CC BY
25
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 157, кн. 1 Физико-математические науки
2015
УДК 517.546.1
ОБ УРАВНЕНИИ ГАХОВА В КЛАССАХ ЯНОВСКОГО С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
А.В. Казанцев
Аннотация
Класс Яновского определяется некоторым кругом из правой полуплоскости, содержащим значения функционала Zf' /f для всех функций из этого класса. Множество таких классов-кругов образует вещественно двупараметрическое семейство, «заполняющее» некоторый треугольник Д. В предыдущих работах автора была установлена максимальная область Д С Д , принадлежность к которой параметров класса обеспечивает каждой его функции свойство единственности (нулевого) корня уравнения Гахова. В настоящей работе такая область вычисляется для семейств классов Яновского над Д х [0,1].
Ключевые слова: уравнение Гахова, множество Гахова, классы Яновского, гиперболическая производная, конформный радиус.
Введение
Как известно [1—3], уравнение Гахова
f"(С) _ 2С f'(Z) 1 - |<
эквивалентно необходимому условию экстрему
Vhf (z )_о
гиперболической производной
hf (Z )_(1 -IZ |2)
функции f, голоморфной и локально однолистной в круге D _ {|Z| < 1}. Если f однолистна в D, то величина (3) совпадает с конформным радиусом области f (D) в точке f (Z) [4]. В статье [3] исследование эквивалентности (1) (2) проводилось
в контексте внешней обратной краевой задачи [5]; см. также [6-9].
В настоящей статье развивается одно из направлений указанного исследования, связанное с единственностью корня (1) и восходящее к работам [3, 8, 10-12]. Основные результаты представлены в разд. 2. Прежде чем напомнить постановку из [12], на которую они опираются, дадим необходимые определения.
Пусть Н - класс всех голоморфных функций в D, Но - подкласс функций f, выделяемый из Н нормировками f (0) _ f'(0) — 1 _ 0 и условием локальной однолистности в D: f '(Z) _ 0 при Z € D. Для f € Но определим множество Mf _ _ {а € D : Vhf (а) _ 0} и число kf _ #Mf - количество корней уравнения (2). Элементы а € Mf полностью характеризуются индексами jf (а) векторного поля Vhf (Z) и могут быть только трех типов: локальный максимум (jf (а) _ +1), седло (if (а) _ —1) и полуседло (jf (а) _ 0) [13]. Известное подразделение на эллиптические, гиперболические и параболические точки используется как вспомогательное [7].
Z|2
ма
If '(Z )|
(1)
(2)
(3)
35
36
А.В. КАЗАНЦЕВ
Множество Гахова определяется как G = {f € Ho : kf < 1} и является объединением подмножеств Gi = {f € Ho : kf = 1,Yf (Mf) = +1}, Go = {f € Ho : kf = 0}
и Gs = {f € Ho : kf = 1,Yf (Mf) = +1} [14-16].
В отмеченных выше работах [6-12] условия единственности корня уравнения (1) строились по подклассам однолистных и локально однолистных функций в форме ограничений на числовые параметры, определяющие подкласс. В [12] предложена следующая формализация построения неулучшаемых признаков единственности, зависящих от параметров.
Пусть £1 С Rk, k > 1, и для каждого ш € £1 определен некоторый подкласс Хш С Ho. Подмножество U С £ называется областью единственности для семейства X = {Хи }шеп, если Хш С Gi при каждом ш € U. Задача состоит в эффективном описании максимальной (по включению) области единственности Umax для семейства X .
Решение указанной задачи соответствует построению неулучшаемого условия единственности, которое в традиционной форме записывается как импликация
f € Хи, ш € Umax ^ 9 € G1-
Подобную структуру имеет, например, ряд условий единственности в [6-8]. Большинство таких условий установлено в предположении f"(0) = 0, выделяющем в Mf нулевой элемент. Данное предположение считается выполненным и в настоящей статье; для X С Ho обозначим X = {f € X : f"(0) = 0}, тогда, в частности,
G = Gi и Gs [16].
1. Классы Яновского
Пусть Д = {(а, в) € R2 : а + в > 0, а < 1, в < 1}. Класс Яновского, отвечающий параметру (а, в) € Д, обозначается через S*[а,в] и состоит из всех функций f € H с условиями нормировки f (0) = f'(0) — 1 = 0 и подчиненности
Zf '(Z) 1 + вс
Z f (Z) ^ 1 — аС
Z € D,
(4)
означающими существование функции ф из леммы Шварца [17, с. 356] такой, что
т
f (Z)
1 + вФ(С)
1 — аф(С),
Z € D.
(5)
Из условия (4) следуют звездообразность и однолистность элементов S* [а, в]. На отрезке L = {(а, в) € R2 : а + в = 0, а < 1, в < 1} будет выполнено равенство S*[а,в] = {f(Z) = Z}, а исследование подчиненности (4) при замене Z на —Z показывает, что каждый класс Яновского над Д имеет своего «двойника» и над множеством — Д = {—ш : ш = (а, в) € Д}. Таким образом, классы S*[а,в] определены для всех (а, в) € Q = [0,1] х [0,1], однако будет удобнее работать с Д (ср. с [8, с. 47]).
В соответствии с соглашением, принятым во введении, S* [а, в] есть подкласс S* [а, в], выделяемый дополнительной нормировкой f ''(0) = 0, или, эквивалентно, оценкой \ф(Z)| < \Z|2, Z € D, в (5). Введем множества
Д° = {(а,в) € Д : 3(а + в) < 2},
Д1 = {(а, в) € Д() :2в — 3а > —3},
Д2 = {(а,в) € Д° \ Д1 : а < а(в), в € ( — 1, —1/5)},
(6)
ОБ УРАВНЕНИИ ГАХОВА...
37
где
а(в) = 1 —
(1 + в)3
(7)
(1 + в)2 — 16в'
Напомним основной результат статьи [12]. Справедливо
Предложение 1. Множество Д' = Д1 U Д2 является максимальной областью единственности для семейства классов S* [а, в], (а, в) € Д •
Неулучшаемость области Д' устанавливается с помощью семейства функций fa,e € S*[a,f3], (а, в) € А, где
fa,e (Z ) = Z (1 — аС2)
2)-(1+в/а)/2
при а = 0, foe (Z )= Ze
.PC/2
(8)
Обозначая
Ла,в = {efa,e(eZ): N = 1}, (а, в) € А, и A = {(а(в),в): в € ( — 1, —1/5)},
из результатов [12] получаем следующее дополнение к предложению 1.
Предложение 2. При (а, в) € A имеет место включение S* [а, в] \Ла,в С GS •
Для описания Mfa в нам понадобится уравнение
в(а — в )а2 + [в2 — 5в — а(1 — в)]а + 3(а + в) — 2 = 0 (9)
с дискриминантом D = (а + в)[(1 + в)2 — 16в](а — а(в)) и корнями а = а±,
а+ < а-, при D > 0. Пусть р± = у/а± . В следующем утверждении значения р± рассматриваются только при условии неравенства их нулю, а уравнение (1) и функция (3) - только, когда f = fa,p, (а, в) € Д.
Предложение 3. Точки Z = 0 и Z = ±р± исчерпывают множества Mfa в в комбинациях, зависящих от разбиения треугольника Д линиями 3(а + в) = 2
и а = а(в) •
Более подробно, при (а, в) € Д' единственный элемент Z = 0 множества Mfa в есть максимум функции (3), эллиптический при 3(а + в) < 2 и параболический при 3(а + в) = 2, а < 13/15 • Если (а, в) € Д \ Д', то Z = 0 -
гиперболическое седло при 3(а + в) > 2, параболическое седло при 3(а + в) = 2,
а > 13/15, и эллиптический максимум при 3(а + в) < 2 •
Кроме того, для (а, в) € A совпадение р+ = р- порождает два полуседла Z = ±р+ • Если же (а, в) € Д \ (Д' U A), то р+ < р- •В этом случае максимумы ±р-, эллиптические при а < 1, становятся бесконечными при а =1, выходя из Mfa в на 9D, а точки Z = ±р+ являются элементами Mfa в только при 3(а + в) < 2, будучи гиперболическими седлами•
Доказательство. Поскольку оно представляет собой несколько этапов вычислений, опишем их, выделяя наиболее важные моменты.
Сначала устанавливается вещественность элементов a = рвгв € Mfa в, затем производится переход от (1) к (9) при а = р2 и наконец выясняются условия попадания величин р± в промежуток (0,1]. Для р- таким условием будет принадлежность (а, в) € Д \ Д', в случае р+ добавляется ограничение 3(а + в) < 2. При этом р+ < 1, а равенство р- = 1 приводит к а = 1. Положительность D при в > 0 получается из представления D = (а + в)[(а + в)(1 + в)2 + 16в(1 — а)]. Характер Z = ±р± при D > 0, р± > 0 и р- < 1 выясняется на основе равенства
{fae ,f±eie }
2 2р\^Ь
(1 — р2±)2 (1 + вр2±)(1 — ар2±)(1 — р±),
(10)
38
А.В. КАЗАНЦЕВ
где вг2в = 1 и, как обычно, {f,Z} - шварциан функции f. Отсюда немедленно следует, что {fa,p, ±р+} > 2/(1 — р+2)2; согласно классификации Хиги [7, 18] это означает, что Z = ±Р+ - гиперболические седла поверхности h = hfaj3 (Z). Определение характера точек Z = ±Р— основано на дополнительных вычислениях, которые не приводим ввиду их громоздкости. Отметим только два момента. Во-первых, проверяется, что случай в(а — в) = 0 в уравнении (9), которому отвечает корень а = а— , обеспечивается соответствующим равенством (10). Во-вторых, для заключения об эллиптичности точек Z = ±Р— требуется неравенство
\{fa,@, ±р—}\ < 2/(1 — р—2)2, в то время как (10) позволяет получить его только без модуля. Недостающая оценка {fa,e, ±Р—} > —2/(1 — р—2)2 устанавливается отдельно.
Исключенные выше ситуации D = 0, р± = 0 и р— = 1 соответствуют условиям (а, в) € A, 3(а + в) = 2 и а = 1. Для их исследования наряду с прямыми вычислениями будем использовать формулу М.И. Киндера [13, 19]
m+ f — m— f = 1, (11)
связывающую величины m± = #{a € Mf : Yf (a) = ±1} в предположениях kf < ж и f € Ho П Bo, где Bo = {f € H : lim hf (Z) =0} - малый класс Блоха.
Пусть (а, в) € A .
Имеем Mfa в = {0, ±р}, где р = р+ = р— > 0. Удаленность A от прямой а = 1 обеспечивает выполнение условия fa,e € Bo, что вместе с kfa в =3 позволяет применить формулу (11). Кроме того, из свойств функций (8) следует, что поверхность h = hfa в (Z) имеет одинаковое строение над критическими точками Z = ±Р.
Итак, множество Mfa в при (а, в) € A исчерпывается локальным максимумом в Z = 0 ({fa,e, 0} = 3(а + в) < 2) и двумя точками Z = ±Р одинакового индекса. Если этот индекс равен +1, то m+ fa в — m— fa в = 3 — 0 = 3, а если он равен —1, то m+ fa в — m— fa в = 1 — 2 = —1. В обоих случаях - противоречие с (11), значит, Yfa в = 0, то есть Z = ±Р - полуседла.
Пусть 3(а + в) = 2 .
Сначала используем для Z = 0 упоминавшуюся выше классификацию Хиги. Как уже отмечалось, {fa,e, 0} = 3(а + в) > 0. Поэтому для всех значений (а, в) € А, лежащих ниже прямой 3(а + в) = 2, максимум при Z = 0 будет эллиптическим, а для всех (а, в) € А выше указанной прямой точка Z = 0 будет гиперболическим седлом. При 3(а + в) = 2 и —1 < а < 13/15 имеем fa,e € Gi, значит, Z = 0 - параболический максимум функции (3). Остается выяснить характер корня Z = 0, когда параметр (а, в) пробегает полуотрезок 3(а + в) = 2, 13/15 < а < 1.
Если исключить концевую точку (а, в) = (1, —1/3) данного полуотрезка, то, кроме Z = 0, корнями уравнения (1) будут точки Z = ±Р— индекса +1. Так как а < 1, то fa,e € Bo, значит, применима формула (11): 2 — m— fa в = 1. Ясно, что m— f в = 1, следовательно, Z = 0 - параболическое седло поверхности h =
= hfa , в (Z)'
В случае (а, в) = (1, —1/3) имеет место тот же результат. Действительно, так как fi,—1/э € Bo, то формула (11) здесь не применима, однако можно использовать ее локализацию из [20]: индекс критической точки Z = 0 при а = 1, в = —1/3 равен алгебраической сумме индексов критических точек в некоторой окрестности нуля при а = 1 и в < —1/3, близких к —1/3. Данная сумма определяется вкладом двух седел Z = ±Р+ , а также одного эллиптического максимума Z = 0 ({fi,e, 0} = = 3(1 + в) < 2 при в < —1/3), и, таким образом, равна 1 — 2 = —1.
ОБ УРАВНЕНИИ ГАХОВА...
39
Пусть а = 1 (ср. с [16]).
Имеем р_ = 1 при в е ( — 1,1] и р+2 = (1 + 3в)/(в(1 — в)). С ростом в седла Z = ±р+ сближаются, а при в = —1/3 сливаются с нулем, который из локального максимума становится седлом и сохраняет это свойство вплоть до в =1. Таким образом, fie (/ д при в е ( — 1, —1/3) и fie е Gs при в е [—1/3,1]. □
2. «Классы уровня» и «линии уровня» на треугольнике Яновского
Пусть t е R+ = [0, +го) и At = {(а, в) е К2 : а + в > 0, а < 1/Ь,в < 1/t}. Для t е R+ и (а, в) е At рассмотрим класс S* [at, вt], который будет классом Яновского, так как отображение At ^ A : (а, в) ^ (at, fit) является взаимно-однозначным. Введем t-аналоги множеств (6):
A0 = {(а, в) е A : 3(а + в) < 2/t}, A) = {(а, в) е A0 : 2в — 3а > —3/t},
A2t = {(а, в) е A0 \ A1 : а < а^(в)},
где at(в) = a(вt)/t, а а = а(в) - функция (7). Простыми рассуждениями из предложения 1 получается следующее
Предложение 4. Пусть t е R+ . Множество A't = A) У A2 является максимальной областью единственности для семейства классов S* [аЬ, в{] , (а, в) е At.
Если, наоборот, фиксировать (а, в) и «двигать» t, то можно предложить более содержательную постановку, связанную с «классами уровня» S* [at, [Щ , 0 < t < 1, класса Яновского S* [а, в] при (а, в) е A .А именно, вычислим величину
К^*[а,в]) = sup{£ е [0,1] : f е S* [at,вt],t е [0,£] ^ kf = 1} =
= sup{£ е [0,1] : t е [0,£] ^ S^t^t] С Gi}. (12)
Величины такого рода, возникающие в проблеме единственности корня уравнения Гахова, изучались в работах [15, 19, 21, 22], и они имеют однолистные прототипы в [23, 24]. Очевидно, если (а, в) е A', то R(s*0, в]) = 1. Основным результатом настоящей статьи является следующая
Теорема 1. Пусть (а, в) е A \ A'. Тогда
R(S*0,[])
2
3(а + в)
а + 17 в
в[7а — в + 4\J (а — в)(3а + в)]
если 3а + 13в > 0,
(13)
если 3а + 13в < 0.
Доказательство. Согласно предложению 1 соотношение (12) можно переписать в форме
R(S* [а, в]) = sup{£ е [0,1] : t е [0,£] ^ (а^) е A'},
а так как множество A' выпукло, то последнее равенство приобретает вид
R^*^, в]) = sup{t е [0,1] : tu е A'} = 1/inf{s > 1 : ш е sA'} (14)
(ср. c [25, с. 147]), где ш = (а, в). Очевидно, выражение, стоящее в знаменателе (14), можно интерпретировать как функционал Минковского р&/ (ш) множества A' в силу того, что ограничение s > 1, вытекающее из определения R(S*[o, в]), заведомо выполняется для ш е A \ A'.
40
А.В. КАЗАНЦЕВ
Для работы с функционалами Минковского воспользуемся материалом § 1 главы V из [26]. Чтобы формально удовлетворить определению 7 и условиям леммы 8 из [26] (с. 445), необходимо, чтобы нуль пространства R2 был C-внутренней точкой множества, опорной функцией которого будет функционал Минковского, совпадающий с р&/ (ш) на Д \ А'. Таким множеством может служить симметризация области А' в соответствии с конструкцией в начале предыдущего раздела: Q' = Д' U L[J (—А'). Тогда из (14) получается равенство
R(S*[a,0}) = 1/pQ, (ш), (15)
где pqi (ш) - функционал Минковского множества Q'.
Для ш € А \ А' через ш обозначим ближайшую к ш точку границы dQ', лежащую на прямой Ьш. Из определения А' и Q' следует, что ш € дА' \ (LU l), где l = {(a, в) € дА' : —1 < a < —1/3}. Очевидно, найдется единственное значение t € [0,1} такое, что 1ш = ш. Далее, так как ш € dQ', то ш - C-граничная точка множества Q' [26] (с. 447). В результате из пп. c), f) леммы 8 [26, с. 445] выводится цепочка равенств
tPQ' (ш)= PQ' (Ьш)= PQ'(ш) = 1 (16)
Обозначая теперь t = Ra,p и преобразуя (15) c помощью (16), окончательно имеем
R(S*[aJj}) = Ra,e. (17)
Из вышеизложенного получаем и способ вычисления t = Ra,p: если для ш € А \ А' точка Ьш попадает на участок границы дА' \ (LU l), задаваемый уравнением F(ш) = 0, то t = t находится среди корней уравнения F(Ьш) = 0.
Часть дА' \ (LU l) границы дА' состоит из двух вещественно аналитических дуг, сцепленных в точке (a, в) = (13/15, —1/5) и определяемых уравнениями 3(a + в) = 2 и a = a(j3) (функция (7)) при 3a + 13в > 0 и 3a + 13в < 0 соответственно. Таким образом, t = Ra,p определяется из условий 3(a + f3)t = 2 при 3a + 13в > 0 и at = a(pt) при 3a + 13в < 0 .С учетом (17) вычисления дают формулу (13), и теорема 1 доказана. □
Из теоремы 1 вытекает условие единственности нулевого корня уравнения Га-хова. Представим его в двух видах. Классическая формулировка такова.
Следствие 1. Пусть (a, в) € А \ А'. Равенство kf = 1 выполняется для всех функций f € «S'* [at, fit] с любым t из неулучшаемого промежутка 0 < t < t = = Ra,e, исключая семейство Ratipt при 3a + 13в < 0.
Чтобы сформулировать версию данного условия в терминах максимальной области единственности, введем множества Q = А х [0,1}, Q' = А' х [0,1}, а также
Q+ = {(a^R) € Q \ Q' :3a + 13в > 0, 0 < t < Rae},
Q- = {(a^R) € Q \ Q' :3a + 13в < 0, 0 < t < Ra,e}.
Следствие 2. Максимальной областью единственности для семейства S* [at, fit], (a, f3,t) € Q, является множество Qmax = Q' U Q+ U Q- •
Отметим, что следствие 2 не охватывает включения S*[at,f3t} \ Aaj,pj С Gi с t = Ra,р при (a, в) € А \ А' и 3a + 13в < 0, которое содержится в следствии 1 (ср. предложения 1 и 2).
Проекциями на А сечений области Qmax плоскостями t = const являются множества Tt = А[р| А, 0 < t < 1, образующие убывающее семейство с То = А, Ti = А'. Исследование динамики Tt дает такую детализацию предложения 4:
ОБ УРАВНЕНИИ ГАХОВА...
41
Следствие 3. Если 0 < t < 1/3, то Tt = А. Если 1/3 <t < 13/15, то множество Tt замкнуто в А и представляет собой трапецию с верхним основанием вдоль прямой 3(а + в)t = 2. При 13/15 < t < 1 трапеция Tt криволинейна; ее верхнее основание состоит из двух участков, разделяемых прямой 3а + 13в = 0: принадлежащего Tt отрезка прямой 3(а + f3)t = 2 и лежащей вне Tt дуги кривой а = at (в).
Приведем еще одну конструкцию семейства подклассов, связанную с классами Яновского и основанную на «линиях уровня» fr (Z) = f (rZ)/r, 0 < r < 1, функций f G H. Для r G [0,1] и (а, в) G А рассмотрим класс Б*[а,в] = {fr : f G Б*[а,в]}. При фиксированном (а, в) G А семейство SZ\a,fj], 0 < r < 1, является возрастающим с <50[а, в] = {f (Z) = Z} и !3*[а,в] = !3*[а,в\. Связь между классами ^.[а,[в] и S* [ot, fit] устанавливает следующее
Предложение 5. Включение 5'Г[а,в] С 51*[ат2, вг'2} справедливо при любом r G [0,1]; противоположное включение неверно.
Следует добавить только, что построение функции h G S* [ап2, вг'2} \ 5'Г[а,в] осуществляется с помощью известной конструкции из [27], с. 145.
Аналогично (12) определим величину
p(S*[o, в]) = sup{£ G [0,1] : r G [0, £] ^ Я*г[а,в] C§i}. (18)
В отличие от (12), величина (18) допускает «потраекторное» описание. А именно, пусть ff = sup{£ G [0,1] : r G [0, £] ^ kfr = 1} - функционал первого выхода из множества Gi вдоль «линий уровня» функции f G Ho [15, 16, 19, 21, 22]. Тогда
p(S* [а, в ]) = inf {ff : f G Я*[а,в]}. (19)
Напомним, что, кроме вычисления величины (19), соответствующая постановка из [16] предполагает эффективное описание множества
E(S* [а, в]) = {f G S* [а, в] : ff = р(S* [а,в])}.
Теорема 2. Пусть (а, в) G А \ А'. Тогда
р(S* [а, в]) = \jR(S* [а, в]) и E(S*[а,в]) = Лаф.
Доказательство. Справедливость утверждения вытекает из теоремы 1, предложения 5 и соотношения (fa,p)r = far2,pr2 для экстремального семейства (8).
В частном случае (при а = 1) теорема 2 доказана в [16]. □
В заключение отметим, что для семейств !3*[а, в], 0 < r < 1, (а, в) G А, справедливы аналоги следствий 1-3.
Summary
A.V. Kazantsev. On the Gakhov Equation in the Janowski Classes with Additional Parameter.
The Janowski class is characterized by a suitable disk in the right half-plane containing values of the functional Zf 'If for all functions of this class. The set of such classes-disks forms a two-dimensional family "filling” Д triangle. In our previous works, the maximum domain Д' С Д of the parameters ensuring the uniqueness property of the (zero) root of the Gakhov equation for each function of the corresponding class was determined. In the present paper, such a domain is found for the families of the Janowski classes over Д x [0,1].
Keywords: Gakhov equation, Gakhov set, Janowski classes, hyperbolic derivative, conformal (inner mapping) radius.
42
А.В. КАЗАНЦЕВ
Литература
1. Peschl E. Uber die Werwendung von Differentialinvarianten bei gewissen Funktionenfamilien und die Ubertragung einer darauf gegrundeten Methode auf partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Tipus // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. - 1963. - V. 336/6. - P. 1-22.
2. Ruscheweyh St., Wirths K.-J. On extreme Bloch functions with prescribed critical points // Math. Z. - 1982. - Bd. 180. - S. 91-106.
3. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 2. - С. 3-11.
4. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. - М.: Наука, 1978. - 432 с.
5. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 86, № 4. -C. 649-652.
6. Аксентьев Л.А, Казанцев А.В., Киселев А.В. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. - 1984. - № 10. - C. 8-18.
7. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В. Новое свойство класса Нехари и его применение // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. - Вып. 25. -С. 33-51.
8. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Киндер М.И., Киселев А.В. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.
9. Kazantsev A. V. On a problem of Polya and Szego // Lobachevskii J. Math. - 2001. -V. 9. - P. 37-46.
10. Аксентьев Л.А., Хохлов Ю.Е., Широкова Е.А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Матем. заметки. - 1978. - Т. 24. - С. 319-333.
11. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Попов Н.И. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций// Изв. вузов. Матем. - 1998. - № 8. - C. 3-13.
12. Жаркова Т.В., Казанцев А.В. О методе подчиненности в проблеме единственности корня уравнения Гахова // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан. матем. о-во, 2013. - Т. 46. - С. 189-190.
13. Киндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казан. гос. ун-т, 1985. -Вып. 22. - С. 104-116.
14. Казанцев А.В. Четыре этюда на тему Ф.Д. Гахова: учеб. пособие. - Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2012. - 64 c.
15. Казанцев А.В. Множество Гахова в пространстве Хорнича при блоховских ограничениях на предшварцианы // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2013. - Т. 155, кн. 2. - С. 65-82.
16. Казанцев А.В. О выходе из множества Гахова, контролируемом условиями подчиненности // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2014. - Т. 156, кн. 1. -С. 31-43.
17. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 628 с.
18. Haegi H.R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrossen // Compo-sitio Math. - 1950. - V. 8, F. 2. - P. 81-111.
ОБ УРАВНЕНИИ ГАХОВА...
43
19. Казанцев А.В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2011. - Т. 153, кн. 1. - С. 180-194.
20. Казанцев А.В. Бифуркации корней уравнения Гахова с левнеровской левой частью // Изв. вузов. Матем. - 1993. - № 6. - С. 69-73.
21. Kazantsev A. V. Parametric families of inner mapping radii // 2nd European Congr. Math., Budapest, July 22-26, 1996, Abstracts. - Budapest: Janos Bolyai Math. Soc., 1996. - P. 30.
22. Казанцев А.В., Попов Н.И. О некоторых задачах, связанных с функционалами изопериметрического типа // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан. матем. о-во, 2002. - Т. 14. - С. 144-157.
23. Lehto O. Univalent functions, Schwarzian derivatives and quasiconformal mappings // Monogr. Ensegn. Math. - 1979. - No 2. - P. 73-84.
24. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. - Казань: Казан. фонд «Математика», 1996. - 216 с.
25. Рид М., Саймон Р. Методы современной математической физики. Т. 1. - М.: Мир, 1977. - 359 с.
26. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 896 с.
27. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. - Т. 1. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 364 с.
Поступила в редакцию 18.04.14
Казанцев Андрей Витальевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: kazandrey0363@rambler.ru
