (ajai)mji, i = j. В этом случае мы имеем группу Артина с древесной структурой [1].
Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой (Карповой) (см.[1]).
Группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы G перейдем к графу Г следующим образом: вершинам графа Г поставим в соответствие группы Артина на двух образующих
С*у =< {ща^ГЩ:> = (ауй*)"7^, г 7^ ^' >, а ребру ё, соединяющему верши-
ны, соответствующие Су и Су&, — циклическую подгруппу < ау >.
Хорошо известно строение подгрупп свободных групп [2] и свободных произведений групп [3].
Для групп с одним определяющим соотношением В. Магнусом [4] получено доказательство теоремы о свободе, а Н. С. Романовским [5] — обобщенной теоремы о свободе. Результаты по данной тематике можно найти в работе С. И. Адя-на, В. Г. Дурнева [6].
Строение подгрупп в группах с малой мерой налегания рассматривали В. П. Классен [7] и Б. П. Ваньков [8].
В работе [9] ставился вопрос об "общности” класса т-порожденных групп, в которых любая к-порожденная подгруппа (для любого к < т) свободна. Эта задача решена в Г. Н. Аржанцевой и А. Ю. Ольшанским [10]. В [11] Г. Н. Ар-жанцевой снято ограничение к < т на число порождающих и доказано, что в определенном статистическом смысле почти в каждой группе с т порождающими и п соотношениями (т и п фиксированы) любая ^ ¿-порожденная подгруппа бесконечного индекса свободна (Ь — произвольная наперед заданная граница, возможно, Ь >> т), а все подгруппы конечных индексов несвободны. Для доказательства найдено условие на определяющие соотношения, при котором в конечно определенной группе подгруппы бесконечного индекса с заданным числом порождающих свободны. Это условие формулируется при помощи конечных размеченных графов.
Используя технику Г. Н. Аржанцевой и А. Ю. Ольшанского, для групп Кокс-тера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (ту), £
3, с ту ^ 3к + 1 И. Каповичем и П. Шуппом доказано [12], что всякая к-порожденная подгруппа без кручения является свободной в С.
В данной работе доказывается теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой.
2. Основные понятия
Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Артина Су =< а^ау; (а^ау)т^' = (ауа*)т^ > и =< ау, ай; (ауа*;)тк = (а*;ау^ >,
объединенных по циклической подгруппе < ау >:
где г4й и — представители правых классов смежности группы Су по < ау > и Су& по < ау >, при этом г*й, г*+1й (аналогично , /8+1й) являются элементами из
С =< а*,ау, ау, ай;, (а^ау)т^' = (ауаг)т^*, (ауай)т^'к = (айау)тк^', ау = ау > .
Рассмотрим слово из группы С и представим его в виде:
(1)
разных сомножителей группы G. Элемент Кд назовем ядром слова д. Если ядро Kg не является элементом из объединяемой подгруппы, то элементы (слоги) /ng и гпд лежат в одном сомножителе группы G, а ядро Кд — в другом. В данном случае слоговая длина слова из (1) равна L(g) = 2n +1.
Определение 1. Трансформой называется слово вида
g = rifl ...rrafl Kfl r-g1 ...г-1, (2)
то есть в (1) выполнено условие 11g ... 1ng = (rng ... r1g)-1.
Если ядро Kg лежит в объединяемой подгруппе < а >, то слоги в (1) лежат в разных сомножителям группы G. Тогда слоговая длина слова
g — 11g . . . ^raghgrng . . . r1g j (3)
где hg = Kg, равна L(g) = 2n. Нетрансформой нечетной длины будем называть
слово вида (1), нетрансформой четной длины — слово вида (3).
Определение 2. Левой (правой) половиной слов (1), (3) называется под-слово g = Z1g ... 1ng (rng ... r1g). Большим начальным (конечным) отрезком называется подслово Z1g ... 1ngKg (Kgrng ... r1g).
Определение 3. Левую (правую) половину слова
^1wi . . . Zmwi rmwi . . . r 1wi
будем называть изолированной в множестве £ 1,1У, если ни у одного
из слов иу^е = ±1 множества ({иу }\и^) и ({^у_1}\и-1) невозможно выделить подслово ... /т^ (гтад4... г^) в качестве начального (конечного) подслова,
то есть иу = llwi . . . 1mwi 1т+1ад^''иjn('иj = иу1гт+1ад^гтдаг . . . г 1ад^)'
Рассмотрим аналогичное введенному в [13] специальное множество слов.
Определение 4. Специальным назовем конечное множество слов Ш = {и>г},г € 1,]У из группы С, если для него выполнены следующие условия:
1. Левая половина нетрансформы из множества \¥ = Е1,Ы изоли-
рована в нем. Для нетрансформы четной длины изолирована и левая, и правая половины.
2. Нельзя уменьшить длину нетрансформы иу , умножая ее слева и справа на элементы из подгруппы, порожденной множеством {и^}\иу. Длину произвольного слова Wj нельзя уменьшить, умножая на элемент, ги длины меньше Ь(иу); принадлежащий подгруппе < {и>г},г € 1, -/V >.
3. Если и>/£ = К^гга^ ... г8+1ш/г^/... г^/, е = ±1, 5 < п, — нетран-
/ г г г г 'гг г 7 7 7
сформа из множества Ш и {и//£ = ... /га^/К^/г^//... г5+1^/г^/... г^/,
е = ±1} — подмножество нетрансформ из Ш \ {и/} и Ш \ {и/-1}, правые
половины которых оканчиваются подсловом г8ш. •.. г1ш., тогда если подгруппа < Wi,i = 1,п > П ... г^Бг8Ь/ ... г\,ш. = В, где Б ф Е из той же подгруппы, что и г8+1ш<, то для и € В выполняются неравенства ¿(и>'и) ^ Ь(и'),Ь(и'ии'/£) ^ ДЦ).
4- Пусть Шг 11ш. • • • 1«+1ш • • • Кшггаш • • • гз+1шг«ш • • • г1ш) 11ш,
• • • /8+1ш, • • • 1тш, гтш, • • • г8+1ш, г8ш, • • • г1ш, слова и3 !/Ш, не обяза^тельно
различные, в ^ т ^ п, тогда не существует слова д = 1 длины меньше 2в из подгруппы, порожденной Ш, такого, что если /1ш. • • • /3ш. = /1ш;. • • • /^, то
дШг 11ш, • • • /з+1ш,; • • • Кш ггаш • • • г1ш,
либо если г^ • • • = г.^ • • • г^, то
^гд 11ш. • • • Кш г«,ш • • • г«+1ш г«+1ш, г«ш,’ • • • г1ш,,
либо если г-]. • • • г—1. = /^ • • • , то
т/Г1 = и / г/-1 г/-1 К/-1/-1 /-1
д Чад, • • • ' з+1ш • • • ' пшк ш ('гаш • • • Нш,
либо если /—Щ. • • • /-Ш. = г5ш, • • • г 1ш,, то
1П~ 1д = г-1 г-1 К/-1//-1 //—1 г г
д ' 1ш. • • • пш. кш. 1пш. • • • 13+1шг • • • / 1], •
3. Базовые утверждения
Теорема 1. [14] Пусть С = С1 С2, и обладает свойством максималь-
ности. Тогда любое конечное множество слов группы С можно преобразовать в специальное.
ЭЬ [14] Всякое конечное множество слов \М = {ю^^г € 1, АГ, группы С = Су *<а, > Сук можно через конечное число шагов преобразовать в специальное.
Пусть Е[ — конечно порожденная подгруппа группы Артина С = Су *<«,■> Сук с древесной структурой.
Множество образующих \¥ = {и^},* = 1, АГ, подгруппы Е[ приведем к специальному. Разобьем его следующим образом на подмножества: подмножеству М0 принадлежат все нетрансформы, а подмножеству Мг, г = 1, к, принадлежат трансформы с одинаковыми крыльями, сопряженные Су или Сук. С каждым ИЗ множеств Мг, 2=1, к, связана подгруппа (Мг) = Г^/г^1 . . . . . . V 2гТ ц,
где С - подгруппы из Су или Сук, порожденные ядрами трансформ из Мг. Упорядочим (Мг) по длинам крыльев трансформ. Получим ряд
(4)
Лемма 1. [15] Ряд (4) можно преобразовать в ряд
(М1) ^ (М2) ••• ^ (Мк), (4/)
обладающий следующими свойствами:
1. др((Мо), (М1), (М2), • • •, (Мк)) = др((Мо), (М1), (М2), • • •, (М',)).
2. Если подгруппе (Му) = г1у1г2:71 • • • г-Сугпу • • • г2уг у принадлежит трансформа и = г—у1г—у1 • • • г—?1^иггау- • • • г2уг у, где принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (4’) имеется подгруппа
(М/) = г—/г2-/ • • • г—-у с/гп-у • • • г2Угу ,
содержащая и.
3 Если (М/) = г-у • • • г-/С"г„у • • • гу, (М3) = г-у • • • г-/г-+13 • • • гт3С3гт • • •
гп+1«ггау • • • г у подгруппы ряда (4’) и подгруппа (Му) содержит трансформу и = г-1 • • • г-/й«г„у • • • г у либо и/ = г-1 • • • г-/К«гга,- • • • г 1 у, где К = г-+1вй„ г„+1в, то существует подгруппа ряда (4 ’) (М') = г-1 • • • г-1г-+13Скгга+1згга:,- • • • гу, содержащая в первом случае трансформу и, во втором — и/.
4. Если (М/) = г-1 • • • г-1 С/. гпу • • • г у — подгруппа ряда (4 ’) и у£ = /-у1 • • • /-+ Ку гту • • • гп+1у гпу • • • г у, £ = ±1, — элемент специального множества, причем подслово г-1 • • • г-1г-+1у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы и>е,£ = ±1, и, если подгруппа (Му) содержит трансформу г-1 • • • г-/йг«у • • • г у либо трансформу г-1 • • • г-/Кггау • • • г у, где К = г-+1у йгга+1у то существует подгруппа ряда (4 ’) (М/) = г-1 • • • г-1г-+1у С/гп+1у гпу • • • г у, содержащая эту трансформу.
5. Если для некоторой трансформы и = г-1 г-1 • • • г-?1Кадгга:/ •••г2уту, принадлежащей подгруппе (Му) = г- 1г-•1 • • • г-?1Сугпу • • • г2уту и нетрансформы у (левая половина у изолирована) из М0 выполняется соотношение Ь(у-1иу) ^ Ь(у), то существует подгруппа (М3) ряда (4’), содержащая трансформу
У-1г-и1г-1 • • • г-^Кигпи • • • г2«г 1аду, а если Ь(уиу-1) < Ь(у), то существует подгруппа (М3) из (4 ’), содержащая трансформу уг-^г-1 • • • г-икигпи • • • г2иг1иу-1.
Подгруппу, порожденную специальным множеством Ш = |иг},г = 1,^, обозначим через др(М0, 5), где 5 — подгруппа, порожденная подгруппами ряда (4’).
Определение 5. Произведение щщ... ит, где ^ / 1,г = 1,т, ^ е Ж и И^“1, г = 1, т, из подгруппы др(М0, Б) назовем словом группы С = С^*<а > Сук, если
1. иг = 1. 1
2. иг € {М0иМ-1} либо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда (4’).
3. щ ф и~^, г = 1, т — 1.
щ,щ+1,г = 1,т — 1, ие содержатся в одной подгруппе ряда (4’)-
5. В щщ ... ит нет произведения ЩЩ+1Щ+2, * = 1, та — 2, где щ ф и~^2,щ Е {М0 и М0_1},иг+1 € (Му),игиг+1иг+2 € (М3), где (Му), (М3) из ряда (4’).
Лемма 2. [14] Всякое произведение и|11и|2! • ••и>|™,£ = ±1, где и>у — образующие подгруппы < Ш >, через конечное число шагов можно привести к слову иг1иг2 • • • игт, т ^ п, подгруппы др(М0, 5) =< Ш >.
Определение 6. Будем говорить, что между словами ^1 и ^2 имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения ^1^2 соответственно больше, равна или меньше максимальной из длин Ь(^1), £(г>2).
Определение 7. Слово и1и2 • • • ит будем называть простым, если Ь(и1и2
• • • ит) — М-ах{Е(и1) , ¿(и2) , • • • , Е( ит) }.
Лемма 3. [14] Пусть и1и2 • ••ит — слово из подгруппы др(М0; 5). Тогда
Цщ ____
и2... ит) ^ Ь(щ), г = 1, та.
БЬ [14] Если в слове и1и2 • • • ит выполнить сокращение в группе С, то оно не затронет, по крайней мере, левую половину слова и1 .
БЬ [14] Всякое слово подгруппы др(М0; 5) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода.
Подгруппу др(М0,5), порожденную специальным множеством слов Ш = г = I, М, можно рассматривать как НММ - группу с основой в, являющуюся древесным произведением, правильной системой проходных букв которой служат элементы из Мо- Подгруппы (Мо) и = 1 ,к', ряда (4’) назовем
порождающими подгруппами < Ш >= др(М0, 5).
Лемма 4. [15] Пусть \¥ — специальное множество слов группы С и Н =< \¥ > — подгруппа С и пусть ги? = 1\... 1тКт1Гт ■ ■ - Т\ — элемент, специального множества, V = /1 •••/*,£ ^ т, — начальное подслово левой половины и>|, причем V не является изолированной левой половиной и>|. Тогда если А = Н П /1 • • • /¿Ау/-1 • • • /-1 = Е, где Ау = Су, если /4 € Сгк либо Ау = Сгк, если /4 € Сгу, то ряд (4’) содержит подгруппу (М/) = А.
Лемма 5. [14] Подгруппа (М0), порожденная нетрансформами специального множества, свободна.
Лемма 6. [15] (М0) П (£)др(м°;5') = Е, где Е — единичная подгруппа.
Лемма 7. Пусть С = С\*и02, Н = др(М0, Б), Б — древесное произведение подгрупп (Мг'),г = 1,/с. Если пересечение Н с любой, подгруппой, сопряженной,
и, есть Е, то Н = (М0) * (М/) * • • • * (Мк)•
Доказательство непосредственно следует из строения подгруппы Н и леммы
4. Основная теорема
Теорема 2. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы Артина С с древесной структурой, причем для любого д Е С и любой подгруппы М, где N есть Су, г = ], либо Сук, ] = к, выполнено равенство Н П д^д-1 = Е, то Н является свободной.
Доказательство. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы Артина С = Су *<«,■> Суд, с древесной структурой, удовлетворяющая условиям теоремы. Приведем множество образующих Ш = {и^},г = 1,^ подгруппы Н к специальному.
Используя лемму 7, имеем
Н =(М0) * (М1) * ••• * (Мк), (5)
где (М0) — свободная часть подгруппы Н. В (5) не могут быть подгруппы вида (М-) = г^/г^1 . . . Г~уСуГпу . . . Г2уГу, = 1 ,к, где Су — подгруппы ИЗ Су, либо Су
— подгруппы из Сук, так как Н П дСуд-1 = Е и Н П дСукд-1 = Е для любого д £ С. Поэтому из строения Н и предыдущих лемм в (5) выполнены равенства (М1) = (М2) = • • • = (М/) = Е, где Е — единичная подгруппа, и Н = (М0).
Теорема 3. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы Артина С с древесной структурой, причем для любого д € С и любой подгруппы Су, г = ^, выполнено равенство Н П дСуд-1 = Е, то Н является свободной.
Доказательство. Рассмотрим конечно порожденную группу Артина с древесной структурой С, представленную в виде свободного произведения дву-порожденных групп Артина, объединенных по циклическим подгруппам: С =< П™=1 *С8; геЮ\,..., геЮ3, щ = а[ >.
В данном случае группе Артина С соответствует дерево - граф Г такой, что, вершинам графа Г соответствуют группы Артина на двух образующих Су =< щ,а^ = (ауй*)"7-^ >, а ребру ё, соединяющему вершины, соот-
ветствующие Су и Сук, — циклическая подгруппа < ау >. Рассмотрим древесное произведение п — 1 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Гга_1,Гга_1 С Г. Обозначим группу, соответствующую графу Гга_1, через Сга_1. Пусть п-ый сомножитель, подгруппа Сжу, соответствует конечной вершине дерева-графа Г, которая связана с графом Гга_! ребром et. При этом ребру в* соответствует циклическая подгруппа < ах >. Таким образом, группа С представлена как свободное произведение двух групп Сга_ 1 и Сху, объединенных ПО циклической подгруппе < ах >, ТО есть С = Сга_ 1 *<ах> Оху.
Слово из группы С можно представить единственным образом в виде:
д /1д • • • /пд Кд гпд • • • г1д,
где и — представители правых классов смежности группы Сга_ 1 по < аж > или Сху по < ах >, причем г*д, г*+1д (аналогично /3д, /3+1д) принадлежат разным сомножителям группы С, Кд — ядро слова д.
Если ядро Кд не лежит в объединяемой подгруппе, то слоги /гад и гпд принадлежат одному сомножителю группы С, а - другому.
Понятия трансформы, левой (правой) половины, изолированной половины, специального множества, слова, простого слова для группы С = Сп-1 *<ах> Сху определяются также, как для группы С. Для группы С = Сп-\ *<ах> Сху справедливы теорема 1 и утверждения лемм 1-7.
Пусть Н — конечно порожденная подгруппа без кручения группы Артина С с древесной структурой. Тогда на основании леммы 7
Н = (М0) * (М1) * ••• * (М/), (6)
где (М0) — свободная часть подгруппы Н. Отделим ее и рассмотрим подгруппы {Щ),3 = 1,к. _
Так как Н П дСуд_1 = Е для любого д £ С, то в (6) не могут содержаться подгруппы вида (М') = г^/гу ■ ■ ■ г~}С^ ... ГгуГу,= 1 ,к, где Су — подгруппы из Сху либо Су из < ах >. Следовательно, в (6) содержатся только подгруппы (М-) = .'/? '(’¡дг.1 = 1 ,к, где Су — подгруппы из Сга_ 1.
Далее рассмотрим конечно порожденную группу Артина с древесной структурой Сга_ 1, представленную в виде свободного произведения двупорожденных групп Артина, объединенных по циклическим подгруппам: Сга_ 1 =< ПГ=1 гв/С1, • • •, гв/С5, а* = а' >.
В этом случае группе Артина Сп-1 соответствует дерево - граф Гп-1 так, что, вершинам графа Гп-1 соответствуют группы Артина на двух образующих Су =< щ,а^ = {а^аг)т^ >, а ребру ё, соединяющему вершины, соот-
ветствующие Су и Сук, — циклическая подгруппа < ау >.
Рассмотрим древесное произведение п — 2 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Гга_2,Гга_2 С Гга_1. Группу, соответствующую графу Гп-2 обозначим через Сп-2. Пусть (п — 1)-ый сомножитель, подгруппа С^, соответствует конечной вершине дерева - графа Гп-1, которая связана с графом Гга_2 ребром ер. При этом ребру ер соответствует циклическая подгруппа < аг„ >. Таким образом, группа Сга_1 представлена как свободное произведение двух групп Сп-2 и С^, объединенных по циклической подгруппе < а^ >, то есть Сга_1 = Сга_2 *<аг)>
Слово из группы Сп-1 можно представить единственным образом в виде:
д — 11д • • • ггад • • • г1д,
где т^д и 1~д — представители правых классов смежности группы Сга_2 по < а,0 > или по < Оу >, причем г*5, г*+1й (аналогично /85, /5+1й) принадлежат разным сомножителям группы Сп-1, — ядро слова д.
Если не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги /гад и гпд принадлежат одному сомножителю группы Сга_ 1, а — другому.
Для группы Сга_ 1 = Сга_2 *<«.„> С^ понятия трансформы, левой (правой) половины, изолированной половины, специального множества, слова, простого
слова определяются также как для группы С. А также для группы Сга_1 = Сга_2 справедливы теорема 1 и леммы 1-7.
Разложим ядра Су,г] = 1, к, в свободное произведение по лемме 7 следующим образом:
Су = (М0у) * (Му) * ... * (Му). (7)
В (7) отсутствуют группы вида (Л/у,) = r_у1r—у1... г-г у, где Су,
— подгруппы из С^, так как Н не содержит элементов конечного порядка. Следовательно, все подгруппы из (7) имеют вид (М^) = д^С^д^, ] = 1,1, где Су г — подгруппы ИЗ Сга_ 2-
Добавим к (М0) свободные части g~1(Moj)gj, j = 1, к. На данном шаге получим (М0) * * ... * дк\Мок)дк.
Теперь перейдем к группе Сп-з, разложим Су,, присоединим свободные части и так далее. Через конечное число таких шагов получим ядра, являющиеся подгруппами из свободного произведения двух сомножителей вида С, для которых доказано, что они свободны. Так как сопряжение свободной группы вновь есть свободная группа, то присоединяя ее на каждом шаге, получаем требуемое утверждение.
Теорема доказана.
5. Заключение
В настоящей работе нами доказана следующая теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой: пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы Артина С с древесной структурой, причем для любого д € С и любой подгруппы Су, г = _?', выполнено равенство дНд-1 П Су = Е, то Н является свободной.
В процессе доказательства использовались приведение множества образующих к специальному множеству, представление подгруппы в виде свободного произведения групп, задание группы с помощью графа.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Известия ТулГу. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. С. 67- 82.
2. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
3. Курош А. Г. Теория групп. М.: Физматлит, 2011.
4. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.
5. Романовский Н. С. Теорема о свободе для групп с одним определяющим соотношением в многообразиях разрешимых и нильпотентных групп данных ступеней // Математический сборник. 1972. Т. 89 (131), №1 (9). С. 93-99.
6. Адян С. И., Дурнев В. Г. Алгоритмические проблемы для групп и полугрупп // УМН. 2000. Т. 55, №2 (332). С. 3-94.
7. Классен В. П. Строение подгрупп с тождеством в группах с малой мерой налегания определяющих слов // Матем. Заметки. 1978. Т. 24, №3. С. 305314.
8. Ваньков Б. П. Тождества в группах Гриндлингера // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1986. С. 66-71.
9. Губа В. С. Об условиях, при которых 2-порожденные подгруппы в группах с малым сокращением свободны // Известия вузов. Сер. Математика. 1986. № 7. С. 12-19.
10. Аржанцева Г. Н., Ольшанский А. Ю. Общность класса групп, в которых подгруппы с меньшим числом порождающих свободны // Матем. заметки. 1996. Т. 59, №4. С. 489-496.
11. Аржанцева Г. Н. О группах, в которых подгруппы с заданным числом порождающих свободны // Фундамент. и прикл. матем. 1997. Т. 3, №3 . С. 675-683.
12. Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion // Proc. London Math. Soc. 2004. Vol. 88, no 1. P. 89-113.
13. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. T. 4, №1. C. 199-222.
14. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. 1983. С. 50-80.
15. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения подгрупп в классе HNN-групп. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. 1981. С. 20-61.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Поступило 27.02.2014
