Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 19-39

= Математика =

УДК 519.4

Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп

Е. С. Логачева

Аннотация. Положительно решена проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп в древесном произведении циклических групп с ассоциированными циклическими подгруппами.

Ключевые слова: группа, подгруппа, проблема сопряженности.

Введение

Рассмотрим группу G, которой соответствует конечный связный дерево-граф Г с вершинами, являющимися циклическими группами (ai), i = 1, n, такой что, если вершинам некоторого ребра e графа Г соответствуют образующие (ai) и (aj), то самому ребру соответствуют ассоциированные подгруппы (ami) = (aj).

Копредставление группы G имеет вид:

П

G = (П*(а*;)|ami = aj), |mi|, |sj| > 1,i = j,i € Ii,j € I2, k=l

где вершины, соответствующие подгруппам (a™4) и (aj) в древесном произведении, соединены ребром.

Определение 1. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп Hi, H2 из G установить, существует ли элемент z € G такой, что z-iHiz = H2 [3].

В.Н. Безверхним [3] было доказано, что в классе групп Fm *а Fn, где Fm и Fn — свободные группы рангов m и n, C — циклическая подгруппа, разрешима проблема сопряженности подгрупп.

В.Н. Безверхним и Е.С. Логачевой [4] положительно решена проблема сопряженности подгрупп для группы (a,b, c|am = bn,bk = cs), где |m|, |n|,

H |s| > 1

Настоящая работа является обобщением результата, полученного для свободного произведения трех циклических групп с объединением по циклической подгруппе.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА. В группе С разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Доказательство основной теоремы будем вести по индукции. База индукции следует из вышеуказанного результата, т.е. в группе (а,Ь,е1ат = Ьп,Ьк = с8), |т|, |п|, |к|, |«| > 1 разрешима проблема

сопряженности конечно порожденных подгрупп [4]. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для (п — 1), докажем для п сомножителей.

Выделим в дереве группы С конечную вершину ап и представим С в виде:

С = С1 * тп-1 _ап (ап),

ап-1

где С1 = (П/с-1 *(ак)|ат = а8/), |ш*|, ^| > 1,г = ],г € € /2 и группе С1

соответствует граф Г1 со свойствами графа Г.

Лемма 1. Пусть Н1 < С1,Н2 < С1г причем Н1 € С (С). Подгруппы Н1 и Н2 сопряжены в группе С тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе С1.

Доказательство. Пусть подгруппы Н1 и Н2 сопряжены в группе С.

Возьмем г € С, такой что г = аП1 г1 аП2...граПр+1, где г1, ...,гр — подслова с образующими из С1. И пусть ^1 € Н1, W2 € Н2, где ^1 — циклически несократим. В произведении z~1w1z сокращения не затронут слог аП, г = 1,р + 1 в слове 2. Тогда 1(г-1 w1z) > 1^2), где 1^) — слоговая длина в группе С.

Обратное утверждение очевидно и лемма доказана.

1. Понятие специального множества

Известно [6], что каждый элемент свободного произведения д € С может быть единственным образом представлен в каноническом виде:

д = ^1д. . . 1пд Кд гпд. . . Г1д, (1)

где ггд, I-1 — представители правых классов смежности группы С по подгруппе из С1 или по подгруппе из (ап), причем Ггд, Гг+1,д (1гд, 1г+1,д)принадлежат разным сомножителям группы С. Слог Кд — называется ядром. Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе С, то слоги 1пд и Гпд принадлежат одному сомножителю группы С, а Кд другому. В таком случае слоговая длина слова (1) равна Ь(д) = 2п + 1. Если

Гпд. . . Г1д = (11д. . . 1пд)-1, то слово

д = Г-д1...Г-д1Кд Гпд. . . Г1д (2)

называется трансформой. Если Кд € С, то в (1) 1пд и гпд принадлежат разным сомножителям группы С и длина слова

д = 11д. . . ¿пдЛ-дгпд. . . г1д, (3)

где Л,д = Кд, равная 1(д) = 2п. Слова вида (1), (3) — нетрансформы, причем слова вида (1) — нетрансформы нечетной длины, слова вида (3) — нетрансформы четной длины. Подслова ¿1д... 1пд называются левой половиной слов (1), (3).

Рассмотрим конечное множество слов }г=у^ группы С, каждое из

которых приведено к виду (1), (2) или (3).

Определение 2. Левая (правая) половина слова wг = ¿1Ш... ... Кшгтш. ..г1ш называется изолированной в множестве ^г}г=у-^, если ни у одного из слов w^ (е = ±1) множества (^г}г=1-^^г) и и (^-Ч^т^^-1) нельзя выделить ¿1^. ..¿тш, (гтш,... г^) в качестве начального (конечного) подслова, то есть w^ = 11ш,... ¿т_1,ш,. w^n

^ = w|1 гт+1^- Гт^ ...Г1ш^), если , ¿т-1^ (гт+1^, ) принадлежат

разным сомножителям группы С.

Определение 3. Назовем конечное множество слов группы С

специальным, если оно удовлетворяет условиям:

1) левая половина нетрансформы множества {Wг}г=т-N изолирована в нем; если нетрансформа есть слово четной длины, то изолированы и левая, и правая половины;

2) длину нетрансформы w¿0, имеющей четную длину, нельзя уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы, порожденной множеством {Мг= -ГМ >го}; длину произвольного элемента wг0 ^ }г=1^ нельзя уменьшить, умножая на слово w длины меньше 1(w¿0) принадлежащее подгруппе ({wг}г=т;w);

3) пусть wf0 = ¿1^0. . . ¿пшо КШ0 гпш0. . . г^'+1,ад0 г^'ад0. . . г1ш0 , е — ±1, .] < п

нетрансформа из множества {wг}i=^N и

{wa¿ = ¿1ша,. . . ¿п4ада4 Ка, гп4ада4. . . Г^'+1, wa¿ г^'ш0. . . г1ш0 }г=1,М,

ег = ±1 — подмножество нетрансформ из множества ^г}^г0) и

и (К-1}^-,1), правая половина которых оканчивается подсловом ... Г1ш0, тогда, если подгруппа (^¿}г=1^) П г-Ш0... г-Ш0Бг,ш... г^ = В,

где Б € С1, когда Г/+1)Ш0 € (ап) или Б € (ап), когда Г/+1)Ш0 € С1 и Б не

единична, то 1^г0и) ^ ), где и € В,1^г0■^-.£4) ^ );

4) пусть

— ¿1ад^. . . ¿8+1,Шг. . . ¿пад^ Кш^ гпад^. . . гв+1,Шг Г8Ш^. . . г 1ш,,

— 11wj . . . 1swj ¿«+1,ад^ . . . ¿пад^ Кш^ гпад^'. . . г«+1,ад^ г«ад^ . . . г1ш^

— слова из {^і}і=ї-^, не обязательно различные, т ^ п, в ^ т, тогда не существует слова д = 1 длины меньше 2в из подгруппы ) такого,

что если , то

gwг = 11wj . . . 1swj ¿8+1,ш4. . . ¿пш4 Кш4 гпш;. . . Г8+1,Ш4 Г8Ш4. . . г1ш4, либо, если гsw¿. . . г = гswj . . . г 1wj , то

wгg = 11wi. . . ^п»; Kwi гnwi. . . ^+1^ Ггwj . . . г1wj ,

либо, если г 1го;. . . г«г«; = 1nwj . . . 1swj , то

gWг 1lwj . . . (гs+1,wi) . . . (Гп№;) (К^ад;) ¿пги;. . . ¿1го;,

либо, если ^... ¿й«1, = ^... гlwj, то

^д = ^. . .гп4 (^ ГЧС,)-1. . . (1S+1,wi )-1гswj . . .г1wj .

2. Построение подгруппы, порожденной специальным

множеством

Разобьем все слова специального множества слов {Wг}г=т-N на множества: М0 — нетрансформы и Мг — трансформы одного типа, содержащиеся в одной подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе из С1 или (ап). Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (Мг), г = 0,1,..., к. Для г = 1, N подгруппа (Мг) имеет вид

(Мг) = ГЦ1...Г-г1СгГпг...Г1г.

Здесь Сг — подгруппы из С1 или (ап), порожденные ядрами трансформ. Подгруппы, порожденные трансформами, упорядочиваем по длинам крыльев их трансформ. Получаем ряд

(М1) < (М2) < ... < (М;). (4)

Лемма 2. Ряд (5) можно преобразовать в ряд (6)

(м1 ) <(м2) <... <(м;,) (5)

со следующими свойствами [1]:

1) др((Мо), (М1),..., (М;) = др((Мо), (М1),..., (М^,);

2) если подгруппе (М') = г1х1...гпх1 С'Гпж...Г1ж, 1 ^ Э', ряда (6)

принадлежит трансформа и = г-1... г-1 Ьгпх...г1х7 где Ь принадлежит

объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (6) имеется подгруппа

г-1 г-1 с

1х * * * п-1,х

-».л^л/кучл/млл* пгглгтпп />» п» г пх К#'/ п#. . . г 1#*

(Mi) = r^1... rn-1)XCirn-i,x- • • rix, содержащая и;

3) если для некоторой трансформы и = rix1...rn x Kxrrax. • • r1x

принадлежащей подгруппе (М^-) = г1х1... ггах1С^ ггаж...г1х, и нетрансформы у = 11у...1П1У Ку гП1 у... г1у из Мо, п1 ^ п, (левая половина у изолирована)

выполняется соотношение 1(у-1иу) ^ 1(у), то существует подгруппа

(М8) ряда (5), содержащая трансформу у-1(г-х1.. .г—с1Кхггах.. . г1х)у-1; если

1(уиу-1) < 1(у), то существует подгруппа (М^), содержащая трансформу

— 1

уиу 1; ^ ^

4) если (М,) = Г1Х1. . . Г„1Ж. . . Г 1х,

(М!) = ^. . . ^х^+Г.у. . . ^уСГП2У. . . Г1х

— подгруппы ряда (5) п2 > п1, и подгруппа (М,) содержит трансформу и = гГх1...гП11хЛ-г„1х...Г1х либо и' = г 1Х1... гщХ Кг щ х... г1х, где К = = гга11+1 уЛгга1+1;У, то существует подгруппа ряда (6)

(Мк) = Г1х1... ГП11хГП11+1,уСкГ«1+1,у... Г1х,

содержащая в первом случае трансформу и, во втором — и';

5) если (М8) = Г1Х1... гга1-х ...Г1х — подгруппа из ряда (6) и

У£ = 11у ...1П2У КгП2У. ..гга1+1;У гП1х... г1х, е = ±1 — элемент специального множества, причем подслово гГхГ... гП^г^1^ у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы ад£(е = ±1) и если подгруппа (М8) содержит трансформу Г1х1...Гщ1х Лгга1х...г1х либо трансформу г^1 ... гЩх КГщх ...Г1х, где К = гП11+1>у Лг^+г-у, то существует в ряде (5) подгруппа (М,) = гГхГ... у С, гП1+1;У ...г1х, содержащая эту

трансформу.

Лемма 3. Подгруппа Мо , порожденная нетрансформами специального множества, свободна и не содержит трансформ [1].

Подгруппу, порожденную специальным множеством {^¿}^=г-^, будем обозначать др(М0,5). Она представляет собой НЖЖ-группу с основой 5, являющуюся древесным произведением подгрупп ряда (6), правильной системой проходных букв которой служат элементы из Мо. Подгруппы Мо и М,, ] = 1,к, из ряда (5) будем называть порождающими подгруппами подгруппы (шГ, ... ) = др(М0, 5). Они обладают свойствами аГ — а6[2].

Определение 4. Произведение иГ...и^ назовем словом подгруппы (шГ,...ш«) = др(М0,5) группы С = (Сг * (ага)|гв1(С1),а^"-1 = аП"), если

[4]:

1) и» = 1;

2) и» € {М0 и М—1}, либо и» принадлежат некоторой подгруппе из ряда

(5); _

3) иг = иг+1;

4) иг,иг+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (5);

5) в иГ...и^ нет произведения и»и»+Ги»+2(^ = 1,к — 2), где и = %+Х, и» € € {М0 и М0-1}, и»+1 € (М,) и и*ити*+2 € (М8), (М,), (М8) — из ряда (5).

Лемма 4. Всякое произведение шЦ ...ш?™, е, = ±1, где — образующие подгруппы ({шг}^=г-^), через конечное число шагов можно привести к слову щ1 ...и**., к ^ т, подгруппы др(М0,5) = ({шг}»=г-^) [1].

Определение 5. Будем говорить, что между словами VI и имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения ггг2 соответственно больше, равна или меньше тах{1(гг)1(г2)} [1].

Определение 6. Слово иГ...и^ является простым, если 1(иГ...и^) = = тах{1(иг), ...,1(ик)} [1].

Лемма 5 1. : Если иГ...ип — слово подгруппы др(М0,5), то ¿(иГ...ип) ^ ^ ¿(и»), г = 1, п.

Следствие 1. Если в слове иГ...ип выполнить сокращения в группе С, то в нем сокращение не затронет, по крайней мере, левую половину иГ [1].

Следствие 2. Всякое слово подгруппы др(М0, Б) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода [1].

Из леммы 5 следует, что простое слово иГ...ип подгруппы др(М0, Б) может быть одного из следующих видов:

a) иГ...и^ содержит нетрансформу максимальной длины, то есть ¿(и») >

> ¿(и,), 1 ^ 3 ^ г — 1, г + 1 ^ з ^ к;

b) слово иГ...и^ содержит нетрансформу и» и трансформу и»+1 максимальной длины, то есть ¿(и») = ¿(^+1) = ¿(^^+1), ¿(и») > ¿(и,), 1 < 3 < г — 1, г + 2 < з < к;

c) слово иГ...и^ содержит нетрансформы и», и»+2 и трансформу и»+1 со свойствами ¿(иг) = ¿(иг+2), ¿(иг) = ¿(^^+1) = ¿(^^+1 ^+2), ¿(и») > ¿(и,)), 1 ^ ^ 3 ^ г — 1, г + 3 ^ з ^ к, причем длина слова и»+1 может оказаться меньше длины ¿(и»);

ё) слово иГ...и^ содержит трансформу и» максимальной длины.

Теорема 1. Пусть группа

П

С = (П*С«; ГеШг, ...,ГеШ5, ^(Ц,)= и,г)

8=1

— древесное произведение групп С8, 1 ^ 8 ^ п, объединенных по

изоморфным подгруппам Ц, < С», Ц, < С, с помощью фиксированного набора конструктивных изоморфизмов {^у^^(Цу) = Ц». Тогда, если подгруппы Цу, Цг, г € /1, 3 € /2, обладают условием максимальности и в сомножителях С8, 1 ^ в ^ п разрешимы [2]:

1) проблема вхождения;

2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < С8 с подгруппой Ц7, 7 = ±1;

3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < С8 с подгруппой Ц7, 7 = ±1;

то существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы С в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.

Индуктивно предполагаем, что в группе Сг, соответствующей графу Гг выполнены все условия теоремы 1, т.е. множество слов группы Сг можно привести к специальному. Перейдем к рассмотрению свойств группы С и докажем, что множество слов группы С можно привести к специальному.

Как и в теореме 1 обозначим ассоциированные подгруппы следующим образом: = (а™4), Ц_1 = (а^) , где к = 1,п.

Лемма 6. Существует алгоритм, позволяющий для любого слова ш € € С1 и конечно порожденной подгруппы Н < С1 установить пусто ли пересечение шН П ЦП, где е = ±1.

Доказательство. В дерево-графе ГГ группы СГ выделим конечную вершину ап_г, которая в графе Г соединена ребром с вершиной ап. Тогда группу С1 можно представить в виде свободного произведения:

С1 = С2 ™п-2 =_«п-1 (ага_1),

“п-2 =“п-1

в котором группа

п_2

С2 = (П *(ак);а™4 = а8"'), к=1

где |т»|, |в,| > 1,г = 3, г € /Г,3 € /2 и группе С2 соответствует граф Г2 со свойствами графа Г.

Первоначально докажем, что существует конечный процесс, позволяющий для любого слова ш € С2 и конечно порожденной подгруппы Н € С2 установить, пусто ли пересечение шН П ЦП_1, е = ±1.

Поскольку Н € С2, то Н = др(М0, ). Выберем в группе С2 слово ш € Н.

Пусть некоторое слово г € Н: г = иГи2...ип — слово из специального множества, и рассмотрим произведение шг. Нас интересует, в каких случаях в произвдении шг будут проходить сокращения. Возможны следующие случаи:

а) слог иГ — трансформа. В данном случае в слове ш выделяем подслово ш» максимальной длины: ш = ш^ш» = ш^Кош», в котором ш» совпадает с крыльями одной из подгрупп ряда (5): (М») = (ш^А»-^). Выясняем, существует ли среди трансформ подгруппы (М») такая ш_Г^ш», что произведение К0К1 принадлежит объединяемой подгруппе Ц^_1, е = ±1;

б) слог и1 является нетрансформой с неизолированной левой половиной: иГ = ш_ГК2ш,, ш_Г является крылом одной из трансформ ряда (5): (М») = = (wг_1Aгwг). Выясняем, существует ли среди трансформ подгруппы (М») такая wг_1K1wг, что произведение К0КГК2 € Ц^_Г, е = ±1;

в) слог и1 является нетрансформой с изолированной левой половиной: иГ = шг_ГКш,, где ш“1 — изолирована, и пусть среди подгрупп ряда (5) содержится подгруппа (М,) = (ш_ш,), а так же среди нетрансформ содержится и2 = ш_1К2шр. Выясняем существует ли среди трансформ подгруппы (М,) такая ш”1^ш,, что произведения КККг или К0КК1К2 принадлежат объединяемой подгруппе ЦП_1, е = ±1.

Через конечное число шагов построим слово шг.

Очевидно, что пересечение шг П Цг_1 пусто в том случае, если ¿(шг) >

> 1. Если ¿(шг) = 1, то шг = ак. Нетрудно выяснить, принадлежит ли ак объединяемой подгруппе Ц^_Г.

Зная пересечение класса смежности конечно порожденной подгруппы Н € С2 с объединяемой подгруппой Цг_1, можно однозначно определить принадлежит ли ак объединяемой подгруппе Цг, е = ±1.

Лемма доказана.

Лемма 7. Существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения конечно порожденной подгруппы Н < СГ с погруппой Цг, где е = ±1.

Доказательство. Подгруппа Н € СГ, т.е. Н = др(М0,Б).

В работе [4] авторами показано, что среди подгрупп ряда (5) существуют подгруппы, имеющие слоговую длину равную 1, т.е. состоят из ядра. Пусть (МП_Г) = (аП_Г). А так как Цг = ((а^П-1) = (а^п)), таким образом, элементами пересечения будут ап_г .

Лемма доказана.

Используя условия теоремы 1 и утверждения лемм 6, 7, получаем, что образующие каждой подгруппы группы С можно привести к специальным образующим.

3. Вспомогательные утверждения

Лемма 8. Всякое простое слово ш € др(М0,Б) группы С = = Сг * тп-1 = Зп (ап), имеющее своей несократимой записью трансформу

“п-1 =“п

ш = дад_Г, где а € СГ или а € (ап) может быть приведено к виду дад_Г = и1и2...ипи0и_1 ...и2-1 и_Г, где и0 — трансформа, принадлежащая одной из подгрупп (М»), г = 1,к ряда (5), и» € (М0) либо и» € (М»), ряда (5), иГи2...ипи0и_1...и_1и_1 — слово подгруппы др(М0,Б).

Доказательство. Перепишем слово ш = дад_Г в и-символах:

дад_Г = иги2...ит. (6)

По условию слово ш простое. Выяним, какой вид будет иметь слово ш.

Проведем доказательство для различных случаев строения простого слова а — ^.

а) Допустим, что слово ад = иі...ит содержит трансформу максимальной длины т = д^К^д“1, т.е. w — слово вида Доказательство проведем по числу т сомножителей. Для т = 1 лемма 8 справедлива. Допустим, что утверждение леммы справедливо, когда число сомножителей в слове (6) меньше т. Докажем для т сомножителей.

Пусть дад-1 = иі...иі_і(діКідг_1)иі+і...ит.

СЛУЧАЙ 1. Пусть подслова и1...иі-1, иі+1...ит не содержат нетрансформ, тогда ¿(д^д-1) = 1(дад-1), ¿(и,) < ¿(д^д-^; 1 ^ і ^ і - 1, і + 1 ^ і ^ т, и на основании строения простого слова

1(^1) < 1(и2) < ... < 1(Мг_1),

1(ит) < 1(тт_1) < ••• < 1(тг+1)-

Используя условия 5) для порождающих подгрупп др(Мо ,5) можно показать, что 1(и1) = 1(ит), 1(и2) = 1(ит-1) и трансфомы и1, ит содержатся в подгруппе (Мі) ряда (5).

В этом случае транформу дад-1 = ■и1...иі_1(діКід-1)иі+1...ит сопрягаем элементом ит:

ит(дад )ит = ттт1тг_1 (діКіді )иі+1 .

Тогда -1 -1 / _1

ит (дад )ит — т1...ті_1 (діКіді

где ити1 = Слово ■и/1...иі_1 (д^К^д-1)иі+1...ит_1 — простое, длины меньше чем т. Таким образом, по индуктивному предположению лемма доказана.

СЛУЧАЙ 2. Пусть подслова ■и1...иі_1, иі+1...ит простого слова и1 ...■иі_1(діКідг_1)иі+1...ит содержат нетрансформы. Выделим в слове и1 ...'иг^ первую слева, а в слове иі+1...ит первую справа нетрансформу. Пусть это будут соответственно

и, = д,К,д,, 1 ^ і ^ і - 1, т = дЖ^, і + 1 ^ 8 ^ т,

где левая половина д, нетрансформы и, и правая половина д^ нетрансформы

т в силу строения простого слова являются изолированными. Можно

_1

утверждать, что т = и, .

Если в = т, і = 1, то лемма доказана.

Пусть 1 ^ і ^ і — 1 и і + 1 ^ в ^ т. Тогда

дад = и1...и,_1и, и ,+1 ...иг— 1 (дг ^^гді )иг+1 • ••usus+1 •••um,

¿(и8) > ¿(и8+1) > ... > 1(«т).

С другой стороны,

1(и,) > 1(и,_1) > ... > 1(и1).

Слова и-_11...и_1 и и5+1...ит — простые, как подслова простого слова. Предположим, что 1(«8) ^ 1(и,).

Сопрягаем трансформу дад 1 словом Ui---Uj_i:

g ад = uj uj+1 ■■■ui_ 1 (giKigi )ui+1 ■■■usus+1 ■■■urnu1 ■■■uj_1■

Имеем /(д/ад'_1) = /(дад_1) = /(uj■■■Ui_l(giKigг_1)ui+l■■■UsUs+l■■■UmUl■■■Uj_l), отсюда l(usus+l■■■umul■■■uj_l) — /(uS). Кроме uS наибольшую длину имеют uS+i и Uj_i. При этом /(uS+i) ^ /(uj_i) или, наоборот, /(uS+i) ^ /(uj_1) и сокращения проходят до ядра минимального.

Таким образом, для произведения имеем

/(us+1 ■■■urnu1 ■■■uj_1) < /(us) — /(uj)^

Слово us+1■■■umu1■■■uj_1 — простое и l(us+1■■■umu1■■■uj_1) — l. Откуда Uj — uS

_1 _1 и Ui^U^i — U^p^U^I.

Следовательно, утверждение леммы справедливо и для данного случая.

б) Слово w содержит нетрансформы ui_1, ui+1 и трансформу ui со свойствами /(ui_i) — /(ui+i),/(ui_i) — /(ui_iui) — /(ui_iuiui+i), /(ui_i) >

> /(uj)), l ^ j ^ i — 2, i + 2 ^ j ^ m и /(ui) ^ /(ui_1 ), т.е. w — слово вида c.

Известно, что левая половина нетрансформы ui_1 — щк K^u^ изолирована и правая половина нетрансформы ui+1 — u__1Ki+1 u^ так же изолирована. Пусть трансформа ui — u_п1Kuiп Є (Mi) ряда (б). Тогда

_1 _1 _1 дад = Ub-Ui_2U^Ki_lUiпuiп Kuiпuiп Ki+lUiп^+2-^™,

дад_1 = Ub-Ui_2U^ (Ki_i KKi+l)uiп Ui+2 ■ ■■Urn^

Длина начального куска /(ui^u^uiл) меньше /(ui_1).

Если Ui_i — Ui+i с помощью подслова u1■■■ui_2 изолированную левую половину UiЛ нетрансформы Ui_i мы можем перевести в изолированную правую половину uiп трансформы ui+1. Это невозможно, следовательно, _1

ui+1 — ui_i.

Аналогичные рассуждения можно провести для подслов ui_2 и ui+2 и так далее. Значит ui+1 u^^u™ — u__^■■■u^1. В этом случае трансформу дад_1 можно привести к виду u1u2■■■unu0u-1■■■u-1u_1, где u0 — трансформа, принадлежащая одной из подгрупп (Mi), i — l, k ряда (Б), ui Є (Mo).

в) Пусть w — ub^u™ содержит нетрансформу Ui максимальной длины, то есть /(ui) > /(uj), l ^ j ^ i — l, i + l ^ j ^ m, w — слово вида b. Так как длина слова дад_1 нечетна, то /(дад_1) — /(ui^u™) — /(ui), где /(ui) — нечетна. Получаем, что умножением слева на слово ui+l■■■umul■■■ui_l левую половину нетрансформы Ui можно перевести в левую половину нетрансформы u“1 умножением на слово меньшей длины, т.к. l(Ui+l■■■UmUl■■■Ui_l) < /(Ui). Что невозможно по определению специального множества.

г) Слово W — Ub^U™ содержит нетрансформу Ui и трансформу Ui+1 максимальной длины, то есть /(ui) — /(ui+1) — /(uiui+1), /(ui) > /(uj), l ^ ^ j ^ i — l, i + 2 ^ j ^ m, w — слово вида а. Согласно предыдущим рассуждениям этот случай невозможен.

Лемма доказана.

Пусть Н — конечно порожденная подгруппа группы С, порожденная двумя различными специальными множествами, то есть различными в общем случае системами порождающих подгрупп: Н = др(М0, 5Г) и Н = = др(М0, 51), где £1 — подгруппа, порожденная подгруппами ряда

(Мг) < (М2) < ... < (Мк); (7)

51 — подгруппа, порожденная подгруппами ряда

(М1) < (М2) < ... < (Мк); (8)

(М») = г^С^, (М,) = д,, где каждая из подгрупп С» и С,

одновременно принадлежит либо сомножителю С1 = (П*(ак); а™4 = ),

где |т»|, |в, | > 1,г = 3, г € /1,3 € /2, либо сомножителю (ап) группы С.

Лемма 9. Пусть группа Н порождена двумя 'различными специальными множествами: Н = др(М0,£Г) и Н = др(М0,£1), где £Г -древесное произведение подгрупп ряда (7), а 51 — древесное произведение

подгрупп ряда (8). Тогда для каждой подгруппы (М») = г^С^ ряда (7)

существует (М,) из (8) и слово ш, € Н такое, что (М») С шг_•1(Mj)шгj.

Доказательство. Выберем трансформу из ряда (7): д^Кд^1 € (М»).

Так как gгKg-1 € Н, то его можно переписать в другой системе образующих:

_1 » _1 _1

gгKgг = иг^-.и^иои ...иг , где и0, в свою очередь, также является

трансформой: и0 = gгK/(gг)_1, и0 € (М,). Нетрудно показать, что слово иГи2...иги0и_1...и_1 — простое [5].

В [4] приведены рассуждения, из которых следует, что в равенстве gгKgг_1 = и1и2...иги0и_1...и_1 нетрансформа и0 имеет максимальную слоговую длину ¿(и0) = ¿(gгKgг_1) и и0 € (М,), поэтому (М») С шг_•1(MJ/)шг:,•, где ш», = иги2...иг и

gгKgг_1 = WгjUоWг_1, и0 € (М,). (9)

Тем самым лемма доказана.

Лемма 10. Пусть группа Н порождена двумя 'различными специальными множествами Н = gp(M0,S1) и Н = gp(M0,£/1), где £Г — древесное произведение подгрупп ряда (7), а 51 — древесное произведение подгрупп ряда (8). Тогда существует подгруппа (М») = г^С^ из

ряда (7), существует (М,) из ряда (8) и слово ш, € Н, такие что

(щ = ш_1(М) ш»,.

Доказательство. Для каждой подгруппы (М») ряда (7) на основании леммы 9 существует подгруппа ряда (8) и слова ш» € Н, удовлетворяющие условию

(М») С ш_1(М)ш»,. (10)

Аналогично для подгрупп ряда (8)

(М') С (11)

С помощью соотношений (10) и (11) можно построить цепочку вложенных подгрупп, имеющих наименьшую длину

шГГ(МР1 )шг С ш'_1(М^1 )ш1 С ш_1(Мр2)ш2 С ... С ш'^М^)ш'к С (Мр1),

(12)

где ш^ € Н, (МР.) — подгруппа ряда (7), (М^.) — подгруппа ряда (8). Следовательно, ш_1(МР1 )шГ С (МР1).

Так как (МР1) = гр“11СР1 гР1 — бесконечная подгруппа, то (МР1) содержит трансформу гР"11КгР1, в которой ядро К не сопряжено ни одному элементу из объединяемой подгруппы. Так как слово ш1 из Н, его можно записать в и-символах ш_Г = и_1...и_1. Тогда

и_1...и_1 (г_11КгР1 )и„...иг = гР1 КггР1

и слово u_1...uГ1(гГ11 КгР1 )ип...иГ — простое, в котором все трансформы и» удовлетворяют условию: ¿(иГ) ^ ... ^ ¿(ип) ^ 2¿(гРl) + 1.

Рассмотрим произведение

и_1 ...и_1 (гР^1 КгР1 )и„...и1(г“1К1гР1) = 1.

Если допустить, что иГ € (МР1), то и_1...и_'1(гР"11КгР1 )ига...и1(гР"11К1гР1) является словом в подгруппе Н и поэтому не равно 1. Значит, иг € (МР1). Аналогично все и» € (МР1), отсюда ш_Г(МР1 )шГ = (МР1) и следовательно в этом случае в соотношении (12) знак С можно заменить на равенство. Лемма доказана.

Лемма 11. Пусть НГ = gp(M0,S1) и Н2 = gp(M0,£') — две конечно порожденные подгруппы группы С. Основа подгруппы НГ порождена подгруппами ряда

(Мг) < (М2) < ... < (Мк1), (13)

основа 51 подгруппы Н2 порождена подгруппами ряда

(М1) < (М2) < ... < М). (14)

Тогда, если НГ и Н2 сопряжены в С, то есть существует г € С такой, что г_1Н1г = Н2, то существуют ш € gp(M0, 51), 3 = 1, кГ, 8 = 1, к2 такие, что ш_1г_1(М,)гш = (М^), где (М,) — подгруппа ряда (13), (М^) — подгруппа ряда (14).

Доказательство. По условию леммы подгруппы НГ = gp(M0,S1) и Н2 = gp(M0,51) сопряжены, тогда существует г € С такое, что

г ^(Мо, 5/)г = gp(M0, 51). Приведем образующие подгруппы г ^(Мо, 5/)г к образующим специального множества, получим

г^^Мо, 5/)г = gp(M0', 5'/),

где 5/' порождена подгруппами ряда (М/) ^ (М2') ^ ... ^ (Мкз).

Сопряжем подгруппу gp(M0' ,5/') элементом г_Г: gp(M0,S1) =

= zgp(M0', 5/')г_1. Преобразуем множество гgp(M0',5/')г_Г в специальное множество. Через конечное число шагов получим, что

гgp(M0' ,5Г)г_1 = gp(M0' ',5/'),

где 5/'' порождена подгруппами ряда (М/'') ^ (М2'') ^ ... ^ (Мк'4).

Таким образом, для подгрупп рядов имеет место следующее соотношение:

W¡Г'1г_1(Mгl)гWгj С

ш, € г_1gp(M0, 5/)г = gp(M0',5/'), поэтому ш, = г_1ш,г, ш, € gp(M0,5/).

С другой стороны каждая подгруппа (М,') сопряжена некоторой подгруппой из (М"''), то есть ш'т1 г(М")г_1ш',5 С (М'"8), где ш, €

€ gp(M0,S1). Поэтому имеем:

ш'_гш'',1 г_1 (М,-) гш',г_1ш'," С ш'"^^'',)г_1ш'Гj1 С (М'"8), (15)

где приведение ш'Г^1гw'Г¡•1г_1 = ш'-,1г(г_1шГ• 1г)г_1 = ш'-,1шГ•1 € gp(M0,S1).

Учитывая теперь, что gp(M0,£/1) = gp(M0',5/') и gp(M0'', 5/'') =

= gp(Mо, 5/), можно расширить цепочки вида (15). В результате для каждой подгруппы (М») будем иметь:

ш_Ггш'-,/г_1 (М^гш',г_Гш" С ш_1 гш'(М")ш'г_Гш" С

С шГ1гwГp1(Mr)шГРг_Гш" С шР"Гг(МР')г_ГшР С шГ1(Mг''')ш.s С (М8),

где шГ1гш'Г¡•1 г_Г € gp(M0,S1) и г = 1,к.

Используя полученные ранее цепочки, можно построить цепочку минимальной длины следующего вида:

шР;1 гш_1г_1(МР1 )гш1г_1шР1 С шp"11гwГ1(Mt/2)ш2г_ГшР1 С С ШГl1гшГ1(Mj/з)шзг_1шР1 С ... С (МР1),

из которой следует, что шР"11гш_1г_1(МР1 )гш1г_1шР1 С (МР1) и так как шР"11гш_1г_1 € gp(M0,£), то, используя Лемму 10, можно показать, что шР"11гш_1г_1 есть трансформа из (МР1). Поэтому имеет место равенство шР"11гш_1г_1(МР1 )гш1г_1шР1 = (МР1).

В результате получаем

шР"11гш_1 г_Г(МР1 )гш1г_1шР1 = шР;1 гш^М, )ш3г_ГшР1,

откуда Wi ^ 1(Mp1 )zwi = W3 1(Mj3)W3, где Wi, W3 G gp(M0 S1).

Лемма доказана.

4. Доказательство основной теоремы

Докажем, что в группе

G = G1 * mn-l sn (fln)í “n-1

где Gi = (П/с-1 *(afc); ami = aj), где |m¿|, |sj| > 1,i = j,i G Ii, j G /2,

разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Пусть H1 = gp(Mo,S1), где S1 порождена подгруппами ряда

(M1) < (M2) < ... < (Mfci), (16)

H2 = gp(M0,S1), где S1 порождена подгруппами ряда

(M1) < (M2) < ... < (Mk2). (17)

Среди подгрупп (16) существует подгруппа (Mi0) = v“1^vi0, среди

подгрупп (17) существует подгруппа (Mj0) = g“1C'0 gj, где каждая

из подгрупп C¿0, Cj0 является подгруппой либо сомножителя G1, либо сомножителя (an) одновременно.

Тогда существует элемент w G gp(M0 S1) такой, что

w_1z_1(Mi0 )zw = (Mj0). (18)

I) Пусть подгруппы Сад, Cj0 не сопряжены с объединяемой подгруппой

U„: (Cn-1) = «n). 3 3

Подставив соотношения (М|0) = v“1ci0v¿0, (Mj0) = gi1cj0gj0 в (18)

получаем соотношение (gj0 w_1z_1v101)CÍ0 (vi0 zwg“1) = Cj0, в котором Vi0zwg“1 = ao G G.

Можно записать (gj w“1 ¿"Ч“1)^^ М^“1^ S^“1))^ zwg“1) =

= gp(gj0 ^Og-1, gj0 51^31).

Приведем образующие подгруппы подгрупп gp(vi0 M0v301,vi0 S^v-1) и gp(gj0M0g“1,gi0S/1g-1) к специальным образующим. Таким образом, получаем

a31gp(M0//, S1>o = gp(M0, S"). (19)

Выберем в подгруппе gp(M0', S^) произвольный образующий из специального множества длины больше 1, например, X = g1a«1 g2aC2 ...gfca«fc, k > 1, где gi G G1. Из соотношения (19) следует, что

a“1Xa0 = a31g1anig2a^2...gfca^fca0 G gp(M0, Sf).

Тогда слово a“1Xa0 можно переписать в другой системе образующих: a“1Xa0 = U0UÍ1 ...u¿É, где U0 G Cj0 и G gp(M0,£'/).

Пусть u¿1 = g'^1 • ••g'^, тогда

a-1Xao = a-1gian1 g2a^2 -gk anfc ao = uogia^1 g^a^2 ...gk аП u¿2 •••■u¿t •

Из чего следует, что a-1g1 = uog1h, где h принадлежит объединяемой подгруппе: h = а^"*, t € Z можно ограничить, так как группа G является группой с нетривиальным центром, порождаемым элементом аП, и аП"* принадлежит центру.

Таким образом,

ао = u0gihgi

, и в качестве а-1 можно взять а-1 = g'ihg-1. Множество элементов такого

вида обозначим T. Множество T конечно и, построив его, мы проверим

эффективно существует ли а0 такой, что z-1 = wgj0a0vi0, а так как w € H2,

— 1

то в качестве z 1 можно взять

z-1 = gj0a0vío • (20)

Если ни для одного а0 из T не выполняется условие Z—1H1Z = H2, то подгруппу (Mj0) заменяем другой подгруппой (Mj ), сопряженной подгруппе (M*0), и повторяем алгоритм для данной пары подгрупп.

II) Каждая подгруппа (Mj) ряда (16) сопряжена с подгруппой из объединения: (а^—-1 ) = (аПп ). Аналогичному условию удовлетворяет каждая подгруппа ряда (17). В противном случае подгруппы H и H2 не сопряжены.

На основании леммы 11 из сопряженности подгрупп H и H2: z—1fí1z = = H2 следует существование подгруппы (M*0) = u-1C¿0vi0 ряда (16), (Mj0) = = g^Ccgj0 ряда (17) и элемент w € gp(M0,S1) таких, что

W-1Z01(V101 C*0 V*0 )ZW = g—1^gjo • (21)

Пусть C¿0 = oo^C"-1^0 )а*0, где а*0 € G1, Cj0 = а-01(Сг14Ko, либо

Co = oño^"^0 где а„0€ (ап).

Тогда соотношение (21) приведем к виду:

J —1 —1 —1 —1/ m"-1 k¿0 \ — 1л —1 / m»-1kj0\

jgjow z vi0 а*0 (ап—1 0 )а*0 zwgj0 dj0 = (а„—1 0 ), (22)

где dj0 = а^0, если Cj0 € G1 или dj0 = а^п0, если Cj0 € (ап). Из соотношения

(22)

w 1 = d. w 1z V ^

*0 *0

где каждое s* есть степень ап, либо слово в образующих группы G1, коммутирующих с элементами из объединяемой подгруппы (а^—-1 ) = (аПп )

и составляющих конечный путь в графе Г. Имеем h = а^—-^, где |k| < |fcj01. Преобразуем соотношение w—1z—1gp(M0, S1)zw = gp(M0,S') к виду

(dj0 gjo ^^V—X—Vio v*0 gP(MO,S1)v101a-o1(aгo v*o ¿Wg—1^ =

W 1 = djo gjo w 1z 1vi01ai01 = hsiS2S3...SN, (23)

= dj0 gj0 gP(M0,S1)gj01 dJ01.

Приведем образующие подгрупп

a¿0 v¿0 gP(M0,S1)v301a“01

и

j gj0 gp(M0 ^Ю1^1

к специальным образующим

j gj0 gp(M0 S/1)g701d701 = gp(M0', ),

a¿0v¿0gP(M0 S1)v301a“01 = gKMT S"/).

Причем подгруппы (M1) = (Mf) = (ami-1^0) либо (M1') = (M1'') =

/ snkj0 \ ^ ~ ____1 / mn-1kj0 \

= (an ). Слово w, удовлетворяющее соотношениям w 1(an_1 )w =

= (aCnfcj0), w_1gp(M0/', S1")w = gp(M0', S1), выбираем наименьшим в двойном

классе смежности gp(M0", S1'')wgp(M0', S1').

Пусть W1 = {wi1 }¿1=^Ñ — специальное множество образующих подгрупп gp(M0", Sf), W2 = {wi2 }Í2=1“Ñ — специальное множество образующих подгрупп gp(M0', S"), причем l1 = max{l(w11), l(w21),..., l(wNb1)},

I2 = max{l(w12), l(w22),..., l(wn2,2)}.

11а) Рассмотрим случай, когда в подгруппах gp(M0', S1') и gp(M0;/, S1''), M0' = 0, M0' = 0.

Выделим в слове w“1 = hS1S2S3...SN максимально возможное конечное подслово, совпадающее с конечным подсловом правой половины некоторого w¿1, где w*^G W1 = {w¿1 }¿1=^.

Пусть tü' = hS1S2S3...S¿rjxrj_1)x^.r1x, где Г^хГ^_1)х...Г1х, j ^ 0 — конечное подслово правой половины слова w|1 = l1xl2x...ljx...lraxKrrax...rjx...r1x. Слово w' получили умножением слова w на слово u1u2...up подгруппы gp(M0', S1'), l(u1u2...up) < 2j.

Длина начального отрезка hs1s2s3...si_1 слова w' не больше [^]. Допустим противное: l(hs1 s2s3...si_1) > [^]. Тогда выберем в подгруппе gp(M0'', S1'') любой образующий w¿1 из специального множества W1 такой,

что L(w¿1) > 2j — 1: w¿1 = l1,Wi112,ад41 ...1га4,ад41 Aw¿1 rra¿,w¿1 ...ri,w¿1 , и

рассмотрим

tü'wi1w' = hs1...si_1l''Xrws3_11...s_1.

Подслово hs1s2s3...si_1 не затрагивается сокращением, так как в противном случае конечное подслово rjxrj_1)x...r1x не являлось бы максимально возможным. Слово = hsl...sг_ll''xr'''s11з1l...s_1 принадлежит подгруппе gp(M''0, S''z) и, если (i — 1) > [12], то длину w можно уменьшить, умножая слева на слово w G gp(M''0, S'^).

~,_1

Теперь покажем, что, сопрягая любой «¿2 € ^2 элементом го' , получим

~,-1~ ~

сокращение в произведении го' шг2ш слева и справа, затрагивающее слог Зг. Допустим противное, то есть либо слева, либо справа слог

~,-1~

не затрагивается сокращением. Тогда го' ш|2гг' = Х8ггг...г1 и, так как ш/-1ш|2«' € др(М0'', 51"), то «'-1ш|2«' = и0и1...ип, и поскольку «' нельзя укоротить, умножая справа на слова из др(М0'', 51''), то конечное подслово Хз^Гг-.-Г! можно перевести в конечное подслово правой половины некоторого го|1, где го^1 € ^2, что невозможно по определению специального множества.

По этой же причине длина любой нетрансформы в ^2 будет больше 2(г - 1) и для любой подгруппы (М'^.) = д''- 1С"г^д"*. с длиной ) < (г -

— 1) и д''. = Л^^^..^, £ < (г — 1) имеем з-1 ...8-1С"г.З1...З принадлежит объединяемой подгруппе. Поэтому, сопрягая одновременно правую и левую части равенства «ь.^г^хГ^_1)х...Г1хдр(М///0, 5///1)г-х1...г-[.15-1...5-1 = = др(М''0,5'1') словом 51...5г_1, а подгруппу др(М"'0, 5///1) словом г-с1...г-с1, получим

Г^_1,х...Г1хдР(М0/', 51/)г_х1...г_х1 У-1 = 5__11...5_1др(М0', 51)з1 ...«г_1.

Приводим подгруппу г?-жг7_ 1,х...г 1хдр(М0'', 51'/)г_с1...г_е1 к виду др(М0(4), 5(4)),

а подгруппу з__11...£_1др(М0/,51')51...5г_1 к виду др(М05), 5(5)). Последние подгруппы порождены специальными множествами образующих и удовлетворяют равенству 8'гдр(М04), £(4))з'_1 = др(М05), 5(5)), где для определения «г поступим следующим образом. Выберем в подгруппе

др(М04), 5(4)) любой образующий X = «1«'2...5'к, где к > 1. Тогда з'гХ«'^ = з'г«' У2...«'к_ € др(М05), 5(5)) и следовательно, его можно переписать в другой системе образующих: в^в'У^.^'к«'_ = и0и1 ...ит, где и0и1...ит слово подгруппы др(М05),5(5)), причем и0 трансформа длины 1, если среди подгрупп порождающих содержится подгруппа (М^) = С1, в противном случае 1(и0) = 1. Пусть и1 = ¿1 и1п, тогда «^«1 = Л, где Л,

есть степень либо ага_1, либо ага, Л = а^-1* либо Л = аПп*. £ ограничено, т.к. аПпР — элемент из центра. Получаем ЛУ^, где и0 € др(М05), б^),

из чего следует, что в качестве з'г можно взять ¿1 Л8/_1. Таким образом, выбор зг делается, как указано в случае 1.

Остается указать способ построения «' = Л8182...8гг?хг7_1)х...г1х. В качестве Г/ЖГ^_1)Ж...Г1Ж выберем различные подслова правых половин элементов, включая 1 из множества {^1 и ^_1}, где ^1 — специальное множество образующих. В качестве з__11...£_1Л_1 возьмем конечные подслова правых половин множества {^2 и ^2_1}, включая единицу, где ^2 — специальное множество образующих подгруппы др(М0',51').

11б) Рассмотрим случай, когда в подгруппах др(М0',51') и др(М0'', 5'/'), множества М0'' и М0' пусты и пусть « = .

Допустим, что умножением справа на подслова из подгруппы др(М0'', 51'') в слове г выделим конечное подслово максимально возможной длины Гп2,угга2_1;У...г1у, совпадающее с подсловом правой половины трансформ некоторой подгруппы (М''), порождающей 51''. В результате получаем го' = гга2_1;У ...г1у. В подслове выделим максимально

возможное начальное подслово, совпадающее с подсловом левой половины трансформ некоторой подгруппы (Мг''), порождающей 51''. При этом возможны следующие случаи:

1) Выделенное начальное подслово из «ь = Л,з1...£г_1 совпадает с «ь. Тогда определяем аналогично тому, как это делается в случае 11а), если в подгруппе др(М0(4), 5(4)) содержатся порождающие подгруппы М^4 с

крыльями не равными 1. Если 5(4) = {С}, С € ^1 и подгруппа 51' = {С.},

С. € ^1, то решение проблемы сопряженности Н1, Н2 сводится к сопряжению Сг, С. в группе С1.

2) Выделенное начальное подслово из «ь = не совпадает с «ь. Тогда

_1 _1 _1

= Г1у Г2у ...ГП1у««1+1...«г_1,

а

_1 _1 _1

ш = Г1у Г2у ...ГП1у5п1 + 1...5г_15гГ.хГ._1)х...Г1х, причем каждая подгруппа (М.') = д._1Сг"'д.' удовлетворяет соотношению

в£...вiГixГi_1)x...Г1x(Mj/;3')гГx1...Г■;1sг_1...S-1 ^ ^«1+1. (24)

А каждая подгруппа (М.,) удовлетворяет соотношению

sв...sггiyгi_1)y...г1у(MjS)Г_y1-•-Г_¡/1sГ1••-SГ1 ^ ^ (25)

так как в противном случае выделенные подслова не будут максимально возможными, полученными при умножении ш слева на слова из др(М0',51') и справа на слова др(М0'', 51'').

Пусть подгруппа (М£3) имеет вид (Мк'3) = г_x1г¿1...гГ21)xC«2г^.х-Пх, а подгруппа (Мк'2) имеет вид (Мк'2) = г_у1 г_/1 ...гГ21)yС«2г«^...Г1у. Из условий (24) и (25) следует, что все подгруппы из 51'' являются подгруппами (М'3), а подгруппы из 51' являются подгруппами (М^).

Поэтому др(М0'', 51'') = (М"3), др(М0'"51') = (М" ). Получили рассмотренный выше случай.

III) Пусть подгруппы Сг0, С.0 принадлежат центру, тогда каждая подгруппа (Мг.) ряда (16) принадлежит центру: (Мг0) = ^_01СгоЫ0 = Сг0, подобному условию удовлетворяют подгруппы (М.) ряда (17):

(М.) = д.01С'0д.0 = С.0. Если хотя одна из подгрупп (Мг.) ряда (13) или (М.) ряда (17) не принадлежит центру, то не выполняется условие (18).

Таким образом, (М.) < (Л), (М.) < (Л), где (Л) подгруппа из центра.

Запишем подгруппы Н и Н2 в следующем виде:

Н = (Л) х М0, Я2 = (Л) х М0.

Так как элементы из (Л) перестановочны со всеми элементами С, то достаточно выяснить, будут ли сопряжены М0 и М0 в группе С, т.е. существует ли г € С, такой что г_1 М0г = М0.

Пусть также (М0) = (Хь Х2,..., X«) и (М'0) = (У1, У2,..., У«).

Элемент г будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности (М0)г(М0). Образующие {Хг}г=1^ подгруппы (М0) и образующие {^¿}г=1^ подгруппы (М0) являются специальными.

Образующие подгруппы (М0) = (У1 ,К2,...,Уга) упорядочены по длинам: 1 < 1(У1) < 1(Г2)... < ¿(Гга).

Пусть Хг € (М0) является циклически несократимым образующим. Если все образующие (М0) циклически сократимы, то, сопрягая (М0) некоторым элементом ^1, получим подгруппу г_1(М0)г1 = (М0'), в которой элемент г__1Х1г1 = Х1 циклически несократим и 1(Х1) > 1. Тогда

где е. = ±1, 1 = 1,к, 1(г_1Х1) > 1(г),1(Х1г) > 1(г). В противном случае г не удовлетворяет условию минимальности, и поскольку Х1 циклически несократим, то, если имеет место сокращение между г_1 и Х1, произведение Х^ несократимо. Поэтому

г_1Х1г = г_1Х0 Х„г„ = zГ1XГ1XoXraXo г« = zГ1XraXozra, где Х1 = Х0ХП € С и

Предположим, что 1(гп) > []. Тогда слово У^1 У22."У1к не является простым и, следовательно, У^1 Уг22= ^1^2...^р_1^р, где гг,г = 1,р — простые слова, между которыми имеет место касание первого рода.

Так как 1(гп) > [] и большой конечный отрезок гр не затрагивается сокращением, то длину 1(гп) можно уменьшить, умножая справа на гр-1, гр € (М0), что противоречит выбору г. Поэтому

¿(Г51 Г52...1^) < 1(Х1)+ 1(У„) + 1.

Далее в подгруппе (М0) = (У1,У2,...,!«) построим множество слов V = = {^1, г2, ...V«}, длина которых не превосходит 1(Х1) + 1(1«) + 1. Для каждого элемента из множества гг € V проверяем, сопряжено ли гг с Х1. Допустим,

что гг = гг01гггг0, то есть гг — циклически несократимый элемент в С. Трансформируем подгруппу (М0) = (У, У2,..., У«) элементом г_01, получим равенство

гг0 (гг_1ХгаХ0гга)гг_1 = ^

Слово zГ1XraX0zra — циклически несократимо.

г__1(У1, У2,..., УК = (У', У/, -, У«),

где {У' }г=1« — специальное множество образующих подгруппы

г__1({У .

Известно, что некоторая циклическая перестановка Хг [5] будет сопряжена с гг с помощью элемента Л из объединяемой подгруппы, т.е. Л € (а^"-1), либо Л € (а«"):

Л_1Х1Л = X',

где Х1 — циклическая перестановка Хь Поэтому трансформируем

подгруппу (М0) = (Х1, Х2,..., X«) различными Хг;ь, т.е. начальным словом Хг,ь слова Хг. В результате получим конечное множество подгрупп:

{(Хг_2Х1Хг,ь, ..., Хг_ь1Х1_1Хг)Ь, Хг;ьХг;Д, Хг_ь1Х1+1Хг)Ь, ..., Х^Х^ь)} =

= {(Хг)Х*’^ }.

Выделим из этого множества подгруппу, у которой Х1 сопряжено с гг элементом Л из объединяемой подгруппы. Трансформируем выделенную подгруппу элементом Л и проверяем выполнимость соотношения

^{(Хг)^ }Л С {(УГ-1 } С ^{(Хг)^ }Л. (26)

Так как Л € и«, е = ±1, то Л = а«"*. В силу того, что группа С является группой с нетривиальным центром, порождаемым элементом а«, и Л = а«"* принадлежит центру, степень Ь ограничена.

IV) Пусть в подгруппах Н1 = др(М0, 51) и Н2 = др(М'0, 5' 1) основы 51 и 5' 1 равны единице, т.е. Н = (М0), Н2 = (М0), и являются свободными подгруппами [1] в группе С. Этот случай аналогичен предыдущему. Основная теорема доказана.

Список литературы

1. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе НММ-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Тула: ТГПИ, 1983. С. 50-80.

2. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп // Вопросы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПИ , 1972. С.3-86.

3. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. 1-11 // Современная алгебра: Межвузовский (республиканский) тематический сборник. Л.: ЛГПИ, 1977. Вып. 6. С. 16-32.

4. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении циклических групп с объединением // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2012. Т. 13. Вып. 1(41). Ч. 1. С. 20-45.

5. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе ИММ-групп // Изв. ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 1. С. 83-101.

6. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная терия групп. М: Мир, 1980.

Логачева Елена Сергеевна (Logacheva-es@mail.ru), аспирант, кафедра алгебры, геометрии и математического анализа, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

The problem of conjugate subgroups in a free product of infinite

cyclic groups

E. S. Logacheva

Abstract. Article positively solved the problem of the conjugation of finitely generated subgroups in a free product of cyclic groups associated with cyclic subgroups.

Keywords: the group, the subgroup, the problem of conjugate.

Elena Logacheva (Logacheva-es@mail.ru), postgraduate student, department of algebra, geometry and mathematical analysis, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 10.05.2013