Распространение метода Монахова В. Н. Для однородной смешанной задачи с параметрами (эадача p 0 k) на конечносвязные круговые области в классе мусхелишвили h 0 Текст научной статьи по специальности «Математика»

114

А.С. Сорокин

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

А.С. Сорокин

РАСПРОСТРАНЕНИЕ МЕТОДА МОНАХОВА В.Н.

ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (ЗАДАЧА P0h ) НА КОНЕЧНОСВЯЗНЫЕ КРУГОВЫЕ ОБЛАСТИ В КЛАССЕ МУСХЕЛИШВИЛИ h0

В последнее время удалось построить ряд интегральных представлений регулярной и однозначной в многосвязной круговой области функции, являющейся решением краевых задач в этой области, с явным заданием ядерных функций [1-

7] .

В связи с необходимостью преодоления эффектов многозначности, проявляющихся из-за многосвязности области, указываются дополнительные условия разрешимости .

В настоящей статье продолжаются исследования аналитических представлений решений краевых задач теории аналитических функций [2,3,6-

8] . Цель данной работы - построение представления регулярной и однозначной в многосвязной круговой области функции, являющейся решением однородной смешанной задачи с параметрами

(задача Р^ ) на конечносвязные круговые области в классе Мусхелишвили ho [ 8, с. 266].

Рассмотрим решение задачи Р^ в классе

многозначных аналитических функций.

Назовём классом Мусхелишвили

h(aj m J = 1 ,...,qm;tn = ОД,...,и) класс аналитических функций (вообще многозначных) в (и + 0 — связной круговой области К, ограниченных в граничных точках dj m,j =

/77=0,1 ....,/2 и неограниченных, быть может, в гра-

ничных

точках

/77=0,1

Отметим, что функция

v ( о ^ гт тпг ^

ХпА2Лрт,дт)= || j .11

н Vе»-"*-1-*-" ’

/и = 0,1,...,я, (1)

принадлежит к классу Н.И.Мусхелишвили

= Г-.?»; т = о,1,-,«)

Классы функций

J = 1 ,...,qm\tn = 0,1,...,и)

и h{aj,m J = Ч„ +1,-,2р,„; т = 0,1,...,и) бу-

дем называть союзными. Класс, соответствующий qm = 0, 777=0,1....,п, обозначим через ho, а класс

%„,./ = U,2/>,,,; ш = 0,1....,« ) через Ьгрщ.

Здесь и в дальнейшем считаем, что множество граничных точек

разбито на подмножества

«=0,1....,и

и bjm,j = qm+l,...,2pm; /и = 0,1,...,я.

Пусть

кп=Рт~Ят, «=0,1....,Л (2)

Из(1)и(2) следует

0<д„,<2рт,т = 0Х-,п,

от = 0,1,...,и. (3)

Далее, пусть

П

д' = 2Х> <4>

т=0

где

-*•»>*» <0,

0 , кт > 0.

Пусть функция Ф0(д) аналитическая в (п+1)

- связной круговой области К, полученной как пересечение круга |z| < R0 с внешностью кругов

\z — ak\> Rk ,к = Пусть на граничных

компонентах Ск(<^):|<^ — ак| = Rk, к=0,\....,п заданы точки

а\,к->Ь\,к* а2,к^2,к’ "•» арк ,к > ^рк ,к »

расположенные в том порядке, в котором они выписаны. Пусть вещественная часть функции

<P0(z) на дугах yk:aJM;bJJc,j = l,...,pt,

Прикладная математика

115

к= О,1... .,п и мнимая часть Ф0 (z) на дугах г к -Ь]М’а1+и =

=а1к;к = Оу1,...,пу

принимает значение нуль.

Отметим, что общее решение класса hQ однородной смешанной задачи в односвязной области Dk дается формулой [8, гл. 4, §94]

yjRk{z) е=0

£ = 0,1,..., л,

(6)

где 8т — символ Кронекера [9] ,

причем С( к — комплексные постоянные, связанные соотношениями

Г =С Rn~Pk / = 01 п •

^Рк-е,к ^e,klvk ft ^,1,...,/^,

к= 0,1....,л (7)

Функция Ф0Дг) принадлежит классу Н.И.

Мусхелишвили hg.

Нахождение аналитической в (д+1) -связной круговой области К функции 0*(z) по извест-

ным аналитическим в односвязных областях Dm, я?=0,1....,/? функциям ф*от(г), /и = 0,1,...,я; заданным с помощью (6), сведём к решению специальных систем уравнений, используя возможность представить функцию Фо^)ввиде [10]

П

фо(2)= Mi+%(z)+E(%(z)+a Ч*-«*))>

к=\

(8)

где М, — некоторая постоянная, Ак — некоторые вещественные коэффициенты, <pk(z)— регулярная функция в Dk,к = ОД,...,п, причем %(0) = 0,%(оо) = 0Д = \,...,п.

При этом функцию Ф0(г) будем отыскивать в виде суммы

<Do(z) = M,+^%(z). (9)

к=0

В силу принятых обозначений, на граничных компонентах С^(^) области К имеют место соотношения

Re<t>;(<r)=/;fel (ю)

КсФ^) = (ГеСДЧ *=о,!....,«(П)

Предположим, что функции fk(^\ fk(^\

к= 0,1....,я непрерывны. Из (8) с помощью (10) и (И) получаем

р=]

^еСД^), *=0,1....,л (12)

Из (12) следует соотношение для функций известных на граничных компонентах

ct(C)

/к(£)=М-£Аръ\;-ар,

р=1

feCt(f). (13)

Умножим обе части равенства (13) на

1 ^ + z-2a„,

2 m{£-zU-aMr

и проинтегрируем произведение по

Ст($), т = 0,1,...,п;

\Ш

С,Л)

С + г-2ат

(C-zXC-am)

Ч=ф;»-

C + z-2 ап

2лг' С.({)

df,

Ч^-гХ^-О

т = 0,1,...,(14) Преобразуем правую часть 14). Непосредст-

венные вычисления дают

1 г НС~аР

-f

ш

1п(Ло2-аР42е£)о.

С0(<Г)

4T-Z

Щ =

In

/ л

Z

z-an

v

,z<£D0,

1 r [1пО?Дгб/)„

- J

т А

сА$)

щ = -

о

,ziDp,

р = \,...,п,

(15)

1 r lnk'-a I

- J -±---% =

"«Л)

In [(a* -а^г-а^к* р, 0; геД,

т

In

/_ар~ак Л

va„--4z)

, к Ф /?,0; z .

При подсчете первого слагаемого в правой части (14) используем оператор Шварца для односвязной области Dm

ф;,,(^)=^т !м(/+у~2°т ж, (16)

2тс.(() (C-zM-a,„)

116

А.С. Сорокин

где 5т — символ Кронекера [10].

Далее, в полученном равенстве (14) заменим Л(£)и Ас) по формулам (11) , (9) и, преобразовав результат с помощью (1.7) и формул Коши , придём к системе уравнений для определения функций <pk{z), к = 0,1,..Л/;

%0)+Х%А>(2)=фо,о(2) +

где

в: (г) - гД,„ (г)п Г п •

ыо YkLtLm\z)

(А

кфт

e'AzA)=

фо,,„(2)- Хфо,* а(А

к=0 к*т

(21)

, (22)

к=\

Так как из (16) следует

+

р=1

л»2

я» ~a»z

ф0,т(2)=ф;т(г| -Ф (23)

р J

п _

vSA+Y^vASA

+ХА1п

/2=1

рфт

к=0 к*т

'_а„-а,„ '

Ka„-L,Xz)

Z Z то (22) преобразовывается к виду

= ф4(4 ОО + ОО 4(ZA,)=2>444(4 (t=0

, т = \,...,п.

(П)

Пусть Ьт — фиксированная точка в области Dm = 0,1,...,/7. Обозначим

Z

Ч(А=

2~аР

ак~аР

z-a„

-, при к = 0

, при к Ф0,р (18)

1, при к = р',р,к = 1,...,п.

Посредством вычислений, аналогичных использованным в выводе системы уравнений [11,

формулы (4.2)] , из (17) находим, что (p,„{z) удовлетворяет системе уравнений

п _

•pAA+'LvaAA

к=0 к*т

= ф1,ЛА

+

+ Zар]пГАЛА> т = 1,...,п, (19)

Р=1

которую можно преобразовать в систему линейных уравнений. Заменив с этой целью в (19)

А: на кх и Ж на к и подставив полученное

значение <РАА в правую часть формулы (19) , находим

(^)-Z2Xaa,(z)

к= 0 А,=0 кфтк^фк

+ХА1п/?»(4

= ElizA,)+

(20)

(24)

С целью более полного исследования (20) рассмотрим систему уравнений

<р,„(А--*Х Х%, laAA = KizA,)+

к=0 к{ = 0 ьт

к*ткхФк

п

+ ХА|п£)'»(4 т = 0,\,-,п, (25)

р=\

в которой Я — комплексный параметр, совпадающий с (20) при Я = 1.

Решим систему (25) методом последовательных подстановок, представив каждую функцию

(рт (z) в виде ряда Неймана

GO

%,(4 = ХЯ>.Д4 т = 0,1,...,и. (26)

к=0

За начальную подстановку возьмем свободный член уравнения

<Ро,п,(z)= К (z> )+ X АР ln Врт (z),

Р~ 1

т = 0,1,(27)

Если функции (pvk{z) уже построены , то

подстановка строится с помощью (25) и определяется рекуррентной формулой

$w(4=XXk,*, аеЛА-я,ь, vJO]>

к= 0 (t,=0 кФткхФк

m = 0,l,...,w. (28)

Полагая в (28) V = 0, получаем

(4=X X к.*, LA„ (А-««, 44. (4)],

к=0 А, =0 кФтк,Фк

Р=1

т = 0,1,...,«.

Прикладная математика

117

Продолжая аналогичные вычисления для V — 1,2,..., будем иметь

<Pv,m{Z) =

kiv г ____ ________________ и

= ^ LkE2vLm{z) — (ро к^ LkElvLm (bm )J,

v = l,2,...; m = ОД,..., л, (29)

где для более компактной записи сумм функций, определенных в Dm , использованы символы

к2у п п п п

z=zz- Z z.

кх^к2 Л|—0 к2—0 k2v_x —® к2у—0

кх*к2к2*к3 k2v^*k2v к2уФт к2у*т п п п п

п=пп п п

к\фк.2 Л|—о к.2 —0 ^2v-\~0 ^2у~®

к\ ^&2 ^2 ^^3 ^2v~\ ^2i'

Eivi2) = At, At2 • • • At2l,_, At2„ (z). (30)

Формулы (27), (29) позволяют записать с учетом (24) ряд Неймана в виде

оо к2у*т~

%,(z)=Z'r z

j/=0 кхФк2 _k=О

+

Хф;,а^а,М

, « = 0,1,...,п. (31)

+Z ^d:(z)

p=1

При этом

£o(z) = z, DpkTkE2mLm{z)= d:{z). (32)

Подставляя в правую часть (31) 2 = 1, находим представление аналитической в области Dm функции (pm(z), если известны

Фо^(^), к = 0,1,..., П\ для односвязных областей Dk , к— 0,1,...,я; пересечения которых образуют (я + l)- связную круговую область К,

и 00 к2уФт ____ I 2

%,(z)=ZZ Z °o,AA2A,(zl +

k=0v=0kx*k2 \bm

n oo k2v*m

+2XZ Z,nD™(z)

p=l i/=0 £,*A:2

Обратимся теперь к вычислению вещественных коэффициентов Ар, р = \,...,п.

Подставляя в (14) Z — ат , т = 0,1,...,д, получим

, т = 0,1,...,Я. (33)

— f Is.(£ld<Z

27йС,(()^-ат

+

+Z^ J

m = 0,1, (34)

Преобразуем правую часть этой формулы. Непосредственные вычисления из (16) дают

фо,,„к„)+ фо,т(°°)= 0, т = 0,1,..„и.

При подсчете первого слагаемого в левой части (34) используем (11) , (9) и формулу Коши , а при подсчете второго слагаемого - формулы (15) .

В результате указанных преобразований получим систему уравнений

ЯеЛ/,+1пЛ0|Х=Ф;,0(о), (35)

р=1

п

ReM, +Ат InR,u + X А 1п|а„,-а\ =

Р=1

рфт

п

= КМ~Ц^(рк(ат), т = \,...,п. (36)

к=0

кФт

Из (33) с учетом (23) следует, что

ReZ%(«,J= Z°o,«, + Z A

к= 0 к=0 р=1

кФт

т = 1,...,я,

(37)

где

оо к2уФк п

2ф;„„=Z Z Z

и=0 *,**2 *=0 к*т

-ф1АА,.А)

к = ОД,...,я, m = l,...,w,

(38)

(39)

оо k-,y*k n

А=ППП

к=0 ki*k2 k=0 кФт

D[NkAam)

m,p = 1,(40) Используя (35) и (37), из (36), получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения величин Ар,р = 1,...,я,

In

~ Л 1Хт тгт

— Нт

V

A + Z1"

Р=1

р*т

/I |Л

kz — а,

А =

=ф;,тИ-ф;т(о)-хф;,„,

к=О

т = 1,...,я. (41)

С целью более компактной записи решения системы (41) будем использовать обозначения

118

А.С. Сорокин

я „ = •

а„-ар\Н* / R0, если тФр,

1 R„,H:/R0, если т = р,

(42)

*•=0

т =

Тогда система (41) принимает вид

(43)

> т = (44)

Р=\

Обозначим основной определитель системы

(44) через А =

In а

т>р

Пусть ат есть алгебраическое дополнение

In ат р в определителе А. Из формул Крамера

[11, гл.1, §2, п.З] следует , что система линейных уравнений (44) относительно Ар,р = 1,...,п, имеет единственное решение , если определитель А* О, которое представимо следующим образом

А, = £(- 1ГЧ,А'С р = (45)

т=1

Докажем, что основной определитель А = (— l)w 'А, системы (44) всегда отличен от нуля . Из (1Л) следуют неравенства

я... R,„ + R„ к,-*,

Я

<

Я

<

<2-

о -,vo R.+R

Я

<

R

--— <2-—- < 2, m^p;

Ro

m,p =(46)

Отсюда имеем, что

In

, K-ap\

Я

■ > In —, In -

>ьД,

Я

v() ^v() “0 “0

m*p; m,p = (47)

Положим в (40)

At, ^2v^k (am ) = £ 1 » At, ElvLk (bk ) = * И8)

Из (3.46) следует

\£~ak\~Ro <R<>-Rt<> k,,k2 = \,...,n, <49)

где через £ обозначено любое из £,, 82. Далее, пусть Р — есть точка, лежащая внутри круга радиуса Rk^ с центром aki. Из (49) с учетом (46) получим

£—Р\—k—аку I < R-k, ’

\e-p\-\ak,-ak\<Rk,+\’

||£-/?|-Л0|<Л0, к,,кг = \,...,п. (50)

Из (21) с учетом (48) имеем

4Lk\s л -=°

кФк,

к))

At. А. (^2/ V_°

(51)

Подставив (18) в (51) и преобразовав её правую и левую части , получим

пР( \(gi~А,(др))гтЦ~^к\^ар.^-

*’ 1 («I -«*.) *-=о (et-Lk\aKj)

кфк,

(52)

{s2-akj к=о \е2-Ц\а1С))

кФк,

Для оценки (52) нам потребуется следующие неравенства, которые следуют из (49), (50)

8-Р

е-аь

-1

<

Рк,

8-а.

8-Р

-1

<

Рк,

1-Рк, "А,

(53)

где

А, =/г*,/К_а*. ’ Ркг=К1

Заметим, что

G,

<

£\ ~ак,

8 2 &к

< G,, G,=

1 + Рк2 Х~Рк-,

<

£l-/?

82-р

<

g2 =

<

1 + Рк2 + Рк, J_ 1-Рк2-Ркх9

I-Pk+Pk,

£\-Рх

82 Р2

G3 =

<

(54)

1-А2-А,

где Р{ и р2 — две различные точки, лежащие внутри круга радиуса Rк с центром ак .

Из (54) с учетом (46) имеем

Gj> 1, у = 1,2,3. (55)

Из (52), (54) и (55) следует

D^)\<g\d^{s2\g>\. (56)

Из (40) , (53) и (56) следует, что знак вели-

Прикладная математика

119

чины In Qmp, JW,/? = определяется зна-

ком величины первого слагаемого правой части соотношения (42). Из (47), (46) имеем

(57)

ln«m,P<0> т,р = \,...,п.

Из (42), (40) с учетом (47) получаем

1пат_р>\патт,

ln3'P,m>lnSm,^

рфт\ т,р = \,...,п. (58)

Пусть А = А (я) есть основной определитель системы (44), порядок которого равен П.

Если положить П = 1, то из (57) следует

д(1)<0. (59)

Из (58), (57) имеем

А(2)>0. (60)

Из (60) и (58) получаем, что алгебраические

дополнения элементов определителя третьего порядка

Л(з) атр> 0, т,р = 1,2,3.

Отсюда и из (57) с учетом того факта, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения [12, гл. 1, §3 ] имеем

Д(3) < 0. (61)

Продолжая эти рассуждения далее, придём к определителю п-го порядка. Из теоремы Лапласа [ 13, гл.1, §1, п.9 ] и неравенств (57) следует, что А(п)ф 0. Из (59), (60), (61) следует

Д(и)=(-1)"Д,,Д| >0. (62)

Следовательно, система линейных уравнений (14) относительно Ар,р = имеет единст-

венное решение (45).

Обратимся теперь к вычислению ReMj. В силу (45) формула (35) принимает вид

Re А/, = ф;,0(0)+1пЯ0Д-'ХЕ(- •

m=l р=1

(63)

Преобразуем сумму в правой части (8) с помощью (33), (35). Привлекая еще соотношение

Я (z)=ln

7_п со к2иФк п _

'■ПППяадлб)

/

V iV0 v=0 кхФк2 к=0

р = \,...,П, (64)

будем иметь

п оо к2уФк п __

<&&)=££ X

к=0 v=0 кх фк2 к=0

+

+<M+ZAPHM+iD'’ <65)

р=1

где D — вещественное число. Подставляя в

формулу (65) соотношения (45), (43) , с учетом (38), получаем представление аналитической

функции Oq(z) в (п + l)— связной круговой области К

п оо к-,уфк п ___

ф;6)=1Ё I SXaaaW

к=О ^=0 к,Фк2 k= О

+

+ Ф;,о(0|1-Хят(г)

/7=1

+

+ ТФо^Н"'(г)+ПтМп (66)

т=1

где

Фо,,„ = Ф1»

+

1 п оо k2v*k п

Аш

z *•=() К=0 k.*k, k= О

кфт

1 // оо k2v*k п

4znz

Z к=0 v=0 k, *k2 k=0

кФт

^0,K^K^K,v,k (Z)

ф;,а„» ’

ь„

m = l,(67)

При этом

H"'{z) = ^±{-\y-pa:upHp{z),

P=1

m = \,...,n. (68)

Поступая так же, как ив [14, §4 ] , докажем, что ряды, определяющие функции Ф^(г) и Нp(z), р = по формулам (66), (64), схо-

дятся абсолютно и равномерно в К.

Рассуждая так же, как ив [14, §2 ], покажем, что вещественная часть функции Oq(z) , задаваемая формулой (66) с учетом (16), совпадает на

Ст(с) с фо(2) - т = \,...,п.

Итак, доказана теорема.

Теорема 1. Пусть функция Oq(z) аналитическая в (ц +1)— связной круговой области К и принадлежит классу Мусхелишвили ho. Далее, пусть аналитическая в односвязной области Dm , т = 0,1,...,п, функция Ф;m(z), т = 0,1,...,п, задана формулой

( \ (о) SP ^ ( у.ёт

фоAz)= / \Z^Ce,«Az-aJ

-JR„XZ) ыо

т = 0,1,...,п,

где S — символ Кронекера [15],

120

А.С. Сорокин

(z)=П (z - ал л* - о>

./=1

причем С( т — комплексные постоянные, связанные соотношениями

’ = 0,1,.

2 е-Рт

компонентах

Срт-<„ —

т = ОД,...,/7.

Пусть на граничных Ск{^\.\<^ — ak\ = Rk ,к = 0,1,...,лг, заданы точки

а1,к’^1,к’ а2,к'>Ь2,к'> " ’ ’ а рк,к Ьрк,к ’

расположенные в том порядке, в котором они выписаны. Пусть вещественная часть Oq(z) на дугах ук : aj k;bjk J = 1 ,...,рк;к = ОД,...,л, и мнимая часть O^(z) на дугах

У к' bj,k’aj+uJ = ^Pk>

1рк+\,к

= аик; А; = 0,1,...,я,

однородной задачи в классе функций

Н.И.Мусхелишвили h0 определяется формулой

п оо k2v*k п ___

/с*=0 1^=0 к\Фк2 к=0

+ф;,о(о(1-хят(2)

+

р=\

+

+

-'£Фо*Нт(г)+ПтМ„ (69)

т=1

где Hm(z) определяется формулами (68), (64), (42), (21), (18), а Ф0 /н - формулами (67).

Следствие 1. Если в формуле (69) положить п = 0, то получаем известную формулу В.Н. Монахова для круга [1, с.49].

принимают значение нуль. Тогда общее решение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 .Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. - Новосибирск: Наука, 1977, 242 с.

2. Сорокин А.С. Краевые задачи для аналитических функций в многосвязных круговых областях и их приложения.- Новокузнецк: СибГИУ, 1998, 415 с.

3. Сорокин А.С. Специальная система уравнений для функций и однородная смешанная краевая задача с параметрами. //Вестник КузГТУ, 2014, №3(103), с.88-95.

4. Крутицкий П.А. О задаче Римана-Гильберта и задаче с косой производной на плоскости с разрезами вдоль окружности //Математическое моделирование.- М., 1990, т.2, №9, с.114-123.

5. Крутицкий П.А. О задаче с косой производной для плоскости с разрезами вдоль прямой и связанных с нею задачах // Математическое моделирование.- М., 1990, т.2, №4, с. 143-154.

6. Александров И.А. Конформные отображения односвязных и многосвязных областей. -Томск. 1976, 156 с.

7. Хавинсон С.Я. Факторизация аналитических функций в конечносвязных областях. -М. МИСИ., 1981, 118 с.

8. Мусхелшивили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения ( Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике ). -М.: Наука, 1968, 512 с.

9. Александров И.А., Сорокин А.С. О распространении вариационного метода Г.М.Голузина - П.П.Куфарева на многосвязные области. //Докл. АН СССР, 1967, т.175, №6, с. 1207 - 1210.

10. Сорокин А.С. Краевые задачи в многосвязных круговых областях.- Новокузнецк: Изд. КузГПА, 2004, 274 с.

11. Гахов Ф.Д.,Хасабов Э.Г. Краевая задача Гильберта для многосвязной области.// Изв.ВУЗов, математика, 1958, т. 1, вып. 2, с.12-21.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.:Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953, 492 с.

13. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. -М.: Гос. изд. физ. -матем. лит., 1962, 300 с.

14. Александров И.А., Сорокин А.С. Задача Шварца для многосвязных круговых областей //Сиб.матем.журн., 1972, т.13, №5,с.971-1001.

15. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Итерационные методы кластерного агрегирования для систем линейных уравнений.//Докл. РАН., 1996,т.349, №1, с.22-25.

□Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович - канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с. (филиал КузГТУ, г. Новокузнецк), тел.: 8(3843) 772459