CC BY
30
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 5-13 = Математика
УДК 519.4
О проблеме свободы в группах Кокстера с древесной структурой
В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина
Аннотация. В статье доказывается, что в группах Кокстера с древесной структурой всякая конечно порожденная подгруппа без кручения является свободной.
Ключевые слова: группа Кокстера с древесной структурой, проблема свободы, подгруппа без кручения.
Пусть С — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, заданная копредставлением
С =< аі,а„; (а*а,-,і,; = 1,п >,
где — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем шц = 1, ш^ ^ 2, і = Группе С соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют образующие а* и а^, то ребру е соответствует соотношение вида (а^)т^' [1].
Проблема свободы заключается в выяснении, является ли подгруппа заданной группы свободной. Данная проблема рассматривается для групп Кокстера экстрабольшого типа в [2, 3]. В настоящей работе доказывается теорема о свободе для групп Кокстера с древесной структурой.
Группу С можно представить как древесное произведение двупорожден-ных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы С перейдем к графу Г следующим образом: вершинам каждого ребра е графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих С^ =< а*, а^; а^а^, (а^)т^' > и С^и =< aj, ак; а^а^, (ajак)т'к >, а ребру е — циклическую подгруппу
< aj; а2 >.
Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Кокстера Су =< а*^-; а2, а2, (а^)т^' > и Сjk =< аj, ак; а2,а|, ^ак)т'к >, объединенных по циклической подгруппе < aj; а2 >:
С =< а*, aj, aj, ак; а2, а2, а|, а^, (а^-)тіі, ^аи)т^'к, aj = aj > .
Слово из группы О можно представить единственным образом в виде:
д = 11д • • • гпд • • • г1д) (1)
где и I-1 — представители правых классов смежности группы О; по
< а;; а2 > и О^ по < а;; а2 >, причем , г*+1д (аналогично ^, 15+1д)
принадлежат разным сомножителям группы О. Кд — ядро слова д. Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги 1пд и гпд принадлежат одному сомножителю группы О, а Кд — другому. В этом случае слоговая длина слова (1) равна £(д) = 2п + 1.
Определение 1. Если в (1) 11д• • • = (гпд• • • г1д)-1, то слово
д = г1д •••гпд Г-1 •••гГд1 (2)
называется трансформой.
Если Кд принадлежит объединяемой подгруппе, то в (1) слоги принадлежат разным сомножителям группы О. В этом случае слоговая длина слова
д = 11д • • • гпд • • • г1д) (3)
где = Кд, равна £(д) = 2п. Слово вида (1) будем называть нетрансформой
нечетной длины, слово вида (3)— нетрансформой четной длины.
Определение 2. Подслово д = 11д•••1пд(гпд•••г1д) называется левой (правой) половиной слов (1), (3). Подслово 11д• • • (Кд• • • г1д) —
большим начальным (конечным) отрезком.
Определение 3. Левая (правая) половина слова
Шг — l1wi • • • lmwi rmwi • • • г1^4
называется изолированной в множестве Ш;, ^ € 1,^, если ни у одного из
слов ш:,£ = ±1 множества ({ш;} \ Шг) и ({ш-1} \ ш-1) нельзя выделить l1wi • • • lmWi (rmWi • • • ) в качестве начального (конечного) подслова, то есть
= llwi • • • lmwi ш;:п(ш;: = Ш;1гт,+ ^^’ гтда^ • • • ).
Далее будем рассматривать специальное множество слов, аналогичное введенному в [4].
Определение 4. Конечное множество слов Ш = {шг},г € 1,Ж группы О назовем специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. Левая половина нетрансформы из множества Ш изолирована в нем. Если нетрансформа четной длины, то изолирована и левая, и правая половины.
2. Длину нетрансформы Ш; нельзя уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы, порожденной множеством {шг} \ Ш;. Длину произвольного элемента Ш; нельзя уменьшить, умножая на слово ш длины меньше Ь(ш;), принадлежащее подгруппе < {Шг},г € 1,Ж >.
3. Если Шг 1^/ • • • ^ г«да/ • • • г.+^/ г.^/ • • • г^/, е ±1,5 < п,
° г г г г 'гг г
нетрансформа из множества Ш и {ш,//£ = 1^// • • • 1га^/К^/гга^/ • • • г. .lw// г.™/ • • •
' г г г г ^ г г
... г^/, е = ±1} — подмножество нетрансформ из Ш \ {ш'} и Ш \ {ш'-1}, правые половины которых оканчиваются подсловом г^/ • • • г^/, тогда если
подгруппа < Ш',г = 1,п > П г^1/ • • • г^1/Бг^/• • • г'^. = В, где Б = Е из той же подгруппы, что и г5+1^, то для и € В выполняются неравенства £(ш'и) ^ £(ш'),Ь(ш'иш'/£) ^ £(ш').
4. Пусть Ш' — • • • 1.^г1«+^г • • • 1«даг ^ г«даг • • • г«+^г г^г • • • г^г,
Ш; — • • • 1тда. rmwj • • • г«+^. гsw^■ • • • г1г
-1
не обязательно различные, 8 ^ т ^ п, тогда не существует слова д — 1 длины меньше 28 из подгруппы, порожденной Ш, такого, что если
11т;
«ад,, то
д^г — 11ад, • • • 1«+1ад4 • • • К«>, Г«да, • • • Г1ад,,
либо если • • • Г1Ші — Г
«ад,’ • • • Г1ад,, то
^гд — 11ад, • • • 1«даі Ггааді • • • Г«+1аді Г«+1ад, • • • Г1ад, ,
либо если Г* •••Г* — 1
-1
11^,
• /«
то
д^і І1ад, • • • Г«+1™, • • • Ггаго, К«>і 1
V.'—1 ї^'-1 7-1
либо если /^ • • • /Ц- — • • • Г1Ш,-, то
^—1д — Г—1 Г—1 К'-1/
і У 1™, * * * пад/ ^
-1
-1
-/-1//-1
‘■эд, 1п™, •
//-1 Г
/-1
•Г1^ •
Теорема 1. [5] Пусть О = О1 *и О2, и обладает свойством
максимальности. Тогда любое конечное множество слов группы О можно преобразовать в специальное.
Следствие 1. [4] Всякое конечное множество слов Ш = {шг},г € € 1,Ж, группы О = О; *<а.. а2> О;й можно через конечное число шагов преобразовать в специальное.
Пусть Н — конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера О = О; *<„.. а2> О;й с древесной структурой.
Приведем множество образующих Ш = {шг},г = 1,^, подгруппы Н к специальному. Разобьем его на подмножества следующим образом: подмножеству Мо принадлежат все нетрансформы, а подмножеству М',г = 1,к, принадлежат трансформы с одинаковыми крыльями, сопряженные О'; или О;й. С каждым из множеств М',г = 1,к, связана подгруппа (Мг) = г-1^ • • г-^Сг^ • • ^'П', где С' - подгруппы из О'; или О;^, порожденные ядрами трансформ, входящих в М'. Упорядочим (М') по длинам крыльев трансформ. Получим ряд
(4)
,
Лемма 1. [6] Ряд (4) можно преобразовать в ряд
(М1) < (М2)••• < (М£/), (4')
обладающий следующими свойствами:
1. дР((Мо), (М1), (М2), • •., (Мл)) = дР((Мо), (М1), (М2), • • •, (М'/)).
2. Если подгруппе (М;) = г-;1 г-1. • • г-1 С;гп; • • • г2;г; принадлежит
трансформа и = г—•1г—-1-• • г-1Лигп.,- • • • г2; г;, где принадлежит
объединяемой подгруппе, то то среди подгрупп ряда (4’) имеется подгруппа
(М,0 = г-/г-Л • • г--1;С'гга-1; • • • г2; г1;,
содержащая и.
5. Если (м; ) = ^/•••^-/С гп; • • • г1;, (М.) = гГ/---г-/г-+1.---
... г^С^г^. • • гга+1.гга; • • • г; подгруппы ряда (4’) и подгруппа (М;) содержит трансформу и = г-1. • • г-?1Лигга; • • • г; либо и' = г--1. • • г-?1Кигга; • • • ... г;, где Ки = г-+1.Л,игга+1.5, то существует подгруппа ряда (4’) (М^) = г-1. • • г-г-^Сгга+1.г„; • • • г 1;, содержащая в первом случае трансформу и, во втором - и'.
4. Если (М;) = г-1 • • г-1 С; гп; • • • г; — подгруппа ряда (4’) и
у: = I-1---1-!Кгту•••гп+1Угп;• • • г;,е = ±1, — элемент специального
множества, причем подслово г-;1. • • г-?1г-_+1у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы ш:,е = ±1, и, если подгруппа (М;) содержит трансформу г-;1. • • г-?1Лгга;•••г1; либо трансформу r1-1...r;-1Krraj• • • г;, где К = г-+1уЛ,гга+1у, то существует подгруппа ряда (4’) (М/) = г^1. • • гга;1гга_+1уС1гга+1угп; • • • г;, содержащая эту трансформу.
5. Если для некоторой трансформы и = г 1;1 г2;1 • • • гП/Кигга; ••• ... г2; г;, принадлежащей подгруппе (М;) = г1;1 г2;1 • • • гП;1 С^.. гп; • • • г2; г; и нетрансформы у (левая половина у изолирована) из М0 выполняется соотношение £(у-1иу) ^ ^(у), то существует подгруппа (М.) ряда (4’), содержащая трансформу у-1^1^1- • • г^Кгпи.• • г2иг1иу, а если £(уиу-1) < Ь(у), то существует подгруппа (М.) ряда (4’), содержащая трансформу уг^г^1 • • • г^Кг^ • • г2„г1„у-1.
Подгруппу, порожденную специальным множеством Ш = {шг},г = 1,^, обозначим через др(М0,5), где 5 — подгруппа, порожденная подгруппами ряда (4’).
Определение 5. Произведение и1и2...ит, где иг = 1,г = 1,т, иг € € Ш и Ш_1,г = 1,т, из подгруппы др(М0,5) назовем словом группы О = = О; *<«,■ .«2> о;й , если
1. иг = 1;
2. иг € {М0 и М-1} либо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда
(4’);
3. иг = и^+\, г = 1, т — 1;
4. иг, иг+1, г = 1, т — 1, не содержатся в одной подгруппе ряда (4’);
5. в и1и2...ит нет произведения игиг+1иг+2,г = 1,т — 2, где иг = и-+12,иг € {М0 и М-1}, иг+1 € (М.), игиг+1 иг+2 € (М.), где (М;), (М.) из ряда (4’).
Лемма 2. [4] Всякое произведение ш|11ш|^. .. шЩ, е = ±1, где шг; — образующие подгруппы < Ш >, через конечное число шагов можно привести к слову иг1иг2. • • игт, т ^ п, подгруппы др(М0, 5) =< Ш >.
Определение 6. Будем говорить, что между словами г1 и имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения г1 г2 соответственно больше, равна или меньше максимальной из длин Ь(г1),Ь(г2).
Определение 7. Слово и1и2...ит будем называть простым, если Ь(и1и2...ит) = шах{Ь(и1), Ь(и2), • • •, £(ит)}.
Лемма 3. [4] Пусть и1и2...ит - слово из подгруппы др(М0; 5). Тогда Ь(и1и2... ит) ^ £(иг), г = 1, т.
Следствие 2. [4] Если в слове и1и2...ит выполнить сокращение в группе О, то оно не затронет, по крайней мере, левую половину слова и1.
Следствие 3. [4] Всякое слово подгруппы дР(М0; 5) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода.
Подгруппа др(М0,5), порожденная специальным множеством слов Ш = = {шг}, г = 1, Ж, представляет собой НЖЖ-группу с основой 5, являющуюся древесным произведением, правильной системой проходных букв которой служат элементы из М0. Подгруппы (М0) и (М;),_?' = 1,к, ряда (4’) будем называть порождающими подгруппами < Ш >= дР(М0,5).
Лемма 4. [1] Пусть Ш — специальное множество слов группы О и Н =< Ш > - подгруппа О и пусть ш| = ^•••^К^гт...г1 — элемент специального множества, г = /1 •••/*, ^ ^ т, — начальное подслово левой половины ш|, причем г не является изолированной левой половиной ш|. Тогда если А^ = Н П 11... 1*А;I-1... I-1 = Е, где А; = О;, если I* € Ог^ либо А; = Ог^, если I* € О;, то ряд (4’) содержит подгруппу (М.) = А^.
Лемма 5. [4] Подгруппа (М0), порожденная нетрансформами
специального множества, свободна.
Лемма 6. [5] (М0) П (£)др(м°.5’) = Е, где Е — единичная подгруппа.
Лемма 7. Пусть О = О1 *и О2,Н = дР(М0,5), 5 — древесное
произведение подгрупп (Мг'),г = 1,к. Если пересечение Н с любой подгруппой, сопряженной и, есть Е, то Н = (М0) * (М1) * ... * (М£).
Доказательство непосредственно следует из строения подгруппы Н и леммы 4.
Теорема 2. Конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера О с древесной структурой является свободной.
Доказательство. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера О = О; *<а.. а2> О;к с древесной структурой.
Приведем множество образующих Ш = {шг},г = 1,Ж, подгруппы Н к специальному.
На основании леммы 7
Н = (М0) * (М1) * ••• * (Мк), (5)
где (М0) — свободная часть подгруппы Н. Заметим, что в (5) отсутствуют группы вида (М;) = г^г-1. • • г-?1С;г„; • • • г2;г;, ; = 1, &, где С; — подгруппы из О';, либо С; — подгруппы из О'к, так как Н не содержит элементов конечного порядка. Следовательно, в (5) (М1) = (М2) = ... = (М^) = Е, где Е — единичная подгруппа, и Н = (М0).
Теорема 3. Конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера О с древесной структурой является свободной.
Доказательство. Далее будем рассматривать конечно порожденную группу Кокстера с древесной структурой О, представленную в виде свободного произведения двупорожденных групп Кокстера объединенных по конечным циклическим подгруппам:
П
О =< ]^[ *О.; ге1О1, • • •, ге1О., а; = а; > .
.= 1
В этом случае группе Кокстера О соответствует дерево-граф Г такой, что, если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют группы Кокстера на двух образующих О; =< аг, а;; а2, а2, (ага;)т. > и О;к =< а;, а^; а2,а|, (а;а^)т^ >, тогда ребру е соответствует циклическая подгруппа < а;; а2 >. Рассмотрим древесное произведение п — 1 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Гга_1, Гга_1 С Г. Группу, соответствующую графу Гга-1 обозначим через Ога-1. Пусть п-ый сомножитель, подгруппа Оху, соответствует вершине дерева-графа Г, которая связана с графом Гга-1 ребром е*. При этом ребру е* соответствует циклическая подгруппа второго порядка < аХ; аХ >. Таким образом, группа О представлена как свободное произведение двух групп Ога-1 и Оху, объединенных по циклической подгруппе порядка два < аХ; аХ >, то есть
О = Ога-1 *<ах. «Х> Оху.
Слово из группы О можно представить единственным образом в виде:
9 = 11д • • • гпд • • • г1д,
где г*5 и — представители правых классов смежности группы Сп_1 по
< аХ; аХ > или Сху по < аХ; аХ >, причем , г*+1д (аналогично , 1«+1д) принадлежат разным сомножителям группы С, Кд — ядро слова д.
Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги 1пд и гпд принадлежат одному сомножителю группы С, а Кд — другому.
Для группы С = Сп_1 *<ах; а2 > Сху понятия трансформы, левой (правой) половины, изолированной половины, специального множества, слова, простого слова определяются так же, как для группы С. А также для группы С = Сп_1 *<ах; а2> Сху справедливы теорема 1 и утверждения лемм 1-7. *’ Х
Пусть Н — конечно порожденная подгруппа без кручения группы Кокстера С с древесной структурой. Тогда на основании леммы 7
Н = (Мо) * (М1) * ... * (Мк), (6)
где (Мо) — свободная часть подгруппы Н. Отделим ее и рассмотрим подгруппы (М-),_?' = 1, к.
Так как Н не содержит элементов конечного порядка, поэтому в (6) не могут содержаться подгруппы вида (М-) = г-1 г-1... г^С-гп-... г2-г-, j = 1, к, где С- — подгруппы из Сху либо С- из < аХ; аХ >. Следовательно, в (6) содержатся только подгруппы (М-) = д-1С-д- ,j = 1,к, где С- — подгруппы из Сп_1.
Далее рассмотрим конечно порожденную группу Кокстера с древесной структурой Сп_1, представленную в виде свободного произведения двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам: Сп-1 =< ПП=і *С«; ге1С1,..., ге/С.,, а- = а- >.
В этом случае группе Кокстера Сп-1 соответствует дерево-граф Гп-1 так, что, если вершинам некоторого ребра е графа Гп-1 соответствуют группы Кокстера на двух образующих С- =< а^а-; а2, а2, (ага:?-)т' > и С-к =< а-,ак; а2,а|, (а-ак)тк >, тогда ребру е соответствует циклическая подгруппа < а-; а2 >. Рассмотрим древесное произведение п — 2 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Гп_2, Гп_2 С Гп_1. Группу, соответствующую графу Гп_2, обозначим через Сп_2. Пусть п — 1-й сомножитель, подгруппа С^, соответствует вершине дерева-графа Гп_1, которая связана с графом Гп_2 ребром ер. При этом ребру ер соответствует циклическая подгруппа второго порядка < а^; а2 >. Таким образом, группа Сп_1 представлена как свободное произведение двух групп Сп_2 и С^, объединенных по циклической подгруппе порядка два
< а^; а^ > то есть Сп_1 — Сга_2 *<а^; а^> С^г.
Слово из группы Сп_1 можно представить единственным образом в виде:
д = ^1д. . . гпд. . . г1д,
где rtg и — представители правых классов смежности группы Gn_2 по
< av; a2 > или Gvz по < av; aV >, причем rtg, rt+ig (аналогично Zsg, Zs+ig) принадлежат разным сомножителям группы Gn_i, Kg — ядро слова g.
Если Kg не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги Zng и rng принадлежат одному сомножителю группы Gn_i, а Kg — другому.
Для группы Gn-1 = Gn_2 *<ttv; a2> Gvz понятия трансформы, левой (правой) половины, изолированной половины, специального множества, слова, простого слова определяются так же, как для группы G, а также для группы Gn-1 = Gn_2 *<ttv; a2 > Gvz справедливы теорема 1 и леммы 1-7.
Разложим ядра Cj , j = 1,k, в свободное произведение по лемме 7 следующим образом:
Cj = (Moj) * ... * (Mj). (7)
В (7) отсутствуют группы вида (Mj) = r_j1r_j1... rnj... r2jrij,
где Cji — подгруппы из Gvz, так как H не содержит элементов конечного порядка. Следовательно, все подгруппы из (7) имеют вид
(Mj) = g_1Cjigji, j = 1,1, где Cji — подгруппы из G„_2.
Добавим к (Mo) свободные части g“1(M0j)gj, j = 1,k. На данном шаге получим (Mo) * g_1(Moi)gi * ... * g_1(Mok)gk.
Аналогично перейдем к группе Gn_3, разложим Cji и присоединим
свободные части. На последнем шаге получим ядра, являющиеся
подгруппами из свободного произведения двух сомножителей вида G, для которых доказано, что они свободны. Так как сопряжение свободной группы вновь есть свободная группа, то присоединяя ее на каждом шаге, получаем требуемое утверждение.
Теорема доказана.
Список литературы
1. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 16-31.
2. Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion // Proc. London Math. Soc. 2004. V. 88. № 1. P. 89-113.
3. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 5-18.
4. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. T. 4. № 1. C. 199-222.
5. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. 1983. С. 50-80.
6. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения подгрупп в классе
НЖЖ-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.
Межвузовский сборник научных трудов. 1981. С. 20-61.
Безверхний Владимир Николаевич (vnbezv@rambler.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет.
Добрынина Ирина Васильевна (dobrynirina@yandex.ru), д.ф.-м.н., доцент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет.
On freedom problem in Coxeter groups with a tree-structure
V. N. Bezverkhnii, I.V. Dobrynina
Abstract. In this paper it is proved that in Coxeter group with a tree-structure every torsion — free finitely generated subgroup is free.
Keywords: Coxeter group with a tree-structure, freedom problem, torsion free subgroup.
Bezverkhnii Vladimir (vnbezv@rambler.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Dobrynina Irina (dobrynirina@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Поступила 22.01.2014
