Граничное поведение мероморфных функций в многосвязных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 18, 2011

УДК 517.544

К. А. Быстрова

ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

В первой части статьи доказывается аналог теоремы Ка-ратеодори о граничном соответствии в случае конечносвязной области. Вторая часть посвящена доказательству аналога теоремы Плеснера (о структуре предельных множеств граничных точек) для круговой конечносвязной области.

Введение

В 1912 году К. Каратеодори доказал, что при однолистном конформном отображении односвязной области О на единичный круг {|г| < 1} между точками окружности {|г| = 1} и простыми концами области О существует взаимно однозначное соответствие. А. П. Кармазин в [1] упоминает о том, что подобный результат имеет место и в случае многосвязных областей, но при этом доказательств не приводится. Первая часть этой статьи посвящена обобщению теоремы Ка-ратеодори на случай конечносвязной области.

Точками Фату для мероморфной в круге {|^| < 1} функции /(г) называются точки £ € {|г| = 1}, в которых /(г) имеет угловые пределы. Точками Плеснера функции /(г) называются такие точки £ € {|г| = 1}, в которых предельное множество по любому углу с вершиной в точке £ совпадает с расширенной комплексной плоскостью. В 1927 году А. И. Плеснер доказал, что для любой мероморфной функции / в единичном круге {|г| < 1} множество точек окружности {|г| = 1}, которые не являются точками Фату и не являются точками Плеснера, имеет меру нуль. Во второй части данной статьи доказан аналог этой теоремы для круговых п-связных областей.

© К. А. Быстрова, 2011

§ 1. Принцип соответствия границ для конечносвязных областей

Определение 1. Открытая кривая Жордана С называется поперечным разрезом области О (область О — конечносвязная), если

1) С С О;

2) С = С и {а, Ь}, где а и Ь принадлежат одной из граничных компонент области О.

По аналогии с [2] (см. также [3]) в последующих определениях 2-5 введем понятие простого конца конечносвязной области.

Определение 2. Последовательность Жордановых дуг (сп)§° называется цепью разрезов области О, если

1) сп — поперечный разрез области О (п = 0,1,...);

2) Сп П Сп+1 = 0 (п = 0,1,. . .);

3) Иш ё1аш(сп) = 0;

п——

4) сп разделяет со и сп+1 (п = 1, 2,...) (то есть со и сп+1 лежат в

разных областях множества О\сп).

Определение 3. Две цепи разрезов (сп) и (с'п) называются эквивалентными, если для достаточно большого п существует такое т, что сп будет разделять с0 и с'т. Это же свойство должно быть выполнено, если сп и с'п поменять местами.

Введенное в определении 3 понятие эквивалентных цепей порождает отношение эквивалентности на множестве всех цепей области О. Таким образом, множество всех цепей разрезов О разобьем на классы эквивалентности.

Определение 4. Простым концом области О называется класс эквивалентных цепей.

Пусть р — простой конец области О. Выберем (сп)§° € р — последовательность разрезов, определяющих простой конец. Построим множества Уп. Каждый разрез сп делит О на две подобласти. Обозначим Уп ту область из О\сп, которая не содержит со. Из определения 2 п. 4 вытекает, что Уп+1 С Уп (п =1, 2,...).

Определение 5. Множество

Ж

і (р) = П V»

п= 1

называют носителем простого конца р.

Каратеодори был доказан следующий принцип соответствия границ ([3, гл. 2, § 3], см. также [2, гл. 2, п. 2.4]).

Теорема А (Принцип соответствия границ). При однолистном конформном отображении односвязной области В на единичный круг А = {С| |С| < 1} между точками окружности |£| = 1 и простыми концами области В существует взаимно однозначное соответствие.

При этом из доказательства теоремы А вытекает следующее

Замечание 1. Для любой фиксированной точки £ є дА соответствующий ей простой конец области В определяется цепью разрезов, состоящей из образов дуг концентрических окружностей, лежащих в А, с центром в точке £ и радиусами г„ ^ 0.

Область, ограниченная конечным или бесконечным числом полных окружностей без общих точек, некоторые из которых могут вырождаться в точки, называется круговой областью (см. [3]).

Для конечносвязных областей справедлив следующий аналог теоремы Римана, доказанный в книге [3].

Теорема В. Существует функция, однолистно отображающая данную конечносвязную область О плоскости г, содержащую ж, на круговую область плоскости £, также содержащую ж, и притом так, что

т / \ °-1

в окрестности точки г = ж она имеет разложение У(г) = г +------+ ....

В силу теоремы В естественно возникает вопрос: будет ли справедлив для конечносвязных областей аналог теоремы А. Ответом на него является следующая

Теорема 1. Если / регулярно и однолистно отображает некоторую п-связную область О на круговую п-связную область Н, то существует взаимно однозначное соответствие между точками границы области Н и простыми концами области О.

Доказательство. Достаточно считать, что О и Н содержат ж, в противном случае подействуем на области соответствующими дробнолинейными преобразованиями.

Можно считать, что все граничные компоненты области О являются невырожденными. Действительно, пусть К — одна из граничных компонент области О. Если К вырождена, то К = {а} — изолированная граничная точка области Н. Отсюда следует, что а — изолированная особая точка функции /. К = {а} не может быть полюсом, так как ж € О. К = {а} не является существенно особой точкой, так как это противоречит теореме Пикара. Следовательно, К = {а} — устранимая особая точка. После устранения особенности во всех таких вырожденных граничных компонентах области О функция f будет регулярной и однолистной в некоторой области, содержащей область О. Таким образом, изначально можем считать, что область О из условия теоремы 1 не имеет вырожденных изолированных граничных компонент.

Обозначим К1 , . . . , Кп — граничные компоненты области О, а ^1,..., Ьп — граничные компоненты области О. Рассмотрим односвязную область О1, которая содержит О и дО1 = К1. Достаточно показать, что между простыми концами области О1 и точками окружности существует взаимно однозначное соответствие.

Пусть р — простой конец области О1 . Выберем последовательность разрезов (сп)д° € р, определяющих простой конец р. Возможно, что (сп) пересекает одну из граничных компонент области О. Тогда будем рассматривать эту цепь разрезов, начиная с достаточно большого номера N.

Так как О1 — односвязная область, то по теореме Римана мы можем отобразить ее регулярно и однолистно на внешность круга. Затем, применяя теорему А, мы получим, что существует взаимно однозначное соответствие между точками окружности и простыми концами области О1. Поскольку аналогичные рассуждения верны для каждой из компонент К2,..., Кп (а соответствующие односвязные области для них обозначим О2,..., Оп), то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между простыми концами области

п

О и точками

5=1

Теорема доказана. □

Из замечания 1 и доказательства теоремы 1 вытекает следующий

способ соответствия между простыми концами п-связной области и граничными точками соответствующей круговой области Н: пусть / регулярно и однолистно отображает круговую п-связную область Н на некоторую п-связную область О. Выберем произвольную точку £ на границе области Н и зафиксируем ее. Рассмотрим семейство окружностей Сп = {|г — £| = гп}, которые стягиваются к точке £ при п ^ ж. Образы / (Сп П Н) составляют цепь разрезов, которая определяет простой конец, соответствующий точке £.

§ 2. Теорема Плеснера для круговых конечносвязных областей

По аналогии с [4] введем следующие понятия.

Определение 6. Пусть / определена в области В, где В — область, ограниченная конечным числом гладких кривых, Е С В, £ € Е. Если существует такая последовательность гп € Е, что гп ^ £ и /(гп) ^ ш € С, то ш называется предельным значением функции / в точке ( по множеству Е. Множество всех таких предельных значений называется предельным множеством функции / в точке ( по множеству Е и обозначается С(/, £, Е).

Замечание 2. Если в определении 6 множество Е — угловая область Ш(£), то есть область, ограниченная двумя лучами, исходящими из точки £ и дугой окружности |г — £| = р при некотором р > 0, а С(/, £, Е) состоит из единственной точки а, то предельное значение функции / называется угловым пределом по углу Ш (£).

Определение 7. Будем говорить, что / имеет угловой предел (угловое значение) а € С в точке С € дВ, если Иш /(г) = а для любой

ш (Оэ^с

угловой области Ш (£) С В с вершиной в точке (.

В случае, когда В — круг Д, известна следующая теорема из [5].

Теорема С (Плеснер). Если функция /(г) мероморфна в единичном круге, то окружность может быть разбита на три множества Е1, Е2, Е3, такие, что

1) ^Ез = 0;

2) на множестве Е1 функция /(г) имеет конечные угловые значения;

3) для любой угловой области Ш(го) С А с вершиной в точке го є Е* С(/,го,Ш(го)) = С.

В [6] показано, что можно построить аналитическую функцию в |г| < 1, для которой множество всех точек Плеснера плотно на |г| = 1 и имеет меру 0 < т < 2п.

Следующая теорема 2 является обобщением теоремы С в случае конечносвязной круговой области.

Теорема 2. Если функция /(г) мероморфна в круговой п-связной области Н, то граница области Н может быть разбита на три множества Е*, Е*, Е|, обладающих следующими свойствами:

1) МЕ| = 0;

2) на множестве Е* функция /(г) имеет конечные угловые граничные значения;

3) для любой угловой области Ш(го) С Н с вершиной в точке го Є Е* С(/,го,Ш(го)) = С.

Точки из Е* называются точками Фату, а точки из Е* — точками Плеснера функции /.

Доказательство. Пусть Н — п-связная круговая область, содержащая точку ж. Выберем одну из граничных окружностей 7 области Н. Построим замкнутую кривую Жордана Г, лежащую в Н за исключением своих концов а = Ь Є 7, такую, что Г и 7 является границей односвязной области Н1 С Н. По теореме Римана существует функция ш = Ф(г), регулярно и однолистно отображающая Ні на круг А. По теореме Каратеодори (см., например, [7]) это отображение можно гомеоморфно продолжить на границу области Н1, при этом Г перейдет в некоторую дугу Ь С дА, а 7 — в остальную часть I С дА.

Пусть г = Л.(и>) — функция, обратная к ш = Ф(г). Рассмотрим ^>(и>) = /[Л.(и>)] — мероморфную в круге А функцию. Тогда по теореме Плеснера граница круга А может быть разбита на три множества Еі, Е2, Ез с указанными в теореме С свойствами.

По принципу симметрии Шварца аналитически продолжим функцию Ф в область, симметричную относительно 7. Полученная в результате продолжения функция Ф(г) является конформной во всех точках дуги 7, за исключением точек а = Ь (аналитически продолженные отображения Ф(г) и Л.(и>) обозначим также). При этом функция

Л.(и>) будет конформна в некоторой области П, симметричной относительно /, П Э /.

Докажем, что 7 можно разбить на множества Е*, Е*, Е3, где Е* — множество точек Фату функции /(г), Е| — множество точек Плеснера этой же функции и у«Е3 = 0.

Обозначим /0 = /, Е{ = Е1 П/о, Е2 = Е2П/о, Е3 = Е3П/0. Эти мно-

жества Е(, Е2, Е3 обладают теми же свойствами, что и Е1, Е2, Е3, как их соответствующие подмножества. Пусть Е* = Л(Е1), Е| = Л(Е2), Е3 = Л(Е3) и {а}. Тогда Е* и Е| и Е3 = 7, Е*, Е*, Е3 — дизъюнктны.

Фиксируем точку £' € Е*. Обозначим £ = Ф(С'). Возьмем произвольную угловую область раствора а с вершиной в точке £' из Н1. При отображении Ф(-г) стороны угла перейдут в гладкие кривые, исходящие из точки £, ограничивающие «криволинейный» угол . Из конформности отображения Ф(-г) в 7\а следует, что для любого е,

0 < е < п — а, существует угловая область раствора а + е С Д с

вершиной в точке £, которая содержит Ша, если &атШа достаточно мал. Поскольку точка С является точкой Фату функции у>(ад), то существует конечный Иш ¥>(^) = _ Иш /[Л('ш)] = Иш /(г).

Ша + еЭ^^С ШаЭШ —£ К»Э^ —С'

Следовательно, точка С' является точкой Фату функции /(г). Тем самым доказано, что Е* — множество точек Фату функции /(г).

Пусть точка Л' € Е*. Обозначим Л = Ф(Л'). Возьмем произвольную угловую область раствора а с вершиной в точке Л' из Н1. Как и в случае точек Фату, обозначим угол = Ф(Уа). Снова из конформности Ф(г) для любого е, 0 < е < а, существует угловая область достаточно малого диаметра С Д с вершиной в

точке Л, которая содержится в Ша. Поскольку Л — точка Плеснера, то С(у>, Л, Ша_е) = С, поэтому С(у>, Л, Ша) = С, то есть для любого £ € С существует последовательность адп ^ Л, адп € Ша, такая, что Иш <^(адп) = £. Обозначим гп = Л(адп) € Ка, гп ^ Л' из непрерыв-

п—— ^

ности Л.. Тогда Иш /(гп) = Иш /[Л(адп)] = Иш ^(адп) = £. Следова-

п—— ^ п—п——

тельно, предельное множество функции / в точке Л' С(/, Л', Ка) = С, то есть Л' является точкой Плеснера функции /(г), таким образом, Е* состоит только из точек Плеснера.

Покажем, что ^Е3 = 0. Действительно, Л(и>) — гладкое отображение и ^(эд) = |Л'(ад)|2 = 0 на / (Л — конформно в П), ^Е3 = 0. Для таких отображений в Сйе[с. 77]ак11оу доказано, что множество нулевой меры переходит в множество нулевой меры. Поэтому у«Е3 = 0.

Это завершает доказательство теоремы 2. □

Предложение 1. В круговой п-связной области Н существует голоморфная функция, для которой множество точек Плеснера плотно на границе области Н и имеет меру т, 0 < т < Ь, где Ь — линейная мера дН.

Доказательство. Рассмотрим единичный круг А = {|г| < 1}. Пусть /(г) — голоморфная функция в А, для которой множество точек Плеснера Е* плотно на окружности и имеет меру т, 0 < т < 2п (см. С[6]). Мера подмножества единичной окружности при преобразовании симметрии г ^ г = 1/г и при сдвиге не меняется. Из определения меры следует, что при растяжении £ = гг, г > 0, мера подмножества единичной окружности увеличивается в г раз. Таким образом, при отображении £ = г/г + а мера образа множества Е*, обозначим его Е*, будет равна тг. При отображении £ (г) = г/г+а круг А перейдет в П = {|£ — а| > г} —внешность круга. Обозначим у>(£) = /(г/(£ — а)) — функцию, голоморфную в П. Пусть А' Є Е*. Обозначим А = г/(А' — а). Далее, по аналогии с тем, что сделано в доказательстве теоремы 2, получим, что А' — точка Плеснера функции у>(£) (остальные точки на дП, за исключением множества меры нуль, будут точками Фату). Поскольку при отображении £ (г) плотное множество на единичной окружности переходит в плотное множество на дП, то для рассматриваемой функции у>(£) в П множество точек Плеснера будет плотно на дП.

Пусть Н — круговая п-связная область. Обозначим а^ — центры граничных окружностей области Н, а г^ — соответствующие им радиусы, к = 1,..., п. В предыдущих рассуждениях заменим а, г, ^ на а^, г^, соответственно и Е* на Е(й). Тогда Е(й) является множеством точек Плеснера функции ^(£) и ^Е(й) = тг^. Обозначим

П

^=1

Из определения е2&) следует, что множество <?2 является плотным на границе области Н. Поскольку ^Е(й) = шг^, то

П

Покажем, что состоит только из точек Плеснера голоморфной в H функции

П

ф(с ) = Е ^(z). k = 1

Пусть А' € E2, тогда A' € для некоторого k. Поскольку

состоит только из точек Плеснера, то А' является точкой Плеснера функции (Z), то есть для любого t € C существует последовательность Zn ^ A', Zn € Wa, Wa — угол раствора а с вершиной в точке А', такая, что lim ^fc(Zn) = t. Рассмотрим

n——

n

lim Ф(Сп)= lim V(Zn) = lim (Zn)+ lim (^1 (Zn) + ... +

n—n—J n—— ^ n——

k=1

^fc-1(Zn) + ^fc+1(Z'n) + ... + ^n(Z'n)) = t + ^1(A') + ... + ^fc-1(A') +

+^fc+1(A') + ... + ^n(A') = t + A

где A — константа, зависящая от A'. Если t € C, то t + A пробегает C. Таким образом, A' является точкой Плеснера функции Ф^) и состоит только из точек Плеснера функции Ф^) (остальные точки dH, за исключением множества меры нуль, являются точками Фату). □

Resume

It is proved analog of the Caratheodory’s theorem about boundary conformity in a case finitely connected domain in the first part. The second part is devoted to the proof of the Plesner’s theorem for circular finitely connected domain.

Список литературы

[1] Кармазин А. П. Квазиизометрии, теория предконцов и метрические структуры пространственных областей. Применения теории предконцов. Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008.

[2] Pommerenke Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps // Grundlehren Math. Wiss. V. 299. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

[3] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

[4] Коллингвуд Э., Ловатер Л. Теория предельных множеств. М.: Мир, 1973.

[5] Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. 2-е изд. М.; Л.: Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.

[6] Piranian G., Lappan P. Holomorphic functions with dense sets of Plessner points // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 21. No 3. P. 555-556.

[7] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

[8] Акилов Г. П., Макаров Б. М., Хавин В. П. Элементарное введение в теорию интеграла. Л.: Букинист, 1969.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]