CC BY
17
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)
УДК 519.4
РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ СТЕПЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В ГРУППАХ АРТИНА ЭКСТРАБОЛЫПОГО ТИПА
В. Н. Безверхний (г. Тула), А. Н. Кузнецова (г. Москва)
Аннотация
В работе рассматривается решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Артина экстраболыного типа.
Пусть G - группа Артина, заданная системой образующих ai, i Е I, |1| < оо, и системой определяющих соотношений aiajai... = ajaiaj... ,i, j Е I, где слова, стоящие слева и справа, состоят из my чередующихся букв at, ay m-y- элемент некоторой матрицы Кокстера (mij)i,jgi соответствующей группе G. Группа Артина называется группой Артина экстраболыного типа, если mij > 3 для всех
i = U i,j Е 1
Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина экстраболь-шого типа решены в работе [1].
§1. Группы Артина экстраболыного типа с двумя образующими
G
данная множеством образующих A = (aij)i,jeI и матрицей Кокстера (mij)i,jeI. Пусть w - произвольный элемент из G, обозначим через |w| его длину в свободной группе F, заданной та образующих A = (aij)ijje^, а через ||w|| - его слоговую длину в F, рассматривая F в виде свободного произведения бесконечных циклических групп Fi = (ai), то есть F = П* Fi.
Пусть Gij = (ai5 aj,R)- группа Артина экстрабольшого типа с двумя образующими, где "Й- симметризованное множество, полученное из определяющего соотношения rij = aiajai...a-1 a-1 a-1 и всех его циклических перестановок, если 3 < mij < оо и пустое множество, если mij = оо.
Лемма 1. ([1]) Если w Е Gi^ w- нетривиальное свободно приведенное слово, равное единице в группе Gy то ||w|| > 2mij.
Лемма 2. ([1]) Пусть w Е Gi^ w = w1w2 = 1 в Gij. Тогда
1. если ||w11| < mi^J mo |w1| < |w2|,
2. если |w1| < my то |w1| < |w2|.
Лемма 3. ([2]) Группа Артина Gij при my = 2k + 1 изоморфна группе (x,y,x2k+1 = y2) а при mij = 2k - группе (t,x,t-1 xkt = xk).
Лемма 4. ([2]) В группе Артина Gij = (ai? aj;(aiaj)mij = (ajai)mij) для любого w Е Gij алгоритмически разрешимо уравнение wax = ay1 , x,y Е Z, причем, x,y определяются однозначно.
Лемма 5. ([2]) Пусть Gij = (ai? ay; (aiaj)mij = (ajai)mij) - группа Артина и слово w Е Gij циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину, равную 2mij и равно единице в Gy Тогда при mij = 2k +1 слово w имеет вид:
• amajai...ajaia-ma-1...a-^J либо aiaj...ajama-1a-1...a-mJ
либо им, обратные, m Е Z\{0}, к > 0;
а, при mij = 2к
• amaj...aiaja-ma-1...a-^J либо aiaj...aiama-1...a-mJ
либо им, обратные, m Е Z\{0}, к > 1.
Лемма 6. В группе Артина экстрабольшого типа, Gij=(ai? ay; (aiay)mij = (ajai)mij) для любого слова w Е Gij можно эффективно определить, существуют л,и числа, ni, ki Е Z, i = 1, t, такие, что в группе Gij выполняется равенство w = a™1 ak a™2 ...ak8 ans+1 ...an ak% причем w и слово в правой части равенства начинаются и заканчиваются на разные буквы, ||w|| > ||a^1 ak ...ak|| и слово a™1 ak a™2 ...aks ans+1 ...an ak имеет минимальную слоговую длину; если такой набор целых чисел, существует, то он единственен.
Доказательство. Допустим, что существует два различных набора (n^k) (ni,k(), i = 1,t, удовлетворяющих равенству из условия леммы.
Случай 1. Пусть mij = 2k + 1, тогда то лемме 3 группа Gij изоморфна сво-
бодному произведению с объединением, то есть группе B1 = (x,y,x2k+1 = y2), и изоморфизм задается следующим образом: f(ai) = xk+1 y-1, f(ay) = yx-k
1. Пусть ni = ni = ki = ki = 1, i = 1, t. Тогда слово в правой части равенства
определяется однозначно и лемма в этом случае справедлива.
2. Пусть ni = ni = ki = 1, i = 1, t,
k = k2 = ... = k8 = 1, 1 < s < t; kj > 1 j = s + 1, t.
После изоморфного отображения равенство из условия леммы примет вид
• для набора (n-i, k-i): f(w) = xk+1y-1yx-kxk+1y-1yx-k...xk+1y-1yx-k
для набора (п., к.):
■^™)=хк+1у-1'ух-к..хк+1'у-1 ух-к ...хк+1у-1ух-к...хк+1у-1ух-к...ух-к.
Проведя сокращения, получаем: х* = хя+к+1у-1хк+2у-1 х...ух-к Так как в правой части последнего равенства сокращения стабилизировались, то слова, стоящие справа и слева, не равны. Следовательно, равенство из условия леммы в этом случае выполняется только при п. = к., і = 1,1.
3. Пусть п. = к. = к. = 1, і = 1,1,
п1 = п2 = ... = < = 1, 1 < з < Ь; и- > 1, ] = з + 1,1.
Рассматривается аналогично пункту 2 путем замены к{ на и{.
Пусть и = к = и2 = к2... = ир = кр = 1 1 < р < Ь,
иг > 1 кг > 1 р + 1 < г < Ь, и = к1 = и2 = к2... = и£ = к = 11 < в < р < Ь,
и- > 1 к- > 1 в + 1 < ] < Ь.
После изоморфного отображения равенство из условия леммы имеет вид: хк+1у-1ух-к... хк+1у-1хк+1 у-1ух-кух-к../ух-к =
хк+1у 1ух к...хк+1у 1хк+1 у 1ух к...ух к
Проведя сокращения в обеих частях равенства, получаем: хр+к+1у-1хух-к...ух-к = х5+к+1у-1хух-к...ух-к.
Так как в < р и сокращения проведены, то слоговая длина левой части равенства меньше слоговой длины правой части. Последнее равенство возможно, если в правой части есть сокращения ир + к + 1 = в + к + 1, что противоречит условию. Следовательно, равенство из условия леммы выполняется ТОЛЬКО при и^ = и|, к = к|, в + 1 < ] < Ь.
Пусть иг > 1, кг > 1 п{ > 1, к{ > 1, 1 < г < ц, ц <рр < г < Ь,
иа+1 = ка+1 = и^+1 = Ц+1 = ... = ир-1 = кр-1 = ир-1 = кр-1 = 1 , то есть правая часть равенства нз условия леммы имеет вид
П1 к1 П2 ка n-q +
для набора (п-і,к.): аП а^1 а™2...а.
а. а
для набора (п.,к{): а.1 а.1 а. ...а.
а
кч +1 І . 1 .а а .а
1+ 1 .а 1 а^.. .а
причем случай, когда р—Я = —1 невозможен, так как, используя равен-
ство (аіаз)тч = (а^аг)тч, заменим слово а.а.а! (последний слог возьмем
из ап^и а. ) на ело во а.а.а). Проведя такую процедуру пр (ил и пР
р
раз, получим, что слоговая длина правой части равенства из условия леммы уменьшилась - противоречие с минимальностью слоговой длины слова а™1 ак а™2 ...акч а™4+1 акч+1 ...акр-1 аПр ...а^. Если 3] = 1,Ь : и = и|, тогда, как и в пункте 4, получаем, что равенство из условия леммы выполняется
только при и- = и|, к- = к|, г = 1, Ь.
Рассуждения аналогичны, если вместо слова ага^а! рассмотреть подслово такой же длины в циклической перестановке слова а^^.^а-1 ...а-1.
6. Пусть иг > 1 кг > 1 и! > 1 к! > 1 г = 1, Ь;
причем 3] = 1,Ь (^-наименьшее го возможных чисел): и- = и|.
Перепишем равенство из условия леммы в группе В1: хк+1у-1хк+1у-1ух-кух-к...хк+1у-1хк+1у-1хк+1у-1 ...ух-к = хк+1 у -1 хк+1 у -1 ух-кух-к...хк+1 у -1 хк+1 у -1 хк+1 у -1 хк+1 у -1 ух-к...ух-к После сокращений последнее равенство примет вид: хк+1у-1хк+1у-1х...ух-к = хк+1у-1хк+1у-1хк+1у-1х...ух-к.
Так как сокращения в последнем равенстве стабилизируются, и подслова хк+1у-1хк+1у-1х и хк+1у-1хк+1у-1хк+1у-1х, соответствующие слогам (ап)
и (аг5) те равны, то последнее равенство невозможно при и- = и- (при иг > 1 и! > 1 сокращения могут быть только на стыке слогов f (а^4) и и ^а^4) соответственно).
7. Пусть иг > 1 кг > 1 и! > 1 к! > 1 г = 1, Ь;
причем 3] = 1,Ь (^-наименьшее го возможных чисел): к- = к|.
кг иг
8. Пусть иг > 1 кг > 1 к! > 1 г = 1, Ь; причем 3] = 1,Ьи- < —1 и! > 1 (г = ]).
После изоморфного отображения группы получим:
хк+1у-1хк+1у-1 ...ух-кух-кхк+1у-1хк+1у-1 ...ух-к =
хк+1у -1 хк+1у -1 ...ух-кух-кух-(к+1 }ух-(к+1 }ух-кух-к...ух-к
Так как |иг| > 1 |кг| > 1 |и!| > 1 |к!| >1 (г = 1, Ь), то сокращения в обеих
частях равенства будут только между слогами ^аПч) и ^акч) или f (а™4) и
причем в подслове ^(а-)к -1 (аг)п- (а-)к) сокращений не будет (так как и- < —1). Так как сокращения стабилизировались и, слова, стоящие в левой и правой части последнего равенства, начинаются и заканчиваются на одинаковые слоги, то слоговая длина левой части равенства будет меньше, чем слоговая длина правой части. Следовательно, равенство из условия леммы возможно только при и- = и|, к- = к|, г = 1, Ь.
9. Пусть иг > 1 кг > 1 и! > 1 г = 1, Ь; причем 3] = 1,Ь: к! < —1 к! > 1 (г = ]).
кг иг
Таким образом, во всех случаях, когда иг = и!, кг = к(, г = 1, Ь, мы получили противоречие. Следовательно, равенство из условия леммы выполняется только при иг = и!, кг = к!, г = 1, Ь.
Случай 2. Пусть т^ = 2к, тогда по лемме 3 группа изоморфна НМЫ-расширению то есть группе В2 = (Ь,х, Ь-1хкЬ = хк), и изоморфизм задается отображением: ^а^ = Ь, ^а-) = хЬ-1. Так же, как и в первом случае, можно легко убедиться в том, что равенство из условия леммы, кроме случая, когда и! = и!, к! = к!, г = 1, Ь не имеет смысла.
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть м - слово из группы, Артина экстра,большого типа, = (а-1, а-; (ата-)™^ = (а-а-О™^). Тогда существует алгоритм, выписывающий показатели степеней образующих и!, к! € ^ г = 1, Ь в равенстве ^ = а™1 ак а™2 ...ак а™8+1 ...а™* ак*,
причем, ||™|| > ^а™1 ак1 ...ак* || и слов о а™1 ак1 а™2 ...ак8 а™8+1 ...а™* ак* имеет минимальную слоговую длину.
Доказательство.
Случай 1. Пусть т-у = 2к + 1, тогда по лемме 3 группа Су изоморфна свободному произведению с объединением, то есть группе В1 = (х,у,х2к+1 = у2), и изоморфизм задается следующим образом: ^а-О = хк+1 у-1, ^а-) = ух-к.
Рассмотрим равенство из условия теоремы: слова ^ и а™1 ак1 а™2 ...ак8 а™8+1 ...а™*ак* начинаются и заканчиваются на разные буквы, при этом ||^|| > 1а™1 ак ...ак*|| (по условию).
Из доказательства леммы 6 следует, что все показатели степеней можно ограничить, то есть |и!|, |к!| < ||^|| + 1, и!, к! € ^ г = 1,Ь. Тогда для каждого набора (и!, к!) построим слова как в правой части равенства из условия теоремы и проверим, выполняется ли данное равенство. Если решение существует, то показатели степеней образующих и^ к! уже выписаны, в противном случае -переходим к следующему набору (и!, к!). Данную процедуру будем повторять до тех пор, пока не рассмотрим все |и!|, |к!| < ||^|| + 1, и!, к! € ^ г = 1,Ь.
Случай 2. Пусть т^ = 2к, тогда по лемме 3 группа изоморфна НМЫ-расшпренпю то есть группе В2 = (Ь,х, Ь-1хкЬ = хк), и изоморфизм задается отображением: ^а^ = Ь, ^а-) = хЬ-1. Так же, как и в первом случае, можно легко убедиться в том, что существует алгоритм, выписывающий показатели степеней образующих.
Теорема доказана.
§2. Группы Артина экстраболыного типа с числом образующих больше двух
Рассмотрим группы Артина экстраболыного типа, заданную на множестве образующих А = (а^)^^, |1| < оо, с симметризованным множеством определяющих соотношений й, й = и!-е1Йц, где - симметризованное множество определяющих соотношений артиновой группы
Обозначим через г = ] множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в Элемент г € будем
называть соотношением типа (г,]). Пусть й = и! -е1 Тогда группа Артина
С может быть задана представлением С = (А; й), где К - симметризованное подмножество свободной группы ? = * ?!•
Пусть Ы - нетривиальное циклически приведенное слово, равное единице в С. Тогда существует связная односвязная й-диаграмма М с граничной меткой ы с областями из й. Подвергнем й-диаграмму М следующему преобразованию. Пусть области О-|, О2 рересекаются по ребру с мрткой ф(О-| Р| 02), имеющей слоговую длину ||ф(0^ О2)|| > 1 (и если ||ф(О1 П 02)| = 1 и метки областей 01 и О 2 содержатся в одной под группе С^), тогда, стирая это ребро, объединяем 01 02 0 0
свободной группе ?, то, удалив эту область, склеиваем ее границу. Через конеч-
йМ
относительно рассмотренных преобразований с граничной меткой ы, причем, 0р 0 М
этого ребра Иф(о'По''В = 1 й
ется приведенной.
Мй
группы, Артина, для, элементов матрицы Кокстера которой имеем Уг,], г = ], г,] € I т^ > т, то М удовлетворяет условию С(2т).
йМ
группы, Артина, экстраболыного типа, удовлетворяет условию С(8).
Обозначим через ЭМ гррничный цикл диаграммы М. Область О С М НЭг* зовем граничной, если ЭМР|ЭО = 0. Символом г(О) будем обозначать число внутренних ребер в граничной цикле О а римволом а(О) - число ребер в гра-ничнрм цикле О. Будем говорить, что ЭМР| 9О есть правильная часть М, если 9М Р| 9О есть объединение последовательности замкнутых ребер 11,..., I™, ко-
О
в некотором граничном цирле для М. Граничную область О й-диаграммы М назовем простой, если ЭМР| 9О есть правильная часть.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ЭМ = Область О назовем деновской, если
Нф(уПэо)|| > ||ф(0О\уПЭО)||. М
то есть удаление ее граничного пути, называется деновским сокращением диа-М й М й
ной, если она не содержит деновских областей.
Слово ы € С называется й-приведенным, если ы является граничной меткой приведенной (в Р) диаграммы, не содержащей деновских областей. Назовем ы й
й-приведенными словами. В противном случае слово ы называется циклически й
Если слово ы' получено из ы й-приведением, то на основании леммы 2 имеем |ы'| < |ы|.
Лемма 8. Существует алгоритм,, позволяющий для, любого циклически приведенного слова, ы группы, Артина экстрабольшого типа, выяснить, является, ли ы й-приведенным.
Доказательство. Разбиваем слово ы на подслова ^2,..., где каждое з = 1,и.
1. Рассматриваем подслово Ы1 € и выясняем, существует ли такое
слово а™1 ак а™2...ак* € что 1 < Ца™1 ак а™2...а™*ак*|| < |ы1|, и в
группе выполняется равентсво Ы1 = а™1 ак1 а™2...ак*. Для этого проверяем, имеет ли решение в группе одно из следующих уравнений
ы1 = а™1 ак1 а™2...ак* или ы1 = ак1 а™1 ...ак*ак*, и!,к! € ^ г = 1,Ь. Если решение существует, то на основании теоремы 1 выписываем показатели образующих и!, к! € ^ г = 1, Ь. Тогда слово Ы1 является й-приводимым.
2. Рассматриваем подслово Ы2 € и выясняем, как и в первом случае,
существует ли слово а™1 ак1 а™2 ...ак* € С ^ равное Ы2 в группе и
удовлетворяющее условию 1 < || а™1 ак1 а™2 ...а™* ак* || < ||Ы2||. Для этого проверяем, имеет ли решение в группе Сходно из следующих уравнений:
= а™1 ак1 а™2...ак* или = ак1 а™1 ...ак*ак*, и!,к! € ^ г = 1,Ь. Если решение существует, то на основании теоремы 1 выписываем показатели образующих и!, к! € ^ г = 1, Ь.
Данную процедуру будем повторять п раз, пока не рассмотрим последнее подслово Ып € Если на каждом этапе решение уравнений не существует, то
слово Ы является й-приведенным.
Лемма доказана.
Лемма 9. ([4]) Пусть М - приведенная диаграмма, группы, Артина большого типа, являющаяся диском (граничный цикл (ЭМ) - простая замкнутая кривая), ЭМ = у Р| 6; ф(у), ф(6) - й, й - несократимые слова; в М больше двух областей и нет неправильных областей. Тогда существуют области Од и Ов такие, что
1. ОАР| ЭМ и ОАР| ЭМ - связные множества, а(у) = а(6) = А ш(у) = ш(6) = В.
2. ОАП У = 0 ОАП 6 = 0 ОвП У = 0 ОвП 6 = 0 и все четыре множества содержат ребра.
Теорема 2. ([4]) Пусть М - приведенная диа,гра,м,м,а, группы, Артина, большего типа, являющаяся диском (граничный цикл (ЭМ) - простая замкнутая кривая), ЭМ = ур|6; ф(у) ф(6) - й, й - несократимые слова. Тогда число областей, граничащих с у и 6 одинаково.
Введем некоторые обозначения. Знаки суммирования и будут означать соответственно суммирование по граничным и внутренним вершинам (областям). Символ Е* (V*) обозначает число граничных ребер (вершин) в граничном цикле для М. () - число компонент карты М и Ь - число дырок (то есть число ограниченных комнонент дополнения к М) этой карты.
Теорема 3. ([3]) Пусть М - произвольная карта. Тогда
р(Р-Н) = Ц*[р + 2- ад] + Ц0[р - ад] + [я - а(О)]- р(V* - е*).
й
группы Артина экстрабольшого типа, не содержащая деповских областей. Тогда М не содержит внутренней области.
Доказательство. Так как М не содержит деновских областей, то для любой граничной области Б имеем г(О) > 4. Допустим, что диаграмма М содер-
М*
V* - вершина карты М*, получающаяся из области Б карты М, то с1^*) = г(О).
Тогда по теореме 3 справедлива следующая формула:
^ [4 - (1^)] + ^ [6 - (1^)] + 2^_[3 - с1(О)] - 2(^М* - ЕМ*) = р(Р - Н) >0. Поскольку первая сумма равна 0, вторая < 0, а третья -< 0, то получаем, что <0
внутренней области. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть М - приведенная связная односвязная диаграмм,а группы Артина экстрабольшого типа. Тогда М является, однослойной диаграммой.
Доказательство. Допустим, что М является многослойной диаграммой. Пусть М - трехслойная диаграмма. Тогда второй слой содержит внутреннюю область, что по теореме 4 невозможно. Аналогичная ситуация возникает, если М состоит больше, чем из трех слоев.
р
двуслойная диаграмма и ЭМ = уР|6- Тогда по лемме 9 диаграмма М имеет вид: М = Од и Мои ОВ и иде М0 состоит только го правильных оИластей.
Пусть у1 = у\(ЭОди ЭОв), 61 = 6\(ЭОди ЭОв) и у1 = у!= Оъ 61 = и=1 О!. у6
во, то и = т.
1. Пусть г(О') > 3, г(О') > 3, г = 1, Ь, тогда метки областей О' и О' принадлежат одной подгруппе С' что противоречит приведенности диаграммы М.
2. Пусть г(О') = 3 (или г(О') = 3), г = 1,Ь, тогда получаем противоречие с
й ф ( у 1 ) ф ( 6 1 )
Следовательно, М - однослойная диаграмма. Теорема доказана.
Определение. Пусть М - приведенная связная односвязная R-диаграмма группы Артина экстрабольшого типа с граничными циклами y и 6. Тогда последовательность граничных областей D-|, D2, ..., Dn n > 2 образует полосу P = U£=1 Di в М, если
1. Vi, 1 < i < n границы областей Di и Di+i пересекаются по ребру;
2. Iy П 9Di | = |6 П 9Di | + 2 Iy П 9Dn| = |6 П 9DJ + 2;
3. Iy п 9Dj| = |6 П 9Dj| Vj, 1 < j < n.
Пусть P - полоса диаграммы М, 9M = yP|6, 6 = dPQdM и yi = 9P\6.
Замену диаграммы M на диаграмму Mi, полученную из M удалением полосы P, в результате чего граничный цикл M преобразуется в граничный цикл 9Mi = YYi> назовем специальным R-сокращением, или R-сокращением. Если M те содержит полос, то диаграмму M назовем специально R-приведенной или R
Циклически R-приведенное слово w группы Артина экстраболыпого типа называется R-приведенным или специально R-приведенным, если w является граничной меткой приведенной диаграммы, не содержащей полос.
MR
экстрабол ьшого типа с граничными циклами y и 6.
ОпРЕПЕЛЕНИЕ. Пбласть D диаграммы M назовем областью первого типа, если |9D P| yI = |9D P| 6|.
ОПРЕПЕЛЕНИЕ. Пбласть D диаграммы M назовем областью второго типа, если |9D P| yI = |9D P| 6| + 2.
ОпРЕПЕЛЕНИЕ. Область D диаграммы M назовем областью третьего типа, если |9D P| yI + 2 = |9D P| 6|.
JIemma 10. Существует алгоритм,, позволяющий для, любого циклически Rw
wR
w
wi, W2,..., Wn где каждое ws принадлежит подгруппе Gisjs, s = 1,N.
Начинаем строить полосу со слова wi. Пусть wi Е G^. Решаем в Giiji
—i Pi qi pn 1 —i Pi qi qn 1 /
уравнения Wi aii aji • ••a{i = rnnwi aii aji • ••aji = I (в зависимости от сло-
wi
водимости в свободной группе, причем ||w—i || = |aPi a? •••aPn || (или ||w—'11| = lap; a? •••a?;||).
Допустим, что уравнение w—iapii a? • ••apin = 1 разрешимо в Giiji, тогда об-ЛсХСТЬ D i cp(9Di) = w1iapii a? •••apin, является областью второго
типа. Для дальнейшего построения полосы нужна область О2 первого пли второго типа. Заменив слово "2 на "2 = а.?1 "2 решаем в гр уппе уравнение ("2)—1а?21 а?2 ...а?1 = 1, "2 £ причем ||(^2)-1| = ||а?21 а?2 ...а?1 || или
11("2)—1 = 11' а?2 -а1,Г1 + 2
Если уравнение имеет решение, ("2)—1а£1 а?2 ...а?1 циклически несократимо и ||(^2)-1У = IIа?1 а?2...а?1|| + 2, то область О2: ф(ЭО2) = ("2)—1а?11 а?2...а?1
11 2 и м '2 !1 !1 11 2 '2 !1 !1
является областью второго типа. Следовательно, полоса построена.
Если уравнение имеет решение, ("2)—1а?21 а?2 ...а?1 циклически несократимо и II("2)—11 = ||а?1 а?2...а?1I то область О2: ф(ЭО2) = ("2)-1а?1 а?2...а?1
11 2 и 11 '2 !1 !1 11 2 '2 Ч !1
является областью первого типа. Для дальнейшего построения полосы решаем уравнение ("2)—1 а?1 а?2...а?11 = 1 в И так далее.
Лемма доказана.
Следствие 2. В группах Артина экстрабольшого типа разрешима проблема равенства слов.
Лемма 11. ([2]) Пусть М - связная односвязная И, И - приведенная кольцевая диаграмма над группой С' у и 6 - граничные циклы, Ми ф(у) = х? Тогда ф(6) = у? г<9ех,у € |а^1,а^1}.
Лемма 12. ([4]) Пусть слово " группы, Артина большого типа, С циклически И, И - несократимо. Существует алгоритм,, строящий по слову " сопряженное с ним, или с его квадратом, в группе С слово "0г любая степень которого И, И - несократим,а.
§3. Разрешимость проблемы степенной сопряженности слов
Проблема степенной сопряженности слов заключается в следующем: найти алгоритм, с помощью которого по любым словам " и V группы С можно определить, существуют ли целые числа т, и и существует ли такое слово г £ С, что слова V1 и "т сопряжены в гр уппе С.
Теорема 6. ([3])(Теорем а сопряженности для НЫЫ-расширений) Пусть С* = (С,Ь,Ь—1АЬ = В, ф)-НМ№^сширение группы, С. Пусть и = д0Ье1 ...Ьеи, и > 1 и V - сопряженные циклически приведенные элементы из С*. Тогда, |и| = Мм и можно получить из V, беря, подходящую циклическую перестановку V* элемента V, оканчивающуюся на, , и сопрягая затем, элем,ентом г, где ъ € А,
если еп = -1, и ъ € В, если еп = 1.
С
разрешима проблема степенной сопряженности, то есть по любым, словам, € С можно вменить, существуют л,и целые числа, т и и такие, что слова V1 и "т сопряжены в гр уппе С.
Доказательство. 1. Пусть СаЬ = (а,Ь, й) - группа Артина экстрабольшо-го типа с двумя образующими и £ Саь-
Случай 1. Пусть т— = 2к + 1, тогда по лемме 3 группа изоморфна свободному произведению с объединением, ТО есть группе В1 = (х,у,х2к+1 = у2), и изоморфизм задается следующим образом: ^а|) = хк+1 у-'\ ^ау) = ух—к.
В статье [5] Липтпуд С. доказал разрешимость проблемы степенной сопряженности слов для свободного произведения с объединением.
Случай 2. Пусть ту = 2к, тогда по лемме 3 группа изоморфна НХХ-расширению то есть группе В2 = ("Ь,х, 1—= хк), и изоморфизм задается отображением: ^а|) = 1 ^ау) = х"Ь—^
Так как элемент из ассоциированной подгруппы лежит в центре, то по теореме 6 [3] следует разрешимость проблемы степенной сопряженности слов для НХХ-растттирений, а, следовательно, и для групп Артина экстрабольтттого типа в случае ту = 2к.
С
циклически И, И - несократимые слова ",^, неравные единице в группе С. И пусть любая циклическая перестановка не принадлежит Саь- Используя лемму 12, перейдем, если это необходимо, от слов " и V к сопряженным с ними или с их квадратами словам "0 и v0, любая степень которых И, И - несократима.
Будем рассматривать некоторые циклические перестановки "0 и v0 ело в "0 и v0. Можно считать, что ||"0|| = |^0||, в противном случае, добьемся этого, возведя каждое из них в соответствующую степень.
Возможны следующие виды диаграмм сопряженности (рис.1).
О
Рис. 1: Виды диаграмм
Рассмотрим связную приведенную кольцевую Я-диаграмму М вида рис.1 а) сопряженности слов ("0)т и Ю1.
Пусть ф(у) = ("0)т и ф(6) = ^0)п, причем путь у начинается в точке О, а путь 6 в точке О-|. Разрежем диаграмму М по ребру, которому соответствует путь ОО1. Получим связную односвязную приведенную И-диаграмму М; (рис. 2).
О
01
о *
°1
О
О,
Рис. 2: Диаграмма М.'
I. Пусть диаграмма М' состоит из областей только первого типа. Тогда проМ
ственную диаграмме М', с циклическим сдвигом вправо на слово "0 как показано на рис. 3.
1 V
w0* Оп' О1'
О1 О' °Г
0
01
Рис. 3: Преобразование диаграммы
Допустим, что точка О' в полученной поеле преобразования (*) диаграмме имеет степень 3, то есть является внутренней точкой пути ЗЭ" Пу- Так как область Э" диаграммы М' является областью первого типа, то и в тождественной ей диаграмме М" области Э" и ЭП также первого типа. Следовательно, области Э" и ЭП принадлежат одной подгруппе вида С и, что противоречит ЯМ
0
о; vo*
О °2’
°і О' °п °і" 02"
01 V,,*
Рис. 4: Преобразование диаграммы
Пусть все области диаграммы являются областями первого типа и сЦОу) = 2тгу, ] = 1, п. При этом граничные метки областей О" и О" принадлежат одной и той же подгруппе вида С-у и метка пути 0'0" совпадает с меткой пути 00": ф(0'01) = ф(00") ( лемма 5).
Пусть сЦОу) = 2тгу ] = 1,п. При этом, если ребро с меткой ф(90ПП 90") содержит степень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ф(ЗЭ| ПЭЭ|+1), ] = 1,п - 1. Покажем это.
1) Пусть т-у- четное. Рассмотрим определяющее соотношение для данного тгу оЬаЬ...аЬ = ЪаЪа...Ъа.
Обозначим аЪаЪ...а = г-|, ЪаЪа...Ъ = г2. Тогда получим г^г-" = Ъ и г-" аг2 = а.
Рассуждая аналогично, можно получить равенства г" Ъкг-" = Ъ* и г-" акг2 = а*. По лемме 11 к = 1 следовательно, г" Ъкх-" = Ък, х-"акг2 = ак
Пусть ф(ЭЭ^ ЭЭ") = а*, ф(ЭЭ" П 9Э2) = ап, ф(ЭЭпП 90") = ак2, Ф^Э^ЭЭ^) = аП2, ф(9Э1// Р| 90') = б, ф(^9Э1/) = г, где тиб- подслова соотношения ф(9Э/ )
цы областей Э / иЭ/': ак Бап" г = 1 и ак2 БаП2г = 1 соответственно. Из последних равенств получаем: Бап" -П2 б- " = ак2-к , при этом по лемме 11 п " — П2 = к2 — к " .
Если к" = к2, п " = п^, то, используя равенство Бап" -П2б- " = ак2-к", получим ап -П2 = 1 _ противоречие, так как в [6] доказано, что группа Артина большого типа не содержит элементов конечного порядка.
п = п2 к = к2
к = к2 п = п2
слов w0 и
Рассмотрим кольцевую диаграмму сопряженности, соответствующую равенству Бап" -П2 б- " = ак2 -к", где п " — п2 = п.
Если слово б является неприведенным, то б = Боа1" б0а12 Б0...а1*б0, 1 € N и диаграмма сопряженности слов из последнего равенства имеет вид рис. 5.
Если б - слово минимальной длины, тогда б можно представить как б = б0+ " а^-, ] = 1,11 € N. При этом диаграмма сопряженности слов из последнего равенства имеет вид рис. 6.
Рассмотрим поддиаграмму 0/02...0П- Пусть область Э / состоит из областей Э п, 1 = 1,т, метки которых удовлетворяют условию Цф(9° н)| = 2тгу Тогда на основании леммы 5 ф(9Э" гР| 9Э" -+) = ф(9Э "-+ Р| 9Э"г+2) = ак, 1 = 1,т — 2. Так как все области 0|, ] = 1,п являются окластями первого типа, то, рассуждая аналогично, получим ф(0'0 /) = ф(9Э^Р| 9Э /') = ак и, если ребро с меткой ф(ээ;п зэ / ) содержит стетень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ф(90| Р| 90|+"), ] = 1,п — 1. Выделим поддиаграмму, состоящую из областей О" , О2,...,0П и склеим ее по ребру ф(00 "). Таким образом, получим кольцевую связную приведенную Я-диаграмму сопряженности слов w0 и "^0, а значит степени этих слов также сопряжены.
2) Пусть т-у- нечетное. Рассмотрим определяющее соотношение для данного
ту аЪа...аЪа = ЪаЪ...ЪаЪ.
Обозначим аЪа...аЪ = г" , ЪаЪ...Ъа = Тогда получим г"аг- " = Ъ и г- " Ъг2 = а.
Рассуждая аналогично, можно получить равенства г " акг- " = Ъ* и г- " Ъкг2 = а*. По лемме 11 к = 1 следовательно, г " а кг- " = Ък, г- "Ъкг2 = а к .
Пустт ф(ЗЭ^ 90 ') = а ф(90'0902) = Ъп, ф(9Э^ 90 '') = ак2, ф(90''0902') = ЪП2, ф(90” П 90') = б ф(^9Э ') = г, оде пб - подслова соотношения ф(90' )
0 О'': ак" бЪп т = 1 и ак2 бЪП2г = 1 соответственно. Из последних равенств получаем: гак"-к2г- " = ЪП2-п", бЪп -П2 б- " = ак2-к", при этом по лемме
п — п2 = к2 — к
Так как т-у- нечетное, то чтобы ак перевести в ак, потребуется два (или
четное число) последовательных сопряжений ак словами г-| и г2.
Допустим, что существует другой путь из вершины А1 в верши ну В1 (рис. 7), равный г-1 г- 1г-1...г-1.
21 22 22 В
2 -1 Ьк 2-1 1 2 -1 ак
В,
21-1 22-1 22-1 1
Рис. 7: Преобразование диаграммы
Запишем границу поддиаграммы : г21г11г21г11акг2гіг2---гіг22і =
ак
Слева от ак вставим слово г2^2 1:
г-1 г-1 ...г-1 г-1 г-1 (г2 г-1) акг2 г1 г2...^і г2гі =
Пк
к
ак
_1 _1 _1 _1 _1 _1 к к г2'гі |г2'...г ^ '%г'ъ ^ ^а^^...^^^ = ак.
Слева от слога ак вставим г1г_1:
г_1г_1г_1...г_1г_1г_1г2(г1 г_1)акг1 г2...г1г2г1 = ак,
ак
1 1 1 1 1 1 к к г2'гі |г2'...г 1 'г2'г 1 ^^а^...^^^ = ак.
Данную процедуру будем проводить до тех пор, пока не получим:
1 1 1 1 1 1 к к г2'г1 'г2'...г^ 'г2'г^ 1г2г1г2...г1г2г1ак = ак
или г2 г -| г2 ...г ^ г2 г ^ ^2^ 1 г2...г 1 22г 1 — 1.
Тогда г2г1г2...г1 = г1г2г1...г2.
Так как т^ = 2к + 1, тогда по лемме 3 группа изоморфна свободному произведению с объединением, ТО есть группе В1 = (х,у,х2к+1 = у2), и изоморфизм задается следующим образом: ^а^ = хк+1у_\ ^а^) = ух_к. После изоморфного отображения последнего равенства получим: х2 = ух_ 2у _1х_2у...х2ух2у 21.
Данное равенство невозможно, следовательно, существует только один путь из вершины Д-| в верши ну В-|, метка кото рого равна г_1г_1 ...г_1г_1.
Если ф(001) = ак, ф(901 Р| 902) = Ьк и С состоит из областей 0^,
,,01т, метка каждой из которых удовлетворяет условию ||ф(901|)|| = 2т-у. Тогда на основании леммы 5 метки общих ребер областей О^ есть степени ак либо Ък. Так как все области 0|, ) = 1,п являются обл тстями первого типа, то, рассуждая аналогично, получим Ф(0'01) = Ф(30^ 901) = ак и, если ребро с меткой ф(90^Р| 901) содержит сте т тнь образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ф(90| Р| 90 ), ) = 1, п — 1.
Если ф(001) = ак, ф(90^ 902) = ак и 01 состоит из областей 0^,
і = 1, т, метки которых удовлетворяют одному из условий г1 акг_1Ъ_к = 1
г2Ькг21а к = 1. Тогда на основании леммы 5 метки общих ребер есть степени ак либо Ък. Так как все области ] = 1,п являются обл астями первого
типа, то, рассуждая аналогично, получим ф(0/01) = ф(ЗЭ^ ЭЭ?) = ак и, если ребро с меткой ф(ЗО^Р| ЗЭ!) содержит сте аень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ф(ЭЭ| Р| ), ] = 1, п — 1.
Рассмотрим теперь равенство бЪП1 -П2 б-1 = ак2 -к1. Обозначим п1 — п2 = к2 — к = к 5ЪкБ-1 = ак, тогда, рассуждая аналогично, получим б = г221г2...22 и ф(0/0!) = ф(ЭЭ^ ЭЭ?) = ак
Вернемся к диаграмме МЛ Так как ф(001) = ф(0/0!) = ф(ЭЭпР| ЭЭ^) = ак, то выделим иоддиаграмму М-|, состоящую из областей Э2,...,ЭП и склеим ее по ребру ф(000. Таким образом, получим кольцевую связную приведенную И-диаграмму сопряженности слов и а значит степени этих слов также сопряжены.
М
тьего типа. При этом заметим, что диаграмма может содержать одинаковое количество областей второго и третьего типа, причем области второго типа должны чередоваться с областями третьего типа, так как в противном случае в диаграмме выделится полоса, что противоречит И-приведенности диаграммы М
0
М
Можно считать, что если область Эт является областью второго (третьего) типа, т а область Э" также является областью второго (третьего) типа. Пусть ф(ЭЭ1П г) = ф(зо1" Пу), тогда граничные метки областей Э1 и Э" принадлежат одной и той же подгруппе вида Саь- При этом, как и в п. I можно доказать, что если ребро с меткой ф(ЭО^Р| 301) содержит степдаь образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ф(ЭЭ| Р| ЭЭ|+1), ] = 1, п — 1.
1) Пусть т^- четное. Рассмотрим определяющее соотношение для данного т^: аЪаЪ...аЪ = ЪаЪа...Ъа.
Обозначим аЪаЪ...а = г-|, ЪаЪа...Ъ = г2. Тогда получим г1Ъг-1 = Ъ и г-1 аг2 = а.
Рассуждая аналогично, можно получить равенства г1Ъкг-1 = Ъ* и г-1 акг2 = а*. По лемме 11 к = 1 следовательно, г1Ъкг-1 = Ък, г-1акг2 = ак.
Э1 Э1
Пусть ф(ЗЭ^ ЭЭ1) = ак1 , ф(9Э^ 9Э2) = аП1, ф(9Э^ ЭЭ?) = ак2, ф(30l1/ПЭ02/) = аП2, ф(Э0l1/ПЭ0l1) = б, ф(6 П 9Э1) = г, где г и б - под-слова соотношения ф(ЭЭ1 )
границы областей и ак1 БаП1 г = 1 и ак2 БаП2г = 1 соответственно. Из
последних равенств получаем: гак1 -к2г-1 = аП2-П1 и БаП1 -П2 б-1 = ак2-к1, при п1 — п2 = к2 — к1
Так как - область второго типа, то, рассуждая, как в п.1, получим б = (г2)т, г = (г2)т-1 • Выпишем образующие вдоль границы области (рис. 8).
Ь а Ь Ь а Ь
Рис. 8: Фрагмент диаграммы
Для области 00 получаем ||ф(900)|| = 2т-у и ф(д00) = 1 в группе Таким образом, из рав енств к = —п 1 , к2 = —П2 следует к = —к2, п 1 = —П2, то есть метки ф(ЭО;П 9О 0, ф(9О^Р| 90") и ф(9О1'П9О21 ф(9О1//П9О2/)
соответственно взаимно обратньт.
2) Пусть т^- нечетное. Рассмотрим определяющее соотношение для данного т^: оЬа...аЬа = ЬаЬ...ЬаЪ.
Обозначим аЬа...аЬ = ъ , ЬаЬ...Ьа = Ъ2- Тогда получим ъ 1аъ- 1 = Ь и ъ- 1 Ьъ2 = а.
Рассуждая аналогично, можно получить равенства ъ 1 акъ- 1 = Ь* и ъ- 1 ЬкЪ2 = а*. По лемме 11 к = 1 следовательно, ъ1акъ-1 = Ьк, ъ-1Ькъ2 = т к.
Так же как и в п.1 можно доказать, что если ф(эо;п 9О1 ) = а\ ф(9О Щ 9О2)=Ьп1 ф(9О^Р| 9О1)=ак1 фООЩЭО^ )=ЬП2, ф(901 ПЭО^з, ф(^9О1) = г, оде г и в - подслова соотношения ф(9О1) или его циклических перестановок, то гак1 -к2г-1 = ЬП2-П1, вЬП1 -П2 в-1 = ак2-к1, при этом П1 — П2 = к2 — к, , ||г|| < ||в||, в = (Ъ1Ъ2)тТЬ г = (Ъ1Ъ2)т-1 Ъ1.
Если ф(ЭОПП 9О1) = ак1 , ф(9О^ 902) = аП1, ф(ЭО^ ЭО?) = ак2, ф(9О1"П9О2/) = аП2, ф(9О1"П9О1) = в ф(^ЭО1) = г, оде г и в - подслова соотношения ф(9О1) или его циклических перестановок, то аналогично получим гак1 -к2г-1 = аП2-П1 и ваП1 -П2 в-1 = ак2-к1, при этом п1 — п2 = к2 — к1; в = (Ъ1Ъ2)т, г = (Ъ1Ъ2)т-1-
В эте м случае также получаем, что метки ф(90ПП 90/), ф(90пР| 90^) и
ф(90Щ 9021 фООЩЭО т )
если ребро с меткой ф(90^Р| 90/) содержит сте пень образующего, то такую же степень будет содержать каждое ребро ф(90| Р| ЭО^), ] = 1,п — 1.
Вернемся к диаграмме МЛ Рассмотрим поддиаграмму М1, состоящую из областей О1, О2,..-,Оп и склеим ее по ребру ф(001). Таким образом, получим кольцевую связную приведенную И-диаграмму сопряженности слов 'а’О и v0, а значит степени этих слов также сопряжены.
Следоваетельно, если связная приведенная кольцевая И-диаграмма М сопряженности слов 'а’О и v0 имеет вид рис. 1а), то можно ограничить показатели степеней (так как слоговые длины слов ^о, v0 уравнены, и при переходе к сопряженным словам ^0, v0 возможно берем их квадраты): п < 4 • 1Ы1 • К|| <
4 • |^0| • ^0|, аналогично т < 4 • |^0| • ^0|.
Пусть теперь связная приведенная кольцевая И-диаграмма М имеет вид рис.1Ь). И пусть ср(у) = ("^0)т и ср(6) = (^)п. Выделим в диаграмме М поддиаграмму Мт вида рис. 9.
Заметим, что в диаграмме М количество таких поддиаграмм ограничено числом |"0| • |vo^ Действительно, если осуществить разрез в точке А, то слово "0 будет разбито на две части, то есть "0 = "і "2- При этом может быть только |"01 возможности разбить слово "0 на две части. Аналогичную процедуру можно провести и для слова "^0. Таким образом, если диаграмма имеет больше чем |"0| • ^0| подкарт вида рис. 9, то выделится повторяющаяся часть диаграммы, которую можно вырезать, а оставшуюся часть снова замкнуть в кольцо, при этом получившаяся диаграмма будет содержать не больше |"0| • ^0| поддиаграмм вида рис. 9.
Обозначим верхний путь АВ диаграммы Мі через уі, нижний путь АВ - через 6і. Заметим, что длины путей уі и 6і должны совпадать, иначе исходная диаграмма М будет содержать полосу, что невозможно в силу ее Я-приведенности.
М Мі
такую, что |уі| достаточно большое число. Пусть |уі| >4 • ||"0||. Выделим на пути уі, начиная от вер шины А некоторую циклическую перестановку "0 слова "о такую, что слово "0 начинается в вершине О имеющей в диаграмме Мі степень 3 (рис. 10).
О
А °1
Рис. 10: Структура поддиаграммы
Дальнейшие рассуждения проводятся аналогично случаю, когда кольцевая связная приведенная К-диаграмма М сопряженности слов ("^0)т и ^0)п имеет вид рис. 1а), при этом п < 4 • |™0| • ^0|, т < 4 • |™0| • VI.
Пусть |у1| < 4 • |^0||, рз - простой путь, соединяющий две поддиаграммы вида рис. 9, ] = 1,8. Тогда получаем
|(w0)m| < 4 • |w0| • (|w0| • |v0|) + X. iPjU j = 1, s.
Так как s < |w0| • |v0|, to
|(w0)m| < 4 • |w0| • (|w0| • |v0|) + |w0| • (|w0| • |v0|),
m • |w0| < 5 • |w0| • (|w0| • |v0|)
m < 5 • |w0| • |v0|.
Аналогичные ограничения можно получить на число n: n < 5 • |w0| • |v0|. Следовательно, если связная приведенная кольцевая R-диаграмма M сопряженности слов W0 и v 0 имеет вид рис.lb), то можно ограничить показатели степеней.
Теорема доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Appel К, Schupp Р. Ап in groups and infinite Coxeter groups // Invenf. Math. 1983. V. 72. P. 201-220.
[2] Без верхний В. H. Решение обобщенной сопряженности слов в группах Ар-тина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 1. С. 1-38.
[3] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М. Наука, 1980.
[4] Безверхний В. Н., Кузнецова А. Н. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах Артина большого типа // Известия ТРУ, серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 2, выпуск 1. Математика. С. 76-93.
[51 Lipschutz S. On powers in generalized free products of groups // Arch. Math. 1968. P. 575-576.
[6] Безверхний В. H., Кузнецова А. Н. О кручении групп Артина большого типа // Чебышевский сборник. 2005. 6.Л'" 1. С. 13-21.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. Получено 21.10.2008.
