Специальное представление второго рода для обобщенных аналитических функций класса Смирнова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.234 + 517.548.3

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВТОРОГО РОДА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КЛАССА СМИРНОВА

© 2012 г. С.Б. Климентов

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, backoffice@smath.ru

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Centre RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, backoffice@smath.ru

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Развивается аппарат для изучения краевой задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций класса Смирнова в односвязной области, граница которой либо кривая Радона без точек заострения, либо кривая Ляпунова. Коэффициент краевого условия предполагается либо непрерывным с возмущением измеримой ограниченной функцией, либо непрерывным с возмущением функцией ограниченной вариации. Строится специальное представление 2-го рода для обобщенных аналитических функций класса Смирнова. Оно обобщает на рассматриваемый случай известное представление И.Н. Векуа для единичного круга и гельдеровых вплоть до края решений с коэффициентом краевого условия Z1, где n - натуральное; позволяет свести задачу к соответствующей задаче для голоморфных функций. Получены также некоторые новые свойства комплексных потенциалов, представляющие и самостоятельный интерес.

Ключевые слова: обобщенные аналитические функции, задача Римана-Гильберта, классы Смирнова, разрывные коэффициенты, кривая Радона.

The work develops apparatus for the study of the Riemann-Hilbert boundary-value problem for generalized analytic functions of Smir-nov class. The field is assumed simply connected with the Radon curve without points of focus or Lyapunov curve on the border. Coefficient of boundary condition is expected or continuous with pertubation by measurable limited function or continuous with pertubationby function of bounded variation. The special «second kind» representation of Smirnov class general analytic functions is built. This representation generalizes I.N. Vekua known one and permit to reduce the problem to the one for holomorphic functions.

Keywords: generalized analytic functions, Riemann-Hilbert problem, Smirnov classes, discontinues coefficients, Radon curve.

Основные определения

Настоящая работа содержит аппарат исследования краевой задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций класса Смирнова и позволяет свести эту задачу к соответствующей задаче для голоморфных функций, изученной в работах автора [1, 2].

Пусть О - ограниченная односвязная область в комплексной г-плоскости, г = х+¡у, 12 =-1, со спрямляемой границей Г = дв, в = Гив; Л(г), В(г)е (в),

5 > 2 (используются обозначения из [3]), - заданные комплексные функции. Не ограничивая общности, будем считать, что точка г = 0 расположена внутри О.

Рассмотрим в в каноническую эллиптическую систему в комплексной записи

д-w + Л(г +В(г = 0, (1)

где w = м>(2) = и(г)+¡у(г) - искомая комплексная функция; и и V - ее действительная и мнимая части; д- = 1/ 2(д / дх + ¡д / ду) - производная в смысле Соболева.

Решение w(z) системы (1) называют обобщенной аналитической функцией [3, с. 148].

Пусть {вп} - последовательность областей, замыкания которых лежат внутри О, границы Гп этих областей спрямляемы и сходятся к Г в том смысле, что каждая точка г е в принадлежит всем ви начиная с

некоторого номера.

Определение 1. Будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу Е (Л, В), р>0, если для неко-

торой постоянной

Mp (w)

w)< ж , не зависящей от n, име-

ют место

неравенства J | w(z) |p | dz | < Mp (w), n = 1,2,...,

хотя бы для одной последовательности спрямляемых кривых {Ги} с указанным выше свойством.

При Л = В = 0 имеем классический класс Смирнова Е [4, с. 422; 5, с. 90].

Аналогично определяются классы Смирнова Ер (Л, В), если коэффициенты Л(г), В(г) и решение

w(z) рассматриваются определенными во внешности области в.

Пусть р = ф(^) - однолистное конформное отображение единичного круга Б:\ £ \< 1 на в. Без ограничения общности везде далее считаем, что р(о) = 0 . Границу круга Б будем обозначать С .

Замечание 1. Как и в классическом случае [5, с. 91], в определении 1 в роли кривых Г можно брать

лишь образы окружностей С ={£'-\£ \= г < 1} при конформном отображении р = р(с) [6]. В дальнейшем эти образы будем обозначать Гг, считая Г1 = С.

Если г = г^) - параметрические уравнения спрямляемой кривой Г, где 5 е [о, 5 ] - длина дуги на Г (5 - длина всей кривой Г), то почти всюду на Г _ М*)

причем это равенство определяет угол *) с точностью до 2п. Геометрический смысл угла

г

n

ß(s) очевиден - это угол наклона касательной к Г относительно оси абсцисс.

Определение 2. Если угол d(s) (определяемый в каждой точке с точностью до кратного 2л) может быть выбран так, чтобы функция d(s) имела ограниченную вариацию на [0, S ], то Г будем называть кривой Радона. Такие кривые также называют кривыми с ограниченным вращением или кривыми с ограниченной вариацией поворота.

Всегда можно определить e(s) для Vs е [о, S ] так,

чтобы скачки функции d(s) по модулю не превышали

п. В дальнейшем всегда предполагаем это выполненным.

Определение 3 [5, с. 20]. Те точки, в которых скачок функции ß(s) по модулю равен л, будем называть точками заострения кривой Г.

Определение 4 [5, с. 14]. Если угол e(s) может быть выбран так, чтобы функция d(s) е Си, 0 < а < 1, в некоторой окрестности любой точки кривой Г, то Г будем называть кривой Ляпунова.

В дальнейшем считаем Г кривой Ляпунова либо Радона без точек заострения.

Работа ориентирована на исследование задачи Ри-мана-Гильберта в следующей постановке: найти в G решение w = w(z) уравнения (1), w(z)е Ep (A, B), p > 1, предельные значения которого на Г по некасательным направлениям почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

Rep/) w(t)}= g (t), (2)

где t = t(s), s е[о, S], - аффикс точки, принадлежащей кривой Г ; X = X(t) - комплекснозначная измеримая функция, определенная на Г , удовлетворяющая условию 0 < k <| x(t)|< k <ж; k, k - вещественные постоянные; g(t) = g(t(s)) = g(s)e Lp (г) = Lp [о, S] -определенная на Г вещественная функция.

Везде далее для функции f , определенной на Г , будем использовать обозначения f (t) = f (t(s)) = f (s). Если w(z) е Ep (ä, B), то под w(t) = w+ (t), t е Г, будем понимать предельные значения на Г по некасательным путям при z ^ t еГ, z е G , а под w" (t) - предельные значения на Г по некасательным путям при z ^ t еГ, z е E \ G , E - комплексная z -плоскость.

Следуя [5, с. 190] (и [1, 2]), предположим, что при выборе хотя бы одной точки начала отсчета s = 0 длины дуги s на Г функция ®(s) = arg X(s) удовлетворяет условию

a)(s) = S0 (s)+fi~j (s)+®2(s), (3)

где S0 (s) - непрерывная функция в каждой точке сегмента [0, S] (в крайних точках имеется в виду односторонняя непрерывность); (s) - функция ограниченной вариации на сегменте [0, S]; co2(s) - измеримая на [0, S] функция, удовлетворяющая условию

| ®2(у)I-уп, 0 < V < —, 0 <у , — + — = 1.

2 р 2 р' р р'

Не ограничивая общности, можем считать [5,

с. 190], что ®(о) = ®(^) и ~(у) непрерывна справа в

точке у = 0 . После этого (3) можно переписать в виде

[5, с. 190]

= + , (4)

где а 2(я) - прежняя; ^(у) - функция скачков ~(у); ^ - не более чем счетное множество точек разрыва «~1(у): сох(0)= 0 , а1 (у) = 2К + | (У)-<~1 (У-0)|,

0 < у - 5, К = ~ + 0)- ~ (як — 0), а непрерывная на [0,5 ] функция оз0 (у) равна сумме

~0 (у)+[<~1(у) — ®1(у)] .

Определение 5. При рассмотрении краевой задачи (2) будем говорить, что выполнено условие Б, если:

1) Г - кривая Ляпунова, в (4) либо ^(у) = 0, либо

а>2 (У) = 0 ;

2) Г - кривая Радона без точек заострения, в (4) аг (У) = 0 .

Определение индекса краевого условия (2) к (в случае, если Г - кривая Ляпунова и = 0) либо

(р)

к (в случае, если Г - кривая Ляпунова или кривая Радона без точек заострения и со 2(я) = 0) см. в [1, 2].

Формулировка основного результата требует некоторых вспомогательных конструкций, к изложению которых и переходим.

Вспомогательные построения

Лемма 1. Обозначим, как и выше, комплексную плоскость через Е . При 0 < ¡3 < 1

г I dz | sup J ——-

tеE,1/2<r<1^ | t — z \

■ < Ж .

(5)

Доказательство. При любом расположении точки t интеграл, фигурирующий в (5), монотонно возрастает по г [5, с. 77], так что достаточно его оценить при г = 1.

Для Vt е Г найдется е > 0 (не зависящее от t) такое, что круг ие = {г :| t — 7 |<е} пересекается с Г по связной дуге [5, с. 21] (если Г - кривая Ляпунова, это очевидно).

С другой стороны, если а и 5 - дуговые абсциссы на Г , соответствующие точкам t и г, то найдутся такие константы &3>0 и е>0, что

|ст — s |>|t — z |> k |ст — s |,

(6)

как только | а — у |<е [5, с. 20].

Зафиксируем к > 0 и е > 0 такими, чтобы пересечение ие Г было связной дугой для Vt е Г и чтобы выполнялось (6).

Пусть теперь расстояние от t до Г > е . Тогда

Г ^ <т|«—',

где | Г | - длина кривой Г .

Рассмотрим случай, когда расстояние от ( до Г меньше е. Обозначим через /0 е Г точку, ближайшую

к точке /, и обозначим у- = и" Г. Поскольку все точки дуги уе расположены вне круга с центром в точке / и радиуса \ / - /0 \, для У г е уе имеем оценку

\t - z \> 1| t0 - z\.

Далее, учитывая (6) и (8), получим

j \dz\ <2 j

^^ < ,2 . \ys \ 1-р,

\t - z \ р к3 е\а-s \ р к3 (1-р)

(8)

(9)

у- I - - I -3 у-

где \ у- \ - длина дуги уе; а - дуговая абсцисса точки /0. Вместе с тем

I Ä < \г\е-р.

Г \у'

\t - z\

(10)

Не =lI \w(t )\ p\dt\

1/p

2 - q

Вначале предположим, что q < у <

q

2 - q

■. Имеем

\ AT \ Tf(z + Az)-Tf(z)\< ^ff \f^}dxdyK , <

n G\t - z\ \t - z-Az\

< — ff \ f (t )Г (t - z\\t - z - Az \ )-Г+a\f (t )\

П G

q q у

jt - z\ \t - z-Az \) q,+a dxdy

где 2a =1 - - +1 > 0, 1 + — = 1. Так как 1+Г--+— = 1,

г q q q у yq q'

то, применяя неравенство Гельдера, получим

\AT\<^^ |ff \f(t)\q (\t - z\\t - z - Az \ )-1+ay dxdyYx (13)

n V G

1_1

q у

ff \ f (t)\ q dxdy I I ff \(\t-z\\t-z-Az \)-2+a-,dxdy

Для последнего сомножителя в (13) имеем оценку [3, с. 56]

ff(\t - z\\t - z -Az \ yi+a,'dxdy I < Cqy(ß) \ Az \ y , (14)

Сопоставляя (7), (9) и (10), получим (5). Лемма 2. Множество Ep (A, B), p > 1, с нормой

является действительным

где константа С Дв) зависит только от q, у, в.

Далее, учитывая, что 0 < ау < 1 и используя известное неравенство (а + Ь)3 < а33 + Ь3, а > 0, Ь > 0 , 0 < 3 < 1, а также лемму 1, имеем (г = г(*)):

-г \\/-г - Аг \)-1+ау (Ъ =

банаховым пространством.

В случае Л(г) = В(г) = 0 получаем обычную норму в классическом пространстве Смирнова Е .

Доказательство является дословным повторением доказательства теоремы 5 из [7] с заменой пространства Нр (Л, В) на Ер (Л, В) и ссылок [8] на [6].

Обозначим Т/(г) = —1(х(у, / = х + ¡у . При-

ж в / - г

ведем некоторые свойства оператора Т .

Лемма 3 [3, с. 63-65]. Оператор Т вполне непрерывен в пространстве Ь (в ),1 < q < 2.

Лемма 4. Если /(/)еЬд(в), 1 <q <2, то Т/(г) е Ь (Г), 0 < г < 1, где у - любое число, удовле-

причем имеют

=\ Az \ -1+ay f

t - z t - z-Az

<\ Az \-1+a4f-4-ar +f

1-ay

ds < ds

творяющее условиям 1 < у < место неравенства

||Т/и )< М,ЛвШ, (в ) , (11)

/г + Аг)-ЗДЦ ,< (в)\А ТТ а> 0, (12)

где константы М^Дв) и М"*у(в) зависят от у, q, в и не зависят от г и / .

Доказательство. Неравенство (11) является непосредственным следствием леммы 1 из [6], см. также [3, с. 67-69]. Докажем неравенство (12). Доказательство основано на рассуждениях из [3, с. 68].

\/ - г \ 1-ау Гг\/ - г - Аг \ 1-оуД < С*,у(в)\Аг\-1+ау, (15)

где константа С* (в) зависит только от q, у, в.

Сопоставляя (13), (14) и (15), получим (12). Теперь, очевидно, можно снять ограничение у > q .

Следствие 1. Отображение Т: Ьд (в Ьг (Гг), 1/2 < г < 1, вполне непрерывно.

Доказательство сразу получается из (6), (11), (12) и теоремы Арцела -Асколи [9, с. 113-114].

Лемма 5. Пусть выполнено условие Б, и либо индекс к краевой задачи (2) неотрицателен, либо (р)

индекс к > -1. Существует функция М((,г) такая, что

ЯеЩТМ(',г(*))}= Яе<!1(5)--^Д, Уг(*)еГ, (16)

I *- г(5))

где / - произвольная фиксированная точка из О, обладающая свойствами:

1) при всяком фиксированном ? е в М(/,г) е Ер, р > 1;

2) для Vq:1 < q < 2, р , /(/)е Ь(в),

2 - q q

TMf (z) = -1 ff f (t )M(t, z )drdv e Ey

П G

(17)

Vy:1 < у <-, у < p, причем имеет место оценка

2 - q

\\tmAL < "Hl

К (G),

(18)

где константа от / не зависит;

3) оператор ТМ/:Ьq(вЕу вполне непрерывен.

Доказательство. Рассмотрим в О краевую задачу Ри-мана-Гильберта (16) для голоморфной функции М(/,г).

x

G

G

G

Г

r

Г

1

1

X

X

Правую часть (16) обозначим F (¿, = = f(t, у)е ь„ (г) . Согласно [1, 2], поскольку выполнено условие Б и индекс задачи к неотрицателен либо

(р)

к > — 1, задача (16) безусловно разрешима в классе Е и ее частное решение можно взять в виде

М (^ г ) = 1 {т(^ ))+Т (ф ))& (г )]" р,

нию

= iy(s((T ))н--

0(s(a))-a-

. Утверждение 1)

Учитывая (16) и лемму 4, получаем

- IllIp(г)

< const

Я! F (t, z )\f (t)\dxdy

< constn

Ip (г)

IL (g )'

TMf (z ) = -1Q (z )lp ^ f (c(z ))+т/ (c(z ))J

m

4m cZ (r) r-Q

(21)

C 2m C Z + (r) r-C C [CJ

T* (C) = ^ J Щ.-^ , (19)

2m с Z+(r) 1 -rC

(p) , ч

где ц равно либо 2к, либо /г ; Z(C) - вполне определенная функция класса Н Е,е > 0, в D и во внешности D, причем [2] Z 1 (£)е Нp+s, Z(с), Z 1 (£)е Н

1/p+1/p'=1; Z +(i) = -e2iv(ff)Z"(4 t = C, Zf(t) -ные значения на С функции Z(Z) по некасательным путям соответственно изнутри и снаружи круга D; Z=Z(z) -конформное отображение G на D, обратное отображе-

р = р(с), F(t,r)= 2FMrpr)]^*»;

p > предель-

доказано.

Поскольку Е с Е' р >7 > 1, и вложение непрерывно, очевидно, достаточно доказать оставшиеся утверждения леммы при 7 = р. Рассмотрим выражение

^(г) = 2ЦЕ(t, г)/(гt = х + у 7 е Г. (20)

где константа зависит только от р ид и не зависит от / . Таким образом, отображение Е1:Ьд(сЬр(г),

осуществляемое по формуле (20), непрерывно.

Будем обозначать у + А дуговую абсциссу точки г + А еГ (здесь г = г(у)). Тогда из (16), (12) и (6) получаем

+ Ау)—р(Г) — сашг\\/1д(с) | А Г\ « > 0,

где константа зависит только от р ид и не зависит от / . Отсюда следует, что отображение Е1: Ьд С ) ^ Ьр (г) вполне непрерывно.

Далее очевидным образом будем иметь, что отображение Е2: Ь (с Ьр (С) по формуле

Е,(г) = {т)[решШ) еЬр(с) вполне непре-

рывно, и можно при вычислении Тм/(г) использовать теорему Фубини [9, с. 318]. Таким образом,

Т = Г Ш

4ш С 2+(г) 1 — К Так как правые части формул (21) непрерывно отображают Е2 е Ь(с)^ # [5, с. 218], отображения

Т, Т: / е Ь (с ) ^ # , определенные формулами

(19), вполне непрерывны, откуда получаем (18) и утверждение 3) леммы 5.

Лемма 6. Пусть выполнено условие Б, и индекс

(р)

к краевой задачи (2) неотрицателен либо к > —1 . Существует функция М (^ г) такая, что

Яе{Ц5Мг(у))}= RejДУ)•/ ^ ^|, Vz(.s•) е Г, где t -

произвольная фиксированная точка из с , обладающая свойствами:

1) при всяком фиксированном ? е с

М(¿, г) е Ер, р > 1;

2) для Vg:1 < д < 2 , р , /(^е Ьд (С),

2 — д

Тм/(г) = — -ГГ/(гМ(', ге Еу , V7:1 < 7 < ,

п а 2—д

7 — р, причем имеет место оценка ^, где константа от / не зависит;

3) оператор Тд/(СЕ7 вполне непрерывен.

Доказательство аналогично доказательству леммы 5.

В предположениях леммы 5 введем в рассмотрение оператор

Р/ = Т/—Тм (ЯС /)—ТМ (ГШ /). (22)

д

\\TM f\\Br< COnSt\\j \\Lg (G),

Лемма 7. 1) для Vq:l <q <2, p <

2 - q

f (t )e Lq (G ), Pf (z )e Lr (г) при Vr:1 <Г^ 4

гУ ' 1 ' '2-q Г < p, причем имеет место оценка

Lr (Г)

< constn

Lq (G ) =

где константа от f не зависит,

1Р/11

отображение Р:Ьд (сЬ (г) вполне непрерывно;

2) оператор Р вполне непрерывен в Ь (с),

1 < д < 2;

3) для почти всех г еГ и Vg: 1 < д < 2, р <

2-q

/(Ое Ьд (с) Яе{ЦТ)Р/(г)}= 0 .

Доказательство. Свойство 1) непосредственно следует из лемм 4, 5, 6 и следствия 1.

Поскольку отображения Т: Ь (с Ь (с ), Тм ,Тд: Ь (с Ер вполне непрерывны (леммы 3, 5, 6),

G

G

а 1 < q < 2 < 2р, и поэтому Е непрерывно вкладывается в Ь (в) (лемма 10, см. ниже), отсюда получаем свойство 2).

Свойство 3) есть непосредственное следствие (22), лемм 5, 6 и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Замечание 2. Если О - единичный круг, Я({) = /п, п > 0 - натуральное, то оператор Р совпадает с оператором Рп, построенном И.Н. Векуа в [3, с. 293].

В предположениях леммы 5 рассмотрим теперь оператор Р^ = P(Лw+BW).

Лемма 8. Если w е Ьт (в), 1 <т < 2р,

A(z), B(z) е L (ö), s > 2 , то при подходящем

m для

111

q:—+ - = — , 1 <q < 2,

m s q

Aw + Bw е Lq (ö ) и

выполнено

P <

2 - q

: имеют место следующие свойства:

1) оператор Р вполне непрерывен в

Lm (ö);

2) PÄw(z) е Ег(г) при Vy:1 <у<-^-;

2 - q

у < p, при-

чем имеет место оценка ||pw|L (г)

< cows/w ,_ь где

II IILm\G J

константа от w не зависит; отображение P:Lm(gL (г) вполне непрерывно;

3) для почти всех z е Г Re{^(z)РЛ/(z)]= 0. Доказательство. Очевидно, за счет выбора m можно считать 1 < q < 2. Если за счет выбора m можно получить q сколь угодно близким к 2, то неравен-

q

ство p <

2-q

можно обеспечить при любом p>1.

Пусть при любом m 1 < q(m) < q < 2, где

да для

q(m)

q0 = sup q(m) = 2ps . Тогда для монотонно возрас

2 p + s

1< m< 2 p

тающей по m функции

m:1 < m < 2p равен

2 - q(m)

ps

2 p + s - ps

ее супремум по

а вместе с тем

ps

= p

2 - s

< 0.

w(z)+РХг) = Ф(г), (23)

где ф(г) е Е и почти всюду на Г

Яе{г(?У(/)}= Яе{Д?)ф(/)} / е Г. (24)

Если ф(г) е Е, то соотношением (23) однозначно определяется функция w(z)е Ер (Л, В), удовлетворяющая почти всюду на Г условию (24), и формула (23) устанавливает (вещественный) линейный изоморфизм банаховых пространств Е (Л, В) и Е , причем оператор Ря. Ер (Л, В)^ Ьр (г) вполне непрерывен.

Прежде чем перейти непосредственно к доказательству теоремы 1, изучим поведение нормы оператора Р:Ьт(вЬт(в), в котором Л(г), В(г) - коэффициенты уравнения (1), при гомотетиях

~ = -г, - > 0, (25)

области в .

Лемма 9. Норма оператора Т^ = Т (Л w + В^): Ьт (в Ьт (в), где т определяется леммой 8, при гомотетии (25) имеет асимптотику о(-8), где

* — 2 / \ 8 =-(т-1)> 0 .

2*

Доказательство. При гомотетии (25) коэффициенты уравнения (1) преобразуются по формулам

Л(~) =1Л (г), В(~) =1В (г), (26)

- -

(далее объекты, зависящие от переменной ~, будем помечать волной). Очевидно, для изучения асимптотики нормы оператора Т без ограничения общности можно считать В(г) = 0.

Для оператора Т^ = Т (Лw) имеем оценку [3, с. 64]

1Мк в) < ~у\М (q,а, в)]1 М (уа, в\Л^\\ь , (27)

ж

где

1 1 1 п

а =---+ — > 0.

у q 2

—+ 1-1

m s q

1 < q < 2 ,

2q

1 +1 = 1,

2 р + 5 - р5 2 р + 5 - р5

Таким образом, и в этом случае неравенство

q

р <- можно обеспечить при любом р>1.

2 - q

Если это обеспечено, то Лw + Вм е Ь (в) в силу

неравенства Гельдера и остальные утверждения леммы следуют из леммы 7 и неравенства Гельдера.

Формулировка и доказательство основного результата

Теорема 1. Пусть выполнено условие Б, и либо индекс к краевой задачи (2) неотрицателен, либо

индекс к > —1. Если w(z)е Ер (Л, В), р > 1, то имеет место соотношение

1 <У<, ' ,

2 - q q q м(Я,G) = supJJK-zг2+л d£flv, c = # + V- (28)

zeE G

Отметим, что из неравенства Гельдера имеем

IHLq (g)<IHL (g)-HL (g) , откуда полУчаем соответствующую оценку правой части (27) через HII .

Сравним множитель перед ||w|| ¡-\ в правой части

1Lm(G J

(27) до преобразования (25) и после. С учетом (28) будем иметь

2-s

A ч = s

Ls (ö)'

M (я, ö)=sÄM (я, ö)

[м(?'а,= -а[м(q'а, в)?, М (уа, в) = - аМ (уа, в). (29)

Если обозначим множитель перед |Ы| в правой

части (27) после преобразования (25) через N, то из

q

2

s

L, I О

s

(29) получим N = е3И , где 3 = «(1 + 7) + (2 — -)/- . Если положим 7 = т, что в силу леммы 8 возможно,

то окончательно будем иметь 3 = -—2 (т — 1) > 0.

2у

Лемма 10. Если ж(г)е Ер(А,В), р > 1, то w(z)е Ьт (с ), Vm:1 < т < 2р, причем вложение Ер (А, В)с Ьш (с) непрерывно, т.е. имеет место неравенство

(30)

К (G)

< const

M

, Г

m + /

Ml -2/-, G

m + /и

где — + — = 1, 0 </л< 1, P P'

М(Л, Г) = sup J | z-C |—Л ds, (31)

zeE г

M (Л, G) определяется формулой (28), константа зависит от области G и коэффициентов A(z), B(z), а от w не зависит и не изменяется при гомотетиях (25).

Доказательство. Первое утверждение - это частный случай из [6, теорема 4].

Замечание 3. Для голоморфных функций лемма 10 (кроме неравенства) сформулирована в [10, с. 96]. В доказательстве при этом имеется ошибка, приводящая к неверному неравенству для норм. В связи с этим доказательство неравенства проведем подробно (основываясь на конструкции из [10, с. 96]).

Рассмотрим сначала случай голоморфных функций (т.е. случай A(z) = B(z) = 0).

Представляя функцию ®(z)e Ep, p > 1, интегралом Коши-Лебега [4, с. 423-424] и применяя неравенство Гельдера с показателями m = (2 — ^)p , r = pla

и Л = p l(p — 1), — + — + — = 1, будем иметь m r Л

(2m)m JJ| ®(z) |m dxdy < jj[ J | ®(t) || t — z |—1 ds J dxdy <

<11

J\ P(t) \1-a \ t - z \-ß (P(t) Г \ t - z \ß-1 )ds

dxdy <

где a =

G Vr 1 -/ 2-/

< PIT(г) JJI J \ t - z \ ds I l J\ P(t) \ p \ t - z \ (ß-1>m ds \dxdy ,

ß =

m - 2 + /и m + и

Поскольку ßX = -

,(1 -ß)m =

2m

и не изменяется при гомотетии (25) (в том смысле, что значения этой величины совпадают в соответствующих точках ~ и г).

Лемма 11. Оператор Тм (Аж + ВЖ): Ьт (с)^ Ьт (с) (17), где т определено леммой 8, А, В - коэффициенты уравнения (1), вполне непрерывен, и при гомотетиях (25) его норма имеет асимптотику о(е3), где 3 > 0 .

Аналогичное утверждение имеет место для оператора Т^ (Аж + ВЖ) .

Доказательство. Очевидно, достаточно провести доказательство для Тм (Аж).

Вполне непрерывность обоснована в доказательстве леммы 7. Установим асимптотику нормы оператора тм (аж).

Из (21) будем иметь [5, с. 218]

|Тм А* I Ь,(Г)-П| Т Ьр(С ) —

- й||Ьр(с) - стф,й^/, (33)

где константы при гомотетии (25) от е не зависят.

Оценим (г!ьр (г) .

Из (17), (20), [3, с. 68] и неравенства Гельдера будем иметь

IF1 (z) Lp (г)< 2Щ T(AwXz) 2

\Lp (Г) "

(34)

< -=-Г M(q'a, Gр M(1 - pa, Г)

IIl(G )ll W\Lm(G)'

m 1 1

11 12

где — +1 = 1, 2« =---+ 1, М(Л, с), М(Л, Г) опреде-

д' д р д

лены формулами (28), (31). Если обозначим в правой части (34) множитель при |Ы1 ¡~\ через N , а после

II 11Ьт(с 1

преобразования (25) его же через N , то в силу (26), (29) и М (л, Г)= е1~ЛМ (Л, Г) будем иметь N =е31 N,

11 (111 1

где 31 =--+ — р\---| + —.

т - ^ д 2) 2 р

Далее, подставив (33), (34) в (30), получим нера-

венство

ITm »J^ G)< NKz! (G)' где

множи-

Ьт, (О )— (О ),

тель N при гомотетии (25) умножается на е3,

3 = 3(М) = 3+—Е— р±1.

т + / р

Положим т = (2 — /и/р, где ^ > 0 мало. Тогда с уче-

1 1 1 ^ \ 1 ( 1 111

том того, что —+ - = —, 3(и/ = — р\-,-г—+---1 +

т я д - \(2 — и/р - 2)

р 1

,а «+— = 1,

т+/ ' т+/ т

получаем (30) в случае голоморфных функций.

Общий случай неравенства (30) вытекает из доказанного частного случая, основного представления обоб-щенн^1х аналитических функций класса Ер (А, В) [6]

ж(г) = ф(г)ехр{— Т(А + / ж))(г)}, ф(г)е Ер , (32)

и формул (26), поскольку в (32)

ехр{— Т (А + В^ / ж)/(г)}е Ср (с), ¡ = (- — 2)/- [3, с. 60]

+и

1 p+1 1

(2-U)p + и p 2 p(2-И))

Поскольку при / = 0 3(0) = | 1 —1 \(р —1)> 0, при

12 - )

малых / > 0 3(/) > 0 .

Замечание 4. При использовании леммы 8, считая 5 достаточно близким к 2, мы при любых (больших) значениях т можем обеспечить неравенство д < 2.

2

Поскольку условие р — в лемме 8 эквивалентно

m

w

E

p

G

G ЧГ

m

G

Г

г

условию — < -1 +1 -1 при т, близком к 2р (и, воз-

т 2 р 2 5

можно, большом), оно выполнено при подходящем 5.

Очевидным следствием лемм 9 и 11 является следующее утверждение.

Лемма 12. После гомотетии (25) с достаточно

малым е > 0 оператор Р:Ьт (вЬт (в) при некотором т:1 < т < 2р становится оператором сжатия.

Доказательство теоремы 1. Если ^г)е Ер (Л, В), р > 1, то имеет место соотношение [6]

w(z)+Т(Лw + ВЯ\г) = — |^ е Е . (35) 2ж Г / - г

Накладываемое в [6] условие p >

2(s -1)

излишне,

так как 5 > 2 всегда можно считать настолько близким к 2, что это условие выполняется. Вычитая из обеих частей (35) голоморфную функцию

ф* (г) = Тм {Яе^ + ВЪ )}г)+ Тм {Im(Лw + ВЪ )}г),

которая в силу лемм 5 и 6 принадлежит классу Е , и

обозначив ф(г)=-^|w(t(-ф*(г)еЕ , получим (23).

2ж Г ^ - г

Соотношение (24) следует из свойства 3 леммы 8.

Пусть теперь ф(г) е Е и будем считать, что оператор Р :Ьт (в Ьт (в) - оператор сжатия при некотором т:1 < т < 2р (в силу леммы 12 это не ограничивает общности рассуждений).

В этом случае уравнение (23) однозначно разрешимо в Ьт (в) при любой правой части из того же пространства.

Поскольку в силу леммы 10 ф(г) е Ьт (в ), получаем единственное решение w(z)е Ьт (в), которое, очевидно, будет в в решением дифференциального уравнения (1).

В силу лемм 4, 5 и 6 J| Pw(t) |p ds < const < <x>,

Гг

Vr: 0 < r < 1, где константа от r не зависит, поэтому w(z)е Ep (A,б) . Выполнение (24) следует из леммы 8.

Таким образом, оператор I+Pi, где I - тождественный оператор, осуществляет (вещественный) изоморфизм Ep(AB) и Ep, причем оператор Ря : Ep(A,б)^Lp(г) в силу лемм 8 и 10 вполне непрерывен.

Литература

1. Климентов С.Б. Задача Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Итоги науки. Юг России. Математический форум. Т. 4. Владикавказ, 2010. С. 252-263.

2. Климентов С.Б. Задача Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова в области с радоновской границей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 3. С. 14 - 18.

3. Веку а И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959. 628 с.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966. 630 с.

5. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., 1975. 295 с.

6. Климентов С.Б. Классы Смирнова обобщенных аналитических функций // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Ес-теств. науки. 2005. № 1. С. 13 - 17.

7. Климентов С.Б. Классы BMO обобщенных аналитических функций // Владикавказский мат. журн. 2006. Т. 8, вып. 1. С. 27 - 39.

8. Климентов С.Б. Классы Харди обобщенных аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 3. С. 6 - 10.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976. 544 с.

10. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977. 424 с.

Поступила в редакцию

18 июля 2011 г.

s