Об уточнении теоремы Плеснера и о точках Плеснера для произвольных гармонических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация (комбинаторная теория многогранников). М.: Наука, 1981.

5. Hall M. An existence theorem for latin squares // Bull. Amer. Math. Soc. 1945. 51, N 6. 387-388.

6. Калужнин JI.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 04.05.2016

УДК 517.544.72+517.574

ОБ УТОЧНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПЛЕСНЕРА И О ТОЧКАХ ПЛЕСНЕРА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

С. Л. Берберян1

Уточняется известная теорема Плеснера, полученная для произвольных гармонических функций японским математиком С. Ямаситой. Кроме того, на гармонические функции распространяется один результат, полученный профессором В. И. Гавриловым для мероморфных функций.

Ключевые слова: единичный круг, гармонические и голоморфные функции, Р- и Р'-последовательности, точки Плеснера и Фату.

The well-known theorem of Plessner obtained for arbitrary harmonic functions by Japanese mathematician S. Yamashita is refined. In addition, one result obtained by Prof. V. I. Gavrilov for meromorphic functions is extended to harmonic functions.

Key words: unit circle, harmonic and holomorphic functions, the P and P' sequences, Plesner's and Fatou's points.

1. В настоящей статье рассматривается классификация точек единичной окружности Г : \z\ = 1 для гармонических функций, определенных в единичном круге D : \z\ < 1. Будем придерживаться общепринятых обозначений. Через ip) обозначим хорду круга D, оканчивающуюся в точке £ = егв € Г и образующую с радиусом в точке £ угол <р, — | < <р < Пусть Д(£, ipi, if 2) обозначает подобласть круга D, ограниченную хордами h(^,ip 1), /¿(¿¡,(£>2)- Рассмотрим действительнозначную функцию u(z), определенную в D. Для произвольного подмножества S в D, для которого £ € Г является предельной точкой, обозначим через С (и, £, S) предельное множество функции u(z) в точке £ относительно S. Обозначим R = {—oo}UiiU{+oo}, где R = (—оо, +оо). Точку £ € Г относят к множеству F(u), если С(и, £, Д(£, <pi, <р2)) для любого угла Д(£, ipi, ^2) состоит из единственного значения а, и говорят, что u(z) имеет в точке £ угловой предел а. Множество F(u) называют множеством точек Фату для функции u{z). Точку £ € Г относят к множеству 1(и), если С (и, £, Д(£, <pi, ^2)) = R для любого угла Д(£, ipi, (£>2)- Точку £ € Г относят к множеству 1*(и), если С(-и, £, Л,(£, <£>)) = R для любой хорды h(^,<p), где Интерпретируя круг I) как модель плоскости в геометрии

Лобачевского, обозначим через <7(21,22) неевклидово расстояние между точками z\, 22 из круга D:

11 +и

a(zi,z2) = - In--, где и

2 1-й

Z1 - 22

1 - Z\Z2

Тогда йа = \dz\j (1 — |2|2) является элементом неевклидовой метрики относительно круга И. Если обозначить через с1а\ элемент неевклидовой метрики относительно области А(1, —<р,<р), где 0 < <р < то согласно принципу гиперболической меры с1<т\ ^ с!а. Последовательность точек {гп}, гп € п = 1, 2,..., Ит \гп\ = 1, следуя В. И. Гаврилову [1], называют Р-последовательностью,

п—>оо

1 Берберян Самвел Левонович — доктор физ.-мат. наук, и.о. проф. каф. математики и математического моделиро-

вания ф-та прикл. матем. Российско-Армянского (Славянского) ун-та, e-mail: samvel357Qmail.ru.

оо

если для любой подпоследовательности {znk}^= 1 и любого е > 0 в объединении (J D(znk,e) неев-

к=1

клидовых кругов D(znk,e) с неевклидовыми центрами znk и неевклидовыми радиусами е > 0 ме-роморфная функция f(z) принимает каждое комплексное значение, за исключением, быть может, двух. Применительно к гармоническим функциям u(z) последовательность точек {zn}, zn € D, п = 1,2,..., lim Izn\ = 1, называют Р'-последовательностью [21, если для любой бесконечной ПОД-

га—)- оо

последовательности {znk}^= 1 имеет место следующее утверждение: каково бы ни было е > 0, в

оо

объединении (J D(znk,e) неевклидовых кругов D(znk,e) с неевклидовыми радиусами е > 0 гар-к=1

ионическая функция u(z) принимает бесконечно часто каждое конечное действительное значение. Хорду h(£,ip) называют Р-хордой для мероморфной функции f(z) [3], если h(£,ip) содержит некоторую Р-последовательность функции f(z). Аналогично хорду h(£,ip) называют Р'-хордой для гармонической функции u(z) [4]. Точку £ = егв € Г относят к множеству Р(/) [5], если каждая хорда h(£,ip) содержит Р-последовательность мероморфной функции f(z), и к множеству Р'(и) [4], если каждая хорда h(£,ip) содержит Р'-последовательность гармонической функции u(z).

Придерживаясь обозначений из [6], скажем, что действительнозначная функция u(z) £ принадлежит классу М, если на группе Т всех автоморфизмов единичного круга D порождаемое ею семейство функций Ф : {u(S(z))] S(z) € Т} нормально в D в смысле Монтеля, т.е. из любой последовательности {u(Sn(z))} семейства Ф, где Sn(z) € Т, можно извлечь подпоследовательность {и (Snk(z))}, равномерно сходящуюся на любом компакте К в D или равномерно расходящуюся к к — оо или к + оо на К.

2. С. Ямаситой [7] было доказано следующее утверждение.

Теорема А. Для произвольной гармонической функции u(z) ф const, определенной в D, справедливо разложение Г = F(u) U I(v) U Е, где mesЕ = 0.

Сформулируем теорему 1, являющуюся уточнением теоремы А.

Теорема 1. Для произвольной гармонической функции u(z) ф const, определенной в D, справедливо разложение

Г = F(u) U I* (и) UP'(и) (JE, (1)

где mesЕ = 0.

Доказательство. Рассмотрим голоморфную функцию f(z) = u(z) + iv(z), где v(z) — одна из гармонических функций, сопряженных к u(z). Для таких функций В. И. Гавриловым [5] доказано, что имеет место разложение

Г = Р(/)иГ(/)иР(/)и^ь (2)

где mesial = 0. В силу теоремы единственности Привалова и Лузина (см., например, [8]) для мероморфных функций существует такое множество Е2 линейной меры 0, что в каждой точке £ € F(f)\E2 = Es функция f(z) = u(z) + iv(z) имеет различные конечные угловые граничные пределы. Отсюда следует, что во всех точках £ € Es функция u(z) имеет конечные угловые граничные пределы, т.е. если £ € Es, то £ € F(u). Если £ € /*(/), то пересечение П С(/, ф)) по всем

КШ

хордам в точке £ совпадает с комплексной плоскостью Q и в силу непрерывности u(z) предельные множества — замкнутые связные множества для любой хорды h(£,ip), совпадающие

с R. Следовательно, в указанных точках £ € F(v). Если £ € P(f), то на всех хордах суще-

ствуют Р-последовательности функции f(z), а значит, Р'-последовательности для гармонической функции u(z), т.е. в этом случае £ € Р'(и). Рассматривая Е = Е\ U Е2 и принимая во внимание вышеприведенные рассуждения и разложение (2), получим утверждение теоремы 1.

Замечание. Чтобы показать существенность в метрическом смысле множества Р'(и), рассмотрим пример, приведенный Ф. Багемилом в работе [9], где была построена голоморфная в D функция f(z) = u(z) + iv(z), обладающая следующими свойствами:

1) в произвольной точке £ € Г по некоторой хорде предельное множество состоит из единственного значения 0;

2) каждая точка £ € Г является точкой Плеснера для функции f(z).

Отсюда непосредственно следует, что £ ^ Р(и). Тогда из разложения (1) получим, что все точки на Г, кроме, быть может, некоторого множества Е, mesЕ = 0, принадлежат множеству Р'(и).

В силу того что гармонические функции класса М не имеют в I) Р'-последовательностей [2], справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Для гармонической в D функции u(z) из класса М справедливо разложение

Г = F(u) U Г(и) U Е, где mesЕ = 0.

Найдем условия, при которых точки £ € Г не являются точками Плеснера для гармонических функций u(z), определенных в I). Отметим, что аналогичная задача для мероморфных функций, определенных в D, рассматривалась В. И. Гавриловым в работе [10].

Теорема 3. Пусть u(z) — гармоническая функция, определенная в D. Предположим, что в некоторой точке £ € Г можно указать такую хорду h(£,ip), что

1) существует такое значение € R, которое не принадлежит множеству C(u,£,h(£,ip));

2) существует такое постоянное число к, 0 < к < +оо; что в некотором угле Д(£, <р—а, <р+а), где а: > 0 и — | < tp — а < tp + а < выполнено неравенство

ш (1

N->■1 1 + Uz{Z)

z£.A.(£,(p — Oi,(p-\-Oi)

Тогда точка £ € Г не является точкой Плеснера, для функции u{z).

Для доказательства теоремы 3 предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Для любого значения ж 6 Л справедливо неравенство

ехр(ж)/(1 + ехр(2ж)) < Q/{ 1 + ж2),

где Q — некоторое положительное число.

Доказательство. Действительно, легко видеть, пользуясь правилом Лопиталя, что

Ит ехр(ж)/(1 + ехр(2ж)) = Q

ic-s-ioo 1/(1 + X2)

Поэтому для любого числа к > 0 начиная с некоторого значения жо > 0 при |ж| ^ Жо

ехр(ж)/(1 +ехр(2ж)) ^ к/( 1 +ж2).

Так как функция ехр(ж) • (1 + ж2)/(1 + ехр(2ж)) непрерывна на отрезке [—жо,Жо], то в силу второй теоремы Вейерштрасса достигает своей точной верхней грани М, т.е.

ехр(ж) • (1 + ж2)/(1 + ехр(2ж)) ^ М при ж € [—Жо, Жо]•

Рассматривая Q = тах{М,к}, получим справедливость утверждения леммы.

Доказательство теоремы 3. При доказательстве теоремы 3 будем придерживаться схемы, предложенной В. И. Гавриловым в теореме 4 работы [10] для мероморфных функций. Не нарушая общности, можно считать, что точка £ = егв является точкой £ = 1 и хорда ip) является радиусом h( 1,0), а угол Д(1 ,—<р,<р) симметричен относительно h( 1,0). Рассмотрим голоморфную функцию f(z) = exp{u(z) + w(z)}, где v(z) — одна из сопряженных к u(z) гармонических функций. Принимая во внимание утверждение леммы и соотношение |gradu(z)| = |у/(,г)|, где p>(z) = u(z) +iv(z), получим

ш (l-\z\2)- l//(z)l - Tim

г£Д(- 1,-<р,<р) г£Д(- 1,-<р,<р)

- TTFTT ехР(ц(^)) • |gradu(z)| — . _ |gradu(z)|

li™ 1 1 + exp(2u(*)) ^ li™ 1 + u2(z)'

г€Д(-1 ,-<p,<p) zeA(-l,-<p,<p)

Придерживаясь рассуждений, приведенных в работе [10] В.И. Гавриловым, получим, что функции f(z) в области Д(—1 ,—<р,<р) соответствует нормальная голоморфная функция F(£) = exp{-ui(£) + ifi(£)} в круге |£| < 1, где £ = T(z) — комформное отображение области Д(—1 ,—ip,ip) на круг |£| < 1. При этом, согласно оценкам (7) работы [10], радиусу /¿(1,0) будет соответствовать некоторая

кривая L, оканчивающаяся в точке £ = 1 и лежащая в углах Д(1, —ß,ß) для произвольного ß > 0. Тогда, очевидно, что |Р(£)| = exp{-ui(£)} является субгармонической функцией класса М в круге |£| < 1. Предположим, что точка z = 1 является точкой Плеснера для функции u(z). Согласно этим же оценкам (7) работы [10], точка £ = 1 будет точкой Плеснера для гармонической функции соответствующей функции u(z). Тогда в точке £ = 1 предельные множества C(\F\, 1, Д(1, <f\, (£>2)) для любого угла Д(1, t£>i, (£>2) с вершиной в точке £ = 1 совпадают с отрезком [0,+оо]. Поэтому можно выбрать такую последовательность точек {¿¡ni^Lu lim |£га| = 1, что неевклидовы расстояния

ги- оо

ci(Cri) L) точек £га до кривой L стремятся к нулю, когда п —> оо и

lim |F(£ra)| =ехр{а?}, (3)

гц- оо

где ctg — значение, участвующее в условиях теоремы 3. Обозначим через £га точки на кривой L, на которых реализуется расстояние а\(^п,Ь). Тогда

lim dl (in,in) = 0.

п—>оо

Отсюда в силу принципа гиперболической меры следует, что

lim <7 (£„,£„) =0. (4)

п—>оо

Так как значение exp{a:g} не принадлежит C(\F\, 1 , L), то

lim /ехр{а?}. (5)

гц- оо 14/1

Соотношения (3)^(5) противоречат тому, что |Р(£)| из класса М в круге < 1. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы 3.

Следствие. Пусть гармоническая в D функция u(z) ф const и М — некоторое множество на Г; mesM > 0. Предположим, что в каждой точке { € М можно указать такую хорду — t;<lP<t;, чт,о выполняются условия 1 и 2 теоремы 3. Тогда всюду на множестве М, кром,е, быть может, множества Е, mesЕ = 0, существуют конечные угловые пределы. Утверждение следствия непосредственно вытекает из теоремы А и теоремы 3. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного комитета по науке МОП РА в рамках научного проекта № 15Т-1А083 и в рамках тематического финансирования РАУ из средств Минобрнауки РФ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гаврилов В. И. О распределении значений мероморфных в единичном круге функций, не являющихся нормальными // Матем. сб. 1965. 67, № 3. 408-427.

2. Берберян С.Л. О распределении значений гармонических функций в единичном круге // Изв. вузов. Математика. 2011. № 6. 12-19.

3. Гаврилов В.И. Некоторые граничные теоремы единственности для мероморфных функций //Успехи матем. наук. 1965. 20, № 6. 59-63.

4. Берберян С. Л. О некоторых применениях Р'-последовательностей при исследовании граничных свойств произвольных гармонических функций // Изв. вузов. Математика. 2011. № 9. 3-9.

5. Гаврилов В.И. Поведение вдоль хорд мероморфных функций в единичном круге // Докл. АН СССР. 1974. 216, № 1. 21-23.

6. Берберян С.Л. Об ограниченности нормальных гармонических функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 57-61.

7. Yamashita S. On Fatou- and Plessner-type theorems // Proc. Japan. Acad. 1970. 46, N 6. 494-495.

8. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М.: Мир, 1971.

9. Bagemihl F. Chordal limits of holomorphic functions at Plessner points //J. Sei. Hiroshima Univ. Ser. A. Div. 1. 1966. 30, N 2. 109-115.

10. Гаврилов В.И. О граничном поведениии функций, мероморфных в единичном круге // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1965. № 5. 3-10.

Поступила в редакцию 09.11.2016