Проблема обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 40-48

= МАТЕМАТИКА =

УДК 519.4

О.В. Инченко

Тульский государственный университет

ПРОБЛЕМА ОБОБЩЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В ГРУППАХ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

Аннотация. Проблема обобщенной сопряженности слов весьма актуальна в настоящее время, так как имеет непосредственное отношение к криптографии. В работе доказана разрешимость данной проблемы в классе конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой.

Пусть G конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой, заданная копредставлением

G = (ai, ...ап; (щ)2, (ща^т^, i,j£l,n, i ф j) ,

где rriij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при / ф j. rriij = nrijj, rriij ^ 2.

Каждой конечно-порожденной группе Кокстера G соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что, если щ и аj являются вершинами ребра е, ТО ребру соответствует соотношение вида {(¡iüj),n" = 1.

Будем говорить, что группа G имеет древесную структуру, если между вершинами конечного дерева-графа Г и образующими группы можно установить соответствие такое, что если и аj являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида {(¡iüj),n" = 1, i ф j. rriij ^ 2.

В графе Г* всегда можно выделить максимальный дерево-граф Г, который соответствует группе, имеющей древесную структуру, для которой группа Кокстера с графом Г* является гомоморфным образом.

Рассмотрим группу Gab = (а- b'- О2 -J>2 ■ Hab)- где Rab ^ все циклически несократимые слова, равные единице в Gai>- И рассмотрим группу G = (r/i. ...ап: (г/j )2 / = 1. п. Л), где R = UHai>- Пусть w — произвольное

_ п

слово, не равное единице в свободном произведении F = П*Ыаг2 = 1)

г=1

и равное единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является граничной меткой связной односвязной диаграммы над R с граничными метками областей вида гаь и г~^, а|, г = 1, п.

Введем следующие преобразования диаграммы.

Диск с меткой af вырезаем, а границу склеиваем по ребру а.

Если метки двух областей, имеющих общее ребро, принадлежат одной группе Gab, то удаляем это ребро, при этом, если граничное слово равно единице в группе F, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то вырезаем внутреннюю часть диска и проводим сокращения, склеивая взаимно обратные ребра, после чего заклеиваем дырку диском.

Если две области с метками из Gab, имеют общую вершину (рис. 1), они объединяются, при этом, если граничное слово равно единице в группе F, то вырезаем внутреннюю часть диска и заклеиваем по границе. Если же граничное слово не равно единице, но сократимо, то вырезаем внутреннюю часть диска и проводим сокращения, склеивая взаимно обратные ребра, после чего заклеиваем дырку диском.

Рис. 1. Преобразование диаграммы

Диаграмму, полученную в результате данных преобразований, назовем приведенной. Областями диаграммы являются 2/г-угольники с граничными метками из Яаь.

Определение 1 [2]. Точку, разделяющую ребра области с разными метками и имеющую в диаграмме степень не менее трех назовем особой.

Определение 2 [2]. Область Б назовем деповской, если {(И) < где {(Б) — число внутренних ребер, с?(-0) — число ребер в граничном цикле для И.

Пусть Бг — деновская область и слово ш является граничной меткой приведенной диаграммы М. Тогда деновское сокращение состоит в замене

подслова слова ю, соответствующего пути АЕС подсловом, соответствующим пути АВС. (рис. 2) Деновским областям с граничными метками из Я соответствуют 11-сокращения.

Рис. 2. Деновское сокращение

Определение 3 [3]. Слово ш назовем Я-несократимым (или Я-приве-

денным), если ш свободно приведено и не содержит подслова 5 такого, что [ [ 1 [ [ 1111 I £> I > 2 И? причем Г = вЬ, Г £ Я И |£> I > Щ.

Определение 4. Слово и называется циклически Я- несократимым, если любая его циклическая перестановка а* не содержит Я — сокращения.

Определение 5 [2]. Область с граничным контуром егуе~16, склеенная по ребру е и с меткой из Я назовем в — i областью.

Теорема 1 [2]. Пусть связная односвязная приведенная диаграмма М над Я не содержит в — г областей, тогда особая точка не может быть внутренней точкой диаграммы М.

Следствие 1 [Из теоремы 1]. Связная кольцевая приведенная диаграмма М, не содержащая областей, над группой (7 является однослойной.

Лемма 1 [3]. Пусть слова V и 'ш сопряжены в группе Кокстера С. Тогда, если \'ш\ = 1 и V циклически и Я несократимо в С, то |г>| = 1.

Теорема 2. Пусть С — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой. Слова V и 'ш, длина каждого из которых равна единице в группе Кокстера б', сопряжены тогда только тогда, когда существует ломанная, состоящая из ребер дерева-графа Г, которая соединяет вершины соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера.

Теорема 3 [2]. В конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема сопряженности слов.

Определение б [3]. Поддиаграмма тт = иГ=1 образует полосу в Я-приведенной диаграмме М с граничным циклом дМ = 7 и 6, АВ = ОП П 7, А\В\ = дж Г) £ (рис. 3), если

1. Уг, г = 1, п — 1 ¿Шг Р)сШг+1 = е, где е —реброж;

2. Уг, г = 1, п ¿Ш* п 7 = 7г, где 7г — связанный путь, причем |7*| ^ 1;

3. = |£Ш1\(сШ1П7)| И |£Ш„ГЫ = |£Ш„\(сШ„ П'у)!;

4. V;, ; = 2,п - 1 Iдо, Пт = №'ГШ

1-І-

Оп

В У

-І—I-

Рис. 3. Л-сокращение

В слове ш есть ^-сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово ш, выделяется полоса. При этом подслово слова ш, соответствующее пути АВ заменяется словом, соответствующим пути АА1В1В в приведенной диаграмме М.

Определение 7 [7]. Слово и называется циклически Я и Я- несократимым, если любая его циклическая перестановка а* не содержит Я и Я -сокращения.

Теорема 4 [4]. Пусть М связная односвязная диаграмма над Я и ОМ = 7и^. И пусть ^р(5) — не являются Я-сократимыми слова-

ми. Тогда существует алгоритм, позволяющий определить, является ли одно из этих слов Я- сократимым.

Рассмотрим связную кольцевую приведенную Я-диаграмму М сопряженности слов у\ш.Пусть ^(7) — 'ш) ^(д) — ^ гДе 7 — внешняя граница диаграммы М, а § — внутренняя.

Предположим, что диаграмма М состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа, \М\ = п. Для того, чтобы фрагмент дерева - графа, соответствующий диаграмме М не содержал петель, необходимо, чтобы области второго (или третьего) типа соответствовало нечетное число Кокстера. Но тогда |ги| < |г>| (или |ги| > |г>|), а точнее |ги| + 2 = |г>| (или |ги| = |г>| + 2). В этом случае переход с помощью сопряжения от слова большей длины к слову меньшей длины назовем кольцевым сокращением.

Определение 8 [5]. Циклически Я и Д-несократимое слово шв группе Кокстера (7 назовем тупиковым, если к нему не применимо кольцевое сокращение.

Лемма 2 [5]. Пусть у, ии — тупиковые слова из С и пусть у и 'ш сопряжены в (7. Тогда |г>| = |ги| и никакое слово и £ С такое, что |м| < |ги| не сопряжено с V.

Проблема обобщенной сопряженности слов состоит в том, что необходимо установить существует ли алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов { ii'i } j=f77 • {('i 1^=777 из группы определить, существует ли такое z из той же группы, что <к”=1 1 ii'iZ = г*).

Докажем следующее утверждение:

Теорема 5. Централизатор конечно порождённой подгруппы Н группы Кокстера с древесной структурой G есть конечно порождённая подгруппа и существует алгоритм, выписывающий образующие централизатора.

Доказательство. Пусть М — кольцевая Н диаграмма с граничными циклами 7 и 5. Рассмотрим два последовательных ребра е' и е", е' П е" = г . Тогда замкнутый путь I £ М с начальной и конечной точкой v: I = е"е\...ent, где t = ( ' либо t = е"-1, либо I = e,,~1e,1...e,nt,t где t' = e/_1 либо t' = е"-1 назовем циклическим в М. если I гомотопен 7, соответственно д. Кратчайший из всех циклических путей кольцевой Н диаграммы М. проходящих через некоторую точку г. принадлежащую ребру с. с G М. назовем циклическим геодезическим путем с началом и концом в v.

Пусть v и 1Г слова, принадлежащие группе Кокстера с древесной структурой G с множеством образующих А = {ai,... а„}. Допустим, что слова v и w тупиковые и сопряжены в G. Тоща существует связная кольцевая приведенная R------диаграмма с граничными циклами S и 7, метками которых

являются соответственно слова v и w.

Пусть слово v = х, х £ {ai}i=f-—, тогда по лемме 1 \w\ = 1, то есть (с = у. у £ {a i} ¿= 1 .п и диаграмма сопряженности этих слов состоит из S — ¿областей. Пусть 5 = £о, 8\,...,5и = 7 граничные циклы II диаграмм, полученных из М = Mq последовательным удалением S — i областей. Тогда <р(6{) = Х{, Xi £ {di } j=f77 и любые два элемента и Xi, i = 1, n, где xq = x, xn = y сопряжены в подгруппе GXi^lXi куском определяющего соотноше-

п

ПИЯ подгруппы GXi_lXi длины - 1). Пусть то = bnXi^lXi - 1),

i=1

где mXi^lXi - элементы матрицы Кокстера. Тогда длина любого циклического геодезического пути заключена в пределах |г| ^(1^2 |у| + 2т{).

Пусть слова v и ir не являются образующими группы Кокстера с древесной структурой G. Тогда v и te будут граничными метками связной кольцевой приведенной Н диаграммы М. Так как слова v и w тупиковые и сопряжены в С?, то по лемме 2 | г| = \w\. По следствию 1 диаграмма М является однослойной. Количество областей диаграммы М ограничено сверху числом 2\v\, количество ребер циклического геодезического пути — числом |г| -2т +2. Таким образом, длина любого циклического геодезического пути заключена в пределах |г>| d ^ 2 \v\ + \v\-2m + 2 или |г>| ^ d ^ 2 |г»| (1+ш)+2, где т = umx{mij}.mij — элементы матрицы Кокстера для группы G.

Пусть w 1, (г2. .... (гт — образующие Н. где Я — подгруппа G. И пусть

_i

w 1 = WlO тупиковое СЛОВО И V/. 1 < / 111. U'i = CiWiQCi , где IVi также является тупиковым; А(к'ц). к'ц)) — связная кольцевая приведённая R-

диаграмма сопряженности слова W{о слову W{о- Введем обозначения с = max{|ri |.... \ст\}. где |ci| = 0, S(wi,wi), / = 1. т - множество слов, длины di которых заключены в пределах: \w{\ ^ d{ ^ 2 \ w{ \ (1 + т) + 2 + 2 |с|. Рассмотрим последовательность

w[°\ ...,w£\H2,...,Hp,w[p\ ..., w4p),... (1)

где Vi, 1 < г < p, = ^г),..., ЯГ1,^"1^ = «4°, Яг G {аг},

vrj's) G S(wj,wj) и является меткой циклического геодезического пути диаграммы A(wjo,Wjo), 1 ^ j ^ п, 0 ^ s ^ р, = cjWjocJ1.

Последовательность (1) называется базисной. Базисную последовательность (1) назовём фундаментальной, если для V?, s; 0 ^ j < s < р, наборы

..., Wn и (w[S\ ..., Wn ^) различны и существует целое V, 0 ^ V < р

(v) (р) (v) (р)

такое, что w\ ! = w\ ,.... ir„ = ir,, .

Лемма 3. Если последовательность фундаментальная, то слово 1 1

Н\Н2...НрН~ ...Н^ принадлежит централизатору подгруппы Я. Доказательство очевидно.

Определение 9. Слово Н\ H2...HVH^1 ...Яр1. связанное с фундаментальной последовательностью (1), назовём базисным словом.

Лемма 4. Если последовательность (1) является фундаментальной базисной последовательностью, то р ^ |5| = |5(iüi, w{) \... \S(wn, wn)\.

Лемма 5. Число фундаментальных базисных последовательностей конечно.

Лемма 6. Пусть F G Gg{H), Cg{H) — централизатор H в G. Тогда

существует разбиение F в произведение образующих F = HiH2...Hm, Hi G

{ai}, i = l,m и базисная последовательность, связанная с данными разбита (о) (о) JJ (1) (1) JJ тт (га) (га)

ениями г , то есть w{ ,..., Wn , Ях, w{ ,..., Wn , Я2,..., Ят, w{ ,..., Wn .

Доказательство. Пусть F g Cg(Я), F ф 1, тогда имеет место

-> -> ________________-i _______-i

следующая система соотношений F~ w\F = w\, r2 u)2qC2Fc2 =

^20, C2F-1C21W2QC2FC21 = W20, •••, cnF-1c-1wn0cnFc-1 = Wn0.

Пусть V/. i = 2,n, 3Xi, Yi, f’j такие, что F = Xjf’jУ* (где символ = обозначает графическое равенство), (4 = г• Л'“1 = г'/У';. В результате имеем следующие равенства: /*’^1 vr j F = vr j. с" F~1 r • “1 и'ц)с[ Fic"~1 = (Гц). i = 2,n, где каждое из слов с'F*с''_1-несократимо.

Рассмотрим связные кольцевые приведенные диаграммы Шіо) с

граничными циклами 7^°) и 6^г0\ где (/7(7^°^) = </7((^г0'>) = и^)1? г = 1,п

(при г = 1, гиго = юг).

Обозначим через О(г0) начальную точку на ~Дг()) и через О/(г0) начальную точку на д(г0). г = 1,п. Тогда в диаграмме А(шго? ^¿о)? т = 1,п содержится путь г)і, а (т/г) = а;(т/г) = О^г0), где а(т/) пш(^) - начало и конец пути

т/ соответственно. При этом <р(г/г) = у"(//¿) = г'/•¿г"-1. г = 2, п. Пусть

^(т/і) = .Р = Я,1 ^#2*— разбиение .Р в диаграмме АЦо,иііо) на

образующие. Тогда ^ = Н[1) Н^К..Н^Н^...Н^ Н^+ ^.Я^,

где 1 1+1 1 1+1

х, = Я = = я«’1-я“(1)-

С другой стороны, каждое <р{щ) = с'^с'/_1 в соответствующей диаграмме А(чсц), и'ц)) разбивается на образующие

<р(гц) =Щг)Щг)...Н{г Н{г ...Щ/Щ/ ...НУ,.,,

12 а* а* m rn т(г)

(г) тт(г) тт(г) Тт(г) тт(г) тт{г) тт(г

і ...£lgi -Л ai

ч+і P% + i

где

с/ = н\1)Щ1)...Н{\), ^ = Я(7 ...Я^гЛ с''-1 = яУ ...Я(г

г 12 аг ? г аг+1 уз* ? г /3г+1 т(г)

Отсюда следуют соотношения /•* = Я -,^ ...Н^ = Я'V ...ЯЙ}. Заметим,

а1 + 1 <°1 аг + 1 "г

что разбиение X* определяется разбиением Р1. Аналогично, разбиение У] также определяется разбиением У. Следовательно, X*, У* на искомое разбиение .Р не влияют. В качестве искомого возьмем разбиение <р(щ) = ^ в диаграмме АЦо,№ю). Получим разбиение Р1 = Н\ Я2...ЯШ и последовательность

” 1 • •••• Я • “ 1 t ” 1 • •••• Я . п 2 • .... IJ ni - 1 • •••• Я 5

Связанную с полученным разбиением и удовлетворяющую условиям: V/. г = 1,7П Я,“1«^*-1^ = H~1Wn~1^Hi = iün\ Я* G {а*}, G

S(wj,wj), J = l,n, s = 1, m.

JIemma 7. Множество всех базисных слов порождает централизатор подгруппы Я.

Из лемм 3-7 следует справедливость теоремы 5.

Теорема 6. В конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.

Доказательство. Пусть даны множества слов и'\. уг2. ... wn и i'\. г2.... г„. Необходимо установить Бг, z G G, что <k-'=1 (z^1 ii'iZ = V{).

Пусть слова К'\ = УГц) И = Г) О ЯВЛЯЮТСЯ тупиковыми. Пусть У Г* =

_^

<Ни'И)а{ ? <’г = 1ч<'И)Ь.1 , г = 2, п, где УГго и у'¿о являются тупиковыми. Если предположить, что эти множества сопряжены, то У/. г = 1,п, |уг*о| = (/'¿о|. И если какое-то ИЗ ЧГц) есть образующий ж, то сопряженное с ним слово у'г о тоже образующий у. Пусть А(чгц), ('{о) - кольцевая связная приведенная диаграмма сопряженности слов уг*о и гц). \а\ = тах {\а 11. |г./2| • ••• к» |}- \Ь\ =

тахЦЬх), |Ь2|, |Ы}, гДе 1«11 = 1^11 = 0.

Обозначим через 5(УГ*. Г*). г = 1, П множество всех СЛОВ, длина которых заключена в пределах: [го^оI ^ ^ (N¿01 + Ко!) (1 + то) + 2 + |а| + \Ь\.

Введем обозначения Уг, г = 1 ,п, и>г = уг.-0) и рассмотрим базисные после-

(о) (о)

довательности, соответствующие множеству у г | ,.... и'п :

»<0),Яь В)'4,ш«, Я2,.... Я,,»«...............»?>, (2)

где V«, I • / • и. 7_/. и • _/ • А’, 6 V* * и является меткой цикличе-

СКОГО геодезического пути диаграммы А('1Сц), !'{()).

Базисная последовательность (2) называется особой, если она не содержит фундаментальную последовательность или является пустой, то есть все Щ = 1. Слово Н\ #2...#д.. соответствующее особой базисной последовательности, назовем особым базисным словом.

Если в базисной последовательности (2) и)[к^ = уч ..... уг^ = уп, то слова ъи 1,.., обобщенно сопряжены словам у;х,.., уп.

Лемма 8. Если последовательность (2) является особой базисной по-

следовательностью, то к ^ |5| = |5(и;1,г^))... |5(шп,у;п)|.

Лемма 9. Число особых базисных последовательностей конечно.

Лемма 10. Пусть Р1 — какое-то решение системы <к”=1 1 у г * ,;. = у^),

тогда существует разбиение Р1 в произведение кусков Р1 = Н1Н2...Нт, Н{ £ {«г}? г = 1,то и базисная последовательность, связанная с данным разбиением Р\ то есть

л (т) (т)

гдеуо\ ;

Доказательство аналогично доказательству леммы 6.

Лемма 11. Пусть Р1 — какое-то решение системы кг’=1 Чг*,; = у^)

и (3) — базисная последовательность, соответствующая данному разбиению Р1. Тогда из последовательности (3) можно выделить особую подпоследовательность, такую, что соответствующее ей базисное слово Р1 является решением системы.

Доказательство. Если система = г*) такова, что V/. 1 ^

/ ^ п. и'{ = г*. 'го в качестве особой базисной последовательности рассмотрим пустую подпоследовательность с /-’ = 1. Если (3) не является особой и 3_/. _/ = 1,п, то существуют целые числа £,&,0^£<&<т такие, что подпоследовательность

ш[°\ ..., у4°\ Яь .., Щ, ш%\нь+1,..., Нк,ш[к\ ..., «4*)

является фендаментальной. Вычеркнув из (3) подпоследовательность гг (*+1) (*+1) ТТ (*) (к) е*

Я/.+1. у г | ..... и',, ..... г/д.. уг) и;« , получим оазисную последователь-

ность слов, являющуюся решением системы. Если полученная базисная последовательность не является особой, то снова применим к ней вышеуказанный процесс.

Из лемм 8-11 следует доказательство теоремы 6.

Теорема 7. Пусть С? — конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой и {^г)г=т^,1 множества слов из С?. Если

.Р - какое-то решение системы [,г~1 угр = у^), то множество слов Сс{Н) • Р, где Сс{Н) - централизатор подгруппы Н, порожденной словами является множеством всех решений системы.

Теорема 8. Существует алгоритм, позволяющий для любого конечного множества слов из конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой выписать образующие их нормализатора.

Библиографический список

1. Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа / В.Н. Безверхний, И.В. Добрынина // Чебышевский сборник. -2004. -Т. 5. -Вып. 1. -С.39-63.

2. Безверхний В.Н. Проблемы равенства и сопряженности в группах Кокстера с древесной структурой / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Чебышевский сборник. -2005. -Т. б. -Вып. 2.

3. Безверхний В.Н. О кручении в группах Кокстера с древесной структурой / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Чебышевский сборник. -2005. -Т. б. -Вып. 1. -С. 5-12.

4. Безверхний В.Н. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера с древесной структурой / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Чебышевский сборник. -2005. -Т. б. -Вып. 2.

5. Безверхний В.Н. Разрешимость проблемы вхождения в параболические подгруппы в группах Кокстера с древесной структурой / В.Н. Безверхний, О.В. Инченко // Известия ТулГУ. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -2006. -Вып. 1. -С.47-58.

6. Линдон Р. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. -М: Мир, 1980.

Поступило 15.03.2008