CC BY
22
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.
_ СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2016, Т. 158, кн. 1 С. 66-80
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 517.54
О СЕМЕЙСТВАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ С КВАЗИЛЕВНЕРОВСКОЙ ДИНАМИКОЙ ПРЕДШВАРЦИАНОВ
А.В. Казанцев
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Исследована динамика множества критических точек гиперболических производных семейства голоморфных в единичном круге функций, предшварцианы которых удовлетворяют уравнению квазилевнеровского типа. Для разрешимости соответствующего уравнения Гахова используется униформизация, зависящая от дополнительного параметра и основанная на применении подготовительной теоремы Вейерштрасса и теоремы единственности Пенлеве для задачи Коши. На одной и той же порождающей функции продемонстрировано действие двух известных (квазилевнеровских) семейств - линий уровня и лучей Хорнича. Выбор новой формы уравнения Гахова приводит к новому условию (не более чем) единственности критической точки гиперболической производной голоморфной функции - неположительности якобиана уравнения в терминах предшвар-циана указанной функции. Полученному неравенству удовлетворяют функции известного класса Маркса-Штрохеккера.
Ключевые слова: гиперболическая производная, конформный радиус, уравнение Гахова, уравнение Левнера-Куфарева, звездообразные функции
Введение
Выделение классов голоморфных в круге В = {С € С : |С | < 1} функций / с одноточечными множествами
Ы} = {а € В : (а) = 0} (1)
критических точек их гиперболических производных (конформных радиусов)
^ (С) = (1 -1С 12)1АС)1 (2)
предполагает исследование динамики множеств (1), когда / = / зависит от дополнительного параметра Ь; как правило, Ь € К для малых размерностей ё > 1 (см., например, [1-4]). Возникнув в рамках задачи обоснования неулучшаемости условий единственности критической точки функции (2) сначала на уровне примеров [5-7], затем на уровне самостоятельных утверждений [8-10], в настоящее время указанное исследование продвигается по пути прояснения взаимосвязей между параметрическими семействами функций /, допускающими содержательное описание динамики множеств , и связанными с ними классами единственности экстремума Ь^ [1,2]. Ряд аспектов, возникших в процессе накопления таких классов -от работ [11] и [12] до объединившей их проблематику статьи [13] и от работы [5] до настоящего времени, - отражен в [1, 14, 15].
В настоящей статье параметрические семейства строятся с помощью функций д(С,г) и /(С,г), удовлетворяющих условиям
д(С,г) = (р((,г)д'((,г) + д(г)д((,г) (3)
и
д(С,г) = а ''(с,г)// '(С,г). (4)
Штрих и точка обозначают дифференцирование по £ и по г соответственно. Вопросы разрешимости дифференциального уравнения (3) здесь не рассматриваются. В дальнейшем считаем выполненными следующие предположения.
Функция /((, г) голоморфна в бикруге В х Б С С2, где Б = {г € С : \г — ¿о| <г} для некоторых г > 0 и ¿о € К; кроме того, выполняется условие /'(С,г) = 0, (С, г) € В х Б (локальная однолистность по £). Функции р(С,г) и ц(г) голоморфны в В х Б и Б соответственно, ц(Т) С К ,где Т = Бр| В ,и
2Кер(С,г) + (1 — \С\2)д(г) > 0, (С, г) € В х Т. (5)
Так как нас интересует устройство слоения ММ = и г ^ т М^ х {г} в окрестности точки (Со, ¿о) € М, нам потребуется выделить начальные коэффициенты разложения д(С,го) = Ьо + Ък(С — Со)к +----, Ьк =0; при этом Ьо = 0, если Со =0 (см. (4)).
Такое требование продиктовано тем, что для локального исследования слоения М (в разд. 2) определяющее его уравнение Гахова
/''(С,г)//'(С,г) = 2С/(1 — \С\2) (6)
используется в эквивалентной (при С = 0) форме
д(С,г) = 2\С\2/(1 — \с\2); (7)
уравнение (7) разрешимо с помощью «подвижной» (то есть зависящей от г) уни-формизации соответствия и> = д(С,г) (разд. 1). Униформизация справедлива и в случае Со = 0, определяя последствия домножения на С при переходе от (6) к (7). Указанный случай допускает полное исследование и с помощью теоремы о неявных функциях с надлежащим выбором невырожденного якобиана (в статье [8] это было сделано для ц = 0).
Условие знакопостоянства в В якобиана уравнения Гахова в той или иной форме является естественным источником получения новых классов функций / с одноточечными Mf (см. [1]). Таким классом может служить класс функций д(С) = = С/''(С)//'(С), удовлетворяющих условию
\Сд'(С)/д(С) — 1/(1 — К\2)\ < 1/(1 — К\2), С € В, (8)
эквивалентному неположительности (р,0) -якобиана прологарифмированного уравнения (7) при ( = рвгв (см. разд. 4).
Уравнение (3) при условии (5) является естественным обобщением уравнения Левнера, или Левнера-Куфарева (см. [16]), поэтому называем его квазилевнеров-ским. Переход к таким семействам продиктован стремлением объединить в единую картину левнеровскую динамику [8] и лучи Хорнича гд, г > 0 [10, 14]. Примеры соответствующих Mft -динамик рассмотрены в разд. 3; левнеровский случай иллюстрируется семейством линий уровня д(С,г) = д(егС,), которое строится по заданной функции д .
Как обычно (см., например, [1]), для характеристики элементов а € М^ используется гауссова кривизна
К{ (а) = ^ (а)2[4/(! — \а\2)4 — \{/,а}\2 ] (9)
поверхности Н = Ь^ (С) над точкой £ = а, а также индекс (а) точки £ = = а как особой для векторного поля УЬ^(С); {¡,С} = (I''/¡')'(С) - (I''/I')2/2 -шварциан. Индексы рассматриваются только для изолированных точек; их связь с кривизной такова: если Kf (а) = 0, то (а) = sgn Kf (а), а если Kf (а) = 0, то Yf (а) € {-1 (седло), 0 (полуседло), +1 (максимум)}.
1. «Подвижная» униформизация
Пусть Zg-Q := {(С,1) € Ю х 5 : д(С,Ь) = Я(1)}, где Q(t) = Ь0 ехр Ы д(0
\4о
Как отмечено выше, если Со = 0, то Ьо = 0, то есть Q = 0.
Лемма 1. Существуют бикруг В = и х а С Ю х 5 с центром в точке (Со,Ьо) и голоморфное решение а : а ^ и дифференциального уравнения £ = -Ср(С, Ь) с начальным условием С(Ьо) = Со, такие что
д(С,Ь) - Q(t) = (С - а(Ь))кф(С,Ь), (С,ь) € В, (10)
где ф голоморфна и не имеет нулей в В.
Доказательство. Существует бикруг ихБ\ С Юх5 с центром в точке (£о, tо) такой, что С = Со - единственный нуль кратности к функции д(С,Ьо) - Q(tо) в и, и множество Zg-Q не имеет предельных точек на ди х $1. Согласно подготовительной теореме Вейерштрасса [17, с. 11-12] отсюда следует, что
д(С,Ь) - Q(t)= Р(с,тс,ь), (С,ь) € и х вь (11)
где Р(С,Ь) = (С - Со)к + с1(Ь)(С - Со)к-1 + • • • + ск(Ь) - многочлен Вейерштрасса, функции с^ (Ь) голоморфны в , с^ (Ьо) = 0, ] = 1,.. .к, а функция ф голоморфна и не имеет нулей в и х .
Далее, существует круг в' С с центром в tо такой, что задача
С' = -Ср(С^), С (Ьо) = Со (12)
имеет единственное решение а : в' ^ и, голоморфное в в' [18, с. 23].
Пусть т - максимальное число геометрически различных нулей функции д(С,Ь) - Q(t) в и при фиксированном t € в'; имеем т < ж, поскольку Zg-Q не имеет предельных точек на ди х в'. Неравенство т > 1 следует из легко проверяемого соотношения (а(Ь),Ь) € Zg-Q, t € в'.
Предположим, что т > 2, и рассмотрим дискриминант Б(Ь) многочлена Р(С,Ь). Пусть ZD = {Ь € в' : Б(Ь) = 0}, тогда ZD = в' \ С', где С' - множество тех Ь' € в', для которых число точек Zg-Q в слое {Ь = Ь'} равно т. Следовательно, Ьо € ZD, так как число таких точек в слое {Ь = Ьо} равно единице. Далее, Ьо - изолированная точка ZD (по теореме единственности для Б(Ь) как функции одного комплексного переменного). Таким образом, существует круг а С в' с центром в Ьо такой, что а \ {Ьо} С С'.
Пусть г -радиус а; обозначим Тд = {Ь € а : \Ь-(Ьо+твгв/2)\ < г/2}. Множество их (а\{Ьо}) покроем семейством бикругов и хТд, в € [0, 2п), в каждом из которых
т т
Р(С,Ь) = ]^[(С - а^(Ь))к , к^ = к, со своими а^(Ь), голоморфными в Тд , и к^ , ¿=1 ¿=1 ] = 1,... ,т [17, с. 13]. Тогда из (3) и (11) имеем
т т т
ФХ>{ П (С - ап)\а + СР) = (Ф - СРФ' - - ап).
¿=1 ^n=1,n=¿ ' п=1
Последовательно подставляя сюда С = аз (£), 3 = 1,...,т, получим, что каждая функция а2 удовлетворяет (12) в Тд, причем аналогом начального условия в (12) будет условие а^ (£) ^ Со при £ ^ вдоль отрезка ^о^о + гвгд/2], справедливое в силу непрерывной зависимости нулей полинома от его коэффициентов [19, с. 533]. Но тогда по теореме Пенлеве [18, с. 24-26] должны выполняться равенства а^(£) = = а(Ь), £ € Тд, 3 = 1, ... ,т. Поскольку в произвольно, то С = а(Ь) - единственный нуль Р(С, £) при каждом £ € а. Итак, случай т > 1 невозможен, разложение Вейерштрасса принимает вид (10), и лемма 1 доказана. □
Теперь установим результат о «подвижной» униформизации соответствия и> = = д(С,£). Термин «подвижная» означает, что осуществляется обычная локальная униформизация по С согласно [20] (см., например, с. 28-29), но в зависимости от переменной £, которая «сдвигает» исходное соответствие и> = д(С,£о). Обозначим = д(С,£) — — , где V - униформизирующий параметр. Обоснование следующего утверждения продолжает доказательство леммы 1. Пусть ZQ -множество всех нулей функции О в и х а х С, £п = 2пп/к, п = 0, . . . , к — 1.
Лемма 2. Существуют поликруг С = О х а х V С С3 с центром в (Со,£о, 0) и голоморфное решение а : а х V ^ О уравнения
Сь = —Ср(С,£) — ФМг/к (13)
с начальным условием С(£о, 0) = Со, обладающие следующими свойствами:
а) при любом фиксированном £ € а функция С = аь = а(Ь,ю) однолистна в V, а(£, 0) = а(£) - функция из леммы 1;
б) имеет место представление
к-1
ZGn С = и {(а^,^)^^) : € а х V}. (14)
п=о
Доказательство. Выберем одно из к значений кФ(Со, £о), зафиксируем соответствующую ветвь и рассмотрим функцию Г(С,£) = (С — а(£)) кФ(С, £), голоморфную в бикруге и х а. (Выбор другой ветви корня приведет к очевидным переобозначениям.)
Применение теоремы о неявных функциях к уравнению Н(С,£^) := Г(С,£) — — V = 0 в и х а х С, возможное в силу выполнения условий Н = 0 и Н^ = 0 в точке (Со,£о, 0), обеспечивает существование поликруга С' = и' х а' х V' с центром в (Со^о, 0) и голоморфной функции а : а' х V' ^ и' таких, что а(£о, 0) = Со, и С = - единственный нуль функции Н(С,£^) в и' при каждом €
€ а' х V'. Тогда в С' справедливо представление Н(С,£^) = (С — а(1^))<р(С,1^) с голоморфной функцией = 0 в С' [17, с. 13]. Поэтому
к-1
О(С, V) = П [Г(С, г) — = Р(С, г, ^Ф(С, г, V), (С, г, V) € С',
п=о к-1
где Р(С,£^) = ]^[(С — а(£,£^)) - многочлен Вейерштрасса, Ф(С,£^) =
п=о
к-1
= ^ ^(С^^^). Таким образом, установлена справедливость представления (14)
п=о
для поликруга С' (который будет содержать С). Единственность многочлена Вейерштрасса для функции О(С,£, 0) = д(С,£) — Q(г) влечет за собой совпадение а(£, 0) = а(£), £ € а'.
Анализ дискриминантного множества полинома P(Ç,t,v) показывает, что функции a(t, £nv), n = 0,... ,k — 1, совпадают только при v = 0.
Чтобы проверить обращение в тождество уравнения (13), достаточно продифференцировать соотношение g — Q = Fк, подставить получающиеся выражения для g и g' в (3) и заменить в нем производные F и F' результатами дифференцирования тождества F(a(t,v),t) = v по t и по v.
Наконец, докажем однолистность функции at(v) = a(t,v) в окрестности точки v = 0. Так как av (to, 0) = 1/F'(Zo,to) = 0, то величина \av (t, 0)| будет ограниченной снизу положительной постоянной в некотором круге а'' с центром в to таком, что а'' С а'. Данная оценка снизу позволяет корректно определить семейство функций pt(v) = [a(t,v) — a(t)]/av(t, 0) = v + • • • , v G V', t G а''. Очевидно, Pt(v) как функция двух переменных голоморфна при (t,v) G а'' х V'. Поэтому существуют бикруг а х Vo с центром в (to, 0), содержащийся в а'' х V' вместе со своим замыканием, и постоянная M > 0 такие, что \f3t(v)| < voM, v G Vo, t G а, где vo - радиус круга Vo. Далее, для любого t G а функция jt(w) = f3t(vow)/vo = = w + • • • будет голоморфной в |w| < 1 (так как Vo С V' ), и \^t (w)| < M при |w| < 1. Отсюда следует, что M > 1 и для любого t G а функция jt(w) однолистна в круге |w| < p(M) = M — %/M2 — 1 [21, c. 97], а функция at(v) = a(t,v) -в круге |v| < vop(M).
Для завершения доказательства леммы 2 достаточно положить D = U' и V = = {v G Vo : |v| <vop(M)}. □
2. Локальное строение M
Символом ф будем обозначать число элементов (множества), ft(Ç) := f (Z,t), N := [0, k — 1] p| Z, Z = рвгв. Исходная постановка из введения продолжает действовать.
Теорема 1. Пусть Zo = 0 - изолированный элемент Mft . Тогда слоение M вблизи точки (Ço,to) распадается на k аналитических кривых, пересекающихся в (Zo,to). Индекс y : (a,t) ^ Jft(a) не исчезает на M \ {(Zo,to)} в окрестности (Zo ,to), а величина kt = #{Mftf] (достаточно малая окрестность Zo)} равна k для всех t = to , близких к to , либо имеет скачок, равный 2 в to .
Доказательство. Используем «подвижную» униформизацию w = Q(t) + £к , Z = a(t,£) соответствия w = g(Ç,t) из леммы 2 и k параметризаций £ = élPnv, yn = nn/k, n G N, включения Q(t) + £к G R+ и преобразуем уравнение (7) в k систем
{С = a(t, eiPnv), 2p/(1 — p2) = Q(t) + ( — 1)nvk}, (15)
где v пробегает вещественную окрестность нуля, t - окрестность to , а n G N.
Разрешая второе уравнение (15) при произвольно выбранном n G N, получим Cw-функцию p = pn(t, v), подстановка которой в первое уравнение (15) после взятия модулей преобразует его к виду hn(t,v) := lnpn(t,v) — ln |a(t,élPnv)| = 0. Благодаря (5) и лемме 2 имеем (dhn/dt)(to, 0) > 0. Это означает, что уравнение hn = 0 имеет единственное Cw-решение t = tn(v) в некоторой окрестности W точки v = 0 .
Так как Zo - изолированный элемент Mft0 , то tn(v) ф to, v G W, n G N. Подставляя теперь каждую из функций t = tn (v) в первое уравнение (15) и убеждаясь (на основании однолистности at(v) ф a(t,v) ) в том, что соответствующие кривые (Çn(v),tn(v)) = (a(tn(v), eiPnv),tn(v)), v G W, n G N, из M будут пересекаться только в точке (Zo,to), получим первое утверждение теоремы.
Для n е N положим Zn(v) = Pu(v)ei9n(v), где pn(v) = pn(tn(v),v) е Сш(W), а 0n(v) = arg Zn(v) - Сш -функция на W при выборе надлежащей ветви аргумента: en(0) = arg Zo. Неравенство Yft (?j) (Zn(v)) = 0, n е N, следует из тождества
4 - (1 - p2)4\{ft,peie}|2 =
= 4(1 - p2)\pt' + р'/р + гв'\-2 [2Rep + (1 - p2)q]t'[\n(g(peie, t)/Q(t))]' (16)
c учетом формулы (9) и связи между кривизной и индексом (для краткости опущена зависимость от v и n). Тождество (16) получается из уравнения (6) c Z = = p(v), t = t(v) дифференцированием по v и справедливо для любых функций p,e,t е С 1(W) с p(v)ew(v) е Mft(v) , v е W, при условии pt' + p'/p + гв' = 0 на W. Последнее выполняется благодаря лемме 2, полярному представлению Zn(v) и однолистности a(t,v) по v: действительно, pt'n + p'n/pn + ie'n = [1 — — vqt'e-iPn/k](av/а) = 0 с возможным уменьшением W. Правая часть (16) отлична от нуля при v е W \ {0} в силу (5), изолированности Zo (откуда t'n(v) = 0, когда v =0) и тождества g(Zn(v),tn(v)) = Q(tn(v)) + (-1)nvk:
g(Zn(v),tn(v)) у = (-1)nkvk-1[1 - vq(tn(v))t'n(v)/k] =
Q(tn(v)) ) Q(tn(v)) + (-1)k vk
Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, следует обратить каждую из функций t = tn(v), n е N, и подставить результат в представление для Zn(v). Единственным препятствием для такого обращения может быть лишь смена знака производной t'n(v) в точке v = 0. Если такой смены не происходит ни для какого n, то kt = k при t = to, близких к to . Но если такая смена и происходит, то только для одного n. Действительно, дифференцируя тождества hn(tn(v),v) = 0, n е N, при k > 2 c учетом (5) и (dhn/dv)(t0,0) = -Re {eiPnav(t0, 0)/Z0} получим t'n(0) = = c■ cos(y + <^n), причем c = 0, так как av(to, 0) = 0 (лемма 2). Ясно, что равенство t'n(0) = 0, необходимое для указанной смены знака, может выполняться не более чем для одного n.
Существование номера n со сменой знака t'n в нуле соответствует ситуации, когда kt имеет в to скачок, равный 2; при этом обратимость возможна только для ветвей t±(v) немонотонной функции tn(v) над соответствующими половинами W. Указанные ветви дают решения Zn(v±(t)), отличные друг от друга в силу однолистности at(v). В данном случае имеем kt = k ± sgn (t - to) при t = to, близких к to. Теорема 1 доказана. □
Теорема 2. Пусть точка Zo = 0 - изолированный элемент Mft . Тогда t = to является бифуркационным значением параметра тогда и только тогда, когда \{fto, 0}\ = 2. При этом слоение M вблизи своей точки (0,to) состоит из двух аналитических кривых, пересекающихся в (0,to). Первая из этих кривых продолжается до интервала {0} х T, вторая может быть параметризована с помощью «подвижной» униформизации соответствия w = g(Z,t) в окрестности (0,to). Кроме того, jf (0) = sgn (to - t), t е T \ {to}, и kt = 2 + jf (0)sgn (t - to) при t = to, близких к to .
Доказательство. Так как функция g(Z, t) голоморфна в полной области Хар-тогса ЮхБ с плоскостью симметрии Z = 0, имеет место разложение g(Z,t) = ß(t)Z+ + Y(t)Z2 + ■ ■ ■ , (Z,t) е D х S, где функции ß и y голоморфны в круге S. В силу (3) и Zo = 0 имеем ß(t) =0 и Y(t) = {ft, 0} при t е S (мы перешли к обозначению ft(Z) := f (Z,t)). Кроме того, при t е T выполняется равенство
\{ft, 0}\ = \{ft0, 0}\ exp^ [2Rep(0, О + q($]
Таким образом, 0 G Mft, t G S, и если {fto, 0} = 0, то согласно (5) модуль \{ft, 0}| -возрастающая функция вещественного параметра t G T.
Как и при доказательстве теоремы 1, перейдем от уравнения (7) к к системам (15), n G N, c Q = 0 в силу Со = 0, причем к > 2, а переменная v пробегает пересечение W := Vf] R, где V - круг с центром в v = 0 из леммы 2. Последняя дает представление a(t,v) = a(t)+ai(t)v+ ■ ■ ■ , (t,v) G S xV, а лемма 1 - тождество a(t) = 0, t G S. Нетрудно показать, что при к > 3 любая из к систем (15) допускает только тривиальное решение v = 0, то есть С = a(t, 0) = 0 для всех t G T.
В случае к = 2 набор (15), n G N, состоит из двух систем:
{С = a(t,v), 2р2/(1 - р2) = v2} (17)
и
{С = a(t,iv), 2р2/(1 - р2) = -v2},
причем вторая отбрасывается как избыточная (отвечающая домножению уравнения (6) на С для получения (7)); она выделяет лишь тривиальное решение (0,t), t G T, учитываемое и системой (17).
Из второго уравнения (17) получим выражение для р : p(v) = \v\/y^+v2, подставим его в первое; в результате \a(t,v)\ = \v\/л/2+v2, значит, \ai(t)\ = 1/\/2. С учетом g(a(t,v),t) = v2, отсюда имеем \{ft, 0}\ = 2. Ввиду возрастания функции \{ft, 0}\ на интервале T последнее уравнение имеет не более одного корня в T. Итак, если (0,to) - предельная точка множества M \ ({0} x T), то есть t = = to - бифуркационное значение параметра, то оно единственно и \{ft0, 0}\ = 2. Чтобы доказать обратное, построим нетривиальное решение системы (17) вблизи (t,v) = (to, 0).
Используем представление
a(t,v)= vф(t, v), (t, v) G S x V, (18)
с голоморфной и неисчезающей в S x V функцией ф; ф(t, 0) = ai(t), t G S. Основываясь на (18), начатое выше преобразование системы (17) можно свести к уравнению
m,v)\ = 1/у/ 2 + v2, (19)
которое перепишем в виде h(t,v) := Re ln ф^/и) + (1 /2)Xn(2+v2) = 0. Согласно лемме 2 имеем ht (t, v) = —Re {p(a(t, v),t) + q(t)v(av (t, v)/a(t, v))/2}, откуда ht(to, 0) = = —Re [p(0,to) + q(to)/2] < 0 в силу (5) и (vav/a)\v=o = 1. Тогда с уменьшением W теорема о неявных функциях устанавливает существование единственного решения t = t(v), v G W, (класса Cw ) уравнения h(t,v) = 0. Искомым бифуркационным решением системы (17) будет кривая (a(t(v),v),t(v)), v G W, причем t(v) = to, v G W, в силу изолированности ^ в Mft . Тем самым доказана достаточность условия \{fto, 0}\ = 2 для бифуркации слоения M над t = to.
Пусть С (v) = р^)в1в(1и) := a(t(v),v). Очевидно, модуль р(v) = \v\^^f2+v2 будет Cw -функцией в W \ {0}. Определим характер особенности 0(v) при v = = 0. Воспользуемся представлением (19): a(t(v),v) = vф(t(v),v), где ф^(0), 0) = = ai(to) = егв°/\[2 в силу (17) для t = to. Тогда при выборе ветви аргумента с arg ф(to, 0) = 0o функция 9o(v) = arg ф(t(v),v) будет вещественно аналитической на W. Значит, в силу (18) и (19) имеем С (v) = vei9°(v) / \J 2 + v2, v G W. Сравнивая данное выражение и его приведенный выше аналог с участием û(v), получим (mod 2п ): 9(v) = 0o(v), если v > 0, и 9(v) = 0o(v) + п, если v < 0.
Таким образом, для заключения Yft(v) (С(v)) = 0, v G W \ {0}, следует воспользоваться тождеством (16) отдельно для отрицательных и положительных v .
При этом величину [1пд(рвгв,t)/Q(t)]' из правой части (16) следует заменить выражением [1п д(рвгв, I)]' — дЬ' = — гоф''). Так как, уменьшая при необходимости Ш, будем иметь 2 — уд1' > 0, V € Ш, то с учетом только что сделанной замены из (16) получим sgn (((V)) = sgn(vt'(v)) = 0 при V € Ш \ {0}. Связь между кривизной и индексом (см. введение) немедленно дает (М^) = 0 вблизи (0,£о). Подсчет величин (0) и ^ при Ь = производится точно так же, как ив [8].
Теорема 2 доказана. □
3. Примеры
Рассмотрим две «крайние» ситуации, допускаемые условиями на (р, д) -динамику (3), (5), а именно 1) (р,д) = (1,0): дд = С,д' и 2) (р,д) = (0,1): дд = д. Решение данных уравнений элементарно и приводит к семействам 1) д(С,Ь) = д(вгС,) и 2) д(С, £) = егд(С). Ввиду голоморфности функции д в В естественными областями изменения параметра £ будут 1) Т = (—ж, 0) и 2) Т = М.
Замены переменных 1) в1 = г € (0,1) и 2) в1 = Ь € (0, с помощью (4)
приводят 1) к семейству линий уровня /г (£) = /(г£) [1, 3] и 2) к семейству лучей С
Хорнича /Ь(С) = '(£)]' ^ [10, 14]. Проведем сравнение динамик 1) и 2) на
функции д(С) = 8?(1 — С2).
1) Отметим, что линии уровня можно рассматривать и для значений г > 1 за счет уменьшения области определения функции /г, вообще говоря, до круга |С | < 1/г. В нашем случае благодаря конкретной форме функции д последнее ограничение снимается, и получается следующая динамика Миг с ростом г от 0 до .
Точка С = 0 - максимум при 0 < г < 1/2, седло при г > 1/2. При г = 1/2 от £ = 0 ответвляются критические точки £ = ±р(г) = ±[1/2 — К((1 — —г2)2)/(2г2)]1/2, Н(и) = и/(1 + а/1 + и). Эти точки суть максимумы при 1/2 < < г < 1 и седла при 1 < г < ; соответственно, р(г) монотонно изменяется от 0 до 1/\[2 и обратно до 0. При г = 1 от точек £ = ±р(1) = ±1/л/2 ответвляются две пары максимумов ±(±(г) = ±р(г)в1в±(г), где р(г) = [1/2 + %/г4 — 1 /(2г2)]1/2 возрастает от 1/\[2 до 1 с ростом г > 1, в±(г) = ±(1 /2)'агссои(г2 — ^/т4—!) .
Данная динамика множеств Миг формирует слоение Ж = У Миг х {г}, кото-
г>0
рое состоит из четырех Сш -кривых, расположенных в полуцилиндре В х М+ : луча {0} х М+ , кривой 7, аналитически склеенной в точке (0,1/2) из двух своих ветвей (±р(г), г), г € [1/2, , и двух кривых , зеркально симметричных относительно плоскости И,е £ = 0 над кругом В; кривая 7 - объединение двух своих ветвей (С±(г), г), г € [1, , аналитически склеиваемых в точке (1/\/2).
Кривая 7 лежит в плоскости 1т £ = 0 над В и по форме напоминает каплю, подвешенную в точке (£, г) = (0, с (нижней) вершиной в точке (0,1/2). Точки (±1/^2,1) € 7, между которыми капля достигает своей максимальной ширины, являются единственными точками пересечения 7 и ; в этих точках указанные кривые ортогональны. Кривая 7 имеет форму усиков, закрученных верх, с концами в точках (в±ш/4, .
Для Сш -склеивания ветвей в связные кривые можно использовать локальную униформизацию соответствия и> = д(г), причем в классической, а не в «подвижной» постановке - благодаря конструкции /г . Пусть д(г) = Ьо + Ьк(г — гоСо)к + • • • . Локальная униформизация соответствия и> = д(г) означает построение (или доказательство существования) биголоморфизма а : V ^ ад окрестности V = 0 на окрестность точки г = гоСо такого, что д о а = р, где р(и) = Ьо + vk [20] (для простоты проводим рассуждение в терминах переменных, а не окрестностей). На языке
накрытий [22, с. 43] это означает, что накрытие g : z ^ w изоморфно накрытию p : v ^ w с группой скольжений Deck {p} = {v,eiv,... ,£k-iv}, порождаемой действием группы корней k-й степени из единицы en, n G N.
Применим данный подход к исследованию слоения R в окрестности точки (Z,r) = (1/у/2,1). Так как g(z) =2 - 16(z - 1/^2)2 + ••• , то Deck {p} = {v, -v}, и определяющее R уравнение Гахова g(rZ) = 2р2/(1-p2), где Z = рвгв, в указанной окрестности эквивалентно одной из двух систем
{< = a(v), 2р2/(1 - р2) = 2 + v2} и {< = a(iv), 2p2/(1 - p2)=2 - v2}, (20)
так как p(v) = 2 + v2 и p-1(R) = {v,iv : v G R}. Решая уравнение 8z2 - 8z4 = = 2 + v2, имеем z = a(v) = \J 1/2 + iv^2/4 (под корнем выбираем знак "+", поскольку в качестве аргумента для а выбираем элемент v G Deck {p}; выбор "+" перед корнем обусловлен тем, что исследование ведется в окрестности (1/\[2,1), а не (-1/\[2,1)). Разрешая первую и вторую системы (20) относительно (p,9,r), получим одновременную Cш -параметризацию кривых y и 7 вблизи v = 0: p = = (1/V2)(1 + v2/8 + •••), в =jV2/4)v(1 - v2/6 + •••), r = 1 + v4/64 + ••• для y и p = (1/^2)(1 - v2/8+----), 7 = 0, 7 =1 - ^2v/4 +---- в случае 7.
2) Картина разрешимости уравнения Гахова bg(Z) = 2p2/(1 - p2), b G [0, , аналогична установленной выше для линий уровня - с бифуркационными значениями b = 1/4 и b = 1 вместо r = 1/2 и r = 1, с подобным же разбиением слоения B = U Mh х {b} на (четыре) Cш -компоненты, с тем же распределением индек-b>0
сов по вычисляемым в явном виде ветвям кривых ±y : (±Z(b),b) и 7: (±p(b),b), b G R+, и Cw -склеиванием с помощью локальной униформизации при b =1/4 и b = 1. Единственное существенное отличие от случая fr состоит в том, что при
смене характера точек Z = ±p(b) = ±\J 1 - 1/(2Vb) с максимума на седло при переходе возрастающего параметра через бифуркационное значение b = 1 , указанные точки продолжают возрастать по модулю (ср. с [14]). Соответственно, кривая 7 прикреплена концами уже не к одной точке, как выше, а к двум: (Z, b) = (±1, .
4. Условие единственности
Справедлива
Теорема 3. Пусть для функции /(£) = 01 £ + ••• , 01 = 0, голоморфной в В, выполняются две импликации: 1) из 0 € Mf следует Kf (0) > 0; 2) если д = = С/"//' Ф 0, то функция д удовлетворяет оценке (8) либо ее частному случаю -условию звездообразности порядка 1/2. Тогда < 1 либо /(В) - полоса.
Доказательство. Напомним [23], что функция д(£) ^^ ЬпС,п (Ь1 = 0) назы-
п=1
вается звездообразной порядка 1/2, если для нее справедливо неравенство Маркса -Штрохеккера [24, 25]
йе > 1, С € В. (21)
Покажем, что оценка (8) будет следствием условия звездообразности порядка 1/2.
В самом деле, последнее условие влечет за собой однолистность функции д (см., например, [26, с. 31]). Тогда, будучи условием подчиненности, оценка (21) дает представление
<т = т-Ж) • с € В (22)
где ) - функция из леммы Шварца, то есть, в частности, удовлетворяет неравенству |у>(£)| < |£|, ( € В, из которого следует 2Ие ) < 1 + |С|2 , С € В. Последнее неравенство эквивалентно оценке ||£^ — )| < |1 — ^(С)|, С € В, в которую переходит оценка (8) при подстановке в нее представления (22). Таким образом, (8) действительно имеет место при выполнении неравенств д'(0) = 0 и (21).
Теперь займемся оценкой (8), предварительно отметив, что случай д = 0 приводит к функции /(£) = а,1С, а1 = 0, для которой Ми = {0}. Существенность неравенства 01 = 0 в условии теоремы демонстрируется функцией /(г) = г2, для которой д = 1 удовлетворяет оценке (8), но Ми Э {|С| = 1/^3}.
Докажем локальную однолистность функции / в В: /'(£) = 0 при всех £ € В. Из условия теоремы ясно, что /'(0) = 0. Равенство /'(о) =0 в произвольной фиксированной точке 0 € В \ {0} влечет за собой существование у данной точки окрестности и С В, в которой справедливо представление /'(£) = (С — о)п^(С), С € и, где п > 1, а функция голоморфна и отлична от нуля в и. Тогда, как легко показать, д(С,) = ф(С)/(С — о), С € и \ {о}, где функция ф голоморфна в и, ф(о) = 0. Уменьшая и так, чтобы ф = 0 в и, будем иметь
сдо = СФ0 — 1 — С—0, с€и\{о}-
Подстановка данного представления в (8) с последующим переходом £ ^ о приводит к противоречию. Следовательно, функция / локально однолистна в В.
Аналогичным образом устанавливается голоморфность (отсутствие полюсов) функции д в В и, кроме того, равенство Zg := {о € В : д(о) =0} = {0} и включение Zgt С Zg. Из двух последних соотношений следует разложение д(С,) = а(п + + • • • , С € В, где а = 0 и п > 1 .С другой стороны, второе из неравенств
0 <Ке <!Ш < т—к? • с € В (23)
являющихся следствиями (8), дает
п = И.е ( — д
2
<
С=о
1 — К |2
С=о
Таким образом, для доказательства теоремы нужно рассмотреть два случая: п = 1 и п = 2. Начнем с последнего.
Пусть п = 2. Импликация 1) из условия теоремы относится к данному случаю, так как именно здесь 0 € Ми. Существенность данной импликации обусловлена тем, что шварциан {/, 0} = а = 0, будучи коэффициентом при (2 в разложении функции д, исчезает при переходе к £д'/д; из неравенства (8) на него не следует никаких ограничений.
Пример функции
С
/Ж) = о^ ва*/2 ¿1, а = 0, /о(С) = о^
о
(для которой #Ми = 1 при |а| < 2, #Ми = 3 при |а| > 2, и оценка (8) удовлетворяется с д(£) = 2 и Сд'/д = 2 при а = 0 и д = 0 при а = 0) показывает, что в качестве упомянутого ограничения следует взять условие |а| = {/, 0}| < 2, то есть К и (0) > 0 в силу (9). Рассмотрим результат действия такого ограничения при доказательстве единственности нулевой критической точки Ни, когда / удовлетворяет оценке (8).
2
Так как функция д(£)/(аС,2) голоморфна и не обращается в нуль в В, из второго неравенства (23) имеем
ln
g(Z)
«С2
1С1
Re eie g'(t)
2 \ , , 1
g(t) - ~p)dp - ln1-W2'
С e D
(24)
(t = pe , в = arg Z), откуда в силу |«| — 2 следует
Zf ''(С) Z f'(С)
= 1д(С)l — T2-CCf' С e D.
Равенство при £о = гегр = 0 в уравнении Гахова, то есть соотношение
д(Со)
согласно (23)-(25) приводит к равенству
2r
1 — r2
Кере* ^(ре'р) = , р € [0,г],
д 1 — р2
подстановка которого в (8) дает 1т регрд'/д = 0, р € [0, г]; таким образом,
(25)
(26)
peip?~ (peip)
1 - p2
p e [0,r],
(27)
Интегрирование (27) с учетом вытекающего из (26) в силу (25) и (24) равенства |а| = 2 приводит к представлению
g(peip)
2p
1 - p2
p e [0,r],
откуда по теореме единственности для аналитических функций получается
g(eip С) =
2С 2
1 - С2
С e D.
Это означает, что функция и> = /(£) с точностью до сдвигов и поворотов в плоскости и> и с точностью до поворотов в плоскости £ совпадает с функцией ) = = (1/2) 1п((1 + ()/(1 — С)), отображающей В на полосу. Легко показать, что такая функция / удовлетворяет условию (8) при д = £/''//'.
Итак, в случае п = 2 имеем Mf = {0} либо /(В) - полоса.
Пусть п = 1. Функция д имеет вид д(С,) = аС, + • • • , С € В, где а = д'(0) = 0, благодаря чему первое неравенство (23) представляет собой условие звездообраз-ности функции д, которая тем самым оказывается однолистной. Пусть Ь(л) -функция, обратная к д(£).
Воспользуемся уравнением Гахова в форме (7), откуда исключена зависимость от £. Такая форма (с домножением на С) корректна, поскольку в рассматриваемом случае 0 € Mf .
Из вида рассматриваемого уравнения Гахова ясно, что все его корни лежат на аналитической кривой к[д(В) П {и > 0}]. Перепишем указанное уравнение в форме
F(u) := ln u — ln
2lh(u)
1 — lh(u)l2
0, u> 0.
(28)
2
2
Неравенство (8) при Z = h(u), u > 0, эквивалентно неравенству F'(u) < 0. Дей-
ствительно, данная подстановка с учетом Zg'(Z)/g(Z) к неравенству
h' ( ) и—(и) h
раскрывая которое, получаем
-1
1
1 - \h(u)\2
<
1
1 - \h(u)\2''
(wh'(w)/h(w)) 1 приводит
и> 0,
uF'(u) = 1 -
2 h' . .
1 -\h(u)\2 Re uh (u) ^ 0'
u> 0.
(29)
Предположим теперь, что уравнение Гахова имеет более одного корня, то есть найдутся такие 0 < п\ < п^, что Е(их) = Е(и2) = 0. По формуле Ньютона-Лейбница для Е на отрезке [их,и2] из (29) получим Е'(и) = 0, а следовательно, и Е(и) = 0 при и € [и1,и2]. Значит, г = Н(и), и € [и1,и2], - аналитическая кривая корней уравнения Гахова. Пусть ио € В - наименьшее из чисел и, для которых к(и) - корень рассматриваемого уравнения Гахова (в форме (7) без £) при любом и € (ио,и2]. Ясно, что ио > 0. По лемме 1 из [27] число ио не может быть больше нуля, иначе оно не будет наименьшим из корней уравнения Е(и) = = 0; таким образом, ио = 0. Но тогда с учетом равенства д(к(и)) = и и того, что уравнение (28) обращается в тождество при и € (0,и2], будем иметь
lim
и^ 0
g(h(u))
h(u)
lim
h(u)
0 1 - \h(u)\2
0,
чего быть не может.
Итак, в случае п = 1 множество Ыи содержит единственный ненулевой элемент либо пусто, как показывает пример функции /(^) = £/(1-С), удовлетворяющей (8)
с д = 2/.
Теорема 3 доказана. □
а
и
Литература
1. Казанцев А.В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 180-194.
2. Казанцев А.В. О выходе из множества Гахова, контролируемом условиями подчиненности // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2014. - Т. 156, кн. 1. -С. 31-43.
3. Казанцев А.В. О внутреннем радиусе для бесконечных областей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1992. - Вып. 27. - С. 63-67.
4. Казанцев А.В. Об уравнении Гахова в классах Яновского с дополнительным параметром // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2015. - Т. 157, кн. 1. -С. 35-43.
5. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Киселев А.В. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 10. - C. 8-18.
6. Казанцев А.В. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: Дис. ... канд. физ.-матем. наук. - Казань, 1990. - 145 с.
7. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Киндер М.И., Киселев А.В. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.
8. Казанцев А.В. Бифуркации корней уравнения Гахова с левнеровской левой частью // Изв. вузов. Матем. - 1993. - № 6. - С. 69-73.
9. Kazantsev A.V. Parametric families of inner mapping radii // 2nd European Congr. Math., Budapest, July 22-26, 1996, Abstracts. - Budapest: Janos Bolyai Math. Soc., 1996. - P. 30.
10. Казанцев А.В. Гиперболические производные с предшварцианами из пространства Блоха // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан. матем. о-во, 2002. - Т. 14. - С. 135-144.
11. Haegi H.R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrossen // Compo-sitio Math. - 1950. - V. 8, F. 2. - P. 81-111.
12. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 86, № 4. -C. 649-652.
13. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 2. - С. 3-11.
14. Казанцев А.В. Множество Гахова в пространстве Хорнича при блоховских ограничениях на предшварцианы // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2013. - Т. 155, кн. 2. - С. 65-82.
15. Казанцев А.В. Четыре этюда на тему Ф.Д. Гахова. - Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2012. - 64 c.
16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 628 с.
17. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. - М.: Наука, 1985. - 272 с.
18. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 436 с.
19. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2: Дальнейшее построение теории. - М.: Наука, 1968. - 624 с.
20. Неванлинна Р. Униформизация. - М.: Иностр. лит., 1955. - 436 с.
21. Валирон Ж. Аналитические функции. - М.: Гостехиздат, 1957. - 235 с.
22. Форстер О. Римановы поверхности. - М.: Мир, 1980. - 248 с.
23. Ruscheweyh St., Sheil-Small T. Hadamard products of schlicht functions and the Polya-Schoenberg conjecture // Comment. Math. Helv. - 1973. - V. 48. - P. 119-136.
24. Marx A. Untersuchungen über schlichte Abbildungen // Math. Ann. - 1932. - Bd. 107. -S. 40-67.
25. Strohhacker E. Beitrage zur Theorie der schlichten Funktionen // Math. Z. - 1933. -Bd. 37. - S. 356-380.
26. Казанцев А.В. Классика однолистных функций: теорема Маркса-Штрохеккера. -Казань: Отечество, 2013. - 142 c.
27. Ruscheweyh St., Wirths K.-J. On extreme Bloch functions with prescribed critical points // Math. Z. - 1982. - Bd. 180. - S. 91-106.
Поступила в редакцию 26.06.15
Казанцев Андрей Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: kazandrey0363@rambler.ru
KBA3H^EBHEPOBCKAa ^HHAMHKA ПРЕrЦmВАРЦHАНОВ 79
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 1, pp. 66-80
On the Families of Hyperbolic Derivatives with the Quasi-Lowner Dynamics of Pre-Schwarzians
A.V. Kazantsev
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: kazandrey0363@rambler.ru
Received June 26, 2015 Abstract
The dynamics of the critical point set for the hyperbolic derivatives of the family of holomor-phic functions in the unit disk with pre-Schwarzians satisfying the equation of the quasi-Lowner type is studied. In order to solve the corresponding Gakhov equation, we use the uniformiza-tion depending on the additional parameter and based on the Weierstraß preparation theorem and the Painleve uniqueness theorem for the Cauchy problem. The action of two well-known (quasi-Lowner) families, level lines, and Hornich rays is demonstrated on the same generating function. The choice of the new form of the Gakhov equation leads to the new condition for (no more than) uniqueness of the critical point of the hyperbolic derivative of the holomorphic function - non-positivity of the Jacobian equation in terms of the pre-Schwarzian of the function. The resulting inequality is satisfied by the functions of the well-known Marx-Strohhacker class.
Keywords: hyperbolic derivative, inner mapping radius, Gakhov equation, Lowner-Kufarev equation, starlike functions
References
1. Kazantsev A.V. Bifurcations and new uniqueness criteria for critical points of hyperbolic derivatives. Lobachevskii J. Math., 2011, vol. 32, no. 4, pp. 426-437.
2. Kazantsev A.V. On the exit out of the Gakhov set controlled by the subordination conditions.
Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2014, vol. 156, no. 1, pp. 31-43. (In Russian)
3. Kazantsev A.V. On the inner radius for infinite domains. Tr. Semin. Kraev. Zadacham. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1992, no. 27, pp. 63-67. (In Russian)
4. Kazantsev A.V. On the Gakhov equation in the Janowski classes with additional parameter.
Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2015, vol. 157, no. 1, pp. 35-43. (In Russian)
5. Aksent'ev L.A., Kazantsev A.V., Kiselev A.V. Uniqueness of the solution of an exterior inverse boundary value problem. Izv. VUZov, Mat., 1984, no. 10, pp. 8-18. (In Russian)
6. Kazantsev A.V. Extremal properties of inner radii and their applications. Cand. Phys.-Math. Sci. Diss. Kazan, 1990. 145 p. (In Russian)
7. Aksent'ev L.A., Kazantsev A.V., Kinder M.I., Kiselev A.V. Classes of uniqueness of an exterior inverse boundary value problem. Tr. Semin. Kraev. Zadacham. Kazan, Kazan. Gos. Univ., 1990, no. 24, pp. 39-62. (In Russian)
8. Kazantsev A.V. Bifurcations of roots of the Gakhov equation with a Loewner left-hand side. Izv. VUZov, Mat., 1993, no. 6, pp. 69-73. (In Russian)
9. Kazantsev A.V. Parametric families of inner mapping radii. 2nd Eur. Congr. Math., Budapest, July 22-26, 1996, Abstr. Budapest, Janos Bolyai Math. Soc., 1996. 30 p.
10. Kazantsev A.V. Hyperbolic derivatives with pre-Schwarzians from the Bloch space. Tr. Mat. Tsentra im. N.I. Lobachevskogo. Kazan, Kazan. Mat. O-vo., 2002, vol. 14, pp. 135—144. (In Russian)
11. Haegi H.R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrossen. Compositio Math., 1950, vol. 8, no. 2, pp. 81-111.
12. Gakhov F.D. On inverse boundary-value problems. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1952, vol. 86, no. 4, pp. 649-652. (In Russian)
13. Aksent'ev L.A. The connection of the exterior inverse boundary value problem with the inner radius of the domain. Izv. VUZov, Mat., 1984, no. 2, pp. 3-11. (In Russian)
14. Kazantsev A.V. Gakhov set in the Hornich space under the Bloch restriction on pre-Schwarzians. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2013, vol. 155, no. 2, pp. 65-82. (In Russian)
15. Kazantsev A.V. Four Etudes on a Theme of F.D. Gakhov. Yoshkar-Ola, Marii. Gos. Univ., 2012. 64 p. (In Russian)
16. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable. Moscow, Nauka, 1966. 628 p. (In Russian)
17. Chirka E.M. Complex Analytic Sets. Moscow, Nauka, 1985. 272 p. (In Russian)
18. Golubev V.V. Lectures on Analytical Theory of Differential Equations. Moscow-Leningrad, GITTL, 1950. 436 p. (In Russian)
19. Markushevich A.I. Theory of Analytic Functions. T. 2: Dal'neishee postroenie teorii [Vol. 2: Further construction of the theory]. Moscow, Nauka, 1968. 624 p. (In Russian)
20. Nevanlinna R. Uniformization. Moscow, Inostr. Lit., 1955. 436 p. (In Russian)
21. Valiron Zh. Analytic Functions. Moscow, Gostekhizdat, 1957. 235 p. (In Russian)
22. Forster O. Riemann Surfaces. Moscow, Mir, 1980. 248 p. (In Russian)
23. Ruscheweyh St., Sheil-Small T. Hadamard products of schlicht functions and the Polya-Schoenberg conjecture. Comment. Math. Helv., 1973, vol. 48, pp. 119-136.
24. Marx A. Untersuchungen über schlichte Abbildungen. Math. Ann., 1932, Bd. 107, S. 40-67.
25. Strohhacker E. Beitrage zur Theorie der schlichten Funktionen. Math. Z., 1933, Bd. 37, S. 356380.
26. Kazantsev A.V. Classics of Schlicht Functions: Marx-Strohhüacker Theorem. Kazan, Otechestvo, 2013. 142 p. (In Russian)
27. Ruscheweyh St., Wirths K.-J. On extreme Bloch functions with prescribed critical points. Math. Z, 1982, Bd. 180, S. 91-106.
/ Для цитирования: Казанцев А.В. О семействах гиперболических производных ( с квазилевнеровской динамикой предшварцианов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. \ Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 1. - С. 66-80.
/ For citation: Kazantsev A.V. On the families of hyperbolic derivatives with the quasi-( Lowner dynamics of pre-Schwarzians. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya \ Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 66-80. (In Russian)
