Векторный алгоритм решения некоторых задач линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Сорокин А.С. Распространение вариационной теоремы П.П.Куфарева на многосвязные области. Вопросы геометрической теории функций. Т.4, Тр. Томск. Ун-та, 1966, с.221-239.

11. Сорокин А.С. Вариационный метод Г.М.Голузина-П.П.Куфарева и формула М.В.Келдыша-Л.И.Седова. ДАН СССР, Т.308, №2, (1989), с.273-277.

12. Сорокин А.С. Параметрическое представление функций в конечносвязных областях. Сиб.матем.ж., Т.38, №5, (1997), с. 1163-1178.

13. Сорокин А.С. Формулы Келдыша - Седова и дифференцируемость по параметру семейств однолистных функций в конечносвязных областях. РАН, Математические заметки, Т.58, №6, (1995), с. 878-889.

14. Дундученко Л.Е. Еще про формулу Шварца для П — связной круговой области. ДАН УССР, №11, 1966, с.1383-1386.

15. Зморович В.А. Об обобщении интегральной формулы Пуассона на П — связные круговые области. ДАН УССР, Т.7, (1958), с. 698-701.

16. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М-Л, 1963.

17. Александров И.А. Вариационные формулы для однолистных функций в двусвязных областях. Сиб.матем.ж., Т.4, №5, (1963), с. 967-976.

18. Сирык Г.В. О конформном отображении близких областей. Успехи математических наук, Т.9, № 5(71), (1956), с. 57-60.

19. Сирык Г.В. Обобщение вариационной формулы М.А.Лаврентьева для конформного отображения близких односвязных областей на случай двусвязных областей. Изв. Вузов, Математика, Т.5, (1960), с. 152-159.

□Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с. (филиал КузГТУ , г. Новокузнецк) тел.: 8(3843) 772459

УДК 519.6

В. А. Гоголин

ВЕКТОРНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача линейного программирования состоит в оптимизации линейной формы (1) с п неотрицательными переменными (2) при т ограничениях в виде нестрогих линейных неравенств (3)

п

Ь(Х) =Х СгХ^ (1)

7=1

(2) (3)

Хі > 0, і = 1,..п

XАрХ^. < (>)Б;, ] = п +1,..

7 =1

Область допустимых решений представляет выпуклый многогранник п -мерного пространства с наибольшим возможным числом граней (п + т). Экстремальные значения (1) достигаются на его границах: в угловых точках, на гиперплоскостях, на гиперпрямых - в частности в точке пересечения п из (п + т) гиперплоскостей, определяемых уравнениями для (2, 3). Наряду с симплекс-методом [1] имеются и другие методы решения линейных программ: метод эллипсоидов [2], метод внутренней точки [3] и их модификации.

Для выделения точки на границе области допустимых решений с максимальным значением

линейной формы предлагается векторный алгоритм, состоящий в следующем. Все неравенства (2, 3) переписываются через знак меньше или равно. Выделяется градиент линейной формы

С = {С1,....,Сп}, градиенты (нормали) гиперплоскостей (2) N1 = {—1,0,...,0},...,Ып{0,...,0,—1} и градиенты (нормали) гиперплоскостей (3) Ы] = {А]1,..., Ар }0' = п + 1,...п + т). Здесь

обозначения А^ сохранены, хотя у некоторых координат могут быть изменены знаки за счет изменения знаков неравенств. При таком изменении знаков координат нормалей гиперплоскостей, нормали будут обращены во внешность выпуклого многогранника допустимых решений. Определяем наиболее близкую к градиенту С нормаль Ык (к = 1,...,п + т) гиперплоскости и ее номер

к по наибольшему значению косинусов углов между градиентом и нормалями. Из геометрического смысла ясно, что найденная гиперплоскость будет содержать угловую точку, в которой достигается максимум линейной формы. Из уравнения этой гиперплоскости выражаем одну из переменных и

76

В. А. Гоголин

исключаем ее из (1) и (2, 3), понижая размерность задачи на единицу. Этот процесс понижения размерности продолжается до тех пор, пока останется только одна переменная, например Х1> с линейной формой Ц( X) = С • Х1 + О. и с ограничениями вида 0 < А < Х1 < Б.

Максимальное значение линейной формы достигается при Х1 = Б, если С > 0; и при Х1 = А,

если С < 0 Затем процесс нахождения всех координат точки максимума выполняется в обратном порядке: по Х1 вычисляем, например, Х2, затем по ним - Х3 и так далее до Хп. При нахождении минимума - знаки координат ее градиента меняются на обратные.

Пример 1.

Максимизировать линейную форму (четырехмерная задача)

Ц( Х) = 2 Х1 + Х2 + 4 Х3 + 3Х4 при ограничениях:

1) Х1 > 0; 2) Х2 > 0; 3) Х3 > 0; 4) Х4 > 0;

5) Х1 + 3Х2 + Х3 + 2Х4 < 12;

6)3Х1 + 2Х3 + Х4 > 4;

7) 4Х1 + 2Х2 + 3Х3 + Х4 > 6;

8) Х1 + Х2 + Х3 + Х4 > 1.

Координаты градиента и внешних нормалей с учетом знаков ограничений имеют вид:

С = {2; 1; 4; 3}

^N1 ={—1;0;0;0}, N2 ={0; —1;0;0}

N 3 ={0; 0; — 1; 0}, Ы4 = {0; 0; 0; — 1},

Ы5 = {1; 3; 1; 2} Ы6 = {— 3; 0; — 2; — 1},

Ы7 ={— 4; — 2; — 3; — 1} Ы8 ={—1; —1; —1; —1}

После расчетов косинусов углов между градиентом и внешними нормалями, выбираем наибольший - между С и N5 .

Выражаем из равенства 5) переменную Х = 12 — 3Х2 — Х3 — 2Х4 и ее подстановкой в

линейную форму и ограничения имеем трехмерную задачу: максимизировать линейную форму Ц Х) = — 5Х2 + 2 Х3 — Х4 + 24 при ограничениях:

1) 3Х2 + Х3 + 2Х4 < 12;

2) Х2 > 0; 3) Х3 > 0; 4) Х4 > 0;

6)9Х2 + Х3 + 5Х4 < 32;

7) 10Х2 + Х3 + 7Х4 < 44;

8) 2Х2 + Х4 < 11.

Здесь координаты градиента и внешних нормалей с учетом знаков ограничений имеют вид:

С = {- 5; 2; -1}, Щ ={3; 1; 2},

N2 = {— 1; 0; 0}, N3 = {Э; — 1; 0}, N4 = {Э;0; — 1}

N6 = {9; 1; 5}, N7 = {10; 1; 7}, N8 = {2; 0; 1}

После расчетов косинусов углов между градиентом и внешними нормалями, выбираем наибольший - между С и N2. ТогдаХ2=0.

Отсюда имеем двухмерную задачу максимизации линейной формы Ц( Х) = 2 Х3 — Х4 + 24 при ограничениях

1) Х3 + 2Х4 < 12; 3) Х3 > 0; 4) Х4 > 0;

6) Х3 + 5Х4 < 32; 7) Х3 + 7Х4 < 44;

8) Х4 < 11.

Координаты градиента и внешних нормалей с учетом знаков ограничений имеют вид:

С = {2; — 1}, N1 = {1; 2},

N3 ={—1;0} N4 ={0; — 1},

N6 ={1;5} N7 = {Ц;7} N8 = {);1}

После расчетов косинусов углов между градиентом и внешними нормалями, выбираем наибольший - между С и N4. ТогдаХ4=0.

Отсюда имеем уже одномерную задачу максимизации Ц(Х) = 2Х 3 + 24 при ограничениях

1) Х3 < 12; 3) Х3 > 0; 6) Х3 < 32; 7) Х3 < 44. Таким образом, задача свелась к отысканию максимума линейной функции Ц(Х ) = 2Х3 + 24

на интервале [0,12], откуда тахЬ(Х) = 48 при

Х1=0, Х2=0, Хз=12, Х4=0.

Пример 2.

Минимизировать линейную форму Ц( Х) = 2 Х1 + Х 2 + 4 Х 3 + 3Х 4

при тех же ограничениях (1-8).

Координаты «градиента» и внешних нормалей граней области допустимых решений с учетом знаков ограничений имеют вид:

С = {- 2;—1;—4;—з},

N1 ={—1;0;0;0} N2 ={0; —1;0;0},

N3 = {0; 0; —1;0} N4 = {0; 0; 0; —1},

^N5 = {I; 3; 1; 2} N6 ={— 3;0; — 2; — 1},

N7 = {— 4; — 2; — 3; — 1} N8 ={—1; —1; — 1; — 1} Сводим задачу к трехмерной, исключая Х4 из ограничения 7) по условию наибольшей близости градиента к нормали грани области допустимых решений Х4 = 6 — 4Х1 — 2Х2 — 3Х3 . После подстановки в линейную форму и ограничения имеем трехмерную задачу: минимизации Ц( Х) = —10 Х1 — 5Х2 — 5Х3 +18 при ограничениях

1) Х1 > 0;

2) Х2 > 0; 3) Х3 > 0; 4) 4Х1 + 2Х2 + ^.Х3 < 6;

5) ^.Х1 + Х2 + 5Х3 > 0;

6)^.Х^1 + 2Х2 + 5Х3 > 10;

8) 5Х1 + 3Х2 + 4Х3 > 7.

Размерность задачи по принятому критерию близости градиента и нормали грани области допустимых решений понижается на единицу после исключения Х3 из ограничения 4). Новая двухмерная задача имеет вид:

минимизировать линейную форму Ц X) = — 10/3Х1 — 5/3Х 2 + 8 при ограничениях

1) Х1 > 0; 2) Х2 > 0; 3) 2Х1 + Х2 < 3;

5) — X + 7Х2 < 30; 6) Х1 — 4X2 > 0;

8) Х1 — X2 <3.

Одномерная задача свелась к минимизации

Ц(Х) = 3 при ограничениях 4/3<Х\ <3/2.

Соответственно, min Ь( Х) = 3 при

4/3 < Х1 < 3/2, Х2 = 3 — 2 Х1, Х3 = Х4 = 0.

Достаточным условием применения векторного алгоритма, как следует из его процедуры, является включение в область допустимых решений всех ограничений. Например, когда все ограничения (3) имеют один знак неравенств и один знак правых частей. К таким задачам, в частности, относится задача о распределении ресурсов и задача о смесях. Число операций симплекс-метода имеет

порядок т , число операций векторного алгорит-

2

ма - порядок тп2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данциг Д. Линейное программирование, его применение и обобщение. М.: Прогресс, 1966, 600с.

2. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании. Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 1980, 20:1, с 51-68.

3. Дикин И.И. Метод внутренней точки в задачах линейного и нелинейного программирования. Издательство: Эдиториал УРСС, 2010, 120 с.

Автор статьи:

Г оголин Вячеслав Анатольевич, докт.техн.наук, проф. каф. математики КузГТУ Email: inna-e@inbox.ru

УКД 519.21

А.В. Бирюков, Е.В.Гутова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРАНУЛОМЕТРИЯ

Рассмотрим дисперсную систему из частиц случайных размеров и формы. Размер частицы определяет ее диаметр х, распределенный с плотностью /(х) и начальными моментами т(к), равными математическому ожиданию к-ой степени диаметра.

Форму частицы характеризуют ее меры сферичности

р=8/х2 , , д=У/х2 где 5, V — площадь поверхности и объем частицы.

Обозначим через 5, V, р, Ц математические ожидания. Тогда

5 = рт, V = цт.

Величина §/V равна суммарной площади поверхности частиц в единичном объеме. Она является основным параметром динамики дробления. Любая частица имеет геометрическую или физическую характеристику, пропорциональную к — ой степени ее диаметра.

Интегрируя отношение хк[(х)/ т(к) в границах от 0 до х, получим гранулометрическую функцию £ (х, к), которая дает описание фракционного состава дисперсной системы по заданной суммарной характеристике частиц.

В частности, при к = 3 она дает описание фракционного состава по суммарному объему частиц, что чаще всего востребовано инженерной практикой.

Частицы могут быть погружены в твердую среду, как при петрографическом анализе шлифов. В этом случае измерениям доступны лишь сечения частиц плоскостью.

Если т{к)и п(к) — моменты распределения диаметра частиц и их степеней, то

т(1)=10 / п(-1)’ ; т(2)=2^1) / п(-2)’ где п(-1) - среднее гармоническое диаметров сечений.

Эти формулы получены регрессионным анализом результатов лабораторных исследований.

В горном деле дисперсные системы представлены результатами дробления пород и полезных ископаемых. Диаметр их частиц обладает тем свойством, что плотность его распределения монотонно убывает. При этом законом распределения диаметра в большинстве случаев является треугольный закон с плотностью

/ со = 2 (1 — х), где за масштабную единицу принята правая гра-