CC BY
28
Том 155, кн. 2
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2013
УДК 517.54^517.982.274
МНОЖЕСТВО ГАХОВА В ПРОСТРАНСТВЕ ХОРНИЧА ПРИ ЕЛОХОВСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПРЕДШВАРЦИАНЫ
A.B. Казанцев
Аннотация
Множество Гахова объединяет функции из пространства Хориича над единичным кругом, имеющие единственную критическую точку конформного радиуса. Исследуется расположение пересечения A множества Гахова с пространством Блоха B относительно банаховой структуры B. Выявлена связь между топологическими характеристиками множества A и значениями кривизны и индекса критических точек для функций из A. Дано эффективное описание множества точек границы A с минимальной преднормой. С использованием функционала Мипковского установлена звездообразпость подмпоже-A
Ключевые слова: гиперболическая производная, конформный радиус, бифуркации критических точек, пространство Хорпича, пространство Блоха, предшварциап. множество Гахова, внутренность и граница множества.
Введение
Для функции /, голоморфной в единичном круге В = (С € С: |£| < 1}, рассмотрим величину
Ь/(0 = (1 -1С 12)|/'(С)| (1)
при С € В. Проблема исследования экстремумов функции (1) и построения достаточных условий единственности таких экстремумов восходит к трактату Г. Полна и Г. Сегё [1] и оформилась в отдельное направление в работе Г. Хиги [2] (см. [3]). В 80-е годы XX в. данное направление стало развиваться на казанском семинаре по геометрической теории функций (см.. например. [4. 5]) уже в рамках гаховской традиции, о которой речь пойдет ниже.
/
личина (1) представляет собой выражение для внутреннего конформного радиуса области Б = /(В) в точке т = /(С). Ямашита [6, 7] предложил постановку, где / - голоморфная универсальная накрывающая проекция В па гиперболическую область Б в С, называя величину (1) производной Блоха функции /. В общем случае
/В
/
Применение термина «конформный радиус области» к величине (1). зависящей
от функции, причем в классической постановке, усложняет формулировки и искус/
в § 2 работы [5]. где вместо локальной однолистности приходилось использовать более сильное условие однолистности. Тем не менее при всей актуальности перехода к новому названию величины (1) представляется важным сохранение связей с классической историей предмета, символом которой является понятие конформного радиуса. Об этом свидетельствует, например, название «конформный радиус как функция точки» из работы [11].
Вернемся к экстремумам функции (1). Пусть Н - класс всех голоморфных функций в О, Но — подкласс функций /, выделяемый из Н нормировками /(0) = = /'(0) — 1 = 0 и условием локальной однолистности в О /'(С) = 0 при £ € О. Элементы множества Mf = {а € О : ^Ь^ (а) = 0} критических точек функции Ь^, / € Но, есть в точности нули отображения Гахова
С(СС) = / ''(С)//'(С) — 2С/(1 — К12)- (2)
Эквивалентность Уhf (£) =0 ^ С) = 0, установленная в работе [12], по существу восходит к Ф.Д. Гахову [13]. Сделать такой вывод позволило новое прочтение работы [13], предпринятое в статье [4], которая вместе с работами [5, 14] сфокусировала начатую в [13] проблематику по внешним обратным краевым задачам с нефиксированным полюсом на изучении однозначной разрешимости уравнения Гахова С(^,С) = 0, или, что то же самое, на условиях, достаточных для выполнения равенства kf = 1, где ^^ ^ ^^^^^^^тао элементов Mf. Скорректированную таким образом проблематику продолжим называть гаховской.
Истоки развиваемого в настоящей статье подхода к условиям единственности экстремума (1) относятся к дискуссии по докладу М.И. Кпндера и автора «Условия единственности решения внешней обратной краевой задачи» на итоговой научной конференции Казанского государственного университета за 1985 г., когда С.Р. На-сыров установил единственность корня уравнения Гахова при выполнении строгой оценки |(/''//')'(С)| < 2/(1 — |С|2), С € В, для функции / из малого класса Блоха
Во = {/ € Н : Ит hf (С) = 0} £ ^ дВ
(не опубликовано); автор же показал, что, постулируя наличие в Mf нулевого эле-
Во Но
(позднее от условия 0 € Mf удалось освободиться). Получившийся таким образом прототип теоремы 2 (см. ниже разд. 1) был представлен автором в докладе [15] вместе с частью результатов, вошедших в разд. 2 и 3 настоящей статьи, в частности, использующих функционал Минковского. Привлечение последнего к рассматриваемой проблематике послужило важным стимулом для ее развития благодаря концептуальным связям со статьей [16], где (на материале однолистности) отрабатывалась концепция «предельно широкого класса» объектов (в [16] это были области, у нас функции), «характеризуемых разрешимостью проблемы». В настоящей статье такая концепция воплощается в понятии множества Гахова. Формированию функционально-аналитического контекста развиваемой тематики способствовало участие автора в работе [17].
Направленность настоящей статьи можно охарактеризовать как исследование множеств Mf «вдоль траектории», намеченной в [3, 8, 9, 15, 18, 19] и нацеленной на изучение множества
01 = {/ € Но : kf = 1}
«в целом». Множество Я1 мы и будем называть множеством, или классом Гахова (см. также [20]).
Рассмотрим отображение
Р : Но ^ Н : / ^ ^ = /''//', (3)
сопоставляющее каждой функции / € Но ее иредшварциан ^ = /''//' и взаимно однозначное в силу нормировок /(0) = /'(0) — 1=0.
В настоящей статье множество Гахова изучается в рамках следующей постановки, впервые предложенной в [15] (см. также [8] и тезисы [19]). Ограничим
класс-«мишень» # в (3), сузив его до пространства Блоха Б, состоящего из всех функций Р € Н с конечной полунормой |в = вир кр(£) и являющегося бана-
С € ю
ховым относительно нормы ||Р||в = (0)| + |в (см., например, [21]). Банахова структура позволяет получать содержательную информацию о множестве 01 в терминах топологических свойств (в топологии нормы) множества
А = Р(01) П Б. (4)
Коограничение Р та пространство Б - отображение
Рв : Р-1(Б) ^Б (5)
(в обозначениях [22, с. 113]) назовем погружением. Блоха и будем вновь обозна-Р
Приведенная постановка нуждается в существенном дополнении. В 1969 г. X. Хорнич [23] определил па Но ставшие уже классическими операции © и ©, задаваемые формулами
С С
(/ © д)(С) := У /'Нд'М и (6 © /)(С) := У(/V))6 /, д € Но, 6 € М,
оо
и ввел класс Н функций / € Но, удовлетворяющих условию вир | а^ /'(£)| < то
С € ю
(arg1 = 0), которое обеспечивает линейное пространство (Н, ©, ©) (над М) банаховой структурой. Не вдаваясь в детали последующих трансформаций исходной постановки Хорнича, отметим, что в рамках одного из подходов, принятых в геометрической теории функций, термин «пространство Хорнича» закрепился не за банаховым пространством (Н, ©, ©, || ||н)> а за линейным пространством ( Но , © , © )
стоящей работе: он позволяет рассматривать отображение (3) как алгебраический изоморфизм Р : (Но, ©, ©) ^ (Н, +, •), отождествляющий лучи 6 © / и 6Р при Р = Р(/)(€ Б), вдоль которых мы будем исследовать множество (4). Никаких дополнительных сужений (5) при этом не возникнет мы не выйдем даже за пределы исходной (банаховой) постановки Хорнича, как показывает включение Р-1(Б) С Н из следующего утверждения [12, 21], в котором М(Р) := М^.
Предложение 1. Если Р = Р(/) € Б, то / € Нр|Бо и
М(Р) С Юр = (С € С : |С| < р} для некоторого р € (0,1). (6)
Кроме того, если Р - любая функция с (0)| < а и |в < т, то число р в (6) можно выбрать зависящим только от а и т. Наконец, множество М(Р) конечно для всякой Р € Б.
Доказательство. Используем такой вариант неравенства из [21, с. 113]:
(С)|<|Р(0)| + |в/Я(|С|), с € Ю, Р € Б, (7)
где /я(С) = (1/2) 1п ((1+С)/(1 — С)) • Включение / € Нр| Бо следует из (7) с помощью
р
сравнением правой части (7) и выражения 2|£|/(1 — |С|2) на основе (2). Конечность М(Р) получается из (6) с учетом результатов [12], запрещающих наличие циклов в М(Р). □
Замечание 1. В случаях, когда непустота Mf в исследуемом классе влечет за собой равенство kf = 1, а сам класс содержит функции /, для которых kf = 0, множество Гахова Gl целесообразно рассматривать вместе с множеством
Go = {/ G Ho : kf =0}.
Основой для примера такого рода может служить импликация
/ G H, (1 — |Z|2)2|{/,Z}|< 2, Z G D, /(D) = полоса и /''(0) = 0 kf = 1 (8)
из статьи [25] (см. также [3, 6, 26]); здесь {/, Z} = (/ ''//')'(Z) - (1/2)(/''//')2(Z) -
/ / (0) = 0 в условиях (8) приводит к неравенству kf < 1, поскольку масс функцнй / G H, удовлетворяющих условию (1 — |Z|2)2|{/, Z}| < 2, Z G D, открытому Нехари [27], содержит, в частности, функцию /(Z) = ln(1/(1—Z)) G G0 • Предлагаемая в настоящей статье постановка подобные примеры исключает:
Следствие 1. Имеет место соотношение P-1(B)p| G0 = 0.
Доказательство. Требуемое равенство получается из двух включений P-1(B) С Bo (предложение 1) и Bo С Gl; последнее устанавливается на основе соотношения lim hf(Z)=0 (ср. с [281). □
z ^ dD
Другим очевидным следствием предложения 1 является дискретность множества Mf для любой / G P-1(B) (ср. с [12, 29]). Теперь приведем важное
Замечание 2. Под действием погружения Блоха (5) часть множества Гахова теряется: G1 \ P-1(B) = 0.
Действительно, для функции
q
г (Л) (0 - 1 (Л) Л + С
при вещественных ж € (-1,1) имеем (1 — ж2)(/?'//)'(ж) = 2 + 4Ф?(ж)/(1 — ж2), где функция
Л ^ I * I ъ 2д2(1 — ж2)?
Ф„(ж) = х(х — Я/„ (ж)) — —-----——
чК ' ^ [(1 + ж)? + (1 — ж)?]2
при ж ^ 1 стремится к 1 — д; отсюда следует, что / € Р-1(В), тогда д € (0, 2), д = 1 .Однако / € £1 при д € (0, \/2] благодаря (8) и {/„ С} = 2(1 — д2)/(1 — С2)2 .
Перенос исследования в пространство предшварцианов ^ = Р (/) вводит парные обозначения: М(^) := М] (см. выше) и к(^) := кf. Для гауссовой кривизны К] поверхности Н = hf (£) и индекса 7] векторного поля Vhf (£) будет использована запись Кр := К] и 7Р := 7]; при этом
Кр(а) = Н](а)2 [4/(1 — |а|2)4 — '(а) — ^(а)2/2|2], а € М(^), (9)
а выражение для 7Р(а) нам не понадобится (см. [9, 28]). Все необходимые факты о Кр и 7р приведены в следующей лемме (т± := {а € М(^) : 7р(а) = ±1}).
Лемма 1. Пусть / € Н0 и ^ = Р(/) € В. Тогда
1) в любой точке а € М(^) функция (1) имеет локальный максимум (7Р (а) = = +1), либо седло (7Р (а) = — 1), либо полуседло (7Р (а) = 0);
2) если Кр(а) = 0 и а € М(^), то 7Р(а) = sgnКр(а);
3) ^ 7р (а) = т+ — т- = 1; а € М(^)
4) ш 7р(М(^)) = +1 следует к(^) = 1.
Утверждения 1) 3) установлены в [28]. а 4) ослабленный вариант теоремы 1 из [9] (см. также [28]).
Анализ динамики множества М(ЬЕ), Е € В, с ростом Ь > 0 аналогичен проведенному в [3] и [9] для случая «линий уровня» /г (£) = /(гС)- Определим слоение
В = ^ := и М(ЬЕ) х {Ь}
ь> о
и функционал
Ь = Ъ(Е) := вир{а € (0, : Ь € [0, а] ^ к(ЬЕ) = 1}
первого выхода из множества Л (см. (4)) вдоль луча ЬЕ, Ь > 0. Положительность Ь на В установлена ниже в теореме 2 и не использует следующее утверждение; обозначим д(С) := СЕ((), Кь := Кьр и ^ь := 1ьр ■
Лемма 2. Пусть Е € В, а € М(вЕ) при в € \Ь(Е), к - кратность а
как нуля функции д(() — д(а). Если а = 0 либо а = 0 и Кр(а) = 0, то слоение В в некоторой окрестности Ж = и х V с В х М + точки (а, в) состоит из к (к = 2 при а = 0) аналитических дуг, пересекающихся в (а, в) ■
Пусть а = 0. Пр и к = 1 дуг у В р| Ж параметризует ее модуль. Если к > 2, то Ь € V - параметр всех к дуг в В р| Ж либо к — 1 из них. В последнем случае
Ь=в
Ь
ющей полуокрестностью У^ = V {Ь ^ в}. На каждой из 2к полуду г (а(Ь),Ь), Ь € в (В р| Ж) \ {(а, в)} индекс 7ь постоянен и отличен от нуля;
£ !ь(а)= 7в(а), Ь € V \ {в}. (10)
а € М(ЬЕ) П и
Если а = 0 и К в (а) = 0, то 0 € М (ЬЕ) для вс ех Ь > 0, ^ь(0) = sgn(в — Ь) при Ь = в, в = 2/1Е'(0)1 (Е'(0) = 0) и с ростом Ь возможны три сценария бифурка-
Ь=в а=0 к=2
лением двух максимумов (бифуркация типа Ф); б) максимум и два седла сливаются в седло; в) максимум и седло меняются ролями, переходя через полуседло. В каждом случае Ь - параметр любой полудуги в Вр| Ж, исходящей из (0,в)-
Если же в = Ь(Е), то неравенство к(вЕ) > 1 щи Ь > в вблизи в выполняется за счет бифуркации типа Ф или наличия в М (вЕ) точки а = 0 такой, что Вр| Ж - аналитическая дуга над V> и {в} (бифуркация типа и).
Сразу отметим, что бифуркация типа р| (при в > Ь(Е)) определяется наличием в М (вЕ) точки а = 0 такой, что В р| Ж - аналитическая дуга над V< и {в} - Для локализации В над точкой Ь = в в случае 0 € М (вЕ) нам потребуется исследовать В'(в) := (М(вЕ) \ {0}) х {в} • Ситуация, когда слой В'(в) состоит только из точек бифуркации типа а) и. б) р| или в) и и р|. формализуется соответственно записью а) В'(в) = О, б) В'(в) = {Ш или в) В'(в) = {ЦП}-Пусть В' = В\({0}хМ + ).
Обоснование леммы 2 почти дословно повторяет доказательство основной леммы из [3]. Тем не менее в динамике множеств из [3] и MьQf имеется
существенная разница: если для «линий уровня» с ростом параметра локальные максимумы возрастают, а седла убывают по модулю, то для «предшварциаиов» это свойство сохраняется только у максимумов седла же могут двигаться в обоих направлениях. Данное обстоятельство усложняет доказательство звездообразности множества £1 ПР-1(В), где б1 = {/ € 01 : /''(0) = 0}, в пространстве Хорнича (теорема 4 ниже) по сравнению с г-случаем (см. [9]), на который придется опираться.
Условие /''(0) = 0 фиксирует в точку а = 0. При переходе к предшварци-анам Г = Р (/) данное условие выделяет из В новое объемлющее пространство
В = (Г еВ : Г(0) = 0},
в котором множество Гахова представлено как
А = А П В.
Пространство В, очевидно, уравнивает банахову и преднормированную структуры на В, являясь банаховым подпространством пространства (В, || ||в); в частности, на В предшары Ве(Г) = (О е В : |О — Г|в < е} уравниваются с шарами Ве(Г) = (О е В : ||О — Г||в < е}: Ве(Г) := Ве(Г) ПВ = В(Г) ПВ = : £е(Г) (одинаковый след на В имеют также сферы 8е(Г) и предсферы Бе(Г)). Однако с топологическими операторами Т = Int, С1 и Ег (в топологии нормы на В) дело обстоит сложнее: соотношение
ТвА = вВП ТвА (И)
справедливо только для внутренности Т = 1п^, а для замыкания Т = С1 и границы Т = Ег в (11) следует удержать лишь включение левой части в правую. Утверждение из [8] о равенстве (11) при Т = Ег некорректно; здесь эта ошибка исправлена: доказано, что
С := (ВП Ег в А) \ Ег вА = 0,
причем
Ег вА = Г^ Ег вА и С = Гор| Ег в А,
где Гк = (Г е В : 7р(0) = к}, к = 0,1 (предложение 4, теорема 7).
Цель настоящей статьи исследовать связь между топологическими характеристиками Т множеств А и А и геометрическими характеристиками Кр и 7р элементов Ш(Г) для соответствуюгцих Г. Направления работы были намечены в [8]: утверждения, имеющие прототипы в [8], формулируются ниже как теоремы и снабжены подробными обоснованиями; этапы исследования отражены в названиях разделов.
1. Представление множества 52(0)П ГгвА
Начнем со следующего утверждения.
Теорема 1. Справедливы, равенства
А П Ег в А = (Г е А : Кр (Ш (Г)) = 0},
1П вА = (Г еВ : Кр (Ш (Г)) > 0}. 1 '
Доказательство. Обозначим Ао = (Г е А : Кр(Ш(Г)) = 0}.
Для любого Г е Ар| Ег в А существует иоследовате льность Гп е А, сходящаяся ГВ
получаем отсюда, что если Ш(Г) э ап ^ а(е Ш(Г)), то КРп(ап) ^ Кр(а). Включение Ар| Ег вА С Ао будет обосновано, если показать, что для каждого п > 1 в Ш(Гп) найдутся элементы ап и вп такие, что Крп(ап) > 0 > Крп(вп)- Действительно, сохранение последних неравенств при переходе к подпоследовательностям апк ^ а, впк ^ в (к ^ го), с учет ом Г е А влечет за собой соотн ошения а = в, Ш(Г) = (а} и Кр(а) = 0.
Проверим наличие элементов an и ßn с требуемыми свойствами. Поскольку fn = P-1(Fn) G Во (предложение 1), то в качестве an берем глобальный максимум функции hfn. Так как Fn G Л, n > 1> T0 B M (Fn) существует qn = an, причем если KFn(qn) < 0, то полагаем ßn = qn, a если KFn(qn) > 0, то YFn(qn) = +1, что вместе с YFn (an) = +1 приводит к существованию такого ßn G M (Fn), что YFn(ßn) = — 1, поэтому KFn(ßn) < 0 (использованы пп. 1)-3) леммы 1).
Докажем включение Лр| Fr в Л D Л0. Пусть F G Л0, то ест ь F G Л, M (F ) = = {a} и KF(a) = 0. Рассмотрим семейство функций Fa(Z) = F(Z) + A(Z — a), A G C. Имеем Fa_G В a G M (Fa) и ||FA — F ||в = (1 + |a|)|A^ Поскольку Kfä (a)/hf (a)2 = = —2Re {A[F'(a) — F(a)2/2]} — |A|2, неравенство Kfä(a) < 0, обеспечивающее Yfä (a) = — 1, выполняется на некотором A-луче с тачал ом в A = 0. По лемме 1, пп. 2), 3), в любой окрестности F найдется функция вида Fa, для которой a -неединственный элемент M (Fa), значит, F G Лр| FrB Л.
Теперь установим второе равенство (12). Если F G Int в Л, то в силу включения Int в Л С Л буде т M (F ) = {a} для некотор ого a G D, откуда yf (a) = +1 (a - глобальный максимум hf в D для f = P-1(F)) и, согласно лемме 1, Kf (a) > 0. Но так как F G Fr в Л, то с учетом первого, полученного выше равенства (12) отсюда следует, что KF(a) > 0. Обратно, выбирая F G В с KF(M(F)) > > 0, заключаем, что yf (M(F)) = +1. По лемме 1, п. 4), получим F G Л, что вместе с KF(M(F)) > 0 и Л С Cl вЛ дает F G Int вЛ в силу первого равенства (12). □
В следующем утверждении как частный случай содержится условие единственности (1 — |Z|2)|F'(Z)| < 2, Z G D ^ k(F) = 1, послужившее в свое время отправной
'
Теорема 2. Имеют место неулучшаемые включения B2(0) С Л u B2(0) С С Int в Л, причем yf (M (F )) = +1, F G B2(0). Следующие условия эквивалентны:
(a) F G B2(0) и Kf (M (F )) = 0;
(b) F G S2(0) p| Fr вЛ; _
(c) F - точка выхода (при b = 1) из множества B2(0)p|Л вдоль луча bF, при этом динамика M(bF) допускает только бифуркацию типа Ф.
Доказательство. Воспользуемся цепочкой неравенств
|{f, a}| < |F'(a)| + |F (a)|2/2 < 2/(1 — |a|2)2, a G M (F ), F = P (f ) G B(Ô). (13)
Так как при F G B2(0) второе неравенство в (13) будет строгим KF(M(F)) > 0 (см. (9)), то B2(0) С Int в Л по теореме 1. Тогда, согласно лемме 1, п. 2), YF(M(F)) = +1 для F G B2(0), а также для F G S2(0)p|IntвЛ. По лемме 1, п. 4), для проверки включения B2(0) С Л остается показать, что yf(M(F)) = +1 и для F G $2(0) П Fr в Л.
Поскольку при F G $2(0) выполнение (13) означает Kf (M (F )) > 0, в силу F G Fr в Л и второго равенства (12) имеет место соотношение KF (M (F )) = 0, превращающее (13) в цепочку равенств. Если a = 0 G M (F), то требуемое заключение YF(0) = +1 (с бифуркацией Ф вдоль луча bF при b =1) получается с использованием леммы 2 и B2(0) С Л. Если же a G M (F ) \ {0}, а тогда F (a) = |F (a)|e-ia при a = |a|eia, то цепочка (равенств) (13) благодаря «внутренним сокращениям» за счет |F'(a)| = 2/(1 — |a|2), F '(a) = —|F '(a)|e-i2a и F (a) = 2â/(1 — |a|2) сводится к равенству ei2a{f, a} = —2/(1 — |a|2)2, то есть g'(a) = 0 (g(Z) = ZF(Z))• Применение леммы 2 вновь приводит к бифуркации типа Ф в сил у -82(0) С Л; при этом YF(a) = +1, что и требовадось. Попутно доказано, что (b) ^ (с).
Эквивалентность (a) ^ (b) получается как «след» первого равенства (12) на только что установленном соотношении —2(0) С Л с учетом —2(0) С Int в Л. □
Следствие 2. Функции * е <52(0) р|ЕтвА имеют следующие начальные отрезки тейлоровских разложений в окрестностях точек ас {а} = М (*) .• если а = 0, то *(£) = 2е£ + а3£3 + • • • , |£ = 1, где |а3| < 2/3, а если а = 0, то
т-1/Л\ 2а 2а 2а2 2
* (С) = Г—Я2 " а(1 -|г|2) (С " а) " а(1 - |а|2)2 (С " а) + ^ ^ ^ '
причем.
2|а|2 2а 2
д(с) = Г—^ - (с-а)2 + •••
Прежде чем дать полное описание множества ¿2(0) р|Ег в А, докажем следую-
Предложение 2. Имеют .место равенства
§2(0) П Ет вА = §2(0) П Ет вА = {* е §2(0) : '(0)| = 2}.
Доказательство. Обозначим в! = §2(0)р|Ет в А, в2 = {* е §2(0) : '(0)| =
= 2}, в3 = §2(0)р|Ет ¿А и покажем, что С в2 С в3 С
1) Пусть * е вь Тогда то теореме 2 * е В2(0)р|Ет вА С Ар| Ет вА, значит, по теореме 1, Кр(М(*)) = 0; кроме того, * е $2(0). Легко проверить, что §2(0)р|52(0) С В, поэтому в1 С В. Вместе с * е А это влечет М(*) = {0}, следовательно, Кр (0) = 0, и формула (9) немедлен но дает '(0)| = 2, откуда
* е в2.
2) Пусть * е в2. Условие * е §2(0) с учетом равенства '(0)| = 2 приводит к
* е £2(0), значит, гак и выше, * е В. Далее, так как '(0)| = 2, то (0,1) е Вр -точка бифуркации в силу (9) и леммы 2. Поскольку согласно условию при Ь < 1 будет Ь* е В2(0), то Ь (*) = 1, и, то лемме 2, указанная бифуркация имеет тип Ф. Значит, при Ь > 1, близких к 1, Ь* е В \ А Пересечение с В дает Ь* е А при Ь < 1 и Ь* е В \.4 щ Ь > 1 вблизи 1. Таким образом, * е Ет ¿А, и * е в3.
3) Включение вз С в1 — немедленное следствие соот ношения Ет 33 А С Вр| Ет в А (см. [22, с. 120 121]). □
Основной результат настоящего раздела следующая
Теорема 3. Пересечение Б = £2(0)р|Ет вА разбивается в дизъюнктное объединение
Б = В^и В А, (14)
где В а = §2(0) р|Ет ¿А, а В а - образ множе ства £ = {(ф, а) е В а х В* : ф'(0) = = —2а/а} (В* = В\{0}) при взаимно однозначном отображении
г: £^ВА:<ф,») -1—а?+^^—а). ^
Продолжим Т в слой В а х {0}.- Т (ф, 0) = ф ф е В3. Тогда суперпоз иция Ро^, где Р : § х I х Р1 — £ □ (ВА х {0}) : (С,£,е) — (-2£-2С,££), § = §1(0)П е Н : С(0) = 1} и I = (-1,1), устанавливает представление
Б ^^^ - 2£-2с( гf|§) : с е §,е е I, £ е Р1} . (16)
Доказательство. Разложение (14) соответствует разбиению В на В и В\В. Из предложения 2 получаем
Вд := ВП ^ = §2(0) П Ег в А = §2(0) П Ег вА = (2^Г : Г е |п| = 1}; (17)
таким образом, остается описать множество Ва := 5 \ В. Сначала покажем, что
ВА = (Г е 52(0) : (1 — |а|2)Г'(а) = —2а/а, где Ш(Г) = (а} и а = 0}. (18)
Пусть Г е В а Так как 5 С Ар| Ег в А (см. теорем у 2, В2(0) С А), по теореме 1 имеем Кр(а) = 0 для единственного элемента а из Ш(Г), причем а = 0 в силу Г е В- Тогда го доказательства теоремы 2 следует, что |Г|в = 2 и д'(а) = 0, где д(С) = СГ(С) • Выполняющаяся при Ш(Г) э а = 0 эквивалентность
д'(а) = 0 ^^ (1 — |а|2)Г'(а) = —2а/а (19)
ВА
множество иредсферы 52(0).
Включение, противоположное установленному, основано на том, что в силу (19), леммы 2 и условия Г е 52(0) слоение Вр в точке (а, 1) имеет бифуркацию типа Ф, а это значит (теорема 2, (6) ^ (е)), что Г е Ег вА, и соотношение (18) доказано.
Теперь покажем, что Вд = Т(Е) (см. (15)).
Проверим, что Т(Е) С Вд. Выберем произвольный элемент (ф, а) е Е и рассмотрим в качестве Г(£) выражение го правой части (15). Тогда из свойств ф непосредственным вычислением получаем, что Г'(а)(1 — |а|2) = ф'(0) и |Г|в = = ||ф||в = 2, поэтому то теореме 2 множество Ш(Г) одноточечно и совпадает с (а} в силу соотношения Г (а) = 2а/(1 — | а |2) - уравнения Гахова при £ = а (см. (2)).
Инъективность: пусть Т(ф1,ах) = Т(ф2,а2) = Г для (ф^а^) е Е, г = 1,2. Тогда ввиду только что доказанного имеем Г е Вд, поэтому Ш(Г) - одноточечное множество, следовательно, ах = а2, откуда ф1 = ф2.
Сюръективность почти очевидна: функция ф(£) = Г о ((£ + а)/(1 + а£)) — —2а/(1 — |а|2) - решение уравнения Т(ф, а) = Г при заданном Г е Вд с Ш(Г) = = (а} а = 0
Для параметризации множества 5 перейдем от а = £е е В к переменным £ е / ие е Р1; здес ь Р1 отождествляется с полуокружностью в духе предложения 2.11 из [30, с. 147]. Указанный переход позволяет рассматривать уравнение ф'(0) = — 2е-2 в качестве определяющего как для Е (£ = 0), так и для ВД х (0} (£ = 0), см. (17). Биекция Р преобразует данное уравнение к виду 0'(0) = 1; тем самым область определения параметризации упрощается до 8 х / х Р1. Продолжая Т па Вд х (0} как проекцию па первый сомножитель, окончательно имеем 5 = ТоР(8 х / х Р1), а это и есть представление (16). □
2. Звездообразность множества А
В качестве основы выступает следующая
Лемма 3. Если Г е В и 7^р(0) = +1 при в > 6 = 6(Г), то В'(в) = (ПЬ
Доказательство. По лемме 2 в некоторой окрестности Ш = и х V С В х М + точки бифуркации (а, в) е В'(в) типа р| пересечение В'р| Ш есть аналитическая дуга вида (а(^), )), V е О. Сш-функции а : О ^ и и 6 : О ^ V< = (т е V : т< < 6} определены в окрестностп О точки |а|, причем а'^) = 0, |а^)| = V, V е О, а(|а|) = а и 6(|а|) = в; кроме того, 6'^) > ^и V < |а|, V е О, и 6'^) < 0
при v > |а|, v € О. Последнее неравенство с помощью непосредственно проверяемого соотношения
4 - (1 - V2)4 |{/b(v)Xv)}Г = "
2\4 |f f , „(,Лц2 _ 4(1 - V2)2 vb'(v)
a(v )|2 b(v)
_v_b'(v)
1 - V2 b(
v)
, v € О,
и п. 2) леммы 1 влечет за собой Yb(v)(a(v)) _ -^и v > |а|, v € О. В силу (10) отсюда следует, что Yb(v)(a(v)) _ +1 при v < |а|, v € О.
Теперь предположим, что ©'(ß) _ {П}- Согласно только что доказанному уменьшение модулей элементов a € M(bF) \ {0} с убыванием b < ß вблизи ß может происходить только за счет движения точек (а, b) € ©' вдоль полудуг индекса y _ +1 с вершинам и в ©'(ß) (другие варианты исключаются леммой 2 с учетом конечности M(ßF)). Но тогда при любом b < ß, достаточно близком к ß, min{|a| : а € M(bF) \{0}} достигается в некоторой точке с, в которой YbF(c) _ +1, а это противоречит заключению леммы 1 из [9]. □
Лемма 4. Если F € B и M(F) _ {0}, mo yf(0) _ +1.
Доказательство. Вариант yf (0) _ -1 исключается с помощью п. 3) леммы 1: в этом случае, кроме седла в Z _ 0, множество M(F) содержит по крайней мере два максимума, что противоречит условию.
Предположим теперь, что yf(0) _ 0 (Z _ 0 - полуседло). По лемме 2 существуют окрестности U С Dn V с R + точе к Z _ 0 и b _ 1 соответственно, такие, что ©'П(U х V<) есть -полудуга над V< _ {b € V : b < 1} с параметрическим
представлением (a(b),b), b € V<, причем lim a(b) _ 0 и a(b) _ 0, YbF(a(b)) _ -1
b ^ 1
при b € V<. Так как YbF(0) _ + 1, b € V<, то по лемме 1, п. 3), отсюда следует, что для любого b € V< существует точка c(b) € M(bF) \ {0} с YbF(c(b)) _ +1, b € V<.
Возьмем последовательность (bn) такую, что bn € V< и bn ^ ^и n ^ то. Переход к подпоследовательности устанавливает сходимость c(bn) ^ c0, n ^ то, где со € D в силу предложения 1. Так как слоение ©замкнут о bD х R +, то co € M (F), а поскольку, как показано выше, в цилиндре U х V< нет точек ©' с y _ +1, то co € U. Итак, co € M(F) \ {0}, вновь получили противоречие, значит, yf (0)_+1. □
Теперь докажем звездообразность A.
Теорема 4. Пусть F € B. Есл и k(F) _ 1, mo k(bF) _ 1 для любо го b € (0,1).
Доказательство. Предположим, что множество T _ {b € (0,1) : k(bF) > 1} не пусто; ß :_ supT. Рассмотрим последовательность (bn) с условиями bn € T, bn < ß, n € N, и bn ^ ß щи n ^ то. По (bn) строится последовательность (an) такая, что an € M(bnF) \ {0}, n € N; переходя к подпоследовательности, будем иметь an ^ an ^ то, прпче м а € M (ßF) в силу предложения 1 и замкнутости ©. Так как yf(0) _ +1 по лемме 4, то в силу леммы 2 точки (an, bn), n € N, не
(0, ß) а _ 0 M(ßF) _ {0}
в частности, следует, что ß € T и ß < 1. Поскольку k(bF) _ 1 щи b € (ß, 1], то b не может служить параметром ни для какой Сш-дугп, проходящей через ©'(ß). Единственная возможность, оставляемая при этом леммой 2, - ©'(ß) _ _ {р|} ^ исключается леммой 3. Таким образом, T _ 0, и теорема доказана. □
Замечание 3. Леммы 2 4 организуют локальный подход к обоснованию звез-дообразности „4. В работе [8] для такого обоснования использов ал ось разбиение © на вещественно аналитические компоненты. В [8] также построен пример функции F € B \ B, демонстрирующий отсутствие звездообразности множества A.
3. Свойства функционала первого выхода из множества А
Напомним, что положительность функционала Ь установлена в теореме 2. Обозначим Ь = б^. Множество А будет поглощающим в В, то есть у ЬА = В
Ь > 0
(теорема 2) и звездообразным в В (теорема 4). Поэтому [31, с. 147] на 41 корректно определен функционал Минковского р(^) = 1/Ь(^), прпчем А< С 41 С А< , где А< := {^ € В : р(^) < 1} и А< := {^ € ¿В : р(^) < 1}. Так как любая функция из В поглощается предсферой ¿>1 = ¿>1(0), следовательно, однозначно представляется в виде Ь^ с Ь > 0 и ^ € 71, и так как функционал р положительно однороден,
А< = {Ь^ : ^ € й!,Ь < Ь(^)}, А< = {Ь^ : ^ € ¿7ЬЬ < Ь(^)}.
Теорема 5. Имеют место соотношения 1) А< = 1П2) А< = С1¿¡А, 3) ¿¡А = {Ь(^: ^ € ¿л}. Функционал Ь: 4) конечен и 5) непрерывен на 51г причем б) 2 < Ь(^) < 2/|^'(0)|, ^ € ¿71. Кроме того, 7) одновременное выполнение обоих неравенств из п. 6) эквивалентно условию 2^ € ¿2(0)^ й-^А, ^ € .
Доказательство. Левое неравенство 6) следствие теоремы 2. Далее, по лемме 2 бифуркационным значением параметра Ь для элемента 0 € М(^) при ^'(0) = 0 будет Ь* = 2/|^'(0)|, то есть к(Ь^) > ^и Ь > Ь*. Отсюда следует правое неравенство 6), тривиальное в случае ^ '(0) = 0.
1) Если Ь^ € А<, то то теореме 1 неравенство Кьр(0) > 0 (очевидное при ^'(0) = 0 и справедливое в силу второй оценки 6) при ^'(0) = 0, см. (9)) обеспечивает принадлежность Ь^ € 1П вА, усиливающуюся до Ь^ € 1П 7А благодаря стандартно проверяемому включению Вр| Int вА С 1П 7 А. Обратно, соотношение Ве(Ь^) С А7 для Ь^ € Int в А в силу звездообраз ности А7 влечет за собой неравенства Ь < Ь + е < Ь(^), откуда Ь^ € А< .
2) Для обоснования включения А< С С1 ¿¡А достаточно заметить, что для любого Ь^ € А< и любого е > 0 функция в^ в силу соотношения А< С А7 содержится в Ве (Ь^) р| А7 при каждом в € (Ь — е, Ь).
Чтобы доказать включение А< Э С1 ^А, предположим существование последо-
— — в —
вательностн Ьп^П € А< с € ¿71, для которой Ьп^п —> Ь^ (п ^ то), ^ € ¿71, но
— — в
Ь^ € А< . Тогда Ь > Ь(^). Ясно, что Ьп ^ Ь и —> ^и п ^ то.
Обозначая для краткости Мь = М(Ь^) \{0}, покажем, что найдется сколь угодно малое е > 0 такое, что Ь' = Ь — е > Ь(^) и множество Мь' содержит точку а с 7ь'Р(а) = 0. Действительно, в случае, когда 7ЬР(Мь) = 0 и кратности элементов а € Мь как нулей соответствующих функций д — д(а) равны 1, то наличие такой точки а обеспечивается леммой 2 хотя бы один элемент из Мь представляет бифуркацию типа П _ в противном случае (В'(Ь) = ПРИ всех в < Ь, близких к Ь, функции в^ принадлежали бы множеству А7 С А<, откуда Ь < Ь(^) - противоречие с Ь^ € А<. Если же найдется а € Мь с 7ЬР (а) = 0 или с 7ЬР (а) = 0, но с кратностью > 2, то вновь то лемме 2 из а в стой В над в < Ь будет исходить полудуга, вдоль которой 7^Р в < Ь, близких к Ь, в частности, при в = Ь'.
Пусть теперь и - замкнутая окрестность точки а в О, такая что М(Ь ) р| и = = {а}. Последовательность отображений Гахова С„(£) := ЬП^П(£) — 2^/(1 — |С|2) с ЬП = Ьп — е равномерно сходится на и к функции Ь'^1(С) — 2^/(1 — |С|2), имеющей в и единственный нуль а с индексом 7ь'р (а) = 0. По обобщенной теореме Гурвица [32] отсюда следует существование номера N такого, что любая функция Оп щи п > N имеет в и алгебраическое число нулей, равное 7Ь'Р(а); тогда
с учетом того, что 0 € и, имеем к(Ь'пЕп) > 1, п > N, что противоречит соотношениям Ь'пЕп € Л, выполняющимся в силу Ь'п < Ьп < Ь(Е), п € N. Полученное противоречие показывает, что Л< - замкнутое множество, поэтому С1 ¿¿Л С Л<. Равенство 3) есть следствие 1) и 2). Е (0) = 0
ства 6). При Е'(0) = 0 достаточно установить существование отличного от нуля М(ЬЕ) Ь
ЬЕ (С) = 2(/(1 — К |2), (20)
определяющее множество М(ЬЕ), перепишем с Ь = 1 в (эквивалентном при £ = 0) виде
(1 — 1С 12)д(С)/К I2 = 2, (21)
где д(() = СЕ(() = е(т + ■ ■ ■ , с = 0, т > 3. Униформизируя соответствпе т = д(() вблизи £ = 0, придем к существованию окрестпости V точки V = 0 и функции а(у) = а^ + ..., а1 = 0, голоморфно и однолистно отображающей V на окрестность £ = 0 так, что д(а(V)) = vm, V € V. Тогда уравнение (21) перепишется в виде (1 — |а^)|2)vm/|а^)|2 = 2. Так как выражение слева равно нулю при V = 0 и так как |Е|в = 1, откуда к(Е) = 1 по теореме 2, то М(Е) = {0}, и левая часть меньше 2 на V р|М иначе множество М(Е) содержало бы ненулевой элемент. Но тогда для (любого) v0 € V М + найдется Ь0(> 1) такое, что Ь0(1 — |а(v0)|2^т/|а^0)|2 = 2, таким образом, уравнение (20) при Ь = Ью имеет ненулевой корень ^0 = а^0). Поэтому к(Ь0Е) > 2, значит, Ь(Е) < Ь0 < то.
5) Пусть последовательность Еп € 4 сходится к Е(€ 4^ по норме В. Тогда для
— в
(любого) Ь > Ь(Е) имеет место сходимость ЬЕп —> ЬЕ. Рассуждая так же, как при
доказательстве включения Л< Э С1 ¿¿Л в п. 2), устанавливаем существование элемента а € М(ЬЕ) такого, что к(ЬЕп) > ^ьр(а)| = 1, значит, Ь(Еп) < Ь для всех п, начиная с некоторого. Поэтому последовательность Ь(Еп) - ограниченная.
Пусть (Епк) - произвольная подпоследовательность (Еп), на которой функци-
— — — — в
онал Ь сходится: Ь(Епк) ^ ^ при к ^ то. Ясно, что Ег ¿¿Л Э Ь(Епк )Епк —> Ь1Е, откуда Ь1Е € Ег ¿¿Л, поэтому Ь1 = Ь(Е) в силу 3). Таким образом, Ь(Е) - единственная предельная точка последовательности (Ь(Еп)): Ь(Е) = Ц™ж4(Еп) ■
7) Осталось доказать представление 42(0)р|Ет ¿¿Л4 = {2Е : Е € 41у |Е'(0)| = 1}. Очевидное свойство 2Е € 82(0) и неравенства 6), в силу |Е '(0)| = 1 приводящие к Ь(Е) = 2, а значит, и к 2Е € Ег ¿Л4 (см. п. 3)), демонстрируют, что правая часть доказываемого представления есть подмножество левой.
Если теперь ЬЕ € 82(0) П Ег ¿¿л4, Е € 41, то Ь = 2. По теореме 2 имеем 2Е € Л, поэтому 2Е € Лр Ег ¿А. Благодаря Ег ¿41 С Яр| Ег вЛ имеем 2Е € Лр| Е вЛ, значит, по теореме 1 К2р(0) = 0, то есть |Е'(0)| = 1 (см. (9)). □
Утверждение 7) теоремы 5 допускает следующую очевидную переформулировку.
Следствие 3. Пересечение 42(0)р|Ет ¿Л параметризуется (Е ^ 2Е) в точности теми элементами Е € 4>1, для которых гиперболическая производная Нр(С) = (1 — |£|2)|Е'(£)| достигает своего максимума, равного 1, при С = 0.
Из результатов [33] следует, что указанному пересечению принадлежат, например, все функции 2Е, где Е € Н0 с Е''(0) = 0 и одним из условий И.еЕ'(() > 1/2 или (1 — |С|2)2|{Е, С}| < 2 при ( € В. Если Е (В) не совпадает с полосой, то в обоих
случаях будет кр = 1, то есть функция кр имеет единственную критическую точку (£ = 0) в В. Разумеется, последнее нетипично для функций из
А = (Г е В : к(Г) = 1}
и А = Ар| В (напомним, что равенство к(Г) = 1 означает единственность критической точки функции кf для f = Р -1(Г)). Источником при меров Г еАс кр > 1 может служить подкласс
П = (Г е Но : Ие Г '(С) > 0, С е В, и Г ''(0) = 0},
содержащийся в В (0) • Если в определении ^ исключить уеловие Г''(0) = 0, то получившийся класс будет содержаться уже в предшаре В4(0), оставаясь, тем не менее, в А. Выход из В2(0) при отмене условия Г''(0) = 0 связан с тем, что согласно следствию 3 оно будет необходимым для одновременного выполнения равенств в оценках п. 6) теоремы 5. Однако оно не является достаточным: как показывает пример из следующего замечания, нарушение одновременного равенства в указан-
Г''(0) = 0
из класса в определении которого отсутствует нормировка Г'(0) = 1.
Замечание 4. Кроме исследованного выше случая 2 = 6(Г) = /?(Г), где в(Г) = 2/|Г'(0)|, имеется еще три варианта оценок п. 6) теоремы 5:
1) 2= Ь(Г) < /3(Г);
2) 2 < Ь(Г)= >(Г);
3) 2 < Ь(Г) < З(Г).
Первый вариант невозможен: если 6(Г) = ^и Г е ¿>1, то из п. 3) теоремы 5 следует, что 2Г е 52(0) р| ГгвА, а го п. 7) - Ь(Г) = Ь(Г). Вариант 2) реализуется, пример - функция Г е В3, удовлетворяющая условиям Г'(£) = (1/2)(1 + С2)/(1 — — С2), ||Г||в = 1, Ь(Г) = в(Г) = 4. Выполнимость варианта 3) устанавливается ниже в замечании 5.
А АЬ
Продолжим исследование, начатое в леммах 3 и 4. Справедлива
Лемма 5. Пусть Г е В и в > 6 = 6(Г). Если 7^р (0) = 0, то множество Ш(вГ) \ (0} содержит, не менее двух точек ненулевого индекса.
Ш(вГ) \ (0}
только один элемент имеет индекс 7^р = 0; 2) 7^р(Ш(вГ) \ (0}) = 0. Применение леммы 1 в случае 7^р(0) = —1 опровергает как 1), так и 2) (ср. с доказательством леммы 4), а при 7^р(0) = +1 - только 1). Остается исключить ситуацию, когда 7^р(0) = +1 и слоение В'(в) состоит только из точек бифуркации типа и или р|. Случай В'(в) = (и} невозможен в силу в > 6, случай В'(в) = (П} _ в СИЛУ леммы 3. Последняя налагает запрет и на случай В'(в) = (и, П}> так как Дина~ мнка Ш(6Г) \ (0} с убыванием 6 < в вблизи в) приводящая к противоречию в доказательстве леммы 3, не зависит от наличия бифуркаций типа и в В'(в)- □
Существенность условия 7^р(0) = 0 в лемме 5 демонстрирует следующий
Пример 1. Пусть ш е (0,1). Рассмотрим функцию
Г = Гш (0 = (1 — ш2)^^ (22)
1 — шС
с ||F||в = 1 • Слоение Bf^ состоит из двух Сш-комионент: bo = {0}хR + и bi = {(x, b(x)) : x G (-1,1)}, где
b(x)
1 — wx
1 - ш2 1 - X2
Кривая Ь1 пересекает луч Ьо в точке (0,в), где
в = ) = 2/(1 - ш2). (23)
При этом 7вр (0) = 0, М (в*) \ {0} = Ми 7вр (ш) = +1.
Следствие 4. Существует единичный вектор * е В3 такой, что величина &(Ь*) не является монотонной на М + как функция от Ь.
Доказательство. Требуемым вектором служит функция (22). Действительно, для * = имеем &(Ь*) = 1, если Ь е (0, Ь(*ш)), где
1 + VI—
2
b(Fw) = min b(x) = 2 , (24)
xe(-i,i) 1 — w2
k(6(Fw)F) = k(eF) = 2 и k(bF) = 3, когда b G (b(Fw),в) U(e, □
Замечание 5. Из (23) и (24) видно, что для F = Fw (Z) справедливы неравенства 2 < b(F) < /3(F). Таким образом, вариант 3) в замечании 4 содержателен.
Теорема 6. Имеет .место равенство
Bf|Int в A =Int gA. (25)
Доказательство. Результат содержится в обосновании п. 1) теоремы 5: элементарный характер включения левой части (25) в правую там уже отмечен. Чтобы доказать противоположное включение, напомним, что соотношение A< С Int gA опирается на импликацию bF G A< ^ bF G Int gA. Если вновь применить ее, но уже с учетом итогового равенства A< = Int gA, то в силу bF G В как раз и получается включение правой части (25) в левую. □
F
ству Int в (В \ A), в зависимости от ненулевых значений функционала yf ■
Предложение 3. Если F G В и мможесmeo M(F) содержит, хотя бы две точки ненулевого индекса, то F G Int в (B \ A).
Доказательство. Предположим противное: тогда найдется иоследователь-
в
пость (Fn) такая, что Fn G A, n GN, и Fn —> F щи n ^ то. По условию M(F) содержит две различные точки а1 и а2 с yf(o¿) = 0, г = 1, 2. Действуя, как в п. 2) теоремы 5, возьмем замкнутые окрестности Ui и U2 точек ai и а2 в D, такие, что M(F) р| Uj = {аД, i = 1, 2, и воспользуемся тем, что последовательность Fn(Z) — 2Z/(1 — |Z|2) равномерно сходится на Ui и на U2 к функции F(Z) — 2С/(1 — |Z|2) • По обобщенной теореме Гурвица, начиная с некоторого номера N, каждая функция иоследоват ельности (Gn) имеет в U ihb U 2 по одному нулю, откуда Fn G A, n > N, - противоречие. □
В условиях леммы 5 предложение 3 принимает такой вид:
Следствие 5. Если F G В, в > b = b(F) и (0) = 0, то F G Int g(B \ A).
Как показывает доказательство леммы 5, наличие в М(в—) \ {0} двух точек индекса 7^р = 0 в случае 7^р(0) = —1 устанавливается применением п. 3) леммы 1
в
Следствие 6. Если — € В и 7Р (0) = — 1, то — € 1П в(В \ А).
При переходе от ^ = 1п^ к Т = Рг связь между ТвА и В р| ТвА усложняется. Сначала покажем, что Рг ¿{А7 = В р| Рг вА; справедливо
Предложение 4. Множество С := (В р| Рг вА) \ Рг ^А ме пусто.
Доказательство. Выполнение Рг в А С В? р| Рг в А уже отмечалось выше. Для проверки соотношения С = 0 нормируем функцию из (22):
Так как в = 2/(1 — и2) > Ь(—ш) (см. замечение 5), то Ош € РгвА по теореме 5. Принадлежность Ош € В очевидна. Чтобы установить включение Ош € Рг вА, достаточно исследовать множества М(Нл) щи Нл = Л+Сш, Л € М. Действительно, ||НЛ — ||в = |ЛК Л € М, и несложный, но рутинный анализ показывает, что для сколь угодно малых Л будет к(НЛ) = 1, если Л > 0, и к(НЛ) = 3, если Л < 0. □
Теперь докажем основной результат этого раздела.
В7
жесте Гк = {— € В : 7Р(0) = к}, к = —1,0,1, согласовано с разбиением пе-В7 Рг вА
Доказательство. Начнем с первого представления (27). Покажем, что 1) Рг вА С Г П Рг в А и 2) Рг вА Э Г1П Рг вА.
1) Предположим, что — € 71 и 7^р(0) = 0 или —1. Из леммы 2 следует, что к(в—) > 1 при значениях Ь < в, близких к в• По определению Ь это означает, что Ь(—) < в> откуда по теореме 5, п. 3), получим в— € Рг вА.
2) Пусть — € ¿1 и Ь— € Г1П Рг в А. По теореме 5, п. 3), достаточно установить равенство Ь = Ь(—). Проверим, что предположения Ь < Ь(—) и Ь > Ь(—) противоре-
Ь— Рг вА
чием будет Ь— € 1П в А то теореме 5, п. 1), и теореме 6, в о втором - Ь— € 1П в(В\А) согласно следствию 5 при 7ЬР (0) = +1. Таким образ ом, Ь— € Рг вА.
Итак, первое соотношение (27) доказано. Вычитая его из множества В П Рг в А = (Рг вА) и С, будем иметь С = (Го П Рг вА) и(Г_1 П Рг в А). Но второе пересечение в этом представлении пусто благодаря включению Г_1 С 1П в (В \ А) (см. следствие 6), и в результате остается второе соотношение (27). □
Легко проверить, что С э Ош ^ С0 € РгвА по норме В щи и ^ 0 (см. (26)). Поэтому С1 в^С р| Рг в А = 0 и ^^(С, —г в А) = 0. Имеет место
Следствие 7. -Если — € 7 и точка Ь— € Рг вА - предельная для множества С, то элемент (0, Ь) € Вр является точкой бифуркации типа Ф и Ь(—) =
(26)
Рг вА = Г^ Рг в А и С = ГоП Рг вА.
(27)
в(—)•
Доказательство. По условию найдется последовательность (Fn) функций из C такая, что Fn ^ bF то норме ^и n ^ то. Тогда KFn (0) ^ KbF(0), n ^ то, что по теореме 7 и лемме 1, п. 2), приводит к KbF(0) = 0, откуда / = /?(F) (см. формулу (9)). Кроме того, равенство KbF(0) = 0 вместе с включением bF G Г15 справедливым в силу теоремы 7, обеспечивает наличие в точке (0, b) G Bf бифуркации типа Ф. Наконец, b = b(F) согласно п. 3) теоремы 5. □
Автор выражает благодарность профессору И.Б. Бадрпеву за ценные советы н полезные дискуссии при подготовке статьи к печати.
Summary
A.V. Kazantsev. Gakliov Set in the Hornicli Space under the Blocli Restriction on Pre-Scliwarzians.
Gakliov set contains exactly those functions in the Hornicli space over the unit disk which have the unique critical point of the conformal radius. The position of the intersection A of the Gakhov set and the Bloch space B is studied relative to the Banach structure of B.
A
A
A
A
point of the conformal radius is established.
Keywords: hyperbolic derivative, conformal (inner mapping) radius, bifurcations of critical points, Hornicli space, Bloch space, pre-Scliwarzian, Gakhov set, interior and boundary of a set.
Литература
1. Полна Г., Се.гё Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: Наука, 1978. 432 с.
2. Haegi H.R. Ext.remalprobleme und Ungleichungen konformer Gebiet.sgrossen // Compositio Math. 1950. V. 8, F. 2. P. 81 111.
3. Kazantsev A.V. On a problem of Polya and Szego // Lobaclievskii J. Math. 2001. V. 9. P. 37 46.
4. Аксентье.в Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. 1984. Л' 2. С. 3 11.
5. Аксептьео Л.А., Казанцев А.В., Киселев А.В. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. 1984. Л' 10. С. 8 18.
6. Yamashita S. The Scliwarzian derivative and local maxima of the Bloch derivative // Math. Japonica. 1992. V. 37, No 6. P. 1117 1128.
7. Yamashita S. The Poincare density and the Liouville differential equation // Math. Japonica. 1995. V. 42, No 3. P. 489 508.
8. Казанцев А.В. Гиперболические производные с предшварциапами из пространства Влоха // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 2002. Т. 14. С. 135 144.
9. Каваицев А.В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2011. Т. 153, кп. 1. С. 180 194.
10. Garnett J., Nicolau A. Interpolating Blaschke products generate Hx // Pacific J. Math. 1996. V. 173, No 2. P. 501 510.
11. Avkhadiev F.G., Wirths К,-J. The conformal radius as a function and its gradient, image // Israel J. Mat.li. 2005. V. 145, No 1. P. 349 374.
12. Ruseheweyh St., Wirths K.-J. On extreme Block functions with proscribed critical points // Math. Z. 1982. Bd. 180. S. 91 106.
13. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86, 4. С. 649 652.
14. Аксеитъев Л.А., Хохлов Ю.Е., Широкова Е.А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Матем. заметки. 1978. Т. 24. С. 319 333.
15. Kazantsev A.V. Parametric families of inner mapping radii // 2nd European Congr. Math., Budapest, July 22-26, 1996, Abstracts. Budapest: Janos Bolyai Math. Soc., 1996. P. 30.
16. Авхадиев Ф.Г. Функционал Мипковского по областям значений логарифма производной и условия однолистности // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т, 1992. Вып. 27. С. 3 21.
17. Grigoryan S.A., Gumerov R.N., Kazantsev A.V. Group structure in finite coverings of compact solenoidal groups // Lobaclievskii J. Math. 2000. V. 6. P. 39 46.
18. Казанцев А.В. Бифуркации корней уравнения Гахова с левперовской левой частью // Изв. вузов. Матем. 1993. Л' 6. С. 69 73.
19. Казанцев А.В. Производные Блоха с блоховскими предшварциапами // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казап. матем. о-ва, 2001. Т. 8. С. 117 118.
20. Казанцев А.В. Четыре этюда па тему Ф.Д. Гахова. Йошкар-Ола: Map. гос. уп-т, 2012. 64 с.
21. Anderson J.M., Clunie J., Pommerenke Ch. On Blocli functions and normal functions // J. Reine Angew. Math. 1974. Bd. 270. S. 12 37.
22. Энгелькинг P. Общая топология. M.: Мир, 1986. 752 с.
23. Hornieh Н. Ein Banacliraum analyt.ischer Funkt.ionen in Zusammenhaug mit. den schlicht.en Funkt.ionen // Monat.sk. Mat.li. 1969. Bd. 73. S. 36 45.
24. Lampreeht M. Starlike functions in tlio Hornicli space // Comput.. Motli. Funct.. Tlieor. 2007. V. 7, No 2. P. 573 582.
25. Gehring F.W., Pommerenke Ch. On the Neliari univalenco criterion and quasicircles // Comment. Math. Helv. 1984. V. 59. P. 226 242.
26. Акс.ен'тьев JI.A., Казанцев А.В. Новое свойство класса Нехари и его применение // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т, 1990. Вып. 25. С. 33 51.
27. Nehari Z. The Scliwarzian derivative and scliliclit. functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55, No 6. P. 545 551.
28. Киндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае мпогосвязпых областей // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т, 1985. Вып. 22. С. 104 116.
29. Киселев А.В., Наеыров С.Р. О структуре множества корней уравнения Ф.Д. Гахова для одпосвязпой и мпогосвязпой областей // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т, 1990. Вып. 24. С. 105 115.
30. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высш. шк., 1979. 336 с.
31. Рид М., Саймой Р. Методы современной математической физики. Т. 1. М.: Мир. 1977. 359 с.
32. Sveeuva Н. Zobecneni vet. о korenecli analyt.ickycli fuiikci // Öas. Pro Pest.. Mat.. 1960. Sv. 85, Ö. 4. С. 418 438.
33. Казанцев A.B. Об одной задаче, связанной с экстремумом внутреннего радиуса // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казан, гос. уп-т. 1992. Вып. 27. С. 47 62.
Поступила в редакцию 06.06.12
Казанцев Андрей Витальевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры математической статистики. Казанский (Приволжский) федеральный университет. г. Казань. Россия.
Е-шаП: kazandrey03630rwinbler.ru
