CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 38-54 = Математика
V. : К 519.4
Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении двух двупорожденных групп Кокстера,
/•' _ о о
объединенных по конечной циклическом подгруппе
О.В. Инченко
Аннотация. Установлена разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в свободном произведении двух двупорожденных групп Кокстера, объединенных но конечной циклической подгруппе.
Ключевые снова: Группа Кокстера, проблема сопряженности подгрупп, свободное произведение групп с объединением.
Пусть С конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, заданная копрсдставлснисм
С = (оь ... , ап; (о*) , (ого.^) г, у € 1, п, 1 ,
где — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем при i ^ j, т.^ = тц, т.^ ^ 2.
Группе О соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если
Г
ребру е соответствует соотношение вида (aiaj)rni■> = 1.
С другой стороны группу С можно представить как дрсвеснос про-
Г
к графу Г следующим образом: вершинам некоторого ребра е графа Г поставим в соответствие группы Кокстера па двух образующих Су = (а*,^; (а*)2, (а^)2, (а*а^)г'Н>) и = (а*, а*.; (а*)2, (ак)2, (счак)ГП{к), а ребру ё — циклическую подгруппу (а* | (а*)2).
Будем говорить, что в группе С разрешима проблема пересечения классов смежности, если ДЛЯ любых двух конечно порожденных подгрупп Н\ И Н2 группы С и любого слова ш € С существует алгоритм, позволяющий установить пусто или пет пересечение ШН\ П Нч-В [1] доказана следующая теорема.
Теорема 1. В конечно порожденной группе Кокстера С с древесной структурой разрешима проблема пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп Н\ и Н2 и существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения т\Н\ П Ш2Я2.
Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Кокстера Су = и Сч*. = {сц,ак; (а*)2, (ак)2, (сцак)ГЩк),
объединенных по циклической подгруппе (а* | (а.;)2):
С = (а*, а', ак; (а*)2, (а^-)2, (а-)2, (ак)2, (а,^)"^', (а-а*.)т<*, а* = а-) .
Слово из группы С можно представить единственным образом в виде
ё = hghg ■ ■ ■ ■ ■ ■ 'г\е, (1)
где rtg и 1^ — представители правых классов смежности группы по (сц | (а*)2) и по (а' | (а')2), причем пе,^гг+1е (аналогично 138, 13+18) принадлежат разным сомножителям группы С, — ядро слова
Если Ке не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги 1пе и гпё принадлежат одному сомножителю группы С, а Ке — другому. В этом случае слоговая длина слова (1) равна Ь(ё) = 2и + 1.
Определение 1. Если в (1) llgl2g ■ ■ ■ 1гщ = ■ ■ ■ Г1е)^1, то слово
Е = Пе ... гпвКёг-1ё ... г^1 (2)
называется трансформой.
Если принадлежит объединяемой подгруппе, то в (1) слоги 1гаё- и гП8 принадлежат разным сомножителям группы С. В этом случае слоговая длина слова
ё = ■ ■ ■ 1пеЬегпе ... г1я, (3)
где = А'^-, равна Ь(ё) = 2и.
Слово вида (1) будем называть нстрансформой нечетной длины, вида (3) нетрансформой четной длины.
Определение 2. Подслово llghg ■ ■ ■ ■ ■ ■ 'r^lg) называется левой
(правой) половиной слов (1), (3). Подслово llgl2g ■ ■ ■ ^ng^g (Kgrng ■ ■ ■ —
закрытым начальным (конечным) отрезком.
Определение 3. Левая (правая) половина слова го* = /1^/2^ ••• называется изолированной в множестве {ш3 € 1, М, если ни у одного из слов е = ±1 множества ({гг^-} \ш*) и ({и^1} Хщ1) нельзя выделить 1\иц12иц ■ ■ ■ 1тш{ {'Гтиц ■ ■ ■ Пш*) в качестве начального (конечного) подслова, т.е.
7^ 1112т , • • • ^т+1'Ч^ ^jn j 7^ IVj } <1‘пг + I Т'пг'Ш* ■ ■ ■ г1иц)-
Определение 4. Конечное множество слов W = {гу* }»ei—jv группы G назовем специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) Левая половина нетрансформы из множества W изолирована в нем. Если нстрансформа четной длины, то изолирована и левая и правая половины.
2) Длину нетрансформы WiC нельзя уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы, порожденной множеством ({го*} \го*с). Длину произвольного элемента множества нельзя уменьшить, умножая на слово w длины меньше L(wic), принадлежащее подгруппе {{u^ieTlv)-
3) Пусть wfQ = I
IWQ^WQ • ♦ ♦ l>nWQ f^-WQ^‘nWQ ♦ ♦ ♦ Гj + lWQrjWQ ‘ ‘ ‘ r\WQ4 & - it 1 ,
j < n — нстрансформа из множества {ii4}ieTlv и ^weJ. = l\Wa.hwai ■ ■ ■ lnwa. KWarnWa. ... rjW0 ... riwo \ ______, Si = ±1 подмножество нстрансформ из
' ' ' J i=l,k
множества ({го*} \го*о) U ({го^1} правые половины которых оканчива-
ются подсловом rjWQ ... г 1Ш0, тогда если подгруппа
<{^}8gTjv) n rPw0 ■ ■ ■ rjw()Drr*o • • • ri«*’o = В-
где
_ j Giji если гj+iW(j G Gij]
\ Gik, если rj+\W(i G G.jfc.
не единична, то L{wi0u) ^ L(wi0), L(wi0uw^.) ^ L(wi0), где u G B.
4) ПуСТЬ Wi = l\wi • • • IgWils+lvii • • • ^nwi^wi'f'nwi • • • 'Г'в+Ьиц'Г'в'иц • • • г1иц
И Wj = 11 ,i'j ■ ■ ■ I swj £ s+lwj ■ ■ ■ l /n trj k и-j l‘rii tr ; ■ ■ ■ 'fs+lwj rswj ■ ■ ■ rlwj СЛОВа ИЗ
{^iieTTv не обязательно различны, т ^ п, s ^ т, тогда не существует слова g ф \ длины меньше 2s из подгруппы {{u^}ieTlv) такого, что если
I'llL'i ■ ■ ■ IstL'i 7^ Il'Wj ■ ■ ■ IgWj 1 TO
gWi = l\Wj . . . lswjls+lWi ■ ■ ■ Inwi^wJ'nwi • • • rS+lWirSWi ■ ■ ■ TlWil либо если rSWi . . . rlwi ф rSWj . . . rlwj , TO
Wig = l\Wi ■ ■ ■ Iswils+lwi ■ ■ ■ lnwik-WirnWi . . . rs+lw.rSWj . . . riWj,
либо если rfj. . . . r~i. ^ hWj . . . lSWj, TO
SWi = ll'Wj ■ ■ ■ IgWj ('''s + l-UJi) • • • (rnWi) i^Wi) lnw{ ■ ■ ■ hwi ’
либо если lj*. . ..I +
t's uij ■ ■ ■ l'i wj i TO
-1(,1 \-l \-l
W
i 8 ri-Wi • • • rnWi [^Wi) (jnWi) • • • (^S + l,'U,’i) r8‘Wj • • • rlWj-
Лемма 1 ([2]). Всякое, конечное множество слов {wi}ІIEYTf группы С = Си * можно через конечное число шагов преобразовать в
к к?>
специальное.
Пусть XV — специальное множество слов. Разобьем его на подмножества следующим образом: подмножеству Мо принадлежат все нстрансформы, а подмножествам М* трансформы с одинаковыми крыльями, принадлежащие ОДНОЙ подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе группы ИЛИ Сік-
Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (Мі), і = 0, к, имеющую вид: (Мі) = г^1... г~]Сігпі ... гц. Здесь С* — подгруппы из или
порожденные ядрами трансформ. Упорядочим подгруппы (Мі) по длинам крыльев трансформ. Получим ряд
(Мі) ^ (М2) ^ ^ (Мк). (4)
Лемма 2 ([2]). Ряд (4) можно преобразовать в ряд
(М[) < (М£) < . .. < (М'к), (40
обладающий следующими свойствами:
1) ёр ((М0), (Мі).....(Мк)) =_ер ((М£), (М{)........(М'к));
2) если подгруппе (М'.) = г\х ... г~ІС^гпх ... гіх. 1 ^ і ^ /г' принадлежит трансформа и = г^х .. .г^1Хкгпх .. .гіх. где к принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (4') имеется подгруппа (М[) = г^1... г^І ХС[гп^і^х ... гіх содержащая и:
3) если для некоторой трансформы и = г^х ... Кхгпх ... гіх. принадлежащей подгруппе (М’і) = г^х ... г~^С^гпх ... гіх, и нетрансформы У = Чу ■ ■ ■ ІпІуКуІ-пгу ■ ■ -1\у из Мо. пі ^ п. (левая половина у изолирована) выполняется соотношение Ь(у^1иу) ^ Ь(у), то существует подгруппа (М'3) ряда (4'); содержащая трансформу у-1 (г^1... Кхгпх ... гіх) у. а если Ь(уиу~1) < Ь(у). то существует подгруппа (М') ряда (4;). содержащая трансформу у (г^1... г~^Кхгпх ... гы) у-1:
4) если (М'.) = г^1 ... г-1хС]гП1Х ... пх, (М') = г^1 ... г~^хг~^+1іУ ... гпЬуС'вгп.,у ■ ■ .гіх — подгруппы ряда (4;). гг2 > п\. и подгруппа (М'-) содержит трансформу и = г\х ... г~^хЬ,гП1Х ... гіх. либо и' = г^х ... ГпіХКгПіХ .. .гіх. где К = г~^+1 /гггаі+і<г/. то существует подгруппа ряда (4') (М') = гї
х ■ ■ ■ ТП\ХТП\+1
гпі+і,у ■ ■ ■ 'Г‘іх. содержащая в первом случае
трансформу и. во втором — и';
5) если (М'Й) = г^х ... г^хС'чгп1х ... гіх подгруппа из ряда (4') и
у6 = ... 1п1уК'Гп2у ■ ■ ■ гп1+і,у'і"п1х ■ ■ ■ 'і" 1-х; ^ = ±1 — элемент специального
множества, причем подслово г±х ... у не является изолированной
левой половиной некоторой нетрансформы ии£. є = ±1 и если подгруппа (М') содержит трансформу г^х ... г~^х1ъгП1Х ... гіх либо трансформу г1х ■ ■ ■ гп1хКггцх ■ ■ ■ Пх, где. К = г^+1уЬгП1+1>у, то существует подгруппа ряда (4') (М'.) = г^1... г^хГ^+і уС^гп1+і!У ... гіх. содержащая эту
трансформу.
Лемма 3 ([2]). Подгруппа (Мо). порожденная нетрансформами специального множества — свободна и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством {^г}геПу обозначим через ер (Мо, й1). Она представляет собой НNN — группу с основой 5, являющуюся древесным произведением, правильной системой проходных букв которой служат элементы из Мо. Подгруппы (Мо) и (М'-), ] = 1, к ряда (4') будем называть порождающими подгруппами (гоь ... , тп) = (Мо, й1).
Определение 5 ([2]). Произведение щ ... и к назовем словом подгруппы (го1....гип) = (Мо, в) группы С = если
1) и* ф 1;
2) щ € {МоиМ,^1} либо и* прснадлежит некоторой подгруппе из ряда (4');
^) XII Ф ^* + 1!
4) щ и щ+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (4');
5) В III ■ ■ ■ ик нет произведения ЩЩ+1Щ+2 (г = 1, к — 2), где щ = 2,
щ е { Л/о и Л /0 '}. и*+1 € (м'.) и м*м*+1И*+2 € (М'); где (М'.), (М') — из ряда (4;).
Лемма 4 ([2]). Всякое, произведение ■ ■ -^п> £з = г^е ^
образующие подгруппы {{wi}i(=:Y~N)• чеРез конечное, число шагов можно привести к слову иц ... Щк, к ^ п. подгруппы (Мо, 5) = {{-и;г}гег”/у)-
Определение 6 ([2]). Будем говорить, что между словами т и У2 имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения 1’у1’2 соответственно больше, равна или меньше максимальной из длин Ь(т),
Доопределение 7 ([2]). Слово и\... ик является простым, если Ь(и 1... и к) = тахЩиО...........................Ь(ик)} .
Лемма 5 ([2]). Если и±... ик — слово подгруппы ер(Мо,8). то Ь(щ ... и к) ^ Ь(щ), г = 1, к.
Следствие 1 ([2]). Если в слове. и\... и к выполнить сокращения в группе С. то в нем сокращение не затронет, по крайней мере, левую половину и±.
Следствие 2 ([2]). Всякое, слово подгруппы #р(Мо,5) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание, первого рода.
Лемма 6 ([2]). Пусть {и^}геПу — специальное множество слов группы С и N = {{и^}.;ейу) — подгруппа в С. И пусть ... 1Пш{КШ{гПш{ ■ ■ ■
П(^ = ±1) — элемент специального множества. V =
1 ^ ^ п — начальное подслово левой половины и>|. причем V не является
'изолированной левой половиной ш|. Тогда, если
Aiv — N f] l\Wi . . . lt.WiAjlt.Wi ■ ■ ■ I'llVi 7^ Е,
где.
Gij, если It.wi £ Gik]
если ltwi ^ ,
то ряд (4') содержит подгруппу (М3) = А.1Ь,.
Пусть Я — конечно порожденная подгруппа группы С порождена двумя различными специальными множествами, т.с. Я = gp(MQ,S) и Я = gp (Мр, й"), где основа Б порождена подгруппами ряда
(Мх) ^ (М2) ^ ... ^ (Мк), (5)
а 8' порождена подгруппами ряда
(м[) ^ (м') ^^ (м'к) (50
(Л/,) = Г, Сг С г;(;/ или Сг С г;(А.: (Л/') = с’ С с
или
С'- € Gife.
Лемма 7. Всякое, слово w подгруппы Я = gp(Mo,S) группы
G = Gjj * Gjfc; являющееся в своей несократимой записи трансформой
(°-i\aj)
w = g^1ag. где а € G.tj или а € G;tk. g= g\lg2l ■ ■ ■ Sni- имеет следующую запись в и-символах подгруппы gp (Mq, S): g^lag = и^и^1 ■ ■ ■ и^иоип ... u\. где правая часть равенства есть слово и щ — трансформа, принадлежащая некоторой подгруппе (Mi), г = 1, /с ряда (5).
Доказательство. Пусть w = g^1ag слово подгруппы Я = gp (Mq, S). Покажем, что сопряжением словом из gp (Mq, S') можно выбрать слово g таким, что g^1ag = 14112 ■ ■ ■ ип, где 14112 ■ ■ ■ ип — простое слово.
Пусть g^1ag = viV2 ■ ■ ■ vk, где гц — простые слова и между гц и гц+1, i = 1, к — 1 имеет место касание первого рода. Пусть к ^ 2 и L(v\) ^ L(vk).
Покажем, что в этом случае L(g) > L^
Если L(v 1) = 2nii + 1, L(v2) = 2m2 + 1, т.с. = 6162 • • • bmibob’mi ... b[
и V2 = (6i)-1 (b'2)^1 ■ ■ ■ (b'rn,,) 1 b'Qb”v, ... b”, тогда сокращение между v\ и V2 не затронет bo и b'Q. Если L(v 1) = 2mi + 1, a L(v2) = 2m2, т.с. t>2 = (b'1)^1 (b'2)^1 ■ ■ ■ (b'rn.,) 1 hb”n., ... b'{, то сокращение не затронет b”n.,. Аналогично, если L(v 1) = 2mi, vi = b\b2 ■ ■ ■ bmihb'mi ... b[, то сокращение не затронет bmi.
Таким образом, начальный отрезок слова v\ и начальное подслово g^1 слова g-1 = g^gnp лежат в одном смежном классе, следовательно, сопрягая g^1ag словом г>1 уменьшаем слоговую длину g-1. И можно полагать, что g^1ag = U\U2 ■ ■ ■ ип, где U\U2 ■ ■ ■ ип — простое слово.
В [4] показано, что простое слово щ ... Uk подгруппы gp (Mq, S) может быть одного из следующих видов:
a) слово u\ ■ ■ ■ Uk содержит нстрансформу максимальной длины, т.с. Liui) > Liuj), 1 ^ j ^ г — 1, г + 1 ^ j ^ к, щ — нетрансформа:
b) слово u\ ■ ■ ■ Uk содержит нстрансформу щ и трансформу щ+1 максимальной длины, т.с. L(iii) = Ь(щ+1 ) = L(uiui+1), L(ui) > L(uj),
1, і + 2 ^ j ^ к;
c) слово iii ■ ■ ■ Uk содержит нстрансформы щ и щ+г и трансформу
щ+1 со свойствами: Ь(гц) = Ь(щ+2), Цщ) = Ь(щщ+1) = Ь(щщ+1Щ+2), Liui) > Liuj), 1 ^ j — 1, i + ^ к, причем длина слова щ+і может
оказаться меньше длины Ui, 0 ^ L{ui+i) ^ Ь(щ):
d) слово iii ■ ■ ■ ик содержит трансформу щ максимальной длины. Выясним какой вид имеет интересующее нас слово g^1ag = U1112 ■ ■ ■ un. Пусть слово U1U2 ■ ■ ■ ип является словом вида (а), т.с. 14112 ■ ■ ■ ип = Щ ...
щ-1ЩЩ+1... ип, где iii ^ нетрансформа максимальной длины. Тогда L(iiiU2 ... Щ-1) < L(iii) и Ь(гц+1... un) < Ь(щ).
Так как длина слова g^lag — нечетна и g^lag = 111112-..Un, то L(g^1ag) = L(iii) и длина Ь(щ) также нечетна. Тогда получаем, что умножением слева на слово ui+i ■ ■ ■ unui ■ ■ ■ Щ-1 левую половину нстрансформы щ можно перевести в левую половину нстрансформы и^1, Ь(щ+і... unui ■ ■ ■ u-i-і) < L(iii). Но на основании определения 4 (4) это невозможно. Тогда левые половины слов Ui и «г1 равны, следовательно, щ — трансформа. Получили противоречие. Таким образом, слово 14112 ■ ■ ■ ип не является словом вида (а). Рассуждая аналогично, можно показать, что СЛОВО ІІІІІ2 ■ ■ ■ ип не может иметь вид (Ь).
Пусть СЛОВО ІІІІІ2 ■ ■ ■ ип имеет ВИД (с), Т.С. ІІІІІ2 ■ ■ ■ ип = III... ui-i(uiui+iui+2)ui+z ... ип, где Ui и гц+2 — нстрансформы, Ui+i — трансформа, ь(т) = ь(т+2), ь(т) = Цщщ+і) = ь(щщ+1щ+2), ь(щ) > L(uj), l^j^i-1, i + 3^j^k. Ь(щ) = L(ui+2) = L(uiUi+iUi+2) = L(g^1ag). Нстрансформы Ui и щ+2 имеют нечетную длину. Пусть Ui ф «^2, тогда левая половина Ui не равна левой половине и^2 и> так как L(uiv,2 ■ ■ ■ «*-і) < L(iii)
и Ь(щ+з ... ип) < L (щ), то в силу соотношения g^lag = U1112 ■ ■ ■ un левую
-і
половину Ui МОЖНО перевести В левую половину Ui+2 умножением на слово Ui+3 . . . UnUl ■ ■ ■ Ui-l, L {tli+з • • • Until ■ ■ ■ Ui-1) < L (Ui). Но это противоречит определению 4 (4), следовательно, левые половины щ и и^2 равны. Тогда tii = чт0 противоречит нашему предположению. Таким образом, слово uiU2 ■ ■ ■ ип может иметь вид (с), но при этом нстрансформы гц и «^2 равны. Ясно, ЧТО СЛОВО Ul tl2 ■ ■ ■ ип может иметь вид (d).
Пусть g^ag = Ui ■ ■ ■ ui-i{uiui+iiii+2)iii+-i ■ ■ ■ ип, Щ = и^2 нстрансформы, Liui) > Liuj), + (щ+і) ^ L (ui). Пока-
жем, что ui ■ ■ ■ щ-іщ = (tii+2Ui+3 ■ ■ ■ un)~ ■ Имеем
L (ui... и і—і ti-i) = L (tii), L (ui+2 ... tin) = L (u*+2),
L («1... щ-1) < L (гц), L (ui+з ... ип) < L (и*+2) •
Из основного равенства g_1ag = и\... щ-\щ ... ип получаем, что m.-.Ui-iUi = g^Kigi, где A'i — ядро слова, L (g) = L(gi), щ+2 ■ ■ ■ un = gilK\g, g\ — правая половина щ = u^2. Сопряжем слово g_1ag словом u\ ■ ■ ■ Щ-\Щ. Получим
«г1 • • • “Г1 {g~las) «1 • • • гч = Si1 ATV {g~las) g^±Kigi =
= g^K^aKigi = g^K'gi,
где К’ = K^aKi, L (g^K’gi) < L (щ).
Таким образом, g^lK'g\ = m+iUi+2 ■ ■ ■ unuiu2 ■ ■ ■ Щ и, так как g^1 является неизолированной левой половиной щ и g^K’gi G gp(Mo, S), то на основании леммы 6 существует подгруппа ряда (5) (Mj) = g^lAjgi, содержащая трансформу g^lK'g\. Таким образом, g^lK'g\ = uq, где uq G (Mj). Отсюда следует, что g_1ag = и^1 u2l ■ ■ ■ и^1 UQUn ... и\ и произведение Uilll2l . . . U^llQlln ■ ■ ■ u\ ^ слово.
Рассмотрим случай, когда ui ii2 ■ ■ ■ ип — слово вида (d). Трансформа Ui принадлежит некоторой подгруппе {Mj) ряда (5), Ь(щ) > L(iij), j ф г, L (ui ■ ■ ■ Ui-i) < Ь(щ), L (ui+i ... un) < L (щ) и L (ui ... Щ-i), L (щ+1... un) — нечетные числа.
Пусть Ui = vf1... v^-KiVm ... Vi, g~lag = gig2... gkKgk1 ■ ■ ■ gT1-Если L(ui... щ-i) < L (ui+i ...un), то щ ... щ-i = gi - ■ ■ gtKivt ■■■Vi, Ui+i ... iin = 1... vf-1 ... v^1K2gJ1... g^1. Сопрягая g_1ag словом
ui ■ ■ ■ Щ-i, получаем (g-')-1 Kg' = Uiiii+i... unui ■ ■ • «»-ъ где (g')_1 совпадает с левой половиной Ui и (g-')-1 Kg’ G gp(Mo, S), поэтому на основании леммы 6 (gO-1 Kg' G (Mj), где (Mj) — подгруппа ряда (5). Следовательно,
(g-')-1 Kg' = «о, «о G (Mj) и g-1ag = uilu2l ■ ■ ■ ii^UQUn ■ ■ ■ «ь
Лемма 7 доказана.
Лемма 8. Пусть группа Н порождена двумя различными специальными множествами Н = gp (Mq, S) и Н = gp (Mq, S'), где S — древесное произведение подгрупп ряда (5). S' — подгрупп ряда (5')- Тогда для каждой подгруппы (Mi) = i\lCiVi. Ci £ {a.;|a?) из (5) существует подгруппа (Mj) из (5;) и слово Wij G Я такие, что (Mi) С ш.^-1 (Mj) Wij.
Доказательство. Если подгруппа (М*) порождена трансформами длины единица, т.с. (Mi) = A-t С gp (Mq, S'), то на основании леммы 6 среди подгрупп ряда (5) содержится подгруппа (Mj) = Aji, также порожденная трансформами длины единица так, что A-t С A'j. Рассуждая аналогично, получим A'j С Ai, и тогда А; = A'j и Wij = 1.
Пусть (Mi) = Г; ‘Г’,г,, где г\1 — левая половина трансформ, порождающих подгруппу (Mi), и пусть образующими (М*) являются i\lKiVi,
г\1К2У-1....г\1Ктгц, где г\1 = г^г^1 ■ ■ ■ гк\ Будем полагать, что
среди элементов г^К^ц существует такой, что ядро Kj не сопряжено с объединяемой подгруппой. Пусть Ь (г^1KjVi') = 2/с» + 1. Так как г^К^гц € Б'), то на основании леммы 7
г\1КгЩ = 1 • • • и~1и^ип ... иь (6)
где 1 ^ з ^ т, щ1^1 ■ ■ ■ и^и^и-п .. .и\ — слово; — трансформа, при-
надлежащая некоторой подгруппе (М'-) ряда (5;)-
Покажем, что слова, стоящие справа в соотношении (6), являются простыми. Предположим, что это не так, тогда слово равно произведению
простых СЛОВ КуУг = И МвЖДу 1 ^ г ^ Ь — 1, имеет
место касание первого рода. Так как ш' € (Мр, Б') и ш' € #р(Мо,5), то в подгруппе 5"р(Мо,5) слово будет также представлено в
виде произведения не менее чем I простых слов. Но тогда длину крыльев трансформ v^~1KjVi можно укоротить, умножая на слова длины меньше 2/с», что невозможно.
Покажем теперь, что трансформы при любом з все принадлежат одной подгруппе (М') ряда (5')- Для этого необходимо показать, что все слова (6) одновременно являются словами вида (с) или (с1). Допустим ПрОТИВНОе. ПуСТЬ V~[lKjlVi = Му* 11^ ■ ■ ■ ип^г и0.?1 иП01 ■ ■ ■ и131 ссть слово вида (с), а г^А'^гч = ... и^]2ип^ ... иу, — слово вида (с1).
Тогда Ыищ-^ > Ь{иа^, з ф п, Ь (ио^) ^ Ь(пга^1), ищ1 — нетрансформа с изолированной правой половиной, Ь («у*■ ■ ■ un1-lj1) < ^(ип?1)> а трансформа удовлетворяет условию Ь (щ^2) > L(usj2) при 8^0,
Ь (и1Ьи2Ь ■ ■ ■ ипь) < М«0ь) И. так как слова «г/х и23\ ■ ■ ■ ип-1п и и\1.,и2};--ип]; принадлежат одновременно подгруппе ^р(Мо,5) и имеют длину меньше 2кг + 1, то, сопрягая этими элементами трансформы v^~1KjVi, мы не уменьшим их длины. А из строения этих слов следует, что их длины не увеличатся. Поэтому можно изолированную левую половину перевести умножением в левую половину трансформы Щj2, что противоречит определению 4 (4).
Предположим, что все слова в (6) имеют вид (с). Тогда usj1 = Usj2, 5 = 1,и, иначе возникает противоречие с определением 4 (4). Трансформы UQj принадлежат некоторой подгруппе (М'-) ряда (5;), причем если иг^ = (й',)_1 К-зё?I ГДС (ё'О-1 — неизолированная левая половина, то
(К) = (иТ1с,ц’.
Каждое слово и1^и2^а ■ ■ ■ «га-11аип]а = 1\ 1 К'» ё' ■ Поэтому, сопрягая левую и правую половину равенства (6) словом ■ ■ ■ ип]1-> получим
и1пи2п ■ ■ ■ иПп (и^К^г) и-^ . . . и^и-^ = ^К^', 1^3^ ТП,
feT1 A'ig' = u0jl, (g-')_1 Ksg' = unjl . . . Uin Uiliql ■ ■ ■
■ • • unja uojs uij, u2ja ... unjs u-^ ... u-^,
«nil • • • «lii «r/s «2it • • • unja = (gT1 K”g\
где (gT1 K”g’ G (M'). Отсюда
«г/.«г/. • • • «й. = «г/^й • • • «nil (teT1 w) •
В результате, используя полученные равенства и заменяя в равенствах (6) подслова uijau2ja ■ ■ ■ unja соответственно равным словом
ur/i«2ii • • • «nil (tel)-1 Klg'), получим
l\l KsVi = • • • «nii«0i.«lil«2ii • • • «nil ,
где u'Qjs = ((gT1 K'gi) «0ja (tel)-1 (КГ1 g’) e (M')-
Пусть теперь все слова, стоящие в правых частях равенств
(6), являются словами вида (d). Тогда L ■ ■ ■ u~j) < L(uoj),
_i i
1 ^ j ^ т. Пусть uoj = ri ■ ■ - rk- KjTki ■ ■ .г\. Рассмотрим произведение: uoiu-ni ■ ■ ■ «у • • • unju0j! ^ < j ^ т- Так как его длина не превосходит
L(u0j) = 2ki + 1, то ввиду ТОГО, ЧТО UQlUnl • • • UllUy U^1 . . . U~jUQj —
простые слова с максимальными элементами uqi и uoj, L (uqi) = L(uoj), 11 1 1 1 Unl ■ ■ • WllWy «2i • • • unj =r\ ■ ■ ■ rki /lir^i • • • ГЬ ГДС ^i принадлежит неко-
торой объединяемой подгруппе. Поэтому uiju2j ■ ■ ■ unj = U11 ■ ■ ■ «nl «0i! ГДС u'0j Е (M's), L («{,.) < 2ki + 1. Но тогда равенства (6) примут следующий вид:
l\lK±Vi = Mf/tij"/ • • • Wnl«Ql«ll«21 • • • «nl,
«Qj«11«21 • • • «nl,
где 1 < j < m, = «Oj-woj teoj)-1 G (M').
Таким образом, мы показали, что для каждой подгруппы (Mj) ряда (5) существует подгруппа ряда (5;) и слова G Я такие, что (Mi) С /г,/ (Л/j) /г,;.
Лемма 9. Пусть группа Н порождена двумя различными специальными множествами Н = gp (Mq, S) и Н = gp (Mq, S"). где S — древесное произведение подгрупп ряда (5). S' — подгрупп ряда (5;)- Тогда для каждой подгруппы (Mi) = Vj I(',,r,. Ci ^ (о*|о^) из (5) существует подгруппа (Mj) из (5;) и Wij G H такие, что (Mi) = w^ (Mj) Wij.
Доказательство. На основании леммы 8 для каждой подгруппы (Mj) ряда (5) существует подгруппа ряда (5;) и слова wij € Я такие, что
(Mj) С ш,^-1 (Mj) wij. (7)
Аналогичные соотношения имеют место для подгрупп ряда (5;), т.с.
(M'j) С (8)
Используя соотношения (7) и (8), можно построить цепочку вложенных подгрупп наименьшей длины
щ1 (МР1) ^ {щГ1 (М'Ч1) wi ^ Щ1 iMvi) w2C ...
... С (wX1 (M’J w’s C(MP1), (9)
где Wi, w'i — элементы подгруппы Я, (MPj), j = l,s подгруппы ряда (5), (Mqj), j = 1, s — подгруппы ряда (s').
Из соотношений (9) следует, что w^1 (Mpi) wis С (МР1). Подгруппа (МР1) = vp^CPlvPl, где CPl G Gi, Gi — сомножитель в представлении (1),
i = 1,« — конечна, и в соотношениях (9) всюду знак С нужно заменить равенством.
Таким образом, лемма 9 доказана.
Лемма 10 ([2]). Пусть Н\ = gp (Mq, S) u H2 = gp (Mq, S') две конечно порожденные подгруппы группы G. Основа S подгруппы Н\ порождена подгруппами ряда
(М\) ^(М2)^...^ (Mkl) , (10)
основа S' подгруппы Н2 порождена подгруппами ряда
(М()^(М')^...^(М'2). (10')
Тогда, если Н\ и Н2 сопряжены в G. т.е. существует z € G такое. что z^Hiz = Н2. то существует w G gp(M'Q, 50, такое, что w^1 z^1(Mj)zw = (M's). j = l,k\, s = l,k2, где Mj — подгруппа ряда (10). (M'g) — подгруппа ряда (100-
Пусть группа G есть свободное произведение подгрупп Gij и Gik, объединенных по циклической подгруппе (a-i |(а/)2): G = Gij * Gik.
(a-iWi )
Следствие 3 ([5]). Пусть G конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой и пусть w циклически R приведенное слово в G.
| ш | > 1. сопряженное в G некоторым элементом v € Gab. Тогда w G Gab и сопряжено с ve подгруппе Gau.
Теорема 2 ([5]). Пусть G — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой. Слова v и w. длина каждого из которых равна единице в группе Кокстера G. сопряжены тогда и только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа Г. которая соединяет вершины, соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера.
Теорема 3. В группе. G разрешима проблема сопряженности подгрупп.
Доказательство. Пусть Я і = gp (М0, 5) и Я2 = gp (Мц, 5') — конечно порожденные подгруппы группы С. Основа 8 подгруппы Н\ порождена подгруппами ряда
(Мі) ^ (М2) ^ ^ (Мк1) , (10)
основа в' подгруппы Я2 порождена подгруппами ряда
(М0<(М£)^..-<(Л42). (10')
Пусть Я і и Я2 сопряжены в (7, т.с. существует слово 2 такое, что 2-1Я12 = Я2 ИЛИ
г-1ёР{Мо,8)г = ёР{М'0,8'). (И)
По лемме 10 существует ш Є ёр(М$, в') такое, что
ад_12_1(М»0)2ад = (м]0), (12)
ще (міо) = сго є Су, или сго є (м;.о) =
С[ Є Су, или Є Єік- Соотношение (12) перепишем в следующем виде Сщііщгт = Далее, сопрягая его элементом gj(j,
получим
(^•оСі0 {угу}ёт1) = С'0.
Случай 1. Пусть каждая подгруппа рядов (10) и (10') сопряжена с объединяемой подгруппой. В этом случае соотношение (13) примет вид
а‘ (пгмеїо) = а‘-
Тогда слово принадлежит централизатору элемента о*. Обозначим слово через го. В [3] доказана следующая теорема.
Теорема 4 ([3]). Пусть Є — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой: слово хю Є Є такое, что |го| = 1. т.е. хю = о*, і = 1,п. Тогда централизатор элемента хю есть подгруппа вида С(ги) = (г\, г2,... , XV; = 1, хю1 = 1, г = 1, в), где гг — циклически сократимое слово вида гг = г\г2 ■ ■ ■ где г* Є Єаь,
подслово го соответствует замыкающему ребру и |г*| = таь — 1. г = 0, і — 1.
Определение 8 ([3]). Ребро е* дерева-графа Г назовем замыкающим ребром некоторого пути, если ему соответствует четное число Кокстера.
В соответствии с теоремой 4 [3] централизатор элемента а* в группе С будет иметь вид (рис. 1):
1. Если числа ту и т.^ — четные, то С(аі) = (а*, 2ь г2; а2, г = 1, 2), где 21 Є Су, Z2 Є 1^11 = ГОу - 1, |22| = ПЦк - 1.
2. Одно из чисел, например, ту — четное, другое т*& — нечетное и С(о*) = (о*, 2і; а2, г|), где з і Є Су, |гі| = ту - 1.
3. Если числа ту и т.^ — нечетные, то С(о*) = (о*; а?).
Случай, когда С(о*) = (о*; а2) тривиален.
Пусть С (о*) = (о*, 21,22; а2, 22, г = 1,2). Перепишем соотношение (11) в виде
(Мо, 5) уГ1 (-1Чогтёт1) = ёкёр (М£, Б') ёт\ (14)
Приведем образующие подгрупп тоёр (М0, в) г^1, ё^ёр{М^Б')ё^1 к специальным образующим. Полученные подгруппы обозначим через ёр (Мо, 5") = Н[ и (Мо", Б"') = Н2 соответственно. При этом основа Б" порождена подгруппами ряда (М”) ^ (М2) ^ ... ^ (М^), основа 5'" — подгруппами ряда (М(") ^ (М£") ^ .. . ^ (М"') и М(' = М(" = (а*|а2).
Пусть И'1 = {ш /1}, \\12 = {ш/г}, * € N — специальные множества образующих подгрупп ёр (Мо , Б”) и ёр (Мд", 5//;) соответственно.
Соотношение (14) перепишем в виде: хВёр (МЦ, в") хВ^1 = ёр (МЦ', Б'").
Слово ш будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности ёр (МЦ', Б"') хВ ёр (МЦ, Б") или Н'2хВ Н[. При этом слово хю может иметь вид:
a) хЬ = {г1г2)к;
b) т = {г1г2)к 21;
c) XV = 21-
Образующим а.1 в данном случае можно пренебречь, так как он принадлежит объединяемой подгруппе.
а) Рассмотрим двойной класс смежности Н2 (2122)^ Н[. Проведем общие рассуждения, связанные с ограничением показателя степени к. Для этого выясним какие возможны сокращения на стыках.
Если 2122 € Н'2, то к = 0.
Если (2122)* € Н'2, где I — наименьший возможный показатель степени, к < I. В этом случае можно найти показатель степени 1', при котором (2122)* ф Н2 и показатель степени 1", при котором (2122)* ^ Я(, тогда к < тах {£', 1”}.
Если (2122)* 21 € Н2, где I — наименьший возможный показатель степени, к < I, то поступаем аналогично.
Если (2122)* 21Л € Н'2, где 21^1„р = 21, то будем искать пересечение классов смежности 21пр22 (2122)ПЯ|.
Если (2122) 2122л € н2, где Z2лZ2пр = 22, ТО будем искать пересечение
пр
т, перепишем слово хЬ в и- символах подгрупп Н[ и Н2. В [1] доказана разрешимость проблемы пересечения конечного множества конечно порожденных подгрупп группы С = Су * С.^. При этом использован метод ти-
(а<| а})
пов, который позволяет ограничить длину слова ш. Полученное ограничение справедливо и при рассмотрении проблемы пересечения классов смежности. Так как ядра трансформ могут принадлежать только подгруппам и Сц;, следовательно, их (ядер) конечное число. А именно, количество ядер,
принадлежащих группе Су |А'у| < 2ту + 1, аналогично < 2т^ + 1.
Количество типов трапсформ ограничено числом
п / \ 2
Л = 4П 2 Е Ь(ю{^) + 1] (|г(^|) (Ь(2122) + I)2 ,
.7=1 ^
где |Т^| — мощность множества всех типов трапсформ подгруппы Hj,
пополненного 13\р ф С, ] = 1, и. В нашем случае и = 2. Множитель 4 — есть порядок ассоциированной подгруппы в квадрате. Таким образом, длину слова хю можно ограничить следующим образом: | ш| < 2(2т + 1)Л, где пг = тах{тц, т.^}- Таким образом, в качестве хю будем выбирать слова, принадлежащие централизатору элемента а.; и удовлетворяющие полученному ограничению на длину.
b) Рассмотрим двойной класс смежности Н'2 (2122)^ Н[.
Рассуждения аналогичны предыдущему случаю (а).
c) Если т = 21, то как и выше |^11 = ту — 1, г\ € Су. В этом случае угу)8^ 6 Су.
Пусть теперь С(о*) = (о*, г\] а2, г\), где € Су, \г\\ = ту — 1. Этот случай эквивалентен (с).
Случай 2. Пусть подгруппы С*0 и С'-о содержатся в подгруппе Су или в подгруппе Сч*..
Случай 2.1. Подгруппы С*0 и С^0 порождены элементом единичной длины, не принадлежащим объединяемой подгруппе.
1. Сщ = С'-о = (а^|а2). В этом случае соотношение (13) примет вид
(&®”12"1^1) аз = аз-
Тогда слово гц0ггиё^ принадлежит централизатору элемента aj. Обозначим слово через XV. При этом централизатор элемента может иметь
вид (рис. 1):
а.
г
Рис. 1. Фрагмент дерева-графа Г
а) Если числа ту и т.^ — четные или ту — четное, т.^ — нечетное, то С(а^ = (aj, г\\ а2, 22), где 21 € Су, 1211 = ту — 1. Этот случай рассмотрен выше.
b) Если ?п.у — нечетное, т.^ — четное, то С'(а^) = ^а^-, 2122%
(г^гг^1)2^), где 21 € Су, |^11 = Гоу - 1, 22 € С**., |г2| = т**. - 1. В этом
случае слово го вполне определяется, и |г?| ^ 2 |^х| + |.г2|.
c) Если ?п.у и т.^ — нечетные, то С(а7-) = (а^-;а2). Этот случай тривиален.
2. С*0 = (а7-|а2), С'-о = (а&|а|). По теореме 2, если ту и т.^ — нечетные, то го = ш 1 ш2, где Ш1 € С*&, шг € Су, причем |ш 11 = — 1 и
|шг| = т.ц — 1. Тогда |го| = \w\w2\ < |ш 11 • |шг| = (т^ — 1)(тц — 1). Пусть
т = тах{тц, т.^}. Тогда |го| < т2 + 1.
Таким образом, в качестве ш будем выбирать слова, принадлежащие централизатору элемента о* и удовлетворяющие полученным ограничениям на длину.
Случай 2.2. Подгруппы С*0 и С^0 порождены элементами длины больше единицы.
1. Подгруппы Сщ и С^0 порождены элементами из одной подгруппы,
например, Су. В этом случае, учитывая следствие 3, в соотношении (16) слово хй = также принадлежит подгруппе Су. Тогда длина слова хй
ограничена длиной определяющего соотношения подгруппы Су-: |ш| < 2ту.
2. Подгруппы Сщ и С^0 порождены элементами из разных подгрупп, т.с. в соотношении (16) С;0 С Су-, а С'-о С С**.. Этот случай невозможен, так как слова конечного порядка, длины которых больше единицы, принадлежащие разным подгруппам вида С у, не могут быть сопряжены в С.
Случай 3. Пусть в подгруппах Н\ = ёр (Мо, Б) и Я2 = ёр(М'0,Б') основы 5 и Б' равны единице, т.с. Н\ = (Мо) и Я2 = (М^), и они являются свободными подгруппами в С. Пусть (Мо) = {Хх, Х2,... , Хп) и [М’о) = (Ух, У2,... , Уга). Выясним существует ли слово 2 € С такое, что справедливо равенство
^(Мо)* = (Мо). (15)
Элемент 2 будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности (М0)2(М'). _ _
Образующие {Х*}, г = 1,п подгруппы (Мо) и образующие {У}, г = 1,«
подгруппы (Мд) являются специальными и удовлетворяют следующим условиям:
1. Левая половина каждого € {-X’*}, * = 1, п, имеющего нечетную длину, изолирована в множестве и { { X ..1} \ X ■.1}. j = 1,п. Левая
и правая половины каждого € {-X’*}, г = 1, /г, имеющего четную длину, изолированы в множестве {{Х^} и { { X-......1} \Х.г1}, j = 1,
2. Больший начальный и больший конечный отрезки каждого Хг € {-X*},
г = 1, п изолированы в множестве \^Х*} и { { X -.1} \Х.^1}, } = 1, п.
3. Для каждого € {Х^}, I = 1,« справедливо соотношение
Ь (т^ХгП)^2) ^ Ь (Хг), где ги3 е {{Х^} \Х*}, 3 = 1 ,п, 8 = 1, 2.
Образующие (Ух, У2,... , Уга) подгруппы (Mq) упорядочим по длинам
КЧУ/)
Пусть образующий X:L G (Mq) — циклически несократим. Если все образующие (Мо) циклически сократимы, то, сопрягая (Mq) некоторым элементом Z\, получим подгруппу Z±1(Mq)z = (Mq), в которой элемент Z^XiZ = X” циклически несократим и L(X”) > 1.
Предположим, что равенство (15) справедливо, тогда z^lX-tz = У.11У.12 ■ ■ ■ Y'is ' ГДС £t- = L (z^lXi) > L (2), L (Xiz) > L (2), в противном случае 2 НС удовлетворяет условию минимальности, И поскольку Xi
циклически несократим, то, если имеет место сокращение между 2-1 и X.-t, то произведение XiZ несократимо. Поэтому
j _________________j __j _________________________________^ _j
2 XiZ = 2 X(fXnZ = zn XqXtiX()2rl = zn XnXoZm
где Xi = X()Xn £ G и
?^xX Xnf - У£1У£з Y6s
zn SLnSLQZn — I n I i2 ■ ■ ■ 1 is ■
При этом L (zn) ^ L(Y™) ^ Где Yn — подслово, имеющее максимальную
длину.
Предположим, что L(zn) > _ Тогда слово У-11 У-s22 ... Yies“
не является простым, а, следовательно, является произведением простых слов, между которыми имеет место касание первого рода, т.с.
L(vp)
и больший
УаУя ■ ■ ■ уг1‘ = у±у2 • • • Так как Ь(гп) < Т
конечный отрезок Ир не затрагивается сокращением, то длину гп можно укоротить, умножая справа на г’р1, что противоречит выбору 2. Поэтому Ь (У^У/а2... У//) ^ Ь (Х<) + Ь (Уп) + 1.
Далее, в подгруппе (Мр) = (Ух, У2,... , Уга) построим множество слов V = {г’1, г’2, • • • ■> г’т}, длина каждого из которых не превосходит Ь(Х.^ + Ь{Уп) + 1. При этом каждое из гц сопряжено с в группе С. Пусть все гц = г’^и'им, т.с. и' циклически несократимы в С. Трансформируем подгруппу (Ух, У2,... , Уп) элементом и^1. Получим
«Го1 {уь Уг...Уп) гчо = (У/, у2...ГДС {у{, У2.........К} — специальное
множество образующих подгруппы г^1 (Ух, У2,... , Уп) гцо. Известно [6], что некоторая циклическая перестановка будет сопряжена с с помощью элемента о* из объединяемой подгруппы. Поэтому трансформируем подгруппу (Хх,Х2,... ,Хп) различными Х*<лев, т.с. начальными подсловами Х-1 ,лев слова Х.1. В результате получим конечное множество подгрупп
(X;_левX1 Хг_.:Еег,• • • • , — 1^г,леВ1 X/..лег,.пр* ..лев+ I ..лев*
• • • ,*Глев*Ллев>} = {({Хг})^-} .
Выделим ИЗ ЭТОГО множества подгруппу, у которой Х.1 сопряжено с элементом о*. Трансформируем выделенную подгруппу элементом о* и проверим выполнимость соотношения
С С аг аг. (16).
Если соотношение (16) выполняется, то подгруппы Н\ и сопряжены. Теорема доказана.
Список литературы
1. Безверхний В.Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2009. Выи. 2. С. 16-31.
2. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе НИМ-груни // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Тула: ТГПИ, 1983. С. 50-80.
3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.
4. Безверхний В.Н., Инченко О. В. Централизатор элементов группы Кокстера с древесной структурой // Л.Эйлер и российское образование, наука и культура: матер. Межд. научно-нракт. конф. / ТГГТУ. Тула, 2007. С. 26-32.
5. Безверхний В.Н., Инченко О. В. Проблемы равенства и сопряженности в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, вып. 2. С. 81-90.
Поступило 15.06.2009
Инченко Оксана Владимировна (inchcnko_ov@mail.ru), ассистент, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.
Problem of associativity of subgroups in free product of two two-generated Coxeter groups united on a finite cyclic subgroup
O.V. Inchcnko
Abstract. Rcsolvability of a problem of associativity of subgroups in free product of two two-gcncratcd Coxeter groups united on a finite cyclic subgroup is established.
Keywords: Coxeter groups, problem of associativity of subgroups, free product of groups united on subgroup.
Inchenko Oksana (inchcnko_ov@mail.ru), assistant, department of mathematical analysis, Tula State University.
