CC BY
26
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 2 (2014)
УДК 519.4
ПРОБЛЕМА СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В Ы^-РАСШИРЕНИИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПРОХОДНЫХ БУКВ ДРЕВЕСНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП С ЦИКЛИЧЕСКИМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ
Е. С. Логачева (Тула)
Аннотация
Решение проблемы сопряженности слов представляет интерес в свободных конструкциях групп. Для свободных групп с объединением по циклической подгруппе проблема была решена С.Липшуцем. Также указанная проблема была решена А. Фридманом в ИКК-расширении свободной группы по ассоциированным циклическим подгруппам. Для НКК-расширения древесного произведения цикличесикх групп с ассоциированными циклическими подгруппами проблема сопряженности слов решена автором в соавторстве с В.Н. Безверхним.
В данной работе положительно решена проблема сопряженности слов в ИКК-расширении е помощью системы правильных проходных букв.
В качестве базовой группы ИКК-расширения рассматривается древесное произведение бесконечных циклических групп с объединением по бесконечной циклической подгруппе. Результат является обобщением проблемы сопряженности в ИКК-расширении древесного произведения циклических групп по ассоциированным циклическим подгруппам с помощью одной проходной буквы. Используя метод математической индукции утверждение доказывается для любого числа проходных букв. В процессе доказательства основной теоремы доказаны утверждения, которые представляют самостоятельный результат:
- алгоритмическая разрешимость пересечения конечно порожденной подгруппы основной группы с ассоциированной подгруппой;
- алгоритмическая разрешимость пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы основной группы с ассоциированной подгруппой.
Ключевые слова: группа, подгруппа, ИКК-расширение, древесное произведение, проблема сопряженности.
Библиография: 13 названий.
THE PROBLEM OF THE CONJUGATION OF WORDS IN HNN-EXTENSION WITH A FINITE NUMBER ENTRANCE LETTERS OF A TREE PRODUCT OF CYCLIC GROUPS WITH CYCLIC AMALGAMATION
Е. S. Logacheva (Tula)
Abstract
In the work of the positive solution of the conjugation of words in HNN-extension with the system of entrance letters. The base HNN-extensions is a wood product of the infinite cyclic groups with cyclic subgroups. The result is a generalization of the conjugacy problem in HNN-extension of a wood product of cyclic groups associated cyclic subgroups with one entrance letter.
The conjugacy problem for words is of interest in free designs groups. The problem was solved in free groups with cyclic subgroups by S.Lipshutz, in the HNN-extension of a free group by an associate of cyclic subgroups by A. Friedman, in HNN-extension of a tree product with the association cyclic groups associated with cyclic subgroups by author with V.N. Bezverkhny.
In this paper a positive solution of the conjugation problem for words in HNN-extension with the system of entrance letters. The base HNN-extensions is a tree product of the infinite cyclic groups with cyclic subgroups. The result is a generalization of the conjugacy problem in HNN-extension of a wood product of cyclic groups associated cyclic subgroups with one entrance letters. Assertion is proved for any number of entrance letters using the method of mathematical induction. In the proof of the main theorem the author proved self result assertion :
- algorithmic solvability of intersection of finitely generated subgroup of the core group with an associated sub-group;
- algorithmic solvability of intersection of the related class of finitely generated subgroup of the core group with an associated sub-group.
Keywords: the group, the subgroup, the HNN-extension, the tree product, the conjugacy problem.
Bibliography: 13 titles.
1. Введение
Определение 1. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов w\, w2 из G установить, существует ли элемент h Е G такой, что h-lw\h = w2.
Известно, что в свободных группах проблема сопряженности слов разрешима. [13]
С. Липшуцем была установлена разрешимость проблемы сопряженности слов в классе групп Рт Рп, где Рт и Гп - свободные группы рангов т,п < ж, С - циклическая подгруппа. [11]
Фридманом А.А. была решена проблема сопряженности слов в группе
(гт,г\г-1у^ г = 3),
где Ет — свободная группа, т < ж,уг,уз € Ет. [12] Из этого результата следует, что проблема сопряженности слов разрешима в группе (а,г\г-1атг = ап). Автором совместно с В.Н.Безверхним доказана разрешимость проблемы сопряженности конечно порожденных подгрупп группы (а,г\г-1атг = ап). [6]
Пусть Г конечный дерево-граф и каждой его вершине уг соответствует бесконечная циклическая группа (аг), причем, если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют образующие аг и аз, то самому ребру соответствуют ассоциированные подгруппы (атг]) = (аПзг). Тогда группа Ог, соответствующая графу Г называется древесным произведением циклических групп с ассоциированными циклическими подгруппами.
Копредставление группы Ог имеет вид:
п
°г = (П*(а* )\ат = аТ ), \тгз\, \пзг\ ^ 1,1,3 = 1,п, (1)
к=1
I тц\ I п1*\
где а ) и (аз ) ассоциированные подгруппы.
Утверждение 1. В группе ОГ разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1. [9] Для любой конечно порожденной подгруппы Н < ОГ и циклической подгруппы (ак), к = 1,п существует алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения Н П (ак).
Лемма 2. [9] Для любого слова у € ОГ и любой конечно порожденной подгруппы Н < ОГ существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или
непусто пересечение смежного класса уН с циклической подгруппой из сомно-
жителя (ак), а именно уН П (ак), где к = 1,п.
Известно также, что в группе Ог разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп. [9]
Рассмотрим НММ-расширение группы Ог с помощью правильной проходной буквы г:
Ог = (Ог ,г\те1Ог ,г 1и^ = и—1), (2)
где и = (а*г),и-1 = (акзг), \ву\,\к^\ ^ 1,г,^' = 1,п.
Далее, рассмотрим НМ N-расширение группы Ог с помощью конечного числа правильных проходных букв г1,г2, ■■■,гт:
ог = (Ог, ь ,г2, ...,гт\те1Ог,г-1и£г£ = и^), (3)
где из = (а^3 ),и— = (ак/г), \%\, \кц\ ^ \,г,і = 1,и,в = 1,т.
Наша цель доказать основную теорему
Теорема 1. В группе С разрешима проблема сопряженности слов.
Доказательство основной теоремы будем вести индукцией по числу проходных букв.
2. База индукции
Докажем разрешимость проблемы сопряженности слов в группе
Сг = (Сг ,ї\теІСг ,ї 1и\Ь = и-\),
где и = (а3гз),и-1 = (ак/г), \в^\,\к^\ ^ 1,г,і = 1,п.
Известно [13], что каждый элемент д Є Сг может быть единственным образом представлен в виде:
д = Вї1В2ІЄ2 ...Бк іє* Бк+1, (4)
где єі = ±1, г = 1, к. Слоги В^,] = 1, к + 1 - представители левого класса смежности группы Сг по подгруппе иі, если є^ = 1, и по подгруппе и_і, если є^ = — 1.
Обозначим X - множество представителей левых смежных классов группы Сг по подгруппе и1, У - множество представителей левых смежных классов группы Сг по подгруппе и—1. Тогда X-1 = {х\х_1 Є X} и У-1 = {у\у-1 Є У} -множества представителей правых смежных классов группы Сг по подгруппам и1 и и—1 соответственно.
Буквой І будем обозначать элементы из множества представителей левых классов смежности, буквой т - представителей правых смежных классов. Тогда несократимое слово (4), имеющее нечетное число слогов можно представить в виде:
д = іаЇ1д їЄ1 І2д їЄ2 ...їзд ї3 Кд ї3 т3д ї'3-1 ..ї'1 Г1д ї, (5)
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, єі = ±1, Єі = ±1, і =1,5, Кд - ядро слова д, причем если Кд Є и1 и є'з = —1, то єз = 1, аналогично, если Кд Є и_1 и єз = 1, то Є з = —1.
Несократимое слово, имеющее четное число слогов, может быть представлено в виде:
д = їаІ1д їЄ1 І2д їЄ2 ...їзд їЄВ Ьї' 3 Т зд ї' 3-1 ...їЄ 1Т 1д , (6)
где Ь Є и1, если єз = 1 и Ь Є и—1, если єз = —1.
Под длиной слова д будем понимать длину несократимого равного ему слова д'. Под длиной слова (5) будем понимать число І(д) = 2в + 1, под длиной слова (6) - число І(д) = 25. Представление слова группы Сг в несократимой форме (5) или (6) будем называть каноническим представлением.
Определение 2. [1]Слова вида га11дг£112дг£2...гздг£3Кдг£'3тздг£'3-1 ...г£1 т1дгв, у
которых га11дг£112дг£2...гздг£з = 3тздг£'3-1 ...г'1 т1дгв) 1 будем называть транс-
формами.
Определение 3. [1] Слова вида га11дг£112дг£2...1здг£зКдг£ 3тздг£ 3-1 ..Л£ 1 т1д, не являющиеся трансформами, а так же слова вида
га11д г£112д г£2...1зд г£3 кг£'3 тзд г£'3-1 ...г£'1 т1д
будем называть нетрансформами. Причем нетрансформы типа (5) - нетранс-формы нечетной длины, а типа (6) - нетрансформы четной длины.
В слове (5) начальный га11дг£112дг£2...1здг£3 отрезок назовем закрытой левой половиной, конечный отрезок г£ 3тздг£ 3-1 ..Л£ 1 т1дназовем закрытой правой половиной, а отрезки га11дг£112дг£2...1здг£3Кдг£ 3 - закрытым большим начальным отрезком, г£3Кд3тздг£'3-1 ..Л£'1 т1д- закрытым большим конечным отрезком.
У слова вида (6) начальный га11дг£112дг£2 ...1здг£3 отрезок назовем закрытой левой половиной, конечный отрезок г£ 3тздг£ 3-1 ..Л£ 1 т1дназовем закрытой правой половиной.
В слове
д = га вг1 в2г£2 ..л£г-1 вл£г ...вк г£к вк+хгв,
где £г = ±1,г = 1,п отрезок гав1г£1 в2г£2 ...г£г-1 вг назовем начальным открытым отрезком, а гав1г£1 в2г£2..Л£г-1 вгг£г - начальным закрытым отрезком. Аналогичные понятия вводятся для конечных отрезков.
Пусть Ш = {Шг}г=ух - конечное множество слов группы Ог, каждое из которых приведено к виду (5) либо (6). Будем говорить, что у слова
т£ = в1г£1 в2 г£2 ...вк г£к вк+1гв,
где аз = 0, ±1, вз = 0, ±1, £ = ±1, £г = —1, г = 1,к, Ыз € Ш, закрытый начальный отрезок изолирован в Ш, если он не является начальным отрезком ни у какого 'ш’П € Ш, п = ±1, Ыг € Ш.
Определение 4. [1] Назовем конечное множество слов Ш = {ыг}г=1^ группы Ог специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) закрытая левая половина слова € Ш, являющегося нетрансформой,
изолирована в Ш; если - нетрансформа четной длины, то ее закрытая левая
половина и закрытая правая половина изолированы в Ш;
2) длину произвольного элемента Ыз € Ш нельзя уменьшить, умножая на слово у € ({1иг}г=1к), где 1(у) < /(%);
3) пусть
™£ = г£1 г^г£2... 1зь,1 г£3 кШ] г£3 тзШз г£3-1... г£1 ,
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, £г = ±1, Ыз — нетрансформа вида (5) из Ш либо
™,£ = га11Щг£112Щг£2... г^,г£3 нг£'3тзЩг£3-1... &,
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, £г = ±1, — нетрансформа вида (6) из Ш и
{ыПу = гау 11Шуг£1у 12ь,уг£2у... г.зтгг£3у... п+^уг£гтгту... г'1 т^},
где пУ = ±1, ау = 0, ±1;
подмножество нетрансформ из
{™г}г=т^ \ и {Щ1}г=1м \
закрытая правая половина которых оканчивается на Ь£'гтги,у... г£>1 т1ш., тогда если подгруппа
H = {Шг=ш) П rW t-Є1 ■ ■ ■ — t-i GrtЄі T-iWy ■ ■ ■ f1 rlWj tPj = E
(E — единичная подгруппа), то l(wyu) ^ l(wy), l(wyuwyl) ^ l(wy), где u Є H;
4) пусть w£ = talllWit‘£ll2Wit2■■■lpWit‘£p■■■t'iriWi■■■t'1 rlWitel,
w] = ta21 lWj tnl l2Wj tV2 ■■■lpWj tVp ■■■tn i riWj ■■■tv'1 r l Wj te2 ,
где є = ±1, п = ±1; аг = 0, ±1, вг = 0, ±1, ї = 1, 2 - слова из множества, не обязательно различные, їа111и)іїЄ1 І2ті^2 ■■■ІїтііїЄр - начальное подслово левой половины і^Є, їа211т.ї”1 І2и).їП2...Іри,3їПр - начальное подслово левой половины тЩ, если їа1 І1тіїЄ1 І2тіїЄ2■■■Ір'шіїЄр = тЄ, їа2І1Ш.їП1 І2ш.їП2...ІрШ.їПр, то не существует слова т =1, І(т) < 2р, т Є ({щ}і=1м) , такого что
ww
tal llWi t£1 l2Wi tЄ ■■■t£p 1 lpWi tVp l p+l,Wj ■■■t І riWj ■■■rlWj t■
Разобьем множество W = {wi}i=yN на подмножества следующим образом: трансформы с одинаковыми крыльями объединим в подмножество Mi} 1 ^ i ^
k, все нетрансформы из W = {wi}i=YN объединим в множество M0. Каждое
множество Mi} 1 ^ i ^ k порождает подгруппу:
(Mi) = t-ai r-lt~£li ...r-l t-£n,i Aits"’i rni...rutai,
где ai = 0, ±1, ei}j = ±1, Ai - подгруппа группы Gr, порожденная ядрами трансформ с крыльями t-air-1 t-£li...r-\t~£n’i. Упорядочиваем множество подгрупп (Mi) по длине крыльев порождающих трансформ:
(Mil) « M) < ... « (Mik). (7)
Лемма 3. [1] Ряд (7) можно преобразовать в ряд (8)
M)«(ML) <...«(Mi,). (8)
со следующими свойствами:
1) др((Мо), (Ыц),..., (Мгк)) = др((М0), М),..., (Мк));
2) если подгруппе (М') = Ь~азт-г~£1^...т^Ь~£п’Э Азг£п’^тп,з...тз, аз = 0, ±1, ряда (8) принадлежит трансформа
т = т—г-£1 ...тз-^ ы£п'1 тп,з...т 1 зга,
где к € и1, если г£п'. = 1 или к € и-1, если г£п* = —1, то среди подгрупп ряда (8) имеется подгруппа
(М3) = тф-£1 ...т--1з Г£п-1* А а£п-1’1 тп-1,з ...тз ,
содержащая т;
3) если для некоторой трансформы т € (М'з) и некоторой нетрансфор-мы у € (М0) при I(у) = 2т + 1 (левая закрытая половина у изолирована) и 1(у-1ту) ^ 1 (у), то существует подгруппа (М'гз) ряда (8), содержащая трансформу у-1 ту, а при 1(у£ту-£) < 1(у) и 1(у) = 2т +1 либо 1(у) = 2т существует, (М'гз) из ряда (8), содержащая у£ту-£;
4) пусть (М') = г-а.т-зН-£11...т—1 г-£п’1 Азг£п’3тп,з...тз- подгруппа из ряда (8) и у = г-а.т->Г£ч...т—1 г-£п* —иГ^1* - подслово левой половины т£,
£■ ,_ Г"! /г
т£ € {тг}г=1м, не являющейся изолированной закрытой левой половиной т£ в специальном множестве {тг}г=1^, тогда, если подгруппе (Мз') принадленит трансформа т € у-1Огу, то ряду (8) принадлежит подгруппа (М'з) = у-1 Азу и т € (Мгз).
Лемма 4. [1] Подгруппа М0, порожденная нетрансформами специального множества, свободна и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством {тг}г=ум, будем обозначать др(М0,Б). Она представляет собой ИММ - группу с основой Б, являющуюся древесным произведением подгрупп ряда (8), правильной системой проходных букв которой служат элементы из М0. Подгруппы (М0) и (Мз), ] = 1,к, из ряда (8) будем называть порождающими подгруппами подгруппы (т1,. ..тм) = др(М0, Б).
Определение 5. [1] Произведение и1...ик назовем словом подгруппы
(т1,...,тм) = др(М0,Б)
группы Ог, если:
1) иг = 1;
2) иг € {М0 и М-1}, либо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда (8);
3) иг = и-+1;
4) иг, иг+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (8);
5) в и1...ик нет произведения игиг+1иг+2(г = 1,к — 2), где иг = и-+;2, иг € {М0 и М-1}, щ+1 € (Мз) и щщ+1щ+2 € (Мз), (Мз), (Мз) - из ряда (8).
Лемма 5. [1] Всякое произведение ...т^, £ з = ±1, где - образующие подгруппы ({тг}г=1м), через конечное число шагов можно привести к слову иг1 ...игк, к ^ т, подгруппы др(М0,Б) = ({ш^^ум).
Теорема 2. [1] Пусть группа
О* = (О,г\г-1 и^ = ф(иг))
- ИМЫ-расширение группы О с помощью изоморфных подгупп и1 и и-1 и фиксированного конструктивного изоморфизма ф. Тогда, если подгруппы и1 и и-1 обладают условием максимальности и в группе О разрешимы:
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы И < О с каждой из подгрупп и1 и и-1;
3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы И < О с любой из выделенных подгрупп и1 и
и-1,
то разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы О* в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.
Для группы Ог выполняются все условия теоремы 2, следовательно, образующие подгруппы группы Ог можно привести к специальным образующим, порождающим ту же самую подгруппу. Покажем, что в группе Ог будут справедливы утверждения, аналогичные леммам 1 и 2.
Лемма 6. Для любой конечно порожденной подгруппы И < Ог и циклической подгруппы (ак), к = 1,п, где ак - образующий группы Ог, существует, алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения И П (ак).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть И - конечно порожденная подгруппа группы Ог, выберем образующий ак € Ог, к = 1,п. Приведем образующие подгруппы И к специальным образующим: И = др(М0,Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (8): М1 ^ М2 ^ ... ^ Мк. Выясняем существует ли в Б подгруппа (Мз1) < Ог, состоящая из трансформ длины 1. Далее определяем пересечение (Мз1) П (ак). Таким образом, (Мз1) П (ак) = И П (ак), к > 1. Лемма доказана.
Лемма 7. Для любого слова у € Ог и любой конечно порожденной подгруппы И < Ог, существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение уИ П (ак), где ак € Ог к = 1,п.
Доказательство. Пусть подгруппа И < Ог и слово у € Ог, причем у € И, у = г1гП1 г2гП2...гзгП3кг£3тз...г£1 т1, где гг,тг € ог,пг,£г = ±1,г = 1,п. Найдем пересечение уИ П (ак). Перепишем образующие подгруппы И в виде специального множества: И = др(М0 ,Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (8).
Возьмем произвольное слово и € И, пусть и = и1и2...ип. Выясним, в каких случаях в произведении уи будут проходить сокращения:
а) Пусть слог и1 является трансформой. Выделим в слове у справа подслово уп = г£гтг...г£1 т1 максимальной длины, которое совпадает с крыльями одной из подгрупп ряда (8): (Мг) = (у-1Агуп). Тогда в слове
у = 11гП112гП2 ...1згП3 кг£3 тз...тг+1г£г тг...г£1 т1,
обозначив тг+1 = К0, получим у = улК0уп. Среди трансформ подгруппы (Мг) определяем трансформу у-1К1уп удовлетворяющую условиям:
уи = ул^упу^К^п и2...ип = ул(К0К1)упи2...ип,
уи = 11гП1 ...г113 кг£3 тз...г£г+1 (К0К1)г£г тг...г£1 т1и2...ип.
Выясняем, принадлежит ли произведение К0К1 ассоциированной подгруппе, т.е. К0К1 € и1, если £г+1 = —1 и £г = 1, либо К0К1 € и-1, если £г+1 = 1 и £г = —1. Случай сводится к пересечению К0(Аг) П и£, где £ = ±1.
б) Пусть и1 — нетрансформа с неизолированной левой половиной: и1 =
= у;-1К2у', где у' = г£гт'г...г£1 т' 1, а подслово у-1 является крылом одной из трансформ ряда (8): (Мг) = (у-1Агуп). Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (Мг) такая у-1К1уП, что произведение К0К1К2 € и1, если £г+1 = — 1 и £\ = 1, либо К0К1К2 € и-1, если £г+1 = 1 и £\ = —1. Случай сводится к
пересечению К0К2(К-1 (Аг)К2) П и£, £ = ±1.
в) если и1 — нетрансформа с изолированной левой половиной: и1 = у-1Ку', у-1 — изолирована и среди подгрупп ряда (8) содержится подгруппа (Мз) = (у'-1 Аз у'), а так же среди нетрансформ содержится и2 = у'-1К2у'', у'' = т''г... ...г£1 т''1. Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (Мз) такая у'-1К1у', что произведения К0КК1 € и1 или К0КК1К2 € и1, если £г+1 = —1 и
= 1, либо К0КК1 € и-1 или К0КК1К2 € и-1,если £г+1 = 1 и £' = —1. Случай сводится к пересечению К0К(Аг) П и£, £ = ±1 или К0КК2(К-1 (Аг)К2) П и£, £ = ±1.
В результате через конечное число шагов построим приведенное слово уи. Положительное решение проблемы возможно лишь в том случае, когда 1(ут) = 1 и слово ут не содержит г. Тогда выясняем, существует ли среди подгрупп (Мг) = д-1Агдг ряда (8) подгруппа (Мз1) = Аз1 и рассматриваем уи(Мз1) П (ак). Лемма доказана.
Лемма 8. [11] (Коллинза) Пусть О* = (О, г; г-1Аг = В,ф) - некоторое ИИИ-расширение. Пусть и = д0г£1 ...г£п и у - сопряженные циклически приведенные элементы из О*. Тогда длины 1(и) = 1(у), а элемент и можно получить из у, беря подходящую циклическую перестановку элемента у, оканчивающуюся на г£п, и сопрягая затем элементом г € А, если £п = —1, и г € В, если £п = 1 .
Утверждение 2. Пусть т1 € Ог,т2 € Ог, причем т1 и т2 одновременно не сопряжены ассоциированной подгруппе и£,£ = ±1. Слова т1 и т2 сопряжены в группе Ог тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе Ог.
Теорема 3. В группе Ог = (Ог,г\г-1и1г = и-1),и1 = (азг]),и-1 = (акзг), разрешима проблема сопряженности слов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть т,у € О г и не сопряжены ассоциированной подгруппе, то по утверждению 2 слова т, у сопряжены в Ог тогда и только тогда когда они сопряжены в группе Ог.
Пусть теперь т,у € Ог - циклически несократимые слова. В соответствии с леммой 8 слово т может быть получено из некоторой циклической перестановки у* слова у сопряжением элементом к из ассоциированной подгруппы, к € и£,
т.е. ктк-1 = у*. Пусть т = г£1 В1г£2В2г£зВ3...г£квк и у* = гП1 А1гП2А2гпзА3...гПкАк,
- нормальные формы слов т,у*, такие что £г = ±1,Пг = ±1,, Вг,Аг € Ог, Вг = 1, Аг = 1, г = 1,к. Следует отметить, что для положительного решения проблемы сопряженности необходимо, чтобы 1(т) = 1(у*) и £г = г)г, г = 1,к. Таким образом у* = г£1 А1г£2А2г£3А3...г£к Ак. Причем,
если £г = —1 и £г+1 = 1, то Вг, Аг € и 1;
если £г = 1 и £г+1 = —1, то Вг, Аг € и-1.
Найдем такое к € и£,£ = ± 1, что
кт = у*к. (9)
Слово к будем строить последовательно из к1,к2, ...,кк, таких что каждое принадлежит ассоциированной подгруппе, причем к1 переводит В1 в А1, к2 переводит В2 в А2 и А1 оставляет без изменения и т.д.
1) Пусть к1 € и£1 и так как с помощью элемента к1 слог В1 переходит в А1, то должно выполняться равенство:
к1 г£1 В1 = г£1 А1к1, (10)
где к1 € и£2. Из разрешимости проблемы пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической в группе Ог выясняем разрешимость равенства (10):
В-1г-£1 и£1 г£ 1В1 п В-1Ахи£2.
Из пересечения находим подходящее к1 . Если существует к1 и 1 , такое что и для него выполняется равенство (10): к1г£1 А1 = г£ 1 А1к' 1, то
г£ 1 Ак (к 1)-1 А-1г-£ 1 = к1(к'1)-1.
Решая проблему пересечения конечно порожденной подгруппы с циклической из сомножителя, находим пересечение
г£ 1 Аи 2 А-1-1 п и 1. (11)
Если пересечение (11) равно единичной подгруппе, то h1 единственно, проверяем для него равенство (9); в противном случае, так как
t£1 AhA-'t-£1 = ho e U'£1 С U£1 ,ho = hi(h[)~1,lho = hi(hi)-1
определяем подгруппу U'£1 = t£ 1 A1U£2A-lt-£ 1 П U£ 1.
2) После преобразований имеем слово w = t£1 A1t£2B2t£3B3...t£kBk, где B2 = h-1B2. Все элементы погруппы U£ переходят через слог A1 и оставляют его без изменения. Рассмотрим элемент h2 e U'£1, который слог B2 переводит в A2. Тогда должно выполняться равенство h2t£ 1 A1t£2B2 = t£ 1 A1t£2A2h2, где h2 e U£3. Решая проблему пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической:
11 (B2 t-£2A-1t-£ 1 )U^(t£ 1 A1t£2B2) П B2 A2U3
находим подходящий элемент h2.
Если (t£ 1 A1t£2A2)U£3(A'-1t-£2A-1t-£ 1) П U'£1 = E, то h2 - единственный, проверяем равенство (9) для элемента h2h1, в противном случае находим подгруппу U"£1 = (t£1 A1t£2A2)U£3(A^-1t-£2 A-lt-£ 1) ПU'£1, все элементы которой оставляют без изменения слоги A1 и A2.
3) Продолжая этот процесс, на (к — 1) шаге получим слово
w = t£1 Axt£2 A2t£ 3 A3...t£k Bk,
где Bk = h-k+1 Bk и определена подгруппа U(k ^, элементы которой оставляют без изменения слоги A1, A2,Ak-1. Рассмотрим hk e U(k 1), так как hk переводит 13k в Ak, то должно выполняться равенство
hk w = hkt£1 A11£2 A2t£3 A3...t£k Bk = t£1 A1t£2 A2t£3 A3...t£k Ak h,
которое, как показано выше, алгоритмически разрешимо, причем h U 1 . Таким отразом, мы получили слово hkhk-1...h2h1, которое переводит слово w в слово v*. Далее отпределяем подгруппу
(t£ 1 A1t£2A2...t£kAk)U£ 1 (A-1t-£k...A-1t-£2A-1t-£ 1) П U(k-1) = U^.
Если U(k = E, то проверяем равенство (9) для элемента hkhk-1...h2h1. В противном случае подбираем такую степень элемента аг, который уравняет левую и правую части равенства (9).
Из вышеизложенного следует, что существует минимальная степень г, такая
что
a\sij (v*) = (v*)afij, (12)
rst, т т ( k)
где аг e U£i .
Тогда подбираем такую степень X, чтобы с одной стороны
а'3гз Х (у*) ар0 = (у*)аР° а^Х, (13)
а с другой должно выполняться равенство
3гзХ / *\ ро _ {п*\п0-0
аг3гз Х (у*)ар0 = (у>® аг3гз Х. (14)
Из (13) и (14) имеем:
а^3 Х (у*)аР0 = (у*)а*0 а'*3 Х, (15)
которое справедливо вследствие разрешимости уравнения
Ро + дв^ X = да + тв^ X в целых числах. Теорема доказана
3. Индуктивный шаг
Для дальнейших рассуждений представим группу
СГ = (Сг,Ь^2, ...,1т\теЮт,1-1из18 = и-з},
где из = (а313},и-з = (ак3},\в^\,\к^\ ^ 1,г,3 = 1,п,з = 1,т, в виде ИММ-расширения с одной проходной буквой. Выделим некоторую проходную букву Ьт (для удобства возьмем последнюю), тогда группа Сг будет иметь представление
С Г — (СГт- 1^т^т ит£т — и-т} ,
где СГт-1 = (Сг,Ь^2, —,Ьт-1 \relGr,Ь31изЬз = и-з}, в = 1,т — 1.
Предположим, что для группы с меньшим числом проходных букв: Сгт_ 1 = (СГ,Ь1,12, ...,1т-1\те1Сг,1-1из13 = и-з}, в = 1,т — 1, проблема сопряженности слов разрешима, а также справедливы утверждения леммы 6 и леммы 7, а следовательно образующие некоторой подгруппы И < СГт_ 1 можно привести к специальным образующим, порождающим ту же самую подгруппу.
Докажем подобные утверждения для группы Сг.
Лемма 9. Для любой конечно порожденной подгруппы И < С*Г и циклической подгруппы (ак}, к = 1,п, где ак - образующий группы СГ существует, алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения И П (ак}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть И < СГ - конечно порожденная подгруппа. Представляем образующие подгруппы И в виде специальных образующих: И = др(М0,Б), где множество 5 порождено подгруппами ряда (8): (М1) ^ (М2) ^ ... ^ (Мк). Выясняем существует ли в Б подгруппа (М31) < Сг, состоящая из трансформ длины 1. Далее определяем пересечение (М31) П (ак}. Таким образом (М31) П (ак} = И П (ак}, к > 1. Таким образом, лемма доказана.
Лемма 10. Для любого слова у Е С*г и любой конечно порожденной подгруппы И < С г существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение уИ П (ак}, где ак Е СГ к = 1,п.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть подгруппа И < С*г и слово V Е С*г, причем
у е и. Пусть V = ытит~иткттз..^тт1, где и,тг е Сг,пг,ег = ±м =
1,п. Найдем пересечение уИ П (ак}. Перепишем образующие подгруппы И в виде специального множества: И = др(М0,Б), где множество Б порожденго подгруппами ряда (8).
Пусть и Е И, перепишем его в и-символах и = и1и2...ип. Как в пунктах а)-в) леммы 7, выясним, в каких случаях в произведении уи будут проходить сокращения.
В результате через конечное число шагов построим приведенное слово уи. Если 1(уш) = 1 и ут не содержит Ьт. Тогда выясняем, существует ли среди подгрупп (Мг) = д~1Л,д, ряда (8) подгруппа (М31) = Аз1 и рассматриваем уи(М31) П (ак}. Лемма доказана.
Вывод: Для группы С г выполняются все условия теоремы 2, следовательно образующие подгруппы И < С г можно привести к специальным образую-тттим.
4. Доказательство основной теоремы
Приступим к доказательству теоремы 1 для группы
СГ (СГт-11^т\Ъ-1 ит^т и-т} ,
где
С*гт-1 = (СгММ, ■■■Лт-1 \те1Сг,1-1из1з = и-з},
из = (а3гз}, и-з = (аа3}, \вгз\,\кл\ ^ 1,1,] = 1,п,в = 1,т — 1.
Из индуктивного предположения следует, что в группе СГт_ 1 разрешима проблема сопряженности слов.
Пусть т,у Е Сг - циклически несократимые слова. Если т и V сопряжены, то ктк-1 = у, где 1(т) = 1(у), у - циклическая перестановка слова у; к Е иет, е = ±1.
Пусть т = Ь£1В1Ь£2В2Ье3В3..Л£кВк. В словах т и у векторы степеней {е1,е2,... ... ,ек} совпадают. Значит у = Ь£1 А11£2А21£3А3..Л£кАк. Причем т и у представлены в нормальной форме; Вг,Аг Е С гт-1.
Найдем такое к Е и£т, е = ±1, что
кт = ук.
(16)
Слово к будем строить последовательно из к1,к2, ...,кк, таких что каждое кгпринадлежит ассоциированной подгруппе, причем к1 переводит В1 в А1, к2 переводит В2 в А2 и А1 оставляет без изменения и т.д.
1) Пусть к1 Е и£1т и должно выполняться равенство:
к1г£т В1 = г£т Ак, (17)
где к1 Е и£2т.
Как показано в лемме 10, находим пересечение
В-Ч-£1 и^1 В1П В^Аит.
Из пересечения находим подходящее к1. Если существует Н1 Е и£1т, такое что и для него выполняется равенство (17): к[гтА1 = гтА1к' 1, то
гт А1к1(к 1)-1 А-чт£1 = к1(к1)-1.
По алгоритму, указанному в лемме 9, находим пересечение
гтА1и£2тА-Чт£1 П и£1т. (18)
Если пересечение (18) равно единичной подгруппе, то к1 единственно, проверяем для него равенство (16); в противном случае, так как
г£тА1коА-Чт£1 = ко Е и'£1т С и£1т, ко = к^к!)-1, ко = Н^к' 1)-1
определяем подгруппу и'£1т = г^,А^.£2тА-1 г^1 П и^т^
2) После преобразований имеем слово т = гтА1г£тВ2г£тВ3...гтВк, где В2 = к-1В2. Все элементы подгруппы и'£1т переходят через слог А1 и оставляют его без изменения. Рассмотрим элемент к2 Е и'£1т, который слог В2 переводит в А2. Тогда должно выполняться равенство к2гетА^тВ2 = гтА^тА2к2, где к2 Е и£зт. По лемме 10 находим пересечение:
11 (В2 гт£2А-Чт£1 )и£1т(гтА-гтВ2) п В2 А2и£3т
находим подходящий элемент к2.
Если (гтАггтА2)и£3т(А-1г-£2А-Ч-£ 1) П и'^т = Е, то к2 - единственный, проверяем равенство (16) для элемента к2к1, в противном случае находим подгруппу и'' £1т = (гт А1гт А2)и£3т(А-1гт£2 А-Чт£1) П и' £1т, все элементы которой оставляют без изменения слоги А1 и А2.
3) Продолжая этот процесс, на (к — 1) шаге получим слово
т = гт А^т А2г т А3...г т Вк,
где Вк = к-к+1 Вк и определена подгруппа и^-1, элементы которой оставляют без изменения слоги А1, А2,..., Ак-1. Рассмотрим кк Е и^т1, так как кк переводит 13к в Ак, то должно выполняться равенство
кк т = ккг£1 А1 гт А2г££3 А3...г£к3 = г£1 А^т А2г££3 А3...г£к Акк,
которое, как показано выше, алгоритмически разрешимо, причем к Е и£1т. Таким образом, мы получили слово кккк-1...к2к1, которое переводит слово т в слово V. Далее определяем подгруппу
(гт А1гт А2...гт Ак )и£1т(А-1гт£к ...А-чт£2 А-чт£1) п и(т = и(%.
Если и£% = Е, то проверяем равенство (16) для элемента кккк-1...к2к1. В противном случае подбираем такую степень элемента а-, который уравняет левую и правую части равенства (16).
Из вышеизложенного следует, что существует минимальная степень г, такая
что
а.V = Уад^3, (19)
Т т т ( к)
где а- Е ит
Тогда подбираем такую степень X, чтобы с одной стороны
аТ*3' Х Уарг0 = Уарг0 а^ Х, (20)
а с другой должно выполняться равенство
Х— р0 — П0 Х ^01 ^
а- 3 уа- = уа- а- 3 . (21)
Из (20) и (21) имеем равенство:
уаРо аГ3 Х = уа*° а313 Х, (22)
которое справедливо вследствие разрешимости уравнения
Ро + дв^ X = до + г з-з X
в целых числах.
Основная теорема доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе НКК-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Межвузовский сборник научных трудов. Тула,1983. С. 5080.
2. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп // Вопросы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л.Н. Толстого, 1972. С. 3-86.
3. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. 1-11 // Современная алгебра: межвузовский сборник. Л., 1977. Вып. 6. С. 16-32.
4. Безверхний В. Н. О пересечении конечно-порожденных подгрупп свободной группы // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. Тульский политехнический институт, 1974. Вып. 2. C. 51-56.
5. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвузовский сборник научных трудов. Тула, 1990. С. 103-152.
6. Безверхний В. Н., Логачева Е. С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Известия ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Том 12, вып. 1. C. 83-101.
7. Безверхний В. Н., Логачева Е. С. Проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с циклическим объединением // Чебышев-ский сборник. 2014. Т. 15, вып. 1(49). С. 32-44.
8. Логачева Е. С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 1(45). С. 61-70.
9. Логачева Е. С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2., Ч. 1. С. 19-40.
10. Логачева Е. С. Проблема сопряженности в древесном произведении групп // Алгебра и теория чисел: материалы XII Междунар. конф. 2014. С. 85-88.
11. Lipshutz S. Nhe congugacy problem and cyclic amalgamations. Bull. Amer. Math. Soc., 1973. P. 114-116.
12. Фридман А. А. Решение проблемы сопряженности в одном классе групп // Труды МИАН. 1973. Т. 133. С. 233-242.
13. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная терия групп. М: Мир, 1980.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Поступило 24.04.2014
