Решение проблемы обобщенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 61-72

= Математика =

УДК 519.4

Решение проблемы обобщенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой

О.Ю. Платонова

Аннотация. Доказывается, что в группах Артина с древесной структурой разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.

Ключевые слова: группа Артина с древесной структурой, диаграмма, область.

Введение

Пусть С — конечно порожденная группа Артина с копредставлением

С = (а,1, а2ап; (ага] )т = (а] аг)т*),

где (агО] )т* = агО]аг... — слово длины т], состоящее из т] чередующихся букв аг и а], г = ], т] — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, т] ^ 2 при г = ].

Каждой конечно порожденной группе Артина С соответствует конечный граф Г*, между вершинами которого и образующими группы можно установить соответствие такое, что если аг и а] являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (агО] )т* = (а]аг)т* группы.

В графе Г* можно выделить максимальное дерево-граф Г, Г С Г*.

Будем говорить, что группа Артина Сг имеет древесную структуру, если между вершинами конечного дерева-графа Г и образующими группы можно установить соответствие такое, что если аг и а] являются вершинами ребра е, то ребру соответствует соотношение вида (ага^)т* = (а]аг)тзг. То есть максимальное дерево-граф Г соответствует группе, имеющей древесную структуру.

Тогда группа Сг отображается с помощью гомоморфизма ф на группу С, т.е. ф : Сг —► С.

Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой была решена в работе [2].

Нашей целью является решение проблемы обобщенной сопряженности слов и описание централизатора конечно порожденной подгруппы в группах Артина с древесной структурой.

Проблема обобщенной сопряженности слов состоит в том, что необходимо установить существует ли алгоритм, позволяющий для любых двух конечных множеств слов {Wi}i=Yn, {Vi}i=Tn из группы определить,

существует ли такое z из той же группы, что &n=l (z-1 wiz = Vi)-

Пусть ai и aj вершины некоторого ребра е дерево-графа Г. Группа, порожденная образующими ai и aj, имеет копредставление Gij = (ai,aj; (aiaj)mij = {ajai)m,jl). Обозначим через Rij множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе Gij - Тогда копредставление группы Gij запишем через Gij = {ai, aj; Rj)- Пусть группа G порождена более чем двумя образующими.

Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением G = {a1, a2,..., an; R) ,R = URij - Рассмотрим свободную

n

группу F = П* {a i), пусть w £ F, обозначим через | w | длину, а через || w ||

i=1

— слоговую длину слова w в группе F.

Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена слово w является граничной меткой связной односвязной диаграммы над R-

Введем следующие преобразования диаграммы (*):

1- Пусть области D1,D2 пересекаются по ребру p(dD1 П dD2), имеющей слоговую длину || <ß(dD1 П dD2) ||> 1 и если || <ß(dD1 П dD2) ||= 1 и <^(dD1) £ £ Gab, p(dD2) £ Gab, тогда, стирая это ребро, объединяем D1 и D2 в одну область D. Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу-

2. Если две области D1,D2, где ф(dD1) £ Gab, p(dD2) £ Gab, имеют общую вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область D и, если метка полученной области D равна единице в свободной группе F, то удалив эту область, склеиваем ее границу- Если же метка не равна единице, но сократима, то проводим сокращения-

Определение 1. Область D назовем деновской, если i(D) < 1 d(D), где i(D) — число внутренних ребер, d(D) - число ребер в граничном цикле для D-

Определение 2. Область с граничным контуром e^e-1ö, склеенную по ребру е, и с меткой из R назовем S — i областью.

Рассмотрим произвольное слово w £ G, где G — группа Артина с древесной структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является меткой связной односвязной диаграммы M над R. Рассмотрим граничную область D карты M. Обозначим через y внешнюю границу диаграммы M. Если D является деновской областью, то || dD П y II >|| dD\(dD П y) ||. Удаление деновской области D диаграммы M, то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением

диаграммы М или К-сокращением. Будем говорить, что М является К-приведенной, если она не содержит деновских областей.

Определение 3. Слово ш є С, С — группа Артина с древесной структурой, называется К-приведенным, если ш свободно приведено в ^ и не содержит подслово в, являющееся подсловом некоторого соотношения г, г = в ■ ¿, где ||в|| > 1 ||г||. Назовем ш циклически К-приведенным, если все его циклические перестановки являются К - приведенными словами.

Лемма 1. [2] Если связная кольцевая диаграмма М над группой С с граничными циклами 5 и 7, где ф(^), ф(5) — циклически К-несократимые слова, тогда, если М содержит хотя бы одну Б — і область, то все области данной диаграммы будут являться Б — і областями.

Лемма 2. [2] Пусть слова ш, V сопряжены в группе С. Тогда, если ||ш|| = = 1 и V циклически К-несократимо в С, то ||V | = 1.

Безверхним В.Н. в статье [1] были доказаны следующие утверждения:

Лемма 3. [1] Пусть Сц = {сц, ац; {аіац)тг] = {ацаі)т,]г) — группа Артина и слово ш є Сц циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, 'равную 2тц, и равно единице в Сц. Тогда при тц = 2к + 1 оно имеет вид

а) агіпацаі... аіа-та-1... а-1, либо

б) аіацаі... а'та-1 а-1... а-т, либо им обратные; а при тц = 2к, к > 1

а ’) атац... аіаца-та-1... а-1, либо

б’) аіац... (мата-1... а-т, либо им обратные, т є ^\{0}}.

Лемма 4. [1] Пусть М — связная односвязная К, К-приведенная кольцевая диаграмма над группой Сц, 7, 5 — граничные циклы М и ф(^) = хр. Тогда ф(5) = ур, где х,у є {а±1, а±1}.

Данная лемма сформулирована и доказана для групп Артина большого типа. Легко видеть, что она справедлива и для групп Артина с древесной структурой.

Определение 4. Поддиаграмма П = \Х=1 Оі образует полосу в К-приведенной диаграмме М с граничным циклом дМ = 7 и 5, где 7 есть путь А В', 5 — А'А,1В/1 В', АВ = д П П 7, А1В1 = д П П 5 (Рис.1), если

1. Уі, і = 1,... ,п — 1: дБі П дВі+1 = еі где еі — ребро;

2. У і, і = 1,... ,п: дОі П 7 = ^і, где 7і — связный путь, причем | 7і |^ 1;

3. | дБ1 П 7 |=| дВ1\(дБ1 П 7) | и | дОп П 7 | = | дОп\(дОп П 7) |;

4. У], І = 2,... ,п — 1: | дБц П 7 | +2 = дБц\(дБц П 7)|.

В слове ш есть Д-сокращение, если в приведенной диаграмме М, граничной меткой которой является слово ш, содержится полоса. При этом подслово р(ЛБ) слова ш, соответствующее пути 7 заменяется словом ^(АЛхБхБ) в приведенной диаграмме М.

А’ А Г 1 1 ' 3 Б’

| 1 1 1

А’,

А 8

Рис. 1. Д-сокращение

Б, Б’,

Слово и называется циклически Д-несократимым, если любая его циклическая перестановка и* не содержит Д-сокращения.

1. Параметр кольцевой диаграммы

Рассмотрим кольцевую Д-диаграмму М, где 5 является внутренним, а 7

— внешним граничными циклами, дМ = 5 и 7.

Определение 5. Область Б назовем областью первого типа, если \\дБ П П 7|| = \дБ П 5|| , где й(Б) = \\дБ П 7|| + \дБ П 5|| + 2 .

Определение 6. Область Б назовем областью второго типа, если \\дБ П П 7|| + 2 = \\дБ П 5||, где й(Б) = \\дБ П 7|| + \\дБ П 5|| + 2.

Определение 7. Область Б назовем областью третьего типа, если ЦдБ П 71| = ЦдБ П 5|| + 2, где й(Б) = ЦдБ П 71| + ЦдБ П 5|| + 2.

Рис. 2. Д кольцевые диаграммы

Рассмотрим связную кольцевую приведенную Д-диаграмму М сопряженности слов V и ш. Пусть ^(^) = ш, ^(5) = V, где 7 — внешняя граница диаграммы М, а 5 — внутренняя.

Предположим, что диаграмма состоит из областей первого типа и одной области второго (или третьего) типа. Тогда 11V| = ||ш|| +2, или наоборот 1|ш|| = |М| +2. В этом случае переход с помощью сопряжения от слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым сокращением.

Определение 8. Циклически Д и Д — несократимое слово ш в группе Артина С назовем тупиковым, если к нему нельзя применить кольцевое сокращение.

Автором в статье [3] было доказано

Лемма 5. Пусть ш, V — тупиковые слова из С и пусть ш, V сопряжены в С. Тогда ||ш|| = 11V|| и никакое слово и Е С такое, что ||и|| < IV|| не сопряжено с V.

Теорема 1. В группе Артина с древесной структурой разрешима проблема степенной сопряженности,, т.е. существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов ш^ Е С установить существуют ли натуральные числа т и п, и элемент г такие, что г-1штг = Vй.

Пусть М — кольцевая связная приведенная Д-диаграмма над С (С — группа Артина с древесной структурой) с граничными циклами а, т, ^(а), ф(т) являются тупиковыми. Из доказательства теоремы 1 следует, что, если область первого типа Б С М имеет й(Б) > 2таь, то мы можем представить Б в виде Б = иБ*, где й(Б*) = 2таЬ и все Б* являются областями первого типа, а метки общих ребер ^(дБ' П дБ) = р(дБ' П дБ*),^(дБ* П дБ*),...

..., ^(дБ* П дБ") = р(дБ П дБ") соседних областей содрежат одинаковую степень образующего. Если же Б является областью второго или третьего типа, то единственно возможно с1(Б) = 2таь.

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Следствие. Пусть М — кольцевая связная приведенная Д-диаграмма над С (С — группа Артина с древесной структурой) с граничными циклами а, т, р(а), ф(т) являются тупиковыми. Тогда существует кольцевая связная приведенная Д-диаграмма М', полученная из данной диаграммы М, в которой для каждой области Б С М' имеем ||^>(дБ)|| = 2таь.

Пусть М — кольцевая связная приведенная Д-диаграмма над С (С

— группа Артина с древесной структурой) с граничными циклами а, т, ф(а), ф(т) являются тупиковыми. Тогда, согласно следствию 2, построим кольцевую связную приведенную Д-диаграмму М', преобразуя данную диаграмму М, в которой для каждой области Б С М' имеем !^(дБ) || = 2таь. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 6. Пусть M' — кольцевая связная приведенная R-диаграмма над G (G — группа Артина с древесной структурой) с граничными циклами а, т, р(а), ф(т) являются тупиковыми, и для каждой области D С M' имеем ||^>(dD)|| = 2mab. Тогда меткой каждой области D из M' является одно из слов: при mab = 2k + 1 вида amba... ab-ma-1b-1, aba... amb-la-lb-m, либо им обратные; а при mab = 2k, k > 1, вида amba... aba-m b-1.. .a-1 b-1, aba.. .abma-1b-1.. .a-1b-m, либо им обратные, при k = 1 вида ambla-mb-1, либо им обратные, m, l Е Z\{0}; и существует целое положительное число р, зависящее от р(а), <^(т), такое что для каждой области D С M' имеем \m\ < р.

Доказательство. Рассмотрим кольцевую связную приведенную R-диаграмму M', как на рис. 2а, и для каждой области D С M' имеем ||^>(dD)|| = 2mab. Тогда на основании леммы 3 меткой каждой области D из M' является одно из слов: при mab = 2k + 1 вида amba.. .ab-ma-1b-1, aba.. .amb-1a-1b-m, либо им обратные; а при mab = 2k,k > 1, вида amba.. .aba-mb-1.. .a-1b-1, aba.. .abma-1b-1.. .a-1b-m, либо им обратные, при k = 1 вида ambla-mb-1, либо им обратные, m,l Е Z\{0}.

Покажем, что параметр m, входящий в метки областей из M', ограничен числом р, зависящим от р(а), р(т). Пусть D С M', dD = Yeóe', dD П а = y, dD П т = ó, e = dD П dD', e' = dD П dD'', D', D'' С M'.

1. Пусть диаграмма M' состоит из областей первого типа. При этом возможны случаи: А1) <^(y) содержит слог xm, x Е {a¿1, b^1} и ^(ó) содержит слог y-m, y Е {a¿1, b^1}; А2) ^(e) = xm и ^(e') = y-m. В случае А1 m определяется словом ^(а). В случае А2 область D расположена между областями первого типа D-t, D-t+1,..., D-1 и D1, D2,..., D#, они в свою очередь пересекаются по ребрам, причем метка каждого ребра есть образующий с показателем степени равный m, тогда примем m = 1.

2. Пусть диаграмма M' содержит области первого, второго и третьего типа. Диаграмма должна содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме M' выделится полоса.

Пусть D — область второго типа. При этом возможны случаи: В1) ^(y) содержит слог xm и i^(e) = y-m, x,y Е {a±1,b±1}; В2) ^(y) содержит слог xm и p(e') = y-m; В3) ^(y) содержит слог xm и p(ó) = y-m. В случаях В1 и В2 область D расположена между областями D-t, D-t+1,..., D-1 и D1, D2,...

..., Dt>. Тогда среди них существует область третьего типа D*, где ^(e*) = = p(dD* П dDk) = z-m и ^(dD* П т) содержит слог hm. Таким образом, в случаях В1, В2, В3 m определяется словом ф(а).

Если D является областью третьего типа, то проводим аналогичные рассуждения.

Так как \^(а)\ = \^(т)\, то для любой области D Е M' параметр m ее метки не превосходит р = \^>(а)\.

Рассмотрим кольцевую связную приведенную Д-диаграмму, как на рис. 2б. Проводим аналогичные рассуждения.

2. Обобщенная сопряженность слов

Теорема 2. Централизатор конечно порожденной подгруппы Н группы Артина с древесной структурой есть конечно порожденная подгруппа, и существует алгоритм, выписывающий образующие централизатора.

Доказательство. Пусть М — кольцевая Д-диаграмма с граничными циклами 7 и 5. Рассмотрим два последовательных ребра е' и е'', ё П е'' = V. Тогда замкнутый путь I Е М с начальной и конечной точкой V: I = е''е\е2... ... епЬ, где Ь = е', либо Ь = е''-1, либо I = е''-1 е1е2...епЬ', где Ь' = е'-1, либо Ь' = е'' назовем циклическим в М, если I гомотопен 7, соответственно

5. Кратчайший из всех циклических путей кольцевой Д-диаграммы М, проходящих через некоторую точку V, принадлежащую ребру е,е Е М назовем циклическим геодезическим путем с началом и концом в V.

Пусть и— слова, принадлежащие группе Артина с древесной структурой, заданной на множестве образующих Л = {а1,а2,...,ап} с помощью матрицы Кокстера (тц){^^, \<1\ = п. Допустим, что слова

и, V являются тупиковыми и сопряжены в С. Тогда существует связная кольцевая приведенная Д-диаграмма с граничными циклами 5 и 7, метками которых являются соответственно слова и, V.

Пусть и = хр,х Е {а±}г=т, тогда из леммы 4 следует, что V = ур,у Е Е {а±1}г=ТП, и диаграмма сопряженности слов состоит из 5 — г областей. Пусть 5 = 5о5ь .. 5к = 7 — граничные циклы Д-диаграмм, полученных из М = М0 последовательным удалением 5 — г областей. Тогда ф5) = Хр, Хг Е {аг}г=т и любые две степени хРр_ 1 и Хр, г = 1,п, где Х = Хо, хп = у, сопряжены в Сх^_ 1Х1 куском определяющего соотношения группы Сх^_ 1Х1 длины тХ1_ 1Х1. Тогда длина любого циклического геодезического пути заключена в пределах: \и| ^ d ^ \и\ +2 ■ [ т°2~1 ], где т0 = ш&х{тц}, тг^ — элементы матрицы Кокстера для группы С.

Заметим, что для кольцевых Д-диаграмм, состоящих из 5 — г областей, в качестве параметра р можно взять любое число, в частности, р = 0.

Пусть слова и, V не являются степенями образующих группы Артина с древесной структурой С. Тогда и, V будут метками связной кольцевой приведенной Д-диаграммы М. Так как слова и, V тупиковые и сопряжены в С, то по лемме 5 \и\ = \V\. Согласно лемме 6, р = \и\. В работе [2] показано, что диаграмма М является однослойной. Таким образом, длина любого циклического геодезического пути заключена в пределах: \и\ ^ d ^ \и\ + т0 ■

\и\ +2р = \и\(3 + т0), т0 = т&х{тгз}, тгз — элементы матрицы Кокстера для группы С.

Пусть ш1,ш2,... ,шт — образующие Н, где Н — подгруппа С; считаем, что ш1 = ш10 — тупиковое слово и У{, 1 < г ^ т, шг = сгшг0с~1, где шг0

также является тупиковым; А(шг0,шг0) — кольцевая связная приведенная Д-диаграмма сопряженности слова шг0 слову шг0; рг — параметр диаграммы А(шг0,шг0). Введем обозначения с = тах{\с1\,\с2\,..., \ст\}, где = 0, р = тах{\р1\, \р2\,..., \рт\}.

Обозначим 5тг — множество слов, длины с!г которых заключены в пределах: \шг0\ ^ dг ^ \шг\ + т0 ■ \шг\ +2р + с, и для Уг, 1 <г ^ п, с-1шг0сг =

= ш^, через Т — множество кусков Т = {аг\а Е {а±1}^=^}, 1 ^ г ^ р. Рассмотрим последовательность:

ш!\ ..., шП°\ Н1,ш1\ ..., шП\Н2,..., Нд, ш!\ ..., шПР,... (1)

где Уг, 1 ^ г ^ q, Н~1ш((г-1')Нг = ш^^.^Н-1 шП-1')Нг = шП, Нг Е Т, (з)

ш^ Е 5ш] и является меткой циклического геодезического пути диаграммы

А(ш^0,ш^0), 1 ^ ^ п, 0 ^ в ^ q, ш^0 = с^ш^с-1. Последовательность

(1) называется базисной. Базисную последовательность (1) назовем фундаментальной, если для У], в, 0 ^ j < в < q наборы (ш^ ,...,шЩ">) и (ш^\... ,шПП3) различны и существует целое V, 0 ^ V < q такое, что

(V) (д) (V) (д)

ш1 = ш1 , . . . , шп = шп .

Лемма 7. Если последовательность фундаментальна, то слово

Н1Н2... НдН-1... Н-1 принадлежит централизатору подгруппы Н.

Доказательство очевидно.

Определение 9. Слово Н1 Н2...Нд Н-1...Н-1, связанное с

фундаментальной последовательностью (1), назовем базисным словом.

Лемма 8. Если последовательность (1) является фундаментальной базисной последовательностью, то q ^ \5\ = \5ад1 \ ■ \5ад2\ ■ ... ■ \5адп\.

Доказательство очевидно.

Лемма 9. Число фундаментальных базисных последовательностей

конечно.

Доказательство очевидно.

Лемма 10. Пусть Г Е Ос(Н), Ос(Н) — централизатор Н в С. Тогда существует разбиение Г в произведение кусков Г = Н1Н2... Нт, Нг Е Т, г = 1,т и базисная последовательность, связанная с данным разбиением Г,

есть ш(0) ш(0) Н ш(1) ш(1) Н Н ш(т) оп(т)

то есть ш1 . . . шп Н1 ш1 . . . шп Н2 . . . Нт ш1 . . . шп .

Доказательство. Пусть Г е Ос(Н), Г = 1, тогда имеет место следующая система соотношений: Г-1 ш1Г = ш1, с2Г-1с-1ш20с2Гс-1 =

= ш20г . . , спГ с- шп0^пГс- = шп0.

Пусть Уг, г = 2, п, ЗХг, Уг, Гг такие, что Г = ХгГгУг (символ = обозначает графическое равенство), сг = с^Х-1 = с''Уг. В результате имеем следующие

равенства: F 1w1F = ш<, 1е'і 1ші0е'^іе'і 1 = Ші0, і = 2,п, где каждое из

слов е-Fiе”~1 — несократимо.

Рассмотрим связные кольцевые приведенные диаграммы А(ш-о,ш-о) с граничными циклами 7(і0( и ¿(і0(, где ^(у(і0() = Ші0, ^(6(і0^) = ш—1, і = 1,п (при і = 1, ш10 = Ш1).

Обозначим через 0(і0 начальную точку на у(і0\ а через 0'(і0 начальную точку на 5(і0\і = 1,п. Тогда в диаграмме А(ші0,ші0), і = 1,п содержится путь Пі, а(п) = 0(і0),ш(пі) = 0'і0 с р(пі) = F, <р(ці) = е'іFiе'¡~1, і = 2,п.

Теперь, используя разбиение ^(щ) и разбиение каждого ф(щ), і = 2, п, покажем существование искомого разбиения и, следовательно, существование искомой последовательности. Пусть ^>(щ) = F = Н(1 Н(1... ... Н^і) — разбиение F в диаграмме А(ш10,ш10) на произведение кусков. Тогда

F = Х^іУі = Н^Н^... Н(1)1)Н^ ... Н((1)Н((1) ... н{1)(1,,

і і і 1 2 а(1) а1!) в{) ві т(1(

г г+1 г г+1

где Хі = Н<11)н!(1)...Н(1(), Fi = Н(11) ...Н(1)), Уі = Н(Ц) ...Н{1((1(.

А і 12 а(1)’ і а1!) в(1) і в і т(1(

г г+1 ^ г ^г+1

С другой стороны, каждое ц>(г\%) = еіFiе'¡~1 в соответствующей диаграмме

А(ші0,ші0) разбивается на произведение кусков:

^(т) = Щі(Щ(... Н(Н(%) ... Н(](г)Н(](г) ... Н[г)(.(,

^КІі/ 1 2 а 1г) а 1+)1 в (г) в і т(і(

г г+1 ^ г ^ г+1

где с' = Н(г) Н(г) Н(г) Г = Н(г) Н(г) с''-1 = Н(г) Н(г) Отсюля

где сг = Н1 п2 ...Ни ), Гг = Н(г) ...п3а), с = пва ) ...Нт(г). Отсюда

г ¿+1 в г в г +1

следуют соотношения Гг = Н... Н^ = Н(г()г) ... Н(г()г). Заметим, что

а-_/л в- от-Ал в- )

+1 +1

разбиение Хг определяется разбиением Г. Аналогично, разбиение У также определяется разбиением Г. Следовательно, Хг, У на искомое разбиение Г не влияют. В качестве искомого возьмем разбиение ^(щ) = Г в диаграмме А(ш10,ш10). Получим разбиение Г: Г = Н1Н2... Нт и последовательность

(0) (0) (1) (1) (т) (т)

ш1 ,...,шп ,Н1,ш1 \...,шп , Н2,..., Нт,ш1 \...,шп , связанную с полученным разбиением и удовлетворяющую условиям: Уг, 1 ^ г ^ т, Н-1ш(~1')Н г = ш^),...,Н~1ш(п~1'}Нг = ш^^, Н Е Т,ш(з') Е , 1 ^ ^ п,

1 ^ в ^ т.

Лемма 11. Множество всех базисных слов порождает централизатор подгруппы Н.

Доказательство очевидно.

Из лемм 7-11 следует справедливость теоремы 2.

Теорема 3. В конечно порожденной группе Артина с древесной структурой разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.

Доказательство. Пусть даны множества слов ш1}ш2,... ,шп и ь1 ,ь2,...,ьп. Необходимо установить Зг, г Е С, что &П=1 (г-1шгг = ьг).

Пусть слова ш1 = шю и Ь1 = ью являются тупиковыми. Пусть шг = = агшг0а-1, ьг = Ъгьг0Ъ-1, г = 2,п, где шг0 и ьг0 являются тупиковыми. Если предположить, что эти множества сопряжены, то Уг, г = 1,п, | шг0 | = = | ьг0 |, и если какое-то из шг0 есть степень некоторого образующего х Е Е {а±1}г=гп, то сопряженное с ним слово ьг0 тоже является степенью образующего у Е {а±1}г=т с тем же показателем. Пусть А(шг0,ьг0) — кольцевая связная приведенная Д-диаграмма сопряженности слов шг0, ьг0, а = тах^а^, .., К|}, Щ = тах^Ъ^, Ы,^}, где а | = ^ = 0.

Обозначим через Б(шг,ьг), г = 1,п — множество слов, длины йг которых заключены в пределах: ^ йг ^ ^ш,^| + \ьг|) • (1 + т0) + 2р + |а| + |Ь|, через

Т — множество кусков Т = {аг ^ Е {а±1}¿=т, 1 ^ г ^ р}.

Введем обозначения Уг, г = 1,п, шг = ш^°, и рассмотрим базисные

(0) (0)

последовательности, соответствующие множеству ш1 , . . . , шп :

ш!\.. .,ш<П°),Н1,ш11\.. .,ш{П:),Н2,.. .,Нк ,ш1к\.. .,шП\ (2)

где Уг, г = 1,п, У], ] = 1,к, ш(^ Е Б(шг,Уг) и является меткой циклического геодезического пути диаграммы А(шг0,ьг0).

Базисная последовательность (2) называется особой, если она не содержит фундаментальную последовательность или является пустой, то есть все Н г = 1. Слово Н1Н2...Нк, соответствующее особой базисной последовательности, назовем особым базисным словом.

Если в базисной последовательности (2) ш^ = ь1,..., ш(^) = ьп, то слова ш1,ш2,..., шп обобщенно сопряжены словам ь1,ь2,... ,ьп.

Лемма 12. Если последовательность (2) является особой базисной последовательностью, то к ^ |Б| = |Б(ш1,ь1 )| • ... •

Доказательство очевидно.

Лемма 13. Число особых базисных последовательностей конечно. Доказательство очевидно.

Лемма 14. Пусть Г — какое-то решение системы &п=1 (г-1 шгг = ьг), тогда существует разбиение Г в произведение кусков Н1Н2.. .Нт, Нг Е Т, г = 1,т и базисная последовательность, связанная с данным разбиением Г,

ш!\ ..., ш^, Н1,ш1\ ..., шп\Н2,..., Нт, ш,..., шт), (3)

где ш^ = ь1у..., шпп') = ьп.

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 10.

Лемма 15. Пусть Г — какое-то решение системы &п=1(г-1шгг = = ьг) и (3) — базисная последовательность, соответствующая данному

разбиению F. Тогда из последовательности (3) можно выделить особую подпоследовательность, такую, что соответствующее ей базисное слово F' является решением системы.

Доказательство. Если система &'n=l(z-lwiz = vi) такова, что, Vi, i = = 1,n, Wi = Vi, то в качестве особой базисной последовательности рассмотрим пустую подпоследовательность с F = 1. Если последовательность (3) не содержит фундаментальных подпоследовательностей, то F' = F. Если последовательность (3) не является особой и 3j, j = 1,n, Wj = Vj, то существуют целые числа t, k, 0 ^ t < k < m такие, что

(0) (0) и и (t) (t) ГГ

подпоследовательность w\ ,... ,wn ,Hl,..., Htw\ ,..., wn ,Ht+l,...

..., Hk, w[k\ ..., wit"1 является фундаментальной. Вычеркнув из (3)

ТТ (t+l) (t+l) и и (k) (k)

подпоследовательность Ht+l,w\ ,..., wn ,Ht+2,...,Hk ,w\ ,..., wn ,

получим базисную последовательность слов, являющуюся решением системы. Если полученная базисная последовательность не является особой, то снова применим к ней вышеуказанный процесс.

Из лемм 12-15 следует доказательство теоремы 3.

Теорема 4. Пусть G — конечно порожденная группа Артина с древесной структурой и {w^^m, {vi}i=lm — слова из G. Если F

— какое-то решение системы &n=l(z-lwiz = vi), то множество слов Cg(H) ■ F, где Cg(H) — централизатор подгруппы H, порожденный словами {wi}i=щ, является множеством всех решений системы.

Доказательство очевидно.

Список литературы

1. Безверхний В.Н. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т.5, №1. С.1-38.

2. Безверхний В.Н., Карпова О.Ю. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12. Вып.1. С.67-82.

3. Безверхний В.Н., Карпова О.Ю. Решение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.3. C.42-59.

Платонова Оксана Юрьевна (roksana2003@rambler.ru), старший преподаватель, кафедра высшей математики, Новомосковский филиал НИРХТУ им. Д.И. Менделеева.

Problem of the generalized conjugacy of words in Artin groups

with arboreal structure

O.Yu. Platonova

Abstract. In this paper we have proved that an Artin group with arboreal structure has solvable the problem of the generalized conjugacy of words.

Keywords: Artin group with arboreal structure, diagram area.

Platonova Oksana (roksana2003@rambler.ru), senior teacher, department of higher mathematics, Novomoskovskiy branch of Russian chemical and technological Mendeleev university.

Поступила 26.11.2010