О централизаторе элементов конечного порядка группы Кокстера с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.4

О ЦЕНТРАЛИЗАТОРЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА ГРУППЫ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

О.В. Инченко

Группы Кокстера являются группами, порожденными отражениями Евклидова пространства. Кроме того, группы Артина, а в частности группы кос, непосредственно используются в криптографии. Дано описание структуры централизатора элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой.

Ключевые слова: группа Кокстера, группа Артина, централизатор.

Понятие группы Кокстера возникло в теории дискретных групп, порождаемых отображениями относительно гиперплоскостей. Группы Кокстера введены Х.С.М. Кокстером в 1934 году [1].

Класс конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой был выделен В.Н. Безверхним в 2003 году [3].

Пусть G конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением

G = ^ai,...an;(aj)2,(ajaj)m'J, i, j = 1,nj имеет древесную структуру, т.е.

между вершинами конечного дерева-графа Г и образующими группы G можно установить соответствие такое, что если а1 и aj являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (aiaj )MlJ = 1, i Ф j, 2 < mij <<™.

Рассмотрим группу Gab =(a, b; a2, b, Rabj, где Rab - все циклически

ab .

И рассмотрим группу G = (^1,...an;(ai)2,i = 1,n, R, где R = URab. Пусть w - произвольное слово не равное единице в свободном произведении F = П* \ai a2 = 1у и равное единице в G. Тогда на основании теоремы

i=1 ^ '

ван Кампена слово w является граничной меткой связной односвязной диаграммы над R с граничными метками областей вида rab и

a1, a2, i = 1,n.

Введем следующие преобразования диаграммы: - диск с меткой a2 вырезаем, а границу склеиваем по ребру а;

127

несократимые слова равные единице в G

- если метки двух областей, имеющих общее ребро, принадлежат одной группе Gab, то удаляем это ребро и, если граничное слово равно

единице в группе F, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то вырезаем внутреннюю часть диска и проводим сокращения, склеивая взаимно обратные ребра, после чего заклеиваем дырку диском;

- если две области с метками из Gab, имеют общую вершину, они

объединяются и, если граничное слово равно единице в группе F, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то проводим сокращения указанным выше способом.

Диаграмму, полученную в результате данных преобразований, назовем приведенной. Областями диаграммы являются 2^-угольники с граничными метками из Rab.

Определение 1 [4]. Точку, разделяющую ребра области с разными метками и имеющую в диаграмме степень не менее 3 назовем особой.

Определение 2 [4]. Область D назовем деновской, если

i(D) < 1 d(D), где i(D) - число внутренних ребер, d(D) - число ребер в граничном цикле для D.

Деновским областям с граничными метками из R соответствуют R-сокращения.

Определение 3 [4]. Область с граничным контуром ege~ склеенная по ребру e и с меткой из R назовем S-i областью.

Лемма 1 [4]. Пусть связная односвязная приведенная диаграмма M над R не содержит S-i областей, тогда особая точка не может быть внутренней точкой диаграммы M.

Лемма 2 [4]. Связная односвязная диаграмма М не содержит S-i областей.

Следствие 1 [4]. Связная кольцевая приведенная диаграмма М над группой G, не содержащая S-i областей, является однослойной.

Следствие 2 [4]. Пусть G - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой и пусть w - циклически R приведенное слово в G, |w| > 1, сопряженное в G c некоторым элементом v е Gab . Тогда w е Gab и сопряжено с v в подгруппе Gb.

Лемма 3 [4]. Если связная кольцевая диаграмма М над группой G c граничными циклами а и ß, где ф(а) и f(ß) циклически и R несократимые слова, тогда если М содержит хотя бы одну S-i область, то все области данной диаграммы будут являться S-i областями.

Лемма 4 [4]. Пусть слова v и w сопряжены в группе G. Тогда, если |w| = 1 и v циклически и R несократимо в G, то |v| = 1.

Определение 4 [5]. Поддиаграмма П = Ц=1 Di образует полосу в R-приведенной диаграмме M с граничным циклом дЫ = уЦ 8, где у есть путь АВ, 8- АА1В1В (рис. 1), если

1. V/, / = 1, п -1 дDi I дDi+1 = е, где е - ребро;

2. V/, / = 1, п дDiIу = у/, где у/ - связный путь, причем |у| > 1;

3. дАПу = |д£1\(д£1Пу) и \дЭпIу| = Н\(д£пПу);

4. "j, j = 2,n -1 \dDjIg + 2 = \dDj\(dDjIg) A , g

B

Di

A

D

8

Рис. 1. R - сокращение

JBi

В слове w есть R- сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово w, выделяется полоса. При этом подслово слова w, соответствующее пути g заменяется словом, соответствующим пути 8 в приведенной диаграмме М.

Лемма 5 [5]. Пусть М связная односвязная диаграмма над R и дЫ = gU 8. И пусть j(g), ф(8) - не являются R-сократимыми словами. Тогда существует алгоритм, позволяющий определить, является ли одно из этих слов R - сократимым.

Теорема 1 [5]. Пусть w - циклически R и R - несократимое слово в

G

группе Кокстера с девесной структурой G; wn = 1 тогда и только тогда, когда w е Gab .

Теорема 2 [4]. Пусть G - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой. Слова v и w, длина каждого из которых равна единице в группе Кокстера с древесной структурой G, сопряжены тогда и только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа Г, которая соединяет вершины соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера.

Теорема 3 [4]. В группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.

Лемма 6 [7]. Пусть G - конечно-порожденная группа Кокстера с древесной структурой, с множеством образующих A, A| < ¥. И пусть

w е G, w - R и R - несократимое слово не равное единице в G. Слово w

равно некоторому слову v е Gj, где G] - параболическая подгруппа группы G с множеством образующих A], Aj с A . Тогда w - слово на образующих Aj.

Лемма 7 [6]. Пусть G - конечно-порожденная группа Кокстера с древесной структурой, с множеством образующих A, A| < ¥. И пусть

w е G, w - циклически R и R - несократимое слово не равное единице в G. Слово w сопряжено некоторому слову у е G], то есть существует слово

2 е G такое, что 2_1wz = у, где |у| > 2, G¡ - параболическая подгруппа с множеством образующих Aj, Aj с A . Тогда w, 2 - слова на образующих Aj, Сс^) = Сс. (w), где C(w) - централизатор элемента w.

В соответствии с теоремой 1 элементы конечного порядка группы G принадлежат подгруппам вида Gaь = ^а,Ь; а2,Ь2,(аЬ)ШаЬ^ .

Рассмотрим слово w е G конечного порядка такое, что = 1.

Каждому образующему группы Кокстера с древесной структурой G соответствует вершина в связном дереве - графе Г. Зафиксируем вершину, соответствующую некоторому образующему аг группы Кокстера G. Выделим в дереве - графе Г все возможные связные пути с началом в вершине а1. Обозначим через т(г, у) связный путь, соединяющий в графе Г вершину аг с вершиной а}. Тогда т(г,у) = е^.е, где е% - ребро в дереве - графе

Г, ^ = 1,1; г <¥.

Рассмотрим два пути т(г, у) и т(],к) и определим для них операцию умножения следующим образом: пусть т(г,_/) = е^.е и т^,к) = +2--ег , причем ю(е() = аj = а(е(+1), тогда т(гт(],к) = т(г,к), где т(г,к) - связный путь соединяющий вершины а1 и ак такой, что т(г,к) = е^2..ее+2..ег.

Определим для пути т(г, _/) = е^.е обратный путь:

x"1(г, у) = тО; г) = е-1е^--1..е-1е-1.

Каждому ребру е% в дереве - графе Г соответствует число шц симметрической матрицы Кокстера для данной группы. Если число шц нечетно, то образующие, соответствующие вершинам ребра е% сопряжены в группе Кокстера G. Если же число шц четно, то образующие, соответствующие вершинам ребра ек не сопряжены в группе G. При этом каждый из этих образующих сопряжен с самим собой частью определяющего соотношения, соответствующего данному ребру. А именно, пусть а(еб,) = а1,

ю(е5) = а у , ребру е8 соответствует соотношение вида (ajaj )т = 1. Тогда, если число Кокстера - нечетно, то образующий аг переходит в обра-

130

зующий aj при помощи сопряжения словом u е Gj четной длины, |u| = mj -1, причем слово u начинается на образующий a¡, и заканчивается на aj, то есть u имеет вид u = a¡ ..a^aj . Если же число Кокстера mj - четно, то образующий ai переходит в себя при помощи сопряжения словом u е Gj нечетной длины, |u| = mj -1, причем слово u начинается и заканчивается на образующий aj, то есть u имеет вид u = aja^..ataj .

Далее рассмотрим множество P связных путей вида t(i, j) с началом в вершине ai таких, что если t(i, j) = e¡e2..et, t > 2, то ребрам es, s = 1, t -1 соответствуют нечетные числа матрицы Кокстера, а ребру et

- четное. Если длина пути t(i, j) равна единице, то есть t(i, j) = e¡, то путь t(i, j) будет принадлежать множеству P лишь в том случае, когда ребру ej

- соответствует четное число Кокстера. Таким образом, множеству P принадлежат минимальные пути t(i, j).

Определение 5. Ребро ег дерева - графа Г назовем замыкающим ребром некоторого пути, если ему соответствует четное число Кокстера.

Разобьем каждый путь t(i, j) = e^.e из множества P, длина которого больше единицы на два подпути следующим образом: t(i,x) - под-путь, соединяющий вершины ai и ax и состоящий из ребер t(i, x) = e¡e2..etкаждому из которых соответствует нечетное число Кокстера; T(x,j) - подпуть, состоящий из замыкающего ребра et.

Множеству P принадлежат все связные минимальные пути t(i, j), исходящие из одной вершины, при этом последнее ребро каждого пути является замыкающим. Таким образом, все пути, принадлежащие множеству P, образуют дерево - граф T. Подвергнем граф T следующему преобразованию: пусть es замыкающее ребро некоторого пути дерева - графа

T такое, что a(es) = ax, w(es) = a j . Положим w(es) = ax, ребро es переобозначим через exj, а путь, соответствующий ребру es через t(x, j, x).

Применим данное преобразование ко всем замыкающим ребрам дерева -графа T. В результате получили новый связный граф Т, в котором каждая «ветка» заканчивается «петлей» (рис. 2).

Каждому пути t(i, j) из множества P такому, что |t(i, j)| > 1 поставим в соответствие путь tj = t(i, x) * t(x, j, x) * t(x, i). Если |t(i, j)| = 1, то tj = t(i, j, i). Ясно, что каждый путь t j также связен, при этом a(tij) = w(tj) = aj. Множество всех таких путей tj обозначим через

Pt.

Рис. 2. Граф Т

Рассмотрим отображение у: Е ® Z, где Е - множество ребер графа Т, а 2 - множество слов из подгрупп вида Оаь длины шаь -1.

Определим умножение на множестве Е ребер, следующим образом: пусть е8 и е8+1 ребра, принадлежащие графу Т такие, что ю(е8) = а(е;+1), тогда можно рассматривать произведение ребер е8 и е8+1 как связный путь т(а(е;), ю(е;+1)). Поднимем отображение у до произведения: пусть т(/,]) = е^.е связный путь, тогда

У(т(г, ] )) = ^(е^.е ) = УеОу^)..^) = 21.. 2Х, где у(е;) = , ; = 1, ^. При этом ^(е-1) = 2-1 и у^е-1) = у(1е ) = У(е; )у(е-1) = 2;2-1 = 20, где 20 - пустое слово и У«7,г)) = 2-1..2-1. У(\]) = У(т(г,х)т(х,у,х)т(х,г)) = = У^^.е^еуе--^-^-1) =

= 2122.2 -12х]'21-11..2-12-1, если \т{i,у^ > 1 и У(Ту ) = У(т(г,у,г)) = = У(е]) = 2у, если |т(/, у)| = 1. Таким образом, каждому пути тг] из множества Рт в группе Кокстера G будет соответствовать циклически сократимое слово вида ~г = 2122.2-12х ]'2-11..2-12-1, где каждое подслово

2

х]

ш

х]

1, г = 1, Г -1, 1£ х, ] £ и.

2г е ^аЬ, 2х ] е Gxj и |2/1 = шаЬ -1 Множество слов вида обозначим через 2Т, г < ¥ .

Определение 6. Слоговой длиной слова е 2Т назовем количество ребер соответствующего пути Т], и обозначим через ||~г||.

В соответствии с этим определением, если путь состоит из ? ребер, то слоговая длина = ^. С другой стороны каждому ребру пути Т] соответствует подслово из подгруппы вида Оаь. Таким образом, слоговая длина слова 2. равна количеству его подслов из подгрупп вида Оаь, длина

132

каждого из которых равна ть -1. Например, если

~ -1 -1 -1 ^ | | , = -14^-Ь*2 , где е &аЬ, . е Ох] и = таЪ -1,

= тх. -1, г = 1,г -1, 1£ х,у £ п, то \гЛ = 2 (г -1) +1.

1х]

Лемма 8[8]. Пусть ~1,~2,...,~п е , тогда ~2___~П|| > ||~/||,

/ = 1, п, п > 2.

Доказательство. Пусть п = 2.

Случай 1. |~1|| = 1 и ||~2|| = 1. Тогда слову ~ соответствует путь т., а слову ~2 - путь тш, причем каждый из путей т . и тш состоит из одного замыкающего ребра, а(т.) = а(т1к) = аг. Тогда слово ~ имеет вид ~ = алг...а]а1а]. Аналогично, слово ~2 = ака1 ...акаак. Рассмотрим произведение = а]а1 ...а]а1а]ака1 ...акаак. Слова ~ и ~2 Я - несократимы, так как

длина каждого из них не превосходит половины определяющего соотношения. Предположим, что сокращение возможно на стыке слов. Тогда, в представлении группы должно быть соотношение, содержащее образующие а. и ак, что не возможно, так как в этом случае в дереве - графе Г

выделится петля. По этой же причине к слову ~1~2 не применимо Я - сокращение.

Случай 2. ||~1|| > 1 и ||~2|| > 1. Слову ~ соответствует путь т., а слову ~2 - путь гк . Если пути т. и гк не имеют общих точек кроме вершины а, то рассуждения аналогичны случаю 1, то есть произведение 21~2 Я, Я - несократимо. При этом = 11~1|| +11221|.

Предположим теперь, что пути тг] и гк имеют общий подпуть

Т(/,Ь) = ^, \т(г,Ь)\ < |тт{|ту.\\ткПусть тг] = и

I = е1е2..е1ёг+1..ё,-1ёуе^.ё-Х.е^е;1. Тогда произведение ц после сокращения будет иметь вид:

^ц^гк = е1е2..е1е1+1..е^1ех.е-1..е1+1е1+1..е*-1еуке-1..е1+1е1 .е2 е1 .

Полученный путь является связным и несократимым. Теперь рассмотрим произведение слов ~1~2:

~ -1 -1 -1 -1 -1 = 2122..2121+1..*г-1*хрг-1^1+121 .*2 21 ,

~2 = 2122..21*1+1..zs-1*х 7*--11..*/+11г-1.г21гГ1,

~1~2 = 2122..2121+1-^-1*х jzГ-11..z/+1Z1+1-^-^кЙ..^-1^-1.*-1^-1. Слова ~ и ~2 Я, Я несократимы, так как состоят из подслов, принадлежащих подгруппам вида ОЬ, длины которых меньше половины определяющих соотношений. После проведения свободных сокращений в

133

слове ~122 Я и Я - сокращения могут быть только на стыке слов, но вследствие рассуждений аналогичных случаю 1 можно заключить, что полученное слово Я, Я - несократимо. Таким образом, > ||~||, г = 1,2.

Далее по индукции можно показать, что тогда |21~2...~Л > ||~.||, / = 1, п, п > 2.

Теорема 4 [8]. Пусть О - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой; слово w е О такое, что = 1, то есть ^ = аг, / = 1, п . Тогда централизатор элемента w есть подгруппа вида

С= (|~1,~2,..,~;,w; ~г2 = 1, w2 = 1, г = 1,^, где ~г - циклически сократимое слово вида ~г = 2122.2-1202/-11. 22121 1, где 2г е Оаь, подслово 20 соответствует замыкающему ребру и |2г-1 = шаь -1 , г = 0, ^ -1.

Доказательство. Множество РТ состоит из путей Т] = т(/, х) * т(х, ], х) * т(х, г), а(ту) = ю(тг]) = аг. Так как путь т(/, х) состоит из ребер, каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера, то по теореме 2 образующий аг сопряжен с образующим ах. Пути т(х, ], х)

соответствует замыкающее ребро, значит образующий ах переходит в себя. Путь т(х, г) = т-1(г,х), следовательно, образующий ах переходит в образующий аг. Таким образом, слово, соответствующее пути ту., переводит образующий а. в себя. Следовательно, слова вида ~г, г <¥ принадлежат централизатору элемента а..

Покажем теперь, что произвольное слово, принадлежащее централизатору слова единичной длины представимо в виде произведения слов вида 2г.

Пусть w = а1, 2е С^), то есть выполнено равенство 2а\2-1 = а\. Тогда существует связная приведенная кольцевая диаграмма М сопряженности слов, состоящая из Б-г областей такая, что |М| = ;, ф(8) = 9(7) = а1, где 8 и 7- внутренняя и внешняя границы диаграммы М соответственно.

Введем обозначения: 8 = 81,82,..,8; - внутренние границы областей Ц,..,Д соответственно, а 71,..,75 =7- внешние контуры этих областей. Каждой области диаграммы М соответствует некоторое ребро дерева -графа Г группы О. Рассмотрим некоторую область Бг (рис. 3) диаграммы

М. Пусть ф(8г) = а. и ф( 7 г) = а у. Тогда метка пути АВ есть слово 2у, г = 1,; (г - верхний индекс) из подгруппы О.] длины ш/у -1. Таким образом, слово 2 есть произведение ; слов вида 2[у .

Рис. 3. область

Заметим, что диаграмма М должна содержать хотя бы одну область Вк такую, что ф(8к) = ф(7к), то есть область, которой соответствует ребро ек с четным числом Кокстера, так как в противном случае в дереве - графе Г - выделится петля.

Отображение ф: Z ® Е ставит в соответствие слову 2 путь

Р = е1е2...ея, где ^1,^2,...,е£ - ребра дерева - графа Г соответствующие словам вида 21-], г = 1, £. При этом а(р) = а(е1) = со(р) = ®(е!1) = а1. Из вышесказанного, следует, что среди ребер е1,е2,...,ех есть хотя бы одно ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Если длина пути |р| = 1, то, очевидно, что слово 2 имеет требуемый вид. Пусть |р| = £ и пусть е1 - ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Тогда преобразуем путь р следующим образом: р = е^.е.(е/-11..е-1е1е2..е/--1 )ег+\...е£, где

ег--11..е1-1 - кратчайший путь до вершины, соответствующей образующему а1, не содержащий взаимно обратных ребер. В результате данных преобразований получим путь р0 , который будет иметь вид:

р0 = (е1е2. .е/е/-11е/-12. .е-1 )(е1е2. .е/-1е/+1..еЛе-11..еГ1)е1..еЛ-1..е£. При этом, ф(е1е2..егег:-11ег--12..е-1) = ~1, где слово ~1 имеет требуемый вид. Рассмотрим

путь р1 = (е^.е- 1ег-+1..еьеТ-1..е1-'1)е1..еь-1..е£. Ясно, что < |р|. Следовательно, по индукции получаем, что слово 2 представимо в виде произведения слов вида 2г.

Таким образом, теорема 4 доказана. Пусть слово w е О, = 1 и

С= ^21,22,..,2£,w; = 1, w2 = 1, г = 1,£

135

централизатор слова w. Обозначим через С^, подгруппу полученную из С(^) вычеркиванием из множества порождающих слов элемента w. Полученная подгруппа будет иметь следующее копредставление:

CwМ = ^ьЪ2,..,; = 1, г = 1,^.

Лемма 9 [8]. Пусть О - конечно-порожденная группа Кокстера с древесной структурой; слово w е О такое, что = 1, С^) - централизатор элемента w. Тогда группа СМ! (w) является свободным произведением

циклических групп порядка два и С^) = ^ w | w2^ х СМ! (w).

Доказательство. Рассмотрим некоторое слово w е О такое, что = 1. С^) - централизатор элемента w. По теореме 4 централизатор слова единичной длины имеет представление СМ = ^~1,~2,..,~5,w; ~2 = 1, w2 = 1, г = 1,^, где ~г - циклически сократимое слово вида ~г = ¿1*2..г *г-11..*21*11, где г/ е Оаь, подслово ¿о соответствует замыкающему ребру и |гг-1 = таь -1 , г = 0, г -1.

И рассмотрим группу СМ1 (w). Из доказательства леммы 8 следует,

что все слова, принадлежащие данной группе Я и Я - несократимы.

Группа Сн1 имеет копредставление

СМ!= ^~1,~2,..,~; = 1, г = 1,^ . Так как все порождающие группы

С (w) не связаны друг с другом определяющими соотношениями, то группу Сн1 можно представить как свободное произведение циклических групп порядка два, а именно ^ = П * \ ~г; = 1 /.

г=1 ^ '

Лемма 10. Для любых двух слов V и w конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой таких, что VI = = 1 справедливо Су (V) П Cw (w) = Е.

Доказательство. Пусть О - конечно-порожденная группа Кокстера с древесной структурой. Группе О соответствует конечный дерево-граф Г. По условию слова V и w являются образующими. Пусть V = а, w = Ь. Каждому образующему группы О соответствует вершина в дереве - графе Г. Обозначим через а и Ь вершины дерева - графа, соответствующие образующим а и Ь, а через р - путь, состоящий из ребер дерева-графа Г, который соединяет вершины а и Ь . По теореме 2 слова V и w, длина каждого из которых равна единице в группе Кокстера О, сопряжены тогда только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа Г, ко-

136

торая соединяет вершины соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера. Исходя из этого рассмотрим два случая:

1. Слова v и w не сопряжены в G. В этом случае по теореме 2 путь p содержит хотя бы одно ребро, которому соответствует четное число Кок-стера. Пусть |p| = 1, то есть путь p состоит из одного ребра e, причем ребру e соответствует четное число Кокстера mab.

Сначала рассмотрим случай, когда mab = 2, то есть ребру e соответствует соотношение abab = 1. Тогда aе C(b), bе C(a), при этом aе Cb(b), b £ Cb (b) и b е Ca (a), a £ Ca (a). Таким образом, Ca (a) I Cb (b) = E.

Пусть теперь mab = 4. Тогда ребру e соответствует соотношение abababab = 1. В этом случае abaе Cb(b), babе Ca(a). Таким образом, учитывая лемму 9, снова Ca (a) I Cb (b) = E.

В случаях, когда mab = 2k, k > 2 рассуждения аналогичны.

Пусть теперь |p| > 1, то есть p = eje2..en, где "i = 1,n, ei - ребро. Обозначим через pab - путь, для которого a(pab) = a, w(pab) = b . Тогда

pba - путь, для которого a(pba) = b, w(pba ) = a, при этом pab = pb¿. Будем рассматривать путь pab . Предположим, что каждому ребру ei ,

"i = 1, n -1 соответствует нечетное число Кокстера, а ребру en - четное. В

этом случае, централизатору C(a) принадлежит слово z = Z1Z2.2Z--1..Z-1, где каждое zt, "i = 1, n, соответствует ребру et и является куском определяющего соотношения длины mi} -1. А централизатору C(b) принадлежит слово zn такое, что zn соответствует ребру en, принадлежит той же подгруппе вида Gbx = (b,x;b2,x2,(bx)mbx^ что и zn также является куском определяющего соотношения длины mbx -1, но zn Ф zn. Таким образом, C(a) IC(b) = E и соответственно Ca (a) I Cb (b) = E.

Случай, когда четное число Кокстера соответствует некоторому ребру et, i = 2,n — 1, аналогичен, рассмотренному выше.

Если, путь p содержит несколько ребер, которым соответствует четное число Кокстера, то очевидно, что заключение леммы также справедливо.

2. Слова v и w сопряжены в группе Кокстера G некоторым словом z , то есть zbz—1 = a, слово z е G и является меткой пути pab (рис. 4), причем, учитывая теорему 2, путь pab состоит из ребер дерева-графа, каждому из которых соответствует нечетное число Кокстера. При этом, слово z яв-

137

ляется подсловом некоторых порождающих централизаторов С(а) и С(Ь), но ъ € С (а) и ъ € С (Ь) . В силу древесной структуры группы О имеем С (а) IС (Ь) = Е и соответственно Са (а) I Сь (Ь) = Е. Таким образом, лемма 10 доказана.

Pab

Рис. 4 Фрагмент дерева - графа

Следствие 3. Пусть подгруппа Gab = (а,b;а , b2Xab)mab) конечно

порожденной группы Кокстера с древесной структурой такая, что таЪ = 2. Тогда С (а) П С (b) = Gab . а

Следствие 4. Пусть подгруппа Gab = (а,b;а , b2,(ab)maM конечно

порожденной группы Кокстера с древесной структурой такая, что таЪ > 2,

тЛ - четно. Тогда С (а) П С (b) = ^(ab ; (ab )mab = 1

Следствие 5. Пусть подгруппа Gab а,b;а2, b2,(ab)maM конечно

порожденной группы Кокстера с древесной структурой такова, что mab -нечетно. Тогда С (а) П С (b) = E.

Определение 7. Дерево-граф, все ребра которого имеют общую вершину, назовем звездным.

Пусть конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой G соответствует конечный дерево - граф Г. Выделим в дереве - графе Г звездный подграф Г, такой, что количество вершин, принадлежащих графу Г больше или равно трех. Вершину, принадлежащую каждому ребру звездного графа, назовем центральной вершиной, а образующий, соответствующий центральной вершине - центральным образующим. Обозначим через S параболическую подгруппу, порожденную множеством S образующих, соответствующих вершинам данного графа.

Лемма 11 [9]. Пусть каждому ребру звездного графа соответствует число Кокстера равное двум. Тогда централизатор любого подмножества множества S есть циклическая подгруппа второго порядка, порожденная центральным образующим.

Доказательство. Пусть некоторое подмножество S' множества порождающих S группы состоит из трёх образующих и содержит центральный образующий. Пусть S' = (a,b, c}, и пусть a - центральный образующий. Централизатор C(a, b, c) = C(а) IC(b) IC(c). По следствию 3 C(а) n C(b) = Gab и C(а) IC(c) = Gac . Тогда

C(a) П C(b) П C(c) = Gab П Gac = (a, a2 = 1

В случае, когда подмножество £' имеет мощность большую трех, доказательство аналогично.

Пусть теперь множество £' не содержит центральный образующий. Ясно, что централизатор любого элемента множества £' порожден самим элементом и центральным образующим. Следовательно, пересечение централизаторов всех элементов множества £' есть циклическая подгруппа второго порядка, порожденная центральным образующим.

Таким образом, лемма 11 доказана.

Лемма 12[9]. Пусть каждому ребру звёздного графа соответствует четное число Кокстера, и хотя бы одному ребру - число Кокстера большее двух. Тогда централизатор множества £ есть единичная группа.

Доказательство. Пусть Г - звездный граф, £ - множество образующих, соответствующих вершинам данного графа, а - центральный образующий. Выделим в графе Г максимальный звездный подграф Т, каждому ребру которого соответствует число Кокстера равное двум. Обозначим через Q множество образующих, соответствующих вершинам графа

Т. По лемме 11, С(^) = (а; а2 У Теперь рассмотрим любое замыкающее

ребро звездного графа Г с вершинами а и х, которому соответствует четное число Кокстера большее двух. По следствию 4

С (а, х) = ((ах) аХ/2; (ах )тх = 1). Следовательно, С ^) IС (а, х) = Е.

руппа Кокстера с < ¥. Обозначим

Лемма 13 [9]. Пусть О - конечно-порождённая г древесной структурой, с множеством образующих А, |А

через В некоторое подмножество множества А. И пусть граф, соответствующий подгруппе группы О с множеством образующих В, не является звездным. Тогда централизатор множества В есть единичная группа.

Доказательство. Будем рассматривать случай, когда подгруппе группы О с множеством образующих В соответствует связный граф, не являющийся звездным. Для простоты положим |в| = 4, В = {а,Ь, с,. Будем

считать, что вершины а, Ь, с принадлежат звездному графу, причем Ь -центральная вершина. Если каждому ребру звездного графа соответствует число Кокстера, равное двум, то по лемме 5

139

С(а, Ь, с) = С (а) П С(Ь) П С(с) = (д, Ь2 = ^ .

И С(а, Ь, с, d) = (Ъ, Ь2 = 1П С(й) = Е. Если хотя бы одному из ребер

звездного графа соответствует число Кокстера большее двух, то по лемме 6 С(а, Ь, с) = Е, и, следовательно, С(а, Ь, с, d) = Е.

Если > 4 доказательство аналогично.

Теперь рассмотрим слово wе О конечного порядка такое, что

> 1.

Теорема 5 [8]. Пусть О - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой; w - циклически и ^-несократимое слово в О, w е ОаЬ , > 1, где подгруппа ОаЬ имеет копредставление

ОаЬ а,Ь;а2,Ь2,(аЬ)таЬ^. Тогда централизатор элемента w есть циклическая группа конечного порядка, порожденная элементом длины два.

Доказательство. По условию слово w - циклически и Я-несократимое слово в О, w е ОаЬ, следовательно, w имеет четную длину,

причем £ 2таЬ.

Пусть 2 е С^), то есть справедливо равенство zwz~l = w. По следствию 2, 2 е ОаЬ. Если 2 Я-сократимо, то можем перейти к более короткому Я-несократимому слову 2 о . Таким образом, 2о| £ 2таЬ.

Далее, если слово 2 имеет нечетную длину, то при сопряжении им слова w, получим циклическую перестановку w*. Следовательно, слово 2 должно иметь четную длину.

Таким образом, если слово w е ОаЬ циклически и Я-несократимо в

О, то С^) = аЬ; (аЬ).

Теорема 5 доказана.

Теорема 6 [8]. Пусть О - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой. И пусть ^1, W2,.., Wk)- конечное множество циклически Я несократимых слов конечного порядка такое, что к > 2, | > 1 ,

V/ = 1,к. Тогда централизатор С(Wl,W2,..,Wk) - есть, либо циклическая группа конечного порядка, либо единичная группа.

Доказательство. Пусть слова Wl,W2,..,Wk - представляют элементы

конечного порядка, к > 2, > 1 , V/ = 1, к.

Сначала рассмотрим случай, когда все слова Wl,W2,..,Wk принадлежат одной подгруппе вида ОаЬ. Слова Wl,W2,..,Wk имеют четную длину, так как в противном случае при помощи сопряжения можно перейти к

140

слову единичной длины. По теореме 5 централизатор любого слова конечного порядка четной длины из подгруппы вида Gab есть циклическая группа конечного порядка, порожденная словом длины два. Таким образом, если все слова w\,w^,.,wk принадлежат одной подгруппе вида Gab, то, учитывая следствие 2, C(w^,W2,..,wk) = C(w{)IC(W2)I..IC(wk) = = C(wi), то есть C(wi,w2,..,wk)- есть циклическая группа конечного порядка.

Пусть теперь слова w^,w2,..,wk сопряжены с элементами из разных подгрупп вида Gab и имеют четную длину. В этом случае C(w^,w2,..,wk) есть пересечение циклических подгрупп конечного порядка, порожденных разными элементами длины два. Таким образом, учитывая лемму 7 C(wb w2,.., wk) = E.

Теорема 7.[8] Пусть G - конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой. И пусть (w^,w2,..,wk)- конечное множество R - несократимых слов конечного порядка, k > 2, |wz| > 1 , "i = 1, k. Тогда централизатор C (wi, w2,.., wk) есть, либо циклическая группа конечного порядка, либо единичная подгруппа.

Доказательство. Разобьем множество слов (wi,w2,..,wk) на подмножества, удовлетворяющие условию теоремы 6, условиям лемм 11-13 и следствий 3-5. Тогда централизатор C(w1,w2,..,wk) есть пересечение централизаторов полученных подмножеств.

Список литературы

1. Coxeter H.S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. Vol. 35. P. 588-621.

2. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир,

1980.

3. Безверхний В.Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой //Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003. С. 33 - 34.

4. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Проблемы равенства и сопряженности в группах Кокстера с древесной структурой //Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 2. С. 81 - 90.

5. Безверхний В.Н., Инченко О.В. О кручении в группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 1. С. 5 - 12.

6. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Проблема степенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Сер. «Математика. Механика. Информатика». 2005. Т. 11. С. 63 - 75.

7. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Разрешимость проблемы вхождения в параболические подгруппы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Сер. «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». 2006. Вып. 1. С. 47-58.

8. Безверхний В.Н., Инченко О.В. Централизатор элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9. Вып. 1 (25). С. 17-28.

9. Инченко О.В. Пересечение некоторых подгрупп конечно порож-деннной группы Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9. Вып. 1 (25). С. 108 - 122.

10. Инченко О.В. Проблема обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 40 - 48.

Инченко Оксана Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доц., inchenko _ov@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ON CENTRALIZER OF ELEMENTS OF FINITE ORDER OF COXETER GROUP WITH A TREE STRUCTURE

O. V. Inchenko

Coxeter groups are groups generated by reflections of Euclidean space. In addition, the Artin groups, and in particular the braid groups, are directly used in cryptography. The paper describes the structure of the centralizer of elements offinite order offinitely generated Coxeter group with a tree structure.

Key words: Coxeter group, Artin group, centralizer.

Inchenko Oksana Vladimirovna, candidate of physico-mathematical sciences, do-cent, inchenko ovaimail.ru, Russia, Tula, Tula State University