Приведенный модуль на поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Б.Е. Левицкий, В.М. Миклюков ПРИВЕДЕННЫЙ МОДУЛЬ НА ПОВЕРХНОСТИ

Коллеге, учителю и другу -Игорю Александровичу Александрову

Рассматриваются двумерные, односвязные, локально липшицевы поверхности в М™ . Вводится и исследуется понятие приведенного модуля односвязной области относительно «граничной точки» на поверхности, применявшееся в случае плоских областей к изучению граничного поведения конформных отображений [1].

1. Конформное отображение поверхности

Понятие конформного отображения поверхности подробно рассмотрено в монографии [2]. Ниже мы будем использовать определения и результаты четвертой главы монографии. Пусть Б а К2 - односвязная область и пусть ^ с К” , т > 2 - поверхность, определяемая локально билипшицевой вектор-функцией

У = /(х) = (/(х,, X),/2 (х, >X(Х, X)): О

". (1)

I' =

д/ /

#11 = дхх ’ <512 <5 21 \ Л Л /’ \ дхх дх-у / #22 йх,

определяем первую квадратичную форму поверхности О в области Б:

dsQ = gndx^ + 2 g1,dx1dx, + g■y>dxl.

Элемент площади поверхности О имеет вид d О = ^ (х)СхСх,

где

И(х) = И 1 (х)&2 (х) - #12 (х).

Пусть Г - семейство локально спрямляемых дуг или кривых на поверхности О. Будем говорить, что неотрицательная, локально ограниченная, измеримая по Лебегу функция р > 0 допустима для семейства Г дуг у , если р измерима вдоль каждой из дуг у е Г и

|р(х^п > 1 для всех у є Г.

Величина

(2)

(3)

В общем случае поверхность ^ может иметь самопересечения. Говорят, что поверхность О вложена в К”, если вектор-функция f реализует гомеоморфное отображение области Б на множество f (Б) с метрикой (и, тем самым, топологией!), индуцированной из Ят. Поверхность О погружена в Ят, если вектор-функция / обладает описанным свойством локально в Б. Ясно, что О является вложенной, если она билипшицева, и погруженной, если она локально билипшицева. Так как вектор-функция / локально липшицева, то по теореме Радемахера почти всюду в Б существует полный дифференциал df (х). Пусть (х, X) *= О - точка, где f имеет дифференциал. Символом

{А' К ■■■ К л

^ 1Х[ ^ 2х1 ^ 3х1

^ ^\х^ ^^Х2 Ъх^ ^

мы обозначаем производную / в точке х = (х, X), где такая производная существует. Пользуясь стандартными обозначениями

где точная нижняя грань берется по всем допустимым для Г функциям р, называется модулем семейства Г.

В случае, когда метрика <$8^ =| яХ | - евклидова и элемент площади 30 = <3х1<3х2, используется упрощенное обозначение шоё(Г). Предположим, что имеются две локально билипшицевых поверхности ^' и ^" вида (1). Гомеоморфное отображение Т : ^^ ^" называется конформным, если для любого семейства Г локально спрямляемых дуг ус^' выполнено

шоёп. Г = шоёп. Т(Г). (4)

Говорят, что отображение Т : О' ^ О'' является изометрическим, если оно сохраняет длины дуг, т.е.

/еи§-/й(у) = 1в^ЛТ (у)

для любой локально спрямляемой дуги ус^'. Нетрудно видеть, что всякое изометрическое отображение Т локально билипшицевой поверхности ^' на локально би-липшицеву поверхность ^" является конформным.

Пусть ^ - поверхность, образованная парой полуплоскостей, склеенных вдоль общего края под углом

0<а<я. Развернем О на плоскость К2 посредством отображения Т. Отображение Т изометрично и, следовательно, конформно.

Рассмотрим общий случай локально билипшицевой поверхности (1). Переменные х = (х, х,) называются

изотермическими координатами на поверхности О , если &11 (х) = Я22 (х), &12 (х) = 0 почти всюду в Б. (5)

В каждой точке X е О, где вектор-функция / дифференцируема и одновременно выполняются соотношения (5) и g = > 0 , отображение

f : Б ^ ^ сохраняет углы между кривыми и является конформным в традиционном смысле. Выполнение

/Л

условия g = gxxg^ - ^ > 0 в точке равносильно предположению, что в этой точке выполнено

гапк(<!/) = 2 .

(6)

Б

Пусть Б - односвязная область в М2 и О - поверхность, заданная над Б посредством вектор-функции (1), удовлетворяющей условию (6). Пусть х = (х, х,) е О - точка, где вектор-функция / имеет полный дифференциал и выполняется (6). Предположение (6) влечет, что <Л/ Ф 0 в этой точке, метрика <$8^

невырождена и бесконечно малый круг в метрике с центром в х является бесконечно малым эллипсом в евклидовой метрике. Обозначим через р(х) > 1 и 0 < 0(х) < п характеристики этого эллипса, т.е. отношение р большей оси эллипса к меньшей и угол 0 между большей осью и направлением Ох1 .

Легко видеть, что

p(.x) =

gi 1С x) + gn С x) g іС x) g-n С x) - gu С x)

(g| ІС x) + g-n С x))

4Сg ІСx)gllСx) - g?2 Сx))

к

--1

Характеристика 0 определена в каждой точке, где р > 1.

Гомеоморфное отображение и : Б ^ Я класса

WO2 в области D с К2 называется квазиконформным с характеристиками М.А. Лаврентьева (p(x), 0(x)), если почти всюду в D оно переводит бесконечно малые эллипсы с характеристиками (p( x), 0( x)) в бесконечно

малые круги [3]. Отображение u : D ^ R называется q-квазиконформным, если ess sup p(x) < q. Вопрос о существовании и единственности отображения и с заданными характеристиками p и 0 решен при весьма общих предположениях [2. Гл. 3]. В частности, это имеет место, если величина

(gll (x) + g22 (x))

Pi x) =■

(7)

V8 п&2 8п

локально ограничена в области Б.

Отображение Т = и ° / 1 однолистно, принадлежит классу и переводит поверхность О в некото-

рую область плоскости конформно.

средством вектор-функции (1). Пусть G ей - односвязная область с непустой границей. Область О с присоединенными к ней простыми концами будем обозначать через G. Предположим, что у каждого простого конца е е ЭG найдется главная точка у0, в которой поверхность О удовлетворяет предположению (4.4.18) [4]. Согласно теореме 4.4.1 [4] это означает, что над каждым простым концом е eдG расположен единственный простой конец поверхности О. Естественным образом определяются понятия простой жордановой дуги (открытой либо замкнутой) и простой жордановой кривой в G и . В частности, множество простых концов дО есть простая жорданова кривая в G. Пусть Е, Е ^ С - произвольные множества и ус О - простая замкнута жорданова кривая в Е. Будем говорить, что у разделяет множества Ех, Е2 в О, если для любого связного, замкнутого в G множества К такого, что К П Е ^ 0(г' = 1,2), выполнено К П у ^ 0 . Пусть О' -

подобласть области О и е' eдG - простой конец. Говорим, что подобласть О' примыкает к простому концу е’, если для любой последовательности } точек О, сходящейся к е’, существует номер N такой, что при всех п > N точки ^ принадлежат подобласти О'.

Пусть А и В - произвольные односвязные подобласти Б, содержащие точку (0,0). Пусть Кь К2,... -последовательность континуумов, содержащих точку (0,0) и содержащихся как в области, так и в области В. Предположим, что все континуумы Кп таковы, что Ап = =А\Кп Вп = В\Кп суть двусвязные области.

Лемма 1. Если диаметры континуумов Кп стремятся к 0, то существует предел

1гт(тоёп (Ап) - тоёй (Вп)). (8)

/?^сс

Этот предел не зависит от выбора последовательности континуумов {Кп}, <ИашКп ^ 0. В частности, если

О = К2 , то

1 я

Нт(то^А) - то^Е,)) = —1о§(——), (9)

. В силу определения и оно

2п

2. Приведенный модуль односвязной области относительно «граничной точки» на поверхности

Понятие приведенного модуля плоской односвязной области относительно внутренней точки, введенное О. Тейхмюллером [4], использовалось многими авторами для изучения свойств конформных отображений и получило разнообразные обобщения и применения [58]. Понятие приведенного модуля плоской области относительно граничного элемента, введенное в [1], можно распространить на случай областей на поверхности, используя развитую для этого случая в [2] теорию простых концов Каратеодори.

В дальнейшем О е К” - локально билипшицева поверхность, заданная над некоторой односвязной областью Б а К2 с непустой границей, (0,0) е Б, по-

где внутренние конформные радиусы облас-

тей А, В относительно точки (0,0).

Доказательство. Начнем с утверждения (9). Пусть х = Е (х) - однолистные конформные отображения двусвязных областей Ап = А \ Кп на двусвязные области А„ = Xх є А :| х |> р }, где числа р п > 0 опреде-

ляются из соотношений

) = шоё(А„), п = 1,2,... .

При этом мы будем предполагать, что все Е (х) оставляют неподвижным некоторый фиксированный простой конец е, входящий в область А. Поскольку диаметры континуумов Кп стремятся к 0, модули двусвязных областей шоё( Ап) и шо^ А„) стремятся к да, а числа р п - к 0. Отсюда заключаем, что последова-

тельность отображений F(х), F(x), ■■■ сходится к тождественному отображению области А на себя и притом равномерно на всяком компактном подмножестве области A \ {0}. Действительно, пусть ю = ф(х) -однолистное конформное отображение области А на единичный круг |ю| < 1 такое, что ф(0) = 0, ф(е) = 1.

Положим фп = ф о F ° Ф_1 и обозначим через у л (ю) отображение, полученное продолжением по симметрии относительно единичной окружности отображения ф (ю). Поскольку однолистные отображения у л (ю) оставляют неподвижной точку ю = 1 и не принимают значений 0,ж, то последовательность у,(ю), у,(ю), ... представляет собой нормальное семейство. Пусть у (ю), (ю),... - произвольная ее подпоследова-

тельность, равномерно сходящаяся внутри К2 \ {0} к отображению % (ю). Так как |ул (ея)| = 1, 0 <0< 2п,

а сходимость равномерна на окружности |ю| = 1, то у0 (ю) Ф const. Поэтому отображение у0 (ю) однолистно в К2 \ {0} и в силу нормировки

Vo С1) = !> Vo (°) = °> Vo(®) = ® совпадает с тождественным. Отсюда заключаем, что отображения фл (ю) сходятся равномерно к

тождественному внутри кольца 0 < |ю| < 1, а отображения F (х) - внутри области A \ {0}.

Зафиксируем произвольно круг

В(0, d) = {x е К2 : |Х < d} , содержащийся строго внутри каждой из областей А и В. Для достаточно больших п множества Dn = D \ Kn суть двусвязные области, и для доказательства соотношения (9) достаточно

Отсюда получаем

lim(mod(D„) + :1log р) = :1log d. (11)

2п 2п

lim(mod( A) - mod( Dn)) = — log

/J—> сс 2п

(Rл

V Rd J

(10)

Обозначим через рп образ окружности |х| = 3 при отображении х = Рп (х), через - двусвязную область, заключенную между рп и окружностью |х| = рп.

Заметим, что = Рп (Вп). Из равномерной сходимо-

сти отображений Рп (х) к тождественному следует, что кривые рп равномерно сходятся к окружности |х| = d.

Поэтому мы можем утверждать существование последовательности е,,е,,... положительных чисел, стремящейся к 0 и такой, что каждая из областей содержится в кольце р < |х| < d + ел и содержит внутри себя

кольцо р < |х| < d -ел . Сравнивая модули этих круговых колец с модулем двусвязной области Бп , приходим к неравенству

^ < шоа(д,) < й+ £” .

р 2п рп

С другой стороны [5],

lim(mod(А„) + ^log р) = :1log R4. 2п 2п

(12)

Объединяя (11), (12) и учитывая, что d = Rd , mod( An) = mod(An), mod(D) = mod(.Dn), приходим к (9).

Доказательство первого из утверждений леммы следует из теоремы 3.7.1 [4] и доказанного выше. По поверхности Q находим распределение характеристик (p(x), 0(x)) в области D. Посредством вспомогательного квазиконформного отображения Е, = ю(x): D ^ М2 вводим в Q изотермические координаты. Тем самым находим односвязную область D = ю(D) и метрику

d^ D (13)

такие, что для произвольного семейства дуг (или кривых) Г, лежащих в D, выполнено

modn Г = mod^ Г, где Г = ю(Г) и mod Г означает модуль Г* в метрике (13). Но метрика (13) конформна и потому

mod Г = mod Г . (14)

Таким образом, мы имеем modn(4,)- modn(B) = mod(rn(4,)) - mod(rn( An)). (15) Проблема существования предела (8) равносильна вопросу о существовании предела в левой части соотношения (15) и сводится к уже доказанному утверждению.

Фиксируем произвольно три простых конца e', e0, e' е D \ D , расположенных в порядке положительного обхода границы D \ D. Пусть 1 с D - жорданова дуга, отделяющая в D конец е' от е0 и е". Выберем локально липшицеву функцию h : D ^ (0,1), такую что lim h(x,y) = 0, h \j = 1, (16)

и для любого компакта A с {(x, y) e D : 0 < h(x,y) < 1} выполнено

ess inf |Vh(x, y) | > 0. (17)

Обозначим через Eh (t) компоненту связности множества

{(x,y) e D : h(x,y) = t}, отделяющую простой конец е' от e0 и е". Положим

К= J (ghl + 2 S2KK + Jj^^hJdx2 + dy-,

E„(t) |Vh|

где g (i, j = 1,2) - элементы обратной матрицы

(g) = (% у1.

Имеет место утверждение.

Лемма 2 [2. Лемма 7.2.2.]. Пусть f : D ^ ^ - однолистное, конформное в метрике ds^ отображение. Тогда если

[ ^ =Ю, (18)

IК ()

то образом простого конца е’ является некоторый простой конец области f (О).

Всюду ниже до конца главы мы предполагаем, что

поверхность Ос М" - локально билипшицева и задана посредством вектор-функции (1) над некоторой

односвязной областью О С М.2 с непустой границей. Пусть, далее, О С О - односвязная область, (0,0) е О

и О удовлетворяет условию (18) в каждой «граничной точке» е е дО, а функция Л(х) / Цх) является суммируемой по области О. Зафиксируем три различных простых конца е’, е0, е", входящих в область О и расположенных в порядке положительного обхода множества

О \ О . Рассмотрим произвольную односвязную подобласть О', примыкающую к простому концу е’, непримыкающую к е" и имеющую связную границу даО' относительно области О. Пусть у,,у,- произвольная цепь сечений, определяющая простой конец е’ и являющаяся одновременно цепью сечений подобласти О'. Пусть Г' - множество всех локально спрямляемых дуг ус О, замыкания которых [ у]~ представляют собой простые жордановы дуги в G, разделяющие в О сечение [уп ]~ замкнутую дугу в0в" с G \ G, не содержащую на себе простого конца е’. Пусть А' п -множество всех локально спрямляемых дуг ус О', замыкания которых [у]~ являются простыми жордано-

выми дугами в О и разделяют в О множества [даО']~. Так как подобласть О' примыкает к простому концу е’, то для достаточно больших п множества Г' и А'

О

\іп ]£

не пусты.

Теорема 1. Существует конечный предел 1гт(тоёп(Г'„)- то^(А )),

(19)

не зависящий от выбора цепи сечений у,,Ъ, Ъ, •••, определяющей простой конец е’.

Доказательство. В силу предположения (14) и гипотезы о суммируемости функции Л(х)/ Цх) по области О отображение (1) продолжимо по непрерывности до гомеоморфного отображения дБ на Ж. Таким образом, как и при доказательстве Леммы 1, достаточно проверить справедливость (19) лишь в случае евклидовой метрики dsn =| dx |. Пусть w = /(х) - однолистное конформное отображение области О на верх-

н+

/(е') = 0, /(е) = а, /(е'') , (а> 0).

(20)

Так как модуль семейства кривых есть конформный инвариант, то шоё( Г 'л) = шоё( / (Г 'л)) и в силу принципа симметрии для модуля семейства кривых в евклидовой метрике (см. лемму 1.5.2 [2]) имеем

шоа(г;) = 2шоа(/(г;) + / (г;)). (21)

Замкнем каждую кривую семейства {/(/) + /(Г'п)}, присоединив к ней ее предельные

точки на горизонтальной оси 1т w = 0 . Множество всех кривых, полученных посредством такой процедуры из

семейства {/(/) + /(Г’п)}, будем обозначать символом [Г'п ]. Нетрудно видеть, что модуль семейства при

этом не изменится и равенство (21) остается справедливым, т.е.

шо^Г') = 2 mod [Г'п ]. (22)

Фиксируем произвольно сечение ул из цепи сечений, определяющей простой конец е’, и обозначим через [ул ] кривую, полученную из кривой / (уп) + / (уп) посредством ее замыкания. Пусть Ап - двусвязная область, заключенная между кривой [ ул ] и лучом Ь = е С : 1т м = 0, Яе м > а}. Покажем, что

шо^[ Г'„ ]) = шо^ 4,)- (23)

Действительно, каждая кривая уе [Г \ ] содержится в области Ап и разделяет граничные компоненты Ап. Поэтому на основании свойства монотонности модуля имеем

ш°^[Г'п ]) ^ Шod(4 ). (24)

С другой стороны, поскольку семейство /(Г'п) + /(Г'п) состоит из кривых, симметричных относительно вещественной прямой, то при вычислении его модуля достаточно ограничиться допустимыми функциями р (х), такими что р(х,, х,) = р(X - X). Пусть р (х) - произвольная допустимая для

/ (Г'п) + / (Г'п) функция с указанным свойством и пусть у - произвольная кривая, разделяющая граничные

компоненты области Ап. Обозначим через у+ связную компоненту у, лежащую в верхней полуплоскости

и разделяющую в граничные компоненты Ап

через у су - дугу с аналогичным свойством, лежащую в нижней полуплоскости. Так как область Ап симметрична относительно вещественной прямой, то кривые у+ + у+, у~ + у_ содержатся в семействе

/(Г'п) + /(Г'п). Отсюда, в силу симметрии функции р (х) получаем

|р(х)|^х|> |+ | =1 + 2 > 1.

Итак, функция р(х) оказывается допустимой для семейства кривых, разделяющих граничные компоненты Ап. Поэтому шо^/(Г'п) + /(Г'п)) > mod(Лп) и

т°^[г'п ]) ^ mod(4, )■ (25)

Объединяя (24), (25), приходим к (22), откуда, учитывая равенство (23), получаем окончательно

т°^[г'„]) = 2тоа(4). (26)

Обозначим теперь через Рп наибольшую из двусвязных областей в Сю, симметричных относительно вещественной прямой, совпадающих в И~+ с областью / (б'п) и имеющих в качестве одной из граничных компонент кривую [ ул ] - т.к. подобласть О' не примыкает к простому концу е" и имеет связную границу даС, то множество кривых [Дл ], полученных из семейства /(Г’п) + /(Г’п)

посредством замыкания, состоит из тех и только тех кривых, которые содержатся в области Рп симметричны относительно прямой 1т w = 0 и разделяют граничные компоненты Рп Как и выше, устанавливается, что

шоё(А^) = 2 шоё(р). (27)

Равенства (26), (27) и известная связь между приведенным модулем и внутренним радиусом плоской односвязной области (см. [5]) позволяют заключить о существовании предела

1 О

Нш(шоё(.Г') - шоё(Л') = —1о^ —, (28)

„-КС П Ор

где Ял - внутренний конформный радиус относительно точки w = 0 плоскости СМ! с разрезом по лучу L; яР - внутренний конформный радиус области Р = Р„ и {0}. Теорема доказана.

Анализ установленных соотношений приводит к мысли о существовании определенной аналогии между пределом (19) и приведенным модулем односвязной области относительно внутренней точки. В соответствии с этим мы назовем предел (19) приведенным модулем подобласти С относительно простого конца е’ и области О с отмеченными простыми концами в0, в. В дальнейшем будем обозначать этот предел символом ка (Ое / е0, е") или, в тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, символом ка (О'). Для О = К" индекс О в обозначениях ка (Gе / е0, е") и ка (G') будем опускать.

Равенство (28) содержит в себе существенно больше информации, нежели это было необходимо при доказательстве теоремы. Приведем два полезных для дальнейшего следствия теоремы 1.

Пусть О С Ох - односвязная область с непустой границей и фиксированными простыми концами е’, е0 и в”. Пусть О - односвязная подобласть О, примыкающая к е’ и не примыкающая к е". Пусть ю = /(х) -однолистное конформное отображение области О на верхнюю полуплоскость Ы~+ с нормировкой (20). Обозначим через Р наибольшую из односвязных областей в Си, содержащих точку ю = 0, симметричных относительно вещественной прямой и совпадающих в Ы~+ с областью /(О'), через Яр - ее внутренний радиус

относительно точки ю = 0 .

Следствие 1. Справедливо равенство

4а

к (в', в' / е, в") = п‘ 1сё— . (29)

Доказательство следует из (28), если заметить, что КА = 4а.

Нетрудно проверить, что введенная величина является конформным инвариантом. Предположим теперь, что О и О' - произвольные односвязные подобласти односвязной области О с О. , примыкающие к простым концам е и в' соответственно. Предположим, что подобласти О' и О" не налегают, т.е. С П С = 0, и имеют связные границы дсО' и дсО ”. Если зафиксирован некоторый простой конец е0, входящий в О, то имеет смысл говорить о приведенных модулях ка (С, в / в0, в'') и ка (С, в / в0, в”). Применяя известное неравенство для конформных радиусов неналегающих областей, получаем

Следствие 1. Справедливо неравенство

кЛ(О') + кп (С") > — ^16. (30)

П

Введенная величина позволяет решить некоторые граничные задачи теории конформных отображений поверхностей, используя методы, хорошо разработанные для внутренних задач теории конформных отображений плоских областей [1, 9-11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Миклюков В.М. О некоторых граничных задачах теории конформных отображений // Сибирский математический журнал. 1977. Т. XVIII,

№ 5. С. 1111-1124.

2. Миклюков В.М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2005.

3. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974.

4. Teichmuller O. Untersuchungen uber konforme und quasikonforme Abbildung // Dtsch. Math. 1938. № 3. S. 621-678.

5. Митюк И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения // Изв. вузов. Математика. 1964. № 2. С. 110-119.

6. Митюк И.П. Приведенный модуль в случае пространства // ДАН УССР. 1964. № 5. С. 563-566.

7. Левицкий Б.Е. Приведенный^-модуль и внутренний^-гармонический радиус // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 4. С. 812-815.

8. Дубинин В.Н. Некоторые свойства внутреннего приведенного модуля // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35, № 4. С. 774-792.

9. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. Томск: ТГУ, 2002.

10. Warschawski S.E. On the boundary behavior of conformal mappings // Nagoya Math. J. 1967. Vol. 30. Р. 83-100.

11. Rodin B., Warschawski S.E. Estimates for conformal maps of strip domains without bound-ary regularity // Proc. London Math. Soc. 1979. Vol. 39. Р. 356-384. Статья поступила в редакцию журнала 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.