CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 512.54 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-135-147
О проблеме обобщённой сопряжённости слов в обобщённых древесных структурах групп Кокстера
Безверхний Владимир Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики Академии гражданской защиты МЧС России. e-mail: VnbezvQrambler.ru
Добрынина Ирина Васильевна — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии Тульского государственного педагогического университета имени Л. Н. Толстого. e-mail: [email protected]
Аннотация
Основными алгоритмическими проблемами теории групп являются проблемы равенства, сопряжённости слов и проблема изоморфизма групп.
В силу неразрешимости данных проблем в классе конечно определенных групп, основные алгоритмические проблемы и их различные обобщения исследуются в конкретных группах.
Группы Кокстера изучаются с 1934 года, а в алгебраическом аспекте - с 1962 года. В них алгоритмически разрешимы проблемы равенства и сопряжённости слов, однако неразрешима проблема вхождения.
В 1983 году К. Аппель и П. Шупп определили класс групп Кокстера экстрабольшого типа. В 2003 году В. Н. Безверхний ввел в рассмотрение группы Кокстера с древесной структурой.
В статье рассматриваются обобщённые древесные структуры групп Кокстера, представляющие собой древесные произведения групп Кокстера экстрабольшого типа и групп Кокстера с древесной структурой.
Обобщённые древесные структуры групп Кокстера, также как группы Кокстера экстрабольшого типа и группы Кокстера с древесной структурой, относятся к гиперболическим группам, поэтому в них решено большинство алгоритмических проблем, в частности, алгоритмически разрешима проблема обобщённой сопряжённости слов.
Авторами статьи предлагается оригинальный метод доказательства алгоритмической разрешимости проблемы обобщённой сопряжённости слов в обобщённых древесных структурах групп Кокстера. Данный метод использует подход Г. С. Маканина, примененный им для доказательства конечной порождённости нормализатора элемента в группах кос. Кроме того, в данной работе показывается, что централизатор конечно порождённой подгруппы в обобщённой древесной структуре групп Кокстера конечно порождён и существует алгоритм, выписывающий его образующие.
Ключевые слова: алгоритмические проблемы, группа Кокстера, обобщённая сопряжённость, древесное произведение групп, централизатор.
Библиография: 21 название. Для цитирования:
В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина О проблеме обобщённой сопряжённости слов в обобщённых древесных структурах групп Кокстера // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 135-147.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.
UDC 512.54 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-135-147
On problem of generalized conjugation of words in a generalized tree structures of Coxeter groups
Bezverkhnii Vladimir Nikolaevich — doctor of phvsico-mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of mathematics of civil defence Academy EMERCOM of Russia. e-mail: [email protected]
Dobrynina Irina Vasiljevna — doctor of phvsico-mathematical Sciences, associate professor, Professor of the Department of algebra, mathematical analysis and geometry of Tula State Lev Tolstoy University. e-mail: [email protected]
Abstract
The main algorithmic problems of group theory are the problems of words, conjugacy of words and the problem of isomorphism of groups.
This algorithmic problems in the class of finitely presented groups are unsolvable. So the main algorithmic problems and their various generalizations are studied in certain classes of groups.
Coxeter groups have been studied since 1934, and in the algebraic aspect - since 1962.
The problems of words and conjugacy of words are algorithmically solvable in these groupss but the problem of occurrence is unsolvable. K. Appel and P. Schupp defined the class of Coxeter groups extra- large type in 1983. V. N. Bezverhny defined the Coxeter groups with a tree structure in 2003.
The article discusses the generalized tree structures of Coxeter groups, which are the tree product of Coxeter groups of extra large type and Coxeter groups with a tree structure.
The generalized tree structure of Coxeter groups, as well as the Coxeter group of extra large type, and a Coxeter group with a tree structure, refer to hyperbolic groups, so most of algorithmic problems algorithmically solvable, in particular, the problem of generalized conjugacy of words.
The authors propose In this paper an original method for proving algorithmic solvable of the problem of generalized conjugacy of words in tree structures of Coxeter groups. This method uses G. S. Makanin's approach applied by Him to prove the finite generation of the normalizer of an element in braid groups. In addition, in this paper we show that the centralizer of a finitely-generated subgroup in a generalized wood structure of Coxeter groups is finitely generated and there is an algorithm writing out its generators.
Keywords: algorithmic problems, Coxeter group, generalized conjugation, tree product of groups, centralizer.
Bibliography: 21 titles. For citation:
V. N. Bezverkhnii, I. V. Dobrynina, 2018, "On problem of generalized conjugation of words in a generalized tree structures of Coxeter groups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 135-147.
1. Введение
М. Дэном [1] в начале прошлого века сформулировал основные алгоритмические проблемы теории групп: проблемы равенства, сопряжённости слов и проблему изоморфизма групп в конечно определенных группах.
Доказательство П. С. Новиковым [2] неразрешимости основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп привело к изучению алгоритмических проблем в конкретных группах.
Пусть С - конечно порождённая группа Кокстера с копредставлением
С = ((ц,...,ап; (ица,,г,з = 17й),
где ту - элементы симметрической матрицы Кокстера:
т,ц = 1, т^ е N \ {1} и = 1,п,г = ].
Если ту = те, то определяющее соотношение между образующими сц, а^ отсутствует. Данное определение дает а2 = 1 для всех г е 3.
Известно [3], что всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник.
Ж. Тите [4] доказал алгоритмическую разрешимость проблемы равенства слов в группах Кокстера.
П. Шуппом [5] показана неразрешимость проблемы вхождения в группах Кокстера.
К. Аппель и П. Шупп [6] в 1983 году решили проблему сопряжённости слов в классе групп Кокстера экстрабольшого типа.
В настоящее время проблема сопряжённости слов решена в классе групп Кокстера [7].
В. Н. Безверхний ввел в расмотрение группы Кокстера с древесной структурой. Очевидно, что в графе, соответствующем группе Кокстера, всегда выделяется максимальный подграф, соответствующий группе Кокстера с древесной структурой [8].
В статье рассматриваются обобщённые древесные структуры групп Кокстера, представляющие собой древесные произведения групп Кокстера экстрабольшого типа и групп Кокстера с древесной структурой.
Обобщённые древесные структуры групп Кокстера, также как группы Кокстера экстрабольшого типа и группы Кокстера с древесной структурой, относятся к гиперболическим группам, поэтому в них решено большинство алгоритмических проблем (например, [9]), в частности, алгоритмически разрешима проблема обобщённой сопряжённости слов [10].
Авторами статьи предлагается оригинальный метод доказательства алгоритмической разрешимости проблемы обобщённой сопряжённости слов в обобщённых древесных структурах групп Кокстера. Данный метод использует подход Г. С. Маканина [11], примененный им для доказательства конечной порождённости нормализатора элемента в группах кос, и технику В. Н. Безверхнего [12]. Кроме того, в данной работе показывается, что централизатор конечно порождённой подгруппы в обобщённой древесной структуре групп Кокстера конечно порождён и существует алгоритм, выписывающий его образующие.
2. Централизатор конечно порождённой подгруппы
Рассмотрим конечно порождённую группу Кокстера, заданную копредставлением
С = (а\,..., ап; ((ца^)т^,г,,] = 1/п),
где тг^ — элементы симметрической матрицы Кокстера:
т,ц = 1, т^ е N \ {1} и {го},1,3 = 1,п,г = 3.
В случае т^ = го определяющего соотношения между образующими аг,а^ нет.
Известно, что в группах Кокстера разрешима проблемы равенства и сопряжённости слов. Обобщением проблемы сопряжённости слов является проблема обобщённой сопряжённости слов.
Определение 1. Будем говорить, что в группе С разрешима проблема, обобщённой сопряжённости слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов {щ}^^, {уг}г=Тп из С установить, существует ли такое г е О, что
= Уг).
Группа Кокстера называется группой Кокстера экстрабольшого типа, если т^ > 3 для любых г = 3. Данный класс групп в 1983 году выделен К. Аппелем и П. Шуппом.
Для всякой группы Кокстера С можно построить граф Г такой, что образующим аг соответствуют вершины графа Г а каждому определяющему соотношению (а^а^)т^' = 1 - ребро, соединяющее аг ш а^, г = Если при этом получится дерево-граф Г, то группа С называется группой Кокстера с древесной структурой.
Данный класс групп введен в рассмотрение В. Н. Безверхним в 2003 году.
Группа Кокстера с древесной структурой может быть представлена как свободное произведение двупорождённых групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам: от графа Г группы С перейдем к графу Г так, что вершинам графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих = (аг 2, ((цау}, а всяко-
му ребру е, соединяющему вершины, соответствующие и Gjk — циклическую подгруппу (аз; а2}.
Рассмотрим группу Кокстера
С = (Ц*Св; (цт = ак,г = з,г,з е {М}Ь
8=1
представляющую собой древесное произведение групп Кокстера С3, где С3 либо группа Кокстера с древесной структурой, либо группа Кокстера экстрабольшого типа, запись агт = а^ означает, что объединение групп Кокстера С^ ведется по циклической подгруппе второго порядка (агт; а%т} ((а^1; а? }), где агт - некоторый образующий группы а^ - некоторый образующий группы С^.
Такую группу Кокстера С будем называть обобщённой древесной структурой групп Кокстера.
Введем ряд понятий, следуя работе [13].
п
Пусть Рг = ((ц; а?}, Р = П *Fi - свободное произведение циклических групп порядка 2.
г=1
Отождествим каждый образующий а? групп ы Р с его обратным а--1. Слов о w = аг1 ...а?п группы Р является приведенным, если индексы рядом стоящих букв а^. и аг:1+1 записи и> различны, длина и> равна п. Далее считаем, что г = з, т^ < го. Обозначим через Р^ группу
^ = Рг *
Обозначим через К^ множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободном произвдении ^ и равных 1 в группе Су.
В дальнейшем под К будем понимать К = и К^ - симметризованное подмножество
свободного произведения Р.
Пусть ' - нетривиальное циклически приведенное в Р слово, равное 1 в С, то есть ' е (К)р, где (В,)р - нормальное замыкание симметризованного множества К в свободном произведении Р. Тогда из теоремы ван Кампена [14] следует, что существует К-диаграмма М с граничным циклом 7 = дМ, меткой которого является слово ф(^у) = и с метками областей И С М из К^. Будем называть такую К-диаграмму М К-диаграммой М над С, а ее области - К^-диаграммами.
К М
Если две области И\, И2 являются одновременно К^-диаграммами, пересекаются по ребру с меткой (р(дИ\ П дИ2), то, стирая это ребро, объединим Их, И2 в одну область И. Допустим, что каждая из областей Их, И2 есть К^-диаграмма, Dх,D2 пересекаются по вершине. Тогда объединяем Их, И2 в одну область И. Если в том или другом случае метка границы полученной области равна единице в свободном произведении Р, то, удалив эту область, склеиваем ее границу. Таким образом, через конечное число шагов мы получим приведенную в Р од-К М
граничной меткой, равной причем если две области И', И'' из М пересекаются по ребру, то длина метки этого ребра равна единице.
Аналогично рассматриваются кольцевые К-диаграммы над С.
Область И С М назовем граничной, если дМ ПдИ = 0. Символами г(И) будем обозначать число внутренних ребер в граничном цикле И, - число ребер в граничном цикле И.
Область И с граничным циклом дИ = е7е-х5, расположенная по обе стороны относительно ребра е, в которой склеенные ребра е и е-х пересекают граничный цикл И, называется (в — г)-областью.
Будем говорить, что дИ П дМ - правильная часть М, если дИ П дМ есть объединение последовательности 1х, 12,..., 1П замкнутых ребер, где 1х,..., 1П встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для И и в некотором граничном цикле для М.
Граничную область И К-диаграммы М назовем простой ми правильной, если дИ ПдМ есть правильная часть.
Определение 2. Простая область И К-диа,гра,м,м,ы М называется деповской, если г(И) < й(И)/2.
К М
К М К
К М К М
Слово ' е С назовем К-приводимым (К-сократимым), если ' приведено в Р и содержит подслово в, являющееся подсловом некоторого соотношения г е К, г = вЬ, где |Ь| < |з|.
п
Определение 4. Поддиаграмма, П = и образует, полосу в К-приведенной К-
г=Х
диаграмме М с граничным циклом, дМ = 7 и 5, если
1. дБ1 П дИг+х = а, г = 1,п — 1, где е^ - ребро ;
2. дИг П7 = ^, г = 1,п, где ^^ связный путь, причем |7^| ^ 1;
3. ^Бх П7| = |дИх\(дИх П^и^ П7| = ^^(дОп П7)|;
4. ^Иу П 7| + 2 = \icJDj П 7)|, ] = 2, п — 1.
П К М К М К
диаграмм,у Мх, полученную из М удалением полосы П, назовем, К-сокращением,.
Д-приведенное слово w группы G назовем ^^^^^щимым (Д-сократимым), если в нем можно выделить подслово S1S2 ••• sn, где каждое st содержится в некоторой группе Gij и является подсловом соотношения s-1 d-lbtdt+i £ Д, причем при 1 < t < п \dt\ = |dt+i| = 1, ы = \bt\ + 2 и для t, 1 <t < п, \bt\ = \st\.
Теорема 1. Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Кокстера G выяснить, является ли w R-приведенным.
Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически приведенного слова w группы Кокет,ера, G выяснить, является ли w R-приведенным,.
Доказательство очевидно.
Определение 6. Приведенную связную кольцевую R-диаграмму М с границей дМ = aUr будем называть однослойной, если
1) М состоит из областей D1, D2,..., Dm, где Dj П Dj+1 = ej, j = 1,т — 1, D1П Dm = em, Dj П а = 0, Dj П т = 0, j = 1,m, ej ребро,
или
р р
2) М = ( U Ni) U ( U 1з)> ~ поддиаграммы (диски) в М с границам,и
i=1 3=1
dNi = ai U n, ai П n = {Ai, Bi}
- вершины, г = 1,p, - простые пути с концами Bi-1,Ai,i = 2,р, простой путь 71 имеет начало Вр, а конец - А1; где каж doe Ni из состоит из обл астей Dil, Di2,... ,Dim,, причем Dij П Dij+1 = ,j = 1,mi — 1, Dij П a = 0,Dij П t = 0,j = 1, mi, eij - ребро.
Из данного определения имеем, что в случае 1) все области М граничные, каждая пара соседних областей, взятых в циклической последовательности, пересекается по ребру, каждая область пересекает и а, и т (пересечением может быть вершина, одно или несколько ребер). В случае 2) имеем простую кольцевую Д-диаграмму, то есть Д-диаграмму, в которой а П т = 0. Пути 7^, по которым пересекаются а,т, отделяют поддиаграммы (диски), причем заметим, что эти пути, в том числе, могут иметь нулевую длину (быть вершиной).
Аналогично определяются односвязные однослойные R-диаграммы:
Определение 7. Приведенную односвязную R-диаграмму М с границей дМ = a U т будем называть однослойной, если
1) М состоит из областей D1, D2,..., Dm, где Dj П Dj+1 = ej, j = 1,т — 1, Dj П а = 0, Dj П т = 0, j = 1,m, ej ребро,
или
р р-1
2) М = ( U Nj,) U ( U jj), Ni - поддиаграммы, (диски) в М с границами
i=1 3=1
dNi = ai U n, ai П n = {Ai, Bi}
- вершины, г = 1,p, - простые пути с ко нцами Bi-1, Ai, г = 2, р, где каждое Ni из состоит из областей Di1, Di2,..., Dim., причем Dij П Aj+1 = е^, j = 1,mi — 1, Dij П a = 0, Dij Пt = 0, j = 1,m,i, eij - ребро.
Лемма 1. [13] Пусть M - приведенная односвязная R-диаграмма равенства R и R-несократимых слов w,v £ G над группой Кокстера G. Тогда, М является однослойной.
Пусть М - приведенная связная кольцевая R-диаграмма сопряжённости слов <р(а), <^>(т) £ G над группой Кокет,ера, G, не содержащая (s — г)-облаетей; а, т - соответственно внешний и внутренний граничный, циклы, М, слова, (р(а), ф(т) циклически R и R-несократимы. Тогда М является однослойной.
Определение 8. Кольцевую связную приведенную однослойную R-диаграмму M с граничным,и циклам,и о, т обобщённой древесной структуры групп Кокстера G, метки которой ({о), ({т) приведены в F, ({о) - R-приведено и R-приведено, назовем особо специальной R-du,az^M,M,oü,, если в M существует одна область D такая, что
\({dD \ {dD р|о))| +2 = \({dD \ {dD П r))\MdD \ {dD f|a))| = \({dD \ {dD f| r))| +2),
a для остальных областей D' \({dD' \ {ôD'Pla))! = \({dD' \ {dD' f) r))\.
Замену слова ({о){({t)) на елово (р{т){({о)) назовем специальным кольцевым R-сокраще-нием.
Определение 9. Будем говорить, чт,о циклически несократимое слово w обобщённой древесной структуры групп Кокет,ера, G является тупиковым, если w циклически R-несократимо, циклически R-несокщтимо и к нему неприменимо специальное кольцевое R-сокращение.
M R
древесной структурой групп Кокет,ера, G с граничным,и циклам,и о, т; ({о), ({т) являются тупиковыми. Тогда, если ({о) = х, то ({т) = у, где х,у G (ai,..., ап], - множество
G
Доказательство следует из работ [16] и [15], где также показано, что такие диаграммы состоят из { s — i)-областей.
Теорема 2. Централизатор конечно порождённой подгруппы, H обобщённой древесной
G
ритм,, выписывающий, образующие централизатора.
Доказательство. Пусть M - кольцевая R-диаграмма, v - произвольная точка, принадлежащая некоторому замкнутому ребру е G M, е = е'е", е'Р|е" = v. Тогда замкнутый путь 1 G M с начальной и конечной точкой v: I = e/-1ei... ent, где t = е' либо t = е"-1, либо I = е" e'i... e'nt', где t' = е' либо t' = е"-\ назовем циклическим в M, если I гомотопен т, о R M
v G M
Пусть щ v — слова, принадлежащие обобщённой древесной структуре групп Кокстера G. Допустим, что слова и, v являются тупиковыми и сопряжёны в G. Тогда существует кольцевая
R о
и
Пусть и = х, х G (ai}i=f^, (ai}i=T^ ~ множество образуюнщх группы G, тогда из леммы 2 следует, что v = у, у G { a¿} i = 1,п и диаграмма сопряжённости этих слов состоит из { s — г)-областей. Пусть оо = о, oi,... ,Ok = т — граничные циклы R-диаграмм, полученных из M = M0 последовательным удалением {s — г)-областей. Но тогда ({оi) = Xi, Xi G (ai}i=Y^ и любые два элемента Xí-i, Xí, i = 1,п, где х = хо, хп = у сопряжёны в GXi_lXi максимальным куском определяющего соотношения группы GXi_ Пусть m = max(mij < œ\, m,íj - элементы матрицы Кокстера. Тогда, очевидно, длина любого циклического геодезического пути из M заключена в пределах \и| ^ d ^ \и| + 2m.
и G и
R M
R d
циклического геодезического пути заключена в пределах \и| ^ d ^ {\и| + \ v\)m + 2.
Пусть теперь w\, W2,..., wn - образующие H, H < G; считаем, что W\ = W\q - тупиковое слово rnVi, i = 2,n, Wi = awioc- , где wio является тупиковым; A(wio,wio) - кольцевая связная приведенная Д-диаграмма сопряжённости слова Wio словv Wio- Введем обозначения: с = max{|ci|,..., |cn|}, где |ci| =0 L = 2(mo +1) и S(wi, wi), г = 1,n- множество слов, длины di которых заключены в пределах |wi0| ^ di ^ 2(lwi0lm + |с| + 1). Рассмотрим следующую последовательность:
w(^),...,w(n)) ,Hi,w[1),...,w(n1),H2,...,Hp,w(^),...,w(P),... (1)
где Vî, i = 1р, H-1wf~1)Hi = w1),...,H:r1w{n~1)Hi = w{n),Hi g {ai},wjs) g 5(wj,Wj) и является меткой циклического геодезического диаграммы A(wjo,Wjo), j = 1,n,s = 0,р,
( o) -1
wj' = CjWjoC- .
Последовательность (1) называется базисной. Базисную последовательность (1) назовем фундаментальной, если для Vj,s, 0 ^ j < s < р, набор ы (w1j\ ..., win)), (w1s\ ..., wns))
n ^ ^ (v) (p) (v) (p)
различны и существует целое v, 0 ^ v < р, такое что w1 = w1 ,..., wn = wn, ■
JIe mma 3. Если последовательность фундаментальная, то слово Н1Н2 ... HpH- 1... Н-принадлежит централизатору подгруппы, Н.
Доказательство очевидно.
Слово Н1Н2 ... HpH-1 ... H-1, связанное с фундаментальной последовательностью (1), назовем базисным словом.
Лемма 4. Если последовательность (1) является фундаментальной базисной последовательностью, то
P ^ IS| = IS(W1,W1)I ... IS(Wn,Wn)l Лемма 5. Число фундаментальных базисных последовательностей конечно. Доказательство очевидно.
Лемма 6. Пусть F g Cg(H), Cg(H) - централизатор H в G. Тогда существует разбиение F в произведение образующих F = Н1Н2 ... Нт, Hi g {ai} г = 1,т и базисная последовательность, связанная с данным,и разбиением F, то есть
w()),...,W(n)),H1,W(s1),...,Wn),H2,...,Hm ,W(m),...,W(m)
Доказательство. Пусть F g Cg(H), F = 1, тогда имеет место следующая система соотношений
F-1W1F = W1, C2F-1Ç-1W20C2Fc-1 = W20, ..., CnF-1 C-1Wn0CnFc-1 = Wn0-
Пусть Vi,i = 2,n, 3Xi,Yi,Fi такие, что F = XiFiYi (= - графическое равенство), Cj, = ciX-1 = d(Yi. В результате имеем следующие равенства
F-1W1F = W1, F~1c'i 1Wioc'iFid( 1 = Wio, i = 2,n,
где каждое из слов diFié'i -1 несократимо.
Рассмотрим кольцевые приведенные Д — приведенные, Д-приведенные Д-диаграммы A(wio, Wio) с граничными циклами a(i0\ т(i0), где if(a(i0^) = Wio,^(r(i0)) = w--1, i = 2,n (при i = 1,W1o = W1), каждая из которых, соответственно, является диаграммой сопряжённости для г-ro соотношения.
Обозначим через 0do) начальную точку на a(i° и через О i ' - начальную точку на т(i0 \ i = 1, п. Тогда в диагр амме A(w^ ), i = 1,п, содержится путь а(щ) = О(%0 ),
г]г) = О'(г0^ с = Р, г]г) = с'Р'с'- \ г = 2,п, где а(г]), ш(г]) - соответственно на-
чало и конец пути т]. Пусть ) = Р = Н(1 Н^,1 ... - разбиение Р в диаграмме
А(ш10, ш10) па образующие. Тогда Р = ХгРг¥г = Д1 ... Н^Н... Н((()Н((() ... Н^(1),
"(г) "(г) + 1 %) %) + 1
где Х' = Н(1 ...Н ((1), Рг = Н ((1) ...Н (((), Уг = Н ((() ... Н^)^ . С другой стороны, каж-
а(г) "(¿) + 1 %) %) + 1 '
дое т]г) = с'Р'С-1 в соответствующей диаграмме А(шго,шго) разбивается па образующие
,п(г, ) = Н(г) Н(г) Н(г) Н(г) Н(г) Н(г) т^тго п< = Н(г) Н(г) Р = Н(г) Н(г)
<Р( Пг) = Щ ...Н,1)Н,{) ...Н(,)Н({) ...Ыт{'),где с- = Щ ...Ы,{),Рг = Ни) ...Няа),
а(г) "(г) + 1 Р(г) Р(1) + 1 а(г) "(¿) + 1 Р(1)
-1 = Н (г({) ... Я«. Отсюда следуют соотношения Рг = Н ((1) ... Н ((() = Н(г({) ... Н (г(1). %) + 1 "(¿) + 1 %) "(¿) + 1 %) Заметим, что разбиение Хг определяется разбиением Р. Аналогично, разбиение у-, также
определяется разбиением Р. Следовательно, Хг, У} на искомое разбиение Р не влияют. В качестве искомого возьмем разбиение ф(щ) = Р в диаграмме А(шю,шо)- Получим разбиение Р. Р = НХН2 ... Нт и последовательность
. .,ш(0),т,ш{1), . . .,Ш(п1),Н2, . . .,Нт,ш[т),. . .,ш(т),
связанную с полученным разбиением, удовлетворяющую условиям:
Ш, г = 1Ш, Н-1 -1)Нг = ,..., Н-1ш^-1)Нг = ш® ,Нг е М,
е ),] = 1,п,з = 1, т.
Н
Доказательство очевидно.
Из лемм 3-7 следует справедливость теоремы 1.
Централизатор произвольного элемента ш е О есть конечно порождённая подгруппа в О и существует алгоритм, выписывающий образующие этого централизатора.
3. обобщённая сопряжённость слов
Теорема 3. В обобщённой древесной структуре групп Кокстера разрешима проблема обобщённой сопряжённости слов.
Доказательство. Пусть даны множества слов wi,w2,..., wn и vi, v2,..., vn. Необходимо установить: 3z, z G G, &n=i(z-1WiZ = Vi).
Пусть слова Wi = Ww, Vi = Vio являются тупиковыми. Пусть Wi = üiWioa-1, Vi = biViob-1, i = 2, n где Wio, Vio являются тупиковыми. Если предположить, что эти множества сопряжёны, то Vi, i = 1,n, |Wi01 = |fi0j и если такое-то из Wi0 есть образующий х, то сопряжённое ему слово Vio тоже образующий у. Пусть A(wío, Vio) - кольцевая связная приведенная R-диаграмма Wio io
И = max{|ai|, ja2j,..., janj}, jbj = max{|bij, |b2j,..., |bnj},
где |ai| = |bij = 0.
Обозначим через S(wí, Vi), i = 1, n, теех слов длина di которых заключена в
пределах |wío| ^ di ^ (|w¿o| + |Vioj)m + 2 + jaj + |6|.
Введем обозначения Vi, i = 1,n, Wi = w^ и рассмотрим базисные последовательности,
(o) (o)
соответствующие множеству слов w\ ,..., wn ■
w^,.. .,w(n)),Hi,w^i),.. .,w(ni),H2,.. -,Hk ,wf\.. .,w(nk), (2)
где Уг, г = 1,п, V/, ] = 0,к, € и является меткой циклического геодезического
диаграммы
Базисная последовательность (2) называется особой, если она не содержит фундаментальную последовательность либо является пустой, то есть все Н^ = 1. Слов о Н1Н2 ...Нк, соответствующее особой базисной последовательности, назовем особым базисным словом.
Если в базисной последовательности (2) = У\,..., = Уп, то слова 'М1,...,'шп обобщённо сопряжёны словам У\, ... ,уп.
Лемма 8. Если последовательность (2) является особой базисной последовательностью, ток ^ |51 = 13(-Ш1,Уг )|... |5 (■Шп^п)^
Доказательство очевидно.
Лемма 9. Число особых базисных последовательностей конечно.
Доказательство очевидно.
Лемма 10. Пусть Р - какое-то решение системы г = Уг), тогда существует
разбиение Р в произведение кусков Н\Н2 ...Нт, Н^ € {а^, г = 1,т, и базисная последовательность, связанная с данным, разбиением Р:
ы^,.. .^ПКн^т^,.. .^П', Н2,.. ^Н^т^',.. .^(Т', (3)
-ч ( т) (т)
где = У\,... ,-т>п = уп.
Доказательство аналогично доказательству леммы 6.
Лемма 11. Пусть Р - какое-то решение системы &П=1(г-1шгг = уг) и (3) базисная последовательность, соответвующая данному разбиению Р. Тогда из последовательности (3) можно выделить особую подпоследовательность, такую, что соответствующее ей базисное слово Р является решением, системы.
Доказательство. Если система
&п=1(г-1Ы1Х = Уг)
такова, что У г, г = 1,п, и1г = Vi, то в качестве особой базисной подпоследовательности возьмем пустую подпоследовательность с ^ = 1. Если последовательность (3) не содержит фундаментальных подпоследовательностей то Р' = Р. Если (3) не особая и ] = 1,п, то существуют целые числа У,к, 0 ^ V < к < т такие, что подпоследовательность ■и?';. ..,ШП0',Н1,...,П€, ..М:',Н.€+1,..., Нк ..., и?' является фундаментальной.
Вычеркнув из (3) подпоследовательность Н,€+1, и)(("+1, ..., -тп+11 Ну+2,..., , и)[к\ ..., "Ш^, получим базисную последовательность слов, являющуюся решением системы. Если полученная базисная последовательность не является особой, то применим к ней указанный выше процесс.
Из лемм 8-11 следует доказательство теоремы 2.
Теорема 4. Пусть С - обобщённая древесная, структура групп Кокстера и {wi ]=1т> [уг]г=Тт ~ СЛОва из Если Р какое-то решение системы &п=1(г-1,т1г = Уг), то множество слов Сс(Н) ■ Р, гд е Сс(Н) - централизатор под группы Н порождённой ело вам,и {щ]г=тш, является множеством всех решений системы.
Доказательство очевидно.
Теорема 5. Существует алгоритм, позволяющий для любого конечного множества слов из обобщённой древесной структурой групп Кокет,ера, С выписать образующие их нормализатора.
Доказательство очевидно.
4. Заключение
Проблема обобщённой сопряжённости слов является обобщением проблемы сопряжённости слов, относящейся к основным алгоритмическим проблемам теории групп.
В работе рассмотрены проблемы обобщённой сопряжённости слов и построения централизатора конечно порождённой подгруппы в обобщённых древесных структурах групп Коксте-ра. Данный класс групп важен для изучения алгоритмических проблем в группах Кокстера, которые могут либо быть представлены как обобщённые древесные структуры групп Кокстера, образованные из групп Кокстера с древесной структурой заменой некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Кокстера большого или экстрабольшого типов, а также группами Кокстера с n-угольной структурой, либо непосредственно принадлежат к перечисленным классам [8]. Данная работа продолжает изучение алгоритмических свойств групп Кокстера [15] - [21].
Несмотря на то, что данный класс групп относится к гиперболическим группам и в нем алгоритмически разрешима проблема обобщённой сопряжённости слов, авторами предложен довольно простой и оригинальный метод решения указанных выше проблем.
Результаты исследования докладывались на Тульском научном алгебраическом семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» и международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения А. Г. Куроша.
Для решения проблем обобщённой сопряжённости слов и построения централизатора конечно порождённой подгруппы в обобщённых древесных структурах групп Кокстера применялись современные комбинаторные и геометрические методы исследования, в частности, метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линд оном и усовершенствованный В. Н. Безверхним в части введения Д-сокращений, и подход Г. С. Маканина.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dehn M. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Annal. 1912. Vol. 71. P. 116-144.
2. Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории групп // Труды МИЛИ СССР. 1955. Т. 44. С. 3-143.
3. Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. Vol. 35. P. 588621.
4. Tits J. Groupes simples et geometries associees // Proc. Int. Congress Math. Stocholm. 1962. P. 197-221.
5. Schupp P. Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability // arXiv math. GR/0203020. 2002. Vol. 1. P. 1-21.
6. Appel К., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // Ivent. Math. 1983. Vol. 72. P. 201-220.
7. Bahls P. The isomorphism problem in Coxeter groups. London: Imperial College Press, 2005.
8. Безверхний В. H., Безверхняя H. Б., Добрынина И. В., Инченко О. В., Устян А.Е. Об алгоритмических проблемах в группах Кокстера // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, №4. С. 23-50.
9. Лысенок И. Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Известия АН СССР. Сер. матем. 1989. Т. 53. №4. С. 814-832.
10. Buckley D.J., Derek F. Holt. The conjugacv problem in hyperbolic groups for finite lists of group elements // Int. J. of Algebra and Comput. 2013. Vol. 23, №5. P. 1127-1150.
11. Маканин Г. С. О нормализаторах группы кос // Математический сборник. 1971. Т. 86, №2. С. 171-179.
12. Безверхний В. Н. Решение проблемы обобщённой сопряжённости слов в С(р)&Т(q) - группах // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. С. 5-13.
13. Добрынина И. В. Об алгоритмических проблемах в обобщённых древесных структурах групп Кокстера // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, №2. С. 10-33.
14. Линдон Р., Шуп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
15. Инченко О. В. Проблемы равенства и сопряжённости слов в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, №2. С. 81-90.
16. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы степенной сопряжённости слов в группах Кокстера экстрабольшого типа // Дискретная математика. 2008. Т. 20, №3. С. 101-110.
17. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, №1. С. 13-22.
18. Безверхний В.Н., Инченко О. В. О кручении в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, №1. С. 5-12.
19. Безверхний В.Н., Добрынина И. В. Решение проблемы сопряжённости слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, №1. С. 10-33.
20. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема степенной сопряжённости слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т.11. С.63-75.
21. Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Решение проблемы обобщённой сопряжённости слов в группах Кокстера большого типа // Дискретная математика. 2005. Т. 17, №3. С. 123-145.
REFERENCES
1. Dehn, \!.. 1912, "Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen", Math. Annal., vol. 71, pp. 116-144.
2. Novikov, P. S., 1955, "On the algorithmic unsolvabilitv of the word problem in group theory", Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 44, pp. 3-143.
3. Coxeter, H.S.M., 1934, "Discrete groups generated by reflections", Ann. Math., vol. 35, pp. 588-621.
4. Tits, J., 1962, "Groupes simples et geometries associees", Proc. Int. Congress Math. Stocholm, pp. 197-221.
5. Schupp, P., 2002, "Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability", arXiv math. GR/0203020, vol. 1, pp. 1-21.
6. Appel, К. к Schupp, Р., 1983, "Artins groups and infinite Coxter groups", Ivent. Math., , vol. 72, pp. 201-220.
7. Bahls, P., 2005, The isomorphism problem in Coxeter groups, Imperial College Press, London.
8. Bezverkhnii, V. N., Bezverkhnvava, N. В., Dobrvnina, I. V., Inchenko О. V., Ustvan A. E, 2016, "On algorithmic problems in Coxeter groups", Chebyshevskii Sb., vol. 17, no. 4, pp. 23-50.
9. Lvsenok, I. G. 1990, "On some algorithmic properties of hyperbolic groups," Math. USSR-Izv., vol. 35, no. 1, pp. 145-163.
10. Buckley, D. J. к Derek, F. Holt, 2013, "The conjugacv problem in hyperbolic groups for finite lists of group elements", Int. J. of Algebra and Comput., vol. 23, no.5. pp. 1127-1150.
11. Makanin, G.S., 1971, "On normalizers in the braid group", Math. USSR-Sb., vol. 15, no. 2, pp. 167-175.
12. Bezverkhnii, V. N., 1998, "Solution of the problem of generalized conjugacv of words in С(p)&T(q) - groups", Izvestia of Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Inform,atics, vol. 4, pp. 5-13.
13. Dobrvnina, I. V., 2018, "On algorithmic problems in generalized tree structures of Coxeter groups", textitChebvshevskii Sb., vol. 19, no. 2, pp. 10-33.
14. Lyndon, R.& Schupp, P., 1980, Combinatorial group theory, Mir, Moscow.
15. Inchenko, O.V., 2005, "Problems of words and conjugacv of words in Coxeter groups with a tree structure", Chebyshevskii Sb., vol. 6, no. 2, pp. 81-90.
16. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2008, "A solution of the power conjugacv problem for words in the Coxeter groups of extra large type", Diskr. Mat., vol. 20, no. 3, pp. 101-110.
17. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2003, "On elements of finite order in Coxeter groups of large type", Izvestia of Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Inform,atics, vol. 9, no. 1, pp. 13-22.
18. Bezverkhnii, V. N. к Inchenko, О. V., 2005, "On torsion in Coxeter groups with tree structure", Chebyshevskii Sb., vol. 6, no. 1, pp. 5-12.
19. Bezverkhnii, V.N. к Dobrvnina, I. V., 2003,"Solution of the conjugacv problem for words in Coxeter groups of large type", Chebyshevskii Sb., , vol. 4, no. 1, pp. 10-33.
20. Bezverkhnii, V.N. к Inchenko, O.V., 2005, "Power conjugacv problem for words in Coxeter groups with tree structure", Izvestia of Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Informatics, vol. 11, pp. 63-75.
21. Bezverkhnii, V. N. к Dobrvnina, I. V., 2005, "Solution of the generalized conjugacv problem for words in Coxeter groups of large type", Diskr. Mat., vol. 17, no. 3, pp. 123-145.
Получено 16.04.2018 Принято к печати 15.10.2018
