CC BY
13
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.
_ СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2017, Т. 159, кн. 1 С. 33-46
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 517.54
УСЛОВИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ ДЛЯ РАДИУСА МИТЮКА ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
А.В. Казанцев
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Связь внешней обратной краевой задачи с критическими точками некоторой поверхности является одной из центральных тем теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций. В односвязном случае такая поверхность определяется конформным радиусом, в многосвязном она задается радиусом Митюка - функцией П("ш), для которой величина представляет собой вариант обобщенного при-
веденного модуля, предложенный И.П. Митюком. В настоящей работе для произвольной многосвязной области установлена связь кривизны поверхности П = П("ш) с производными Шварца отображающих функций и с ядерными функциями Бергмана ко(,ш,Ш) и 1о(,ш,ш). При переходе к двусвязным областям благодаря выбору кольца в качестве канонической области построены условия, при выполнении которых критические точки радиуса Митюка сосредоточены на линии золотого сечения кольца. Кроме того, показано, что минимально возможный набор критических точек радиуса Митюка в двусвязном случае, состоящий из одного максимума и одного седла, достигается для дробно-линейного решения внешней обратной краевой задачи.
Ключевые слова: внешняя обратная краевая задача, многосвязная область, уравнение Гахова, радиус Митюка, конформный радиус, гиперболическая производная
Введение
Число решений внешней обратной краевой задачи (ОКЗ) по параметру s определяется количеством критических точек некоторой вещественнозначной функции, причем область D, в которой задана эта функция, строится по краевым условиям задачи [1—3]. В односвязном случае такой функцией будет гиперболическая производная hf решения f внутренней ОКЗ по тем же начальным данным; для каждого w € D величина hf (w) представляет собой конформный радиус образа f (D) в точке f (w). Напомним ситуацию в многосвязном случае [2].
Решением внешней ОКЗ в постановке [2] является функция
w
z(w,w) = ejf '(w)F-2(w,w) dw + b, |e| = 1, b € C, w = a € Dw, (1)
a
отображающая конечную (n + 1) -связную (n > 0) жорданову область D в плоскости начальных данных на искомую область. Голоморфная и локально однолистная в D функция f (w) является решением соответствующей внутренней ОКЗ, а F(w, w) однолистно отображает D на единичный круг с концентрическими круговыми разрезами так, что фиксированный (как правило, внешний) контур L С dD переходит в единичную окружность, и
F (w,w) = (w — ш)ф^,ш), (2)
причем ф(ш,ш) = (ш,ш) = 0. Полюс ш € О функции г(т,ш) определяется из уравнения Гахова, которое будет использоваться в одной из следующих форм (две первые из них выведены в [2]):
I ''(т)/1'(т)=2ф[(т,т)/ф(т,т), (3)
где ф[(т,т) := фт (т,ш) ,
I ''(т)//'(т) = 2(1п\ф(т,т)\)ш (4)
или
I''(т)//'(т) = Г''(т, ш)/Г'(т, ш) \ш=ш • (5)
Уравнение Гахова служит для определения множества М□ = {ш € О : Ош (ш) = = 0} критических точек функции
О(т) = \/'(т)\/\ф(т,т)\, (6)
которую будем называть радиусом Митюка области /(О) в точке /(т), или просто радиусом Митюка. Выбор такого названия связан с тем, что величина
М(т) = (2п)-11пО(т) (7)
представляет собой обобщенный приведенный модуль области /(О) относительно точки /(т) и граничной компоненты /(Ь), введенный И.П. Митюком в статье [4]. В работах [5, 6] радиус Митюка (6) исследовался под названием видоизмененного внутреннего радиуса; в односвязном случае (п = 0) он совпадает с конформным радиусом. Чтобы подчеркнуть зависимость О от /, в надлежащих случаях будем записывать О = О $ и называть величину (6) производной Митюка функции /. Указанная величина (6) задает поверхность
О = О(т), т = и + гу, (8)
в М3, расположенную над областью О.
Как показано в [7, 8], нижней оценкой числа = критических точек
функции (6) служит порядок связности области, причем для односвязных и дву-связных областей эта оценка достигается. Вопрос о ее точности в общем случае пока остается открытым.
В настоящей статье развивается начатое в работах [2, 5-8] исследование критических точек радиуса Митюка области /(О). В первом разделе обосновываются формулы для гауссовой, средней и главных нормальных кривизн поверхности (8) в ее критической точке, выражающиеся через производные Шварца функций /(т) и Г(т, ш), а также через ядерные функции Бергмана ко(т, ш) и 1о(т, ш) относительно класса Ь0(П) всех функций, голоморфных с интегрируемым квадратом модуля и с однозначной первообразной в О [9].
Во втором разделе полученные формулы конкретизируются для кольца Еч = = {т € С : д < ^ < 1} в явном виде. Это позволяет установить в случае кольца условия локализации критических точек радиуса Митюка на окружности т = = у/д, которую мы называем линией золотого сечения кольца из-за пропорции д/у/д = у/д/1 («меньшее к большему, как большее к целому», см. [10, с. 62]). Сами условия такой локализации будем называть условиями золотого сечения для радиуса Митюка, при этом объединяющее их соотношение Ие {т/''(т)//'(т)} = = 0 выступает как двусвязный аналог равенства /''(0) = 0, выделяющего нулевой корень уравнения Гахова в односвязном случае.
Третий раздел посвящен исследованию дробно-линейного решения внешней ОКЗ при О = Еч. Показано, что в этом случае соответствующая функция (6) имеет ровно две критические точки, причем одна из них является максимумом, другая - седловой точкой поверхности (8).
1. Классификация критических точек радиуса Митюка
1.1. Основой исследования поведения радиуса Митюка вблизи его критических точек может служить следующее утверждение. Считая известными соответствующие определения из теории поверхностей (см., например, [11]), напомним, что выражение {/,т} = (/''//')'(т) — (/''//')2(т)/2 называется производной Шварца, или шварцианом функции / в точке т; {Г, и} := {Г(т,и),т} \ш=ш .
Предложение 1. Гауссова, средняя и главные нормальные кривизны поверхности (8) в точке (и, 0(и)) € Б х М, где и € М^, равны соответственно
Кп(и) = П2(и) [(2пко(и,й))2 — \{/,и} — 2{Г,и}/3 + 2п1о(и,и)\2] , (9)
Нп(и) = —2пП(и)к0(и,й) (10)
и
к±,п(и) = —П(и)[2пко(и,й) ±\{/,и} — 2{Г,и}/3 + 2п1о (и,и)\] . (11)
Доказательство. Сначала покажем, что гауссова и средняя кривизны поверхности М = М(т) при и € Мо_ равны соответственно
Км(и) = (2п)-2 [(2пко(и,и))2 — \{/,и} — 2{Г,и}/3 + 2п1о(и,и)\2] (12)
и
Нм(и) = —ко (и,и). (13)
Имеем
КмН = МииМуу — М2иу = 4 [(МшШ)2 — \МШШ\2] , М = М(т), т = и + IV. (14)
В силу голоморфности /(т) в Б из (7) следует, что 2пМшШ(т) = — (1п \ф(т,т)\)шШ. Далее, в [8] показано, что
(1п \ф(т,т)\)■■ = пко(т,т), (15)
поэтому
2пМшШ (т) = —пко(т,т), (16)
что в силу Нм(т) = 2МшШ(т) устанавливает справедливость (13).
Теперь найдем Мшш(т). Из формулы (7) получим 2пМшш(т) = {/,т}/2 — — (1п \ф(т,т)\)шш + (2-1/''(т)//'(т))2 . Подставляя в это равенство т = и и воспользовавшись (4), будем иметь
2пМшш(и)= [{/,т}/2 — (1п \ф(т,т)\)^ + ((1п\ф(т,т)\)ш)2} . (17)
Эквивалентность (3) и (4) при т = и дает (1п \ф(т,т)\)ш \ш=ш = (1пф(т,и))ш \ш=ш . С учетом аналитичности ф(т, и) по первому аргументу и симметричности 1п\ф(т,и)\ по т, и € Б на основе [2, 7] получим равенство (1п \ф(т,т)\)шш \ш=ш = = [(1пф(т, и))шш + (1пф(т,и))шш] \ш=ш . Поэтому (17) принимает вид
2пМ^ (и) = {/, и}/2 — { [(1п ф)■■ — ((1п ф)■)2] + (1п ф) ф = ф(т,и). (18)
Из представления (2) заключаем, что
{Г, и} = 3 [(1п ф(т,и))шш — ((1п ф(т,и))ш)2] Ш=ш , (19)
а из [9] следует равенство
п1о(т,ш)= (1п ф(т,ш))ши. (20)
Поэтому (18) перейдет в соотношение 2пМшш (ш) = {/,ш}/2 — {Г,ш}/3 + п1о(ш,ш), которое вместе с (14) и (16) приводит к формуле (12).
Равенства (9) и (10) получаются на основе их прототипов (12) и (13) с помощью переходов К&(ш) = О2(ш)К1пП(ш) и Н&(ш) = О(ш)Н\пп(ш), где ш € М& и, как легко проверить, К\по_(т) = (2п)2Км(т) и Н\Пп(т) = 2пНм(т) при т € О. Решая уравнение к2 — 2Н&(ш)к + К&(ш) = 0, корнями которого будут главные нормальные кривизны к±^(ш), приходим к справедливости формулы (11). □
1.2. В статье [8] обосновано строгое неравенство ко(т,т) > 0, т € О, из которого в силу (10) следует отсутствие в точек уплощения функции (6), а в силу (13) и (7) - ее строгая супергармоничность в О, а значит, отсутствие у нее точек локального минимума. Таким образом, имеет место следующее обобщение классификации элементов М&, предложенной в [12] для случая, когда О совпадает с единичным кругом Е = {т € С : ^ < 1}.
Предложение 2. Корень ш € О уравнения Гахова является эллиптической (гиперболической, параболической, омбилической) точкой поверхности (8) тогда и только тогда, когда выполняется условие
А(ш) = \{/,ш} — 2{Г,ш}/3 + 2п10(ш,ш)\ < 2пк0(ш,ш) (21)
(А(ш) > 2пко(ш,ш), А(ш) = 2пко(ш,ш), А(ш) = 0 соответственно).
Можно проверить, что аналоги предложений 1 и 2 имеют место для внутреннего радиуса Сеге (см. [13]).
Как и в односвязном случае, классификация элементов ш € М& по кривизне К&(ш), приведенная в предложении 2, уточняется классификацией по индексу ^п(ш) векторного поля VО: элемент ш € М& может быть только локальным максимумом (^п(ш) = +1), седлом (^п(ш) = —1) или полуседлом (-уп(ш) = 0) поверхности (8) [8]. Однако для геометрии О(т) «в целом» полной аналогии между одно- и многосвязным случаями уже не будет. Проиллюстрируем этот эффект на примере одной типичной ситуации.
Замечание 1. Как показано в [7], при достаточно общих предположениях относительно О и / поверхность (8) удовлетворяет условиям
т > 1, т — в = 1 — п (22)
на числа ее максимумов т и седел в. Оказывается, (22) не препятствует выполнению неравенства (21) при всех т € О - конечносвязного аналога строгого неравенства Нехари \{/, т}\ < 2/(1 — \т\2)2, т € Е (см. [14]) - только в случае п = 0 (при этом = т =1). Действительно, в предположении п > 1 в силу предложения 1 во всех точках имеет место оценка (ш) > 0, откуда ^и(Мц) = +1 [11, с. 210], что означает выполнение равенства в = 0, а это противоречит (22). Можно высказать предположение о том, что нестрогое неравенство
А(ш) < 2пк0(ш,ш), ш € Б, (23)
может стать основой построения условий, необходимых и достаточных для достижения равенства = п +1.
1.3. Приведенное замечание позволяет утверждать пока только локальную выполнимость в О оценки (23), которая является конечносвязным аналогом классического достаточного признака однолистности Нехари \{/, т}\ < 2/(1 — \т\2)2, т € Е [14]. В отличие от последнего соответствующее необходимое условие однолистности - классическое неравенство Крауза - Нехари \{х,т}\ < 6/(1 — \т\2)2, т € Е [14, 15] - допускает глобальное обобщение на многосвязный случай - неравенство Бергмана-Шиффера ( [9], см. также [16, с. 599])
которое может быть использовано в теории ОКЗ в связи с результатами работы [17].
Перепишем формулу (12) в терминах представления (1). Устанавливаемая с его помощью связь шварцианов {х, т} и {/, т} при т ^ ш € переходит в равенство {х, ш}/3 = {/, ш} — 2{Е, ш}/3, что и приводит к формуле
Данная формула выражает зависимость знака кривизны в точке ш G Mq от однолистности соответствующего ей представления (1) на основе (24) следующим образом (ср. с [17]). Как следует из результатов [18, с. 244], область S значений шварциана {х,ш} на классе однолистных в D функций z(w,w) = 1/(w — ш) + • • • определяется неравенством (24), причем граничная точка S реализуется только для функции вида jg(w,<¿) = 1/(w — ш) + • • • , в G (—п/2,п/2\, отображающей D на плоскость с прямолинейными разрезами наклона в к вещественной оси. Таким образом, в силу (24), (25) и предложения 1 справедлива
Теорема А. Если функция х(и),ш), имеющая представление (1), однолистна, то Kq(w) > 0 со .знаком равенства только в случае х(и),ш) = ajg(w,ш) + b, в G (—п/2,п/2], a,b G C .
Этот результат, по сути, является промежуточным звеном при обосновании следующего утверждения [17].
Теорема B. Для однолистности решения (1) внешней ОКЗ необходимо, чтобы 7п(ш) = +1.
Отмеченная связь между однолистностью функции х(чл,ш) и значениями величин Ка(ш) и ^о.(ш) позволяет, в частности, определить характер отдельных точек из Mq для ряда канонических конформных отображений (см., например, [19, с. 61-66]), задаваемых функцией х(чл,ш) или f (w). Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть интегральное представление (1) порождает функцию P(w; п,ш) = F(w,n)/F(w,ш). Эта функция однолистно отображает область D на полную плоскость с разрезами вдоль n +1 дуг окружностей с центром в начале координат. Уравнение (5) принимает вид
корнями его, очевидно, будут точки т = ц и т = ш. При этом точке ц € М& отвечает интегральное представление
\{х, ш} + 6п1о(ш, ш)| < 6пко(ш, ш), ш G D,
(24)
(25)
F{'1(w,n)F(w,ш) — F(w,n)F{'1(w,ш) = F^1(w,w); F[(w, n)F(w, ш) — F(w, r¡)F[(w, ш) = F[(w,w) '
w
J [F[ (w, n)F(w, ш) — F(w, n)F[ (w, ш)] F rj) dw = P(w, ш, v¡)
(с точностью до сдвигов и поворотов в плоскости образа). Из формулы (25), предложения 1 и теоремы А следует, что К^(ш) = К^(п) > 0, то есть т > 2. Таким образом, построен пример с двумя однолистными существенно различными [20, с. 328]) решениями внешней ОКЗ с особенностями на неизвестных контурах; напомним, что для внешней ОКЗ с традиционными ограничениями на начальные данные [20, с. 320] вопрос о существовании таких решений был поднят в [21, с. 55].
Пример 2. Пусть функция (1) - дробно-линейная. С помощью теоремы А получаем Км(ш) = ко(ш,ш)2 — \1о(ш,ш)\2 > 0, откуда К^(ш) > 0, а из теоремы В имеем 1о,(ш) = +1 (ср. с [22]). Поэтому ш = ш - эллиптический или параболический максимум функции (6).
Пример 3. Если в (1) положить /(ш) = Г(ш,ш), то г(ш,ш) = 1/Г(ш,ш) (с точностью до сдвигов и поворотов в плоскости г). С помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, можно показать, что тогда К^(ш) > 0 и -уп(ш) = +1.
2. Класс функций с условием И.е {вгв/''(ш)//'(ш)} ||ш|=^ = 0
2.1. Всюду далее в качестве области Б выступает кольцо Ед = {ш € С : д < \ш\ < 1}. Как известно [16, с. 609], в этом случае функция (2) имеет представление
. ш — ш (1 — д2кш/ш)(1 — д2кш/ш) . . , ,
Г (ш,ш) = е-- || у--У-2' ' , \е\ = 1, (26)
у ' 1 — шш = (1 — д2кшш)(1 — д2к/(шш)) 1 1 У '
которое позволяет по-новому записать выражение для радиуса Митюка (6):
П(ш) = \/'(ш)\//д (\ш\). (6_)
Функция /д(ш) задается формулой
ш 2
/ ч(ш) = Но(д)3 ( ; ^ , (27)
д
то / 1 \ то
где Но(д)=Ц(1 — д2к), а — 1пг; Л = П(1 — д2к-г)(1 — д2к-1г-1) - тэта-
к=1 \ пг у к=1
функция (см., например, [23, с. 74]). Для функции (27) выполняются соотношения
д2т
/'' то ш2т —
/ д
ш —гт (ш)
/ (ш) = 2^
т=1 1 — д (28)
12 1 ( |ш| ) = 4п|ш| 2; /_.
где
\ш\2((\ш\) = 4п\ш\2ко(ш,ш) — \ш\ /(\ш\
1 ш2т + д2т /ш2т
ко(ш,ш) = тш + д 2Г (29)
■К\ш\2 ^ 1 — д2т
' 1 т=1
в силу (15); уравнение Гахова для радиуса Митюка приобретает вид (ср. с [2]):
ш/(ш) = \ш\ /(\ш\). (3')
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Имеет место равенство
3 {Г,ш} — 2п1о(ш,ш) = ш ({/д, \ш\} — 2пко(ш,ш)), ш € Ед. (30)
3ш
Доказательство. Выделяя из (26) представление для ф(т,ш), с помощью (20) получим
2 ^^ тд2т
1о(ш,ш) =--2 V 1-^. (31)
пш2 z—' 1 — д2т
т=1
Далее вычислим слагаемые в правой части (19); возникающие при этом громоздкие выражения упрощаются путем подстановки т = ш и использования функции /д. В результате с учетом равенств (29) и (31) имеем
2(1пф(т,ш))т и=ш = ш ^(\ш\)
ш /д
и
|ш|2 |ш| /"
2(1пф(т,ш))тт \т=ш = 2п -\- ко(ш,ш)--2 (\ш\) + 2п1о(ш,ш).
ш2 ш2 /'
-1 ч
Подстановка двух последних соотношений в тождество (19) порождает цепочку равенств
2
3{F,u} - 2nlo(—,—) = 2 [(ln— ((lnф^,—))ш)2] \w=u
— 2nlo(—, —) = — —
1 f" 1 (f" 2nko(—,—) — ^ —(\—\) -- —(I 0{ ' \— \ f U 2\ f>"
последнее звено которой легко приводится к правой части (30) в силу второго равенства (28). □
С помощью леммы 1 все формулы в предложениях 1 и 2 записываются в новом виде. Так, например, гауссова кривизна Kq(—) в точке — G Mq примет вид
Kq(—) = Q2(—) [(2nko(—,—)f — \ei2e {f,—}-{f q, \—\} + 2nko(—,—)\2] , (9q) где в = arg —.
2.2. Пусть Hq - класс функций f, голоморфных и локально однолистных в кольце Eq, Hq - класс функций f G Hq, для которых справедливо равенство
Re {eif>f"(w)/f'(w)} = 0, w G S^, (32)
где S^q = {w G C : \w\ = ^q} (0 <q< 1).
Напомним, что условия золотого сечения - это ограничения, выделяющие подклассы функций f G Hq с производными Митюка Q = Qf , которые удовлетворяют включению
Mq С Syq. (33)
Простейшее условие золотого сечения содержится в следующем утверждении.
Теорема 1. Пусть для функции f G Hq справедливы неравенства
{Re w(f"/f q)(w) — Wf/fq )(w)}(\w\—^q) < 0, w G Eq \ S^-q. (34) Тогда имеет место включение (33).
2
Доказательство. Неравенства (34) означают, что для любого в G [0,2п) функция (6') строго возрастает на (qeig,^J~qe%g) и строго убывает на (^fqe%g,eig). Очевидно, что в этом случае критические точки радиуса Митюка (6') могут лежать только на окружности S^q. □
Замечание 2. Пусть Hc - класс всех функций, голоморфных и однолистных в единичном круге D. Легко показать, что если для функции g G Hc выполняется соотношение g(w) = g(w), то функция f с производной, формально определенной бесконечным произведением
то
f'(w) = g'(w)H g'(qkw)g'(qk/w), w G Eq, k = l
удовлетворяет условию (32). Тем самым получается процедура, позволяющая строить функции f G Hq по функциям g G Hc. Так, например, если положить g(w) = = (1/2) ln((1+w)/(1 —w)) (g отображает D на полосу), то с точностью до линейного преобразования в качестве f получится функция (27).
2.3. Обозначим через Лq семейство функций f (w) = afq(ew) + b, a, b G C, |e| = 1, где fq - функция, задаваемая (27). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Если f G Hq \ Лq, то радиус Митюка Q = Qf удовлетворяет условию (33) при выполнении одного из следующих неравенств (в = arg w):
1) Re (ei2g{f,w}) <{fq, |w|}, w G Eq;
2) Re (ei2g (f''/f')'(w)) < (f'/f'q )'(|w|), w G Eq .
Доказательство. Достаточность неравенства п. 1) для включения (33) получается методом радиальной суперпозиции, описанным в работе [24], в которой доказано следующее утверждение (см. также [12, 25]).
Лемма 2. Пусть g(t) - сужение некоторой голоморфной функции на конечный или бесконечный интервал T С R, причем g'(t) = 0 для любого t G T. Тогда если Re {g,t} < 0, t G T, то либо производная u'(t) функции u(t) = 1/y^glt) имеет не более одного нуля в T, либо g(t) - линейная функция.
Воспользоваться леммой 2 позволяет следующая конструкция. Пусть fq(r) -ограничение функции (27) на интервал (q, 1), r = r(t) - функция, обратная к fq (r). Для произвольного фиксированного в G [0,2п) составим суперпозицию gg(t) = = f [r(t)eig]. Тогда
gg (t)/g'g (t) = [eig f ''(w)/f '(w) — f>'(r)/f'q (r)]/f'q (r), (35)
{gg ,t} = [ei2g {f,w} — {fq,r}]/fq (r)2, (36)
где w = reig и r = r(t). Неравенство 1) в силу соотношения (36) влечет за собой оценку Re {gg,t} < 0, t G R, в G [0, 2n). Эта оценка позволяет применить лемму 2, которая показывает, что функция gg может быть линейной не более чем для одного в. Существование такого в приводит к исключительной ситуации f G Лq; отметим, что для функции (27), порождающей семейство Лq, радиус Митюка Q = Qfq, кроме седловых критических точек , имеет два континуума (—1, —q) и (q, 1) параболических критических точек. Таким образом, для функций f из Лq включение (33) не выполняется.
Если же в промежутке [0, 2п) нет значения в такого, что функция gg линейна, то согласно лемме 2 и соотношению (35) функция f удовлетворяет условию (34), откуда по теореме 1 следует включение (33).
Теперь обратимся к п. 2) теоремы. Для обобщенного приведенного модуля (7) введем обозначение Я(т,в) = 2пМ(те*в). Тогда для функции / € Нд такой, что О = Оf , имеем
Ег = Ие {е*в(/''//')(те*в)} — ///)(т),
Ягг = Ие {е*2в(/''//')'(те*в)} — (/''//д)'(т).
С помощью этих соотношений равенство (32) приобретает вид ЯГ |г=уд = 0, а оценка 2) сводится к ЯГГ < 0 при т € (д, 1) и в € [0, 2п). Применяя формулу Ньютона - Лейбница к функции ЯГ на отрезке [л/Ц, т] при произвольном фиксированном в € [0, 2п), получим (т — ^/Ц)ЯГ < 0, т € (д, 1), то есть выполняются нестрогие неравенства (34).
Пусть то = тоегв° € М^, предположим, что то = л/Ц. Теорема 2 будет доказана, если мы покажем, что / € Л д. Положим для определенности то > л/Ц (случай
го
то < л/Ц рассматривается аналогично). Тогда У ЯГГ(т,во) Лт = Яг(то, во) = 0,
/ч
откуда в силу Ягг < 0 следует, что Ягг = 0, а значит, и Яг = 0 при (т, в) € Т = = [/д,то] х {во}.
Покажем, что при (т, в) € Т будет Ягв = 0. Действительно, если ЯГ1в0 < 0 для некоторого т1 € [л/Ц, то], то существует е > 0 такое, что для любого в € [во — е, во]
во
будет ЯГ1в < 0 .В этом случае Яг (т1,во — е) = — J ЯГ1в Лв > 0, что противо-
во-е
речит условию Яг < 0, т € [л/Ц, 1]. Противоречие при ЯГ1в0 > 0 устанавливается аналогично.
Выполнение равенства Яв =0 на отрезке Т теперь очевидно. Вместе с равенством Яг = 0, (т,в) € Т, оно означает, что те*во € М& при т € [л/Ц, то]. Как и выше, составляя суперпозицию д(Ь) = /[т(1)егво], где т(Ь) - функция, обратная к /д (т), с помощью соотношения (35) при в = во получим д"(1)/д'(1) = 0 для £ € [/д(л/Ц), /д(то)], а значит, и для £ € К по теореме единственности. Ясно, что д -линейная функция и / € Лд, что и требовалось. □
гг
Замечание 3. Радиус Митюка О = Оf для функции /(т) = J Л^//д(С), где
л/Ч
/д - функция (27), имеет четыре критические точки: седла т = ±л/Ц и локальные максимумы т = .
3. Дробно-линейное решение внешней ОКЗ
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть функция (1) является дробно-линейной с полюсом ш € Ед . Тогда М& = {ш+,ш-}, где максимум ш+ = ш и седло ш- лежат на прямой, проходящей через т = 0 .
Доказательство. Вновь перейдем к функции Я(т,в) = 1пО(т), т = те*в, и воспользуемся представлением
откуда с учетом (3') следует эквивалентность т € М& ■ ЯГ (т, в) = Яв(т, в) = 0.
2т(1пО)г(т) = т /(т) — Н /(И) = тЯг(т, в) — ЪЯв(т, в), т € Ед, //
Без потери общности полагаем ш > 0. Опуская технически несложные, но громоздкие выкладки при получении выражений для производных Кг и Кд, ограничимся выводами на основе их анализа, который начнем с мнимой части уравнения Гахова. Имеем Кд (г, в) = —2ЛЧ(г, в) эт в, причем Jq(г, в) > 0 при гвгд € Еч . Значит, элементы М& могут лежать только на вещественной оси, и при каждом фиксированном г € (д, 1) функция К(г, в) убывает при изменении в от 0 до п и от 0 до —п. Остается исследовать вещественную часть уравнения Гахова в двух случаях, отвечающих двум компонентам связности пересечения К р| Eq .
В случае в = 0 анализ выражения для Кг (г, 0) позволяет сделать вывод, что &(г) возрастает на (д,ш) и убывает на (ш, 1). Поэтому точка ш+ := ш является единственным элементом М&, лежащим на пересечении положительной вещественной полуоси с Eq.
Рассмотрим теперь случай в = п. Сначала отметим, что 1р|Мп = 0, где I = {л € К : л < 0}р| Eq. Действительно, ввиду полученного выше равенства Кд (г,п) = 0 достаточно установить существование нуля производной (¿/¿г)(К \д=п ) = (Кг) \д=п на интервале (д, 1), то есть существование экстремума сечения поверхности (8) вертикальной плоскостью над интервалом I. Но такой экстремум существует благодаря предельному переходу К(г,п) ^ 0, справедливому как при г ^ д, так и при г ^ 1 ввиду ограниченности производной ]' в Eq.
Единственность нуля производной Кг(г,п) на интервале (д, 1) следует из ее строгого убывания на (д, 1) , которое проверяется непосредственно. Обозначим указанный нуль через ш—; он будет единственным элементом М&, лежащим на пересечении Eq с отрицательной вещественной полуосью. Отмеченный выше характер поведения на окружностях |и>| = г, г € (д, 1), показывает, что М& = = {ш+,ш-}, причем в точке л = ш- поверхность (8) имеет седло, а в точке л = = ш+ - максимум. Последний факт уточняется вычислением кривизны К&(ш).
Действительно, подставляя равенство ,ш} = {fq,ш} — 2пко(ш,ш) + 2п1о(ш,ш) при в = 0 в формулу (9'), получим
Кп(ш) = (2пП(ш))2Км (ш) = (2пП(ш))2[ко(ш,й)2 — \1о(ш,ш)\2].
В отличие от общего случая из примера 2 в рассматриваемой ситуации удается воспользоваться импликацией К&(ш) > 0 ^ -уп(ш) = +1 [11, с. 210]: строгое неравенство К&(ш) > 0 проверяется непосредственно с помощью соотношений (29) и (31).
По формуле (22) при п = 1, применимой в силу ограниченности производной ]' в Eq и конечности множества М& (см. [8]), получаем, что для второй критической точки ш- будет (ш-) = —1.
В заключение отметим, что (|ш+| — у/д)(\ш- \ — у/д) < 0, если \ш\ = ^/д, и |ш+| = , если \ш\ = ^/д. В последнем случае, очевидно, ] € Hq. □
Литература
1. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 86, № 4. -С. 649-652.
2. Аксентьев Л.А., Киндер М.И., Сагитова С.Б. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Казан. гос. ун-т, 1983. - Вып. 20. - С. 22-34.
3. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 2. - С. 3-11.
4. Митюк И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения // Изв. вузов. Матем. - 1964. - № 2. - С. 110-119.
5. Казанцев А.В. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1990. - 145 с.
6. Казанцев А.В. Исследование видоизмененного внутреннего радиуса двусвязных областей. - Казань: Казан. ун-т, 1988. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.12.88. № 9053-В88.
7. Киндер М.И. О числе решений уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 8. - С. 69-72.
8. Киндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1985. -Вып. 22. - С. 104-116.
9. Bergman S., Schiffer M. Kernel functions and conformai mapping // Compositio Math. -1951. - T. 8, F. 3. - P. 205-249.
10. Соколов А.М. Основные понятия архитектурного проектирования. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. - 192 с.
11. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». - М.: Наука, 1973. - 440 с.
12. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В. Новое свойство класса Нехари и его применение // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. - Вып. 25. -С. 33-51.
13. Szegö G. On the capacity of a condenser // Bull. Amer. Math. Soc. - 1945. - V. 51, No 5. - P. 325-350.
14. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. -1949. - V. 55, No 6. - P. 545-551.
15. Kraus W. Über den Zusammenhang einiger Characteristiken eines einfach zusammenhangenden Bereiches mit der Kreisabbildung // Mitt. Math. Sem. Giessen. - 1932. - V. 21. -P. 1-28.
16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 628 с.
17. Киселев А.В. Геометрические свойства решений внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. - 1992. - № 7. - С. 20-25.
18. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. - М.: Наука, 1975. - 336 с.
19. Bergman S. The kernel function and conformal mapping // Amer. Math. Soc., Math. Surveys. - 1950. - V. 5. - P. 1-161.
20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.
21. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1965. - 333 с.
22. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Киндер М.И., Киселев А.В. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.
23. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. - М.: Наука, 1970. - 304 с.
24. Gehring F.W., Pommerenke Ch. On the Nehari univalence criterion and quasicircles // Comment. Math. Helv. - 1984. - V. 59. - P. 226-242.
25. Казанцев А.В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 180-194.
Поступила в редакцию 22.12.16
Казанцев Андрей Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2017, vol. 159, no. 1, pp. 33-46
Sectio Aurea Conditions for Mityuk's Radius of Two-Connected Domains
A.V. Kazantsev
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: [email protected]
Received December 22, 2016 Abstract
Connection of an exterior inverse boundary value problem with the critical points of some surface is one of the central themes in the theory of exterior inverse boundary value problems for analytic functions. In the simply connected case, such a surface is defined by the inner mapping radius; in the multiply connected one, by the function fi(w) such that M(w) = (2n)-1 lnfi(w) is Mityuk's version of a generalized reduced module. In the present paper, the relation between the curvature of the surface fi = fi(w) with the Schwarzian derivatives of the mapping functions and with the Bergman kernel functions ko(w,w) and lo(w,w) is established for an arbitrary multiply connected domain. When passing to two-connected domains, due to the choice of the ring as a canonical domain, we construct the conditions for the critical points of Mityuk's radius to concentrate on the golden section circle of the ring. Finally, we show that the minimal collection of the critical points of the Mityuk radius in the two-connected case, consisting of one maximum and one saddle, is attained for the linear-fractional solution of the exterior inverse boundary value problem.
Keywords: exterior inverse boundary value problem, multiply connected domain, Gakhov equation, Mityuk's radius, inner mapping (conformal) radius, hyperbolic derivative
References
1. Gakhov F.D. On inverse boundary-value problems. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1952, vol. 86, no. 4, pp. 649-652. (In Russian)
2. Aksent'ev L.A., Kinder M.I., Sagitova S.B. Solvability of the exterior inverse boundary value problem in the case of multiply connected domain. Tr. Semin. Kraev. Zadacham. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1983, no. 20, pp. 22-34. (In Russian)
3. Aksent'ev L.A. The connection of the exterior inverse boundary value problem with the inner radius of the domain. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1984, no. 2, pp. 3-11. (In Russian)
4. Mityuk I.P. A generalized reduced module and some of its applications. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1964, no. 2, pp. 110-119. (In Russian)
5. Kazantsev A.V. Extremal properties of inner radii and their applications. Cand. Phys.-Math. Sci. Diss. Kazan, 1990. 145 p. (In Russian)
6. Kazantsev A.V. Investigation of the modified inner radius of two connected domains. Dep. in VINITI on Dec. 27, 1988, no. 9053-B88. 22 p. (In Russian)
7. Kinder M.I. The number of solutions of F.D. Gakhov's equation in the case of a multiply connected domain. Sov. Math., 1984, vol. 28, no. 8, pp. 91-95.
8. Kinder M.I. Investigation of F.D. Gakhov's equation in the case of multiply connected domains. Tr. Semin. Kraev. Zadacham.. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1985, no. 22, pp. 104116. (In Russian)
9. Bergman S., Schiffer M. Kernel functions and conformal mapping. Compos. Math., 1951, vol. 8, no. 3, pp. 205-249.
10. Sokolov A.M. Basic Concepts of Architectural Design. Leningrad, Leningr. Gos. Univ., 1976. 192 p. (In Russian)
11. Bakelman I. Ya., Verner A.L., Kantor B.E. Introduction to the Differential Geometry "in the Large". Moscow, Nauka, 1973. 440 p. (In Russian)
12. Aksent'ev L.A., Kazantsev A.V. A new property of the Nehari class and its application. Tr. Semin. Kraev. Zadacham.. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1990, no. 25, pp. 33-51. (In Russian)
13. Szego G. On the capacity of a condenser. Bull. Am. Math. Soc., 1945, vol. 51, no. 5, pp. 325-350.
14. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions. Bull. Am. Math. Soc., 1949, vol. 55, no. 6, pp. 545-551.
15. Kraus W. Über den Zusammenhang einiger Characteristiken eines einfach zusammenhangenden Bereiches mit der Kreisabbildung. Mitt. Math. Sem. Giessen, 1932, vol. 21, pp. 1-28.
16. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable. Moscow, Nauka, 1966. 628 p. (In Russian)
17. Kiselev A.V. Geometric properties of solutions of the exterior inverse boundary value problem. Russ. Math., 1992, vol. 36, no. 7, pp. 18-23.
18. Lebedev N.A. The Area Principle in the Theory of Univalent Functions. Moscow, Nauka, 1975. 336 p. (In Russian)
19. Bergman S. The kernel function and conformal mapping Amer. Math. Soc., Math. Surv., 1950, vol. 5, pp. 1-161.
20. Gakhov F.D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka, 1977. 640 p. (In Russian)
21. Tumashev G.G., Nuzhin M.T. Inverse Boundary Value Problems and Their Applications. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1965, 333 p. (In Russian)
22. Aksent'ev L.A., Kazantsev A.V., Kinder M.I., Kiselev A.V. Classes of uniqueness of an exterior inverse boundary value problem. Tr. Semin. Kraev. Zadacham. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1990, no. 24, pp. 39-62. (In Russian)
23. Akhiezer N.I. Elements of the Theory of Elliptic Functions. Moscow, Nauka, 1970. 304 p. (In Russian)
24. Gehring F.W., Pommerenke Ch. On the Nehari univalence criterion and quasicircles. Comment. Math. Helv., 1984, vol. 59, pp. 226-242.
25. Kazantsev A.V. Bifurcations and new uniqueness criteria for critical points of hyperbolic derivatives. Lobachevskii J. Math., 2011, vol. 32, no. 4, pp. 426-437. doi: 10.1134/S1995080211040263
I Для цитирования: Казанцев А.В. Условия золотого сечения для радиуса Митюка ( двусвязных областей // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2017. -\ Т. 159, кн. 1. - С. 33-46.
/ For citation: Kazantsev A.V. Sectio aurea conditions for Mityuk's radius of two-( connected domains. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matemati-\ cheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 1, pp. 33-46. (In Russian)
