CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)
УДК 519.4
ПРОБЛЕМА СОПРЯЖЕННОСТИ ПОДГРУПП В КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ГРУППАХ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ
В. Н. Безверхний, О. В. Инченко (г. Тула)
Пусть С конечно порожденная группа Кокетера с древесной структурой, заданная копредставлением
С = (аь ...ап; (а*)2, (а^)т^, г,= 1 ,п)
где т) - число, соответствующее симметрической матрице Кокетера, причем, при г = т) = т)г и т) ^ 2,
Группе С соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если вершинам некоторого ребра е граф а Г соответствуют образ ующие аг и , то ребру е соответствует соотношение вида, (ага))т^ = 1,
С другой стороны, группу С можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокетера объединенных по конечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы С перейдем к графу Г следующим образом: вершинам некоторого ребра е графа Г поставим в соответствие группы Кокетера на двух образующих Сг) = (аг, а); (аг)2, (а))2, (ага))т^) и Сги = (аг, аи; (аг)2, (аи)2, (агаи)т*к), а ребру е - циклическую подгруппу (аг |(аг)2), Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Кокетера Сц = (аг,а^; (аг)2 , (а))2 , (а»а^)т^') и Сги = (а*, а^; (аг)2 , (аи)2 , (агаи)т*к), объединенных по циклической подгруппе (аг; (аг)2):
С = (аг, а-), а[, ак; (аг)2, (а))2, (а')2, (аи)2, (ага))т, (а'аи)т1к, аг = а') .
Се
9 д ^2д--1ид Кд тид■■т1д (1)
где г4д и 1зд -1 — представители правых классов емежности группы Сг) по (аг |(аг )2 ) и Сги по (а!г | (аг)2), причем т4д, т+1д (аналогично 1зд, 18+1д) принадлежат разным сомножителям группы С. Кд — ядро слова 9.
Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги /ид и тид припад-
Се Кд
длипа слова (1) равна Ь(9) = 2п +1,
Определение 1. Если в (1) 11д 12д..1пд = (гпд..г1д) 1, то слово
9 = г1д ..Гпд Кд гп-д[..г-д1
(2)
называется трансформой.
Если Кд принадлежит объединяемой подгруппе, то в (1) слоги [пд и гпд принадлежат разным сомножителям группы О. В этом случае слоговая длина слова
где Нд = Кд, равна Ь(д) = 2и.
Слово вида, (1) будем называть нетрансформой нечетной длины, слово вида, (3) нетрансформой четной длины.
Определение 2. Подслово 11д 12д.Лпд(гпд..г1д) называется левой (правой) половиной слов (1), (3). Подслово 11д 12д-ЛпдКд(Кдгпд..г1д) - закрытым начальным (конечным) отрезком,.
Определение 3. Левая (правая) половина слова
называется, изолированной в множестве {уо^}, ] € 1, АГ, если ни у одного из слов е = ±1 множества ({'ш^} \ш^) и ({ш-1} \ш,“1) нельзя, выделить 12т1 .ЛтШ1 (гтт..т1т1) в качестве начального (конечного) подслова, то есть
Определение 4. Конечное множество слов \¥ = группы С на-
зем, специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. Левая половина, нетрансформы из множества Ш изолирована, в нем,. Если, нетрансформа четной длины, то изолирована и левая, и правая поло-
2. Длину нетрансформы ШгС нельзя уменьшить, умножая слева и справа, на слова, из подгруппы, порожденной множеством ({ш^} \шгС). Длину произвольного элемента нельзя, уменьшить, умножая на ело во ш длины меньше Ь{и)гс), принадлежащее подгруппе >
3. Пусть ^0 [1то [2то ..[пт о Кгшог пто ..^^+1тог^то "Г1то? (е ±^ ] < и)
нетрансформа из множества {ыг}^у^ и
нетрансформ, из множества ({ш^} \ш^0) и (^ \ш-01) , правые половины, которых оканчиваются подсловом, т^то..т1то, тогда, если, подгруппа
(3)
вины;
п ^0-г^10Вгги,0..Гіпо = в, где
^, если ^^у+^о Е Сщ,
Сгк) если Гу+^о Е Сгк ■
не единична, то Ь('шгои) ^ Ь('шгс) где и Е В Ь('шгои'ш£а.) ^ Ь('шго);
4- Пусть ч^г — llwi■ ■lswi^8+^1 ■■1пм1 Кш.гпгш.■ ■Гs+lwiг■ ■г1ш. и
И)у Лз-ш^з+Х-ш^- Лтги)2К.и,^'т'иц--Т' з-\-1-и)^' з-Шз-'Т'Хуоз СЛОвй НЗ {^г}^^дг обя-
зательно различны, т ^ и, в ^ т, тогда не существует слова, д _ 1
длины, меньше 2в из подгруппы, ^{^}^еулг) 'та,кого, что если /1^../^ ф
llwj ■■lswj> то
д'Шг l1wj ■■lswj ls+1wi ■■1п ^ КгШ. г,П'Ш. ■■rs + lwi ГSWi ■■'Т'^. 7
либо если гswi■■гlwi _ rswj■■Т^, то
'Шгд 1Ы. ■■lswi ls+1wi ■■1п'ш. Kwi Гnwi ■■Гs+1wi Гswj ■■г1wj ,
либо если г-1 ■■г7г! _ llwj■■lswj, то
ди,г 11 wj ■■lswj (^.в +1 wi) ■■ (Гnw.i) lnwi ■■1 lwi >
либо если ^■■/_ Гswj■■гlwj, то
Щ 1 д _ г(К^ " 1 (С*) " 1 ■■ К+1 ц) " 1 Гзw] ■г 1 •
Лемма 1. [2] Всякое конечное множество слов {щ}^^ группы С =
* Сгк можно через конечное число шагов преобразовать в специальное. {сц\а2 }
Пусть Ш - специальное множество слов. Разобьем его на подмножества следующим образом: подмножеству М0 принадлежат все нетрансформы, а подмножествам Мг трансформы с одинаковыми крыльями, принадлежащие одной подгруппе, сопряженной некоторой группе или Сгк. Каждое из этих под-
множеств порождает подгруппу (Мг), г = 0, к, имеющую вил:
(Мг) _ ги ■■гШг1 1^
Здесь Сг - подгруппы из или Сгк, порожденные ядрами трансформ. Упоря-
дочим подгруппы (Мг) по длинам крыльев трансформ. Получим ряд
(4)
Лемма 2. [2] Ряд (4) можно преобразовать в ряд
(М1) < (М2) < ■■■ « (Мк), (4')
обладающий следующими свойствами:
1. др ((Мо), (М1), ■■■, (Мк)) _ др ((М'), (М1), ■■■, (Мк));
2. Если подгруппе (М^ _ гЦ,1 ■■гП111СУг^^г^, 1 ^ ^ к' принадлежит 'транс-
форма и _ г-Х■■гnl!hгnx■■г1x, где к принадлежит объединяемой подгруппе, то среди, подгрупп ряда (4') имеется подгруппа
(М1) _ ГГx1■■Гn'l11,xCгГn-1,x■■Г1x
и
3. Если для, некоторой трансформы и _ г-x1■■гnx1Kxгnx■■г1x, принадлежа,щей подгруппе (М^ _ г-^ ■■Г^С'г^^г^, и нетрансформы
у _ /-'■■/^уКу 1П1у■■11у из М0, и1 ^ и, (левая половина у изолирована) выполняется, соотношение Ь(у-1иу) ^ Ь(у), то существует подгруппа (MS) ряда (4'), содержащая трансформу у-1 (г-^ ■■гnl!Kxгnx■■г1x) у, а если Ь(уиу-1) < Ь(у), то существует потгруппа, (MS) ряда, (4'), содержащая трансформу у (г-1 ■■гnl!Kxгnx■■г1xЛ) у-1;
4- Если (Щ) _ ^■■^^гnlx■■г1x, (MS) _ ГГx1■■гnl1xгnl1+1)y■■гп2уCSгп2у■■г1x -подгруппы, ряда (4'), и2 > и1; и подгруппа, (М') содержит трансформу и _ г-x1■■гnl1xкгnlx■■гlx, лмб"О и' _ Г-x1■■Гn'11xKГnlХ■■Гl^de К _ гП‘11+1укГщ+1,у, то существует подгруппа, ряда (4') (М'к) _ г-x1■■гnilxгnl1+1)У„г^,
ии
5. (MS) _ г-^■■гl!xclsгnlx■■г1x подгруппа, из ряда, (4') и
у£ _ 1-у"1п2уКгП2у■ ■гП1+1у^^■■г^, (е _ ±1^) - элемент специального множества, причем подслово г-х ■■г^г-^^ не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы /ш£, е _ ±1, и, если подгруппа (MS) содержит трансформ,у г-x1■■гn'l1xhгnlx■■г1x либо трансформу Г- ■■Тn!xKгnlХ■■г1x, где К _ гЦЦ+1ук^^ у, то существует подгруппа ряда
(е41 ) т +1
(М^ _ г-x1■■гn'11xгn'11+1 С'у■ ■Г^, содержащая эту трансформу.
Лемма 3. [2] Подгруппа (М0), порожденная, нетрансформами специального множества - свободна, и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством {гУг}^еудг обозначим через др (М0, Б), Она представляет собой НММ - группу с основой Б, являющуюся
ет
жат элементы из М0. Подгруппы (М0) и (М^), ") = 1 ,к, ряда (4;) будем называть порождающими подгруппами {'ш-'^^'ш.П} _ др (М0,Б),
и1 ■■ик
{/ш1, ■■,,шп} _ др (М0, Б) группы, С _ С* Сгк, если
На2}
иг _ 1
2. иг Е {М0 и М-1} либо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда (4'); иг _ иг-+11
иг иг+1 (4 )
5. в ui-.Uk нет произведения, (г = 1,к — 2), где щ = щ^2, иг £
{Ио и М-1}, щ+1 Є (И-) и щщ+іщ+а Є (М'а); (М]), (М'а) - из ряда (4').
Лемма 4. [2] Всякое произведение шЄ1шЄа-шЄ™, є. = ±1, где ш. - образующие подгруппы, , через конечное число шагов можно привести к
слову иц.Мгк, к ^п, подгруппы др(М0,Б) = \ {'ші}іеТх і
Определение 6. Будем говорить, что между словами и уа имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина, произведения У\Уа соответственно больше, равна или, меньше максимальной из длин Ь(у\), Ь(ьа).
Определение 7. Слово и1..ик является, простым, если Ь(и1..ик) = = тах [Ь(щ), ■■,Ь(ик)}.
Лемма 5. [2] Если щ..ик - слово подгруппы др (М0, Б), то Ь(щ..ик) ^ Ь(щ), і = 1,к.
Следствие 1. [2] Если в слове щ..ик выполнить сокращения в группе б, то в нем сокращение не затронет, по крайней мере, левую половину и1.
Следствие 2. [2] Всякое слово подгруппы др (М0,Б) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода.
Лемма 6. [2] Пусть - специальное множество слов группы С и
N = ^{ги*}ієї^ - подгруппа в С. И пусть ги? = ІіШі.-Іп'шіКги)ігпги)і...г1ги)і (є = ±1)
- эл,ем,ент специального множества, V = І1т..Іі^, 1 ^ і ^ п - начальное подслово левой половины, шЄ, причем, V не является, изолированной левой половиной ш\. Тогда, если Аіу = N П І1шіА.I..Л—! = Е, где
А. = і ,если 1 І'Юі Є 5ік;
Сій, если І^і Є 5і. , то ряд (4') содержит подгруппу (Ма) = Аіу.
Пусть Н - конечно порожденная подгруппа группы С порождена двумя различными специальными множествами, то есть Н = др (М0, Б) и Н = др (М'0, Б'), где основа Б порождена подгруппами ряда
(Мі) ^ (Ма) ^ ... ^ (Мк), (5)
Б
(Мі) ^ (М2) ^ ... ^ (Мк), (5')
где (Мі) = v-lCiVi , Сі Є Сі. ми Сі Є Сік; (М.) = д^С.д. , С. Є Сі. или С' Є Сік ■
Лемма 7. Всякое слово ш подгруппы Н = др (М0,Б) группы
С _ СЧ * Сгк >
Ыа2 }
являющееся в своей несократимой записи трапсформюй т _ д-1 ад, где а Е С' или а Е Сгк, д-1 _ д^д-1 ■■д-1, имеет следующую запись в и - символах подгруппы др (М0, Б): д-1ад _ u-1u-1■■ul-1u0un■■u1, где правая часть равенства есть слово и и0 - трансформа, принадлежащая некоторой подгруппе (М^), г =
1, к ряда, (5).
Доказательство.
Пусть т _ д-1ад слово подгруппы Н _ др (М0,Б), Покажем, что сопряжением словом из др (М0, Б) можно выбрать слово д таким, что д-1ад _ щ^^п.п,, где щи^^ - простое слово.
Пусть д 1ад = У\У2--Ук, где ^ - простые слова и между ^ и ^+і, г = 1, к — 1 имеет место касание первого рода. Пусть к ^ 2 и Ь^-\_) ^ Ь^к). Покажем, что
в этом случае Ь(д) > .
Если = 2т1 + 1, Ь^а) = 2та + 1, то есть v1 = ЬіЬа..ЬтіЬ0Ь'ті-Ь! и
vа = (Ьі)-1 (Ь2)-1(Ь'т2) 1 Ь'0Ь':П2..Ь'І, тогда сокращение между v1 и vа не затронет Ьо и Ь'0. Если Ь(v1) = 2т1 + 1а Ь^а) = 2та, то есть
vа =(Ь;)-1 (Ьа)-1.. К,)-1 .-К,
Ьт2
Ь(vl) = 2т1, Vl = Ьфа..Ьті ЬЬтг..Ь1,
Ьті
Таким образом, начальный отрезок слова v1 и начальное поделово д-1 слова д-1 = д-1д-1 лежат в одном смежном классе, следовательно, сопрягая д-1ад словом v1 уменьшаем стоговую длину д-1. И можно полагать, что д-1ад = и1иа..ип, где и1иа..ип - простое слово.
и1..ик др (Мо, Б)
одного из следующих видов:
a) слово и1 ..ик содержит нетрансформу максимальной длины, то есть Ь(иі) >
Ь(и.), 1 ^ і ^ і — 1, і + 1 ^ і ^ к иі - нетранеформа;
b) слово и1 ..ик содержит нетранеформу иі и трансформу иід1 максимальной
длины, то есть Ь(иі) = Ь(иід1) = Ь(иіиід1), Ь(иі) > Ь(и.), 1 ^ і ^ і — 1,
і + 2 ^ і^ к
c) слово и1 ..ик содержит нетранеформы щ и иіда, и трапеформу иід1 со свой-
ствами: Ь(щ) = Ь(щ+а), Ь(иі) = Ь(иіиі+1) = Ди^+^+а), Ь(щ) > Ь(и.),
1 ^ і ^ і — 1, і + 3 ^ і ^ к причем даина слова иі+1 может оказаться меньше длины щ, 0 ^ Ь(иі+1) ^ Ь(иі);
и1..ик иі
Выясним, какой вил имеет, интересующее нас слово д-1ад = и1иа..ип.
Пусть слово и1иа..ип является словом вида (а), то есть и1иа..ип = и1..иі-1иіиід1..ип, где иі - нетранеформа максимальной длины. Тогда Ь(и1иа..иі_1) < Ь(иі) и Ь(иі+1..ип) < Ь(щ).
Так как длина слова д-1ад - нечетна, и д-1ад = и1иа..ип, то Ь(д-1ад) = Ь(иі) и длина Ь(иі) также нечетна. Тогда получаем, что умножением слова иі слева на слово иід1..ипи1..иі-1 левую половину нетранеформы иі можно перевести в левую половину нетранеформы и-1, Ь(иід1..ипи1..иі-1) < Ь(иі), Но, на основании определения 4(4), это невозможно. Тогда левые половины слов ^ и и-1
иі
зом, слово и1иа..ип не является словом вида, (а). Рассуждая аналогично, можно показать, что слово и1иа..ип не может иметь вид (Ь),
Пусть слово и1иа..ип имеет вид (с), то есть
и1и2..ип u1■■ui—1(uiuiд1uiда')uiд3■■un,
где иі и иіда - петрапеформы, иід1- трансформа, Ь(иі) = Ь(иіда), Ь(иі) = Ь(иіиі+1) = Цищ+т+а), Ь(иі) > Ь(и.), 1 ^ і ^ і — 1, і + 3 ^ і ^ к. Ь(иі) = Ь(иіда) = Ь(иіиід1иіда) = Ь(д- 1ад). Нетранеформы щ и иі+а имеют нечетную длину. Пусть иі = и-да тогда левая пол овина иі не равна левой половине и-+а и так как Ь(и 1 иа..иі-1) < Ь(и^ и Ь(иідз..ип) < Ь (иі), то в силу соотношения д-1 ад = и 1 иа..ип левую половину иі можно перевести в левую половину и-+а умножением па слово иід3..ипи 1..иі-1, Ь (иід3..ипи 1..иі-1) < Ь (иі).
иі
и-1а равны. Тогда иі = и-+а, что противоречит нашему предположению. Таким образом, слово и 1 иа..ип может иметь вид (с), но при этом не трансформы иі и -
иіда равны.
Пусть д-1 ад = и 1..иі-1 (иіиід 1 иіда)иід3..ип иі = и-+.а нетранеформы, Ь(иі) > Ь(и.), 1 ^ і ^ і — 1, і + 3 ^ і ^ к, 0 ^ Ь (иід 1) ^ Ь (иі).
Покажем, что и 1 иі = (иі+аиі+з^ип)- 1 ■ (и 1..Щ-1 иі) = Ь (иі), Ь (щ+а-ип) =
Ь (щ+а), Ь (и 1..Щ-1) < Ь (иі), Ь (иі+з-ип) < Ь (щ+а) ■
Из основного равенства g lag = П1..и—щ..ип) получаем, что =
g^Kgi, где K — ядро елова, L (g) = L (gi), щ+2..ип = g:[1Klg, gi — правая половина иг = и~+2. Сопряжем слово g-iag словом и1..иг-1иг. Получим щ !..щ 1 (g~1 ag) и 1..щ = g-1К- 1 g (g~1 ag) g~1 Kigi = g-1K- 1aKigi = g-1 K'gi, где K' = K-1 aKi, L (.g-1 Kgi) ^ L (иг).
Таким образом, g-lK'g1 = ui+1ui+2..unu1u2..ui и так как g-1 является неизолированной левой половиной иг и g-1K'g1 G gp(M0, S), то па основании леммы
6, существует подгруппа ряда (5) (Mj) = g-1Ajg1, содержащая трансформу gK1K'g^ Таким образом, gK1K'g1 = и0, где и0 G (Mj), Отсюда следует, что g-1ag = щ1^1 ..и^щи^и и произведепне и-1 и-1 ..u^uo^.u - слово.
Рассмотрим случай, когда u1u2..un - слово вида (d), Трапеформа ui принадлежит некоторой подгруппе (Mj) ряда (5), L (ui) > L (uj), j = г, L (u1..ui_1) < L (иг), L (ui+1..un) < L (иг) и L (u1..ui_1) L (ui+1..un) - нечетные числа.
Пусть иг = v_l..v;_1кivm..vъ g-1ag = gig2..gkKg'-1 ..g-1. Если L (щ-и-) ^ L (ui+i..un), TO Ui-Ui-i = gi..gtKivt..vi, Ui+i..Un = v-^.v-^.v-^g-^.g-1. Сопрягая g-1ag словом щ.м^ 1, получаем (g')-1 Kg' = uiui+1..unu1..ui_1^Щi (g')-1 совпадает с левой половиной иг и (g')-1 Kg' G gp(M0,S), поэтому на основании леммы 6, (g')-1 Kg' G (Mj), вде (Mj) - подгруппа ряда (5), Следовательно, (g')-1 Kg' = и0, и0 G (Mj) и g-1ag = и^и-1 ..и^щи^.щ.
Лемма 7 доказана.
Лемма 8. Пусть группа H порождена двумя различными специальными, множествами H = gp (M0,S) и H = gp (M'0,S'), где S - древесное произведение подгрупп ряда (5), S' -древесное произведение подгрупп ряда (5'). Тогда, для каждой подгруппы (Mi) = v'2OlCivi, Сг / {aj, |a2) из (5) существует подгруппа, (M?) из (5') и слов о wij G H такие, ч то (Mi) С w--1 (Mj) wij.
Доказательство.
(Mi)
(Mi) = Ai C gp (M0, S'), то на основании леммы 6 среди подгрупп ряда (5) содержится подгруппа (Mj) = А/, также порожденная трансформами длины
Ai С Aj Aj С Ai
Ai = Aj и wij = 1.
Пусть (Mi) = v(о1Civi, вде v-1 - левая половина трансформ, порождающих (Mi)
и пусть образующими (M,i) являются v(о1K1vi, vjOlK2viv.Kmv^ вде v-1 = r^r-1 ..rk,1. Будем полагать, что среди элементов v-lKjvi существует такой, что ядро Kj не сопряжено с объединяемой подгруппой. Пусть L (vо1Kjv^ = 2ki + 1, Так как v(о1Kjvi G gp (M'0, S'), то, на основании леммы 7,
vi Kj vi — Щ U2 ..UUoj Un ..Ui, (6)
где 1 ^ j ^ m, u^u-Ku^u/un..u1 - слово, u'0j - трансформа, принадлежащая
Mj (5 )
Покажем, что слова, стоящие справа в соотношении (6) являются простыми. Предположим, что это не так, тогда слово у-1 К—уг равно произведению простых слов у~1К.уг = и между ,ш['ш[+1, 1 ^ ^ Ь — 1, имеет место касание пер-
вого рода. Так как 'ш[ € др (М0, Б') и 'ш[ € др (М0, Б), то в подгруппе др (М0, Б) слово 'ш'1'ш'2..'ш'1. будет также представлено в гаде произведения не менее чем Ь простых слов. Но тогда длину крыльев трансформ у-1 К—уг можно укоротить, умножая на слова длины меньше 2кг, что невозможно.
Покажем теперь, что трансформы и^- при любом ] все принадлежат одной подгруппе (М3) ряда (5'), Для этого необходимо показать, что все слова (6) одновременно являются словами вида, (с) или (с1).
Допустим противное. Пусть У-~1К-\Уг = п—п—.. и— По-1 и— .. и— есть слово вида (с), а у-~1К-2Уг = и—и— ,,и— п—2ип-2.,и- слово вида (с1). Тогда Ь (и—) > Ь (и— ), 5 = и, Ь (и—) ^ Ь (пщ1 ), и— - нетрансформа с изолированной правой половиной, Ь [и—и— ..и-- — ) < Ь (и—), а трансформа удовлетворяет условию Ь (щ^) > Ь (и—), при 5 = 0, Ь (и—и— ..и-—) < Ь (щ^) и так как слова и—и—..и-- — и и—и—..и— принадлежат одновременно подгруппе др (М0, Б) и имеют длину меньше 2кг + 1, то, сопрягая этими элементами трансформы У-1 К— Уг мы не уменьшим их длины, А из строения этих слов следует, что их длины не увеличатся. Поэтому можно изолированную левую половину и— перевести умножением В левую половину трансформы и0]2; что противоречит определению 4(4),
Предположим, что все слова в (6) имеют вид (с). Тогда и3]1 = и^2, в = 1,п, иначе возникает противоречие с определением 4(4). Трапсформы и0— принадлежат некоторой подгруппе (М') ряда (5'), причем если и— = (д')- 1 К— д", где (д')- 1 - неизолированная левая половина, то (М3) = (д')- 1 С3д'.
Каждое слово и—и—..и-- —и— = у-1 К'3д'. Поэтому, сопрягая левую и правую половину равенства (6) словом и—и—..иполучим
иЛи2і{уі Клуі) и,п^1 ■■и^1 и^1 д , 1 ^ 3 ^ т,
(д')- 1 К ід = иоіі,
(д ) Квд ип]1 ..и 1І1 ■■иігіа и0]з и 1Ла ■■ип]а и'п;)1 ■■и2Л1 иіл , 1 <3 ^
ип І1 ■■и1Л1 и1Ла и2Ла ■■ипЛ.а (д ) Кв д ,
где (д') 1 Кд' Є (М). Отсюда иЛи-а■ ■и^ и■ м^ ((д') 1 д'
В результате, используя полученные равенства и заменяя в равенствах (6)
' -1 -1 -1 -1 -1 -1 п \-1 ' ' '
поделова ии2ла■ ■ип^а соответственно равным словом и^и2л1 ■■ип^г Цд1) К'3д
получим
-1 -1 -1 -1 уі К8уі = и1Л1 и2Л1 ■■ипЛ1 и0Ла и1Л1 и2Л1 ■■ипЛ1 )
где и'ла = ((д3) 1 К'д0 и0ла (Ы 1 (Ю 1 д') Є (М)-
ио
словами вида (с1). Тогда Ь (и-и- ..и-) < Ь (ио-), 1 ^ ^ т. Пусть ио- =
г-1 ..г-1 К— гк1..гъ Рассмотрим произведение: uo1un1..u11u-jU-j..u—jUojJ 1 < ] ^ т. Так как его длина не превосходит Ь (ио-) = 2кг + 1, то ввиду того, что и01ип1..и11и-/и-/..и;-1 ио— - простые слова с максимальными элементами и01 и ио-, Ь (ио1) = Ь (ио—), ип1..ипи-:)1и-,)1..и-1 = г-1..г-г1Н:)гк1 ..гъ где к- принадлежит некоторой обиедоняемой подгруппе, Поэтому и-1и-1 ..и-1 = и-1 ..4^-^^";, где и'— € (М'), Ь (и'—) < 2кг + 1, Но тогда равенства (6) примут следующий вил:
Уг К1Уг иЦ и21 ..ип1ио1ип1ип-1,1..и111 Уг К3 Уг и11 и21 ..ип1ио] Un1Unп1,1..U11,
где 1 < ] ^ т, и— = и'о-ио- (и'о3)- € (М').
(Мг) и о
ществует подгруппа ряда (5') и слова и- € Н такие, что (Мг) С и~-^ (М') и-.
Лемма 9. Пусть группа Н порождена двумя различными специальными, множествами Н = др (Мо, Б) и Н = др (Мо, Б'), где Б - древесное произведение подгрупп ряда (5), Б' - древесное произведение подгрупп ряда (5'). Тогда, для иаждой подгруппы (Мг) = у~1Сгуг, Сг / (аг|а2) из (5) существует подгруппа, (М') из (5') и иг- € Н такие, что (Мг) = и-1 (М-) иг-.
( Мг )
да (5) существует подгруппа ряда (5') и слов а и- € Н такие, что
(Мг) С и-1 {М-0 иг3. (7)
(5 )
{М-0 С и- (Мг) — (8)
Используя соотношения (7) и (8), можно построить цепочку вложенных подгрупп наименьшей длины:
и-1 (Мр1) и1 С (и!)-1 {М,910 и[ С и-1 (МР2) и2 С ..
... С К)-1 М0 и’з С (МР1) , (9)
где Wi7 w'i - элементы подгруппы Н, (Мрj = 1, в подгруппы ряда (5),
j = 1,8, - подгруппы ряда (5;),
Из соотношений (9) следует, и-1 (МР1) и1в С (МР1 ), Подгруппа (МР1) = у-^Ср1 УР1, где СР1 € Сг^и СР1 € Сгк, Группы О- и Сгк - конечны, и соот-
С
Таким образом, лемма 9 доказана.
Лемма 10. Пусть Н1 = др(Мо, Б1) и Н2 = др(М1о,Б11) две конечно порожденные подгруппы группы С. Основ а Б подгруппы Н1 порождена подгруппами ряда
(М1) ^ (М2) ^ ... ^ (Мк1), (10)
основа, Б' подгруппы Н2 порождена подгруппами ряда
(м;) < (М2) « ... < {м'к,0 (10')
Тогда, если Н; и Н2 сопряжены в С, то есть существует г € С такое, что г~1Нхг = Н2, то существует ги Е др(М$, Б'), такое, что и)~1г~1(М^ги) = (М'3), ^ = 1, к\, 5 = 1, к2, где (М?) - подгруппа ряда (10), (М') - подгруппа ряда (10 )
Доказательство. По условию леммы подгруппы Н; = др(Мо, Б;) и Н2 = др(Мо, Б1) сопряжены, то есть существует слово г € С такое, что
г-1др(Мо, Б;)г = др(М’о, Б1).
Мо
подвергнутся преобразованию: г~1М0г, {г~1(М^г}^=у-^^ Приведем образующие подгруппы гп1др(Мо, Б;)г к специальным образующим. На каждом шаге указанного процесса подгруппы гп1(М-)г, порожденные трансформами одного вида, переходят в сопряженные и, кроме того, чтобы выполнялись условия (2), (3), (4) леммы 2, порождающие подгруппы сопряженные с гп1(Mj)г могут пополняться трансформами. Допустим, что для подгруппы гп1др(Мо, Б;)г специальное множество построено:
г-1др(Мо, Б1)г = др(мо, Б1),
Б1
(м;) < (м2) <...« М) ■ (ч)
Из алгоритма построения подгрупп ряда (11) следует, что каждая подгруппа гп1(Mj)г сопряжена либо некоторой подгруппе ряда (11), либо подгруппе некоторой группы ряда (11). Теперь сопрягаем подгруппу др(МЦ, Б'{) словом г, получаем др(Мо,Б;) = гдр(МЮ, Б'{)г-1. Соответственно сопрягаются подгруп-
Мо
гдр(М", Б;)г-1 преобразованиям, переводящим их в специальное множество. Через конечное число шагов получим:
гдр(Мо,Б;)г-1 = дрМ', Б'1'),
Б1
(м;'') < (М2'') « - < (м%) . <12>
Каждая подгруппа гп1(М')г сопряжена либо некоторой подгруппе ряда (12), либо подгруппе некоторой подгруппы ряда (12), Таким образом, для подгрупп рядов (10), (11) и (12) имеет место следующее соотношение:
и-1гп1(Мг)г1игз С (М”),
где (Мг) - произвольная подгруппа ряда (10), (М') - некоторая подгруппа ряда (11), и' € гп1др(Мо, Б;)г = др(МЮ, Б1), поэтому и' = гп1иг- г € др(Мо, Б;).
( М— )
подгруппой из (М3''), то есть w~3г(M”)гn1Wj3 С (М'3''), где {й-3 € др(Мо, Б;). Поэтому имеем:
и^ги-;гп1(Мг)гйг;гп1{й-3 С и~:;г(М1')гп1йз3 С (М"'), (13)
где произведение и-ги~1 г-1 = и~3г(гп1 и-г)гп1 = € др(Мо, Б;).
Учитывая, что др(М1о,Б11) = др(МЦ, Б'{) и др(МЦ',Б;' ) = др(Мо, Б;), можно
(10 )
почки вложенных подгрупп подгруппами из ряда (10), В результате для каждой
(Мг)
и-1 гщ-1 г-1 (Мг)гь)'гп1и3 С ии-1г(М')гп1ии3 С
С и-1ги)п'р;(М,г)йгргп1и)3 С ир-1г(Мр)г-1ир С гу-1(М"')гУ3 С (М3) (14)
где -й-1 г-йЩ^!;гп1 € др(Мо, Б;)
Используя цепочки (14), можно построить цепочку минимальной длины следующего вида,:
wР"11ггy-1гn1(Mp1 )гии1гп1ир1 С и-г(М'2)гп1ир1 С
С и-!1 ги-1 (М”3)'ш3гп1ир1 С ... С (Мр1). (15)
Из которой следует, что ир-^ ги-1 г-1 (МР1)г'ш1гп1иР1 С (МР1), и так как и-; ги-1 г-1 € др(Мо, Б;), то и-; ги-1 г-1 (МР1 )гчЪ;гп1иР1 = (МР1) и в поеледова-
С
wp"11ггyn1гn1(Mp1 )гии1гп1ир1 = и- ги-1 (М”3 )гизгп1ир1.
Откуда щ1гп1(МР1 )ги1 = щ1(М'”з)и3, где и1, € др(Мо, Б1).
Лемма доказана,
С
весной структурой. Слова у и и, длина, каждого из которых равна единице С
маная, состоящая, из ребер дерева,-графа, Г, которая соединяет вершины соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера.
Теорема 1. В группе С разрешима проблема сопряженности подгрупп.
Доказательство. Н; = др(Мо, Б;) и Н2 = др(мо,Б'1)- конечно порожденные подгруппы группы С. Основа Б подгруппы Н; порождена подгруппами ряда
(М;) ^ (М2) ^ ... ^ (Мк1) , (10)
Б Н2
(м;) «(М2) <... < М). (10')
Пусть Н; и Н2 сопряжены в С, то есть существует слово г такое, что гп1Н;г = = Н2
г-1др (Мо,Б) г = др (М’о,Б'). (16)
По лемме 10 существует и € др(Мо, Б'), такое, что
ип1гп1(Мг0 )ги = (М' ), (17)
где (Щ0) = у~1Сг0у10, С^0 € или € (Щ0) = д-01С'”0д-0, С'^ € С- или
С'0 € Сгк. Соотношение (17) перепишем в следующем виде
— 1 — 1 — 1 /~1 — 1 /~1'
и г У^0 Сг0 уг0 ги = д-0 С”0 д-0.
д—0
{д-0'Ш-1^-1) Сго (уг0гид—о1) = С'”о. (18)
Перепишем соотношение (17) в виде:
{д-аи—1г—1 у-!) уг0др (Мо,Б) у-; (уг0гид—) = д-одр (мо,Б') д-1. (19)
Приведем образующие подгрупп угодр (Мо, Б) у-1, д-0др (М’о, Б') д— к специальным образующим. Полученные подгруппы обозначим через др (МЦ, Б'') = Н1 и др (МЦ', Б''' ) = Н2 соответственно. Пр0 этом основа Б'' порождена подгруппами ряда (М;) ^ (М2) ^ ... ^ {М'к2), основа Б''' - подгруппами ряда (М!'') ^ (М2'') ^ ... ^ {М'12). Обозначим слово угогид— через и.
Тогда соотношение (19) примет вид: издр (МЦ, Б'') и-1 = др (М"', Б''') или и Н'^и—1 = Н'2. Слово и будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности др (Мо, Б''') и др (МЦ, Б'') или Н'2'ш Н';.
Случай 1. Пусть каждая подгруппа рядов (10) и (10;) сопряжена с объединяемой подгруппой. В этом случае соотношение (18) примет вил
(д-оиг1г—1у-!) а- {угогид-о!) = а”.
Тогда слово и = угогид— принадлежит централизатору элемента аг. В [4] доказана
Теорема 2. Пусть С - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой; слово и> Є С такое, что |«>| = 1, то есть и> = щ, і = 1 ,п. Тогда централизатор элемента, ш есть подгруппа, вида,
С(и>) = (5і, 52,т ; 52 = 1, т2 = 1, г = 1, з),
где гг - циклически сократимое слово вида гг = г1г2..гі-1г0г-_11..г-1 г-1, где г-і Є СаЬ, подслово г0 соответствует замы,кающему ребру и |^| = таЬ — 1, і = О,і - 1.
В соответствии с теоремой 2, централизатор элемента аі в группе С будет иметь вид согласно Рис, 1:
1, Если числа тц и та- - четные, то С(щ) = (щ, г2, а2, г2, г = 1,2), где
гі Є Су, Є Сік, Ы = тц — 1, Ы = т^ — 1.
2, Одно из чисел, например т^, - четное, другое, тік, - нечетное, С(аі) = {аі, гі; а2, г^ ), где гі Є С^, ІгіІ = ту — 1.
3, Числа т^ и тік - нечетные, то С(аі) = {аі; а2 ).
Я*
а
Рис, 1, Фрагмент дерева — графа Г
Случай, когда С(аг) = {аг; а2) тривиален.
Пусть С(щ) = (а,г, г\,г2, а2, г = 1)2),
Пусть = {иг]}, W2 = {иг2}, г € N - специальные множества образующих подгрупп др (Мо, Б'') и др (МЦ', Б''') соответственно.
Слово и будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности Н'2'ш Н]. При этом слово и может иметь вид:
a) и = (г;г2)к;
b) и = (г;г2)к г;;
и) = г1
аг
объединяемой подгруппе.
а) Рассмотрим двойной класс смежности Н'2 (г1г2)к Н]. Проведем общие рассуждения, связанные с ограничением показателя степени к. Для этого выясним, какие возможны сокращения на стыках,
г1 г2 Н2 к = 0
Если (г;г2)* € Н'2, где £ - наименьший возможный показатель степени,
к < Ь. В этом случае, можно найти показатель степени при котором (г;г2)* / Н'2 и показатель етепени Ь", при котором (г;г2)* / Н], тогда к < тах {£, £'}.
Если (г;г2)* г; € Н'2, где £ - наименьший возможный показатель степени, к < Ь, то поступаем аналогично.
Если (г;г2)* г^^ € Н'2, где г^^г^ды = г;, то будем искать пересечение классов смежности г1ггдЫ*г2 (г1г2) П Н].
Если (г^)* г;г21в^ € Н'2, где г21в/*г2НдЫ = г2, то будем искать пересечение классов смежности г2ггдЫ* {г1г2) П Н]. Для того, чтобы ограничить длину слова щ перепишем общую часть слова и с подгруппой Н] в и -
символах подгруппы Н] и общую часть с лова и с подгрупп ой Н'2 в и -
Н2
и) Н1 Н2
2
где
А, = [2 £ L(ffiM) + 1 ( Т « ) + I)2, 3 = 1,2
\ / 4 '
мощность множества rT(j') всех типов трансформ подгруппы Hj, пополненное /3^ ф G, j = 1,2, Таким образом, длину слова w можно ограничить следующим образом: |гу| ^ 2A, вде A = max{Ai,A2}.
Ь)Раеемотрим двойной класс смежности H'2 (z\z2)k z1 H[. Рассуждения аналогичны предыдущему случаю (а).
с) Если w = zi, тогда, как и выше, lz1l = mj — 1, z1 E Gij. В этом случае
vzwg-1 E Gij.
Пусть теперь С(аг) = (аг, г;; а2, г"2), вде г; € О-, \г;\ = т- — 1. Эквивалентно случаю (с).
Случай 2. Пусть подгруппы Сго и С'-о содержатся в подгруппе С- или в
Сгк
Случай 2.1. Сго и С”о порождены элементом единичной длины, не принадлежащим объединяемой подгруппе,
Сг0 = С—0 = а—\ а—2 .
(.gjow 1z Чо1) а Ы zwgj01) = au ■
Тогда слово ьгогид-01 принадлежит централизатору элемента а-. При этом
а—
а) Если числа тг- и тгк - четные или тгк - четное, тгк - нечетное, то С (а-) = (а-, г;; а— г2), где г; € С-, \г;\ = тг- — 1. Этот случай рассмотрен выше,
тг— тгк
С (а- ) = (а-, г^г-1; а2, (г^г-1)2^,
где г; € С-, \г;\ = тг- — 1 ,г2 € Сгк, \г2\ = тгк — 1 .В этом случае, и)
с) Если т- и тгк - нечетные, то С (а-) = (а-; а” ), Этот случай тривиален,
2, Сг0 = (а-\а2), С';0 = (ак\а2к). По лемме 11, если тг- и тгк - нечетные, то и = ъи1г1)2, где щ € Сгк, и2 € С-, причем \г);\ = тгк — 1 и \и2\ = т- — 1, Тогда \и\ = \гу;г)2\ ^ \г);\ ■ ^ = (тгк — 1)(тг- — 1) . Пусть т = тах{тг-, тгк} ■ Тогда Щ < т2 + 1.
Случай 2.2. Подгруппы Сг0 и С”0 порождены элементами длины больше единицы,
1, Подгруппы Сг0 и С”0 порождены элементами из одной подгруппы, например, С-. В этом случае, в соотношении (18) слово и = угогид— также принадлежит подгруппе С-, Тогда длина с лова и ограничена длиной определяющего соотношения подгруппы С\г)\ < 2т',
2, Подгруппы Сг0 и С'-0 порождены элементами из разных подгрупп, то есть в соотношении (18) Сг0 С С-, а С'-0 С Сгк. Этот случай невозможен, так как слова конечного порядка, длины которых больше единицы, принадлежащие разным подгруппам вида, С- не могут быть сопряжены в С.
Случай 3. Н; = др (Мо, Б) и Н2 = др (М’о, Б') основы Б и Б' равны единице, то есть Н; = (Мо) и Н2 = (Мо), и являются свободными подгруппами в С. И пусть (Мо) = (Х;,Х2, ..,Хп) и (Мо) = (У;,У2, ..,Уп). Выясним существует ли слово г € С такое, что справедливо равенство
г-1(Мо)г =(Мо). (20)
г
(Мо)г(М'). “ ____ ___
Образующие {Хг}, г = 1, п подгруппы (М0) и образующие {У*}, г = 1, п под-
( Мо )
1, Левая половина каждого X* £ {Х^}, г = 1, гг, имеющего нечетную длину изолирована в множестве {{X,-} \Х*} и {{Х"1} \1}, j = 1 ,п. Левая и правая половины каждого Хг £ {Х^}, г = 1,п, имеющего четную длину изолированы в множестве {{X,} \Х*} и {{Х"1} \Хг-1}, j = 1, щ
2, Больший начальный и больший конечный отрезки каждого Хг € {Хг}, г = 1, гг, изолированы в множестве {{X.,} \Х*} и {{Х^1} \Хг-1}, j = 1, щ
3, Для каждого X» £ {Х^}, г = 1 ,п, справедливо соотношение Ь (ги^ХгЮ^2) ^ Ь(Хъ), где Ю8 £ {{Х^} \Хг}, 1 = 1 ,п, в= 1,2.
Образующие (У;,У2,..,УП) подгруппы (М’о) упорядочим по длинам 1 к
< Ь (У') к ... к Ь (УП).
Хг (Мо)
( Мо ) ( Мо ) г1
получим подгруппу г-1(Мо)г1 = (М^), в которой элемент г-1Хгг1 = Х' циклически несократим и Ь (Х'') > 1.
Предположим, что равенство (20) справедливо, тогда г-1Хгг = У]Уг2..У где £* = ±1 Ь (г-1Хг) > Ь (г), Ь (Хгг) > Ь (г), в противном случае, г не удовле-
Хг
если имеет место сокращение между г-1 и Хг, то произведение Хгг несократимо. Поэтому
г Хгг г ХоХпг гп Хо ХоХпХогп гп ХпХогп ;
где Хг = Х0Хп £ С и
-у—1 V V -у ___
6п хпх06п — 1 І1 1 І2 ••1ів
При этом Ь (гп) к
ь(уп)
2
1п
Предположим, что Ь (гп) > ь, Тогда слово У^У^2--У^ не является простым, а, следовательно, является произведением простых слов, между которыми имеет место касание первого рода, то есть УЦ1 У^2..У^ = у1у2...ур-1ур. Так
как Ь (гп) к
%)
и больший конечный отрезок ур не затрагивается сокраще
р
нием, то длину гп можно укоротить, умножая справа на у--1, что противоречит
выбору г. Потому Ь (УЦ1 У£..Уге/) к Ь (Хг) + Ь (Уп) + 1.
Далее, в подгруппе (М’о) = (У;, У2,.., Уп) построим множество слов V = {у1,у2, ..,ут}, длина каждого из которых не превосходит Ь (X») + Ь (Уп) + 1. При ЭТОМ каждое ИЗ Уг сопряжено С Хг В группе С. Пусть все Уг = у~^у\уго, ТО есть у\ циклически несократимы в С. Трансформируем подгруппу (У^ У2, ••,Уп) элементом у—1 . Получим у—1 (У1,У2, ..,Уп) уго = (У],У£..,У^), где {У],У£..,Уп}
- специальное множество образующих подгруппы у-1 (У1,У2, ..,Уп) Уго. Известно [3], что некоторая циклическая перестановка Хг будет сопряжена с у\ с помощью
элемента аі из объединяемой подгруппы. Поэтому трансформируем подгруппу (Х1,Х2,Хп) различны ми Хі,Іе/г, то есть начальными поделовами Хі,Іе/г слова Хі. В результате получим конечное множество подгрупп
{ 1\Хі,Іе/іХ1Хі,Іе/г, ■■■, ХгМ^Хі-1ХіМі, Хі,Іе^іХі,гідЬА,, Хі,Іе/гХі+1ХіМїг, ■■■
■■■ХІ,„ХпХІШ)} = {«*})*■
,left
Выделим ИЗ ЭТОГО множества подгруппу, V которой Хг сопряжено с элементом аг. Трансформируем выделенную подгрупп у элементом аг и проверим выполнимость соотношения:
/ \ Хг,1е/ь / \ Уцо / \ Хг,1е/Ь
*(т^) агс({Хг}г^) С аг({хг}г^) аг. (21)
Если соотношение (21) выполняется, то подгруппы Ихъ Н2 сопряжены. Теорема доказана.
Далее будем рассматривать конечно порожденную группу Кокстера с древесной структурой С, представленную в виде свободного произведения дву-порожденных групп Кокстера объединенных по конечным циклическим подгруппам: С = *С3; ге1С1, ..,ге1С3; аг = аВ этом случае группе Кокс-
тера С соответствует дерево - граф Г такой, что, если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют группы Кокстера на двух образующих С^ = (аг, а,; (аг)2, (а,)2, (а*а,-)т^') и Сгк = (аг, ак; (а*)2, (ак)2, (агак)тгк), тогда ребру е соответствует циклическая подгруппа (аг |(аг)2),
Рассмотрим древесное произведение п — 1 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Гп-1, Гп-1 С Г, Группу, соответствующую графу Гп-1 обозначим через Сп_ 1. Пусть п-ый сомножитель - подгруппа Сху соответствует вершине дерева - графа Г, которая связана с графом Гп-1 ребром е1. При этом ребру е^ соответствует циклическая подгруппа второго порядка (ах |(ах)2),
С
- Сп-1 и Сху, объединенных то циклической подгруппе порядка два (ах |(ах)2), то есть С = Сп-1 * Сху.
(ах\а%)
С
д — llg l2g ■■lng Kg r ng ■■rlg
где rtg и l~g- представители правых классов смежн ости группы Gn-1 ил и Gxy по циклической подгруппе (ax\(ax)2), причем rtg, rt+1g (аналогично lsg, ls+1g ) принадлежат разным сомножителям группы G. Kg - ядро елова д.
Если Kg не принадлежит объединяемой подгруппе, то слоги lng и rng при-
G Kg
Для группы G = Gn-1 * Gxy понятия трансформы, левой (правой) поло-
(ах\а1)
вины, изолированной половины, специального множества, слова, простого слова
определяются также как для группы С. А также для группы С = Сп-1 * Сху
(ах\а1)
справедливы леммы 1-8, и следствия 1,2,
НС личными специальными множествами, то есть Н = др (М0, Б) и Н = др (МО, Б'), где основа Б порождена подгруппами ряда
(М1) к (М2) к ... к (Мк), (22)
Б
(М1) к (М2) к ... к (Мк), (22')
(Мг) = у__1СгУг , Сг е Сп_1 или Сг е Сху; _М]) = д~1С]д^ С] е Сп_1 или
С' е Сху .
Н
множествами Н = др (М0,Б) и Н = др (МО, Б'), где Б - древесное произведение подгрупп ряда (22), Б'- древесное произведение подгрупп ряда (22') Тогда, для, каждой подгруппы, (Мг) = у__1Сгуг из _22) существует подгруппа (М])
из (22') и тг] е Н такие, что (Мг) = т_1 (М') тг], где Сг не принадлежит
объединяемой подгруппе.
(Мг)
группа ряда (22') и слова тг] е Н такие, что
(Мг) С т-1 _М') т]. (*)
(22 )
{М]а С т_г1 (Мг) т ц. (**)
Используя соотношения (*) и (**), можно построить цепочку вложенных подгрупп наименьшей длины:
(МР1) т1 С (т[)_1 {М'д1) т[ С (МР2) т С ...
.. С К)_ М) т'а С (МР1), (***)
где «4 - элементы подгруппы Н, (Мр.), j = 1, в подгруппы ряда (22), ^Мд^,
j = 1,8, - подгруппы ряда (22;),
Из соотношений (***) следует, т_1 (МР1) т1 С (МР1), Подгруппа (МР1) = у__11СР1 уР1, где СР1 е Сп_1 ми СР1 е Сху. Пусть СР1 е Сеп_1. Тогда группа (МР1) = у__11СР1 уР1 - бесконечна, и (МР1) содержит трапсформу у_1КуР1, ядро которой не сопряжено ни одному элементу из объединяемой подгруппы (ах; ахх). Так как т1 е Н, т_1 = п_1 ...и__1, где и^1...и__1 - слово в Н, то в Н имеет место соотношение: щ1...^1 (у__11КуР^ ип...и1 = V Р1 _1К1у'Р1, в котором и^1...и__1 (уР_^КуР1) ип...и1 - простое слово и все иг - трансформы, удовлетворяющие условию: Ь (и1) к Ь (и2) к .. к Ь (ип) к 2Ь (уР1) + 1,
Рассмотрим произведение
щ 1...пгг1 пп...щ (ь'р1 1К1 УР1) = 1
Предположим, что и 1 / (МР1), тогда и_ 1...и_1 (у_КуР1) ип...и 1 {у'_К_1 у'Р1)
Н
воречие.
Таким образом, и1 е (МР1), Рассуждая аналогично, можно убедиться, что все иг е (МР1), Тогда т_1 (МР1) т1 = (МР1), Таким образом, в поеледовательно-С
Лемма 12 доказана.
Лемма 13. Пусть Н1 = др (М0,Б) и Н2 = др (МО, Б') две конечно порож-
С Б Н1
ряда
Тогда, если Н1 и Н2 сопряжены в С, то есть существует г е С такое, что г~1Н\г = Н2, то существует ги Е др(М0, Б'), такое, что и)~1г~1(М^ги) = (М'3), ^ = 1, к\, 5 = 1, к2, где (М?) — подгруппа ряда (23), (М'3) — подгруппа ряда
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 10,
Теорема 3. В конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема сопряженности подгрупп.
С
весной структурой, представленная в виде свободного произведения дву порожденных групп Кокстера объединенных по конечным циклическим подгруппам:
Доказательство будем вести методом математической индукции по количеству сомножителей в свободном произведении с объединением. При этом теорема 1 послужит базой индукции. Предположим, что проблема сопряженности разрешима при п — 1 сомножителях. Как показано выше, представим группу С как свободное произведение двух групп - Сп_1ш Сху, объединенных по циклической подгруппе порядка два (ах|ах), то есть С = Сп_1 * Сху.
По индуктивному предположению в группе Сп_1 проблема сопряженности подгрупп разрешима. Покажем, что в этом случае данная проблема разрешима С
(23)
(М1) « (М2) < ... < (му.
(23')
(23').
Пусть Н1 = др (М0, Б) и Н2 = др (М'0, Б') - конечно порожденные подгруппы группы С, Основа Б подгруппы Н1 порождена подгруппами ряда (23) основа Б' подгруппы Н2 порождена подгруппами ряда (23'),
Пусть Н-^и Н2 сопряжены в С то есть существует слово г такое, что г~1Н1г = Н2 или
г~1др (Мо,Б) г = др (М0,Б'). (24)
По лемме 12 существует т Є др(М'0, Б'), такое, что
и>~1г~1(Мі0 )гт = (М'І0), (25)
где (Мі0) = уї1Сі0уіо, Сі0 Є Сп-1 или Сі0 Є Єхю (Щ0) = д-'С^діо, С'І0 Є Сп-1
ИЛИ С'о Є Сху. Соотношение (25) перепишем в следующем виде
т~1г~1у~1сіо уіо= д-о1<С'зо дзо-
Далее, сопрягая его элементом д з0, получим
(д зо'ш-1г-1ь-1) сіо (ьіог'шд-1) = 3, (26)
Перепишем соотношение (6) в виде:
{д зот-1г-1 V-1) Уіодр (Мо, Б) У-1 гтд~1) = д^др (М0, Б) д-1 (27)
Приведем образующие подгрупп уіодр (М0, Б) у-1, д з0др (М'0, Б') д-1 к специальным образующим. Полученные подгруппы обозначим через др (МЦ, Б'') = Н1 и др (МЦ',Б''') = Н2 соответственно, При этом основа Б'' порождена подгруппами ряда (М1) к (М2) к ••• к (М'к ), основ а Б''' - подгруппами ряда
(М»о к (М2') к ... к (М®.
Пусть Ш1 = {т^}, Ш2 = {ті2}, і Є N - специальные множества образующих подгрупп др (М0, Б'') и др (МЦ', Б''') соответственно, Обозначим слово уіогтд-через т. Соотношение (27) перепишем в виде: тдр (МЦ, Б'') т-1 = др (М'0', Б''') или и)Н'1И)~1 = Н'2.
Слово т будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности Н'2'шН'1.
Случай 1. Пусть каждая подгруппа рядов (23) и (23;) сопряжена с объединяемой подгруппой, В этом случае соотношение (26) примет вил:
(дзот-1г~1уї1) ах (щ}гтд~о1) = ах.
Слово уіо гтд~о1 принадлежит централизатору элемента ах.
Пусть т = г1г2..гп. Рассматриваем двойной класс смежности Н'2'йН'1. Проведем всевозможные сокращения на стыках. Предположим, что после сокращения мы получили НІ2гігіфігі+1...г1-1гііе^НІ1.і 1 к і к Щ і к I к п Далее будем искать пересечение классов смежности гі>гіфгС (ах) П Н1 и С (ах) гцф П Н'2. Данная проблема в группе С разрешима [6], Нам необходимо ограничить длину слова т. Для этого перепишем общую часть слова т с подгруппой Н1 в
и - символах подгруппы Н1 и общую часть слова и) с подгрупп ой Н'2 в и -символах подгруппы Н'2. Используя метод типов, ограничим длину слова г. Количество типов трансформ подгрупп Н1 и Н'2 ограничено числами Л у =
2 ЦтЩ + 1 ] ( У + М, 2 = 172, где - мощность множества
Т^- множества всех типов трансформ подгруппы Щ, пополненное в/ С,
2 = 1,2; М = тах {таь}, таь - числа симметрической матрицы Кокстера
1^а,6^п
группы С. Таким образом, длину слова г можно ограничить следующим образом: г к 2Л, где Л = тах {Л1,Л2}.
Итак, в качестве слова г будем выбирать слова, принадлежащие централизатору С (ах), удовлетворяющие полученному ограничению на длину, и проверять справедливость соотношения гйН'1гй_1 = Н'2.
Рассмотрим случай, когда подгруппы С*0 и С^0 порождены элементом единичной длины, то есть образующим, не принадлежащим объединяемой подгруппе, Пусть Сг0 = (ая; а2) и С'30 = (аР; а2), ая, аР е СЛп_1. В этом случае, используя лемму 11, выясним, сопряжены ли образующие ад и аР. Если эти образующие
Н1 Н2
Предположим, что образующие ан и аР сопряжены некоторым словом г0, то есть г0адг-1 = аР. Тогда в равенстве (ду0т_1г_1ь~1) ая (у*0ггд-1) = аР сделаем вставки: (д^0г_1 г_1у~1 г-1) г0адг-1 (г0у*0гтд-1) = аР , Получим:
(.9зог_1г_1у~1г-1) аР (гоУ^0жд-1) = ap,
то есть, ду0и)_1г_1у~1г_1 = гг-1 е Со (аР) и слово г будем искать в классе смежности Со(аР)г0, Тогда слово г будет иметь вид: г = кг0, вде к е Со(аР), Сначала проверяем равенство гОН'1г0_1 = Н'2. Если данное равенство выполнено, то подгруппы сопряжены, слово г0 известно. Если же гОН'1г0_1 = Нг2, то, используя рассуждения , приведенные выше, ищем элемент к е Со(аР).
Если один из образующих принадлежит группе Сху или оба образующих принадлежат группе Сху, то используем аналогичные рассуждения.
Случай 2. Пусть каждая подгруппа рядов (23) и (23') не сопряжена с элементом единичной длины, то есть С^ С Сп-1 или Сад С Сху; С^0 С Сп_1 или С^о С Сху. Рассмотрим случай, когда подгруппы С*0 и С^0 содержатся в группе Сп_ 1, Пусть подгруппы Сг0 и С'у0 порождены ядрами трансформ порождающих подгрупп рядов (23) и (23'). Обозначим их через Л* и Л^. По индуктивному предположению, в группе Сп_1 проблема сопряженности подгрупп разрешима. Если подгруппы Л* и ЛУ сопряжены, то существует слово г0 е Сп_1 такое, что г__1Л*г0 = Л у Наход им г0 и проверяем раве пство г-1 Н1г0 = Н'2. Если равенство выполнено, то подгруппы сопряжены. Если же данное равенство не выполнено, то в равенстве (26) сделаем вставки:
Ыо'Ш_1г_1Ь-1го) г_1Лгг0 (г-1уга ггд_) = Л ■
Учитывая соотношение г0 1Л*г0 = Л'у, получим
(дувг_1г_1уг_1го) Л (г_1уго ггд_^ = Л'у , и к = дув'Ш_1г_1Ь-1го е N0 {С',о).
Пусть г_1Н'1г0 = Н'[. В подгруппе Н'{ берем любой образующий, слоговой длины больше единицы, г0 = ЬОгО)Пр, где Ь0 - первый слог г0. Тогда кгОк-1 = У1У2--Уп е Н'2. У1 е Л'р У2 = а0У2, где а0 - первый слог У2. а0 и Ь0 принадлежат одному сомножителю, следовательно,
кЬ0 = У1а0а',
где а' е {ах; а%)■ Тогда к = У1аОа'Ь__1.
Проверяем равенство кН'{ к-1 = Н2 или У1аОа'Ь__1 Н'{ ЬОа' а__1У-_1 = Н2. Так У1 Н2 У1 к
можем взять к' = а0а'Ь-1. к
Н 1 Н2
цы. Далее берем первые слоги, принадлежащие одному сомножителю и составляем произведения а0а'Ь-1. Затем проверяем равенство к'Н'{ (к')-1 = Н’2. Если равенство выполнено, то исходные подгруппы сопряжены. Если нет, то состав-
к к Н1 ( к ) _ 1 = Н2
Случай, когда С*0 С Сп_1, а, С^0 С Сху невозможен. Действительно, любая подгруппа группы Сху - конечна. Подгруппа группы Сп-1 может быть конечной или бесконечной. Если подгруппа С*0 С Сп_1 бесконечна, то сопряжение не возможно. Если подгруппа С*0 С Сп_ 1 конечна, то С*0 С С3, вде С3 - дву-
порожденная группа Кокстера, которая является подгруппой группы Сп_1, то сопряжение также не возможно.
Случай, когда С*0 С Сху, и С^0 С Сху тривиален.
Случай 3. Пусть в подгруппах Н\ = др (Мо, Б) и Н2 = др (М'0, Б') основы Б и
Б' равны единице, то есть Н1 = (М0) и Н2 = (МО), и являются свободными подгруппами в С. И пусть (М0) = {Х1, Х2,Хп) и (МО) = {У1,У2, ..,Уп). Выясним существует ли слово г е С такое, что справедливо равенство
г-1(МО)г =(МО). (28)
г
(Мо)г(М'). “ ____ ____
Образующие {Х*}, г = 1, п подгруппы (М0) и образующие {Уг}, г = 1, п подгруппы (МО) являются специальными и удовлетворяют следующим условиям:
1, Левая половина каждого X* £ {Xг}, г = 1,п, имеющего нечетную длину изолирована в множестве {{X,-} \Х*} и {{Х"1} \Хг-1}, j = 1 ,п. Левая и правая половины каждого X* € {Х^}, г = 1 ,п, имеющего четную длину изолированы в множестве {{X.,} \Х*} и {{Х"1} \Хг-1}, j = 1, п;
2, Больший начальный и больший конечный отрезки каждого X* е {X*}, г = 1, п изолированы в множестве {{X,} \Х^} и {{Х"1} \Хг_1}, j = 1,щ
3, Для каждого Хі Є {Хі}, і = 1, п справедливо соотношение Ь {гп^Хігп^) ^
Образующие (У1,У2, ■ ■ ■, Уп) подгруппы (М0) упорядочим по длинам 1 к
Пусть образующий X* е (МО) - циклически несократим. Если все образующие (МО) циклически сократимы, то, сопрягая (МО) некоторым элементом г1, получим подгруппу г-1(МО)г = (МЦ), в которой эле мент г-1Х* г = X' циклически несократим и Ь (X") > 1,
Предположим, что равенство (28) справедливо, тогда г_1Xiг = УЦУ^2--У^, где £1 = ±1 Ь (г_1Xi) > Ь (г) Ь ^*г) > Ь (г), в противном случае, г не удовлетворяет условию минимальности, и поскольку X* циклически несократим, то, если имеет место сокращение между г-1 и X*, то произведение Xiг несократимо. Поэтому
стым, а, следовательно, является произведением простых слов, между которыми имеет место касание первого рода, то есть УЦ1 У^2..У?/ = у1у2...ур_1ур. Так
нием, то длину гп можно укоротить, умножая справа на ур 1, что противоречит выбору г. Потому Ь ■ ■У£) к Ь (Хі) + Ь (Уп) + 1.
Далее, в подгруппе (М0) = (У\, У2, ■■, Уп) построим множество слов V = у2, ■■, ут}, длина каждого го которых не превосходит Ь (Хі) + Ь (Уп) + 1, При этом каждое из уі сопряжен о с Хі в груп пе С. Пусть все уі = ь--1ь/іьіо, то есть v'i циклически нееократимы в С. Трансформируем подгруппу (У\,У2, ■■,Уп) элементом V-1, ПолучиМ V-1 (Уі,У2, ■■,Уп) Уіо = (У(,У2■■,УП), гДе {У(У-У}
- специальное множество образующих подгруппы V—1 (У1,У2, ■■,Уп) viQ. Известно
[3], что некоторая циклическая перестановка Хі будет сопряжепа с vi с помощью элемента ах из объединяемой подгруппы. Поэтому трансформируем подгруппу (Х1,Х2, ■■, Хп) различны ми Х^^, то есть начальными поделовами Хі^є^ слова Хі. В результате получим конечное множество подгрупп
Ь(Хі), где иі3 Є {{X.,} \Х*}, 1 = 1 ,п, в = 1,2.
к Ь(УО к ■■■ к Ь(Уп).
г Хіг — г Х0Хпг — гп Хо Х0ХпХ0гп — гп ХпХОгпі
где Хі = Х0Х,п Є Си г—1ХпХ0гп = У£ У% ■ ■У£,
При этом I. (гп) к , где Уп - подслово, имеющее максимальную длину.
Предположим, что Ь (гп) > , Тогда слово У^У^ --У^ не является про-
как Ь (гп) к и больший конечный отрезок ур не затрагивается сокраще-
Выделим из этого множества подгруппу, у которой X* сопряжено с эле-
ах ах
выполнимость соотношения:
ах \{Хг\С1Х С С С1Х ах• (29)
Н1 Н2
рема доказана,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] В, Н, Безверхний Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе Н.Х.Х-групп. // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение, ТГПИ им, Л.Н. Толстого, 1983г, с,50-80,
[2] В, Н, Безверхний Решение проблемы вхождения для одного класса групп, //Вопросы теории групп и полугрупп, ТГПИ им, Л.Н, Толстого, 1972г., с. 3-86.
[3] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.
[4] В. Н. Безверхний, О.В. Инченко Централизатор элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой.// Чебышевекий сборник. Том 9, выпуск 1(25), 2008, с. 17 - 28.
[5] О. В. Инченко Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой.//Материалы Международной научной конференции “Современные проблемы математики, механики, информатики” Тула, 2008, с. 6.
[6] В. Н. Безверхний, О. В. Инченко Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой.// Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2009. - Выпуск 2. - С.16-31.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тульский государственный университет Поступило 12.07.10
