Уравнение Левнера с управляющей функцией куфарева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

А.С.Сорокин

УРАВНЕНИЕ ЛЕВНЕРА С УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ КУФАРЕВА

В теории однолистных отображений были получены многочисленные результаты методом, восходящим к основополагающей работе К.Левнера[1], получившим название метода продолжения по параметру или метода параметрических представлений. Различные подходы к обоснованию указанного метода и его применению изложены в статьях и монографиях П.П. Куфарева, Г.М.Голузина, И.А.Александрова и автора [2-11].

Уравнение Левнера [1-11] является важным частным случаем уравнения Левнера -Куфарева Сд

Ст

= -др(д,т\ 0< т < т0 , 0<т° < да

(1)

Здесь р(д,т) — заданная в Е х(0, г) функция непрерывная по совокупности переменных в Е х Т^ и принадлежащая классу Каратеодори [2] при каждом фиксированном г еТ. Решение д = д(т, t, 7) уравнения

(1),обращается в ноль при г = t, 0 < I < Т°.

Отметим, что в случае для конечносвязной круговой области решение было получено методом функциональных поправок [4, 5]. Обычным образом установлена единственность решения.

г=0,999999

1=1

tau=2

ти0=-1

к=7

г=0,999999

1=1

1аи=2

ти0=-1

к=8

Шмс55.

г=0,999999

1=0.1

1аи=2

ши0=-1

к=1

г=0,999999

1=0.2

1аи=2

ши0=-1

к=1

г=0,999999

1=0.3

1аи=2

ши0=-1

к=1

Рис.7.

г=0,999999

1=0.4

1аи=2

ши0=-1

к=1

Рис.10.

г=0,999999

1=0.5

1аи=2

ши0=-1

к=1

Рис.11.

г=0,999999

1=0.6

1аи=2

ши0=-1

к=1

Рис.12.

Представляет особый интерес поведение траекторий решений уравнения Левнера - Куфарева, начинающихся в точках граничных компонент. Траектории д(г, t, 7) дифференциального уравнения (1), начи-

нающиеся в точках 7 сечения цилиндра ЕхТ плоскостью г = t образуют в пространстве (7, г) стационарный поток в форме струи, располагающейся в Е хТ .

Для того, чтобы решение д = д(т, t, 7) уравнения Левнера йд

= е!а(г) + д

йт~ д е'а(г

е

д

0 < г < <», ^(0, t, 7) = 7,

отображало единичный круг Е на единичный круг с разрезом по жордановой дуге достаточно, чтобы веще-

ственнозначная функция а(т) имела ограниченную производную.

Функции ц(т, к) , входящие в решения уравнения (1), будем называть управляющими функциями Куфарева [2].

П.П.Куфаревым получено и подробно изучено уравнение Лёвнера-Куфарева (1), где р(д, г)— голоморфная относительно д функция с положительной вещественной частью в единичном круге.

Выяснены геометрические свойства отображения в

зависимости от свойств функции р(д, г).

П. П.Куфарев первым увидел возможность использования метода параметрических представлений для полного решения задач о дополнительных областях, поставленных М.А. Лаврентьевым.

г=0,999999

1=0.7

1аи=2

ти0=-1

к=1

г=0,999999

1=0.8

1аи=2

ти0=-1

к=1

г=0,999999

1=0.9

1аи=2

ти0=-1

к=1

Рис.13.

Рис.14.

Рис.15.

г=0,999999

1=1.1

1аи=2

ти0=-1

к=1

г=0,9999

1=1.2

1аи=2

ти0=-1

к=1

Рис.16.

Рис.17.

Рис.18.

П.П. Куфарева глубоко интересовала задача о точной оценке коэффициентов на классе голоморфных однолистных в единичном круге функций, известной как проблема Бибербаха о коэффициентах.

П.П. Куфарев [3] развивает свой вариационнопараметрический метод на примерах решения трёх экстремальных задач.

Многие другие экстремальные задачи на различных классах функций решены этим методом учениками П.П. Куфарева.

Распространению уравнения Лёвнера на многосвязные области посвящена статья [2], а на функции, однолистные в полуплоскости,- статья «Об одном методе исследования экстремальных задач для функций, однолистных в полуплоскости» [3].

Теорема. Функция

(і -у/1 - 4a(z,т, t )^(г, к) ех Р(-Т) 1

д(,т, ї) = -

4а(, т, ї)ехр(- т)

(2)

отображает единичный круг на круг с разрезом, имеющим ветвление по жордановым дугам, где

г(^(г, ^ + М0)2

з(,г, ї) =

причем

(+моУ 0+м(, *0)2

(1 -у]1 - ехР(- 0}

4а ^) ехр(- і)

Кроме того, a(z) =

( z у > И7,к) =1 Ы =1.

(z + Но)

Разрез начинается от точки Но до

Р(г1 1 — , I1 —Итк- exp(— t — т!)

Но exp

Но

где

т1 = т + 2ln

н(т, к) + ^(>9г)

Л

О <£< 1.

Н0 + $(3г)

Следствие. Если в формуле (2) положить управляющую функцию постоянной, то получаем известную формулу И.А.Александрова[5].

Результаты, полученные при применении приведённых в теореме формул, представлены на рис. 1-24 (вычисления произведены в математическом пакете DERIVE), по ним построены отображения единичной окружности на единичные окружности с разрезами по жордановым дугам при заданных параметрах, по ним построены отображения единичной окружности на единичные окружности с разрезами по жордановым дугам-при заданных параметрах^ t, tau, mu0, k.

На каждом рисунке приведён фрагмент поведения концов разреза в зависимости от заданных параметров.

На рис. 1, 4, 5, 7-16, 20 приведены результаты расчётов отображения единичного круга наединичный круг с одним разрезом, имеющим ветвление. Каждый конец разветвленного разреза стремится к началу координат.

r=0,999999

t=1.17

tau=2

mu0=-1

k=1

r=0,999999

t=1.16

tau=2

mu0=-1

k=1

РисА9.

Рис.20.

На рис. 4, 7-16,20 разрез стремится сверху, а на рис. 5 -снизу. Отображения на два криволинейных разреза без ветвления показаны на рис. 2, 3, 6, 17, 19, 21-24. Сравнения рис. 18-20 показывает, что если точка ветвления разреза приближается к единичной окружности, то ветвление исчезает и появляются два криволинейных разреза без ветвления.

Если в формулах (2) для функции д(, т, ї) перед квадратным корнем сменить знак с минуса на плюс, то получаем отображения единичного круга на единичный

круг с разрезом, имеющим ветвления по жордановым дугам, и разрез будет находиться вне единичного круга.

Если в указанных функциях ^(7, г, t) , а (7,г О ввести дополнительный параметр Я , то разрез будет иметь ветвления с тремя окончаниями. Если в выражениях для функций ^(7, г, О и ^ о перед квадратным корнем комбинировать знаки плюс и минус, то получаем многообразие отображающих функций.

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

1. LownerK. Untersuchungen uber shlichte onforme Abbildung des Einheitskreises. I, // Math. nn., 1923, Bd.89, 2, S. 103-121.

2. Куваев М.Р., Куфарев П.П. Об уравнении типа Левнера для многосвязных областей.// Ученые зап. Томского ун-та, Т. 25, 1955. - Томск: ТГУ, С. 19-34.

3. Куфарев П.П. Труды П.П. Куфарева. К 100-летию со дня рождения. -Томск: ТГУ, 2009. 366 с.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва. 1952. 540 с.

5. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: ТГУ, 2001, 219 с.

6. Сорокин А. С. Задача М.В.Келдыша - Л.И.Седова для многосвязных круговых областей.//Доклады Академии Наук СССР, Т.293, №1, 1987.С. 41-44.

7. Сорокин А. С. Задача М.В.Келдыша - Л.И.Седова для многосвязных круговых областей.//Доклады Академии Наук СССР, Т.296, №4, 1987. С. 801-804.

8. Сорокин А.С Вариационный метод Г.М. Голузина-П.П. Куфарева и формула М.В. Келдыша-Л.И.Седова..//Доклады Академии Наук СССР, Т.308, №2, 1989.С. 273-277.

9. Сорокин А. С. Параметрическое представление функций в конечносвязных областях .//Сиб. ма-тем. журн., Т.38, №5, 1997.С. 1163-1178.

10. Сорокин А.С. Краевые задачи в многосвязных областях и их приложения. -Новокузнецк: Сиб-ГИУ, 1998. 415 с.

11. Сорокин А.С. Уравнение Левнера-Голузина-Комацу для конечносвязной области // Дифференциальные уравнения и топология. -Москва: МГУ, 2008. С. 198.

□Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович - канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с.

(филиал КузГТУ, г. Новокузнецк).

тел.: 8(3843) 772459

УДК 51(09) М. А.Тынкевич

ПАВЕЛ ПАРФЕНЬЕВИЧ КУФАРЕВ (ПАМЯТИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО УЧЕНОГО, ПЕДАГОГА И ЧЕЛОВЕКА)

В 1953 году в Кемеровскую среднюю школу № 24 пришел пакет из Томского государственного университета им. В.В. Куйбышева с условиями Второй Сибирской математической олимпиады по математике и предложением учащимся принять участие в ней. Хотя предлагаемые задачи не выходили за пределы школьной программы по математике, пришлось поломать голову и набраться смелости отправить полученные решения в Томск. Спустя некоторое время пришло извещение о занятом призовом месте и приглашение поступать на механико-мвтематический факультет ТГУ, которое и определило мою дальнейшую

судьбу. Под приглашением стояла подпись декана мехмата Павла Парфеньевича Куфарева.

Павел Парфеньевич родился в Томске 18 марта 1909 года. Его отец Парфений Фёдорович (1860-1914) был родом из крестьян Вологодской губернии, служил кондуктором на железной дороге, а затем делопроизводителем квартирного отдела Томской городской управы. Мать, Александра Семёновна (1870-1922), занималась воспитанием пятерых детей. Павел был самым младшим и с тринадцатилетнего возраста обязанности по его воспитанию взял на себя старший брат Леонид, инженер-химик, выпускник Томского технологического института. Как утверждают авторы [5, 6],