Классы Смирнова обобщенных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

КЛАССЫ СМИРНОВА ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ © 2005 г С.Б. Климентов

In the paper for generalized analytical functions the clones of Smirnov classes for holomorphic functions are entered. Some properties of these classes similar to properties of classic Smirnov classes are obtained. This paper developed the author's results on clones of Hardy classes for generalized analytical functions.

1. Введение. Основные определения. В предлагаемой статье, развивающей результаты автора [1] по аналогам классов Харди обобщенных аналитических функций, строятся соответствующие аналоги классов Смирнова Ep для обобщенных аналитических функций. Цель работы - подготовить аппарат для анализа нерегулярных краевых задач, которые в аналогах классов Харди рассмотрены в [2].

Обозначим G ограниченную односвязную область в

комплексной z -плоскости, z = x + iy , i2 = -1, со спрямляемой границей Г = dG ; G = G и Г ; A(z), B(z)е Ls (g ) s > 2 (используются обозначения [3]) - заданные комплексные функции.

Рассмотрим в G каноническую эллиптическую систему в комплексной записи

д -w + A(z )w + B(z )w = 0, (1)

где w = w(z) = u(z) + iv(z) - искомая комплексная функция; u и v - ее действительная и мнимая части, д z = 1/2(д / дх + id / dy) - производная в смысле Соболева.

Решение w(z) системы (1) называют обобщенной аналитической функцией [3, с.148].

Пусть {Gn} - последовательность областей, замыкания которых лежат внутри G, границы Гп этих областей спрямляемы и сходятся к Г в том смысле, что каждая точка z е G принадлежит всем Gn, начиная с некоторого номера.

Определение 1. Будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу Ep (A, b), p > 0, если для

некоторой постоянной M (w) < ж, не зависящей от n ,

имеют место неравенства

J| w(z)|p | dz | < Mp (w), n = 1,2,...

(2)

ция 1п | а'(£) | представима в круге | £ |< 1 интегралом Пуассона-Лебега, а следовательно, голоморфная функция 1па' представима интегралом Шварца через

1п|а'(£)| = гвга) то область G называется областью класса С (В .И. Смирнова).

Если г = z(s) - параметрические уравнения спрямляемой кривой Г, где s е [0,£ ] - длина дуги на Г (£ -длина всей кривой Г), то почти всюду на Г г' (5) = в'01"*), причем это равенство определяет угол ) с точностью до 2п. Геометрический смысл угла )

очевиден - это угол наклона касательной к Г относительно оси абсцисс.

Определение 3 ([4, с.19]). Если угол ) (определяемый в каждой точке с точностью до кратного 2п может быть выбран так, чтобы функция ) имела ограниченную вариацию на [0, £], то Г будем называть кривой Радона. Такие кривые также называют кривыми с ограниченным вращением или кривыми с ограниченной вариацией поворота.

Всегда можно определить ) для V* е [0, £] так, чтобы скачки функции ) по модулю не превышали п. В дальнейшем всегда предполагаем это выполненным.

Определение 4 ([4, с.20]). Те точки, в которых скачок функции 0(*) по модулю равен п, будем называть точками заострения кривой Г.

Определение 5 ([4, с.14]). Если угол 0() может быть выбран так, чтобы функция 0(5)е Са, 0 <а< 1, то Г будем называть кривой Ляпунова.

Замечание 2. Кривые Радона без точек заострения и кривые Ляпунова являются кривыми класса С [4, с.90].

2. Вспомогательные сведения. Обозначим

хотя бы для одной последовательности спрямляемых кривых (Ги } с указанным выше свойством.

При А = В = 0 имеем классический класс Смирнова [4, с.90].

Замечание 1. Сведение исследования свойств классов Ер (А, В) к свойствам обобщенных классов Харди

Нр (А, В) из [1] посредством конформного отображения области G на единичный круг, как это делается в случае классических классов Смирнова Ер (см. например [4,

с.91-92], не представляется возможным, поскольку при таком отображении, вообще говоря, сильно испортятся коэффициенты А, В уравнения (1).

Пусть а = а (£) - однолистное конформное отображение единичного круга | ^ |< 1 на G.

Определение 2 ([4, с.90]). Если гармоническая функ-

TGf (z Tf (z )=-1JJ^ d&n,

Z = in.

п о С-г

Лемма 1. Пусть Г - произвольная кусочно-гладкая кривая, ограничивающая односвязную область О с О . Если / е Ь!, (о) 1 < * < 2 , то ТО/ е Ьу (г), где у - любое число, удовлетворяющее условию 1 < у < —5—,

2 - 5

место неравенство

), где Л - длина Г и кон-

имеет

(< g 4

причем

Мм. ...

станта М* у (л) ограничена, если Г изменяется так, что

Л ограничена.

Доказательство фактически содержится в [3, с. 6769].

Лемма 2 (см. [3, с. 156, 175-177]). Для обобщенной аналитической функции w(z), определенной в О, имеет

место представление

w(z )=ф( )expj— H-Z^- d&n

g Z - z

(3)

где Z = Z + in,

g (z ) = ■

A(z)+B(z)—, если w * 0, w

0, если w = 0,

ф(z) - голоморфная в G функция, однозначно определяемая функцией w(z).

Если в соотношении (3) задана голоморфная в G функция Ф^) (произвольной структуры), то по ней однозначно определяется обобщенная аналитическая функция w(z).

3. Некоторые свойства функций класса Ep (Л, Б).

Теорема 1. Для того чтобы обобщенная аналитическая функция w(z) принадлежала классу Ер (Л,Б), р > 0, необходимо и достаточно, чтобы в представлении (3) Ф^) е Ер .

Доказательство. В силу предположения Л(), Б^) е (О), интеграл в представлении (3) для

сМ *- 2

Vw(z )

принадлежит классу

а = -

[3, с.54],

откуда непосредственно следует утверждение теоремы 1.

Следствие 1. В определении 1 в качестве кривых Ги можно брать лишь образы окружностей | Z |= г, 0 < г < 1, при конформном отображении единичного круга | Z |< 1 на область О.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 1 и соответствующего свойства для голоморфных функций класса Ер [4, с.91].

Также непосредственным следствием формулы (3) и соответствующих свойств для голоморфных функций класса Ер [4, с.91-92] являются следующие утверждения.

Теорема 2. Функция w(z) е Ер (Л, Б), р > 0 , для почти всех точек t кривой Г имеет предельные значения по некасательным путям w+ (() е Ьр (г) . Если кривая Г

класса С и w+ (() е Ьд (г), д > р, то w(z) е Ед (Л, Б).

Теорема 3. Если функция w(z) е Ер (Л, б), р > 0, на множестве е с Г положительной меры имеет нулевые некасательные предельные значения, то w(z) = 0 .

Теорема 4. Если граница Г области О - кривая Радона без точек заострения либо кривая Ляпунова, w(z) е Ер (Л, Б), р > 0 , то w(z) е 1т (О ) для Ут : 0 < т < 2 р.

Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно показать, что если Ф^) е Ер, р > 0, - голоморфная в О

функция, то Ф^) е Ьт (о ) для Ут : 0 < т < 2р .

При р > 1 доказательство содержится в [5, с.96], где говорится только о границе Ляпунова, но для кривых Радона рассуждения дословно повторяются с учетом представления функций класса Ер, р > 1, интегралом Ко-

ши-Лебега из [4, с.133, 136].

Рассмотрим случай 0 < р < 1. Пусть со = со(£) - однолистное конформное отображение единичного круга Б = ^ : | Z |< 1} на О. Поскольку Ф^) е Ер, голоморфная в Б функция

Ч^) = е Нр [4, с.91].

Обозначим Ь(£) функцию Бляшке для Ч^). Тогда Ф 0 е Нр, где Ф 0 =ФЬ, Ф 0 Ш)* 0 в

Б , |Ф|<| Ф0|, Ф 0 ^)е Ер .

Очевидно, для того, чтобы доказать, что Ф^) е Ьт (о), достаточно показать, что Ф0 () е Ьт (о).

Функция Ф1 ^) = [Ф0 (z)]р 2 однозначна и класса Е2. Далее Ф; (z) е Ьд (о) для Уд : 0 < д < 4 (в силу рассмотренного случая р > 1). Положив т = рд / 2 < 2р, получаем

Я|Ф^)\тёхёу <Я|Ф0^)^йхйу =

О О

= Л|Ф1 ^)|qdxdy .

О

Теорема 5. Если граница Г области о есть кривая Ляпунова или кривая Радона без точек заострения,

w(z) е Ер (л, б), р > 1, р >

то имеет место со-

2( -1)

отношение, где Ф^) = —^ | ^^ е Ер , w(() = w+ (/) -

2т Г t - z

предельные значения по некасательным путям на Г функции w(z).

Доказательство. Рассуждения дословно повторяют доказательство теоремы 5 из [1] с заменой Н на Ер;

отличие также состоит в замене ссылок. Под Гг следует понимать образ окружности | Z |= г при конформном отображении со = со(£) круга | Z |< 1 на О . Вместо теоремы 4 и леммы 3 из [1] следует использовать теорему 4 и лемму 1 из настоящей работы. Представление голоморфной функции интегралом Коши следует понимать в смысле [4, с.133, 136].

Теорема 6. Если граница Г области О есть кривая Ляпунова или кривая Радона без точек заострения, уравнение (4) при УФ^) е Ер, р > 1, р >■

имеет

" 2(-1) единственное решение w(z) е Ер (Л, Б).

Доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 6 из [1] с изменениями, описанными в доказательстве теоремы 5.

Теорема 7. Пусть по-прежнему z = со(^) - однолистное конформное отображение единичного круга Б = ^ : | Zl< 1} на О, Гг - образ окружности | Z |= г < 1. Если w(z) е Ер (Л, Б), р > 0 , то

lim J|w(z)|Р | dz | = J|w(z)|p | dz |.

r ^1-0

Доказательство. Обозначим W (z)-W (re'°)= w Ш)РШ),

Z = ree, W+ (eie)= w+ (eie )) ( (ee).

Покажем, что

2л

Иш

г^1-0

f |W(r eie)- W+(e'e))Pd0 = 0. (6)

В силу теоремы 1 имеем представление

w(z) = Ф(z/н0 (), где Ф(z) е Ер ,

а w0 (z) е Са (о / 0 < а < 1. Отсюда получаем

Ш ^) = Ч(^0 (7)

где Ч^)=Ф(^)//С(/еНр [4, с.91],

Ш0 (Z)= w0 С))е с(Б), поскольку z = ®^)е с(Б) [4, с.88].

Далее из (7), используя неравенство

(а + Ь)) < Ср(ар + Ьр), а > 0, Ь > 0,

с [2р-1, р > 1, где Ср = \

р [1, 0 < р < 1

||Ш (ге/в )- W+(eю)\Pdв<

будем иметь:

< Cp sup| Wo (Z\Р 2\\¥(rew)-4+(ewfde-

Z-D 0 1 '

+ Cp 2|>+ИГЬ (reie )- Wo (e-)Pdö.

(8)

\2л {0

dd\<

П |w(reie)|p

2\ W(reie)-W+(ew))de[ + ff|w+(e!'

10

de

1/p

откуда, в силу (6).

,2л

Иш

im f W(reie))de = lim f |w(z)|p | dz | <

r —1 0 1 1 r —1 rr

J\w+(ew) de = f\ w+(z)| p | dz |.

2л

(9)

(10)

Иг/|<|ад|, чин^и). (и)

Рассмотрим функцию Ш^) = Ш (z)/ь(z) = Ч (z)W0 (z), а также функцию íi'(z) = Ф^ /н0 (z), где Ф ^) = Ч (с-1 ^))/ р С (С ()).

Поскольку Ч е Нр , то Ф е Ер [4, с. 91] и Ф(2) * 0, z е О . В силу последнего соотношения голоморфная в О функция Ф1 ( )=[ф( )]р однозначна и принадлежит классу Е2, а также из (11) имеем |w(z)|< |íW(z)|, z е О; |w(z)| = |л~(z)|, z еГ .

Несложным вычислением проверяется, что [н^ )]р2 = w1 (z ) =

= Ф, (z )ехр 1-1|| Л((\ + Б((\ ^н (\ ёхЛ

(12)

(13)

П G

t - z

t = x + iy, где A1 (z) = -pA(z)£Ls(g);

B (z ) = 2 B(z)

2

7 Ü- Ls (G).

Первое слагаемое в правой части (8) стремится к нулю при г ^ 1 в силу соответствующего свойства голоморфных функций класса Н [4, с.80], а второе слагаемое в

силу равномерной в Б непрерывности функции Ш0 . Таким образом, соотношение (6) доказано.

Далее при р > 1 из неравенства Минковского имеем:

_ ( \

Из (13) и теоремы 1 получаем, что () е Е2 (Л1, Б1). Отсюда в силу (5) уже доказанного для р > 1,

1ип |/р | dz | = 1ш1 Цн1 ^)|2 | dz | = Ц/р | dz |,

r—>1

или с учетом (12) получаем (9) при 0 < р < 1. Применяя лемму Фату, получим (5) для Ур > 0 .

Для вывода обобщенных формул Коши для функций класса Ер (Л, Б) нам необходимы некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 3. Если ) е Ер (Л, Б), р > 1, то имеет место соотношение (формула Грина)

— | /z = \\дwdxdy, z = х +/у. (14)

2/ г о &

Доказательство. Пусть z = со(£), как и выше, однолистное конформное отображение единичного круга

| Z |< 1 на О и Гг - образ окружности | Z |= г < 1; Ог с О - область, ограниченная Гг. Поскольку

< J \е ~ )\ аи = \ |w+^z/- | az |

0 Г

Обоснование последнего равенства см. в [4, с.87]. Вместе с тем из теоремы 2 и леммы Фату [6, с. 133-134]

Л / р | dz | = 2[\w+(ew)\Pdв<

Г 0 1 1

< Иш^ (е1в)/dв = 11Ш ||w(z/р | dz |.

г 0 г Гг

Сопоставляя (9) и (10), получим (5) при р > 1.

Обратимся к случаю 0 < р < 1. Обозначим Ь^) функцию Бляшке [4, с.76] голоморфной функции Ч(^) из представления (7). Положим Ч(^) = Ч^)/Ь^). Имеют место соотношения [4, с.79]:

Ч^)е Нр , ч(z)ф 0,

w(z) £ Са (вг), а = (s - 2)/ s , [3, с.152], отношение [3, с.71]:

— f w(z)dz = H^^dxdy, z = x + iy,

имеет место со-

2i

Далее [4, с.87]

5z

(14')

-1- f w(z)dz = ir2\ w(a(re'e))'ea'(re'e)de, 2l rr 0

— f w(z )dz = i2f w((eie )ie(' ( ).

0 2n

' = i f w Г 0

Из (15) имеем

(15)

f w(z)dz - f w(z)dz

Г

где

< 71 (r )+(1 - r )J 2 (r ),

(16)

r

Г

r

J (r ) = J 2 (r ) =

''¡{(''PO w^re^Ode 0

!f(w ((re^Oe}

Оценим правую часть (16) при r — 1 - 0 . Поскольку в силу (5)

J 2 (r ) =

J w(z )dz

< J| w(z)|| dz |<Mj(w), Гг

i силу w е Ej (A, B), см. (2), (1 - r)J2 (r) -— 0 при r — 1. Д ля J1 (r) имеем

/j(r)< ? w (y(eie))ö?'(eie)- w ((reie))^'(

de.

Мг)< \ w\

0

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при г ^ 1 в силу (6) (при р = 1).

Итак, | w(z)dz ^ | w(z^г, г ^ 1 - 0 .

О(г,с) = -1-+о((-гГ2/*) ,

С, - г

О 2 &£)= о (^- г|-2/*) (19)

обобщенные ядра Коши уравнения (1) [3, с. 179], 01 (г, О2 (г, е Са , а = ( - 2), по каждой переменной г, £ при г .

Доказательство. Рассуждения дословно повторяют соответствующие построения из [3, с.183-185], только вместо тождества Грина из [3, с.180] следует использовать (18).

Теорема 9. Предположим, что Г - кривая Радона без точек заострения или кривая Ляпунова. Пусть (р(т) е Ьр (г), р > 1. Тогда обобщенный интеграл типа Коши

w(z) = -Л |О!(г,0<р(С^С - О2(г, C)ЩZ)dC (20)

2т г

принадлежит классу Ер (А, В).

Доказательство. То, что w(z) является решением

Вместе с тем в силу абс°лютн°й непрер^1вности инге- уравнения (1) - факт известный [3, с. 198].

грала Лебега

~~dxdy ^ Ц-— dxdy, г ^ 1 - 0 .

Ог дг О ^

Переходя к пределу в (14') при г ^ 1 и учитывая два последних соотношения, получим (14).

Рассмотрим наряду с (1) сопряженное уравнение д А(г)w'-B"(ZУ—' = 0 . (17)

Лемма 4. Если w(z) е Ер (А, В), р > 1, а w' (г) е С(п)

- решение уравнения (17), то имеет место соотношение

(тождество Грина)1

( \

Im

J w(z )w' (z )dz

ЧГ

= 0.

(18)

Доказательство. Для произведения ww' имеем ^^ = 2i Im{sw' w}= C(z )ww',

2i Im{Bw' w}

В статье [1] в соответствующей формуле по вине автора имеется опечатка: вместо 1т напечатано Яе.

где С( ) =--' при ww' Ф 0, С (г )= 0 при

ww'

ww' = 0. Таким образом, С (г )е (о ), а ww'е Ер (- С,0). Применяя к ww' формулу (14), будем иметь

| w(z)w' (г= 2'Ц д(ww ) dxdy = Г О

= -4 Ц Im{в—' w}dxdy, откуда получаем (18).

О

Теорема 8. Пусть w(z) е Ер (А, В), р > 1. Тогда имеет место представление (обобщенная формула Коши)

--{о^мск-о 2

2т

fw(z), z е G,

= [0, z г G,

,, г />\ (>Л получим

где при ( е 1 w(() = w+ (() - предельные значения на ,

Г w(z) при z — Z е Г по некасательным путям,

В силу (19) можем переписать (20) в виде

w(z ) = ф(г ) + т(г), (21)

где ф(г ) = --т(г)=}О*(^МСК, 2т г С, - г г

О. (г,С) = о(г-С|-2/*). (22)

Поскольку <р(с)е 1р (г) , в (21) ф(г)е Ер [4, с.136]. В силу (22) имеем

10* (zZ\\dz\< С1 1 1& |2/* , (23)

Гг Гг | г - С |

где С; - константа, не зависящая от г и £ ; Гг - то же, что и в доказательстве леммы 3, т. е. образ окружности | т |= г при конформном отображении г = а(т) единичного круга | т |< 1 на О . Переходя в правом интеграле в (23) к переменной т = а -1 (г), получаем, что он монотонно возрастает при г ^ 1 - 0 [4, с.77], т. е.

10* (zД\dz\< С11—1^2

Гг Г| г|

Обозначим * и а е [0, £ ] дуговые абсциссы точек г и ^ на Г , тогда | dz |= ds . Для кривой Ляпунова, а также для кривой Радона без точек заострения найдется такая пара чисел к0 > 0 и Д 0 > 0, что

-аМг^-Са)^ кс^ - а | (25)

лишь только | * - а |< Д 0 [4, с.17, 20].

Обозначим ГД сГ то множество точек г е Г, для которых | * - а |> Д 0 (при зафиксированном С, ). Тогда из (25) будем иметь:

Г ^ "Г 1ф| + — Т-А- (26)

Г | г-С|2/* "гД | г|2/* к 0 1 (-а) ( )

|2/s '

(24)

Гд | z-ZX

Очевидно, inf | z - (|> 0 . Отсюда и из (26) и (24)

геГд (еГ

J|Q*(z,()|| dz | < С2,

где константа C2 от r и ( е Г не зависит. Из (27) и (22) получаем

Г

Г

r

1 |y(z)11 dz |< C3 = C3 ^ ЦLi^J = const < « . (28)

Гг

Таким образом, w(z) e Ex (A, b). Непосредственно из формул Сохоцкого-Племеля для обычного интеграла Коши-Лебега [4, с.136, 125] получим аналогичные формулы для обобщенного интеграла типа Коши (20):

w± (() = ±1 p(() + -1— jQi ((, Z)p(Z)dZ -2 2т г

-Q 2 ((,Z)RZ)dZ =

= ±2^) + 2n-\^-\dZ + \n*(t,Zyp(Z)dZ. (29) 2 2т г Z -1 г

Последний интеграл в (29) в силу (22) имеет ядро со слабой особенностью (порядка | Z -11-2/ s), т. е. действует из Lp(г) в Lß(г), где 1/ß = 1/p-(s-2)/s (см., например, [7, с. 140]), а сингулярный интеграл ограничен в Lp(г) [4, с.139], откуда w+(z)e Lp(г). По теореме 2 получаем w(z) e Ep (A, b) .

Теорема 10. Пусть г - кривая Радона без точек заострения либо кривая Ляпунова. Для того чтобы функция w(z) e Ep (A, B), p > 1, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась обобщенным интегралом Коши

w(z) = -П JQ (z,Z) (Z)dZ - «2 (z, ZWZ)dZ, (30)

2m г

где w(z) = w+ (z) e Lp (г) - предельные значения по некасательным путям функции w(z) при z ^ Z e г. Доказательство. Необходимость - это теорема 8. Достаточность. Случай p > 1 рассмотрен в теореме 9. Рассмотрим случай p = 1. Аналогично (21) перепишем (30) в виде (21), где

Ф() = 2ПJ*(z)=J«(z,Z)w(Z)dZ . (31)

2m г Z - z г

Так как Q* (z,Z) - ядро со слабой особенностью при

z = Z , интеграл ч(() = JQ* (t, Z)w(Z)dZ, t e г , абсо-

г

лютно сходится для почти всех t ei [7, с.141], а отсюда получаем, что почти всюду на г существует предел по некасательным путям lim Y(z) = Y(t)e Lr (г), 1 <y< s/2,

см. [4, с.119-125], [7, с.149].

Поскольку по условию существует также аналогичный предел lim w(z) = w(t), t e г , то существует почти

всюду на г предел по некасательным путям

ПтФ^) = Ф+ (() = ф() e L (г).

Перейдя к пределу в (21) при z ^ t, получим почти всюду на Г

)=Ф(t)+Ч(t) . (32)

Далее функция Ч^) в (31) при z е Р \ О , где Р -комплексная плоскость, голоморфна [3, с.193-194] и Ч(<») = 0.

Из оценки (28), проведенной для Гг при г > 1 и близких к единице, получаем, что Ч^) класса Е1 в Р \ О , откуда

Jч(t^ = 0 . (33)

Г

Умножим (32) на

1 dt 2т t - z

z e G, и проинтегрируем

по

г. В . w(

силу (33) будем иметь

ф() = J w(t^ = Ф(()dt ,

2П г t - z 2т г t - z т. е. голоморфная функция ф() имеет почти всюду на Г предельные значения по некасательным путям класса Ь1 (г) и представима интегралом Коши. Отсюда следует, что Ф^)е Е1 [4, с.133]. С учетом этого, из (32) и (28) получаем ) е Е1 (Л, Б). Непосредственно из (29) и (30) получаем

Следствие 2. Для того чтобы функция (р(^) е Ь(г), р > 1 была граничным значением функции

) е Ер (Л, Б), необходимо и достаточно, чтобы для почти всех Z е Г выполнялось соотношение

яО-ПМ (;,t)<p(t)dt - О2 .

та

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 02-01-00909.

Литература

1. Климентов С.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 3. С. 6-10.

2. Климентов С.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 3. С. 6-12.

3. ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959.

4. Данилюк ИИ. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., 1975.

5. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977.

6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.

7. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., 1973.

Ростовский государственный университет,

Лаборатория математических исследований ИПМИ ВНЦ РАН и ЮРГУЭС_11 марта 2004 г