О выходе из множества Гахова, контролируемом условиями подчиненности Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 1 Физико-математические науки

2014

УДК 517.54

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА, КОНТРОЛИРУЕМОМ УСЛОВИЯМИ ПОДЧИНЕННОСТИ

А.В. Казанцев

Аннотация

Множество Гахова G представляет собой класс всех голоморфных и локально однолистных функций в единичном круге, имеющих не более одного корня уравнения Гахова. Для ряда известных подклассов однолистных функций при наличии нулевого корня уравнения Гахова дано эффективное описание множества траекторий выхода из G; такой выход осуществляется при значении параметра, который отвечает неулучшаемой постоянной в соответствующем условии единственности корня. Показано, что выход из G может происходить за счет бифуркаций только двух типов: 1) максимум в нуле переходит в два максимума и седло; 2) возникает ненулевое полуседло, распадающееся затем в седло и максимум.

Ключевые слова: гиперболическая производная, конформный радиус, бифуркации критических точек, множество Гахова, класс звездообразных функций, условия подчиненности.

Введение

Известная эквивалентность

v{MC) = а - 1С12)|/'(С)|} = °^у§ = (!)

объединяет проблематику двух направлений: восходящей к Д. Полна, Г. Сеге [1] и X. Хиги [2] задачи определения числа и характера экстремумов конформных радиусов плоских областей (см. также (3]) и начатого Ф.Д. Гаховым в (4] исследования разрешимости внешней обратной краевой задачи по параметру s с нефиксированным полюсом. Фигурирующая в левой части (1) функция hf называется гиперболической производной голоморфной в D = {Z G C : |Z| < 1} функции f [5, 6]; в классической постановке Полна — Сеге — Хиги величина hf (Z) совпадает с (внутренним) конформным радиусом области f (D) в точке f (Z) [2].

Эквивалентность (1) была известна еще Ф.Д. Гахову (в терминах = f') (4] и Э. Пешлю [7], но в связи с экстремумами гиперболических производных впервые появляется только в работе [8]. Основанная на (1) статья (9] (с опорой на многосвязный аналог (10]) переключила поиск условий единственности с решений внешней задачи на критические точки функции hf (см. [11—13]). Уравнение из правой части (1) называется уравнением Гахова.

Пусть Н - класс всех функций f, голоморфных в D. Мы будем работать с его подклассом Но, состоящим из локально однолистных в D функций f (то есть f'(Z) = 0 при Z GВ) с нормировками f(0) = f'(0) — 1 = 0. Через Mf обозначим множество всех критических точек функции hf в В, чере з kf —их количество. Элементы a G Mf исследуются с помощью двух характеристик - гауссовой кривизны

31

32

А.В. КАЗАНЦЕВ

Kf (Z) поверхности h = hf (Z) над D и индекса Yf (а) векторного поля Vhf (Z) -и могут быть только трех типов: локальный максимум (7f (а) = +1),cefl4o(7f (а) = = — 1) и полуседло (7f (а) = 0) [14].

Рассмотрим множество Гахова G = {f & Но : kf < 1} (см. [15, 16]). Использование соотношения kf < 1 (ане kf = 1) обусловлено тем, что некоторые подклассы Но, в которых из Mf = 0 следует kf = 1, содержат элементы f с kf = 0. Пример -класс N функций f & Нс условием Нехари [17]

(1 — |Z|2)2|{f,Z}| < 2, Z & D, (2)

гДе {f, Z} = (f"/f ')'(Z) — (f"/f ')2(Z)/2 - шварциан; доказательство импликации f & N, f ''(0) = 0, f (D) = полоса ^ kf = 1 содержится в [18] (см. также [3, 13]). Как известно [17], условия f & Н и (2) обеспечивают однолистность f, откуда, в частности, N С Н0. Легко проверить, что f (Z) = ln(1/(1 — Z)) & N и kf =0.

Множество Гахова распадается в дизъюнктное объединение подмножеств

Gi = {f & Но : kf = 1,Yf(Mf) = +1}, Go = {f & Но : kf = 0} и Gs = {f & Но :

kf = 1,Yf(Mf) = +1}. Последнее из них содержит, например, функцию из примера 1 ниже, а также функцию f (Z) = Z/(1 — Z2) ■ В обоих случаях Mf = {0}, только в первом точка Z = 0 - полуседло, а во втором - седло поверхности h = = hf(Z)•

Одним из способов исследования множества Гахова является погружение функции f & Но в семейство ее «линий уровня» fr(Z) = f (rZ)/r с последующим изучением динамики множеств Mfr, 0 < r < 1 (Mf0 := {0}). Для этого вводятся слоение Rf [0,1] = У Mfr х {r} и функционал

ге[о,1]

rf = sup {Z G [0,1] : г G [0, Z] ==> kfr = 1} (3)

первого выхода из множества G вдоль «линий уровня» функции f & Но. Корректность определения г у опирается на два момента: 1) при г < 1 функция fr принадлежит малому классу Блоха Во = {g & Н : limZ ^ dD hg (Z) = 0}, так что kfr > 0, и 2) множество в (3), точной верхней гранью которого является гf , всегда содержит отрезок [0, Zf ], та котором kfr = 1; в качестве Zf можно взять радиус выпуклости функции f.

Локальное строение множеств вида Rf [0,1] изучено в работах [3, 6]; часть полученных там результатов, необходимую для дальнейшего изложения, объединяет следующая

Лемма 1. Пусть f & Но и а - изолированный элемент множества Mf , 0 < р < 1. Есл и а = 0, то 0 & M fr для любо го r < 1; моек не Rf [0,1] допускает бифуркацию в тючке (0, р) тогда и только тогда, когда р = у/2/|{/, 0}|. При этом а = 0 - точка максим ума hfr, когда r < р, и сростом r возможны три сценария бифуркации «над» r = р: а) максимум переходит в седло с ответвлением двух максимумов (бифуркация типа Ф); б) максимум и два седла сливаются в седло; в) максимум и седло меняются ролями, переходя через полуседло.

Если р = г f и неравенство kfr > 1 при г > р вблизи р выполняется за счет бифуркации Rf [0,1] в точке (а,р), то эта бифуркация - одного из двух типов: Ф или U. Последний может иметь место только в случае а = 0 и означает, что а - полуседло, распадающееся на максимум и седло с ростом r.

В настоящей статье исследуется нарушение единственности нулевого корня уравнения Гахова, то есть нас будут интересовать функции f & Но с дополнительным условием f''(0) = 0. Для X С Но введем обозначение X = {f & X : f ''(0) = 0}; таким образом, G = G1 LI Gs-

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА

33

Замечание 1. Как показано в [6], множество Q1 звездообразно по «линиям уровня»: если f £ Qi, то fr £ Qi для любого r £ (0,1). Если же f £ Qs, то при r < 1, близких к 1, имеем kfr > 1. Действительно, рассмотрим два случая.

1) Пусть yf (0) = — 1. Тогда если Kf (0) = 0, то по лемме 2 из [6] для любого r < 1 вблизи 1 будет yfr (0) = — 1, а так как fr £ B0, то, по предложению 2 из [6], множество Mfr, кроме седла в ( = 0, содержит точку максимума. Такой же результат получается и при Kf (0) =0, только уже по лемме 1, так как в этом случае имеет место |{f, 0}| = 2 (выражение для Kf (0) с точностью до положительного сомножителя совпадает с 4 — |{f, 0}|2).

2) Если yf (0) = 0, то Kf (0) = 0 (см., например, (3]), и вновь применяется лемма 1.

В качестве иллюстрации приведем следующий

Пример 1. Слоение Rf [0,1] для функции f (Z) = /0Z e-2t(1 — t)-2dt £ Qs состоит из двух компонент - отрезка to = {0} х [0,1] и кривой ti = {(х, г(х)) : х £ [0,1]}, где г(х) = 2/(х + а/4 — Зж2). Имеем r(0) = r(l) = 1 и г/ = ттже[од] г(х) = = г(1/а/3) = а/3/2. Это означает, что для г £ [0, а/3/2) будет fr £ Q\ (Mfr = {0}) и возникающее при г = а/3/2 полуседло Z = 1/л/З распадается затем на седло (s(r) = (1 — а/4 г2 — 3) / (2 г) и максимум C,m{r) = (1 + а/4 г2 — 3) / (2 г); при г = 1 седло Zs (r) сливается с максимумом Z = 0 в полуседло, a Zm(r) выходит на d D.

Далее нам понадобятся два известных подкласса однолистных функций: класс S* функций f £ H f(0) = f/0) — 1=0, удовлетворяющих условию звездообразности ReZf'(0/f(Z) > Ф Z £ D, а также класс Александера [19], состоящий из голоморфных функций f (Z) = Z + a2Z2 + • • • с оценкой Ref '(Z) > ф Z £ D; последний класс будем обозначать через A. Если f £ , то из условия звездообразности

следует, что

m

/(Z)

1 + y(Z)

1-^(0’

Z £ D,

(4)

где 1) ^ £ ^2) |^(Z)| < 1, Z £ D, a ro (4) и f "(0) = 0 - разложение вида

3) y>(Z) = aZ2 + • • • . ^^^^^]эункций со свойствами 1) - 3) обозначим через V.

Рассмотрим следующую постановку. Пусть X - подкласс Н0, такой что XT = 0. Введем два объекта — величину

Р(Х)

1П1

: f £ XT}

и связанное с ней экстремальное множество

Е(Х) :={f£X:ff=p(X)}.

Задача состоит в том, чтобы, определив значение р(Х), дать эффективное описание множества E(X).

В рамках предшествующего этапа исследований по уравнениям Гахова (см., например, [13, с. 36; 20]) величина р(Х) рассматривалась бы как точная (неулучшаемая) постоянная в условии единственности

f £ XX, r < р(Х )=^ kfr = 1

нулевого корня уравнения Гахова для fr, а ^^^юкество E(XX) - как набор функций, реализующих неулучшаемость указанной постоянной. Это означает, что если f £ £ E(X), то условие r < р(Х) не только достаточно, но и необходимо для равенства

34

А.В. КАЗАНЦЕВ

kfr = 1. Построение условий единственности традиционно предполагало вычисление неулучшаемых постоянных и и указание отдельных элементов экстремальных множеств. Новизна развиваемого подхода состоит в полном описании множества E(X).

В настоящей работе поставленная задача решается в случае, когда X пробегает ряд подклассов S* и A. При этом сценарии выхода из множества Гахова вдоль «линий уровня» демонстрируют наличие обеих возможностей, открываемых леммой 1, то есть соответствующих бифуркациям как типа Ф, так и U. Кроме того, для однопараметрических семейств условий подчиненности вида (4) вводятся аналоги «линий уровня» (с параметром семейства вместо г), что позволяет использовать приведенную постановку для расширения описания выхода из множества Gi.

Данная статья продолжает исследования автора по параметрическим семействам конформных радиусов в работах [3, 5, 6, 16, 20-23] и некоторых других (по поводу двупараметрического случая см. (24], а также статью [25] и библиографию к ней). В качестве отправной точки послужили принадлежащие автору результаты § 2 из [И], в особенности пи. 1) и 2) теоремы 4 и пример 1.

1. Ф-Выход го множества Гахова по «линиям уровня» в S*

Будем использовать следующую версию леммы Шварца, конструируемую очевидным образом на основе теорем 1 и 4 из (26, гл. 8, § 1].

Лемма 2. Если <р(() = дС2 + • • • G V, то |д| < 1. Равенство имеет место только в случае, когда <р(() = е£2, |е| = 1.

Замечание 2. Для любой f G H0 слоение Rf [0,1] не имеет предельных точек на дD х (0,1). Действительно, допуская наличие последовательности Rf [0,1] Э (Сп,гп) ^ (Со, г0) G д D х (0,1) и переходя к предел у при n ^ то в уравнении Гахова

в силу локальной однолистности / получим 0 = 2С0 - противоречие. Этого факта нам будет достаточно, но можно доказать и большее, а именно, существование возрастающей функции R : (0,1) ^ (0,1) такой, что для любого г G (0,1) множество Mfr содержится в круге |Z| < R(r).

Вариант выхода из множества Gi устанавливает

Теорема 1. Пусть F - семейство функций из f G H0 с условиями

ПО AICI НО 1-ICF

С G D \{0},

(5)

и 0 < А = sup^ejc-1{/,0}| < -1-то. Тогда p(F) = тах{1, уД/А} и выполняются соотношения E(F) = F при A < 2, E(F) = {f G F : |{f, 0}| = A} при A> 2.

Если, кроме того, существует инъекция i : V ^ F : + ^ f, задаваемая подчиненностью вида Ф(С; f (Z)) + F (Z), Z G В, так, что f "(0/f '(С ) = АдС + ••• при +(С) = дС2 + •••, то p(i(V)) = p(F). В этом случае E(i(V)) = i(V) для А < 2 « E(i(V))= {f :Ф(С; Д) = F(еС2),С G D, |е| = 1} для А> 2.

Доказательство. Из (5) следует оценка

ПО . Аг2|С| НО 1-г2|СГ

С G D \{0},

(6)

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА

35

справедливая при всех r С (0,1], а также утверждение теоремы при A < 2: соотношения p(F) = 1 и E(F) = F почти очевидны и наследуются любым подсемейством

Н Cf.

Пусть А > 2. Тогда из (6) ясно, что kfr = 1 при 0 < г < \j2j А (напомним: Mfо = {0} для любой / € Но). Поэтому гу > у/2/А, / £ F.

Покажем, что найдется д £ F с гд = \Jc2jA. Интегрированием (5) убеждаемся в том, что семейство F - равномерно ограниченное внутри D. Поэтому к последовательности (fn) со свойством |{fn, 0}| ^ A, п ^ то, извлекаемой из F по определению A, применим принцип сгущения (26, с. 20]: из (fn) выберем подпоследовательность (fnfc), равномерно сходящуюся внутри D к голоморфной функции д. Очевидно, д(0) = д'(0) — 1 = 0, откуда д ф const; локальную однолистность функция д наследуе т у (fnk) на основе классических теорем 1и2 на с. 17 и 19 из (26]. Таким образом, корректен переход в (5) к функции д; в итоге д £ Е. Так как |{с?, 0}| = А, а по лемме 1 в точке (0,р), р = ^/2/\{д,0}|, слоение [0,1] имеет бифуркацию, то с учетом полученного выше данная бифуркация имеет тип Ф и гд = р = \/2/А. ____

Мы установили, что р(Е) = \j2jA, Е(Е) ^ 0 и что если f £ Е и |{/, 0}| = А,

то f £ Е(Е). Пусть теперь / € Е{Е), то есть гу = yj2/A. Поскольку Mf _ =

= {0} (см. (6)), в силу леммы 1 условие kfr = 1 с ростом r может нарушаться только за счет Ф-бифуркации слоения 93/[0,1] в точке (0 ,ff) (здесь существенно, что rf < 1 согласно A > 2 и Rf [0,1] те имеет предельных точек на dD х(0,1) в силу (6); см. также замечание 2). Но тогда г у = уФ/Ц/, 0} | (вновь по лемме 1), откуда |{f,0}| = A Таким образом, E(F) = {f С F : |{f,0}| = A}.

Что касается последнего утверждения теоремы, то разложение f"/f' в зависимости от p(Z) = yZ2 + • • • дает |{f,0}| = A|y|. Тогда то определению fe имеем |{/е,0}| = А, а так как /е £ i(V) С F, то согласно только что доказанному будет /е £ Е(Е), то есть г fs = \j2j А, |е| = 1. Как установлено выше, г/ > гfe для любой функции / £ Е, в частности для любой / £ (-(V). Поэтому p{i{V)) = \J2/A, f С E(i(V)) и E(i(V)) С E(F).

В предположении f С E(i(V)) последнее включение приводит к соотношению |{f,0}| = A Но то лемме 2 (|д| = 1) оно выполняется только в случае, когда /(С) = '-(еС2) = /е(С) Для некоторого е с |е| = 1. □

Следствие 1. Имеет, место равенство p(S*) = 1/а/З. Множество экстремальных функции E(S*) исчерпывается семейством fe(Z) = Z/(1 — £(2)> N = 1-

Доказательство. Из (4), <р С V, очевидными преобразованиями получаем

по

по

кпо

1-^2(С)

МО

1-^(0’

Z С D (^(0

yZ2 + •••)

откуда следует (5) с A = 6 согласно [26, с. 323]. Далее, f"(Z)/f'(() = 6yZ + • • • , |{f, 0}| = 6|y| и равенство |y| = 1 то лемме 2 приводит к f = fe, |е| = 1, откуда, в частности, supfe_<j* |{f,0}| = |{fe,0}| = 6. Таким образом, теорема 1 применима в

случае Е = S*; при этом ь - биекция, определяемая подчиненностью (4). □

Замечание 3. Вычисление гу = 1 /х/З для /(Z) = Z/(l — Д2), N = 1) было проведено в [21, с. 29]. В данном случае при любом г £ (1/а/З, 1) множество Mfr содержит три элемента: седло Z = 0 и два максим ума Z± (r) (с явно выписываемыми выражениями), выходящих на d D при r = 1.

36

А.В. КАЗАНЦЕВ

2. «Линии уровня», определяемые условиями подчиненности

Пусть для любого b е [0,1] функция F(w,b) = 1+2B(6)w+- • • голоморфна по w в круге В и удовлетворяет в нем неравенству ReF(w, b) > 0 (откуда |B(b)| < 1). Пусть, далее, выполняются условия F(0, w) = 1, F(w, 1) = (1 + w)/(1 — w) и F(w, b) -< F(w, c) (в частности, |B(b)| < |B(c)|) при 0 < b < c < 1.

Рассмотрим семейство условий подчиненности

f'(C)

С^^ССЛ сев, ье [0,1], / е н0, (7)

каждое из которых определяет подкласс S* [b] в S* ; очевидно, S* [0] = {/(Z) = Z} и [1] = . Покажем, как с помощью (7) строятся семейства, играющие роль

«линий уровня» функций / е S* .

Для произвольной функции / е S* представление (4), то есть Z/'// = F(у>, 1), однозначно вычисляет функцию ^ е V. Тогда при любом b е [0,1] и данной ^ функция /ь е S* [b] корректно определена как решение дифференциального уравнения

(ш=Рт CgD' (8)

Более того, для любого b е [0,1] каждый элемент класса S* [b] имеет в ид /ь для некоторой функции / е S* .

Построенное семейство {/ь}ье[0,1] будем называть F-семейством функции /, элементы /ь — ее F -«линиями уровня», а функцию F с перечисленными выше условиями - порождающей функцией.

В качестве базовых рассматриваются величины

Ь/ = sup{^ е [0,1] : Ь е [0, е] => */ь = 1} и (3(S*) = inf{6/ : / G <S*},

а также определяемое ими множество B(S*) = {/ £ S* -bf= /?(<S*)}.

Для того чтобы получить F-аналог теоремы 1, нам понадобятся соответствующие версии лемм 1 и 2. <S*-версия последней установлена в обосновании следствия 1:

Лемма 3. Для любой функции / е <S* справедливо неравенство |/ "(Z)// '(Z)| < < 6|Z|/(1 — |Z|2)j Z еВ\{0}, а также оценка |{/, 0}| < 6 с равенством только при / е E(S*).

Что касается аналога леммы 1, то для наших целей будет достаточно теоремы 1 из [22], которую приведем в следующей форме.

Лемма 4. Пусть функция G(Z, b) = A(b)Z + • • • голоморфна по (Z, b) в некотором бикруге из C2 с центром в точке (0,в)? в > 0, и

Re A(в)/А(в) > 0. (9)

.Ео/щ |Л(/?)| = 2, то при вещественных Ъ множество 23 решений уравнения G((,b) — 2Z/(1 — |Z|2) = 0 вблизи точки (0, /3) состоит из двух пересекающихся в ней Сш -кривых: интервала на оси b и Сш-дуги вида (твг0(т),b(r)), |т| < е, с b(0) = в- -Бели |А(в)| = 2, то в B остается только первая кривая.

Выбор знака “>” (а не “ = ”) в (9) обусловлен приложением леммы 4 к F-семействам, когда G(Z, b) = /ь(Z)//ь(Z) и при b < в нулевой корень уравнения Гахова для /ь должен быть максимумом hfb, то есть |{/ь, 0}| < | {/в, 0}| = 2.

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА

37

Последнее неравенство обеспечивается условием возрастания функции |A(b)| = = |{/b, 0}| вблизи b = в, а для этого достаточно (9).

Теперь сформулируем и докажем аналог теоремы 1 для ^-«линий уровня».

Теорема 2. Пусть порождающая функция F(w,b) = 1 + 2B(b)w + ■■■ голоморфна по (w,b) в бикруге D2, причем a(b) = |B(b)| возрастает на [0,1] от a(0) = 0 до a(1) = 1. Пусть, далее, для любой функции / G <S* ее F-семейство {/ь}ье[о,1] удовлетворяет условию

ПО , 6а(Ь)|С|

ПО 1 - ICI2’

С G D \ {0} b G (0, 1)j

(10)

а слоение Bf [0,1] = |Jb g [0 1] Mfb x {b} не имеет предельных mочек на dD х(0,1). Тогда в(<*) = a-1(1/3) ц B(S*) = £(<*).

Доказательство. Обозначим в := a-1(1/3). Из (10) следует, что f = 1 при 0 < b < /3, поэтому bf > /3 для всех / £ S*. Пусть g - любая функция из E(S*). Тогда |{д, 0}| = 6, и в силу (8) имеем |{gb, 0}| = 6a(b), b G [0,1]. Так как |{дд, 0}| = = 2, то по лемме 4 (0, /3) - точка бифуркации слоения В = *8/[0,1], а так как кдь = 1, 0 < Ъ < /3, то данная бифуркация - типа Ф, значит, Ъд = [3.

Итак, в(£*) = в и E(<S*) С B(<S*). Осталось доказать противоположное включение. Пусть / £ B(S*), то есть bf = [3. Поскольку уравнение Гахова для fg не имеет корней в D\{0}, а у слоения B нет предельных точек на dD х(0,1), в силу леммы 4 единственность нулевого корня с ростом b может нарушаться только за счет Ф-бифуркации B в точке (0, в), причем |{/в, 0}| = 2. С другой стороны, из (8) и у>(£) = 7Z2 + ■ ■ ■ следует, что |{/в, 0}| = 6|Y|a(в) = 2|y^ В итоге |y| = 1, то есть |{/,0}| = 6, откуда / £ E(S*) по лемме 3. □

Прототипами для предпринятого F-расширения исходной r-постановки послужили два утверждения, полученные автором в [11]. А именно, справедливо

Предложение 1. Пусть / G Н0. Заключение / g G1 выполняется при любом из двух следующих условий для всякого b из неулучшаемого отрезка [0,1/3]:

1) Z

т

/(С)

^ F1(Z,b)

1 + ъс

1 -К’

Z G D,

или

!| (Ж<Ч(’Ь) = (^У' ceD-

Можно показать, что функции F12 - порождающие и удовлетворяют условиям теоремы 2 с a(b) = b.

3. Выход ИЗ Н ПО «линиям уровня» звездообразных функций порядка а

Функция / G H с нормировками /(0) = /'(0)-1 порядка а G [0,1), если

Re Z

по

т

> а,

Z G D;

0 называется звездообразной

(Н)

в отличие, например, от [27], мы не требуем, чтобы постоянная а в (11) была неулучшаемой. Класс всех функций с условием /''(0) = 0, звездообразных порядка

38

А.В. КАЗАНЦЕВ

а, будем обозначать через <S*(a), а £ [0,1). Для каждого эле мента f данного класса будет выполняться следующее представление с подходящей у £ V:

ПО

/(С)

1 + (1 - 2аЫС)

1-^(0 ’

(12)

При y(Z) = Z2 дифференциальное уравнение (12) определяет функцию

fa(Z )

С

(1-С2)1-0

(13)

при if(() = е(2 - ее вращения sfa(sQ), |е| = 1. Известно (см., например, (15, с. 12]), что переход от функции к ее вращениям поворачивает корни уравнения Гахова умножением на е. Структуру слоений Rfa [0,1] при различных а £ [0,1) рассматривает следующий

Пример 2. Уравнение Гахова

2(l-2a)r2C2 2(2-а)г2(2 _ 2|С|2

l + (l-2a)r2C2 + l-r2C2 1-ICI2

для «линии уровня» fa,r имеет только вещественные корни. Полагая в (14) Z = = x £ (— 1, 1), отделяя x = 0 и производя замену u = rx, взаимно-однозначно переносящую исследование из области {0 <r < 1, —1 <x< 1} в облас ть Д = {0 < < r < 1, —r < u < r}, получим явную зависимость r = r(u), параметризующую ненулевые элементы Mfa r. Данную зависимость удобно представить в форме r2 = = Ra(u2), где

Ra(t) = t +

(1 — t)(1 + (1 — 2a)t)

0 < t < 1.

(15)

(1 — a)(3+ (1 — 2a)t) ’

Из (15) следует, что график Г = {(и, г (и)) : — 1 < и < 1} лежит в Д при 0 < а < <2/3 целиком, а при 2/3<а<1- только над полуинтервалами уЛа) < |м| < 1, где т(а) = (3а — 2)/(а(2а — 1)).

Дифференцированием (15) легко показать, что знак r'(u) совпадает со знаком выражения —u(u2 — ^(а))Л —t_(a)^^];e t_(a) те попадает в промежуток 0 < t < < 1 ни при каком а £ [0,1), а

Ма)

3 - 2^/(2 - а)/а 2а. — 1

появляется в нем только, когда 8/13 < а < 1 (при этом ^(а) > 1). Подсчет выражения для Ra = minte[0,i) Ra(t) дает

R

а

Rce(0) — „/I n J 3(1 — а)

Ra(i+(a)) = —

(2а —

17a-9

1)(3 + а + 4у/а(2-а))’

а £ [0, 8/13], а £ (8/13,1).

(16)

Величина Ra непрерывна как функция от а в силу t+(8/13) = 0 и контролирует выход «линий уровня» fa,r из множества Гахова. Для любого а £ [0,1) при г < \J~R~a будет Mf = {0}, как и в случае г = \J Ra, 0 < a < 8/13. Если же г = \f~R~a и 8/13 < а < 1, то Mfar = {0 ,±\Jt+(a)/Ra}.

При 0 < a < 8/13 слоение 91/Д0,1] имеет в точке (0, бифуркацию типа

Ф, определяющую всю дальнейшую динамику Mfar: при г > у/Ra множество

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА

39

M/a>r состоит из седла в нуле и двух максимумов, стремящихся к ( = ±1 с ростом r ^ 1.

В случае 8/13 < а < 2/3 слоение Rfa [0,1] имеет две бифуркации типа U, которым отвечают полуседла ±\Jt+(a)/Ra в Му ; каждое из них далее распадается на максимум и седло при г > \JRa. Максимумы, как и выше, стремятся к ( = ±1 при г —> 1, седла сливаются с нулевым максимумом в седло при г = = у/ЩТ — а)) (=1, когда а = 2/3), образуя бифуркацию типа б) из леммы 1.

Та же картина имеет место и при 2/3 < а < 1, с той лишь разницей, что порождаемые U -бифуркациями седла не успевают достичь нуля и останавливаются в точках £ = ±\/т(а) при г = 1.

Лемма 5. Если 0 < а < 1 /2, то для каждой функции f G <S* (а) выполняется строгое неравенство

НО 6(1 - с)|С|

/'(С) 1 - ICI2

Z G D \{0},

(17)

причем supfе_5*(а) |{f, 0}| = 6(1 — а). Если 1/2 < а < 1, то строгая оценка

ПО И\С\) ПО Ш\У

Z G D \{0},

(18)

имеет место для всех f G <S*(а), кроме функции (13) и ее вращений. Доказательство. Из представления (12) получим

НО _ 2(1 — а)СД(С) 2(1 -аЫО

НО (1 + (1-2а)ДС))(1-ДС)) 1 - ДО

(19)

где G V, и рассмотрим два случая.

1) 0 < а < 1/2. Оценим (19) с использованием инвариантной формы леммы Шварца [26, с. 323] и неравенств |Re y>(Z)| < 0(Z)| < |ZЮ Re(1 + (1 — 2а)^0)) < < |1 + (1 — 2а)^0)| и Re (1 — y>(Z)) < |1 — ^(Z)| (их эффективность была продемонстрирована в [12]). В результате имеем

ПО

но

IZI2

Z G D,

где

H (t) =

2(1 -2a)

1 + (1 - 2a)t

(ср. [25, 28]). Легко проверить, что

2(2-а) 1 - t

(1 — |t|)

0 < |t| < 1 ^ H(t) < H(0) = 6(1 — а),

(20)

(21)

поэтому (20) продолжается до неравенства (17), пока нестрогого в D. Предположим, что при некотором a G D \ {0} имеет место равенство

|f "(a)/f '(a)| = 6(1 — а)|а|/(1 — |a|2).

Тогда из (20) и (21) следует Re Да) = 0, что вместе с 11 — Да)| = 1 — Re Да) дает Im Да) = 0, и, таким образом, Да) = 0. Но так как равенство в (20) по лемме Шварца приводит к функции ^(Z) = eZ2 с некоторым е, |е| = 1, то в итоге получаем a = 0 - противоречие. Итак, неравенство (17) установлено.

40

А.В. КАЗАНЦЕВ

2) 1/2 < а < 1. В этом случае ключевым будет неравенство |1 + (1 — 2а)у>(£)| > > 1 + (1 — 2а) |Z |2, Z G D. С его помощью обе формы леммы Шварца (обычная и инвариантная) позволяют перейти от (19) к нестрогой версии (18), а затем отделить единственное семейство /(/) = ё/а(е((), |е| = 1, из <S*(a), на котором в (18) достигается равенство при ( ф 0. □

Следует отметить, что классы функций с условиями (11) при A = 1 и B = 1 — — 2а, а G [0,1), вкладываются в семейство классов Яновского <S* [A, B], A + B > 0, A, B < 1, определяемое подчиненностью

ло 1 + вс

4(o i -ас

Z G D.

Однако исследование включений <S* [A, B] c Gi [25, 28] сразу исключает из рассмотрения классы Б*(а), так как 5*(а) \ Gi = 0 при всех а G [0,1). Это послужило дополнительным стимулом к изучению звездообразных функций порядка а с помощью однопараметрических семейств. Привлечение таких семейств к исследованию классов Яновского рассматривалось в докладе [29].

Основной результат настоящего раздела - следующая

Теорема 3. Для любого a G [0,1) имеют, место равенства p(S*(a)) = л/R, и E(S*(a)) = {efcOO : |е| = 1}, где Ra определено в (16), о fa - функция (13).

Доказательство. При 0 < а < 1/2 наше утверждение с помощью леммы 5 следует из теоремы 1.

Пусть 1/2 < а < 1. В силу соотношения lim (1 — |Z|2)|/"(Z)//Г(Z)| = 0,

0 < r < 1, справедливого то лемме 5 для любой функции / G <S* (а) (в том числе для /а и ее вращений), слоение Rf[0,1] не имеет предельных точек на дD х (0,1).

С использованием (18) оценим |Z/Z//r | • Прибавляя и вычитая 2|Z|2/(1 — |Z|2) из получающейся правой части, после простых преобразований получим

/ЛС) < 2|С|2

то ~ 1 - lei2

1С1Л л 1 - ICI2 л

(r|C|)(r2 - Ra), С G

(22)

причем неравенство - строгое в D\{0^, тели / от вращений функции /а.

Пусть р = p(S*(a)). Из (22) следует, что р > \J~R~a. Так как ffa = \[В~а (пример 2), то р = \]Ra и E(S*(a)) содержит семейство всех вращений функции fa.

Предположим, что в E(<S*(а)) найдется функция /, не входящая в указанное семейство. Согласно установленному выше (0, р) - единственная предельная точка слоения Rf[0,1] в D х {р}. По лемме 1 это означает, что |{/р,0}| = 2, то есть 3(1 — а)р2\0 = 1, где <р(0 = lO2 + • • • G V соответствует / по формуле (12). Если теперь 1/2 < а < 8/13, то р = 1/д/3(1 — а) (см. (16)), значит, |д| = 1, и по лемме 2 / есть вращение /а. Если же 8/13 < а < 1, то Ra < 1/(3(1 — а)) = р2|д| < р2. В обоих случаях получается противоречие, которое и завершает доказательство. □

Заметим, что предельным случаем теоремы 3 при а = 0 является следствие 1.

4. О классах Александера

Классом Александера порядка а G [0,1) будем называть класс А(а) всех функций / G Hq с условием Re/'(Z) > а, Z GD. Как и выше, нас интересует выход

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА

41

из множества Гахова по «линиям уровня» функций из «4(a) = «(a) р|{/ С Но : / "(0) = 0}. Определяющая биекция V ^ «4(a) задается аналогично (12); итоговый результат - следующая

Теорема 4. Если 1/2 < a < 1, то «4(a) С Gi • Если a = 1/2, rno «4(a) содержится в Gi, исключая вращения функции fs(Z) = (1/2)ln((1 + Z)/(1 — Z)) с континуумом корней уравнения Гахова. Если 0 < a < 1/2, то р(А(а)) = 1/о/2{1 — а), о E(«(a)) исчерпывается вращениями функции ga(Z) = (2a — 1)Z + (1 — a)/s(Z)•

Доказательство основано на оценке

ПО r 2a(a)|Z| ПО 1 - IZI2 ’

Z е D \{0},

f е «4.(a),

где a(a) = max(1, 2(1—a)), a е [0,1). Данная оценка обеспечивает принадлежность / е Gi при 1/2 < a < 1 (с отмеченным исключением) и позволяет применить теорему 1 при 0 < a < 1/2.

Summary

A.V. Kazantsev. On the Exit out of the Gakhov Set Controlled by the Subordination Conditions.

A Gakhov set G is the class of all holomorphic and locally univalent functions in the unit disk, which have no more than one root of the Gakhov equation. For the series of the well-known subclasses of univalent functions having the zero root of the Gakhov equation, an effective desription is given for the set of all trajectories of the exit out of G; such an exit takes place when the parameter value corresponds to the sharp constant in the appropriate uniqueness condition of the root. It is shown that the exit out of G may occur due to the bifurcations of the two following types only: 1) the maximum at zero splits into two maxima and the saddle; 2) the non-zero semisaddle appears and then divides into the maximum and the saddle.

Keywords: hyperbolic derivative, conformal (inner mapping) radius, bifurcations of critical points, Gakhov set, class of starlike functions, subordination conditions.

Литература

1. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. - М.: Наука, 1978. - Ч. 2. - 432 с.

2. Haegi H.R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrossen // Compositio Math. - 1950. - V. 8, F. 2. - P. 81-111.

3. Kazantsev A. V. On a problem of Polya and Szego // Lobachevskii J. Math. - 2001. -V. 9. - P. 37-46.

4. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 86, № 4. -С. 649-652.

5. Казанцев А.В. Гиперболические производные с предшварцианами из пространства Блоха // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан, матем. о-во, 2002. - Т. 14. - С. 135-144.

6. Казанцев А.В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 180-194.

7. Peschl Е. Uber die Werwendung von Differentialinvarianten bei gewissen Funktionenfa-milien und die Ubertragung einer darauf gegriindeten Methode auf partielle Differential-gleichungen vom elliptischen Tipus // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. - 1963. -V. 336/6. - P. 1-22.

А.В. КАЗАНЦЕВ

42

8. Ruscheweyh St, Wirths K.-J. On extreme Bloch functions with prescribed critical points // Math. Z. - 1982. - Bd. 180. - S. 91-106.

9. Аксентъев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 2. - С. 3-11.

10. Аксентъев Л.А., Киндер М.И., Сагитова С.Б. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т, 1983. - Выл. 20. - С. 22-34.

11. Аксентъев Л.А., Казанцев А.В., Киселев А.В. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 10. - С. 8-18.

12. Аксентъев Л.А., Казанцев А.В., Киндер М.И., Киселев А.В. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Казан, ун-т, 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.

13. Аксентъев Л.А., Казанцев А.В. Новое свойство класса Нехари и его применение // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т, 1990. - Вып. 25. -С. 33-51.

14. Киндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Рахова в случае многосвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т, 1985. - Вып. 22. -С. 104-116.

15. Казанцев А.В. Четыре этюда на тему Ф.Д. Рахова: учебное пособие. - Йошкар-Ола: Мар. ун-т, 2012. - 64 с.

16. Казанцев А.В. Множество Рахова в пространстве Хорнича при блоховских ограничениях на предшварцианы // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2013. - Т. 155, кн. 2. - С. 65-82.

17. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. -1949. - V. 55, No 6. - C. 545-551.

18. Gehriny F.W., Pommerenke Gh. On the Nehari univalence criterion and quasicircles // Comment. Math. Helv. - 1984. - V. 59. - P. 226-242.

19. Alexander J. W. Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions // Ann. of Math. Ser. 2. - 1915. - V. 17, No 1. - P. 12-22.

20. Казанцев А.В. О внутреннем радиусе для бесконечных областей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т, 1992. - Вып. 27. - С. 63-67.

21. Казанцев А.В. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: Дне. ... канд. физ.-матем. наук. - Казань, 1990. - 145 с.

22. Казанцев А.В. Бифуркации корней уравнения Рахова с левнеровской левой частью // Изв. вузов. Матем. - 1993. — JNa 6. — С. 69-73.

23. Kazantsev A.V. Parametric families of inner mapping radii // 2nd European Congr. Math., Budapest, July 22-26, 1996, Abstracts. - Budapest: Janos Bolyai Math. Soc., 1996. - P. 30.

24. Казанцев А.В., Попов Н.И. О некоторых задачах, связанных с функционалами изопериметрического типа // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан, матем. о-во, 2002. - Т. 14. - С. 144-157.

25. Жаркова Т.В., Казанцев А.В. О единственности решения уравнения Рахова для функций из классов Яновского // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-матем. науки. - 2013. - № 2. - С. 108-119.

26. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 628 с.

О ВЫХОДЕ ИЗ МНОЖЕСТВА ГАХОВА

43

27. Jack I.S. Functions starlike and convex of order a // J. London Math. Soc. Ser. 2. -1971. - V. 3, Pt. 3. - P. 469-474.

28. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Попов Н.И. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций// Изв. вузов. Ма-тем. - 1998. -№8,- С. 3-13.

29. Жаркова Т.В., Казанцев А.В. О методе подчиненности в проблеме единственности корня уравнения Рахова // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан, матем. о-во, 2013. - Т. 46. - С. 189-190.

Поступила в редакцию 11.01.13

Казанцев Андрей Витальевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: kazandrey0363@ram,bler.ru