Распространение обобщённого уравнения Лёвнера на отображения однолистные в конечносвязных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

104

А.С. Сорокин

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

А.С. Сорокин

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА НА ОТОБРАЖЕНИЯ ОДНОЛИСТНЫЕ В КОНЕЧНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

В последнее время удалось построить ряд интегральных представлений регулярных и однозначных в многосвязной круговой области функций, являющихся решением задач Шварца и Келдыша-Седова в этой области, с явным заданием ядерных функций [1-4]. В связи с необходимостью преодоления эффектов многозначности, проявляющихся из-за многосвязности области, указываются дополнительные условия разрешимости задач. Предложенное здесь обобщенное уравнение Лёвнера является непосредственным обобщением уравнения типа Лёвнера на семейства конечносвязных областей, полученного ранее для семейства односвязных областей П.П.Куфаревым [5], а для двусвязных - И.А.Александровым [6].

Теорема. Пусть семейство (п+1) - связных областей О^^), г е(т0,0]

да£О(щ,г) ; Щ еО(щ,г) ; О(щ,)с О(щ,г2)

г1 > г2, е (?0,°)> Граничные

ты С(г), к=0,1,... , п, области О(н>, Г) являются простыми замкнутыми кривыми Жордана С = Пк (3, г), равномерно относительно в,

0 <в< 2ж, дифференцируемы по t на (^0,0]

Тогда функция щ = ф(х, г), г) = Щ,

отображающая пересечение круга |2| < К(г) с

внешностью кругов \2—ак\ < (г)> к = 1,п, на

О(^) удовлетворяет на (г0,0) уравнению

таково, что і2) при компонен-

фі (г. і0) = гф г (г. і0 )1 — % (2п. і0)

Ап

)+

1

+ — % (2л, і0)- Ю -Ап

(1)

п Я 2п р

-Ът \ н I?.+К> (і >". ("к, і0) I

к=0 2п 0

где

% (". І0 ) =

ііш \—Ьп

Рк ^1* Р\і

—

—і

ЕМак + РкЯк (іУ’". і]. і0}

*к (і)

(2)

аз.

% (2п) = Ъ ііш Як \ Вк [". РкЯк (і0 )№¥к (". Ч) =

к=0 рк ^ 0

к фш

т = 1.....п. (3)

рЄз

где

Вк [".р] =

а+рі

з Бк[?к + рі’"].

(4)

Доказательство. Пусть функция Щ = ф(г, г ), ф(zo, г ) = Щ, отображает пересечение круга IЛ < Ц (‘) с внешностью кругов

V — аЛ < Цк(г), к=^.^n, на область G(w,t). Вместе с тем она отображает пересечение круга И <А Ц(г) с внешностью кругов

к-ак\<ркЦк(г) к=1,2,...,n, р0 <1, Рк >1 к = n, (5)

на область О(г,р0 ,р,..., р), лежащую в О(^Л), содержащую точку Щ , если р^, к = 1,..,п, достаточно близки к единице, и ограниченную аналитическими кривыми

Пк (3, г,Рк ) = ф[ак + РкЦк (г У3, г 1

к = 1,.., п, (6)

Из дифференцируемости функций Ф(г, г) , К (>) по г на (^0,0] следует, что функции п, (з , г, рк ), к = 1,.., п, равномерно относительно 3 дифференцируемы по t.

При любом г е(т0,0] для точек, принадлежащих пересечению (5) , с помощью теоремы о дифференцируемости по параметру семейства регулярных однолистных в п — связных областях обратных функций [1] можно записать следующие соотношения

Ф, г„ )= zф, (2, г„ \ Ъ, (0-(

4т '*

2\ = р0^0 (і0 )

с

■ +

0

і=і

Прикладная математика

105

+ -

Ап

= , 1 п

2| = РпКп ^

і г 2(с)^-± Г 2(с)^

4пА... С)с 4п-ы=р>л(„, (С)с

\2\=р0Я0 (і0 )

(7)

{ г.СНОС

к=°2т\г\=РкЯк (і0) С

2т

= 1 |Нк (ак + РкКк (г0 У'32)№к (3, г0, Рк ),

0

то, по теореме Хелли о предельном переходе под знаком интеграла Римана - Стильтьеса, получаем

| ЪЛСШС,*^

\2—ак\ = РкКк (г0 ) С

ііш

рк

ас

= ’

2П

’/ н (а, + Як (і„ )і". г Н (". і0)

|гат\ = РтКт (і0 )

Я

Ъ .

к =0 2п

к фш

Г г к (сК- (с) ,

|г-ак |=РкЯк (і0 ) С

(8)

т = 1.... п.

На окружности С = ?к +р Я (і0 )і".

0 <" < 2п. значение функции ^ (С) определяется формулой

гк а + ркЯк (і0)і )= , ^п аі

Е&к (". і.Рк ). і0 ]

Функция

% (". і0.Рк )=-|аЬп

аі

Як (і) Е Ф(рЛ (і У", і) і0 ]

к = 1,.., п.

Полагая в (7) и (8) р% ^1, получаем соответственно (1) и (3) . Этим и доказана теорема.

Следствие 1. Если в формулах (1) и (3) положить п=1, то получаем обобщенное уравнение Лёвнера для семейств вложенных двусвязных областей, данное И.А.Александровым [6].

Следствие 2. Если в условиях следствия 1

устремить К (го ) к нулю, положить Ц (г0 )= 1

и £=0, в итоге будем иметь обобщенное уравнение Лёвнера для семейств вложенных односвязных областей О(м,?), О(щ, г1 )с о(щ, г2) при г1 > г2 , полученное П.П. Куфаревым [5]:

я, (і)

аз. і > і„

Фі (г. і0 )=-

гФг (г. і0) 2[ і" + г

2п

Г (". і0 ).

имеет ограниченную вариацию. Установленный Альфорсом [7 стр. 307 ] для регулярных в конечносвязных областях функций аналог Шварца позволяет убедиться, что полные изменения функций ^(2т, го, рк) ограничены в совокупности при рк^1. Так как

I Ъ к т (С, 2) С

2—ак\ = ркКк (г0 ) С

где

%(",і,,)=-ііш Ые%(рГ,і)іі,,І аа.

Р^0 — і Н =ґ0

0

п

і =і

"

0

0

і =і

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров И.А., Сорокин А.С. О распространении вариационного метода Г.М.Голузина- П.П.Куфарева на многосвязные области. ДАН СССР, 1967, т.175, № 6, с. 1207- 1210.

2. Сорокин А.С. Вариационный метод Г.М.Голузина- П.П.Куфарева и формула М.В.Келдыша-Л.И.Седова. ДАН СССР, 1989, т.308, № 2, с. 273- 277.

3. Сорокин А.С. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей. ДАН СССР, 1987, т.293, № 1, с. 41- 44.

4. Сорокин А.С. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей. ДАН СССР, 1987, т.296, № 4, с. 801- 804.

5. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций. Матем. сб. Т.13 (55), № 1, (1943), с.87-118.

6. Александров И.А. Вариационные формулы для однолистных функций в двусвязных областях. Сиб. матем. журн., Т.4, №5, (1963), с. 961-976.

7. Аленицын Ю.Е. О некоторых оценках для функций, регулярных в конечносвязной области (в книге: Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. -М.: Физматгиз, 1961 .

□Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с.. (филиал Куз-ГТУ , г. Новокузнецк),тел.: 8(3843) 772459