Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 16-31

= Математика =

УДК 519.4

Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой

В.Н. Безверхний, О.В. Инченко

Аннотация. В работе доказано, что пересечение конечного числа конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой конечно порождено и существует алгоритм, выписывающий образующие этого пересечения.

Ключевые снова: группа Кокстера, проблема пересечения подгрупп.

Пусть С конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, заданная копрсдставлснисм

Є = (аь ... ага; (а*)2, (aiaj)mij, г, і Є 1,«, і ф ]) ,

где — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при г ф тц = ш^, тц ^ 2.

Группе О соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если

Г

ребру е соответствует соотношение вида (aiaj)mij = 1.

С другой стороны группу С можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по

Г

пы О перейдем к графу Г следующим образом: вершинам неко-

торого ребра ё графа Г поставим в соответствие группы Кокс-тера на двух образующих = (о*, aj^, (а*)2, (а^-)2, (aiaj)rnij) и

Єік = (о*, ак; (а*)2, (ак)2, (аіак)ГПік), а ребру ё — циклическую подгруппу (о* |(а*)2).

Группа С удовлетворяет условию максимальности, если всякая возрастающая последовательность ее подгрупп Н\ ^ ^ ... , стабилизируется,

т.е. существует натуральное число п такое, что для любого М, N > и, Нм = Яя=1 = ...

Будем говорить, что в группе С разрешима проблема пересечения ■классов смежности конечно порожденной подгруппы, если для любых двух конечно порожденных подгрупп Н\ и Яг группы С и любых слов шь шг Є С

существует алгоритм, позволяющий установить пусто или пет пересечение т\Н\ П Ш2Я2.

В [3] был получен следующий результат:

Теорема 1. [3]. Пусть (7 древесное произведение групп

С = \ П *С’з] гс1С,1.....гс1(7*;

\й=1

объединенных по 'изоморфным подгруппам < (7* и Uji < Gj с помощью фиксированного набора конструктивных изоморфизмов = \Jji-

Тогда, если подгруппы и Uji обладают условием максимальности и в сомножителях разрешимы проблемы:

1) проблема вхождения;

2) проблема пересечения ■классов смежности любой конечно порожденной подгруппы Я < (7 * с подгруппой < (7*;

3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Я < (7* с подгруппой < (7*.

то в группе (7 разрешима проблема вхождения.

Пусть конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой имеет представление вида (1), где каждый сомножитель С* есть группа Кокстера на двух образующих, а подгруппы — конечные циклические подгруппы.

Очевидно, что конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, представленная в виде свободного произведения с объединением по конечным циклическим подгруппам, удовлетворяет условиям теоремы 1. Таким образом, в данном классе групп разрешима проблема вхождения.

Как следствие получаем разрешимость проблем вхождения в циклическую подгруппу и в параболическую подгруппу, доказанную в [5] и [6] геометрическими методами.

Будем говорить, что группа в обладает свойством Хаусона, если пересечение любых двух ее конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа.

Рассмотрим группу (7* = {(7, гс1 (7, = ф{и{)), являющуюся

НИМ-расширением группы С с помощью конечных изоморфных подгрупп и 1 и 11-1 и фиксированного изоморфизма <р: <р(и 1) = С/_1, £ — не принадлежащая (7 правильная проходная буква.

В [1] был получен следующий результат:

Теорема 2 ([1]). Если в группе (7* ее основа (7 обладает свойством Хаусона. то и (7* обладает свойством Хаусона.

Баумслагом был получен следующий результат:

(і)

Теорема 3. Если в свободном произведении С = Са * Сг групп (7*. г = 1,2 каждый множитель обладает свойством Хаусона. то и С обладает свойством Хаусона.

Теорема 4 (Миллср-Шупп). Группа С = (Са * = 92(^1)). явля-

ющаяся свободным произведением групп Са ы С2 с объединением по изоморфным подгруппам П\ и IIс помощью фиксированного изоморфизма (р: 92(^1) = и—1; изоморфно вложима в группу С* = (Са * Сг, гс1 Сь гс1 Сг,

= ^ г)).

Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Кокстера Су = (ai,aj■,(ai)2,(aj)2,(aiaj)mij) и = (о*, а*,; (а*)2, (а*,)2, (а*а*.)т<*), объединенных ПО циклической подгруппе (о* |(о.г)2):

С = (о*, а,-, а', а^; (а*)2, (%-)2, (а')2, (а*,)2, (а*а?-)"4', (а'а/О”1**', а* = а') .

По теореме 4 группа С = <р(а*) = а') изоморфно вложима в

группу С* = (Су * Сг/ь ге1Су, гс1С*^, £_1а*£ = <р(а*)). Из теорем 3 и 2 следует, что группа С* обладает свойством Хаусона и, значит, группа С также обладает свойством Хаусона.

Необходимо установить алгоритм, позволяющий выписывать образующие пересечения конечного числа конечно порожденных подгрупп группы С. Вопрос о нахождении образующих пересечения подалгебр данной алгебры был впервые сформулирован А.И. Мальцевым в 1958 г.

Слово из группы С можно представить единственным образом в виде

ё = к8к8 ■ ■ ■ 1пеКегпе ... пе, (2)

где и 1^ — представители правых классов смежности группы по

(сц | (а*)2) и Сч*. по (а' | (а')2), причем пе,^гг+1е (аналогично 138, 13+18) принадлежат разным сомножителям группы С. А'^- — ядро слова

Если не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги 1гаё- и гП8 принадлежат одному сомножителю группы С, а А'^- — другому. В этом случае слоговая длина слова (2) равна Ь(§•) = 2и + 1.

Определение 1. Если в (2) Ье12§ ■ ■ ■ кщ = {'гГщ ■ ■ ■ то слово

ё = г1е ... гпвКег~\... г^1 (3)

называется трансформой.

Если принадлежит объединяемой подгруппе, то в (2) слоги 1гаё- и гП8 принадлежат разным сомножителям группы С. В этом случае слоговая длина слова

ё = кеке ■ ■ ■ 1п8Ь8гтщ ... г1в, (4)

где = А'^-, равна Ь(ё) = 2и.

Слово вида (2) будем называть нстрансформой нечетной длины, вида (4)— нетрансформой четной длины.

Определение 2. Подслово hghg ■ ■ ■ hig{'rng ■ ■ ■ rig) называется левой (правой) половиной слов (2), (4). Подслово hghg ■ ■ ■ higKg (Kg'rng ■ ■ ■ rig) — закрытым начальным (конечным) отрезком.

Определение 3. Левая (правая) половина слова ич = liWihwi ■ ■ ■ ... hnwi KWirmWi ... r\Wi называется изолированной в множестве {ш^ }, j G 1 ,N, если ни у одного из слов Wj, s = ±1 множества ({%•} \ wi) U ({^J1} \ wil) нсльзя выделить hwihwi ■ ■ ■ hnwi (г„гш{ ■ ■ ■ Пт) в качестве начального (конечного) подслова, т.е. w? ф hWihWi ■ ■ ■ hnWihn+iWj w£jn (w£j ф wejlrm+lwj

Г'тиц • • • )■

Определение 4. Конечное множество слов W = группы G

назовем специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) Левая половина нетрансформы из множества W изолирована в нем. Если нстрансформа четной длины, то изолирована и левая и правая половины.

2) Длину нетрансформы Wic нсльзя уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы, порожденной множеством ({wi} \ Wic). Длину произвольного элемента нсльзя уменьшить, умножая на слово w длины меньше L(wic), принадлежащее подгруппе {{u^lieTlv)-

3) Пусть wfQ = I

lw()hw() ■ ■ ■ [fiii'n k ti'ij ■ ■ ■ <1‘ j + I ii'ij l‘j u'ij ■ ■ ■ 1‘ I f/'u ■ - — il,

j < n — нстрансформа из множества {u^lieTlv и {w^. = hwathwai ■ ■ ■ hiwai KWa.rnWa. ... rjwo ... rlwo}i=Tj, £i = ±1 подмножество нстранс-

форм из множества ({ггч} \ w^q) U ({u^1} \ “й1)) правые половины которых оканчиваются подсловом rjwo... r\W(i, тогда если подгруппа {M8eIjv> П г^о ... rj^oDrjwo ... rlwo = В, где

U = [ Gij, если rj+iWo G Gij;

\ Gik, если гj+iW(j G Gik

не единична, то L{wi0u) ^ L{wi0), где и G В, L{wi0uw£J.) ^ L{wi0).

4) ПуСТЬ Wi = 1\'иц • • • hwih+lwi ■ ■ ■ hiwi^wi'f'nwi • • • 'Г's+1'иц'Гswi • • • г1иц И Wj = h'Wj ■ ■ ■ hwj h+lwj ■ ■ ■ Imwjk w/t'mwi ■ ■ ■ 'f's+lwj’f'swj ■ ■ ■ I и- , СЛОВа ИЗ

не обязательно различны, т ^ п, s ^ т, тогда не существует

слова g ф 1 длины меньше 2s из подгруппы {{u^}jer”/v) такого, что если

hw{ ■ ■ ■ lsw{ Ф hwj • • • hwj i ТО

gWi = hwj ■ ■ ■ hwjlg+lwi ■ ■ ■ hiwi^w^'nwi ■ ■ ■ 1's+iWirsvli . . . r\Wi,

либо если rSWi . . . rlwi ф rSWj . . . rlwj , TO

Wig = hw{ ■ ■ ■ Is-Wih+lWi ■ ■ ■ hiwi^WiTnWi ■ ■ ■ rs+lWirsWj ■ ■ ■ T'lw

Либо ССЛИ rfj . . . Г~1 ф hwj ■ ■ ■ Iswj, TO

Uj 7

swi = h'Wj ■ ■ ■ h'Wj (''’s+luji) • • • {гпт{) i^'Wi) hi'Wi - - - h'Wi’

либо если . . . 1^. ф г^. . . . г\,тр то

= г1-т • • • гп1ч {К'шУ1 (С»;)’1 • • • Ц’з+ЪтУ1 г*^ ' ' ' г1^-

Лемма 1 ([7]). Всякое, конечное множество слов группы

С = С.;,- * можно через конечное число шагов преобразовать в

специальное.

Пусть IV — специальное множество слов. Разобьем его на подмножества следующим образом: подмножеству Мо принадлежат все нстрансформы, а подмножествам М* трансформы с одинаковыми крыльями, принадлежащие ОДНОЙ подгруппе, сопряженной некоторой группе Су ИЛИ С Иг- Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (М.;), I = ОД, имеющую вид: (М-) = Г~У... г„/Г’гг„( ... Гц. Здесь С.1 — подгруппы из Су или (7^, порожденные ядрами трансформ. Упорядочим подгруппы (М*) по длинам крыльев трансформ. Получим ряд

(Мх) ^ (М2) ^ ... ^ (М*) (5)

Лемма 2 ([7]). Ряс? (5) можно преобразовать в ряд

(МО ^ (М£) ^ ... ^ (М£), (50

обладающий следующими свойствами:

1) ёР ((М0), (М\).....(Мк)) = ёР ((Аф , (М[)........(М'к));

2) если подгруппе (М'^) = г^х .. .г^С^г-пх .. ,г\х, 1 ^ ^ к' при-

надлежит трансформа и = г^х .. .г~хкг11Х .. .г\х, где к принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (5') имеется подгруппа (М[) = г^х... г^1хС[гп-1^ ... г1х содержащая и:

3) если для некоторой трансформы и = г^х ... г~*Кхгпх ... г\х. принадлежащей подгруппе (М'-) = г\х ... г~хС'^гпх ... г\х. и нстрансформы У = Чу ■ ■ ■ ^пгуКуЬпгу ■ ■ -1\у из Мо, щ ^ п, (левая половина у изолирована) выполняется соотношение Ь(у~1иу) ^ Ь(у), то существует подгруппа (М') ряда (5;), содержащая трансформу у^1 (г^х ... г~хКхгпх ... г\х) у, а если Ь(уиу~1) < Ь(у), то существует подгруппа (М'в) ряда (5;), содержащая трансформу у (г^х... г~^Кхгпх ... гы) у-1:

4) если (М'.) = г^1 ... г-\,хС’5гП1Х ... Т\х, (М') = г^1... г~^хг~^+11у ...

■ ■ ■ гп1уСв'гп2у ■ ■ ■ г 1х — подгруппы ряда (5’), «2 > п\, и подгруппа (М'-)

содержит трансформу и = г^х ... г^хЬгП1Х ... г\х, либо и' = г^х ... г~*х ■ К'гП1х ■ ■ ■ 'I" 1-х; где К = г~^+1 уЬгП1+1'У, то существует подгруппа ряда (5;)

(К) = Г1х • • • ГП1ХГП1 + 1,у

С'кГП1 + 1>у...Г1х, содержащая в первом случае трансформу и, во втором — и';

5) если (M's) = г^1... г~*хС'3гП1Х ... г1х подгруппа из ряда (5;) и у6 = ... 1п}уКгп.2У ... гП1+1'УгП1Х ... г\х. е = ±1 — элемент специального

множества, причем подслово г^1... 'r’nlxrni+i у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы w£. £ = ±1 и если подгруппа (M's) содержит трансформу г^1 ... r~^xhrnix ... г\х либо трансформу rix ■ ■ ■ rnix^rnix ■ ■ ■ rix, где К = r~^+1<yhrni+ity, то существует подгруппа ряда (5') (И-) = г^1... r-^xr~l+ltyCjrni+lty ... г1х, содержащая эту

трансформу.

Лемма 3 ([7]). Подгруппа (Mq). порожденная нетрансформами специального множества — свободна и не содержит трансформ.

Подгруппу, порожденную специальным множеством обозначим

через gp (Mq, S). Она представляет собой HNN — группу с основой S, являющуюся древесным произведением, правильной системой проходных букв которой служат элементы из Mq. Подгруппы (Mq) и (Mj), j = l,k ряда (5;) будем называть порождающими подгруппами (wь... , wn) = gp (Mq, S).

Определение 5 ([7]). Произведение u\... и к назовем словом подгруппы {Wl.....Wn) = gp (Mq, S) группы G = Gij * Gik, если

1) щ ф 1;

2) щ G { Mq U Mq1 } либо щ принадлежат некоторой подгруппе из ряда (5;);

£) U'i Ф ^« + 1!

4) щ и щ+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (5');

5) В Ui ■ ■ ■ Uk нет произведения UiUi+iUi+2 (i = 11 k — 2), где щ = u.^12, Ui G {MQ U Mq-1}, ui+1 G (Mj) и UiUi+iUi+2 G (M'); (M'.), (M') — из ряда (5').

Лемма 4 ([7]). Всякое произведение w^w^ ■ ■ - win- ej = ^1,- г^е wij ^ образующие подгруппы {{wi}i£YJi)■ че’Рез конечное число шагов можно привести к слову иц ... Uik, к ^ п подгруппы gp (Mq, S) = {{wi}i£Y7i)■

Определение 6 ([7]). Будем говорить, что между словами v\ и V2 имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения V\V2 соответственно больше, равна или меньше максимальной из длин L(vi), L(v 2).

Определение 7 ([7]). Слово и\... Uk является простым, если Ь(и\... и к) = max{L(ui)....................L(uk)} .

Лемма 5 ([7]). Если и±... Uk — слово подгруппы gp(Mo,S). то Ь(и\ ... Uk) ^ Ь(щ). г = 1, к.

Следствие 1 ([7]). Если в слове. и±... и к выполнить сокращения в группе. С; то в нем сокращение не затронет, по крайней мере, левую половину и\.

Следствие 2 ([7]). Всякое, слово подгруппы gp(Mo,S) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание, первого рода.

Лемма 6 ([7]). Пусть {ги* ^ — специальное множество

слов группы С и N = ^ подгруппа в С. И пусть

ш| = Ьиц ... 1пчщК'ицГппц ■ ■ ■ Г1ш{ (в = ±1) — элемент специального множества. V = 1 ^ ^ ^ п — начальное подслово левой половины

го|. причем V не является изолированной левой половиной го|. Тогда, если

А-ги = N Г) 11т ... ltwiA.jlt.wi • • • Е. где.

^ _________ Г Су, если 1риц € С 1к]

^ ^С-^, если ltwi ^ Ц1

то ряд (50 содержит подгруппу (М3) = А^.

Лемма 7 ([7]). Всякое, конечное множество слов {^г}геТ”/у группы С = Си * С*д. можно через конечное число шагов преобразовать в

к к?>

специальное.

Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы С порождена двумя различными специальными множествами, т.е. Н = gp(MQ,S) и Я = gp (Мр, 5;), где основа Б порождена подгруппами ряда

(М\) ^ (М2) ^ (Мк), (6)

а 8' порождена подгруппами ряда

(МО ^ (мО ^ ... ^ (м’к), (б')

(Мг) = VI {С* € Су или С* € С**.; (М>) = gJ1C'jgj, С'- € Су или

С' € С^.

В [2] показано, что простое слово их... подгруппы gp(MQ,S) может быть одного из следующих видов:

a) слово и± ... ик содержит нстрансформу максимальной длины, т.е.

Ь(иг) > Ь{и^, 1 ^ ^ г — 1, г + 1 ^ 3 ^ к, щ — нетрансформа:

b) слово и±... ик содержит нстрансформу щ и трансформу щ+\ максимальной длины, т.е. Ь(щ) = Ь(щ+1 ) = Ь(щщ+1), Ь(щ) > Ь(и^), 1 < ; < г -1, г + 2 ^ у ^ к]

c) слово и\ ... ик содержит нстрансформы щ и щ+2 и трансформу

щ+1 со свойствами: Ь(щ) = Ь(щ+2), Ь(щ) = Ь(щщ+1) = Ь(щщ+1Щ+2),

Ь(щ) > Ь{и1 ^ — 1, г + З^^' ^ к, причем длина слова щ+\ может

оказаться меньше длины щ, 0 ^ Ыи.1+\) ^ Ь(щ):

с!) слово и±... ик содержит трансформу щ максимальной длины.

Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы С порождена специальным множеством, т.е. Н = gp(Mo, Б). Каждый элемент g ф 1 из Н имеет несократимую запись в го-символах: g = г/^гоЦ ■ ■ ■ го?®, є і = ±1. Перемножая рядом стоящие трансформы одного типа, получим запись слова g в гі-символах: g = щ ... щ, где гг* ф 1, гг* ф гг^, і = 1, к — 1.

Проведем в слове g = и\ . . . щ все сокращения в группе Є, получим слоговую запись этого элемента: g = g\g2 • • ^gk, к ^ 1.

Лемма 8. [1]. Каждый слог gi слова g = glg2 ■ ■ ■ gk имеет вид

gi = Ui.rHJir.iu';. і = 1, к, (7)

где хі — центральный или правый слог и$-і; у і — центральный слог Uj Є М„.і; з = 1,2* — левый или центральный слог Uj+сц и а' — элементы из объединяемой подгруппы.

Рассмотрим конечное множество конечно порожденных подгрупп Ні, #21 • • • •> Нп группы С. Нам необходимо установить тривиально или нет пересечение Н\ П Н2 П ... П Нп.

Обозначим специальные множества образующих подгрупп Н\, Я2,... , Нп через = {wi}ІIE:YJГ І = Будем полагать, что эти множества

удовлетворяют лемме 1.

Если пересечение Н\ П Н2 П ... П Нп не тривиально, то найдутся такие Ьз Є Hj, j = 1, «, что /її = /12 = ... = 1іп = V. Перепишем слова в гг-сим-волах соответствующей подгруппы:

= «(2)(1)и(2)(2)...и(2)(г2) =

= и(п)(1)и(п)(2)...«(п)(г») =

= <7(1)<7(2)...9(г). (8)

Последняя строчка равенства (8) даст несократимую запись слова V в группе С.

Будем называть (%№') типом трансформ порождающей подгруппы = (г№) 1 Аг1^ подгруппы Hj, а'р ^ С и обозначать его

(г№\г). Символом Ь((г№\г)) = 2Ь(г№) + 1 будем обозначать длину типа (г^К г), а символом множество всех типов трансформ подгруппы Hj. Пополним символом Ри) £ С, получим множество Т^К Обозначим через

множество и и Т^\ ] = 1,соответствующее подгруппе

Hj. Присоединим к множеству символ 7^ ^ С, получим Я^К Соотношения (8) определяют следующее отображение:

¥>„(1,2.....г) = х х х Т(1^ х х х 2+) х

х (г+ х (й(2) х х Т(2) х (й(2) х 2+) х 2+) х ...

... х х (Я{п) х 2+) х Т{п> х (я(га^ х 2+) х 2+) , (9)

где 2+ = {0,1,2,...}.

По лемме 8 каждый слог из последней строчки равенства (8) образован элементами трех соседних символов, т.е.

(1) (1) (1) / (2) (2) (2) , (га) (га) (га) ,

я(к) = агхк >ук >гк ’ аг = агхк ук гк Ч = • • • = агхк ук >гк аг.

Тогда отображение (9) определяет функцию

4>ь(к) = (р^Ч^), ^(Аг), (т-^Ч*), Р^ЧАг)), Рг»{1>(Аг)),

(р{,2ЧА:), (т-ГЧАг), Р^2Ч*)), т{2ЧАг), (42Ч*), Р^ЧАг)), Рг»{2ЧАг)),

где номер к соответствует слогу д(к) = счх^у^г^а^ слова у;

Ро\к) — номер элемента о* в ассоциированной подгруппе (о*; а2), т.е. при-

нимает значения 0 или 1; аналогично р^^(к) принимает значения 0 или 1;

гр\к) = -ук \ рр{к) = 0, если хр = 1, т.е. не принимает участия в образовании слога д(к);

гр(к) = тр(к) € Я^ \ {7^}, если ^ 1 и — есть рр(к)-й слог

ш^(/г);

т^Цк) = если ур = 1;

т^Цк) = (у^\г), если ур — слог трансформы типа (у^\г)\

'^(к) = 7^’), если гк^ = 1;

Г2^(к) = т^Нк) е \ {7^}, если 2^ ^ 1 и гк ^ — есть '/4^(£:)-й слог

слова т^Нк).

Определение 8. <ръ,{к) назовем типом слога д(к) в слове гк Мощность множества всех типов не превосходит числа

га / Ч 2

Л=4П 2 Е Ь(иии)) + 1] (|Т«>|), (10)

^ = 1 ^ ш0')еи/0')

где |Т^| — мощность множества Т^\ $ = 1, и; множитель 4 — есть порядок ассоциированной подгруппы в квадрате.

Обозначим через Р пересечение Н\ П Яг П ... П Нп.

Лемма 9 ([1]). Если Ь(п) > А. где V — слово 'из (8) и V € F. п ф 1. то существует слово п' € Р. Ь(и') < Ь(п). удовлетворяющее равенствам (8).

Лемма 10 ([1]). Пусть имеем хю\ = </(1)</(2)... </(г) ...</(£: + 1) и = <7(1М2) • • • д’(г)... д(к + 1),. где шь ш2 € gp{MQ,S), д(г) ф д’(г). хю\ = и(1)и(2)... и(] — 1 )и(^')и(^' + 1)... и(п) — слово подгруппы gp(M(ІJ 8). д(г) = а,.г,а', причем ж*, у*, г* — слоги соответствующих и-символов:

- 1) = «лев(; - 1)хт„Ри - 1),

«(Я = «прС? - 1)угиПрО' - 1),

«С? - 1) = «прО' - 1)«*«пр0* + !)•

Тогда го 2 = и(1)и(2)... и(^- — 1)и'(^)и(^ + 1). .. м(п). где и(^), и'{]) — трансформы одного типа.

Лемма 11 ([1]). Пусть гоь шг € С и = </(1)</(2)... д(г)... д(к + 1). \Ю2 = </(1)</(2) ... </(г)... ц(к + 1); шь ш2 € Тогда в подгруппах Hj.

j = 1,« существуют порождающие подгруппы (М^],) = (г^)

и элементы € С такие, что (с1Л^)с^1^ П (с^) 1Л^)с^2^ П ... П

Лемма 12. [1]. Пусть го = (?(1)(/(2)... </(г)... <7(/г + 1) 6^ имеет следу-

ющие. записи в и-символах подгрупп Hj :

у) = г<^(1)г<^(2)... и^(к^^ — 1 (к^)и^(к^^ + 1) ... и^^гц),

где д(г) = ара'рК j = 1, хр, у^\ гр — слоги соответствующих и-символов:

ии)^и) — 1) = и^в(к^^ — 1)ж^г4ф (А;^ — 1), и^(к^) = г^ (к^ — 1)ур (к^^ — 1),

и^Цк^^ — 1) = г^ — ^гри^Мк^^ + 1),

пр \ и пр '

ииЧки)) Є (М%) = 4ІГІ(^(І) - 1)А^и^(к^ - 1).

Тогда, если

-"ЧЧ™ (^’гЧ-Г’г1 п • • •п = о ф е,

то подгруппа </(1)</(2)... д(г — 1 )Од~1({ — 1)... </_1(1) с F.

Лемма 13. Пусть О — совокупность всех слов хи € F. слоговая длина которых не превосходит А. Тогда существует конечное подмножество слов О' С О. О' = {шь... , и 7 конечных семейств трансформ %г = {$1г,..., 3Р{г}; 1 ^ г ^ 7 таких, что подгруппа, порожденная

множеством совпадает с подгруппой порожденной множеством

п’ и ( Ц

Доказательство. Пусть Hj, у = 1, « — конечно порожденные подгруппы группы С, порожденные специальными множествами. Тогда каждая подгруппа Hj представима в виде Hj = gp(MQ \ 5^), где М^ — множество всех нетрансформ из специального множества образующих подгруппы Hj, — основа Hj, порожденная подгруппами

где (М^) = Ю ^ №.

На множестве «-символов подгруппы Hj зададим отображение Ф^(«) следующим образом:

у), , _ \ и, если и е М^;

“ ц^ТЧ^’. ^ («Г) = Ч’ГЧЧ-

Символы а^ \ 1 ^ к ^ не принадлежат группе С.

Распространим отображение на подгруппы Hj (на произведения «-символов) следующим образом. Пусть = «^(1)«^(1)... «^(т^) — слово подгруппы Hj, записанное в «-символах. Тогда

фШ(шШ) = фЬ')(и0')(1))ф0')(ии)(2))... фЬ')(иО')( и>))-

Назовем образ при отображении Ф^ символическим словом. Если в слове и;^ г-й слог имеет вид д(г) = архрургра-^\ где ур — центральный слог некоторой трансформы из (М^) (х\^, могут

отсутствовать, в этом случае полагаем их равными единице), то в образе ф0‘)(.ш(.?)) данный слог будет иметь вид при этом данное про-

изведение будем считать слогом в Ф^(ш^). Таким образом, под слоговой длиной Ф^(ш^) будем подразумевать слоговую длину ги^К

Пусть О — множество всех слов из Н\ П Нч П ... П Яга, слоговая длина которых не превосходит числа А. Рассмотрим множество всевозможных символических слов Ф^(«/■?))> соответствующее подгруппе слоговая длина

А

гт(1) гг(2) гт(п)

рим множество Н л х Н л х ... х НА , п-ку символических слов (ф(1>(«{1>(1))ф{1>(«{1>(2))... Ф(1)(и(1)(га(1))), • • •

... , Ф(П>(«(П>(1))Ф(П>(«(П>(2))... Ф(п)(и(п)(га(п))))

тГ(1) гг(2) тт(п)

из х х ... х назовем согласованной, если существует слово

ги е НгПЩП... П Нп, Цчл) ^ А, где

V} = г(1)(1)2(1)(2)... 2(1^/7г(1)) = Й(2>(1)«(2>(2)... и(2){т(2)) = ...

... = и{п)(1)и{п)(2) ...и{п)(т{п)),

такое, что т^ = т^1\ ..., т^ = т^п'> и

Ф{1>(«(1>(1)) = Ф(1)(й(1)(1))......Ф {1)(и{1)(т{1))) = Ф (1)(2(1}(го(1))),

ф(2)(и(2)(1)) = ф<2)(г<2)(1))......Ф<2>(«(2>(гтг(2>)) = Ф(2>(Й(2>(/те(2>)),

ф(")(„(")(1)) = ф(п)(«(")(1)).....Ф<п>(«<п>(т(п))) = Ф(п>(«(п>(т(п>)).

Очевидно, что символические слова, образующие согласованные п-ки, имеют одинаковую слоговую длину.

Определенное отображение множества слов из О на множество согласо-

гг(2) тт(п)

ванных п-ок из Я д х /і д х ... х Нл' однозначно.

В дальнейшем согласованную п-ку будем обозначать через

(ф(1>(ш(1>), Ф(1)(и>(2))...Ф<п>(ш(»))) •

Обозначим через 0,ш подмножество слов из О, имеющих в качестве образа фиксированную согласованную п-ку (Ф^(ш^), Ф^(и/20, • • •, Ф^(и/п0). Покажем, что в £1т можно выбрать слово ю, а в П — конечное множество

трансформ • • • і связанное со словом ш и такое, что подгруппа (го, (5іш, • • • 1 $зи,т) содержит множество 0,ш.

Пусть 0,ш = {гур}, р Є N и каждое иир имеет вид

= ё1Рё2Р ■ ■ ■ ёк+1Р = «[^(1)«[^(2)... з = ТГп.

Допустим, что для любого слова иир из множества £ХШ существуют 1^г^5^/г + 1, такие, что

§1 = 5"ірі • • • Єі—1 = Єі—1рі ІГя+І = Єз+1рі ■ ■ ■ 1 ёк+1 = ёк+1р-

Если і = в, то все слова иир Є 0,ш отличаются только г-м слогом. Тогда для

(?) ( \ (?) (?) (?) (?) (?) (?) любого р справедливо а\ ё1ра1 = х- уір, где х- , у/ , г\ — слоги

соответственно «-СИМВОЛОВ — l)i и + 1),

трансформы, принадлежащие порождающей подгруппе

U) \ _ (Аз) \-1 Aj) Aj)

№>) =

Тогда на основании лемм 9, 10, 11 подгруппа

"i'MM'j,, (.^’ГЧ4 П П

g!g2 ■ ■ ■ gi-iDg^ ... g2 1g11 G Hi n H2 n ... n Я

n♦

Подгруппа I) конечно порождена, в качестве <51 -ш, <5гим • • • •> выбираем образующие подгруппы

glg2 • • • gi-lDgr}1... g21gl1.

Причем, если г > то эту подгруппу заменим подгруппой

-1

Wp ‘ (g!g2 ■ ■ ■ gi-iDg-Д ...g2 Viг) Wp.

Пусть г < s. Тогда как и предыдущем случае рассматриваем подгруппу D = аГЧ'Ч1,!.. О^ГЧ1’ П (^Г^' П • • •

... Г,

Если D = Е, то в образовании г-ого слога каждого слова wp принимают участие слоги х\^\ u-символов «j^j(s^ — 1) и «j^j(s^ + 1), поэтому Ур '■ gip = gii чт0 невозможно по предположению. Следовательно, D ф Е и в качестве трансформ 5\w, <5гим • • • •> SSwW выбираем образующие подгруппы gig2 ■ ■ ■ gi-iDg^}1... g2lg\l- Затем, используя элементы из подгруппы D, во всех словах wp € 0,ш г-слог сделаем равным gi, после чего переходим к (г + 1) слогу, повторяя для него указанную процедуру. В результате через конечное число шагов построим слово wq и связанное с ним конечное множество трансформ Siu,0, 52Ш0, • • • , ^su,0u’0i с помощью которых можно образовать любое слово из 0,ш. Причем, если начиная с некоторого номера г, 1 ^ i ^ sWQ слоговая длина трансформ 8iW0 больше [-^р], то заменяем их на

С,о = W01S*W0W0-

Лемма 14. Пусть О — совокупность всех слов w € F. слоговая длина которых не превосходит А. Q' = {w 1,... ,w-y} конечное подмножество слов. Zi = ... , SPii} конечные семейства трансформ. 1 ^ г ^ 7. Тогда

(П) = и ( и z?j | = Ях п я2 п... п нп.

Доказательство. Из предыдущей леммы следует, что из множества слов П С Ях П Я2 П ... П Нп со слоговой длиной, не превосходящей А, можно выбрать конечное множество Г2' = { шь ... , ш7} и конечное семейство трансформ 2-1 = {<51*,..., <5^*}, 1 ^ г ^ 7, каждое из которых связано со словом

го*, такие, что (О) = и ^ и 2*^ |. Покажем, что и ^ и 2*^ | = Н\ П

Я2 П ... П Нп.

Допустим противное. Тогда существует слово хи € Н\ П Я2 П ... П Нп такое, что Ь{т) > А, ги ^ (О). Пусть ги = g\g1 ■ ■ ■ gk+l■

Предположим, что любое слово из Н\ П Я2 П ... П Нп со слоговой длиной к' < к + 1 принадлежит (О). Так как Ь(ии) > А, то существуют г, г', г < г' такие, что <рш(г) = (рт(г'). Тогда из леммы 8 следует, что слово

= ё\ёг ■ ■ ■ ёгёг' + 1 ■ ■ ■ ёк+1 И СЛОВО V)" = glg2 • • • ^г' + 1 ■ ■ ■ gк+1 ПрИНаДлежат Н\ П Я2 П ... П Яга, и так как Ь{т') < к + 1 и Ь{т") < к + 1, то г//, ги" € (О). Тогда слово (г//)-1 ги или т (ги")^1 имеет слоговую длину меньше к + 1 и поэтому принадлежит подгруппе (О). Лемма доказана.

Из леммы 14 вытекает следующая терема.

Теорема 5. Существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения конечного числа конечно порожденных подгрупп группы (3 = (Зц * Сцг-

Пусть С — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, представленная в виде свободного произведения двупо-рожденных групп Кокстера объединенных по конечным циклическим

подгруппам: (7 = ^ П *(7Я; гс1 (7ь ... , гс1 (7Я; а* = а'^. В этом слу-

чае группе Кокстера (7 соответствует дерево-граф Г такой, что, если вершинам некоторого ребра ё графа Г соответствуют группы Кокстера на двух образующих (7*^- = (а*, aj^, (а*)2, (а^-)2, (cчc^j)rnij) и С*д; = (а*, а&; (а*)2, (а&)2, (а*а&)г'г^), то ребру ё соответствует циклическая подгруппа (а* |(а*)2) (рис. 1). Представим конечно порожденную группу Кокстера с древесной структурой С в виде свободного произведения двух сомножителей, объединенных по конечной циклической подгруппе следующим образом. Рассмотрим древесное произведение к — 1 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Г&_1, Г^_! С Г. Группу, соответствующую графу Г к-1, обозначим через Си-\- Пусть п-й сомножитель — подгруппа Сху соответствует вершине дерева-графа Г (рис. 1), которая связана с графом Гтолько одним ребром е*. При этом ребру 61 соответствует циклическая подгруппа второго порядка (аж|а2). Таким образом, группа (7 представлена как свободное произведение двух подгрупп — Ск—1 и Сху, объединенных по циклической подгруппе порядка два {ах\ах), т.е. (7 = (7&_1 * Сху.

(ах\а~)

%

Рис. 1. Дерево-граф группы С

Предположим, что группа обладает свойством Хаусона. Но тогда по теореме 3 группа С = {Ск-\ * Сху\ <р{ах) = а'х) изоморфно вложима в группу С* = * Оху, 1; геЮк-ь гс1(1ху, ьг1ах1 = <р(ах)). По теореме 2,

группа С* обладает свойством Хаусона и, следовательно, группа С также обладает свойством Хаусона.

Используя тс же рассуждения, что и для группы С можно получить обобщение теоремы 4 на группу С =

Кроме того, алгоритм, полученный при доказательстве теоремы 4, позволяет выяснить для любого конечного числа конечно порожденных подгрупп Яь Я2, . . . , Нп группы С И любых СЛОВ Шь ш2, • • •, иип € С пусто или нет пересечение т\Н\ Пю2Я2П...П тпНп.

Список литературы

1. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в НИМ-групнах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, № 1. С. 199-222.

2. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп // Вопросы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПИ, 1972. С. 3-86.

3. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПИ, 1986. С. 3-22.

4. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.

5. Безверхний В.Н., Инченко О. В. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, выи! 2. С. 75-80.

6. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Разрешимость проблемы вхождения в параболические подгруппы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2006. Выи. 1. С. 47-58.

7. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-груни // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Тула: ТГПИ, 1983. С. 50-80.

Поступило 16.06.2009

Безверхний Владимир Николаевич, д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики, Академия гражданской защиты МЧС России, Москва.

Инченко Оксана Владимировна ([email protected]), ассистент, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Problem of intersection finite generated subgroups in Coxeter group with tree-structure

V.N. Bczvcrkhnii, O.V. Inchcnko

Abstract. We have proved that intersection finite set finite generated subgroups finite generated Coxeter groups with trcc-structurc is finite generated subgroup and there is algorithm which giving generating of this intersection.

Keywords: Coxeter groups, problem of intersection subgroups.

Bezverkhnii Vladimir, doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of higher mathematics, Academy of civil defence MES of Russia, Moscow.

Inchenko Oksana ([email protected]), assistant, department of mathematical analysis, Tula State University.