Конформные отображения круговых областей на конечно-связные области несмирновского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 3-17.

УДК 517.54

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ НА КОНЕЧНО-СВЯЗНЫЕ ОБЛАСТИ НЕСМИРНОВСКОГО ТИПА

Ф.Г. АВХАДИЕВ, П.Л. ШАБАЛИН

Аннотация. Рассматриваются каноническая факторизация и интегральные представления для производных конформных отображений круговых областей на конечно-связные области несмирновского типа. С использованием функций класса Зигмунда получены условия глобальной однолистности. Аналогичные результаты ранее были доказаны рядом авторов лишь для случая односвязных областей.

Ключевые слова: Несмирновская область, условие Зигмунда, условие однолистности, оператор Шварца.

Mathematics Subject Classification: 30C45, 30C55, 30C62, 31A20

1. Введение

Рассмотрим конформные отображения f : D ^ П единичного круга D = {z G C : |z| < 1} на жордановы области П со спрямляемыми границами. Известно ([1] с. 89, 107), что f принадлежит классу Харди Н 1(D) по теореме Рисса и имеет место каноническая факторизация В.И. Смирнова, определяемая формулами: f = еч(f)ext(f )int,

ж ж

1 г 1 + 7Р—в 1 г II 7p-ie

ln(/')exi(z) = - у т-—? In If (е»)И, In(f )in\z) = -j dm, ал)

—ж —ж

где 7 = const G R, ^ — непрерывная невозрастающая функция с производной, почти всюду равной нулю. В 1928 г. В.И. Смирновым [2] впервые был рассмотрен класс областей П, характеризуемых отсутствием сингулярного фактора, т.е. тем, что (f)int(z) = 1. М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев [3] геометрически построили пример области П, для которой (f ')ext(z) = 1, доказав тем самым существование несмирновских областей. Более общий, аналитический подход построения несмирновских областей был предложен Дюреном, Шапиро и Шилдсом [4] в 1966 г. с применением ряда интересных фактов из различных областей теории функций. В частности, они пользуются функциями, удовлетворяющими условию Зигмунда [5] (в + т) — 2и (0) + и (в — т)| = О(т), для характеризации функций v (в) = ^(в) + fQ In If (eit)Idt и условием Альфорса и Вейля [6]

sup (1 - |z I2)2 (f'(z)/f (z))' - (1/2) (f'(z )/f (z))2

zeD

< 2, (1.2)

гарантирующим глобальную однолистность конформного отображения / : И ^ С и квазиконформную продолжимость отображения / на всю плоскость. Развитие результатов [4] с применениями к теории общих и прикладных обратных краевых задач дано в работах авторов [7] и [8].

F.G. AVKHADIEV, P.L. SHABALIN, CONFORMAL MAPPINGS OF CIRCULAR DOMAINS ON FINITELY-CONNECTED NON-SMIRNOV TYPE DOMAINS. © АВХАДИЕВ Ф.Г., ШАБАЛИН П.Л. 2017.

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИ (проект N 14-01-00371-а). Поступила 25 июля 2016 г.

Как отмечает Н.Г. Макаров [9] в 1989 г., вопрос о полной характеризации областей Смирнова остается открытым. Общего критерия нет до сих пор, хотя в этом направлении имеется ряд интересных результатов. Среди них можно выделить решение трудной задачи, полученное П.В. Джонсом и С.К. Смирновым [10] в 1999 году: несмирновость области П не влечет несмирновость ее дополнения П- := С \ П. Отметим, что в [10] существенно используются результаты работ [11] и [12] по локальной характеризации границы области с помощью гармонических мер. Дальнейшее развитие этих результатов можно найти в статье В.Н. Дубинина [13].

Хорошо известны естественные обобщения классов Харди и теоремы факторизации В.И. Смирнова на случай конечно-связных областей. История проблем, оригинальные определения и результаты по факторизации и интегральным представлениям для случая многосвязных областей описаны в статьях Г.Ц. Тумаркина и С.Я. Хавинсона [14], [15], Г.Ц. Тумаркина [16] и Д. Хавинсона [17].

Целью этой работы является обобщение результатов Дюрена, Шапиро и Шилдса [4] на случай конечно-связных областей и распространение наших результатов из [7] и [8] на двусвязные области. Отметим попутно, что переход от односвязных к конечно-связным областям не представляет затруднений, если речь идет о локальных свойствах граничных кривых без явных оценок. Но нас будут интересовать критерии глобальной однолистности по граничным данным, и приходится иметь дело с усложненными интегральными представлениями и связанными с ними оценками. И, кроме того, необходимы подходящие обобщения приведенного выше условия Альфорса-Вейля (1.2) для глобальной однолистности. Для вывода условий однолистности мы будем существенно опираться на методы и результаты работ [18]-[23].

2. Предварительные сведения.

Введем некоторые обозначения и определения. Пусть Оп— круговая (т.е. каждая связная граничная компонента является окружностью) п—связная область с невырожденными граничными компонентами = {х : — | = Кк}, к = 1,п, причем ап = 0, Кп = 1 и окружность тп = {х : |г| = 1} охватывает остальные.

Определение 1 (см. [14]). Класс Харди Н1{Оп) - множество голоморфных в Оп функций д таких, что для заданных д и (к = 1,п) найдется последовательность окружностей С Ип (] = 1, 2,...), удовлетворяющая условиям: ^ и

вир у 1д(х< то. (2.1)

Пусть £ осуществляет однолистное отображение Ип на некоторую область Пп. Предполага-

п

ется, что в Пп функция £ голоморфна и непрерывно продолжима на границу дОп = и ,

к=1

и это отображение продолжается до гомеоморфизма границ. Для случая п > 1 существует два различных определения класса В.И. Смирнова, эквивалентность которых доказана

в [14].

Определение 2 [14]. Область Пп с жордановой спрямляемой границей называется областью класса В.И. Смирнова, если выполнено одно из следующих требований:

a) функция 1п £' представима оператором Шварца от предельных значений 1п £'{(к), (к = ак + Ккегв, к =1,щ _

b) области Ппк принадлежат классу В.И. Смирнова, к = 1

, п, где Ппк односвязная

п

область с границей Г д. = £ ), причем Ппк D Пп, Р| Ппк = Пп.

к=1

Представление (1.1) характеризует лишь то, что /'(г) = 0 и /' е Н1(01), поэтому функция £ может быть неоднолистной в Их = И ив случае ц(в) = 0. Имеются многочисленные исследования, указывающие различные дополнительные ограничения на 1п Ц'(егв)| при ц(в) = 0, гарантирующие однолистность / в Для случая ц(в) = 0 в статьях [4], [7] и [8] устанавливается связь глобальной однолистности £ с принадлежностью и классу Зигмунда Л(К) (т.е. (9 + К) — 2и (в) + и (в — к)| ^ К К) в виде ограничений константы К > 0.

Следуя Г.Ц. Тумаркину [16] и Д. Хавинсону [17], получим удобную для нас формулу, восстанавливающую значения функции д = /' класса Нх(Пп) по известному с точностью до множества меры нуль модулю граничных значений Ф к(в) = 1д(Ск($))|, (к(6) = + Якегв, к = 1,п. Отметим, что доказательство структурной формулы класса Нх в односвязном случае п =1 предложено В.И. Смирновым и связано с построением наилучшей аналитической мажоранты некоторого семейства аналитических функций. Этот результат по построению мажорант обобщен Г.Ц. Тумаркиным [16]. Опишем вкратце основной результат. Пусть Н — семейство функций д, аналитических в конечно-связной области Пп, Пп— последовательность областей, сходящаяся при ] ^ то к П, и такая, что

[ 8пр1п+ 1д(х)190' ^ го) ¿8 ^ С < то, з = 1, 2,.... (2.2)

] ден ап

г

Здесь Г — граница области ППп, Су(г, г0) — функция Грина области ППп с полюсом в точке г0 Е ПП, 3 = 1, 2,.... Обозначим через и наилучшую гармоническую мажоранту субгармонической функции вир 1п Пусть V — сопряженная гармоническая функция. Тогда, ес-ден

ли д(г) = ехр[и(х) + т(г)} будет однозначной в Пп, она и будет наилучшей аналитической мажорантой семейства Н. Если же построенная функция д окажется неоднозначной, то наилучшей аналитической мажоранты не существует. Обратимся с этих позиций к классу Н1(Оп). Условие (2.1) обеспечивает выполнение неравенства (2.2). Следовательно, существует наилучшая гармоническая мажоранта и, однако при этом построенная функция д может оказаться неоднозначной. Рассмотрим неотрицательные функции Фх, Ф2,... , Фп, удовлетворяющие условиям

Фк е Ь1[—ж,ж}, 1пФк е Ь1 [—ж,ж],

ж

V — Фу (в)Р3(гк, г,(в))(Ш = А, к = 1/п, А = сопзг, (2.3)

^ -ж

где Ру(г,гу) = И,еБу(г,гу), [Бу(г,гу)}п=1— ядро Шварца для круговой области Оп, предложенное В.А. Зморовичем (см., например, [17]). Через Ф(Оп) обозначим подкласс Н1(Оп) функций д с однозначным логарифмом, таких что почти всюду на 7 выполняется неравенство 1дк(гк(#))| ^ Фк(в), к = 1,п. Наилучшей гармонической мажорантой для

вир [1п 1д(г)|} будет деФ(-Оп)

ж

и(г)=У I Фк(0)Рк(г,гк(в))йв — А, г е

1

= ^ 2^] Фк (9)Рк (*, ^ (е))М — ^

В силу соотношения (2.3) будет однозначной в Ип аналитическая функция д, определяемая равенством

п ж

~д(г) = вхр^£ ^ Фк(в)вк(г,гк(в))сШ — А^. (2.4)

к=х —ж

Однозначным является и ее логарифм 1пд((). Пусть теперь д Е Н1(Пп). Известно, что почти всюду на 7к существуют угловые граничные значения Фк(Р) = \дк(%к($))\, причем Ф к и 1п Ф к — суммируемые функции. Для приведения аналитической функции 1п д к однозначному виду рассмотрим функцию, определяемую равенством

п

в(* ) = № Ш-ак. к=1

Здесь Ок конформно (но неоднолистно) отображает Ип на область дк < < 1, причем окружности \т\ = дк соответствует взаимно-однозначно окружность 7к. Как доказано в работе [15], имеется единственная возможность такого выбора чисел 8, а.к, что 1п Р, Р(г) = д(г)О(г), будет однозначной аналитической функцией. Функция Р обладает почти везде на 7к угловыми граничными значениями \Р(хк($))| = \zк($)\-гФ к(@)о-ак, удовлетворяющими условиям (2.3). Следовательно, Р можно представить в виде Р(г) = ег13д(г)а(г), где д — функция максимального модуля (2.4), голоморфная в Ип функция 1п а принадлежит классу Каратеодори и, следовательно, может быть представлена формулой

п ж ж

а(г) = ехр|^ -- / &(0)^(в) - В^, В = ^ ^ [ Р3(^(в)^(9), (2.5)

^ 2ж

-ж з=к

к = 1,п, Uj (в) — невозрастающая сингулярная функция. Итак, справедливо утверждение: каждую функцию д = ¡' класса Н1(Рп) можно представить в виде

д(г) = е* г6 в-1(г)~д(г)а(г)) (2.6)

где а — голоморфная в Рп функция вида (2.5), д — функция с представлением (2.4), максимальная для набора \хк(0)\-гФк(9)я-ак, к = 1,п, О-1(г) выделяет неоднозначную часть 1п д(г).

3. Условия однолистности для отображения кольца

Пусть функция f голоморфна в кольце Р2 = Е(д, 1) = [г Е С : д < \г\ < 1} и непрерывно продолжима на окружность \ = д Е (0,1). Предположим, что /' € Н1(Е(д, 1)), /'(г) = 0 для любой точки г Е Е(д, 1). Тогда для любой точки г Е Е(д, 1)

ж ж

! (г) = I ехр{ -1 ! Р (в)Бд (дг-1егв )йв + ^ / ^ (ге-гв^(в) - А) ¿г. (3.1)

Здесь вд — ядро Вилля, т.е.

Яд (г) = —~ +

1 + х ^ 1 + д2и х 1 + д2"г-

дК ' 1 - г ^ 1 - д2"г 1 - д2"г-1'

и=1

-1 [ Р(0)(№ = -1 [ = А = сопзг, 2ж I 2ж I

где ^ — невозрастающая сингулярная функция с производной, почти всюду равной нулю, а Р — непрерывная 2-^-периодическая функция, сингулярная функция ^ продолжена на всю числовую прямую равенством: ^(9 + 2ж) = ^(в) - 2пР, Ув Е К, где

/3 = -(2п)-1С <¡»(6) > 0.

Пусть а Е (0,1), К — положительная постоянная. Рассмотрим следующие три класса вещественнозначных функций:

считаем, что выполняется соотношение

ж

ж

a) \(К) — класс всех 2-^-периодических функций Р, удовлетворяющих условию Липшица |Р(в + К) — Р(0)| ^ К, где в, к Е К;

b) Л1+а(К) — класс всех 2-^-периодических функций Р, удовлетворяющих условию Зигмунда порядка 1 + а Е (1, 2):

|Р(в + К) — 2Р(в) + Р(в — К)| ^Кк1+а Ув, К е К;

c) Л(К) — класс всех сингулярных функций ^, удовлетворяющих условию Зигмунда порядка 1 :

1ц(в + К) — 2ц(в)+1л(в — К)| ^Кк Ув,к е К.

Получим условия на положительные числа д,Р и К, гарантирующие однолистность отображения (3.1). Нам потребуются неравенства

+

К

ц р

(1 — а)2

+ к

1 +

4 д р

(1 — Я)2 1 — Я (3 — д2) ((ж

ж

- ) 2 д + (1 + 2д)В(а)

< 1,

(1 — )2

((2)% + В(а) ^6+1—1)

17, 3 д\ 1 + 1,8д

1 — 2 1 — 2

< 1,

(3.2)

(3.3)

где

В( а) =

1 + а С

Ж } 8!П1 0

Теорема 3.1. Пусть а, д— числа, лежащие в интервале (0,1). Пусть, далее, f — голоморфная функция, определенная в кольце Е(д, 1) интегральным представлением (3.1), в котором Р е Л1+а(К) и ^ е Л(К) для некоторого К > 0. Функция f будет осуществлять однолистное конформное отображение Е(д, 1), если числа К > 0 и дР > 0 достаточно малы, а именно, удовлетворяют неравенствам (3.2) и (3.3).

Для доказательства основного результата этого раздела нам понадобится ряд вспомогательных оценок. Пусть

ж ж

91(*) = 7^1 Р(0)Яд(дг-1егв)й6, 92(г) = ^ I вд(хе—гв^(в), г е Е(д, 1).

—ж —ж

Лемма 3.1. Пусть г = гег1р е Е(д, 1). Если Р е Х(К), то справедливо неравенство

д

Ке 1(Г^

^ К,

если Р е Л1+а(К), то

д

1т —- о1(г ег1р)

<

К (3 — д2) 1 — д2

/ж\а 1

(з) Ч + В (а) , В (а)

1 + а Г Г

Ж 7 81П1 0

Доказательство. Полагая Бд (гегЬ) = Рд (г, Ь) + г(д (г, Ь),

рд(г,г) = р(г,г) + Р0(г,г), р(г,г)

1

2

1 + г2 — 2г сов Ь' д э

р0(Г , ^ = (*23 г,г) — р (*23/г, *)},

3 = 1

для гармонической в Е(д, 1) функции щ Яед1^), г = гег1р, получим представление

д

1

д

— Яе 91(г) = — Р(<р + 1)-Рд(д/г, 1)<И

а

2

ж

ж

ж

в котором обозначено Ь = 9 - ф. Заменяя Ь на -, с учетом нечетности функции -§^Рд(д/г, Ь) получим

ж

д 1С д

— Ив 91^) = -^] Р(ф - I) д^Рд(я/г,

- ж

следовательно,

д

д

— Яе 91(г) = -[Р(ф + 1) - Р(ф - I)]-Рд(д/г, 1)<И.

Оценивая под знаком интеграла по модулю с учетом неравенства ^Рд(т, Ь) < 0 (см.[24]),

получим

- Яе ^

К Г

*

о

д

^Рд(я/г, I)

К Г

М = -К Рд(д/г, п) + — Рд(д/г,

Для доказательства первого утверждения леммы осталось заметить, что

ж

У Рд(р, Ь)(й = ж, д < р < 1. о

Пусть теперь Р Е А1+а(К). Легко проверяется равенство

д

1

д

— 1т91(г) = -^ Р(в)-Яд(д/г,в - ф)М

где Яд(р, 1) = Я(р, 1) + Я°(р, I),

Я(р, ^

2р вт^

1 + р2 - 2р оовР

, Яд (Р, ^ = ^Я(д2"р, 1) + Я(д2"/р, I).

и=1

Используя четность функции §^Яд(д/г, Ь) и равенство

ж

д т

—Яд(р, г)сИ = 0, д < р < 1,

формулу для 1тд-\_(г) преобразуем к виду

д

1

д

— 1т91(г) = -[Р(ф + 1) - 2Р(ф) + Р(ф - I)]-Яд(д/г, 1)<И.

Отсюда получаем неравенство

к .

*

1+ а

д

^Яд(Ч/Ъ V

которое представим следующим образом

Ь 1т

К

* [^/г,а) + ^(1/r,a)],

(3.4)

Ь(р,а) = I е+а дя(р, М, ь(р,а) = I е+а дяд(р,

д

тЯду

сИ,

ж

ж

ж

ж

ж

ж

ж

д , (l + p2)2pcost — 4р2

dtQq

Q°q(Q/Г, t) = £

v=1

д д

-Q(q2»r, t) + -Q(q2»/г, t)

Формулу для , а) перепишем в виде

т ж

С д С д

Ь(р,а) = ] 11+а-Я(р, — ! 11+а-Я(р, г)сН,

0 т

где т = агсвт(1 — р2)/(1 + р2). После интегрирования по частям получим

ж т

11(р, а) = 2т1+а(((р, т) + (1 + а) [ 1а(((р, — (1 + а) [ 1а(((р,

(3.5)

В силу равенства Q(p, т) = 2р/(1 — р2) будем иметь

п1+а(1_ р2)а г

^(р,а) С 2р2*(1(+P2pil + (1 + а)] taQ(P,t)dt.

(3.6)

Полагая в (3.6) р = q/r и оценивая правую часть с учетом неравенства Q(p, t) < 2р/ sin t, получим

г /ж\а i

h(q/г,а) < 2тг (-) q + B(a) . (3.7)

Для оценки I2(q/г,а) отметим, что ряд (3.5) сходится абсолютно и равномерно, поэтому можем записать неравенство

ж

те „

h(q/г, а) < W tl+C

V=l i

д

д-Qf г, t)

ж

те „ dt + ^ tl+a v=l i

q =l q из которого с использованием (3.6) получим оценку

ж1+а ^ 2, (1 — q4u+2)C -1+а " q (

v=l

frQü2vЛ, t)

dt,

г?— (1 — ^)*

2» ^^ (1 + q4 v+2 )l+» 1 2C

h(4/Г, а) < í— £ Ч2-,l+J+e + Ч2-1

E'

v=l

+

(1 + q4u )l+C

+ (1 + а) ¿ / taQ(q2vr,t)dt +(1 + а) ¿ / taQ(q2v/r,t)dt.

v=l

v=l

Отсюда выводим соотношение

TÍI \ 4nq h(q/г,а) <

2) +B (а)

Подставляя последнее неравенство и неравенство (3.7), в (3.4), получим второе утверждение леммы 3.1.

Лемма 3.2. Пусть г = ге%{р е Е(д, 1). Если ^ е Л(К), то справедливо неравенство

д

Re -g2(те")

С К

0, 4(1 +г)+ 2,1 q/(1 — q) 1

ж

ж

Доказательство. От обеих частей равенства

1 Г д

Яе92(г) = - — М-Рд(г,9 - <р)М, г = гег*.

возьмем производную по ф, получим

ж

д 1 2

— Ие92(г) = -1 р(9)— Рд(г,0 - ф)М, г = гег*.

- ж

С использованием четности функции -§д2Рд (т,9 - ф) последнюю формулу представим в виде

ж

д 1 д2 — Ие 92(г) = ^ [р(<р + 1) - 2р(ф)+р(ф - I)] — Рд (г, 1)сИ, г = гег^.

о

В силу принадлежности функции р классу А(К) получаем неравенство

д

дф ^^

к г

* — г

о

д2 (г - е>

(И.

С использованием разложения тг-2Рд(г, Ь) = Т^Р(т, Ь) + ]^2Рд0(т, Ь) запишем

дф ^^

где

д2

* 11(г) + 12(г), г = гег 1р,

ж

д2

К Г

ш = — г

дГ2 Р«(Г, ^

Следуя работе [7], мы получаем неравенства

т , , 0,4К(1 + г) 2,1К Ь(г) * ' --, Ь(г) * г-

1

1

Учитывая формулу

д2. дР

Р0(г, <) = Е

=1

д д

(3.8)

в которой ряды мажорируются геометрической прогрессией с общим членом 12д2*-1 /(1 - д)3 и, следовательно, сходятся абсолютно и равномерно для * * 1, получим следующее неравенство для 2( ):

ш * I (£/'

д2

(г ^ *)

о

д2

Ж.Р(я2/г, V

сИ I .

Привлекая второе неравенство (3.8), запишем

Ь(г) * 2, 1К

X / =1

2

1 - 2 1 - 2 /

Я2/г \ Я* 2, 1Кд

+ _ 4 ф , * 2,1КУ—1—< ' 4

1 -д* (1 - д)2'

Отсюда и из первого неравенства (3.8) получаем утверждение леммы.

ж

ж

ж

ж

Лемма 3.3. Пусть функция Р голоморфна в кольце Е(д, 1), непрерывно продолжима на граничную окружность | | = и имеет на окружности | | = вещественную часть, равную нулю. Если внутри кольца Е(д, 1) справедливо неравенство | И,еР(гег1р)1 ^ Л1—г) с постоянной С, то

\F(г)| С ^х20^1,8?) + maxl ImF(qe^)l (1 — r)(1 — q2) ч>£\-ж,ж]

Доказательство. Пусть р — некоторое число, удовлетворяющее условию q < р < 1, q = q/р. Функция F голоморфна в кольце Е(q, р) С Е(q, 1) и непрерывно продолжима на граничную окружность \£\ = р. Оценим вначале модуль производной функции F, которую запишем в виде

F= í ReF(регв)

d

dz

-f S (р-^е-гв) + -^Sq^ze-9) dz 4

d0.

Поскольку

±S(j>-lz е-' 9)

dz

2 р

р2 — 2

P (г/р,в — v),

^(r-he-'9) С £

ú=l

2рд22 P(rq^/р, 0 — v)+ 2 2рq2l~4,P(рй23/г, в — v)

р2 — r2q4i

r2 — р2с[4

то, оценивая в представлении для F ( ) по модулю, получим

\F'(z)\ С

С

1—

2 р

те 2р^ 2р^

+ + рЧ

р2 — г2 р2 — r2q4i г2 — р2q4i

Учитывая неравенства

те

2рс12

0 те

2 2

р2 _ r2q4j р2 _ r2 =l =l

(р2 — г2)(р2 — q2)

те

2 р q2j

С

2

г2 _ р2ц4з г2(1 — а2) =l =l

2 С

2 2

г2( р2 — г2)( р2 — q2)

получим следующую оценку на \F'(z)\ :

\F'(z)\ С

2 С

(1 — р)(р2 — г2)

1+

+

2 — 2 2( 2 — 2)

Выбрав в этом неравенстве р = (1 + \/—г) / (1 + V-), получим

\F'(z)\ С

8, 2С

1+

+

1 — 2 2(1 — 2)

Интегрируя последнее неравенство по радиусу, получим утверждение леммы.

ж

2

2

2

2

Доказательство теоремы 3.1. Рассмотрим отображение кольца Е(д, 1) функцией (3.1). Будем считать, что Р Е А1+а(К). Необходимым и достаточным условием выпуклости кривой Гд - образа окружности тд = [(, ( = д егв, -ж * в *ж} при отображении функцией является неравенство

Иш Иег1,. . .

> -1, (Е Ъ.

Из формулы (3.1) получим

?'(г) д д

г*1Тгг{ = д91& + .г92(г), г = тегр. ( ) ф д ф

Отсюда следует представление

СП

Р'(0 д д

= дФ31«) + дТ32(0, < = Яегр. ( ) д ф 1 д ф 2

Для выполнения условия (3.9) достаточно потребовать неравенства

< 1.

1т дф91(^ +1т дф92(0

Для функции

дф 12(о

1 д

= 2^] дфЯд(^г(1р-е))^(в), С = я^

(3.9)

(3.10)

приняв во внимание неравенство §:Яд(я^) < 4д/(1 - д)2, получим

дф »а

*

4 д

1

Для функции Трр91(() по лемме 1 с учетом неравенства (3.6) имеем

1т -Ф д1(^

*

К

1 - 2

(!)

2 ) 2д+(1 + 2д)В(о)

Следовательно, неравенство (3.10) будет выполнено в силу условия (3.2) Из формулы (3.1) получим неравенство

Г(г)

№

<

дф91(г)

+

дф9 2(г)

г = г егр ЕЕ (д, 1).

Привлекая полученные выше оценки, запишем неравенство

Г (*)

( )

<-4я£- + к

(1 - я)2 +

1+

(3 - я2) ((^

(1 - )2 2

((Е )% + т) + ф 6 + 1-1)

17, 3д\ 1 + 1, 8д

1 - 2 1 - 2

из которого и условия (3.3) следует справедливость неравенства \г/ "(г)/f'(г)\ < (1-\г\2)-1 для любой точки г Е Е(д, 1).

Для завершения доказательства теоремы 3.1 для голоморфной в кольце Е(д, 1) функции установим одно достаточное условие однолистности методом продолжения, изложенным в [18]. А именно, докажем следующее

ж

ж

а

Утверждение. Пусть / голоморфна в Е(д, 1), гармоническая функция И,е (г)//'(г)] непрерывно продолжима на внутреннюю границу \г\ = д. Если

\г¡"(г)/¡'(г)\ < 1/(1 — \г\2), геЕ(д, 1),

(3.11)

Ке [1 + С АО/ / '(ОИ = Яе [1 + С ПО/ПО] > 0, ( = дегв,

(3.12)

то функция f будет однолистной в Е(д, 1).

Доказательство. В силу условия (3.12) образом окружности := = д}, при отображении функцией / будет замкнутая выпуклая кривая Гд, однократно обходимая против часовой стрелки, когда в изменяется от —ж до ж. Возьмем какой-либо гомеоморфизм д круга Ед := {г : \г\ ^ д} на замкнутую ограниченную область с границей Гд удовлетворяющую условию склейки ¡(дегв) = д(дегв). Пусть с1 - некоторое число д < с1 < 1. Определим отображение всей плоскости следующим образом

Г 9(0, ¡(0,

¡(0 =

С е Ед, СеЕ (д, ¿),

' + (с — (еЕ(,/-

/(дег»)+(1 — Г(дег»), (еЕ-^д

<' ч

{С : \С\ > ¿2/д}.

Функция £ является локально однолистной во всей комплексной плоскости. Действительно, в Ед функция /(() = д(() однолистна по построению. При £ е Е(д, й) неравенство

\/'(С)\ > 0 следует из (3.11). В кольце Е^,, условием локальной однолистности функции / является неравенство I = \\2 — \\2 > 0. Запишем явное выражение для якобиана отображения / в кольце Е(с1, у

1= \/ '(¿2/( )\2

1

Л (Р\ ¿2

— 1 Г2

Г(<12/()

№2/С)

из которого ясно, что положительная ориентация отображения есть следствие условия (3.11). Если же £ е Е-2/д, то условие локальной однолистности в этой точке равносильно неравенству

! + ^ +

Пя*) ■ > 0 №) = 0- Т = \^> 7,

вытекающему из условия (3.12).

Поскольку отображение переводит любую последовательность точек, сходящуюся к бесконечности, в аналогичную, по теореме Адамара (см, например, [18], [21]) из локальной однолистности £ следует однолистность во всей плоскости. Следовательно, £ будет однолистной в кольце Е( , 1).

Таким образом, теорема 3.1 доказана.

ж

2

2

4. Условия однолистности отображений конЕчно-связных областей

Пусть / осуществляет однолистное конформное отображение Ип на некоторую область ^п; ^пк - односвязная область, введенная в определении 2Ь). Аналогично введем области Опк. Очевидно, это круг или внешность круга с границей 7к. Возьмем концентрическую с 7к окружность 7к, 7'к = {£ : К — ак | = Кк}, и через В'пк обозначим круговое кольцо с границей 7к и 7к.

Лемма 4.1. Справедливо представление ¡(() = (¡котк)((), ( Е В'пк, где ¡к — любое из однолистных конформных отображений Бпк на 0>пк, а — гомеоморфизм Бпк на себя, конформный в В'пк.

Доказательство. Продолжим отображение £ кольца Е[пк на двусвязную область 0,'пк до гомеоморфизма £ области Ипк на 0,пк. Это можно сделать, например, следующим образом. Возьмем некоторую функцию фк, осуществляющую однолистное конформное отображение Ипк\0'пк на область 0,пк\^пк. Тогда в качестве / можно взять функцию, определяемую равенствами

НО- I1 (0) (еЕпк,

\ <р(ак + гегг), т = &щ{(р-1[/(ак + К'кегв)] — ак}, ( = ак + гегв Е Епк \ Е'пк.

Функция f осуществляет гомеоморфное, следовательно, внутреннее в смысле Стоилова отображение Dnk на Qnk. По теореме Стоилова, f(() — (F о wk)((), где wk — гомеоморфизм Dnk на себя, функция F является аналитической в Dnk. Поскольку F(wk) — (f о ()(wk), то F однолистна в D'nk, т.е. F(z) — fk(z). Конформность Wk в D'nk сразу следует из равенства

Wk(() — (f- о f)(0, с eD'nk.

Лемма доказана.

Для дальнейшего нам удобно выделить узкое кольцо D^, лежащее в кольце D[nk. Именно, пусть fk — : — ak| — R'k}, лежит в Dnk Тогда полагаем, что D^ — кольцо с границей 7kU7fc. Учитывая аналитичность Wk на 7k, по принципу симметрии Римана-Шварца получаем, что Wk является однолистной аналитической функцией в замкнутой области Dnk. Поэтому производные любого порядка от Wk (С) непрерывны и равномерно ограничены в Dnk. И, кроме того, существуют такие положительные постоянные Cj, что в D n k справедливы оценки

C ^ I lnWk«)| < C2, C3 < (Rk —К — akl)/(Rk — iWk — ak|) ^ C4. (4.1)

С помощью леммы предложим простое доказательство эквивалентности определений 2a) и 2b). Действительно, имеем:

Inf (О — In fk (Wk (()) + lnWk ((), С E Dnk.

Пусть — замкнутые спрямляемые кривые из D"nk, сходящиеся к 7k при m ^ <х>. Тогда кривые 7^ — {z : z — Wk(Q, ( E с,} обладают аналогичными свойствами. В силу неравенств (4.1) получаем:

У I ln f(()d(I ^Мг j I In fk(z)dzI + M2, к — l~n, (4.2)

iZU

J I In fk(z)dzI ^M3J I lnf(()d(I + M4, к—1,(4.3) где Mi ,1 — 1, 4— положительные постоянные.

Предположим, что Qn = f(En) принадлежит классу В.И. Смирнова и ln предста-

вим по формуле Грина. Тогда согласно [14] функция Inf принадлежит классу Hl(Dn). На основании определения класса Hl и неравенства (4.3) заключаем, что ln f'k Е Hl(Dnk). Следовательно, Qnk есть область класса В.И. Смирнова.

В обратную сторону утверждение доказывается аналогично, только вместо неравенства (4.3) нужно использовать (4.2).

На основании леммы 4.1 легко оценить порядок роста по г = К — ak I, Rk — £ ^ f ^ Rk вблизи границы ffk многих функционалов для однолистных в Dn функций, если подобные оценки известны для функций, однолистных в круге или внешности круга. Именно этим мы воспользуемся для доказательства следующего утверждения.

Лемма 4.2. Если f голоморфна и однолистна в Dn, то

sup

zeDn

(

f(0

f(z)

k=l

П ( Rk —Iz — ak=м(f) < ж.

Доказательство. Если однолистна в Ипк, то на основании известных результатов (см., например, [19], [23]) можно записать

sup

zeEnk

(

П (О

k( )

(Rk —Iz — ak I)

)

^ Mi < ж.

(4.4)

Из леммы 4.1 следует, что

f"(0 = f'kW(Ob (n, wk(0 r D,

m fk(wk(0) k+ <(о, nk.

Отсюда, с использованием (4.1), (4.4) и неравенства С5 ^ Iwk(()/wk(Ol < С6, получаем соотношение

sup

по

по

(Rk — K — ak I)

)

^ M2 < ж,

из которого, очевидно, следует утверждение леммы.

Рассмотрим теперь область не принадлежащую классу В.И. Смирнова и ограниченную жордановыми спрямляемыми кривыми. На основании теоремы Ф. Рисса /' Е Н\(Пп), поэтому мы можем воспользоваться параметрическим представлением (2.6). Очевидно, справедлива следующая структурная формула для функции, отображающей некоторую каноническую область Ип на Пп:

f(z)= I zde-l(z)e4J— I Sk(z, zk(Wvk(в) — a}dz, Zk Е fk,

^ k=l

1

(4.5)

ж

а = ^ ¿/^(гк,ъ(в))^1(в), к =1,п.

-ж

Здесь ь>к — функция ограниченной вариации, в разложении которой присутствует нетривиальная сингулярная составляющая ^к (Р), к = 1,п. Пусть однолистная область 0,п ограничена жордановыми спрямляемыми кривыми Г к, к = 1,п. Нас будет интересовать вопрос, какие ограничения налагают последние требования на отображающую функцию (4.5).

Теорема 4.1. Если функция (4-5) однолистно и конформно отображает Оп на 0>п, то существует такая постоянная К > 0, что ик Е Л(К) для любого к = 1, 2, ...,п.

ж

Доказательство. Представим выражение (4.5) в кольце И'пк в виде (см. [17]):

ж

Ы/'(г) = 8Ыг — Ыв(г) + ± [ г + "к — 2ак(в) + фкФ), гЕ^, (4.6)

2и 3 X — Хк

—ж

где фк — функция, голоморфная в области Ик = Р| Ищ и, следовательно, голоморфная

3=к

в кольце Ипк. Пусть

ж

qk(z) = Ц uk(d)Z + Zk - 2akde In J z - Zk

—ж

— функция, голоморфная в Dnk. Тогда на окружности 7k выполняется равенство Reqk(zk(в)) = uk(в). Из (4.6) имеем

i(z - ak) qk (z) = lnf(z) - 8lnz + lnO(z) - <^k (z), z E D'nk. Отсюда, с применением леммы 4.2 находим, что

sup |( Rk -lz- akl) — [(z - ak)qk(z)]| ^ M < <x>. dz

Отобразим единичный круг D = {( : |(| < 1} на область Dnk функцией zk(() = ak + Rk/(, рассмотрим голоморфную в единичном круге функцию, определенную равенством Qk(() := qk[zk(()], и функцию Qk, определенную равенством Qk(в) = Qk(егв). Легко заметить, что

d d

sup |(1 -Id2) - [CQ'k (C)]| = sup l(Rk -lz-ak |) -J- [(z -ak) qk (z)]| ^M< ж. CeD aC, zeD> dz

к

Отсюда следует ([5], с.419), что С}к Е Л(К) с вполне определенной постоянной К > 0, зависящей лишь от М. Установив связь между граничными значениями Qk(() и qк(г), убеждаемся в справедливости теоремы.

Отметим, что эта теорема распространяется на случай многосвязных областей известный результат Дюрена, Шапиро и Шилдса [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. изд. 2, М;—Л., Гостехиздат, 1950. 336 с.

2. Смирнов В.И. Sur la théorie des polynômes orthogonaux à la variable complex // Журнал Ле-нингр. физ.-матем. об-ва. 1928. Т.2. С. 155-179.

3. M.V. Keldys, M.A. Lavrentiev Sur la repréntation conforme des domaines limités par des courbes rectifiables // Ann. Ecole Norm. (3). 1937. V. 54. P. 1-38.

4. P.L. Duren, M.S. Shapiro, A.L. Shields Singular measures and domains not of Smirnov type // Duke Math. J. 1966. V. 33. № 2. P. 247-254.

5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир. Т.1. 1965. 615 с.

6. L.V. Ahlfors, G. Weill A uniqueness theorem for Beltrami equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1962. V. 13. P. 247-254.

7. Шабалин П.Л. Об однолистности общего решения внутренней обратной краевой задачи // Изв. вузов, Математика. 1975. № 12. С. 92-95.

8. Авхадиев Ф.Г. Оценки в классе Зигмунда и их применение к краевым задачам // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. № 6. С. 1289-1292.

9. Макаров Н.Г. О размере множества особых точек на границе несмирновской области // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1989. Т. 170. С. 176-183.

10. P.W. Jones, S.K. Smirnov, V.I. On Smirnov domains // Ann. Acad. Sci. Fennicae Mathem. 1999. V. 24. P. 105-108.

11. C. Bishop, L. Carleson, J. Garnett Jones P. Harmonic measures supported on curves // Pacific J. Math. 1989. V. 138. P. 233-236.

12. S. Rohde On conformal welding and quasicircles // Michigan Math. J. 1991. V. 38. P. 111-116.

13. Дубинин В.Н. Неравенства для гармонических мер относительно неналегающих областей // Изв АН СССР, сер. матем. 2015. Т. 79, № 5. С. 47-64.

14. Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. Аналитические функции в многосвязных областях класса В.И.Смирнова (класса S) // Изв АН СССР, сер. матем. 1958. Т. 22, № 3. С. 379-385.

15. Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. О существовании в многосвязных областях однозначных аналитических функций с заданным модулем граничных значений // Изв АН СССР, сер. матем. 1958. Т.22, № 4. С. 543-562.

16. Тумаркин Г.Ц. Условия существования аналитической мажоранты семейства аналитических функций // Изв АН Арм.ССР, сер. матем. 1964. Т.17, № 6. С. 3-25.

17. D. Khavinson Factorization theorems for different classes of analytic functions in multiply connected domains // Pacific J. Math. 1983. V. 108. №. 2 P. 295-318.

18. Авхадиев Ф.Г. Достаточные условия однолистности квазиконформных отображений // Матем.заметки 1975. Т. 18, № 6. С. 793-802.

19. B.G. Osgood Some properties of f"/f and the Poincare metric // Indiana Univ. Math. J. 1982. V. 31. № 4. P. 449-461.

20. J. Becker, Ch. Pommerenke Schlichtheitskriterien und Jordangebiete //J. Reine Angew. Math. 1984. V. 354. P. 74-94.

21. Авхадиев Ф.Г. Об инъективности в области открытых изолированных отображений с заданными граничными свойствами // Докл. АН СССР. 1987. Т. 292. № 4. С. 78-783.

22. Авхадиев, Ф.Г. Допустимые функционалы в условиях однолистности для дифференцируемых отображений n-мерных областей // Изв. вузов. Матем. 1989. № 4. С. 3-12.

23. F.G. Avkhadiev, K.J. Wirths Schwarz-Pick type inequalities. Basel-Boston-Berlin, Birkhauser Verlag. 2009. 156 p.

24. Голузин Г.М. О параметрическом представлении функций, однолистных в кольце // Мат. сб. 1951. Т. 29 (71). № 2. С.469-476.

Фарит Габидинович Авхадиев,

Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 18, 420008, г. Казань, Россия E-mail: [email protected]

Павел Леонидович Шабалин,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет,

ул. Зеленая, 1,

420043, г. Казань, Россия

E-mail: [email protected]