Уравнение типа Левнера, содержащее производную управляющей функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

А.С.Сорокин

УРАВНЕНИЕ ТИПА ЛЕВНЕРА, СОДЕРЖАЩЕЕ ПРОИЗВОДНУЮ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

В работах [1-12] для получения функций, реализующих однолистные конформные отображения круга-использовались уравнение типа Лёвнера и уравнение Лёвнера - Куфарева.

Каждое решение любого из этих уравнений, рассматриваемое как функция начального условия, даёт конформное отображение круга или его части на некоторую область, вид которой определяется выбором управляющей функции и её производной в уравнении типа Лёвнера.

В случае уравнения Лёвнера - Куфарева [2] вид функции определяется выбором семейства функций из класса Каратеодори. Это даёт возможность построить композиции конформных отображений как результата непрерывного процесса преобразования круга.

Рассмотрим уравнение

<С = А(т)Лс+С(г))

ат х' (¿-р(т))

с начальным условием С(о) = z, где

(1)

а(г)= 1

+

У(т)

(2)

(3)

z + и(0) ’

с (т)=и(т)—~Ат)'

Кроме того, и(т)> |и(т) = 1 и /л'(т)—управ-

ляющая функция и её производная.

Уравнение (1) будем называть уравнением типа Левнера.

Пусть

Е(т)£ + ц(т))2 = 4С,

где

Б(т) =

4 z

-ехр (-тіХ

(4)

(5)

(6)

(?+и(о))2 2(М(т)— и(о)) z + и(о)

Из (2) и (5) следует

В'(т) = —В(т ^(т).

Покажем, что соотношение (4) является решением уравнения (1) .

Продифференцировав соотношение (4) по Т, по-

лучим

В'(т\с+и(тУ)2 +

+ 2В(тХС + м(тЖС+м,(т))=4С ■

(7)

Разделив обе части соотношения (7) на

(С+и{т1) , имеем

В'(ТХС + и(т))+2в(т\с + и ’ (т)) =

4 г (8)

С + н{т)

Преобразуем (8) с помощью (6)

— в(т)А(тХС + и(т)) + 2в(тХС' + и ’ (т)) =

_ 4 (9)

С + И(т)

Преобразовав левую часть (9), имеем

В(т)[ 2(С' + и' (т))—А(тХС + и(т))] =

4 (10)

С + Н(т)

С-

Разделив обе части (10) на В(т), получим

2С ' + 2 и' (т) — А(тХС + и(т))] =

4 ^ (11)

в(?Хс+и(т)) ■

Группируя слагаемые, содержащие производную С' в левой части, имеем соотношение

С'

2 —

4

в(тХС + и(т)) )

= А(тХС + и(т)) — 2 и ,(т).

Разделив обе части (12) на А(т^) ,получим

С_{ 2___________________4_^

А(т)1 В(тХС + и(т))

(12)

= с + м(т)-

2М'(т)

(13)

А(т)'

Применяя (3) , преобразуем (13) к виду С (~ 4

2---

а(т)1 в(тХС + Н(т)).

= С + С(т) (14)

Умножив обе части (14) на А(т^) , получим

С' 2____________4________

I в(ТХС + Н(т)) ,

= А(т)(С + С(т)).

114

А.С.Сорокин

Умножив обе части (15) на-

С

С

С - и{т) ’ Ґ2Б{т)(С + іи{т)) - 41 С

получим

в{тУс + м{т)) )С-м(т)

=А(т)

С(С + С (т))

(16)

С '

(с-Мт))'

Преобразуем (4) к виду

С =1 в(тХС+Мт)У- (17)

С помощью (17) преобразуем левую часть (16)

' 2в(т)(с+^(т)) - 4) і в(тХс+Мт))2 _

в(т)(С+Ат))

4

С-м(т)

=А(т)

С(С + С (т)) (с-м(т)) '

(18)

Производя элементарные операции в левой части (18), получим

і4}{сМт)]=

=А(т)

С(С +С (т))

(19)

С'

(С-М(т)) '

Преобразуя числитель левой части (19), получим

Г2в(т)(С + М(т))2 - 4(С + м{т))Л_

4(С-^(т))

= А(т)

С

8С- 4(С + м(т)) 4(С-М(т))

С(С + С (т)) (С-и(т)) '

ой части = А(т) -

(20)

Преобразуя числитель левой части (20) с помощью формулы (17), получим

^ С (С+С(т))

(С-Ц(т))

(21)

Раскрывая скобки в левой части (21), приходим к уравнению (1)

с=

Теорема.

Функция

С = і (і Чі - ви(т) J,

(22)

в = -

4z

т, = т +

2(М(т)- М(0))

^ +и(0))2 ’ т т ' z + и(0)

является решением (1). Она отображает единичный круг плоскости Z на единичный круг с криволинейным

разрезом от точки С = и(т), до точки

і -

і-М e

1 М(0)e

т2 = т- і +

і+Мт і + м(0 )■

Разрезу на окружности = 1 соответствует дуга с

концами в точках ^ и ^, содержащей точку ^ = и(0) , ^ и ^ являются решениями уравнений

z =

где t = т +

{¡и(т)е~‘ ±^и(тУ‘ —и(0)),

2(и(Т) — и(0)) z + и(0)

Следствие. Если в формуле (1) устремить и'(т) ^ 0, получаем уравнение Лёвнера. [1-15]. Функция

f (z) = lim єтС^,т)

(23)

однолистно и конформно отображает единичный круг Е на единичный круг с разрезом по жордановой дуге.

Выполняя предельный переход в (23) с учетом (22) , получим

^2(Н(0) -яЫ) л

f (z) = (d(z))2exp

z +

М(о)

J

где

z(ß(^)-ß,(C%z + V)

( ) ^ + и(0))2 (z + и(0) +и,(да))

Кроме того,

х. _ и(х)(и(0) + 2и'(х))—и(0) и'(х) и(^)—и,(да) ■

В связи с рассмотренным выше примером отметим, что для того, чтобы решение С = С^,Т) уравнения типа Лёвнера

¿С_ , офъсС+ФЗ

ёт

= A (е1 а(т )

(С- е1а(т )) 0 <т<ю, С\т=0 = z,

где

Лт)

С (т)= е1а(т)-

z + е

:(0)

2іа'(т) е1

х(т )

А (е,а(т)) ■

отображало единичный круг Е на единичный круг с разрезом по жордановой дуге достаточно, чтобы вещественнозначная функция а(т) имела ограниченную производную.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2

Г

е

1. Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildung des Einheitskreises. I, // Math. Ann., 1923, Bd.89,

№2, S.103-121.

2. Куваев М.Р., Куфарев П.П. Об уравнении типа Левнера для многосвязных областей.// Ученые записки Томского ун-та, Т. 25, 1955. Томск: ТГУ, С. 19-34.

3. Куфарев П.П. Труды П.П. Куфарева. К 100-летию со дня рождения. Томск: ТГУ, 2009. 366 с.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. -М. : 1952. 540 с.

5. АлександровИ.А. Методы геометрической теории аналитических функций. -Томск: ТГУ, 2001, 219 с.

6. Сорокин А.С. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей.// Доклады Академии Наук СССР, Т.293, №1, 1987.С. 41-44.

7. Сорокин А.С. Задача М.В.Келдыша-Л.И.Седова для многосвязных круговых областей.// Доклады Академии Наук СССР, Т.296, №4, 1987. С. 801-804.

8. Сорокин А.С Вариационный метод Г.М. Голузина - П.П. Куфарева и формула М.В.Келдыша-Л.И.Седова.// Доклады Академии Наук СССР, Т.308, №2, 1989.С. 273-277.

9. Сорокин А.С. Параметрическое представление функций в конечносвязных областях.// Сиб.матем.журн., Т.38, №5, 1997.С. 1163-1178.

10. Сорокин А.С. Краевые задачи в многосвязных областях и их приложения. - Новокузнецк: СибГИУ, 1998. 415 с.

11. Сорокин А.С. Уравнение Левнера-Голузина-Комацу для конечносвязной области.// Дифференциальные уравнения и топология. Москва: МГУ, 2008. С. 198.

12. Александров А.И.Применение уравнений Левнера, Лёвнера-Куфарева для нахождения конформных отображений.// Вестник ТГУ, математика и механика. №1(5), 2009. С.5-10.

13. Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Лёвнера.// Доклады Академии Наук СССР, Т.57, № 5, 1947. С . 655-656.

14. Куфарев П.П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части. //Ученые Записки Томского ун-та. 1946, С.35-48.

15. Садритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Лёвнера с симметрией вращения. // Доклады РАН , Т.368, № 3, 1999. С. 462-463.

□ Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович,

- канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с. (филиал КузГТУ, г. Новокузнецк), тел.: 8(3843) 772459

УДК 517.946

В. М. Волков, Е. А. Волкова

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рассмотрим в области

Теорема. Пусть функции f (x,t) и \y(t,Xg)

удовлетворяют условиям

для уравнения

(1)

вторую краевую задачу

Ut-o = 0,xg — x <ж,

(2)

и

(3)

и пусть относительно ограниченного решения этой задачи известна в точке X = Хд функция

где у - достаточно большое положительное число.

Пусть выполнено условие согласования

(4)

Теперь предположим, что Хд изменяется от нуля до бесконечности, тогда наша задача состоит в определении функции по известной функции /{(,Хд).

Тогда решение обратной задачи u,x) единственно в классе функций

по известной

и удовлетворяющих условиям